ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z

ZALICZENIA
W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych
wariantów I, II lub III
1
Wariant I. PROBLEM WŁASNY
Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą (rozprawa
doktorska lub magisterska lub praca badawcza prowadzona w Instytucie). Rozwiązać to
zadanie narzędziami poznanymi na wykładzie.
Prace zaliczeniowe tego rodzaju oceniam na bardzo dobrze.
2
Wariant II. ZADANIA Z PODRĘCZNIKÓW
Rozwiązać trzy dowolnie wybrane zadania z podręczników akademickich dla politechnik.
Zaliczenie według tego wariantu zaliczam na dostatecznie.
PODRĘCZNIKI AKADEMICKIE. W różnych podręcznikach stosowane są różne oznaczenia! Przykładowo podaję oznaczenia dla wariancji.
Niżej podaję trochę zadań z wybranych podręczników. Zakres zadań jest nieco szerszy od
zakresu wykładu.
Pn
[W] Ten wykład Ozn: S 2 = n1 i=1 (Xi − X̄)2
[JB] Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. PWN 1996
Pn
Pn
1
2
Ozn: S 2 = n1 i=1 (Xi − X̄)2 , S02 = n−1
i=1 (Xi − X̄)
[BŁ] Dobiesław Bobrowski, Krystyna Maćkowiak-Łybacka: Wybrane metody wnioskowania
statystycznego. Wyd.Polit.Pozn., Poznań 2006
Pn
Pn
Pn
1
1
2
2
2
Ozn: S 2 = n1 i=1 (Xi − X̄)2 , S∗2 = n−1
i=1 (Xi − X̄) , S2 = n
i=1 (Xi − µ)
[GK] Lesław Gajek, Marek Kałuszka: Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. WNT
1996
Pn
Pn
Ozn: Ŝn2 = n1 i=1 (Xi − θ)2 , Sn2 = n1 i=1 (Xi − X̄n )2
[WK] Witold Klonecki: Statystyka dla inżynierów. PWN 1999
Pn
Pn
1
1
2
2
2
Ozn: S 2 = n−1
i=1 (Xi − X̄) , S0 = n
i=1 (Xi − µ)
[KM] Jacek Koronacki i Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych
i przyrodniczych. WNT 2001
Pn
1
2
Ozn: s2 = n−1
i=1 (Xi − X̄) ,
[AP] Agnieszka Plucińska i Edmund Pluciński: Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka
matematyczna. Procesy stochastyczne. WNT 2000
Pn
Pn
Pn
1
1
2
2
2
2
Ozn. Sn2 = n1 i=1 (Xi − X̄)2 , Snieob.
= n−1
i=1 (Xi − X̄) , S0 = n
i=1 (Xi − µ)
[MS] Mariusz Startek: Podstawy rachunku prawdopodobieństwa z elementami statystyki
matematycznej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 2005
Pn
Pn
Pn
1
1
2
2
2
Ozn: S 2 = n1 i=1 (Xi − X̂)2 , S ∗2 = n−1
i=1 (Xi − X̂) , Ŝ = n
i=1 (Xi − µ)
3
1. [BŁ s. 64]. Niech X będzie twardością stali ulepszonej przez obróbkę cieplną. Z założenia
niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N (µ, 15). Dziesięć niezależnych pomiarów
twardości aparatem Vickersa dalo wynik x̄ = 600 kG/mm2 . Zbudować 90-procentowy
przedział ufności
2. [BŁ s. 71]. Wyznaczyć na poziomie ufności γ = 0.9 przedział ufności dla wariancji pomiarów wysokości wewnętrznych panewek, jeśli wiadomo, że rozkład wysokości jest rozkładem
normalnym i wyniki 20 pomiarów dały x̄ = 32, 298mm oraz s2∗ = 0.133mm2
3. [BŁ s. 74]. Amplituda chwilowa napięcia na wyjściu generatora szumu ma rozkład
normalny. Przeprowadzono n = 60 niezależnych pomiarów amplitudy i otrzymano x̄ =
105V, s = 12V . Przyjmując poziom ufności γ = 0.98 podać realizację przedziału ufności
dla odchylenia standardowego amplitudy chwilowej napięcia na wyjściu generatora
4. [BŁ s. 124]. Porównujemy precyzję cięcia nowej maszyny z dotychczas używaną. Wariancja odchyleń dla dotychczas używanej maszyny wynosi 0.03. Losowa próba 10 wykrojów
wykonanych nową maszyną dała s2∗ = 0.058. Na poziomie istotności α = 0.01 weryfikujemy hipotezę o jednakowej precyzji obu maszyn. Stawiamy hipotezy: H0 : σ 2 = 0.03,
H1 : σ 2 > 0.03.
