Efekty topologiczne i sztuczne pola cechowania w zimnych gazach

Transkrypt

Uniwersytet Jagielloński
W Krakowie
Wydział Fizyki, Astronomii
i Informatyki Stosowanej
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Efekty topologiczne i sztuczne pola
cechowania w zimnych gazach atomowych
Małgorzata Mochol-Grzelak
Praca doktorska
Promotor pracy: Prof. dr hab. Krzysztof Sacha
Kraków, 2016
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński
Oświadczenie
Ja niżej podpisana Małgorzata Mochol-Grzelak (nr legitymacji: 1014624) doktorantka
Wydziału Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego oświadczam, że przedłożona przeze mnie rozprawa doktorska pt. „Efekty topologiczne i sztuczne
pola cechowania w zimnych gazach atomowych” jest oryginalna i przedstawia wyniki badań wykonanych przeze mnie osobiście, pod kierunkiem prof. dra hab. Krzysztofa Sachy.
Pracę napisałam samodzielnie.
Oświadczam, że moja rozprawa doktorska została opracowana zgodnie z Ustawą o prawie autorskim i prawach pokrewnych z dnia 4 lutego 1994 r. (Dziennik Ustaw 1994 nr 24
poz. 83 wraz z późniejszymi zmianami).
Jestem świadoma, że niezgodność niniejszego oświadczenia z prawdą ujawniona w dowolnym czasie, niezależnie od skutków prawnych wynikających z ww. ustawy, może spowodować unieważnienie stopnia nabytego na podstawie tej rozprawy.
Kraków, dnia 25.03.2016
..........................................................
podpis doktorantki
Streszczenie
W pracy doktorskiej poruszana jest tematyka efektów topologicznych oraz sztucznych
pól cechowania, które można obserwować i badać w zimnych gazach atomowych. W
pierwszej części pracy zaprezentowany został problem ciemnego solitonu (będącego topologicznym defektem w jednym wymiarze) w kondensacie Bosego-Einsteina poddanego
wpływowi zewnętrznego potencjału przypadkowego. Klasyczne podejście pozwoliło nam
wysnuć wniosek, że dla słabego potencjału deformacja ciemnego solitonu jest słabym efektem, dzięki czemu przechodząc do opisu kwantowego, możemy pominąć sprzężenie pomiędzy solitonem a podukładem fononów. Traktując bowiem soliton kwantowo, jego położenie
opisane jest rozkładem prawdopodobieństwa. Okazuje się jednak, że umieszczając kwantowy soliton w potencjalne przypadkowym, możliwe jest zaobserwowanie lokalizacji Andersona. Kolejnym zagadnieniem przedstawionym w pracy jest generacja sztucznego pola
magnetycznego w chmurze zimnych atomów za pomocą fali zanikającej, która powstaje w
wyniku całkowitego wewnętrznego odbicia w pryzmacie. Pierwsze obliczenia przeprowadziliśmy dla pojedynczej fali płaskiej, która jednak stanowi pewną idealizację prawdziwej
wiązki laserowej. W związku z tym rozszerzyliśmy analizę o rzeczywistą wiązkę gaussowską. W eksperymencie z kondensatem Bosego-Einsteina obecność pola magnetycznego
objawia się powstaniem wirów w chmurze atomowej, które są kwantowymi odpowiednikami ruchu po okręgu cząstki naładowanej w polu magnetycznym. Dla realistycznych
parametrów eksperymentalnych wyznaczyliśmy ich liczbę, a następnie przeprowadziliśmy
symulacje numeryczne, które potwierdziły nasze szacowania. Okazuje się, że efekty sztucznego pola magnetycznego można również zaobserwować w zimnych gazach atomowych,
których temperatura jest zbyt wysoka dla kwantowej degeneracji. Sygnaturą sztucznych
pól może być w tym przypadku przekaz pędu w kierunku prostopadłym do prędkości atomów, będący wynikiem działania sztucznej siły Lorentza. Numeryczne symulacje trajektorii pokazały, że atomy mogą być odbijane od powierzchni pryzmatu właśnie dzięki tej sile.
Jeśli sztucznego pola nie ma, wszystkie atomy spadają na powierzchnię. Ostatni rozdział
pracy poświęcony jest kwantowemu efektowi Halla w czterech wymiarach przestrzennych.
Analogicznie do przypadku dwuwymiarowego, pasma energetyczne scharakteryzowane są
niezmiennikiem topologicznym, w tym przypadku drugą liczbą Cherna. W pracy przedstawiamy efektywny algorytm do jej wyznaczenia oparty na metodach teorii cechowania na
sieci. Ponadto proponujemy szkic eksperymentalnej realizacji z udziałem zimnych gazów
atomowych umieszczonych w trójwymiarowej optycznej sieci Bravais z bazą.
Abstract
In the thesis we consider topological effects and artificial gauge potentials that can be
observed and investigated in ultracold atomic gases. In the first part of the thesis we present
a problem of a dark soliton (that is a topological defect in one dimension) in the BoseEinstein condensate that is affected by the external random potential. Classical approach
allows us to conclude that the dark soliton deformation due to the weak external potential is
very weak, so that in the quantum approach we can omit the coupling between the soliton
and the phonon subsystem. In the quantum description the soliton position degree of
freedom becomes an operator, so that its values are determiend according to the probability
distribution. It turns out, that it is possible to observe Anderson localization when the
quantum soliton is placed in a disorder potential. The next issue that is considered in
the thesis is the generation of the artificial magnetic field in the ultracold atomic cloud
by the evanescent wave that occurs due to the total internal reflection in the prism. In
the first step we calculate the artificial magnetic field in the plan wave approximation
of the laser beam. Such a simplification allows us to obtain analytical results, but is
just an idealization of the real laser beam. Therefore we extent our analysis to the real
gaussian profile of the beam. In the experiment with the Bose-Einstein condensate the
presence of the artificial magnetic field appears as vortices in the cold atomic cloud that
are the quantum equivalent of the circular motion of a charged particle in magnetic field.
For the realistic experimental parameters we estimate their number and make numerical
simulations to confirm our predictions. It turns out that effects of the artificial magnetic
field can be observed in cold atomic gases whose temperature is higher than for the quantum
degeneracy. The signature of the magnetic field existence can be the momentum transfer
in the direction perpendicular to the atomic velocity that comes from the artificial Lorentz
force. Numerical simulations of the trajectories show that atoms can be reflected from the
prism surface due to the existence of the Lorentz force. In the absence of the magnetic field,
all atoms are lost on the dielectric surface. The last chapter is devoted to the quantum
Hall efect in four spatial dimensions. Analogously to the two dimensional case, the energy
bands are characterized by the topological invariant, the so called second Chern number.
In the thesis we present effective algorithm to calculate such a number. It is based on the
methods well-known in the Lattice Gauge Theory. Moreover we propose a sketch of the
experimental realization of the four dimensional Hall model in the ultracold atomic gases
placed in the three dimensional optical Bravais lattice with the base.
Skróty
1D
Jeden wymiar
2D
Dwa wymiary
3D
Trzy wymiary
4D
Cztery wymiary
BZ
Strefa Brillouina
FHS
Algorytm Fukui-Hatsugai-Suzuki
Spis treści
Wstęp
1
1 Wprowadzenie
3
1.1
1.2
Zimne gazy atomowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Teoria kondensacji w przybliżeniu średniego pola . . . . . . . . . . .
4
Wprowadzenie do zjawisk topologicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1
Defekty topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.2
Solitony jako defekty topologiczne w 1D . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3
Wiry jako defekty topologiczne w 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4
Izolatory topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym
2.1
23
Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1
Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach Bogoliubova . 24
2.1.2
Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach potencjału
Pöschl–Tellera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3
Lokalizacja Andersona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2
Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny . . . . . . . . . 31
2.3
Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy . . . . . . . . . 33
2.4
2.3.1
Efektywny hamiltonian
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2
Lokalizacja Andersona ciemnego solitonu . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Sztuczne pola cechowania w zimnych gazach atomowych
3.1
41
Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1
Oddziaływanie atomów ze światłem
3.1.2
Twierdzenie Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
SPIS TREŚCI
3.2
SPIS TREŚCI
3.1.3
Stany ubrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.4
Adiabatyczny ruch atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.5
Faza Berry’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.6
Związek pomiędzy fazą Berry’ego a sztucznymi polami cechowania . 49
3.1.7
Fala zanikająca i jej własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1
Opis układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2
Przybliżenie adiabatyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3
Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego pojedynczą
falą zanikającą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4
Topologiczne wiry jako konsekwencja istnienia sztucznego pola magnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3
Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem
gaussowskim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1
Opis układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.2
Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego falą zanikającą z profilem gaussowskim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.3
3.4
3.5
Symulacje numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Lustro dla zimnych gazów atomowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.1
Stany ubrane dla konfiguracji Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.2
Opis eksperymentu z zimnymi gazami atomowymi . . . . . . . . . . 70
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Kwantowy efekt Halla w 4D
4.1
4.2
79
Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.1
Cząstka w potencjale periodycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.2
Sieć kwadratowa w polu magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.3
Przewodność Halla i liczby Cherna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.4
Uogólnienie kwantowego efektu Halla na wyższe wymiary . . . . . . 89
Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.1
Efektywny algorytm wyznaczania pierwszej liczby Cherna w opaciu
o teorię cechowania na sieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.2
Efektywny algorytm wyznaczania drugiej liczby Cherna . . . . . . . 94
ii
SPIS TREŚCI
4.2.3
SPIS TREŚCI
Przykłady zastosowania efektywnego algorytmu do wyznaczania drugiej liczby Cherna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3
4.4
Realizacja doświadczalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.1
Wprowadzenie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.2
Opis układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.3
Wstępne wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.4
Perspektywy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Podsumowanie
115
Bibliografia
118
Podziękowania
127
iii
Wstęp
Praca podzielona jest na następujące części:
Rozdział 1, w którym przedstawione są wiadomości wstępne stanowiące tło dla analizowanych w pracy problemów. Pierwszy punkt stanowi wprowadzenie w świat zimnych
gazów atomowych, a także przedstawia motywację prowadzenia badań w tym zakresie.
Następnie przybliżenie średniego pola daje nam skuteczne narzędzie do efektywnego studiowania zjawisk zachodzących w kondensacie Bosego-Einsteina. Wprowadzenie do zjawisk
topologicznych natomiast spina klamrą tematykę pracy, dotyczącą ciemnych solitonów,
sztucznych pól cechowania oraz czterowymiarowego kwantowego efektu Halla.
Rozdział 2, który prezentuje wyniki uzyskane podczas magisterium oraz ich kontynuację w pierwszych miesiącach studiów doktoranckich. Punkty wprowadzające stanowią
krótkie streszczenie wyników otrzymanych w Pracy Magisterskiej, a następnie przedstawione jest ich konkretne zastosowanie w analizie ciemnego solitonu w potencjale przypadkowym. Rozważania podzielone są na dwie części: opis klasyczny, podczas którego
analizujemy zachowanie klasycznego solitonu pod wpływem zewnętrznego potencjału przypadkowego, oraz opis kwantowy, który prowadzi do lokalizacji Andersona ciemnego solitonu
w potencjale przypadkowym.
Rozdział 3, który jest jednym z najważniejszych rozdziałów pracy. Przedstawiona jest
w nim metoda generacji sztucznego pola magnetycznego falą zanikającą, która powstaje
w wyniku całkowitego wewnętrznego odbicia w pryzmacie. Przedstawiony jest mechanizm
działania przybliżenia adiabatycznego, który stanowi bazę dla naszej metody oraz rezultaty
obejmujące zarówno analityczne wzory na postać pola magnetycznego, jak i wyniki symulacji numerycznych. W rozdziale przedstawiona jest również propozycja eksperymentu z
niezdegenerowanymi zimnymi gazami atomowymi.
Rozdział 4 wprowadzający w tematykę czterowymiarowego efektu Halla. W pracy
przedstawiamy efektywny algorytm do wyznaczania drugiej liczby Cherna, a więc niezmiennika topologicznego charakteryzującego pasma czterowymiarowego układu, oparty
na metodach teorii cechowania na sieci. Ponadto proponujemy szkic eksperymentalnej
1
Wstęp
realizacji najprostszego topologicznego izolatora z udziałem zimnych gazów atomowych
umieszczonych w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą.
