Uwagi o opracowaniu wyników pomiarów (Opracowanie: dr Anna

Uwagi o opracowaniu wyników pomiarów (Opracowanie: dr Anna

Uwagi o opracowaniu wyników pomiarów
(Opracowanie: dr Anna Chachaj-Brekiesz, dr Katarzyna Makyła-Juzak)
W niniejszym opracowaniu przedstawiono zasady prawidłowego odczytywania
i analizowania wyników pomiarów. Zakres prezentowanych wiadomości jest ograniczony
do podstawowych
informacji
niezbędnych
na
zajęciach
kursu
Chemii
Ogólnej
i Nieorganicznej.
1. Liczby przybliżone
1.1. Odczytywanie i zapisywanie wyników pomiarów
Wyniki każdego pomiaru (na przykład masy, objętości, pH, itp.) zawsze są obarczone
niepewnością, która zależy najczęściej od czułości i rozdzielczości sprzętu pomiarowego
(również ludzkiego oka). Wynik odczytany z aparatury pomiarowej nie jest zatem dokładnie
wartością prawdziwą, lecz znajduje się w pewnym przedziale liczbowym, w którym ta
wartość prawdziwa jest również zawarta.
Zapis wyników pomiarów odbywa się za pomocą tzw. liczb przybliżonych. Oznacza
to, że wynik pomiaru zapisujemy z dokładnością do określonej liczby cyfr znaczących
(stosujemy przybliżenie liczby). Do cyfr znaczących należą: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
i w niektórych przypadkach 0. Zero nie jest cyfrą znaczącą w sytuacji, gdy stosujemy je dla
określenia rzędu wielkości danej liczby (czyli 0 nie jest cyfrą znaczącą w liczbie 0,194
natomiast jest nią w liczbach 1,03 i 1,30). Wyniki pomiarów należy zapisywać zawsze
używając odpowiedniej liczby cyfr znaczących. Dzięki temu uzyskujemy informację
o niepewności pomiaru, co rzutuje na wyniki obliczeń opartych na danych pomiarowych
(czyli niepewność wyniku końcowego). Podczas zapisywania wyników należy kierować się
zasadą, że tylko ostatnia cyfra podana w liczbie może być niepewna.
Przykład 1. Określanie liczby cyfr znaczących
Aby określić liczbę cyfr znaczących należy zacząć odczytywać liczbę od lewej strony do
momentu, aż natrafimy na pierwszą cyfrę różną od zera. Ta cyfra i każda następna są cyframi
znaczącymi.
Oto kilka przykładów (w każdej liczbie wyróżniono cyfry znaczące pogrubioną czcionką):
Liczba: 0,231
0,470
0,0009 1000,3
2,031
2,310
102
Liczba cyfr znaczących:
3
4
4
3
3
1
5
1
Przykład 2. Wątpliwości przy określaniu liczby cyfr znaczących
Zastanówmy się jaka jest liczba cyfr znaczących w liczbach: 100, 1300, 2000 itp.
Na podstawie takiego zapisu możemy wnioskować, że cyfra zero jest cyfrą znaczącą, lub też
informuje ona jedynie o rzędzie podanej wielkości. W takich przypadkach liczba cyfr
znaczących zależy od dokładności z jaką odczytany został wynik pomiaru. Aby uniknąć
nieporozumień, liczby tego typu należy zapisywać w tzw. notacji naukowej. Poniżej podano
przykład zapisu liczby 1300 w notacji naukowej i wynikające z tego informacje
o rozdzielczości aparatury pomiarowej:
1,3·103
1,30·103
1,300·103
2
3
4
±0,1·103 (±100)
±0,01·103 (±10)
±0,001·103 (±1)
Notacja naukowa
Liczba cyfr znaczących
Dokładność odczytu
Przykład 3. Określenie niepewności ważenia
Niepewność masy zależy od rozdzielczości używanej wagi.
Jeśli na wyświetlaczu wagi widoczny jest wynik 0,150 g
(rozdzielczość wagi wynosi ±0,001 g) oznacza to, że
w rzeczywistości próbka waży od 0,149 do 0,151 g. Wynik ten jest
podany z dokładnością do trzech cyfr znaczących.
