AY = BAY •= BAY += BAY •=

Funkcja
logiczna
NOT
AND
OR
NAND
IEEE
distinctiveshape
IEEE
rectangularshape
WyraŜenie
algebraiczne
tabelka
zerojedynkowa
Y=A
Y = A •B
Y = A +B
Y = A •B
A
Y
0
1
1
0
A
B
Y
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
A
B
Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
A
B
Y
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
NOR
XOR
XNOR
Y = A +B
Y = A ⊕B
( Y = AB + AB)
Y = A ⊕B
( Y = AB + AB)
A
B
Y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
A
B
Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
A
B
Y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
KaŜdej sieci przełączającej odpowiada wyraŜenie algebry Boole’a lub zbiór takich
wyraŜeń. Rodzaj wyraŜeń zaleŜy od budowy sieci i od elementów podstawowych z
których jest ona zbudowana. Jedną z klas opisujących sieci zerojedynkowe są
alternatywne wyraŜenia normalne (postać normalna sumy).
Alternatywne wyraŜenia normalne.
Alternatywne wyraŜenie normalne jest dowolną sumą iloczynów zmiennych lub ich
negacji o tej własności, Ŝe w Ŝadnym iloczynie nie występują wielokrotnie te same
czynniki, a w sumie nie ma powtarzających się składników. Pojęcie „iloczynu” moŜe
oznaczać tylko jeden czynnik (zmienną lub jej negację), „suma” moŜe zawierać tylko
jeden składnik, tzn. pojedyncze iloczyny.
Przykłady alternatywnych wyraŜeń normalnych:
x 1 x 2 + x 2 x 3 , x 1 x 2 x 3 + x 2 x 4 , x 1 + x 2 + x 4 , x1 x 3 , x 3 , x 2
poniŜsze wyraŜenia nie są wyraŜeniami normalnymi:
x1 x 2 + x 2 x 4 + x 2 x 4
(występują dwa jednakowe składniki w sumie),
x1 x 2 + x 2 x 3 x 3 (powtarzają się czynniki w iloczynie).
Postać wyraŜeń normalnych wynika bezpośrednio z toŜsamości logicznych w algebrze
Boole’a. Iloczyny, które nie są toŜsamościowo równe zeru, mogą mieć co najwyŜej
n czynników (n - liczba zmiennych). Iloczyn róŜny od wartości stałej, który zawiera
dokładnie n czynników jest nazywany iloczynem pełnym. Cechą charakterystyczną
iloczynu pełnego jest to, Ŝe jest równy 1 dla tylko jednego ciągu wartości zmiennych.
Np. dla n = 4:
x1 x 2 x 3 x 4 jest iloczynem pełnym, który jest równy 1, gdy: x1 = x 2 = x 4 = 1 ∧ x 3 = 0 .
Jeśli oznaczymy ciąg zmiennych jednym symbolem x = x 1, x 2 , x 3 , x 4 , moŜna
stwierdzić Ŝe iloczyn jest równy jeden, gdy: x = 1101.
Jeśli znamy postać ciągu zerojedynkowego moŜemy zapisać iloczyn,
np. gdy x = 0110 iloczyn ma postać
x1 x 2 x 3 x 4 .
Iloczyn, zawierający n-1 czynników jest równy 1 dla dwóch róŜnych wartości ciągu x.
Np. dla n=4
iloczyn x 2 x 3 x 4 jest równy 1 gdy x 2 = x 4 = 1 ∧ x 3 = 0 , wartość zmiennej x1 nie ma
znaczenia poniewaŜ nie występuje ona w iloczynie.
Ciąg zmiennych moŜna zapisać: x = -101.
Kreska oznacza, Ŝe wartości zmiennych w określonym miejscu ciągu x są bez
znaczenia (mogą przyjmować wartość 0 lub 1). Zatem po podstawieniu 0 lub 1 do ciągu
x=
-101
otrzymamy
dwie
kombinacje
dla
których
iloczyn
jest
równy
1:
0101 i 1101.
Iloczynom zawierającym n-2 czynniki odpowiadają ciągi z dwiema kreskami (cztery
kombinacje zmiennych wejściowych dają wartość ciągu = 1).
Np. iloczynowi
x 2 x 3 (dla n=4) będzie odpowiadał ciąg -10- (kombinacje: 0100, 0101,
1100, 1101).
Uogólniając powyŜsze moŜna stwierdzić, Ŝe dowolnemu alternatywnemu wyraŜeniu
normalnemu, odpowiada zbiór wszystkich ciągów, odpowiadających składnikom
wyraŜenia.
Np. wyraŜeniu:
x1 x 2 + x1 x 2 x 4 + x1 x 3 x 4 + x1 odpowiada zbiór ciągów:
10 – –, 11 – 1, 1 – 0 0 , 0 – – –.
Oczywiście mając zbiór ciągów moŜna zapisać odpowiadające mu wyraŜenie
alternatywne:
Np. zbiorowi:
1 – 0 –, 0 – 1 1, 1 0 0 0, 0 – 1 – odpowiada wyraŜenie x1 x 3 + x1x 3 x 4 + x1 x 2 x 3 x 4 + x1x 3 .