5. [WK s. 186] Przykład 10.1. Dokonano n = 10 pomiarów wytrzymałości (w 105 N/m2 )
pewnego materiału budowlanego i obliczono średnią x̄ = 20.2 oraz wariancję s2 = 0.96.
Przyjmijmy, że zaobserwowane wyniki pomiarów możemy traktować jako próbę prostą z
rozkładu normalnego o nieznanej wartości średniej µ oraz nieznanej wariancji σ 2 . Podać
90-procentowy przedział ufności dla średniej µ.
6. [GK s. 84] Przykład 4.14. Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych gotowych
elementów walcowanych i otrzymano następujące wyniki: 383, 284,339, 340, 305, 386, 387,
335, 344, 346 [P A]. Przy założeniu, że wytrzymałość tych elementów jest zmienną losową
N (µ, σ) o nieznanych µ i σ, wyznaczyć na podstawie tej próbki 95% (tzn. przyjąć α = 0.05)
realizację przedziału ufności dla µ.
7. [GK s. 87] Przykład 4.16. Klasa przyrządu jest związana z odchyleniem standardowym
wykonywanych nim pomiarów. W celu zbadania klasy przyrządu, służącego do pomiaru
rezystancji, wykonano nim n = 12 pomiarów rezystancji tego samego opornika. Otrzymano
następujące wyniki (mΩ):
275, 273, 279, 267, 276, 272, 271, 269, 270, 265, 268, 277.
Przy założeniu, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny o nieznanych µ oraz σ (µ
jest prawdziwą rezystancją opornika, natomiast σ 2 jest wariancją błędu pomiaru), należy
wyznaczyć 90% realizację przedziału ufności dla σ.
8. [GK s. 97] Przykład 4.20 Przyjmując, że wynik pomiaru nieznanej rezystancji µ opornika jest zmienną losową o rozkładzie N (µ, σ), należy przetestować na poziomie istotności
α = 0.05 hipotezę H : µ = 500mΩ przeciw alternatywie K : µ 6= 500mΩ. Wykonano
n = 10 pomiarów przyrządem pomiarowym, którego odchylenie standardowe σ błędu pomiaru jest znane i wynosi 4mΩ. Otrzymano następujące wyniki: 506, 502, 498, 501, 503,
504, 498, 503, 501, 504[mΩ].
4
9. [MS s. 123] Przykład 2.16. Zważono 20 kostek masła i otrzymano następujące wyniki:
x̄ = 198g, s2 = 11g 2 . Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że średnia
waga kostki masła wynosi µ0 = 200g wobec hipotezy alternatywnej: (a)µ0 6= 200g, (b)
µ0 < 200g.
10. [MS s. 144] Zadanie 24. Producent twierdzi, że opony wytrzymują średnio 50 000km.
W celu zweryfikowania jego zapewnień zbadano losową próbę 10 opon i stwierdzono, że
x̄ = 49 300km, s2 = 500 000km2 . Zakładając, że wytrzymałość opony ma rozkład normalny,
zweryfikować hipotezę H0 : µ = 50 000 km, że średni przebieg opony wynosi 50 000km
wobec hipotezy alternatywnej: (a) H1 : µ 6= 50 000 km, (b) H1 : µ < 50 000 km. Przyjąć
poziom istotności α = 0, 01.
11. [MS s. 145] Zadanie 26. Instrukcja podaje, że średnie zużycie benzyny przez pewien
samochód wynosi 6, 4 l/100 km. Przejechano tym samochodem 10 000 km i, mierząc zużycie benzyny na każdym kolejnym odcinku 100 km, otrzymano wyniki x̄ = 6, 7 l, s2 =
2, 5 l2 . Zweryfikować hipotezę, że średnie zużycie benzyny przez ten samochód wynosi
6, 4 l/100 km na poziomie istotności α = 0, 05 wobec hipotezy alternatywnej: (a) H1 :
µ 6= 6, 4 l/100 km, (b) H1 > 6, 4 l/100 km. Zakładamy, że zużycie benzyny ma rozkład
normalny.