Poniżej podano przykłady zapisu wartości jednego kilograma wraz
z jego konsekwencjami:
Wynik ważenia
1 kg
1,0 kg
1,00 kg
1
2
3
Rozdzielczość wagi
±1 kg
±0,1 kg
±0,01 kg
Przedział rzeczywistej
masy próbki
0-2 kg
0,9-1,1 kg
0,99-1,01 kg
Liczba cyfr znaczących
Przykład 4. Niepewność określenia objętości cieczy za pomocą biurety
Objętość cieczy możemy odczytać z biurety z dokładnością do ±0,05 cm3. (Kreski podziałki są
zaznaczone co 0,10 cm3, ale jesteśmy w stanie dostrzec pozycję dna menisku znajdującego się
dokładnie pomiędzy dwiema kreskami podziałki).
4
5
Odczytana objętość titranta
wynosi 4,40 cm3. Wynik
podany jest z dokładnością
do trzech cyfr znaczących
(zero w tym przypadku jest
również cyfrą znaczącą).
22
23
2
Odczytana
z
biurety
objętość titranta wynosi
22,55 cm3. Wynik podany
jest z dokładnością do
czterech cyfr znaczących.
Autotest 1. Proszę określić liczbę cyfr znaczących w następujących liczbach:
a) 0,0201
b) 24,3
c) 5,010
d) 13
e) 10,05
f) 324,205
g) 0,324205
h) 3,00
1.2. Zasady zaokrąglania liczb
Konsekwencją niepewności danych doświadczalnych jest niepewność wyników
obliczeń opartych na tych danych. Działania matematyczne wykonujemy zwykle za pomocą
komputera lub kalkulatora, które to urządzenia podają często dużo więcej cyfr niż ma to sens
albo w sposób losowy „odcinają”/zaokrąglają ostatnie cyfry. Dlatego ważne jest poznanie
zasad poprawnego podawania wyników obliczeń, w tym również stosowania odpowiednich
zaokrągleń.
Ogólne zasady zaokrąglania liczb:
a) gdy ostatnia cyfra jest mniejsza od 5 wtedy wynik zaokrąglamy w dół (czyli pomijamy
ostatnią cyfrę) np. 2,63 zaokrąglamy do 2,6;
b) gdy ostatnia cyfra jest większa od 5 wtedy wynik zaokrąglamy w górę (czyli dodajemy
1 do cyfry znajdującej się przed cyfrą pomijaną) np. 2,36 zaokrąglamy do 2,4;
c) gdy ostatnia cyfra jest równa 5 wtedy wynik zaokrąglamy do najbliższej liczby parzystej
np. 2,35 zaokrąglamy do 2,4 natomiast 2,65 do 2,6.
Należy przy tym pamiętać, że zaokrąglenie wykonujemy tylko raz. Na przykład podając
liczbę 17,347 z dokładnością do trzech cyfr znaczących zaokrąglenie wykonujemy w jednym
etapie otrzymując wynik 17,3. Przeprowadzenie zaokrągleń w kilku etapach może prowadzić
do błędnego wyniku (np. zaokrąglenie liczby 17,347 do czterech cyfr znaczących daje 17,35,
gdy następnie zaokrąglimy tę liczbę do trzech cyfr znaczących otrzymamy błędny
wynik - 17,4). Ponadto jeśli prowadzimy obliczenia złożone z wielu etapów pośrednich
zaokrągleniu poddajemy tylko wynik końcowy.
Autotest 2. Proszę zapisać następujące liczby:
a) 1,251 w zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących,
b) 24,023 w zaokrągleniu do czterech cyfr znaczących,
c) 1,25 w zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących,
d) 0,23000 w zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących,
e) 1351 w zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących,
f) 1250 w zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących.
3
1.3. Obliczenia na liczbach przybliżonych
Prowadzenie obliczeń na liczbach przybliżonych wymaga zastosowania odpowiednich
zasad dotyczących dokładności podawania wyniku. Dokładność wyniku końcowego jest
zależna od dokładności danych oraz rodzaju działań matematycznych jakie wykonujemy.
Ponadto należy przestrzegać zasady by zaokrąglenia dokonywać dopiero przy podawaniu
ostatecznego wyniku obliczeń.
Dodawanie i odejmowanie
W przypadku dodawania i odejmowania, liczba miejsc dziesiętnych w uzyskanym wyniku
powinna być identyczna z najmniejszą liczbą miejsc dziesiętnych w wielkościach
poddawanych działaniu, np.