Autorka uzyskała środki finansowe na przygotowanie rozprawy doktorskiej z Narodowego Centrum Nauki w ramach finansowania stypendium doktorskiego ETIUDA na podstawie decyzji numer DEC-2014/12/T/ST2/00325. Praca doktorska została napisana na
podstawie wyników badań projektu PRELUDIUM finansowanego ze środków Narodowego
Centrum Nauki przyznanych na podstawie decyzji numer DEC-2012/05/N/ST2/02745.
2
Rozdział 1
Wprowadzenie
1.1
Zimne gazy atomowe
Pierwsze eksperymentalne realizacje kondensatu Bosego-Einsteina w 1995 roku [1–3]
pozwoliły na wgląd do świata kwantowej materii oraz stworzyły podwaliny pod jedną z
najbardziej dynamicznie rozwijających się obecnie dziedzin fizyki - zimnych gazów atomowych. Okazuje się, że atomy o całkowitym spinie (bozony) schłodzone do temperatur
bliskich zeru bezwzględnemu obsadzają makroskopowo stan podstawowy pułapki, tj. prawie wszystkie znajdują się w tym samym stanie jednocząstkowym, co odpowiada zjawisku
kondensacji Bosego-Einsteina. Dzięki temu, że atomy zachowują się kolektywnie jesteśmy
w stanie modelować i badać zjawiska kwantowe w makroskali. To nie jedyna zaleta ultrazimnych gazów atomowych. W niskich temperaturach zaczynają mieć również znaczenie
fale materii, zapostulowane przez de Broglie’a w 1924 roku [4]. Zgodnie z jego hipotezą,
√
każdy obiekt może być widziany jako cząstka oraz jako fala o długości λdB = h/ 2πmkB T ,
która zależy od masy obiektu m, stałej Boltzmanna kB , temperatury T oraz stałej Plancka
h. W większości przypadków fale materii są bardzo trudne do zaobserwowania, ponieważ
stała Plancka charakteryzuje trudno dostępny świat kwantowy. Im większa masa obiektu
oraz im wyższa temperatura, tym krótsza fala de Broglie’a, a tym samym skala, na której
kwantowe efekty mają znaczenie. Aby osiągnąć reżim kwantowy, fala de Broglie’a λdB musi
być rzędu średnich odległości między atomami. Dlatego istnieją dwie możliwości, w których fala de Broglie’a może osiągać istotne długości. Po pierwsze dla mas atomów warunek
ten jest spełniony dla temperatur poniżej 1µK. Idealnie do tego celu nadają się rozrzedzone
gazy atomowe, w których ponadto odległość między atomami jest większa niż zasięg ich
oddziaływania, a więc są słabo oddziałujące i dominują zderzenia dwuciałowe stabilizujące
gaz w niskich temperaturach. Drugą możliwością jest obniżenie masy obiektu, które po-
3
1.1. Zimne gazy atomowe
zwala na kondensację w wyższych temperaturach. Własność tą wykorzystują kondensaty
polarytonów ekscytonów [5], a więc kwazicząstek będących bozonami, stworzonych przez
ekscyton (para elektron-dziura) silnie sprzęgnięty z fotonem (polaryton). Szczególnie silne
sprzężenie można osiągnąć w półprzewodnikowych mikrownękach, w których polarytony są
skwantowane. Polarytony ekscytonów charakteryzuje bardzo mała masa efektywna, rzędu
10−4 masy elektronu, dzięki czemu mogą kondensować nawet w temperaturach pokojowych [6–8].
Niesłabnąca atrakcyjność zimnych gazów atomowych ma jeszcze inne źródła. Z eksperymentalnego punktu widzenia zimne gazy atomowe są układami o ogromnych możliwościach manipulacji. Dobierać można rodzaj atomów (bozony, fermiony lub mieszaniny obu)
oraz kontrolować oddziaływania między nimi wykorzystując rezonanse Feshbacha [9, 10].
Poprzez zastosowanie odpowiednich wiązek laserowych możliwe jest wygenerowanie potencjałów harmonicznych [11], periodycznych [12, 13], kwaziperiodycznych [14, 15] czy też
przypadkowych [16,17], a także kontrolowanie wymiarowości układu, począwszy od 1D [18].
Dzięki tym udogodnieniom, w zimnych gazach atomowych możliwe jest symulowanie zjawisk z innych dziedzin fizyki. Stanowią one tzw. kwantowe symulatory, których ideę wprowadził Richard Feynmann w 1982 roku [19]. Zgodnie z jego założeniem, skomplikowany
kwantowy układ może być zastąpiony prostszym, który naśladuje jego właściwości [20,21].
Zimne gazy atomowe są swego rodzaju interdyscyplinarnym laboratorium o ogromnych
możliwościach badania skomplikowanych problemów m.in. z fizyki fazy skondensowanej
czy optyki kwantowej [12, 13]. Rozwój tej dziedziny w ostatnich latach doprowadził do
wytworzenia sztucznych pól cechowania, a więc pewnych specyficznych warunków, które
powodują, że neutralne atomy zachowują się jak naładowane cząstki w efektywnym polu
magnetycznym. Istnieje kilka metod generowania sztucznych pól, m.in. rotujące pułapki
i sieci optyczne [22–24], tunelowanie wspomagane laserem [25, 26] oraz oddziaływanie atomów z polem laserowym [27–30]. Otworzyło to wachlarz możliwości dla symulowania i
lepszego zrozumienia fundamentalnych zjawisk magnetycznych takich jak kwantowy efekt
Halla [31, 32], fraktalna struktura pasm energetycznych (Motyl Hofstadtera) [33–35] czy
wysokotemperaturowe nadprzewodnictwo [36, 37] i izolatory topologiczne [38–40].
1.1.1
Teoria kondensacji w przybliżeniu średniego pola
Równanie Grossa-Pitajewskiego
Kondensat Bosego-Einsteina jest gazem N bozonów, które znajdują się w takim samym
stanie kwantowym, zatem całkowitą funkcję falową układu można przedstawić w postaci
4
iloczynu funkcji jednocząstkowych [41]:
Ψ(r~1 , ..., r~N ) =
N
Y
φ0 (~ri ).
(1.1.1)
i=1
W rzeczywistości jednak istnieją oddziaływania między atomami i powyższa forma funkcji
falowej może być jedynie przybliżeniem rzeczywistego stanu podstawowego układu. Atomy
oddalone od siebie o r oddziałują między sobą van der Waalsowsko poprzez elektryczne
dipole d1 i d2 z potencjałem oddziaływania [42]:
r r i
1 h
d
·
d
−
3
d
·
d
·
.
Ud−d (r) =
1
2
1
2
4πǫ0 r3
r
r
(1.1.2)
Traktując go perturbacyjnie możemy zauważyć, że poprawka pierwszego rzędu do energii
układu będzie równa zero ze względu na zachowanie parzystości stanów własnych, tj. elementy diagonalne operatorów momentu dipolowego są równe zero. Dlatego też pierwsza
niezerowa poprawka pojawi się w drugim rzędzie rachunku zaburzeń i potencjał oddziaływania między atomami będzie się zmieniał jak ∼ 1/r6 , a więc zanika szybciej niż 1/r3 .
Wynika stąd, że w zakresie niskich energii między atomami dominują zderzenia o momencie
pędu równym zero a więc charakteryzuje ją jedna liczba - długość rozpraszania a. Dlatego
też w opisie kondensatu można przyjąć prosty krótkozasięgowy potencjał postaci:
U (r1 − r2 ) = g0 δ(r1 − r2 ),
(1.1.3)
który jest potencjałem kontaktowym ze względu na deltę Diraca. Parametr g0 jest stałą
sprzężenia i dla trzech wymiarów (3D) wnosi:
g0 =
4π~2 a
,
m
(1.1.4)
a więc jest proporcjonalny do długości rozpraszania a, którą można zmieniać niemal dowolnie stosując rezonanse Feshbacha [9, 10]. Hamiltonian opisujący układ N atomów o masie
m spułapkowanych w potencjale V (r) przybiera postać:
H=
N 2
X
p
i
i=1
2m
+ V (ri ) +
N
1 X
U (ri − rj ).
2
(1.1.5)
i6=j=1
Wyznaczając jego wartość średnią w stanie kondensatu (1.1.1) otrzymujemy funkcjonał
energii:
E[φ0 , φ∗0 ]
= hΨ|H|Ψi = N
Z
~2
N −1
2
2
4
d r
|∇φ0 (~r)| + V (~r)|φ0 (~r)| +
g0 |φ0 (~r)| .
2m
2
(1.1.6)
3
5
Czynnik pojawiający się w wyrazie oddziaływania N (N − 1)/2 jest liczbą kombinacji two-
rzenia par oddziałujących ze sobą bozonów. Dla dużej liczby cząstek N − 1 ≈ N . Zwycza√
jowo funkcję kondensatu przepisuje się w postaci ψ(r) = N φ0 (r), dzięki czemu wyrażenie
na energię układu przyjmuje prostszą formę:
2
Z
~
g0
3
2
2
4
E= d r
|∇ψ(~r)| + V (~r)|ψ(~r)| + |ψ(~r)| ,
2m
2
(1.1.7)
Aby znaleźć stan jednocząstkowy, dla którego ψ będzie najlepszym przybliżeniem stanu
podstawowego, minimalizujemy energię układu stosując metodę mnożników Lagrange’a i
dokonując wariacji względem φ∗0 . W ten sposób otrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskiego
[43]:
−
~2 2
∇ φ0 (~r) + V (~r)φ0 (~r) + g0 |φ0 (~r)|2 φ0 (~r) = µφ(~r),
2m
(1.1.8)
gdzie µ jest mnożnikiem Lagrange’a posiadającym interpretację fizyczną jako potencjał
chemiczny. Można pokazać, że:
µ=
∂E
.
∂N
(1.1.9)
Równanie Grossa-Pitajewskiego jest szczególnym przypadkiem nieliniowego równania Schrödingera, w którym wyraz nieliniowy odpowiada średniopolowemu oddziaływaniu atomu z
resztą chmury. W zależności od znaku długości rozpraszania (efektywnie g0 ) potencjał
chmury atomowej może być przyciągający (g0 < 0) lub odpychający (g0 > 0).
Rozważmy teraz kondensat Bosego-Einsteina umieszczony w pudle. Na jego brzegach
funkcja falowa musi znikać, natomiast z dala od ścian potencjału gęstość kondensatu jest
jednorodna i osiąga pewną określoną wartość. Odległość, na jakiej wartość funkcji falowej
rośnie od zera do jej wartości maksymalnej wewnątrz pudła, można wyznaczyć z równania
Grossa-Pitajewskiego, ponieważ z dala od ścian funkcja falowa jest zdeterminowana przez
współzawodnictwo między energią oddziaływania ∼ g0 |ψ|2 a energią kinetyczną. Jeżeli
przestrzenne zmiany funkcji falowej zachodzą na zakresie ξ, energia kinetyczna na cząstkę
jest rzędu ~2 /2mξ 2 i dwie energie są sobie równe gdy:
~2
= g0 |ψ0 |2 ,
2mξ 2
(1.1.10)
a więc
~
.
ξ=p
m|ψ(0)|2 g0
(1.1.11)
Wielkość ta zwana jest długością zabliźnienia czy też długością koherencji (lub korelacji) i opisuje długość, na której funkcja falowa dąży do swojej maksymalnej wartości gdy
poddana jest lokalnemu zaburzeniu.
6
Przybliżenie Thomasa-Fermiego
Równanie Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) jest równaniem różniczkowym nieliniowym, a
więc nie istnieje jednoznaczna metoda znajdywania jego rozwiązań analitycznie. W ogólności trudno jest znaleźć ścisłe rozwiązania w wymiarach większych niż jeden (1D). W
1D ścisłymi rozwiązaniami są solitony: jasne dla oddziaływań przyciągających (g0 < 0) i
ciemne dla odpychających (g0 > 0), do których wrócimy później, zob. sekcja 1.2.2. W większości przypadków jednak można zastosować pewne przybliżenia, które pozwalają otrzymać
stan podstawowy kondensatu. Jednym z nich jest przybliżenie Thomasa-Fermiego, które
stosuje się dla chmur o dużej liczbie atomów i oddziaływaniach odpychających i polega na
pominięciu energii kinetycznej. Przyjmując jako R promień kondensatu Bosego-Einsteina
umieszczonego w potencjale harmonicznym, dla dużej liczby atomów otrzymujemy warunek:
r
~
,
(1.1.12)
mω
gdzie prawa strona nierówności jest oscylatorową skalą długości dla pułapki harmonicznej
R≫
o częstości ω dla atomów o masie m. Rozpatrując stosunek energii kinetycznej do energii
potencjalnej pułapki dostajemy wyrażenie:
2
~
Ekin
2
≈ mR2 2 =
Eharm
mω R
~
mωR2
2
≪ 1,
(1.1.13)
a więc w równaniu Grossa-Pitajewskiego możemy zaniedbać wyraz proporcjonalny do ∇2 ψ
i otrzymać rozwiązanie Thomasa-Fermiego:
 r

µ− 21 r 2

g
ψT F (r) =

 0
r2 ≤ 2µ ≡ RT2 F ,
(1.1.14)
r2 > RT2 F .
