porównanie metod korekcji adaptacyjnej w dziedzinie czasu

porównanie metod korekcji adaptacyjnej w dziedzinie czasu

www.pwt.et.put.poznan.pl
2005
Paweł Sroka
Politechnika Poznańska
Instytut Elektroniki i Telekomunikacji
[email protected]
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne
Poznań 8 - 9 grudnia 2005
PORÓWNANIE METOD KOREKCJI ADAPTACYJNEJ
W DZIEDZINIE CZASU ZASTOSOWANEJ W MODEMIE ADSL
Streszczenie: W artykule przedstawiono porównanie
korektorów charakterystyki pętli abonenckiej działających
w modemie ADSL korzystających z różnych kryteriów
adaptacji. Omówiono metody adaptacji MMSE, MSSNR,
Min-ISI oraz ARMA wykorzystywane do wyznaczania
współczynników korektora. Zaprezentowano wyniki
symulacji działania systemu ADSL z takimi korektorami
uzyskane za pomocą pakietu Matlab.
1.
2.
METODY ADAPTACJI KOREKTORA
Problem wyznaczania współczynników korektora
może być opisany jako maksymalizacja uogólnionego
współczynnika Rayleigh’a, co można przedstawić
równaniem [5]:
w opt = arg max
WPROWADZENIE
W ostatnich latach wzrosło zainteresowanie
szerokopasmowym dostępem do sieci Internet. Bardzo
popularne stały się rozwiązania wykorzystujące
modulację OFDM, zarówno bezprzewodowe, jak i
wykorzystujące jako medium transmisyjne pętlę
abonencką (DSL).
Poważnym
problemem
powodowanym
w
przypadku systemów radiowych przez wielodrogowość,
w pętli abonenckiej przez jej własności transmisyjne,
staje się interferencja międzysymbolowa. W celu
minimalizacji zakłóceń spowodowanych przez nią
stosuje się tzw. przedrostek cykliczny (prefiks)
dołączany do czoła przesyłanego symbolu OFDM.
Jednak często zabieg ten okazuje się niewystarczający,
co ma miejsce w przypadku systemów ADSL, gdyż
długość odpowiedzi impulsowej kanału znacznie
przekracza długość prefiksu. Dlatego jest konieczne
zastosowanie układu kompensującego, jakim jest
korektor w dziedzinie czasu (TEQ), którego zadaniem
jest w ogólności skrócenie łącznej odpowiedzi
impulsowej kanału i korektora do długości nie większej
niż długość przedrostka cyklicznego.
Korekcja odbywa się poprzez zastosowanie
adaptacyjnego filtru FIR o odpowiednio dobranych
współczynnikach.
Powstało
wiele
algorytmów
wyznaczania współczynników korektora, różniących się
zastosowanym
kryterium
adaptacji.
Do
najpopularniejszych rozwiązań należą korektory MMSE,
MSSNR, i Min-ISI, omówione w dalszej części artykułu.
Przedstawiony został również korektor wykorzystujący
algorytm adaptacji oparty na teoretycznym opisie kanału
– modelu ARMA.
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
w
w T Bw
w T Aw
(1)
Rozwiązaniem przedstawionego wyżej problemu
jest wektor własny pary macierzy (B,A) odpowiadający
największej wartości własnej tej pary. Wektor w
reprezentuje współczynniki korektora i może być
wyznaczony jako rozwiązanie równania [5]:
Bw = λAw
(2)
gdzie w odpowiada największej wartości własnej λ. Jeśli
macierz A jest odwracalna to rozwiązaniem problemu
jest wektor własny iloczynu macierzy A-1B.
Mimo że problem wyznaczania współczynników
korektora sprowadza się do wyznaczenia wektora
własnego pary (A,B), to poszczególne rozwiązania
różnią się kryterium optymalizacji nastaw. Do
najpopularniejszych należą: korektory wykorzystujące
kryterium minimalizacji błędu średniokwadratowego
(MMSE) oraz korektory minimalizujące energię
odpowiedzi impulsowej kanału poza obszarem prefiksu
(MSSNR).
2.1. Korektor MMSE (Minimum Mean Square Error)
nk
xk
kanał
h
∆
yk
+
TEQ
w
uk
+
+
ek
-
TIR
b