1,528 + 68,1 = 68,600
0,351 + 8,1 = 8,400
0,47 + 1003 = 1003
21 – 0,500 = 20
0,235 – 0,0357 = 0,199
43,85 – 4,3 = 39,6
Mnożenie i dzielenie
W przypadku mnożenia i dzielenia, liczba cyfr znaczących w uzyskanym wyniku powinna
być identyczna z najmniejszą liczbą cyfr znaczących w wielkościach poddawanych działaniu,
np.
8,1 · 1,528 = 12
13,588 · 0,1105 = 1,5010
0,00052 · 11,23 = 0,0058
3,220 / 22 = 0,15
10,15795 / 36,50 = 0,2783
11,23 / 0,00052 = 2,2·104
Potęgowanie i pierwiastkowanie
Przy podnoszeniu liczby do kwadratu lub sześcianu należy zachować w uzyskanym wyniku
tyle cyfr znaczących, ile znajdowało się w liczbie potęgowanej. Analogicznie przy
pierwiastkowaniu liczby należy podać wynik z dokładnością do tylu cyfr znaczących, ile
znajdowało się w liczbie pierwiastkowanej.
0,024 = 0,000014
√0,2 = 0,4
76 = 5,8 10
√5,269 = 2,295
Logarytmowanie
Liczba cyfr znaczących zawarta w uzyskanym wyniku logarytmowania powinna być taka
sama jak w liczbie logarytmowanej.
4
log 10,34 = 1,015
log 1,36 = 0,134
ln 0,467 = ˗ 0,761
ln 269 = 5,59
Obliczenia z wykorzystaniem liczb dokładnych
W obliczeniach matematycznych obok liczb przybliżonych (danych doświadczalnych) mogą
pojawić się również liczby dokładne lub liczby całkowite (np. liczba powtórzeń
miareczkowania lub współczynniki stechiometryczne z równania reakcji). W takich
przypadkach wynik obliczeń podajemy z uwzględnieniem przybliżenia stosowanego dla
danych doświadczalnych.
Złożone obliczenia
Zazwyczaj opracowanie wyników doświadczalnych wymaga wykonania szeregu działań
matematycznych mających na celu otrzymanie szukanej wielkości. W takich przypadkach
należy posługiwać się w trakcie obliczeń liczbami niezaokrąglonymi dokonując zaokrąglenia
do odpowiedniej liczby cyfr znaczących jedynie w trakcie podawania wyniku końcowego.
Przykład 5. Obliczenie wartości bardziej skomplikowanych równań
2,346 1,43
= 1,17449
1,17
3,215
54,3 0,23 1,45 = 54,6335 54,6
0,0067
√0,5689
1,34
0,023
1,34 = 1,34882
2,00 =
= 1,35
0,19528
0,20
Autotest 3. Proszę podać wyniki poniższych obliczeń z zaokrągleniem
do odpowiedniej liczby cyfr znaczących:
0,0086
c) 3,02
√4,56 0,0001
a)
36,40 0,34
0,20
b)
0,234
0,46
d) √5 0,035
3 0,40
2. Zasady logarytmowania
Znajomość zasad logarytmowania jest niezbędna do prowadzenia obliczeń
chemicznych (np. obliczania pH, pOH lub potencjału elektrody w warunkach innych niż
standardowe), dlatego w tym opracowaniu przypominamy podstawowe informacje dotyczące
tego tematu.
5
) nazywamy taką potęgę n, do której należy
Logarytmem o podstawie b z liczby a (
podnieść liczbę b by otrzymać wartość a czyli
=
⇒
=
.
Logarytm dziesiętny to logarytm z dowolnej liczby a o podstawie b = 10 (zwykle logarytm
dziesiętny zapisujemy
). Wynika z tego, że:
0,1 =
10
=
1=
10
= 0,
10 =
10
1,
=1
10 = .
czyli
Logarytm naturalny jest logarytmem, którego podstawą jest liczba Eulera e (w przybliżeniu
e ≈ 2,718).
. Pomiędzy logarytmem dziesiętnym,
zapisujemy zwyczajowo jako
a naturalnym istnieje zależność
= 2,303
.