Tablicę zerojedynkową wyraŜenia w = x1 x 3 + x 4 + x1 x 2 x 4 + x1 x 3 i wszystkich jego
składników przedstawiono poniŜej:
iloczyny
x1
x2
x3
x4
x1 x 3
x4
x1 x 2 x 4
x1x 3
w
100–
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0–1–
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
ciągi
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1–0–
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
–––1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Zamiast zapisu w tabelkach zerojedynkowych stosuje się zapis w tzw. Tabelach
Karnaugh’a. Krawędzie tabel Karnaugh’a opisane są przy pomocy kodu Graya
(refleksyjnego), co pozwala na łatwe znajdywanie 1 dla określonego iloczynu
zmiennych, kombinacje, w których tylko jedna zmienna ma inną wartość są swoimi
sąsiadami.
X1
X1 X2
0
X2
1
00
X3
0
0
1
1
n=2
01
11
n=3
10
X1 X2
X3 X4
X1 X2
00
01
11
10
X3 X4X5
00
000
01
001
11
011
10
010
n=4
00
01
11
10
110
111
101
100
n=5
Przykład zapisu funkcji zerojedynkowej w tabelce zerojedynkowej i w tabeli Karnaugh’a:
Koniunkcyjne wyraŜenia normalne.
Koniunkcyjne wyraŜenie normalne jest dowolnym iloczynem sum zmiennych lub ich
negacji o tej własności, Ŝe w Ŝadnej sumie nie występują jednakowe składniki, a w
iloczynie nie ma powtarzających się czynników.
Przykłady koniunkcyjnych wyraŜeń normalnych:
( x1 + x 2 )( x 2 + x 3 ) , ( x1 + x 2 + x 3 )( x 2 + x 4 ) , x1 + x 2 + x 4 , x1 x 3 , x 3 , x 2
poniŜsze wyraŜenia nie są wyraŜeniami normalnymi:
( x 1 + x 2 )( x 2 + x 4 )( x 2 + x 4 ) (występują dwa jednakowe czynniki w iloczynie),
( x1 + x 2 )( x 2 + x 3 + x 3 ) (powtarzają się składniki sumy).
Sumy, które nie są toŜsamościowo równe 1, mogą mieć co najwyŜej n składników
(n - liczba zmiennych). Suma róŜna od wartości stałej, która zawiera dokładnie n
składników jest nazywana sumą pełną. Cechą charakterystyczną sumy pełnej jest to,
Ŝe jest równa 0 dla tylko jednego ciągu wartości zmiennych.
Np. dla n = 4:
x1 + x 2 + x 3 + x 4 jest sumą pełną, który jest równy 0, gdy: x 1 = x 2 = x 4 = 0 ∧ x 3 = 1 .
Jeśli oznaczymy ciąg zmiennych jednym symbolem x = x1, x 2 , x 3 , x 4 , moŜna stwierdzić
Ŝe suma jest równa 0, gdy: x = 0 0 1 0.
Jeśli znamy postać ciągu zerojedynkowego moŜemy zapisać sumę,
np. gdy x = 0 1 1 0 suma ma postać x1 + x 2 + x 3 + x 4 .
Podobnie jak w przypadku wyraŜeń alternatywnych moŜna stwierdzić, Ŝe dowolnemu
koniunkcyjnemu
wyraŜeniu
normalnemu,
odpowiadających czynnikom iloczynu.
odpowiada
zbiór
wszystkich
ciągów,
Np. wyraŜeniu:
( x1 + x 2 )( x1 + x 2 + x 4 )( x1 + x 3 + x 4 )x1 odpowiada zbiór ciągów:
0 1 – –, 0 0 – 0, 0 – 1 1 , 1 – – –.
Oczywiście mając zbiór ciągów moŜna zapisać odpowiadające mu wyraŜenie
koniunkcyjne:
Np. zbiorowi:
0 – 1 –, 1 – 0 0, 0 1 1 1, 1 – 0 – odpowiada wyraŜenie
( x1 + x 3 )( x1 + x 3 + x 4 )( x1 + x 2 + x 3 + x 4 )( x1 + x 3 ) .
Tabelę zerojedynkową wyraŜenia w = ( x1 + x 3 )x 4 ( x1 + x 2 + x 4 )( x1 + x 3 ) i wszystkich jego
składników przedstawiono poniŜej:
sumy
x1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
x2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
x3
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
x4
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x1 + x 3
x4
x1 + x 2 + x 4
x1 + x 3
w
ciągi
0–1–
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
–––0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
011–
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1–0–
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
W przypadku wyraŜeń alternatywnych normalnych stanem aktywnym w sieci opisanej takimi
wyraŜeniami są jedynki. Jeśli sieć jest opisana przy pomocy wyraŜeń koniunkcyjnych stanem
aktywnym jest zero.