Rys 1. Schemat układu korektora MMSE
1/4
www.pwt.et.put.poznan.pl
Korektory tego typu dążą do skrócenia odpowiedzi
impulsowej kanału tak, aby jej długość nie przekraczała
υ+1 próbek, gdzie υ to długość prefiksu. Można to
przedstawić
jako
minimalizację
błędu
średniokwadratowego między skróconą odpowiedzią
impulsową po korekcji i docelową odpowiedzią
impulsową (TIR), co pokazano na rys. 1. Funkcja kosztu
korektora MMSE jest przedstawiona równaniem [5]:
J ( w, b) = E{(ek ) 2 } = E{(w T y k − b T x k −∆ ) 2 } =
= w R y w + b R x b − 2b R xy (∆ ) w
T
T
T
T
,
−
T
k
B = Ry
−
−
−
T
k −∆
gdzie Lw to długość wektora współczynników
korektora.
jednostkowe ograniczenie energii (unit-energy
constraint), czyli w T R y w = 1 , b T R x b = 1 , lub oba
ograniczenia jednocześnie. Macierze A i B mają
postać [5]:
A = R y − R yx R −x1 R xy
z −∆
∑b z
−l
l
l =0
Lw
1+
(9)
∑a z
−l
l
l =1
Można zauważyć, że współczynniki mianownika
wyznaczonego modelu odpowiadają współczynnikom
korektora MMSE z jednostkowym ograniczeniem
współczynników korektora dla e1=1. Współczynniki
wielomianu w liczniku mogą być traktowane jako
współczynniki docelowej odpowiedzi impulsowej (TIR).
Jeżeli dobierzemy stopień wielomianu w liczniku tak,
aby nie był większy od liczby próbek prefiksu, to
otrzymamy w mianowniku współczynniki korektora
MMSE.
2.2. Korektor MSSNR (Maximum Shortening SNR)
Korektory z rodziny Maximum Shortening Signalto-Noise-Ratio dążą do minimalizacji energii odpowiedzi
impulsowej poza obszarem υ+1 próbek, które
odpowiadają długości prefiksu. Powoduje to podział
charakterystyki odpowiedzi impulsowej kanału na tzw.
obszar „okna” i obszar „ściany”, co przedstawiono na
rys. 2.
część
ściany
część
ściany
okno
(5)
jednostkowe
ograniczenie
współczynników
docelowej odpowiedzi impulsowej (unit-tap
constraint on TIR), czyli eTj b = ±1 , gdzie ej jest
wektorem elementarnym z elementem równym 1 na
pozycji j. Macierze A i B maja postać [5]:
A = R x − R xy R −1y R yx
(7)
B = e j e Tj
jednostkowe
ograniczenie
współczynników
korektora (unit-tap constraint on TEQ), czyli
eTj w = ±1 . Macierze A i B maja postać [5]:
(8)
B = e j e Tj
Do estymacji współczynników korektora MMSE
mogą również zostać wykorzystane metody predykcji
liniowej. Można zauważyć, że model ARMA kanału
transmisyjnego
odpowiada
parze
estymowanych
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
B( z )
H ( z) =
=
A( z )
c
jednostkowe
ograniczenie
normy
wektora
współczynników
docelowej
odpowiedzi
impulsowej (unit-norm constraint on TIR), a więc
b T b = 1 . Macierze A i B maja postać [5]:
A = R x − R xy R −y1 R yx
(6)
B = I Lw +1
A = R y − R yx R −1x R xy
ν
(3)
gdzie R x = E{x k x }, R y = E{y k y }, R yx = E{y k x } .
Aby uniknąć trywialnego rozwiązania, jakim jest
wektor samych zer, konieczne jest zastosowanie
ograniczenia
współczynników
korektora,
bądź
docelowej odpowiedzi impulsowej (TIR). Wyróżniamy
następujące ograniczenia:
−
jednostkowe
ograniczenie
normy
wektora
współczynników korektora (unit-norm constraint
on TEQ), czyli w T w = 1 . Wtedy macierze A i B
przyjmują postać [5]:
A = R y − R yx R −x1 R xy
,
(4)
B = I Lw +1
T
k
wektorów: współczynników korektora i współczynników
docelowej odpowiedzi impulsowej. Model kanału
powstały w wyniku estymacji ARMA, opisuje go jako
filtr IIR, co przedstawiono w równaniu [5]:
n
∆
υ+1
Lh+ Lw +1
Rys 2. Obszary "okna" i "ściany odpowiedzi impulsowej
kanału
Podział odpowiedzi impulsowej
macierzowym przedstawiają równania [5]:
 h
 ∆