12. [BŁ s. 115] Przykład 3.6. Aby określić na poziomie istotności α = 0.05, czy zaobserwowane różnice między wartościami oczekiwanymi są istotne, czy też mają charakter
przypadkowy, wykonano n1 = 10 pomiarów wytrzymałości na rozciąganie stali odtlenionej
jednym sposoben i n2 = 20 pomiarów tej stali, którą odtleniono drugim sposobem.
Dla próby o liczności n1 otrzymano (zmieniam oznaczenia!) średnią 580M P a przy wariancji
pomiaru
900(M P a)2 i dla próby o liczności n2 średnią 610M P a przy wariancji 1000(M P a)2
Czy sposób odtleniania stali ma wpływ na jej wytrzymałość na rozciąganie?
13. [AP s. 292] W celu sprawdzenia dokładności pewnego przyrządu pomiarowego wykonano 10 pomiarów tej samej wielkości fizycznej i uzyskano następujące wyniki w centymetrach:
9.01, 9.00, 9.02, 8.99, 8.93, 9.00, 9.00, 9.01, 8.99, 9.00.
Zakładając, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny, zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiarów σ 2 = 0.0001, przyjmując poziom istotności α = 0.05. Wyznaczyć poziom
krytyczny tego wyniku.
14. [AP s. 294] Przy badaniu pojazdu w warunkach losowych przyjmuje się, że wszelkiego
rodzaju sygnały wyjściowe (np. przyśpieszenia nadwozia, przemieszczenia elementów sprężystych itp.) mają rozkłady normalne. Dokonano pomiaru przyśpieszeń nadwozia na dwóch
drogach asfaltowych A i B I klasy, będących w jednakowym stanie. Otrzymano następujące
wyniki pomiarów:
A : 4.2, 4.3, 3.9, 4.5, 3.8, 3.6, 3.9, 4.3, 4.5, 3.6, 4.2
B : 4.8, 5.2, 4.2, 5.1, 4.7, 4.3, 4.9, 5.3, 5.6, 5.2, 4.8
5
2
2
Przyjmując poziom istotności α = 0.02, zweryfikować hipotezę H0 : σA
= σB
.
15. [MS s. 147] Badając dwa wskaźniki giełdowe X oraz Y w ciągu kolejnych 12 tygodni,
otrzymano wyniki
Tydzień
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
5.7
4.8
3.9
6.2
5.4
8.1
9.3
7.5
6.9
8.2
9.1
9.0
Y
12.1
11.7
12.4
8.3
9.5
11.4
10.8
9.3
7.2
8.4
6.6
6.9
Obliczyć współczynnik korelacji i wyznaczyć obie regresje.
16. [BŁ s. 182]. Przeprowadzono 10 pomiarów wielkości zdarcia rylca (Y), określonej jego
grubością (w milimetrach), w zależności od czasu pracy (x) mierzonego w godzinach.
Tydzień
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Y
30.0
29.0
28.4
28.1
28.0
27.7
27.5
27.2
27.0
26.5
Zbadać zależność.
17. Wykonuje się niezależne doświadczenia, z prawdopodobieństwem sukcesu θ w każdym
doświadczeniu, dopóty, dopóki nie zaobserwuje się k sukcesów (k ≥ 1 jest ustaloną liczbą).
Wyznaczyć estymator największej wiarogodności dla θ.
18. Dystrybuanta F rozkładu obserwacji jest ciągła i ściśle rosnąca. Nieparametryczny
przedział ufności dla mediany tego rozkładu ma postać:
(Xk:n , Xn−k+1:n )
Nie dla każdego poziomu ufności γ ∈ (0, 1) i nie dla każdej liczności próby n takie przedziały
ufności istnieją! Kiedy nie istnieją?
6
Wariant III. ZADANIE SPECJALNE
To zadanie składa się z pięciu części; całość traktuję jako jedno ZADANIE SPECJALNE.
Jest to zadanie na oceną dobrą lub bardzo dobrą.
1. Wybrać losowo liczbę naturalną n z przedziału [3, 10].
2. Wylosować próbę n-elementową z rozkładu normalnego N (0, 1).
3. Sprawdzić na poziomie istotności α = 0.1 hipotezę H : σ = 1, wobec hipotezy alternatywnej a) Ka : σ > 1 oraz b) Kb : σ 6= 1.
4. Jak duża powinna być próba, żeby prawdopodobieństwo odrzucenia H, gdy σ = 2, było
równe co najmniej β = 0.9?
5. Na podstawie wylosowanej próby obliczyć realizację najkrótszego przedziału ufności dla
odchylenia standardowego σ na poziomie ufności γ = 0.95.
7