W praktyce w celu obliczenia wartości logarytmu danej liczby posługujemy się
kalkulatorem, dlatego pominiemy tutaj informacje na temat obliczania wartości logarytmu
z użyciem tablic. Natomiast podczas przekształcania równań zawierających niewiadomą pod
logarytmem przydatne okażą się wymienione poniżej właściwości logarytmów:
a) logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów poszczególnych liczb:
=
,
b) logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika:
=
,
c) logarytm potęgi jest równy iloczynowi wykładnika potęgowego przez logarytm liczby
potęgowanej:
=
.
3. Niepewności pomiaru
3.1. Rodzaje niepewności pomiaru
Wiele, nieraz nieprzewidzianych przez eksperymentatora czynników rzutuje na wyniki
prowadzonych pomiarów. Z tego powodu zalecane jest wykonanie kilku powtórzeń pomiaru
danej wielkości (np. analizę miareczkową
powtarzamy co najmniej trzykrotnie)
i zastosowanie w późniejszych obliczeniach średniej arytmetycznej z uzyskanych danych.
Takie postępowanie pozwala również wyeliminować wyniki obarczone tzw. błędem grubym
(nie bierzemy ich pod uwagę podczas obliczania średniej z danych doświadczalnych), które
znacznie odbiegają od pozostałych i powstają najczęściej na skutek nieuwagi obserwatora lub
6
nagłej zmiany warunków pomiarowych. Wszystkie pozostałe dane również są obciążone
pewnymi niepewnościami. Niepewności te możemy podzielić na dwie grupy:
a) niepewności przypadkowe powstają w sposób nieprzewidywalny w trakcie
prowadzenia każdego pomiaru i wynikają z wpływu różnych, przypadkowych
czynników (np. przepływ powietrza wokół urządzenia, niewielkie odstępstwa układu
pomiarowego od założonego „idealnego” modelu). Niepewności przypadkowe różnią
się co do znaku, dlatego wykonanie kilku powtórzeń analizy oraz obliczenie średniej
z wyników umożliwia ich wyeliminowanie;
b) niepewności systematyczne są charakterystyczne dla zastosowanej metodologii
pomiaru. Ich wartość jest stała co do znaku i wartości, przez co otrzymany wynik
oznaczenia różni się zawsze od wartości rzeczywistej o taką samą wartość. Dlatego
bardzo
ważne
jest
wyeliminowanie
źródła
niepewności
systematycznych
wynikających między innymi ze stosowanych przyrządów (np. zła kalibracja
przyrządów pomiarowych, nieodpowiednia rozdzielczość i zakres pomiarowy
stosowanej aparatury, rozkalibrowane szkło laboratoryjne), stosowanej metody
(np. brak stechiometryczności reakcji, na której oparte jest oznaczenie; zastosowanie
nieodpowiedniego wskaźnika punktu końcowego miareczkowania; stosowanie
nieodpowiedniego poziomu teorii do prowadzenia obliczeń opierających się na
wynikach pomiarów), czynników zewnętrznych (np. temperatura i wilgotność
powietrza) oraz czynników indywidualnych (np. wada wzroku eksperymentatora
uniemożliwiająca właściwe odczytanie wyniku z podziałki lub wychwycenie zmiany
barwy).
3.2. Ilościowe sposoby wyrażania niepewności pomiaru
Jeśli znana jest nam rzeczywista wartość szukanej wielkości (np. liczba gramów
badanej substancji w próbce), to możemy wówczas wyrazić ilościowo wartość niepewności
przeprowadzonego oznaczenia. Można to zrobić posługując się następującymi pojęciami:
a) niepewność bezwzględna (błąd bezwzględny) stanowi różnicę pomiędzy wartością
rzeczywistą (
), a wartością zmierzoną eksperymentalnie ( ) czyli
= |
|,
b) niepewność względna (błąd względny) stanowi iloraz różnicy między wartością
rzeczywistą (
) oraz zmierzoną ( ) przez wartość rzeczywistą i wyrażona jest
w procentach czyli:
=
|
|
|
|
100
=|
7
|
100 .
Natomiast jeśli rzeczywista wartość szukanej wielkości pozostaje nieznana, wtedy
niepewność wyniku końcowego szacowana jest na podstawie niepewności każdej
ze zmiennych eksperymentalnych.