H
=
...
win 
h
 ∆ +ν

w
zapisie



...


... h
∆ +ν − L 
w
...
h
∆−L
w
...
(10)
T


h
h
...
0 
h ...
ν
0
∆
−
1
∆
+
+
1

 (11)
H
= 0 ...
...
...
... ... 
wall 
 ... ... h
h
... h 
∆ − Lw − 1 ∆ + ν − L + 1
L 

w
h

2/4
www.pwt.et.put.poznan.pl
Współczynniki
zależności [5]:
korektora
są
wyznaczane
min w T H Twall H wall w ,
z
(12)
w
przy założeniu w T H Twin H win w = 1 .
Z powyższych zależności można sformułować
równania opisujące macierze A i B:
A = H Twall H wall
(13)
B = H Twin H win
Rozwiązanie MSSNR nie uwzględnia zaszumienia
odbieranego sygnału, w związku z czym może być
traktowane jako rozwiązanie typu Zero Forcing. Aby
uwzględnić wpływ szumu należy do macierzy A z
równania (13) dodać macierz korelacji szumu.
2.3. Korektor
Min-ISI
Interference)
(Minimum
Intersymbol
Korektor ten może być traktowany jako
uogólnienie korektora MSSNR z uwzględnieniem
stosunku mocy sygnału do szumu dla poszczególnych
nośnych danych. Macierze A i B są przedstawione
zależnościami [5]:


A = H T DT  ∑ f iH S x ,i f i DH
,
 i∈S

T
B = H win H win
(14)
gdzie:
1 dla ∆ ≤ n ≤ ∆ + ν
g=
0 dla pozostalych n
D = I N − diag (g )
,
H = [H
T
wall ,1
, H win , H
T
wall , 2
(15)
]
a f iT S x ,i f i opisuje stosunek mocy sygnału do szumu na
poszczególnych nośnych danych.
Korektor Min-ISI jest rozwiązaniem dążącym do
maksymalizacji przepływności systemu, jednak nadal
suboptymalnym. Jego zaletą, w stosunku do
dokładniejszych rozwiązań, jest prostsza struktura
algorytmu adaptacji.
3.
PARAMETRY SYSTEMU ADSL
Badanie własności korektorów przedstawionych w
poprzednim rozdziale odbyło się przy pomocy modelu
systemu transmisyjnego ADSL, wykonanego przy
pomocy pakietu Matlab. Zasięg systemu wynosi do 5,5
km, przy zapewnieniu przepływności od 2 Mbit/s do 8
Mbit/s [6]. Jest to system wykorzystujący modulację
OFDM z zapewnieniem dupleksu przy pomocy metody
dupleksu
częstotliwościowego
(FDD).
Zakres
wykorzystywanych częstotliwości rozciąga się od 25
kHz do 138 kHz dla transmisji w górę (od użytkownika
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
do operatora) i od 138 kHz do 1,1 MHz dla transmisji w
dół (od operatora do użytkownika), a odstęp
częstotliwości pomiędzy kolejnymi nośnymi wynosi
4,3125 kHz [4]. W związku z tym do transmisji w dół
przeznaczonych jest 220 nośnych, a do transmisji w górę
– 25 nośnych. Maksymalna dostępna liczba nośnych w
systemie wynosi 255, stąd rozmiar bloku IFFT oraz
bloku FFT zastosowanych do modulacji i demodulacji
wynosi 512. Długość prefiksu wynosi 40 próbek, a
szybkość modulacji systemu – 4 kHz [2]. Gęstość
widmowa mocy sygnału nadawanego jest zgodna z
maskami określonymi w [1].
Jako modele kanału transmisyjnego wykorzystano
8 pętli testowych zdefiniowanych przez ETSI w [1] o
długościach od 2,9 km do 5 km. Źródłem zakłóceń w
kanale jest szum AWGN o gęstości widmowej mocy
wynoszącej -140 dBm/Hz.
4.
WYNIKI SYMULACJI
Symulacje zostały przeprowadzone dla systemu bez
korektora w dziedzinie czasu oraz z zastosowaniem
czterech rodzajów korektorów:
−
korektora MMSE z jednostkowym ograniczeniem
normy wektora współczynników korektora (MMSE
– UNC). Długość korektora to 20 odczepów;
−
korektora MSSNR o 20 odczepach;
−
korektora Min-ISI o 20 odczepach;
−
korektora MMSE z jednostkowym ograniczeniem
współczynników korektora, którego współczynniki
zostały wyznaczone przy użyciu modelu ARMA.
Długość korektora to 21 odczepów. Do estymacji
ARMA wykorzystana została metoda Prony’ego
opisana w [3].
Badanymi parametrami były:
−
stosunek mocy sygnału do mocy szumu na wyjściu
korektora w dziedzinie częstotliwości,
−
zysk SNR wynikający z korekcji w dziedzinie
czasu,
−
maksymalna
przepływność
systemu
przy
założonym modelu kanału i poziomie szumu.
We wszystkich przypadkach długość odpowiedzi
impulsowej znacznie przekraczała długość prefiksu. Dla
wszystkich pętli testowych długość znaczącej części
odpowiedzi impulsowej przekraczała 50 µs, przy
długości prefiksu wynoszącej około 18 µs. Dlatego
konieczne jest użycie korektora w układzie modemu
ADSL, który powoduje skrócenie odpowiedzi
impulsowej kanału i minimalizację zjawiska interferencji
międzysymbolowej. Dla każdego z rozpatrywanych
korektorów udało się skrócić odpowiedź impulsową
kanału tak, że jej długość nieznacznie lub w ogóle nie
przekraczała długości prefiksu.
Wyniki symulacji zostały przedstawione na
rys. 3-5. Obrazują one kolejno: maksymalną osiągalną
przepływność systemu w danej konfiguracji, średni
stosunek mocy sygnału do szumu na wyjściu korektora
w dziedzinie częstotliwości oraz zysk stosunku mocy
sygnału do szumu otrzymany poprzez zastosowanie
korektora w dziedzinie czasu.
3/4
www.pwt.et.put.poznan.pl
10
9
Przepływność [Mbit/s]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nr pętli testowej
bez korektora
MMSE
ARMA
MSSNR
min-ISI
Rys 3. Wykres maksymalnej przepływności systemu dla
kolejnych pętli testowych
45
40
35
SNR [dB]
30
są prawie niewrażliwe na szum AWGN. Natomiast
korektor Min-ISI powoduje przesunięcie zakłóceń
spowodowanych interferencją międzysymbolową na
nośne o najniższym stosunku mocy sygnału do szumu, w
związku z czym maksymalizuje on przepływność
systemu. Trochę gorszy okazuje się korektor MSSNR,
co jest związane z nieuwzględnieniem zakłóceń AWGN
przy wyznaczaniu współczynników korektora. Jest on
jednak prostszym rozwiązaniem niż dwa wcześniejsze
układy, gdyż wymaga mniej obliczeń macierzowych.
Najgorsze rezultaty daje korektor oparty na
teoretycznym modelu ARMA, co wiąże się z
koniecznością estymowania charakterystyki odpowiedzi
impulsowej kanału w odbiorniku. Dodatkowo,
rozwiązania oparte na modelu ARMA, są bardzo
wrażliwe na szum. Natomiast zaletą tego ostatniego
korektora jest jego prostota, w porównaniu do innych
omawianych rozwiązań. Wymaga on estymacji
odpowiedzi impulsowej oraz tylko jednego mnożenia
macierzy, co czyni ten układ najprostszym i użytecznym
w przypadku systemów o wysokim stosunku mocy
sygnału do szumu.
25
SPIS LITERATURY
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nr pętli testow ej
bez korektora
MMSE
ARMA
MSSNR
min-ISI
Rys 4. Wykres SNR na wyjściu korektora w dziedzinie
częstotliwości dla kolejnych pętli testowych
16
14
Zysk SNR [dB]
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nr pętli testow ej
MMSE
ARMA
MSSNR
min-ISI
[1] ETSI TS 101 388 v.1.2.1 ”Transmission and
Multiplexing (TM); Access transmission systems on
metallic access cables; Asymmetric Digital
Subscriber Line (ADSL) - European specific
requirements
[ITU-T
G.992.1
modified]”,
European Telecommunications Standard Institute,
France, 2001
[2] J. A. C. Bingham, “ADSL, VDSL and Multicarrier
Modulation”, John Wiley & Sons, 2000
[3] J. G. Proakis, D. Manolakis, “Digital Signal
Processing:
Principles,
Algorithms
and
Applications”, Macmillan Publishing Co., Inc.,
1992
[4] N. Jayant (red.), “Broadband Last Mile; Access
Technologies for Multimedia Communications”,
Taylor and Francis Group, 2005
[5] R. K. Martin i inni, “Unification and Evaluation of
Equalization; Structures and Design Algorithms for
Discrete Multitone Modulation Systems”, IEEE
Transactions on Signal Processing, June 2004
[6] T. Starr, J. M. Cioffi, P. J. Silverman,
“Understanding
Digital
Subscriber
Line
Technology”, Prentice Hall PTR, 1999
Rys. 5. Wykres zysku SNR dla kolejnych pętli testowych
5.
WNIOSKI
Z przedstawionych wykresów wynika, że korekcja
powoduje znaczny wzrost stosunku mocy sygnału do
szumu na wyjściu korektora w dziedzinie częstotliwości,
a co za tym idzie, wzrost maksymalnej osiągalnej
przepływności systemu w danej konfiguracji. Można
zauważyć, że najlepsze wyniki osiągane są dla korektora
Min-ISI oraz MMSE. Wiąże się to z minimalizacją
wpływu szumu na korektor. Korektory MMSE
minimalizują błąd średniokwadratowy danych po
korekcji oraz danych wzorcowych, w związku z czym,
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
4/4