Zastosowaliśmy w tym przypadku tzw. jednostki oscylatorowe, dla których skalą długości
p
jest l0 = ~/mω, a energii E0 = ~ω. Potencjał chemiczny µ wyznaczamy z warunku
R
normalizacji |ψT F (r)|2 d3 r = 1 i dla 2D w jednostkach oscylatorowych wynosi on:
p
(1.1.15)
µ = g/π.
Linearyzacja równania Grossa-Pitajewskiego
Linearyzacja równania Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) jest procedurą pozwalającą na analizę rozwiązań pod kątem ich stabilności, tj. eksponencjalnej rozbieżności w czasie. Liniowe
rozwinięcie wokół małego zaburzenia δφ funkcji falowej kondensatu prowadzi do teorii liniowej odpowiedzi układu na zewnętrzną perturbację oraz do teorii Bogoliubova, która
mikroskopowo opisuje gaz ultrazimnych atomów [44].
7
1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych
Niech φ0 będzie stacjonarnym rozwiązaniem równania Grossa-Pitajewskiego (1.1.8).
Zakładając słabe zaburzenie funkcji falowej, wprowadźmy małą poprawkę wokół tego rozwiązania:
(1.1.16)
φ = φ0 + δφ.
Wstawiając do równania (1.1.8) i uwzględniając jedynie człony liniowe w δφ, możemy
wyznaczyć poprawkę δφ oraz δφ∗ . Problem sprowadza się do rozwiązania zagadnienia
własnego dla liniowego operatora L:
(1.1.17)
L|ψk i = ǫk |ψk i,
gdzie w 1D
L=
+HGP + g0 |φ0 |2
−g0 φ∗2
0
g0 φ20
−HGP − g0 |φ0 |2
!
,
(1.1.18)
1
(1.1.19)
HGP = − ∂x2 + g0 |φ0 |2 − µ,
2
w jednostkach oscylatorowych. Załóżmy również parametryzację prawostronnego wektora
własnego L jako:
|ψkR i =
1.2
"
|uk i
|vk i
#
do wartości własnej ǫk .
(1.1.20)
Wprowadzenie do zjawisk topologicznych
Topologia jako dziedzina matematyki zajmuje się obiektami (przestrzeniami topologicznymi), których własności są niezmiennicze ze względu na ciągłe deformacje takie jak
rozciąganie, zginanie, ściskanie, skręcanie, które nie powodują dziurawienia, rozrywania
czy sklejania ich struktury. Aby lepiej zrozumieć rolę jaką odgrywają efekty topologiczne
w fizyce, powinniśmy zacząć od wyjaśnienia kilku pojęć [45].
Ciągłe odwzorowania f : X → Y pomiędzy przestrzeniami topologicznymi X i Y zwane
są homeomorfizmami lub izomorfizmami topologicznymi, jeśli f jest ciągłą bijekcją (każ-
demu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny), która posiada ciągłą funkcję odwrotną f −1 .
Homeomorficzne przestrzenie są zatem identyczne z topologicznego punktu widzenia,
choć mogą mieć różne rozmiary i kształty. Weźmy dla przykładu okrąg i kwadrat. Pomimo
różnic geometrycznych przestrzenie związane z tymi figurami są izomorficzne topologicznie
- zawierają jednowymiarowy kontur zamknięty, który dzieli płaszczyznę na dwie części -
8
wewnątrz i na zewnątrz figury. Ściśle związane z homeomorfizmem jest pojęcie homotopii,
które jest mniej restrykcyjne ze względu na własności.
Homotopią nazywamy odwzorowanie H : X × [0, 1] → Y między przestrzeniami topolo-
gicznymi X i Y , takie że dla ciągłych funkcji f i g, f, g : X → Y zachodzi f (x) = H(x, 0)
i g(x) = H(x, 1) dla każdego x ∈ X.
Jeśli drugi parametr funkcji H rozważymy np. jako parametryzację czasu, to homotopia
opisuje ciągłą deformację funkcji f w g, ponieważ dla czasu t = 0 startujemy od funkcji f
i kończymy na funkcji g po czasie t = 1.
Zarówno homeomorfizm jak i homotopia są relacjami równoważności, co oznacza, że są
symetryczne (jeśli f jest homeomorficzne/homotopijne do g, to g homeomorficzne/homotopijne
do f ) oraz przechodnie (jeśli f jest homeomorficzne/homotopijne do g, a g jest homeomorficzne/homotopijne do h, to f jest homeomorficzne/homotopijne do h). Stąd homeomorfizmy i homotopie mogą być podzielone na klasy równoważności.
Najbardziej znanym przykładem homeomorfizmu, będącego również homotopią jest
przekształcenie kubka na kawę w torus. Można tego dokonać w sposób ciągły bez rozrywania czy sklejania poprzez stopniowe rozszerzanie dna kubka (spłycanie) i wygięcie go wzdłuż
uchwytu. Oczywiście również istnieje ciągła transformacja odwrotna. Ogólnie każdy homeomorfizm jest homotopijnie równoważny, ale odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe.
Aby to zilustrować rozważmy koło oraz punkt. Są one homotopijnie równoważne względem siebie, ponieważ koło można sprowadzić do punktu, natomiast nie są homeomorficzne,
ponieważ takie odwzorowanie nie jest bijekcją.
Powyższe przykłady pokazują, że topologia nie bazuje na konkretnych kształtach i rozmiarach obiektów, ale na ich pewnych generycznych własnościach. Te z nich, które są
niezmiennicze względem homeomorfizmów lub homotopii (w zależności od wyboru klasyfikacji przestrzeni topologicznych) nazywamy własnościami topologicznymi lub inaczej
topologicznymi niezmiennikami. Może nimi być np. liczba dziur, ponieważ nie da się
ciągłym przekształceniem sprowadzić dziury do punktu. Dlatego pączek, obwarzanek i
precel są scharakteryzowane innymi liczbami topologicznymi zwanymi również ładunkiem
topologicznym.
1.2.1
Defekty topologiczne
Szczególną rolę w fizyce odgrywa grupa efektów topologicznych określana mianem topologicznych defektów. Są to rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych, których nie da
9
się w sposób ciągły przekształcić w rozwiązania próżniowe (o najniższej energii), a więc są
homotopijnie różne od próżni. Wprowadzona wcześniej teoria homotopii pozwala na klasyfikację rozwiązań i określa kiedy rzeczywiście są topologicznie odrębne. Z tego też powodu
można je uważać za wzbudzenia układu, które są stabilne względem niewielkich zaburzeń
oraz nie mogą same ulegać rozpadowi, choć stabilność w tym przypadku ma odmienne znaczenie niż dla większości rozwiązań generowanych przez rachunek perturbacyjny, ponieważ
w tym przypadku dotyczy możliwości (lub jej braku) ciągłej transformacji. Obecność topologicznych defektów ściśle związana jest ze spontanicznym łamaniem symetrii [46], dlatego
mogą one pojawiać się w różnych dziedzinach współczesnej fizyki [47, 48].
Słowo „defekt” wskazuje, że stanowią pewne zaburzenie naturalnego porządku. W
przypadku kondensatu Bosego-Einsteina wyznaczają miejsca zerowe funkcji falowej, a więc
odstępstwa od jednorodnej struktury gęstości prawdopodobieństwa. W zależności od wymiaru układu możemy obserwować jednowymiarowe solitony, które zostały opisane w punkcie 1.2.2, oraz dwuwymiarowe wiry, punkt 1.2.3.
1.2.2
Solitony jako defekty topologiczne w 1D
Równania różniczkowe cząstkowe z wyrazem nieliniowym mogą posiadać rozwiązania
solitonowe, a więc takie, które propagują się bez zmiany kształtu. Dzięki kompensacji dyspersji przez nieliniowość równania, swobodny pakiet falowy nie ulega rozmyciu i zachowuje
swój pierwotny kształt. Ponadto solitony wykazują stabilność ze względu na zaburzenia
i wzajemne zderzenia. W fizyce znanym przykładem równania posiadającego rozwiązanie solitonowe jest równanie sine-Gordona, ale także równanie Grossa-Pitajewskiego [49]
opisujące kondensat.
Ciemne solitony w kondensacie Bosego-Einsteina
Rozważmy jednowymiarowe równanie Grossa-Pitajewskiego z odpychającymi oddziaływaniami między atomami (g0 > 0):
i~
~2 ∂ 2 φ 0
∂φ0
=−
+ g0 |φ0 |2 φ0 .
∂t
2m ∂x2
Analitycznym rozwiązaniem jest tzw. ciemny soliton [42]:
"
!#
r
r
2
2
q̇
q̇
q̇
x
−
q
√
1− 2
φ0 (x, t) = e−iµ0 t/~ ρ0 i + 1 − 2 tanh
,
s
s
ξ
s
(1.2.1)
(1.2.2)
gdzie ρ0 to gęstość kondensatu z dala od solitonu, µ0 = ρ0 g0 oznacza potencjał chemiczny,
p
s = ρ0 g0 /m jest prędkością zaburzeń długofalowych w kondensacie (prędkość dźwięku),
10
√
natomiast ξ = ~/ mρ0 g0 opisuje długość zabliźnienia. Ponadto centrum solitonu, a tym
samym minimum gęstości chmury atomowej, zlokalizowane jest wokół q i porusza się z
prędkością q̇ ≤ s.
Stacjonarny soliton, dla którego q̇ = 0 przyjmuje postać:
φ0 (x, t) = e
−iθ √
ρ0 tanh
x−q
ξ
,
(1.2.3)
gdzie θ jest globalną fazą funkcji falowej.
Topologiczna natura solitonu objawia się w warunkach brzegowych, a więc w zachowaniu φ0 w ±∞:
√
φ0 (+∞) ≡ φ+
→ eiθ ρ,
0
√
φ0 (−∞) ≡ φ−
→ −eiθ ρ.
0
(1.2.4)
(1.2.5)
Wynika stąd, że faza funkcji falowej wzdłuż solitonu zmienia się o π. Ciemny soliton
zatem jest pewną interpolacją między dwoma stanami o takich samych energiach, φ+
0 i
φ−
0 . W takiej sytuacji nie da się ciągłą transformacją sprowadzić solitonu do rozwiązania
próżniowego, tj. φ0 = const, ponieważ należą one do innych klas równoważności, a więc
nie są homotopijne względem siebie. Taka deformacja byłaby możliwa jedynie w sytuacji,
−
gdy φ+
0 = φ0 . Rozwiązania zachowujące się w taki sposób, jak ciemny soliton noszą w
fizyce nazwę „kinków” [45].
1.2.3
Wiry jako defekty topologiczne w 2D
Wiry pojawiają się w fizyce jako miejsca zerowe dwuwymiarowej funkcji falowej, wokół
których wzdłuż niewielkiej pętli faza funkcji falowej wzrasta o 2πn, gdzie n jest liczbą całkowitą wyrażającą ładunek topologiczny czy też inaczej liczbę nawinięć fazy. Rozpatrując
nadciekłość można zauważyć, że krążenie atomów w wirze odbywa się bez tarcia (z definicji
nadciekłości), a więc nigdy nie ustaje.
Wiry w kondensacie Bosego-Einsteina
Rozważmy funkcję falową kondensatu ψ(r, t) w przybliżeniu średniego pola zapisując
ją za pomocą gęstości prawdopodobieństwa ρ(r, t) = |ψ(r, t)|2 oraz fazy φ(r, t), tj.:
ψ(r, t) =
p
ρ(r, t)eiφ(r,t)
11
(1.2.6)
Wstawiając ją do równania Grossa-Pitajewskiego opisującego kondensat w potencjale pułapkującym V (r) i rozdzielając część rzeczywistą i urojoną, otrzymujemy dwa równania:
∂ρ
∂t
∂φ
−~
∂t
~
∇ · (ρ∇φ) ,
m
~2
~2
√
= − √ ∇2 ρ +
∇φ · ∇φ + V (r) + g0 ρ.
