Liczby naturalne

Liczby naturalne
Liczby naturalne służą do przeliczania ilości oraz porządkowania.
Zbiór liczb naturalnych to liczby całkowite, większe od zera.
Zbiór liczb naturalnych można określić następująco:
∈ 0, 1, 2, … , Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym.
2
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
ZADANIE:
Dany jest zbiór liczb naturalnych, mniejszych od 30. Napisać podzbiory
tego zbioru, wypisując elementy:
1. Liczby podzielne przez 6,
2. Liczby większe od 17,
3. Liczby parzyste,
4. Liczby podzielne przez 2,
5. Liczby które są podzielne przez wynik równania 8 7 .
3
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Liczby całkowite
Liczby całkowite stanowią rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o
liczby ujemne.
, … , 2, 1, 0, 1, 2, … , Można jednocześnie napisać ze ∈ 4
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Liczby wymierne
Liczba wymierną nazywamy każdą liczbę w postaci
, ∈ 0.
,
gdzie
Zbiór ten oznaczamy jako W
, ∈ ∩ 0
"#
$
, ,
! !
"
Przykłady liczb wymiernych: , ,
5
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Liczby niewymierne
Liczbą niewymierną nazywamy każdą liczbę której nie da się
przedstawić w postaci ułamka , (gdzie , ∈ 0).
Zbiór liczb wymiernych i niewymiernych nie posiadają elementów
wspólnych, są zbiorami rozłącznymi.
Przykłady liczb niewymiernych:
&
(
2, %, , 4
6
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Liczby niewymierne
Liczbami niewymiernymi są tzw. pierwiastki. Pierwiastkowanie
jest to operacja odwrotna do potęgowania.
Symbolem pierwiastka jest
, przy czym są rożne stopnie
pierwiastka ) , n oznacza stopień pierwiastka, i zawsze jest liczbą
całkowitą, naturalną różną od zera. ∈ 0.
Pierwiastek stopnia drugiego nazywa się pierwiastkiem
kwadratowym, stopnia trzeciego sześciennym.
+
2 - pierwiastek kwadratowy,
(
2 - pierwiastek sześcienny,
7
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Liczby niewymierne
Wynikiem pierwiastka może być liczba niewymierna:
Np.. 2 1,414213562 …
Jak również liczba wymierna:
(
4=2
8
2
8
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Procenty
Procent jest to inny zapis ułamka, którego mianownikiem jest
zawsze liczba 100. Do zapisu procentu używamy symbolu %.
1% w postaci ułamka zwykłego to , w postaci ułamka
##
dziesiętnego to 0,01.
1
1% 100
Każdy procent da się przedstawić w postaci liczby wymiernej.
9
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Przykłady przeliczenia procentów na liczby wymierne:
5
0,05
5% 100
25
25% 0,25
100
23
23% 0,23
100
10
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
I w drugą stronę, można ułamek zwykły zamienić na procent na
dwa sposoby, rozszerzając podstawę ułamka, jeżeli jest to możliwe:
40
2 2 ∙ 20
40%
5 5 ∙ 20 100
3 3 ∙ 25
75
75%
4 4 ∙ 25 100
Lub bardziej wygodny i powszechny sposób, mnożąc dowolny
ułamek przez 100%:
3
300
∙ 100% % 75%
4
4
11
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Procenty są bardzo użyteczne w codziennym życiu, obniżki w
sklepach są wyrażone często w postaci ilości procent ceny, którą
należy odjąć od ceny przed obniżką.
Np.
Cena wyjściowa: 250 zł. Obniżona o 25%
1. Najpierw obliczamy ile to jest 25% z 250 zł
250 ∙
!
##
250 ∙ 0,25 62,5
Czyli cena została obniżona o 62,50 zł. Cena po obniżce wynosi:
250ł 62,50ł 187,50ł
12
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Innym przykładem są podatki, ceny często są wyrażone w wartościach bez
naliczonego podatku, i trzeba ją dodać, aby wiedzieć dokładnie ile należy
zapłacić.
Np.
Do ceny netto 1kWh wynoszącej 0,2845 zł należy doliczyć 23% podatku
VAT.
Czyli:
0,2845 ∙ 23% 0,2845 ∙
##
$,!2 !
##
0,065435
Do ceny 1kWh dodajemy otrzymany procent ceny i mamy:
0,2845 3 0,654 0,35ł
Jedna kWh operatora Enea kosztuje 0,35 zł.
13
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
„Mamo wykonałem 50% zadania domowego”, oznacza że jestem w
czyli połowie realizacji.
Można to przedstawić graficznie:
zrobione
50%
nie zrobione
50%
14
AT Y T M E T Y K A
Liczby i działania
Koniec
15