4. Zasady graficznego przedstawiania wyników
4.1. Sporządzanie wykresów
Bardzo często zestawienie wyników pomiarów w tabeli bywa niewystarczające i jest
uzupełniane o różne typy prezentacji graficznej (np. wykresy dwu- lub trójwymiarowe,
diagramy, itp.). Zastosowanie takiej formy umożliwia czytelne przedstawienie danych
eksperymentalnych, a także ułatwia ich analizę.
Obecnie mamy do dyspozycji wiele programów komputerowych umożliwiających
szybkie wykonanie wykresów, bez konieczności rysowania ich na papierze milimetrowym.
Musimy jednak pamiętać, by wprowadzane do programu dane były rzetelnie wybrane
(to znaczy obarczone jak najmniejszą niepewnością lub błędami pomiarowymi). Ponadto,
automatyczne rysowanie wykresów przez program nie zwalnia nas z dbałości o czytelność
przedstawianych zależności.
Przykład 6. Uwagi na temat formy graficznej wykresu punktowego.
 Tytuł wykresu umieszczamy pod wykresem.
 Osie podpisujemy zamieszczając nazwę danej
0,0040
0,0035

y (jednostka)
0,0030
0,0025
0,0020


0,0015
0,0010
0,0005
0,0000
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00


x (jednostka)

Wykres. Przykładowa zależność y od x.
8
zmiennej i jej jednostkę (podaną w nawiasie
okrągłym lub po przecinku).
Zakres osi głównych dobieramy stosując
następującą zasadę: prostokąt utworzony przez
osie i zawierający w swoim wierzchołku
najbardziej skrajny punkt danych powinien
zajmować co najmniej ¾ obszaru wykresu.
Osie powinny przecinać się w punkcie zero (0;0).
Jednostki osi powinny umożliwiać odczytanie
wartości zmiennej, ale jednocześnie nie powinny
być narysowane zbyt „gęsto”.
Unikamy stosowania linii siatki.
Kolory na wykresie stosujemy jedynie w celu
wyróżnienia pewnych informacji – nie powinny
one pełnić funkcji „dekoracyjnej”.
Unikamy stosowania legendy na wykresach jeśli
nie jest ona przydatna.
Przykład 7. Wykonanie wykresu punktowego za pomocą arkusza kalkulacyjnego
Uwaga: Wykonanie wykresu zaprezentowano korzystając z programu Microsoft Exel (z pakietu Microsoft
Office 2007 lub nowszego), jednak bardzo podobny sposób postępowania można również zastosować używając
arkusza kalkulacyjnego OpenOfficeCalc z bezpłatnego pakietu Open Office)
1. Po otwarciu arkusza kalkulacyjnego należy wprowadzić
dane (a więc wartości x i y), zwracając uwagę na separator
dziesiętny
jakim
się
posługujemy
(w
niektórych
programach jest to znak ”.” zamiast ”,”).
2. Następnie należy wybrać z zakładki Wstawianie /
Wykresy / Punktowy / Punktowy tylko ze znacznikami
(w arkuszu pojawi się puste pole wykresu).
3. W kolejnym etapie należy kliknąć lewym przyciskiem myszy w pole wykresu (na górnym
pasku arkusza pojawią się dodatkowe zakładki), a następnie wybrać zakładkę Narzędzia
wykresów / Projektowanie / Zaznacz dane.
4. W otwartym oknie dialogowym należy wcisnąć przycisk Dodaj serię danych.
5. W nowo otwartym oknie należy kliknąć
pole Wartości X serii i zaznaczyć w arkuszu
kalkulacyjnym zakres liczb, które będą
występować w roli argumentów x.
6.
Następnie
należy
kliknąć
w
pole
Wartości Y serii i postępować analogicznie
jak w punkcie 5.
7. Wprowadzone dane należy potwierdzić
dwukrotnie przyciskiem OK.
8. Edytowanie otrzymanego wykresu jest możliwe za pomocą opcji dostępnych
w Narzędziach Wykresów.
9
4.2. Dopasowanie prostej do punktów pomiarowych
Naniesienie punktów na wykres stanowi dopiero wstęp do analizy wyników. W wielu
przypadkach konieczne jest dopasowanie odpowiednej krzywej lub linii prostej do większości
punktów pomiarowych. Ponadto możemy wyznaczyć zależność jaką powiązane są ze sobą
dane eksperymentalne (czyli podać równanie funkcji będącej najlepszym odzwierciedleniem
danych eksperymentalnych). Zależności te mogą przybierać postać liniową, jednak czasem
przebieg zaznaczonych na wykresie punktów jest zbliżony np. do funkcji wykładniczej,
logarytmicznej lub wielomianowej.