2m ρ
2m
= −
(1.2.7)
(1.2.8)
Jeśli zdefiniujemy prędkość kondensatu jako:
v(r, t) =
~
∇φ,
m
(1.2.9)
to wyrażenie (1.2.7) przyjmuje postać równania ciągłości znanego z hydrodynamiki:
∂ρ
+ ∇ · (ρv) = 0,
∂t
(1.2.10)
gdzie v jest tak naprawdę potencjalnym polem prędkości, ponieważ stanowi gradient wielkości skalarnej, którą jest faza pełniąca rolę potencjału prędkości. Na drugie równanie
natomiast (1.2.8) możemy obustronnie zadziałać operatorem ∇ i doprowadzić je do postaci równania ewolucji dla pola prędkości:
1
~
∂v
2√
ρ
= 0.
+∇
mv 2 + V + g0 ρ −
∇
m
√
∂t
2
2m ρ
(1.2.11)
Równanie to odpowiada klasycznemu równaniu Eulera dla idealnej cieczy (nielepkiej) za
wyjątkiem ostatniego wyrazu zwanego ciśnieniem kwantowym ze względu na obecność stałej Plancka, który opisuje siły powstałe w wyniku przestrzennych zmian amplitudy funkcji
falowej kondensatu. Jeśli zmiany te odbywają się na skali mniejszej niż długość zabliźnienia ξ (1.1.11), to ciśnienie kwantowe staje się istotną wielkością. W większości przypadków
jednak dla gładkich gęstości prawdopodobieństwa ciśnienie kwantowe jest zaniedbywalnie
małe, a więc można je pominąć.
Cechą pól potencjalnych jest brak cyrkulacji, co wynika wprost z rachunku wektorowego:
I
Z
Z
~
v · dr = (∇ × v) · ds =
Γ=
(∇ × ∇φ) · ds = 0,
(1.2.12)
m
C
dlatego w większości przypadków kondensat Bosego-Einsteina jest bezwirowy. Może się
jednak zdarzyć, że pole prędkości (1.2.9) posiada osobliwości na obszarze wyznaczonym
konturem C i wtedy cyrkulacja będzie różna od zera. Nie może ona jednak przyjmować
być dowolna. Wynika to z faktu, że zmiana fazy funkcji falowej kondensatu po konturze
zamkniętym musi być wielokrotnością 2π ze względu na jednowartościowość funkcji falowej.
Zatem dozwolone wartości cyrkulacji wynoszą:
I
h
~
v · dr = 2πl = l ,
Γ=
m
m
C
12
(1.2.13)
gdzie l jest liczbą całkowitą. Widać zatem, że cyrkulacja jest skwantowana w jednostkach
h/m.
Aby zobrazować efekt niezerowej cyrkulacji, rozważmy kondensat atomów będących w
stanie jednocząstkowym o momencie pędu Lz = ~l,
ψ(r, ϕ, z) = f (r, z)eilϕ ,
(1.2.14)
gdzie f (r = 0, z) = 0. W tym przypadku pole prędkości posiada osobliwość w punkcie
r = 0, co łatwo widać wyznaczając gradient fazy we współrzędnych cylindrycznych:
l
∇(lϕ) = êϕ .
r
(1.2.15)
Zatem cyrkulacja jest niezerowa i wynosi:
Γ=
~
m
I
ldϕ = l
h
,
m
(1.2.16)
gdzie l wyznacza liczbę nawinięć fazy funkcji falowej, a więc pełnych obiegów, wokół osobliwości. Okazuje się, że cyrkulacja zawsze wyniesie lh/m, gdy kontur całkowania będzie
obejmował oś r = 0, dlatego też kwanty cyrkulacji są rodzajem ładunku topologicznego,
a więc pewnej wewnętrznej własności układu, dlatego deformacja konturu, o ile obejmuje
on osobliwość, prowadzi zawsze do tego samego wyniku.
1.2.4
Izolatory topologiczne
Izolatory topologiczne to materiały będące izolatorami, tj. posiadające przerwę energetyczną pomiędzy pasmem całkowicie obsadzonym a pasmem przewodnictwa, w których
jednak istnieją stabilne przewodzące stany na brzegach, a przewodność scharakteryzowana
jest topologicznymi liczbami kwantowymi. Historycznie pierwszym układem przejawiającym topologiczne zachowanie był kwantowy efekt Halla i tego typu izolatorami, zwanymi
izolatorami Cherna, będziemy się zajmować w niniejszej pracy. Obecnie znanych jest wiele
innych rodzajów topologicznych izolatorów, a lista kategorii uwzględniających zachowane
w układzie symetrie jest bardzo długa [50–53]. Aby lepiej zrozumieć istotę kwantowego
efektu Halla [54], zacznijmy od przypadku klasycznego [55].
Klasyczny efekt Halla
Rozważmy gaz elektronów w przewodniku w dwóch wymiarach przestrzennych, tj. w
płaszczyźnie XY oraz załóżmy, że w przewodniku płynie prąd tak jak na Rys. 1.1. Ruch
13
elektronów w przybliżeniu można traktować jako jednostajny prostoliniowy, ponieważ natężenie zewnętrznego pola elektrycznego przyspiesza elektrony do średniej prędkości dryfu
vd w czasie τ pomiędzy zderzeniami z innymi elektronami, tj.
vd = −
eτ
E.
m
(1.2.17)
Wysumowanie przyczynków od wszystkich elektronów prowadzi do wyrażenia na gęstość
prądu j = −ne evd = σ0 E, gdzie:
σ0 =
n e e2 τ
m
(1.2.18)
wyraża przewodność, a ne jest koncentracją elektronów. Jeśli natomiast dodatkowo przewodnik umieścimy w polu magnetycznym o indukcji B, skierowanym wzdłuż osi z, a więc
prostopadle do przewodnika, to trajektorie nośników zostaną zakrzywione w wyniku działania siły Lorentza, a więc wyrażenie (1.2.17) musi ją uwzględniać, tj.:
vd = −e(E + vd × B)
τ
.
m
(1.2.19)
Prowadzi to do asymetrii w rozkładzie ładunku chmury elektronów, tj. ładunek ujemny
będzie akumulowany na jednym z brzegów przewodnika, tak jak na Rys. 1.1. Powstała w
ten sposób różnica potencjałów nosi nazwę napięcia Halla, a wygenerowane pole elektryczne
przeciwdziała dalszemu gromadzeniu się elektronów i napięcie przyjmuje określoną wartość.
Przepisując gęstość prądu jako:
j = σ0 E −
σ0
j×B
ne ec
(1.2.20)
widać, że w tym przypadku przewodność staje się tensorem. Z powyższego wyrażenia łatwo
odczytać tensor oporności ρ, tj.:
E = ρj,
ρ=
ρ0
B
ne ec
− nB
e ec
ρ0
!
(1.2.21)
gdzie ρ0 = 1/σ0 . Wtedy przewodność σ jest macierzą odwrotną do ρ, tj. σ = ρ−1 , a więc
σxx =
σ0
,
1 + ωc τ 2
σxy =
ne ec
1
+
σxx ,
B
ωc τ
(1.2.22)
gdzie ωc = eB/cm wyraża częstość cyklotronową.
Kwantowy efekt Halla
Traktując elektron kwantowo, możemy wyrazić jego stan za pomocą funkcji falowej
|ψ(r)i. W obecności pola magnetycznego część kinetyczna hamiltonianu ulega modyfikacji,
14
z
y
x
I
B
Rysunek 1.1: Klasyczny efekt Halla. W zewnętrznym polu magnetycznym B skierowanym
wzdłuż osi z poruszające się w płaszczyźnie XY ładunki są odchylane w wyniku działania
siły Lorentza. W ten sposób powstaje asymetria w rozkładzie ładunku chmury elektronów,
a tym samym poprzeczna różnica potencjałów między brzegami próbki zwana napięciem
Halla.
tj. p → p−eA/c. W klasycznym efekcie Halla pole magnetyczne B skierowane było wzdłuż
osi z, a więc B = B ẑ. Wykorzystując związek pomiędzy potencjałem wektorowym A i
polem magnetycznym B = ∇ × A możemy zastosować tzw. cechowanie Landaua, aby
otrzymać odpowiedni wektor pola magnetycznego. Wtedy A = Bx ŷ i zagadnienie własne
dla elektronu w polu magnetycznym przyjmuje postać:
2
e 2
1 px
py − Bx
+
|ψ(r)i = E|ψ(r)i.
H|ψ(r)i =
2m 2m
c
(1.2.23)
Ponieważ pęd py komutuje z hamiltonianem, to funkcję falową |ψi możemy zapisać rozsepa-
rowując zmienne, tj. |ψi = eiky y φ(x). Korzystając z wyrażenia na częstość cyklotronową
ωc = eB/cm hamiltonian z równania (1.2.23) można sprowadzić do postaci oscylatora
harmonicznego:
H=
1
p2x
+ mωc (x − x0 )2 ,
2m 2
(1.2.24)
2 k , a l to długość magnetyczna określająca rozmiar elementarnej
gdzie x0 = ~ky /mωc ≡ lB
y
B
orbity cyklotronowej. Energie własne układu wynoszą:
1
En = ~ωc n +
,
2
15
(1.2.25)
a więc spektrum złożone jest z poziomów odległych od siebie o ~ωc , zwanych również poziomami Landaua. Są one zdegenerowane, ponieważ energia nie zależy od liczby kwantowej
ky . Aby wyznaczyć liczbę możliwych poziomów Landaua oraz ich obsadzenie zakładamy, że
wymiary układu wynoszą Lx i Ly w kierunkach x i y odpowiednio. Zakładając periodyczne
warunki brzegowe, ky może przyjmować wartości:
2π
my ,
ky =
Ly
(1.2.26)
gdzie my jest liczbą całkowitą. Stąd możliwe wartości x0 są oddalone od siebie o ∆x =
2 ∆k = 2πl2 /L . Zauważmy, że jeśli L ≫ l , to ∆x ≪ l , a więc odległość między
lB
y
y
y
B
B
B
sąsiadującymi stanami jest dużo mniejsza niż szerokość każdego z nich. Całkowita liczba
2 , a każdy poziom Landaua ma ich:
niezależnych stanów wynosi zatem Lx Ly /2πlB
NL =
1
eB
=
2
2π~c
2πlB
(1.2.27)
w jednostce powierzchni. Wynika stąd, że im silniejsze pole magnetyczne, tym większa degeneracja stanów oraz separacja poziomów Landaua, ponieważ ωc ∼ B. Reżim kwantowego
efektu Halla pojawia się dla odpowiednio silnych pól magnetycznych i niskich temperatur,
tj. kB T ≪ ~ωc . Wtedy każdy poziom Landaua ma tak dużą degenerację, że wszystkie
elektrony obsadzają tylko kilka najniższych z nich poniżej energii Fermiego EF (maksymalnej energii obsadzenia w temperaturze T = 0) oraz wzbudzenia termiczne nie powodują
przejść pomiędzy nimi. W takim przypadku można rozpatrywać dwie sytuacje. Jeśli energia Fermiego EF przecina jeden z poziomów Landaua, otrzymujemy metal, natomiast jeśli
EF znajduje się pomiędzy ν a ν + 1 poziomem Landaua, gdzie ν jest liczbą naturalną, to
mamy do czynienia z izolatorem. Wtedy rozpraszanie elektronów zanika, ponieważ nie ma
dostępnych stanów nieobsadzonych (wszystkie stany do energii EF są obsadzone), a więc
żaden z elektronów nie może zmienić swojego stanu ze względu na zakaz Pauliego. Stąd
diagonalne wyrazy tensora oporności ρ (1.2.21) oraz tensora przewodności (1.2.22) znikają
(τ → ∞), a pozadiagonalne są skwantowane i wyrażone przez kombinację fundamentalnych
stałych - ładunku elektronu e i stałej Plancka h:
h
e2
,
σ
=
ν
,
(1.2.28)
xy
νe2
h
gdzie jako koncentrację przyjęliśmy liczbę obsadzonych stanów w jednostce powierzchni,
ρxy =
tj. ne = νNL . W eksperymencie energia Fermiego jest ustalona, a jedynym zmiennym
parametrem jest indukcja pola magnetycznego B. Ponieważ En ∼ B, to zwiększając pole
magnetyczne zwiększamy również energie wszystkich pasm (poziomów Landaua). Dlatego
też wybierając indukcję pola magnetycznego B możemy decydować o tym, czy układ jest
metalem, czy izolatorem.
16
Kwantyzacja przewodności Halla w kontekście stanów brzegowych - argument
Laughlina
Przewodność Halla ma fundamentalne topologiczne znaczenie, pierwszy raz wskazane
przez Laughlina w jego argumencie bazującym na niezmienniczości cechowania [56]. Jak
zaznaczył później Halperin [57], efekty brzegowe odgrywają w nim zasadniczą rolę.
Rozważmy dwuwymiarowy (2D) materiał umieszczony w prostopadłym polu magnetycznym o indukcji B. Zakładamy periodyczne warunki brzegowe w kierunku y i otwarte
w kieruku x, a więc efektywnie otrzymujemy cylindryczną geometrię układu, której oś symetrii jest równoległa do kierunku x. Pole magnetyczne zatem skierowane jest radialnie
do powierzchni cylindra. Wprowadźmy ponadto dodatkowy strumień pola Φ przechodzący
przez walec równolegle do jego osi symetrii, który pozwoli nam kontrolować zmiany ky ,
zob. Rys. 1.2.
B
Iy
B
Vx
Rysunek 1.2: Schemat układu realizującego eksperyment myślowy Laughlina, który identyfikuje kwant przewodności Halla z liczbą cząstek przetransportowanych z jednego brzegu
układu na drugi w wyniku obecności dodatkowego strumienia Φ.
Obecność dodatkowego strumienia powoduje przesunięcie ky → ky + 2πΦ/Ly , gdzie Ly
jest obwodem walca. Ponadto do obu brzegów próbki przykładamy różnicę potencjałów Vx .
Chcielibyśmy powiązać prąd płynący na powierzchni cylindra, jy , ze spadkiem potencjału
z jednego brzegu, na drugi, a więc rozważyć kwantowy efekt Halla. Operator prądu można
wyrazić jako zmiany hamiltonianu w funkcji strumienia Φ, tj.:
jy =
Ly ∂H
∂H
=
.
∂ky
2π ∂Φ
17
(1.2.29)
Wyznaczając wartość oczekiwaną prądu jy w stanie podstawowym układu:
hψ|jy |ψi =
∂E
∂hψ|H|ψi
− hψ|H∂Φ |ψi − (∂Φ hψ|)H|ψi =
,
∂Φ
∂Φ
(1.2.30)
gdzie wykorzystaliśmy normalizację |ψi oraz ∂hψ|ψi/∂Φ = 0, otrzymujemy znane w fi-
zyce fazy skondensowanej równanie Byers-Yanga [58]. Możemy je teraz zdyskretyzować
zakładając bardzo wolny liniowy przepływ strumienia Φ:
Iy =
∆E
,
∆Φ
(1.2.31)
gdzie ∆E oznacza zmianę energii spowodowaną wprowadzeniem strumienia Φ. Otrzymujemy zatem prąd płynący wzdłuż walca, tj. wzdłuż translacyjnie niezmienniczego kierunku
y. Jeżeli układ jest izolatorem, tylko na brzegach może się pojawić fizyczny efekt, jednak
tylko w przypadku, gdy mamy do czynienia z nietrywialną topologią układu i przewodnością Halla. W rzeczywistości zawsze musimy wprowadzić brzeg chcąc zmierzyć napięcie, a
jeśli tak, to układ jest ciągle izolatorem w całej objetości, ale blisko brzegów ograniczające
pole elektryczne prostopadłe do obu brzegów Ex (L/2), Ex (−L/2) powoduje zakrzywienie
pasm energetycznych i przecięcie poziomu Fermiego. Załóżmy, że ν pasm przecina EF oraz
że strumień przepływający przez walec niesie dokładnie jeden kwant strumienia, ponieważ
dzięki temu wiemy, że wszystkie pędy obsadzonych stanów zmienią się o 2π/Ly , a więc dokładnie tyle, ile wynosi odległość między poziomami w kierunku y. Wtedy hamiltonian ze
strumieniem Φ odpowiada hamiltonianowi bez strumienia z dokładnością do transformacji
cechowania. Oznacza to, że energia mogła zostać zwiększona tylko przez repopulację stanów. Bardzo blisko brzegu po adiabatycznym (bardzo wolnym) wprowadzeniu strumienia,
każde pasmo przecinające poziom Fermiego ma jeden obsadzony pęd powyżej poziomu
Fermiego na prawym brzegu oraz jeden nieobsadzony pęd poniżej EF na lewym przegu
póbki. Skoro różnica potencjałów między brzegami wynosi Vx , to różnica energii wynikająca z wprowadzenia strumienia musi być równa energii potrzebnej do przetransportowania
ν cząstek przez różnicę potencjałów:
∆E = νeVx .
(1.2.32)
Ponieważ ∆Φ = 1 (w jednostkach elementarnego strumienia), mamy:
σxy =
Iy
= ν,
Vx
(1.2.33)
w jednostkach e2 /h. Widać stąd, że istnienie przewodności Halla jest ściśle związane z
istnieniem modów brzegowych, a liczba stanów na każdym z brzegów próbki musi być
równa przewodności Halla.
18
Stany brzegowe
Zgodnie z wcześniejszym opisem, elektrony w polu magnetycznym zachowują się jak
oscylatory harmoniczne z częstością cyklotronową ωc . Okazuje się, że dla lepszego zrozumienia zjawisk zachodzących w układzie pomocnym jest wprowadzenie semiklasycznego
opisu zachowania elektronów wewnątrz próbki i na jej brzegach. Przyjmijmy zatem w
uproszczeniu, że elektrony w wyniku działania siły Lorentza krążą po orbitach cyklotronowych. W silnym polu magnetycznym orbity te są jednak tak małe, że elektrony zostają
efektywnie uwięzione w bardzo małym obszarze. Jednak te z nich, które znajdują się blisko brzegu nie mają wystarczająco dużo miejsca, aby zakreślić pełne okrążenie, w wyniku
czego uderzają w brzeg próbki i zostają od niego odbite, powtarzając cały cykl, tak jak
na Rys. 1.3. W ten sposób elektrony blisko brzegu mogą poruszać się wzdłuż niego w
jednym kierunku, zdeterminowanym przez pole magnetyczne B. Stany te zwane są chiralnymi stanami brzegowymi i odpowiadają za kwantyzację przewodności Halla, co zostanie
szczegółowo omówione w rozdziale 4. Pojęcie chiralności związane jest z faktem, że na
przeciwległych krawędziach elektrony poruszają się w przeciwnych kierunkach.
B
Rysunek 1.3: Stany brzegowe przedstawione jako niekompletne orbity cyklotronowe elektronów znajdujących się blisko krawędzi próbki.
W kontekście poziomów Landaua w przypadku periodycznych warunków brzegowych,
wszystkie poziomy są płaskie i oddalone od siebie o ~ωc . Jeśli natomiast w układzie
zostanie wprowadzony brzeg, tj. pewien potencjał pułapkujący, to stany Landaua ulegną
deformacji, a te znajdujące się blisko brzegów najmocniej odczują wpływ potencjału i
będą posiadać wyższą energię niż stany wewnątrz próbki. Zatem jeśli energia Fermiego EF
będzie się znajdowała pomiędzy ν i ν + 1 poziomem Landaua, to energia ν stanów przetnie
poziom EF zarówno z dodatnią prędkością grupową (prawa strona wykresu), jak i ujemną
(lewa strona wykresu). Schematycznie sytuację tą przedstawia Rys. 1.4.
Stany brzegowe stanowią istotę izolatorów topologicznych, które są izolatorami w całej
19
E(ky)
EF
ky
Rysunek 1.4: Schematyczny diagram poziomów Landaua i stanów brzegowych. W obecności potencjału pułapkującego na brzegach próbki, poziomy Landaua ulegają zakrzywieniu i
przecinają poziom Fermiego EF , co prowadzi do brzegowego przewodnictwa topologicznego
izolatora.
objętości, ale posiadają przewodzące stany na brzegach stabilne ze względu na zaburzenia
i nieporządek.
Aspekt topologiczny kwantowego efektu Halla
W kwantowym efekcie Halla przewodność σxy (1.2.28) jest skwantowana z ekstremalnie dużą dokładnością i nie zależy od materiału, z którego wykonana jest próbka oraz
szczegółowej budowy układu eksperymentalnego. Dlatego też naturalnym wydaje się rozpatrywanie topologicznych własności tego efektu i związanych z nim topologicznych liczb
kwantowych. Okazuje się, że liczba całkowita występująca we wzorze (1.2.28) oraz (1.2.33)
jest topologicznym niezmiennikiem, tzw. pierwszą liczbą Cherna c1 , która jest zachowana
przy małych zaburzeniach hamiltonianu, nie zmieniających jego topologii. Pojawienie się
stanów brzegowych jest zatem naturalną konsekwencją topologicznej natury izolatorów
topologicznych, ponieważ powstają one na granicy między ośrodkami o różnych liczbach
Cherna, tj. nietrywialnym topologicznie izolatorem (c1 6= 0) i próżnią (c1 = 0). Przejście pomiędzy próbką a próżnią wymaga zatem nieciągłej zmiany topologii. Dlatego też
zmiana liczby Cherna wymusza zamknięcie przerwy energetycznej poprzez pojawienie się
modów brzegowych. Podobnie analizując przewodność σxy , pomiędzy fazami izolatora o
różnych liczbach Cherna ν znajdują się fazy przewodzące, ponieważ niemożliwe jest ciągłe
20
przejście między dwoma izolatorami o różnych topologiach. W rozdziale 4 wrócimy do tego
zagadnienia i przeanalizujemy kwantowy efekt Halla w przypadku dyskretnym, a więc z
perspektywy sieci oraz wyprowadzimy formalnie opisywane wielkości.
21
22
Rozdział 2
Ciemny soliton w potencjale
przypadkowym
Ciemny soliton jest dokładnym rozwiązaniem równania Grossa-Pitajewskiego w jednym wymiarze przy obecności odpychających oddziaływań między atomami. Pytanie, na
które chcielibyśmy odpowiedzieć w niniejszym rozdziale dotyczy zachowania solitonu pod
wpływem zewnętrznego potencjału, w szczególności potencjału przypadkowego. Wcześniejsze badania z udziałem jasnego solitonu, a więc dokładnego rozwiązania równania GrossaPitajewskiego w obecności przyciągających oddziaływań, pokazały, że w kwantowym opisie
jasny soliton umieszczony w słabym zewnętrznym potencjale przypadkowym przejawia lokalizację Andersona. Naszym celem było sprawdzenie, czy w przypadku ciemnego solitonu
również zachodzi zjawisko lokalizacji.
Sekcja 2.1 stanowi wprowadzenie do zagadnienia ciemnego solitonu w słabym zewnętrznym potencjale oraz do lokalizacji Andersona. Punkty 2.1.1 oraz 2.1.2 przedstawiają wyniki
analitycznych obliczeń deformacji solitonu pod wpływem zaburzeń. Pierwszy z nich zawiera podejście w ramach teorii Bogoliubova ze złamanymi symetriami cechowania U (1)
oraz translacyjną, drugi natomiast bazuje na dobrze znanych stanach własnych hamiltonianu dla studni potencjału Pöschl–Tellera. Na podstawie otrzymanych wyników w sekcji 2.2 zaprezentowana jest analiza deformacji w zewnętrznym potencjale przypadkowym,
która pozwala wysunąć wniosek, że słaby zewnętrzny potencjał wpływa nieznacznie na
kształt ciemnego solitonu. Wynik ten okazuje się pomocny przy kwantowym opisie, w
którym będzie można pominąć sprzężenie położenia ciemnego solitonu z rezerwuarem fononów. W ostatniej sekcji 2.3 zaprezentujemy opis kwantowy oraz wyliczymy czas życia
zlokalizowanego andersonowsko ciemnego solitonu w potencjale przypadkowym.
23
2.1. Wprowadzenie
Prezentowane w niniejszym rozdziale badania nad ciemnym solitonem zostały rozpoczęte w czasie pracy nad rozprawą magisterską [59] i następnie kontynuowane w trakcie
studiów doktoranckich. Całość wyników została zebrana w artykule [60]. W sekcji 2.3
numeryczne symulacje zostały przeprowadzone przez dra Marcina Płodzienia, który jest
współautorem wspomnianego artykułu [60].