Dzięki zastosowaniu odpowiednich programów komputerowych, dopasowanie
krzywej lub prostej do punktów eksperymentalnych oraz wyznaczenie jej równania nie
stanowi dużego wyzwania. Programy te stosują najczęściej algorytm statystyczny nazwany
metodą najmniejszych kwadratów (natomiast w menu programu należy odnaleźć polecenie
„Wstaw linię trendu”, „Regresja liniowa” lub podobne). W przypadku wykresów
sporządzanych ręcznie dopasowanie prostej do punktów pomiarowych jest najczęściej
wykonywane metodą „na oko”.
Podczas wykonywania regresji nie bierzemy pod uwagę punktów odbiegających od
trendu wyznaczonego przez pozostałe znajdujące się w sąsiedztwie. Odrzucenie danych
obarczonych zbyt dużą niepewnością (lub błędem grubym) umożliwia dokładniejsze
dopasowanie wykresu linii trendu do pozostałych punktów. O precyzji dopasowania prostej
informuje nas wartość parametru R2, która jest obliczana przez program (im R2 jest bliższy
jedności tym dokładniejsze jest dopasowanie).
Przykład 8. Wykres i równanie funkcji liniowej
y = ax + b jest równaniem
prostej zapisanym w postaci
kierunkowej gdzie:
 a to tzw. współczynnik
kierunkowy,
który
jest
równy tangensowi kąta α
pomiędzy prostą i osią x,
 b to tzw. współczynnik
przesunięcia jest rzędną
punktu, w którym prosta
przecina oś x.
y
y = ax + b
a = tgα
b
α
x
10
Przykład 9. Wyznaczenie równania prostej za pomocą arkusza kalkulacyjnego
Uwaga: Równanie prostej wyznaczono korzystając z programu Microsoft Exel (z pakietu Microsoft Office 2007 lub
nowszego), jednak bardzo podobny sposób postępowania można również zastosować używając arkusza kalkulacyjnego
z bezpłatnego pakietu Open Office)
y = 0.0005x + 0.0005
R² = 0.99
0,0040
0,0035
y (jednostka)
0,0030
0,0025
0,0020
0,0015
0,0010
0,0005
0,0000
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
x (jednostka)
1. Po sporządzeniu wykresu punktowego
oceniamy
czy
położenie
któregoś
z punktów nie odbiega znacznie od
tendencji wykazywanej przez położenie
pozostałych. Jeśli tak to ten punkt należy
usunąć z danych i wykresu (w przypadku
sporządzonego w Przykładzie 1 wykresu
wykluczamy punkt o współrzędnych
(4,00; 0,0035).
2. Następnie należy wybrać: Narzędzia
Wykresów / Układ / Linia trendu / Więcej
opcji linii trendu.
3. W otwartym oknie wybieramy: Typ
trendu/regresji: Liniowy oraz zaznaczamy
opcje: Wyświetl równanie na wykresie
i Wyświetl wartości R-kwadrat na
wykresie.
Adresy przydatnych stron internetowych:
1. Niepewności pomiarowe w analizie chemicznej:
http://www2.chemia.uj.edu.pl/chemanalityczna/dydaktyka/analitycznaI_pliki/Niepewno%C5
%9B%C4%87%20pomiar%C3%B3w%20analitycznych.pdf (dostęp 4.02.2016)
2. Wskazówki dotyczące graficznej prezentacji wyników:
http://libraryassessment.org/bm~doc/workshop_lyons_ray.pdf (dostęp 4.02.2016)
http://www.mas.ncl.ac.uk/~ndah6/teaching/MAS1403/notes_chapter2.pdf (dostęp 4.02.2016)
3. Bezpłatny pakiet Open Office:
http://www.openoffice.org/pl/product.download.html (dostęp 4.02.2016)
Odpowiedzi: Autotest 1. a) 3; b) 3; c) 4; d) 2; e) 4; f) 6; g) 6; h) 3;
Autotest 2. a) 1,3; b) 24,02, c) 1,2; d) 0,230; e) 1400; f) 1,2·103;
Autotest 3. a) 11; b) 0,48; c) -0,17; d) 2.
11