2.1
Wprowadzenie
W rozdziale 1 w sekcji 1.2.2 wprowadziliśmy stacjonarne rozwiązanie równania GrossaPitajewskiego w postaci ciemnego solitonu:
√
φ0 (x, t) = e−iθ ρ0 tanh
x−q
ξ
,
(2.1.1)
gdzie θ jest globalną fazą funkcji falowej, a ρ0 gęstością gazu atomowego z dala od położenia q solitonu. Naturalną skalą energii w układzie jest potencjał chemiczny µ0 = ρ0 g0 ,
natomiast długość zabliźnienia ξ, zob. (1.1.11), stanowi charakterystyczną skalę zaburzeń
kondensatu, dlatego też w pracy stosować będziemy następujące jednostki:
E 0 = µ0 ,
l0 = ξ,
~
t0 =
.
µ0
(2.1.2)
Wtedy rozwiązanie solitonowe możemy przepisać w postaci:
φ0 (x) = e−iθ
p
ρ0 ξ tanh (x − q).
(2.1.3)
Średniopolowy opis ciemnego solitonu w ramach rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego
(1.1.8) nazywać będziemy opisem klasycznym, natomiast w sekcji 2.3 zostanie wprowadzony opis kwantowy, w którym np. położenie solitonu q stanie się kwantowym stopniem
swobody. W pracy rozważamy skończony jednowymiarowy (1D) układ, jednak chcąc go
opisać w obszarze z dala od brzegów pudła użyjemy analitycznych rozwiązań odpowiadających nieskończonej przestrzeni, które w razie potrzeby mogą zostać dostosowane do
warunków brzegowych w postaci φ0 (x = 0) = 0 oraz φ0 (x = L) = 0 [61].
2.1.1
Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach Bogoliubova
W naszych rozważaniach ciemny soliton umieszczony jest w ograniczonym i słabym
zewnętrznym potencjale V (x). Aby obliczyć małe zaburzenie solitonowej funkcji falowej,
24
2.1. Wprowadzenie
zacznijmy od niezależnego od czasu równania Grossa-Pitajewskiego w nowych jednostkach,
zob. (2.1.2):
1
1
− ∂x2 φ(x) + |φ(x)|2 φ(x) + V (x)φ(x) = µφ(x),
2
ρ0
(2.1.4)
i podstawmy φ = φ0 + δφ oraz µ = µ0 + δµ = 1 + δµ, gdzie δφ jest małą poprawką funkcji
falowej (2.1.3), a δµ jest małym przyczynkiem do potencjału chemicznego, który pozwoli
nam poprawić możliwe zmiany całkowitej liczby cząstek ze względu na obecność potencjału
V (x). Zachowując jedynie liniowe wyrazy otrzymujemy niezależne od czasu, niejednorodne
równania Bogoliubova-de Gennes:
"
#
#
"
#
"
δφ
φ0
−φ0
L
,
+ δµ
=V
δφ∗
−φ∗0
φ∗0
(2.1.5)
gdzie
L=
− 12 ∂x2 +
2
2
ρ0 |φ0 |
− ρ10 φ∗2
0
−1
+ ρ10 φ20
1 2
2 ∂x
−
2
2
ρ0 |φ0 |
+1
!
.
(2.1.6)
Aby rozwiązać równania (2.1.5) powinniśmy rozwinąć wektor (δφ, δφ∗ )T w kompletnej
bazie zawierającej wektory własne niehermitowskiego operatora L. Baza ta została wyznaczona przez prof. Jacka Dziarmagę w artykule [61], zob. również [59, 62, 63], a więc
zaprezentujemy tylko najważniejsze wyniki tego wyprowadzenia. Szukając kompletnej
bazy trzeba zachować ostrożność, ponieważ operator L nie jest diagonalizowalny [61–64].
Możemy wyróżnić prawostronne stany własne operatora L, i.e. L|ψk i = ǫk |ψk i, gdzie
|ψk i = (|uk i, |vk i)T oraz [61]
uk (x) =
eikx e−iθ
√ 3/2
4 πǫk
vk (x) =
eikx eiθ
√ 3/2
4 πǫk
k
k
+ itanh(x − q) + +
k + 2ǫk
, (2.1.7)
2
cosh2 (x − q)
k
k
2
k − 2ǫk
, (2.1.8)
+ itanh(x − q) + +
2
cosh2 (x − q)
2
które odpowiadają znanemu spektrum Bogoliubova:
ǫk =
1p 2
4k + k 4 .
2
(2.1.9)
Powyższe stany własne nazywane są fononami, a więc stanowią elementarne wzbudzenia
układu, a ich wektory sprzężone |ψkad i = (|uk i, −|vk i)T są również lewostronnymi modami
własnymi L. Biorąc pod uwagę symetrie operatora L, tj. σz Lσz = L† , gdzie σz jest
macierzą Pauliego, otrzymujemy |ψ̃k i = (|ũk i, |ṽk i)T = (|vk∗ i, |u∗k i)T , które są prawymi
modami własnymi do wartości własnych ǫ̃k = −ǫk , natomiast |ψ̃kad i = (−|vk∗ i, |u∗k i)T są
ich wektorami sprzężonymi. W nieskończonej przestrzeni prawostronne wektory i wektory
25
2.1. Wprowadzenie
sprzężone do nich spełniają warunek hψkad |ψk′ i = huk |uk′ i − hvk |vk′ i = δ(k − k ′ ). W
przypadku potencjału pudła wektory falowe są skwantowane, tj. kn = nπ/L gdzie n =
1, 2, . . ., a więc istnieje bardzo mała przerwa energetyczna dla wzbudzeń fononowych.
Oprócz fononów istnieją dwa mody operatora L do wartości własnej ǫk = 0 odpowia-
dające złamanym symetriom: cechowania U (1) oraz translacyjnej [61],
#
"
"
#
φ0
uθ
∂
,
=i
∂θ φ∗0
vθ
"
#
"
#
uq
φ0
∂
,
=i
∂q φ∗0
vq
(2.1.10)
(2.1.11)
odpowiednio. Pojawiają się one jako mody zerowe ponieważ przesunięcie globalnej fazy
θ lub zmiana położenia solitonu w rozwiązaniu (2.1.3) nie prowadzą do zmian w energii układu, a więc mogą one zostać wybrane dowolnie. Mody zerowe spełniają warunek
huq |uθ i − hvq |vθ i = 0 i są ortogonalne do modów sprzężonych do fononów. Wektory sprzężone do modów zerowych nie są lewostronnymi wektorami własnymi operatora L i mogą
być znalezione jako rozwiązania równania [63]
#
"
"
#
uad
u
1
θ,q
θ,q
=
L
,
ad
M
θ,q
vθ,q
vθ,q
(2.1.12)
ad
gdzie Mθ,q jest wyznaczone z warunku normalizacji huad
θ,q | uθ,q i − hvθ,q | vθ,q i = 1. Otrzymu-
jemy zatem [61]
"
uad
θ
"
uad
q
vθad
vqad
#
=
#
i
= − √
4 ρ0
∂
∂N0
"
#
φ0
φ∗0
"
− iR
e−iθ
−eiθ
#
"
uq
vq
#
(2.1.13)
,
(2.1.14)
,
gdzie Mθ = ρ0 (∂N0 /∂ρ0 ), Mq = −4ρ0 i R = (2q − L)ρ0 /Mq Mθ . Mamy więc huad
q |uθ i −
ad
T
hvqad |vθ i = 0 i huad
θ |uq i − hvθ |vq i = 0. Mały przyczynek od modu zerowego (uq , vq ) w
ad
ad ad
(2.1.13) pozwala nam na spełnienie warunku ortogonalności huad
q |uθ i − hvq |vθ i = 0.
Posiadamy już wszystkie wektory potrzebne do zbudowania kompletnej bazy prze-
strzeni Hilberta funkcji (δφ, δφ∗ ), dzięki czemu możemy w niej rozwinąć deformację solitonu, tj.:
"
δφ
δφ∗
#
= ∆θ
+
"
X
k
uθ
vθ
#
bk
+ Pθ
"
uk
vk
"
#
uad
θ
vθad
+
b∗k
26
#
"
+ ∆q
vk∗
u∗k
"
#!
uq
vq
.
#
+ Pq
"
uad
q
vqad
#
(2.1.15)
2.1. Wprowadzenie
Podstawiając (2.1.15) do (2.1.5) otrzymujemy układ równań:
V
"
−φ0
φ∗0
#
+ δµ
"
φ0
#
Pθ
=
Mθ
"
−φ∗0
X
ǫk
+
k
bk
"
uθ
#
"
− b∗k
vk∗
u∗k
Pq
+
M
q
vθ
"
#
uk
vk
uq
#
vq
#!
.
(2.1.16)
Rzutując to równanie na wektory sprzężone otrzymujemy współczynniki rozwinięcia oraz
małą poprawkę do potencjału chemicznego. Warto zauważyć, że nie istnieją żadne ograniczenia w wyborze małego odchylenia ∆θ oraz ∆q, ponieważ są to współczynniki związane z
modami zerowymi. Niemniej jednak w przeciwieństwie do fazy θ, która może być dowolna,
przekonamy się, że położenie solitonu q nie może, ponieważ zewnętrzny potencjał łamie
symetrię translacyjną nie wpływając na symetrię cechowania U (1). Współczynnik ∆θ odpowiada przesunięciu globalnej fazy solitonu (2.1.3), a więc bez straty ogólności możemy
wybrać ∆θ = 0. Dla współczynnika Pθ otrzymujemy
Pθ
= −2h∂N0 φ0 |V φ0 i + δµ − iR (huq |V φ0 i + hvq |V φ∗0 i) .
Mθ
(2.1.17)
Ostatni wyraz z prawej strony równania może być przepisany w nieco innej formie, tj.:
huq |V φ0 i + hvq |V
φ∗0 i
∼
Z
L
0
dx|φ0 (x − q)|2 ∂x V (x),
(2.1.18)
która przedstawia siłę działającą na soliton. Dla rozwiązania stacjonarnego położenie solitonu q możemy wybrać tak, że siła ta jest równa zero. Wtedy również dowolne przesunięcie
solitonu powinno być równe zero, tj. ∆q = 0 w (2.1.15). Z takim wyborem położenia solitonu współczynnik Pθ jest wprost związany ze zmianą całkowitej liczby cząstek, która
w naszych założeniach jest stała. Wtedy Pθ = dN = 0 i równanie (2.1.17) pozwala nam
uzyskać poprawkę do potencjału chemicznego w postaci:
δµ = 2h∂N0 φ0 |V φ0 i
1
L
Z
L
0
dy tanh y + y sech2 y tanh yV (y + q).
(2.1.19)
Rzutując (2.1.16) na mod sprzężony (2.1.14) otrzymujemy Pq = 0, czego można było się
spodziewać, ponieważ Pq ma interpretację pędu solitonu, a więc w stanie stacjonarnym
powinien być on równy zero.
Zatem z właściwym wyborem położenia solitonu oraz poprawki do potencjału chemicznego, wszystkie współczynniki w (2.1.15) wynoszą zero z wyjątkiem
bk =
1
[−huk |V φ0 i − hvk |V φ∗0 i ] ,
ǫk
27
(2.1.20)
2.1. Wprowadzenie
które zawiera pełną informację o deformacji solitonu w słabym zewnętrznym potencjale.
Ostatecznie stacjonarne rozwiązanie solitonowe w obecności słabego zewnętrznego potencjału wynosi:
φ(x) = φ0 (x) +
X
[bk uk (x) + b∗k vk∗ (x)] .
(2.1.21)
k
2.1.2
Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach potencjału
Pöschl–Tellera
Podejście Bogoliubova jest odpowiednie w opisie modów własnych kolektywnych lub
elementarnych wzbudzeń kondensatu Bosego-Einsteina [44,65]. Jednak jeśli jesteśmy zainteresowani opisem stacjonarnego rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego i jeśli rozwiązanie to może być przedstawione jako funkcja rzeczywista, możemy wprowadzić znaczące
uproszczenie. W niniejszym punkcie zobaczymy, że opis deformacji ciemnego solitonu redukuje się do rozwinięcia funkcji falowej w modach potencjału Pöschl-Tellera [66]. Takie
podejście zostało zastosowane do analizy deformacji jasnego solitonu w słabym potencjale
zewnętrznym [67] i okazuje się, że jest odpowiednie również w przypadku ciemnego solitonu.
Zacznijmy znowu od stacjonarnego równania Grossa-Pitajewskiego, ale załóżmy, że
szukamy rozwiązania będącego funkcją rzeczywistą
1 2
1 2
− ∂x + φ − µ + V (x) φ = 0.
2
ρ0
(2.1.22)
Podobnie jak w przypadku podejścia Bogoliubova wprowadźmy µ = µ0 + δµ = 1 + δµ
oraz φ = φ0 + δφ, załóżmy również, że w rozwiązaniu solitonowym (2.1.3) globalna faza
θ = 0. Zachowując jedynie wyrazy liniowe, przepisując φ20 (x − q) = ρ0 tanh2 (x − q) =
ρ0 1 − cosh−2 (x − q) oraz zmnieniając zmienne x → x + q otrzymujemy
gdzie
(H0 + 2) δφ = δµφ0 − V (x + q) φ0 ,
(2.1.23)
1
3
H0 = − ∂x2 −
,
2
cosh2 (x)
(2.1.24)
jest hamiltonianem dla cząstki w potencjale Pöschl–Tellera [66]. Aby obliczyć δφ musimy
odwrócić operator H0 + 2. Wszystkie stany własne hamiltonianu H0 są znane w literaturze
[68]. Istnieją dwa stany związane
√
3
sech(x)2 ,
2
r
3
sech(x) tanh(x),
ψ1 (x) =
2
ψ0 (x) =
28
(2.1.25)
(2.1.26)
2.1. Wprowadzenie
do energii własnych E0 = −2 i E1 = − 12 odpowiednio oraz stany rozproszeniowe:
ψk (x) =
do energii Ek =
k2
2 ,
eikx k 2 − 2 + 3sech2 (x) + 3ik tanh(x)
,
(2π)1/2
[(1 + k 2 )(4 + k 2 )]1/2
(2.1.27)
k ∈ R.
Zatem możemy rozwinąć deformację δφ w ortonormalnej bazie funkcji własnych
Z
δφ = α0 ψ0 + α1 ψ1 + dk αk ψk (x),
(2.1.28)
oraz wyznaczyć współczynniki αj rzutując równanie (2.1.23) na odpowiednie mody własne
Z
(Ej + 2)αj = dx ψj∗ (x)[δµφ0 − V (x + q)φ0 ].
(2.1.29)
Funkcja falowa (2.1.25) jest modem zerowym, tj. (H0 +2)ψ0 = 0. Wtedy, równanie (2.1.23)
może być rozwiązane jeśli rzut prawej strony równania na mod zerowy znika. Wymagamy
zatem, aby
−hψ0 |V φ0 i + δµhψ0 |φ0 i = −hψ0 |V φ0 i ∼ h∂x φ0 |V φ0 i
ZL
= − dx φ20 (x − q)∂x V (x)
0
= 0.
(2.1.30)
W (2.1.30) skorzystaliśmy z hψ0 |φ0 i = 0 oraz z faktu, że mod zerowy jest również modem
translacyjnym ciemnego solitonu, tj. ψ0 ∼ ∂x φ0 . Z warunku (2.1.30) wynika, że położenie
solitonu q powinno być wybrane w taki sposób, aby siła działająca na nie wynosiła zero,
por. z (2.1.18). Z równania (2.1.29) nie otrzymujemy żadnego ograniczenia na wartość
α0 . Jednak biorąc pod uwagę, że α0 ψ0 ma interpretację przesunięcia położenia solitonu,
powinniśmy wybrać α0 = 0 jeśli interesuje nas rozwiązanie stacjonarne.
Rozwiązanie równania (2.1.23) wymaga odwrócenia operatora H0 + 2 w przestrzeni
Hilberta z wyłączeniem modu zerowego, co nie stanowi problemu, ponieważ wszystkie
funkcje własne H0 sa znane. Mamy zatem
Z
δφ(x) = dy K(x, y) [δµφ0 − V (y + q)φ0 ],
(2.1.31)
gdzie symetryczne jądro K(x, y) wynosi
Z
ψk (x)ψk∗ (y)
2
∗
K(x, y) =
ψ1 (x)ψ1 (y) + 2
3
4 + k2
1
= − sech2 (x)sech2 (y) × sh2 2x + sh2 2y + 4ch2x + 4ch2y
16
−3 − (ch2x + ch2y + 3) |sh2x − sh2y| −4sh|x − y|shx shy
−6|x − y|} .
29
(2.1.32)
2.1. Wprowadzenie
W podejściu Bogoliubova, nawet jeśli jesteśmy ograniczeni do podprzestrzeni fononów,
operator L posiada wartość własną równą zero jeśli przestrzeń konfiguracyjna jest nieskończona, zob. (2.1.9). Wynika stąd, że otrzymanie analogicznego jądra odpowiedzi nie jest
tak oczywiste, ponieważ całkowanie po podprzestrzeni fononów powinno być zamienione
przez sumę po dyskretnych wartościach wektora falowego.
Na koniec pozostaje nam określić poprawkę do potencjału chemicznego. W podejściu
Bogoliubova istnieje szczególny mod odpowiedzialny za zmiany całkowitej liczby cząstek,
który jest ortogonalny do wszystkich innych modów Bogoliubova, a więc aby utrzymać
stałą liczbę cząstek w układzie wystarczy upewnić się, że zaburzenie funkcji falowej nie
zawiera żadnego wkładu od tego modu. Teraz natomiast potencjał chemiczny otrzymujemy
z warunku normalizacji hφ|φi = N0 + O(δφ2 ), z którego wynika, że hφ0 |δφi = 0 i wtedy
R
dxdy φ0 (x)K(x, y)V (y + q)φ0 (y)
R
δµ =
Z dxdy φ0 (x)K(x, y)φ0 (y)
1
=
dy tanh y + y sech2 y tanh yV (q + y),
(2.1.33)
L
a więc otrzymujemy to samo wyrażenie co w podejściu Bogoliubova, por. z (2.1.19).
Ostateczne wyrażenie na stacjonarne rozwiązanie solitonowe w obecności słabego zewnętrznego potencjału wynosi:
Z
∂φ0 (x)|µ0
,
(2.1.34)
φ(x) = φ0 (x) − dy K(x, y)V (y + q)φ0 (y) + δµ
∂µ0
R
∂φ (x)|
gdzie użyliśmy dyK(x, y)φ0 (y) = 0∂µ0 µ0 z φ0 |µ0 ≡ φ0 będącym funkcją falową z ustalonym potencjałem chemicznym µ0 = 1.
W przypadku jasnego solitonu [67] funkcja falowa ψ1 (nie ψ0 jak w problemie ciemnego
solitonu) stanowiła mod translacyjny układu, a także operator H0 + 2 jest zastąpiony
przez H0 + 1/2. W konsekwencji otrzymujemy inne wyrażenie na symetryczne jądro, co
jest zgodne z intuicją, ponieważ jasny soliton reprezentuje zlokalizowaną paczkę falową,
podczas gdy ciemny soliton jest skokiem fazy w położeniu solitonu z jednorodną gęstością
wokół.
2.1.3
Lokalizacja Andersona
Pod koniec lat 50. XX wieku Philip W. Anderson zapoczątkował nowy rozdział w
fizyce ciała stałego badając zagadnienie transportu elektronowego w przewodnikach [69].
W modelu ciasnego wiązania dla nieoddziałującego gazu elektronów na sieci otrzymujemy
równanie Schrödingera w postaci:
−Jψi+1 − Jψi−1 + ǫi ψ = Eψ,
30
(2.1.35)
2.2. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny
gdzie J oznacza amplitudę tunelowania elektronu pomiędzy sąsiadującymi oczkami sieci,
ǫi oznacza energię zlokalizowaną na i-tym oczku sieci, a E stanowi energię własną elektronu. W sytuacji, gdy ǫi jest stałe na każdym oczku sieci, to układ jest periodyczny i
posiada rozwiązania w postaci fal Blocha. Jeśli natomiast energia ǫi zmienia się w sposób
losowy, to transport w układzie zanika i stany własne układu stają się zlokalizowane z
eksponencjalnym zanikiem gęstości, tj.:
|ψ(x)|2 ∼ e−|x−x0 |/ξloc ,
(2.1.36)
gdzie ξloc jest tzw długością lokalizacji. Okazuje się, że za to zjawisko odpowiedzialna jest
interferencja kwantowa, tj. cząstka ulega serii przypadkowych rozproszeń, a destruktywna
interferencja powoduje wykładniczy zanik profilu gęstości.
2.2
Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny
W niniejszym punkcie chcielibyśmy opisać deformację ciemnego solitonu w obecności
słabego potencjału przypadkowego, zwanego również nieporządkiem. Przykładem potencjału tego typu jest optyczny potencjał przypadkowy, który można wygenerować eksperymentalnie poprzez naświetlanie laserem płytki dyfuzyjnej [16, 17]. W dalekim polu,
natężenie światła tworzy losowy rozkład, który atomy odczuwają jako zewnętrzny potencjał przypadkowy. Efekty dyfrakcyjne odpowiedzialne są za skończoną długość korelacji
potencjału nieporządku.
Do porównania wyników analitycznych z obliczeniami numerycznymi wybraliśmy optyczny
potencjał przypadkowy scharakteryzowany przez: średnią wartość równą zero, tj. V (x) =
i1/2
h
oraz funkcję autokorelacji V (x′ )V (x′ + x) =
0, odchylenie standardowe V0 = V (x)2
2
(x/σR )
gdzie σR jest długością korelacji nieporządku. Na Rys. 2.1 przedstawione są
V02 sin(x/σ
2
R)
przykłady rozwiązań solitonowych w obecności optycznego potencjału przypadkowego dla
długości korelacji dużo mniejszej (σR = 0.05) oraz porównywalnej (σR = 1) z długością
zabliźnienia kondensatu, oraz dla amplitud V0 = 1, V0 = 0.5 oraz V0 = 0.05. Wyniki otrzymane perturbacyjnie oraz poprzez numeryczne rozwiązanie równanie Grossa-Pitajewskiego
pozostają w bardzo dobrej zgodności nawet jeśli siła potencjału przypadkowego jest rzędu
potencjału chemicznego, jak na wykresie b). Dla długości korelacji σR = 0.05 nieporządek zmienia się gwałtownie i jego wpływ na kondensat jest zauważalnie mniejszy niż dla
σR = 1, co dobrze widać porównując wykresy a) i b). Okazuje się jednak, że jeśli amplituda
potencjału nieporządku jest dostatecznie mała, to bez względu na jego długość korelacji
31
2.2. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny
V0 = 0.5 R= 0.05
3
6
2
4
1
2
0
0
-25
-25
1
1
funkcja falowa
funkcja falowa
V0 = 1 R= 0.05
b)
V(x)
V(x)
a)
0.5
0
-0.5
-1
0.5
0
-0.5
-1
-20
-10
0
10
20
-20
-10
x
10
20
x
V0 = 0.5 R= 1
c)
0
V0 = 0.05 R= 1
d)
0.2
2
0.15
1
V(x)
V(x)
1.5
0.5
0.05
0
0
-0.5
-25
-25
1
1
funkcja falowa
funkcja falowa
0.1
0.5
0
-0.5
-1
0.5
0
-0.5
-1
-20
-10
0
10
20
-20
x
-10
0
10
20
x
Rysunek 2.1: Na górnych wykresach paneli a), b), c) i d) pokazana jest przykładowa realizacja potencjału przypadkowego o długości korelacji σR = 0.05 (a) i b)) oraz σR = 1 (c) i
d)). Amplituda potencjałów zmienia się od bardzo małej, tj. V0 = 0.05 w panelu d), przez
V0 = 0.5 w panelach a) i c), do V0 = 1 w panelu b). Dolnym wykresom każdej serii odpowiadają ścisłe rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego otrzymane numerycznie (czarna
ciągła linia) oraz stosując podejście perturbacyjne (czerwona przerywana), zob. równanie
(2.1.34). (Równanie (2.1.21 prowadzi do tych samych wyników). Zielone kropkowane linie
natomiast odpowiadają niezaburzonej funkcji falowej ciemnego solitonu (2.1.3).
32
2.3. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy
funkcja falowa kondensatu pozostaje niemal niezaburzona nawet dla σR = 1, zob. panel
d).
Do tej pory rozważaliśmy ciemny soliton w pudle i analizowaliśmy jego deformację
wywołaną obecnością słabego potencjału przypadkowego. Nasze wyniki mogą być również
zastosowane do układu w obecności np. płytkiej pułapki harmonicznej. Rzeczywiście, jeśli
jesteśmy zainteresowani deformacją funkcji falowej kondensatu w pobliżu centrum pułapki
i jeśli zmiana potencjału harmonicznego w skali rozmiaru solitonu jest dużo mniejsza niż
siła nieporządku, tj. ω 2 ≪ V0 gdzie ω jest częstością pułapki harmonicznej, to wpływ
obecności pułapki na deformację solitonu może być zaniedbany.
2.3
Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy
W poprzedniej sekcji do opisu ultrazimnych gazów atomowych zastosowaliśmy przybliżenie średniego pola, a więc że układ wielu ciał jest w stanie, w którym wszystkie atomy
obsadzają tą samą jednocząstkową funkcję falową wyznaczoną przez równanie GrossaPitajewskiego. Wtedy stacjonarny ciemny soliton pojawia się jako rozwiązanie klasycznego równania falowego, a jego położenie jest dane liczbą rzeczywistą q. W niniejszej
sekcji w naszych rozważaniach weźmiemy pod uwagę sytuację, w której cząstki niekoniecznie znajdują się w jednym stanie. Okazuje się, że problem ten może być opisany za pomocą
kwantowej wersji podejścia Bogoliubova, w której przykładowo q staje się kwantowomechanicznym operatorem q̂ i położenie solitonu opisane jest rozkładem prawdopodobieństwa.
Takie podejście ma w zasadzie bardziej naturę semiklasyczną. Pełna kwantowa analiza
wymagałaby pełnego rozwiązania N-ciałowego, jak zostało zrobione w [70, 71] dla jasnych
solitonów w światłowodach, zob. również [44]. Lokalizacja Andersona jasnych solitonów
została też opisana w pełni w pracy D. Delande et al. [72]
2.3.1
Efektywny hamiltonian
Hamiltonian efektywny opisujący jasny soliton w obecności słabego zewnętrznego potencjału został wprowadzony w referencji [73]. Opiera się on na koncepcji prof. Dziarmagi
pozwalającej opisać nieperturbacyjnie stopnie swobody związane z modami zerowymi Bogoliubova [61]. Otrzymanie efektywnego hamiltonianu w przypadku ciemnego solitonu
bazuje na tym samym rozumowaniu, dlatego przedstawimy tylko najważniejsze elementy.
W poprzedniej sekcji 2.2 zarówno globalna faza θ funkcji falowej (2.1.3) jak i położenie
solitonu q były wybierane, nie rozpatrywaliśmy żadnej zmiany ich wartości. Małe odchy-
33
lenia mogą być opisane za pomocą modów zerowych, por. (2.1.10)-(2.1.11) oraz (2.1.15),
podczas gdy duże zmiany potrzebują modyfikacji naszego podejścia. Rozwinięcie poprawki
funkcji falowej wokół danej wartości położenia solitonu q, zob. (2.1.15), nie jest potrzebne,
ponieważ możemy traktować q jako zmienną dynamiczną, to samo dotyczy θ [61]. W ten
sposób otrzymujemy
"
φ
φ∗
#
=
"
+
φ0
φ∗0
X
k
#
+ Pθ
bk
"
"
uk
vk
uad
θ
vθad
#
#
+ Pq
+ b∗k
"
"
vk∗
u∗k
uad
q
vqad
#!
#
.
(2.3.1)
W równaniu (2.3.1) wszystkie mody zależą od q i θ, a więc mogą podążać za dużymi
zmianami położenia solitonu i globalnej fazy. Podstawienie (2.3.1) do funkcjonału energii:
Z
1
1
2
2
4
2
H = dx |∂x φ| + V |φ| +
|φ| − µ|φ| ,
(2.3.2)
2
2ρ0
prowadzi do:
Z
Pq2
+ dxV (x)|φ0 (x − q)|2
2|Mq |
P2
+ θ + 2Pθ huad
θ |V φ0 i
2M
Xθ
[ǫk b∗k bk + sk (bk + b∗k )],
+
H = −
(2.3.3)
k
z
sk = huk |V φ0 i + hvk |V φ∗0 i ,
(2.3.4)
gdzie zachowujemy jedynie wyrazy rzędu O(P 2 , b2 , P V, bV ). Warto zauważyć, że równanie (2.3.3) odpowiada klasycznej teorii perturbacji opisanej w punkcie 2.1.1, ale w sformu-
łowaniu hamiltonianów. Oznacza to, że punkty stałe równań Hamiltona wygenerowanych
przez (2.3.3) [73] odpowiadają stacjonarnym rozwiązaniom analizowanym w punkcie 2.1.1.
Wiemy z sekcji 2.2, że stacjonarne rozwiązania pozostają w dobrej zgodzie ze ścisłymi rozwiązaniami numerycznymi dla nieporządku o sile rzędu potencjału chemicznego układu,
tj. dla V0 ≈ 1.
W tak zwanym formalizmie drugiej kwantyzacji, kwantowy hamiltonian wielociałowy
odpowiada (2.3.2), gdzie funkcja falowa φ jest zastąpiona przez operator pola bozonowego
φ̂. Wtedy, również współczynniki rozwinięcia w (2.3.1) stają się operatorami:
P̂q = −i∂q ,
(2.3.5)
P̂θ = N̂ − N0 = −i∂θ ,
(2.3.6)
34
i spełniają relacje komutacji:
[q̂, P̂q ] = i,
[θ̂, P̂θ ] = i,
[b̂k , b̂†k′ ] = δkk′ .
(2.3.7)
Funkcjonał energii (2.3.3) nie zależy od θ, a więc, w kwantowym opisie [P̂θ , Ĥ] = 0 i możemy
ograniczyć go do podprzestrzeni Hilberta z dokładnie N0 cząstkami, tj. dla każdego stanu
w tej podprzestrzeni P̂θ |ψi = 0, i kwantowy efektywny hamiltonian redukuje się do postaci:
Ĥ = Ĥq + ĤB + Ĥ1 ,
(2.3.8)
gdzie
Z
P̂q2
+ dxV (x)|φ0 (x − q)|2
2|Mq |
!
Z
P̂q2
|Mq |
V (x)
dx
+
= −
,
2|Mq |
4
cosh2 (x − q)
X †
ǫk b̂k b̂k ,
=
Ĥq = −
ĤB
(2.3.9)
(2.3.10)
k
Ĥ1 =
X
sk (b̂k + b̂†k ).
(2.3.11)
k
Hamiltonian Ĥq opisuje ruch solitonu w efektywnym potencjale, który okazuje się być
konwolucją oryginalnego potencjału z gęstością |φ0 |2 . Dzięki |φ0 |2 = ρ0 tanh2 (x − q) =
|Mq |
4 [1
− cosh2 (x − q)] i V (x) = 0, Ĥq staje się podobny do odpowiedniego hamiltonianu
dla jasnego solitonu w słabym zewnętrznym potencjale [64]. Wyraz ĤB opisuje podsystem kwazicząstek (fononów) i Ĥ1 jest częścią hamiltonianu, która sprzęga stopień swobody
związany z położeniem solitonu z fononami. W opisie klasycznym w sekcji 2.2) sprzężenie
to jest odpowiedzialne za deformację stacjonarnej funkcji falowej kondensatu. Teraz natomiast nie będziemy szukali stanów własnych pełnego hamiltonianu Ĥ, ale ograniczymy
się do stanów własnych Ĥq oraz wyznaczymy czas życia układu przygotowanego w tych
stanach ze względu na sprzężenie z podsystemem kwazicząstek wprowadzonym przez Ĥ1 .
Chcielibyśmy podkreślić znaczące różnice pomiędzy klasycznym opisem a kwantowym.
Są one najbardziej widoczne jeśli rozważmy układ bez zewnętrznego potencjału. W istocie dla V (x) = 0, położenie solitonu w opisie klasycznym może zostać wybrane dowolnie,
ale jest dobrze zdefiniowane. W podejściu kwantowym hamiltonian Ĥq mówi nam, że
stany własne układu odpowiadają stanom własnym operatora pędu P̂q i rozkład prawdopodobieństwa dla położenia solitonu jest zupełnie zdelokalizowany. Stąd, podobnie jak
35
w przypadku jasnego solitonu [44], przewidujemy znaczącą fragmentację kondensatu w
kwantowym opisie ciemnego solitonu [74–77].
2.3.2
Lokalizacja Andersona ciemnego solitonu
Ostateczna forma hamiltonianu Ĥq jest podobna do hamiltonianu dla środka masy
jasnego solitonu w słabym zewnętrznym potencjale [73]. Efektywna masa |Mq | w równaniu (2.3.9) jest równa dwukrotnej wartości brakującej liczby cząstek we wcięciu ciemnego
solitonu, podczas gdy w przypadku jasnego solitonu dana jest przez całkowitą liczbę cząstek w układzie. Jasny soliton jest stanem podstawowym równania Grossa-Pitajewskiego
i wzbudzenia jego środka masy zwiększają energię w układzie. Ciemny soliton natomiast
odpowiada kolektywnie wzbudzonemu układowi i aby obniżyć energię układu trzeba np.
nadać mu prędkość. Okazuje się, że wzbudzenia stopnia swobody związanego z położeniem
solitonu obniżają energię układu z powodu znaku minus na początku wyrażenia (2.3.9).
We wcześniejszych pracach poruszających tematykę lokalizacji kwantowych solitonów
zostało pokazane, że w obecności słabego nieporządku środek masy jasnego solitonu przejawia lokalizację [64]. Tego samego zjawiska spodziewamy się dla ciemnych solitonów. Dla
V (x) będącego optycznym potencjałem przypadkowym z długością korelacji σR mniejszą
niż długość zabliźnienia ξ układu, otrzymujemy efektywny potencjał w (2.3.9) gdzie długość zabliźnienia pełni rolę efektywnej długości korelacji. Podstawowe własności lokalizacji
Andersona w 1D pozwalają nam przypuszczać, że wszystkie stany własne hamiltonianu Ĥq
są zlokalizowane eksponencjalnie, tj. mają kształt z obwiednią [78, 79]
|q − q0 |
,
|ψn (q)| ∝ exp −
lloc
2
(2.3.12)
gdzie Ĥq ψn (q) = En ψn (q), q0 jest średnim położeniem solitonu i lloc = lloc (En ) jest długością lokalizacji. Rzeczywiście na Rys. 2.2 przedstawione są przykłady stanów zlokalizowanych andersonowsko dla dwóch wartości odchylenia standardowego potencjału przypadkowego V0 . Parametry wybrane do symulacji są następujące: N0 = 105
87 Rb
atomów w
kwazijednowymiarowym potencjale pudła o długości L = 3550 (3.37 mm) z potencjałem
harmonicznym o częstości ω⊥ = 2π × 370 Hz w poprzecznym kierunku; długość korelacji potencjału przypadkowego wynosi σR = 0.28 (0.27 µm). Jednostki energii (2.1.2) są
następujące: E0 /~ = 789 Hz, l0 = 0.96 µm oraz t0 = 1.27 ms.
36
probability density
wavefunction
0.2 (b)
0.1
0
-0.1
-0.2
0.2 (a)
0.1
0
-0.1
-0.2
0
10
-16
10
-100 -50 0 50 100 150
(c)
-100
-12
10
0
100 200 300
(d)
-24
-32
10
-48
10
-64
10
10
-36
10
-48
10
-1000
0
q
1000
-1000
0
q
1000
Rysunek 2.2: W górnych panelach pokazane są przykłady stanów własnych efektywnego
hamiltonianu Ĥq , zob. (2.3.9), natomiast w dolnych odpowiadające ich gęstości prawdopodobieństwa w skali logarytmicznej. Długość korelacji potencjału przypadkowego jest równa
σR = 0.28, a amplituda V0 = 7 × 10−5 (lewe panele) oraz V0 = 1.4 × 10−4 (prawe panele).
Stany własne odpowiadają wartościom własnym En = −3.03 × 10−3 (lewe panele) oraz
En = −8.58×10−3 (prawe panele) i przejawiają długości lokalizacji odpowiednio lloc = 10.5
oraz lloc = 15.7.
Aby otrzymać przewidywania dla lokalizacji Andersona solitonów pomijamy sprzężenie położenia solitonu z podsystemem kwazicząstek. W przypadku jasnego solitonu tego
typu przybliżenie było uzasadnione, ponieważ istnieje ogromna przerwa energetyczna dla
wzbudzeń kwazicząstek i jeśli siła potencjału jest dużo mniejsza niż potencjał chemiczny
układu, poprawki do efektywnego hamiltonianu Ĥq są zaniedbywalne [73]. W przypadku
ciemnego solitonu przerwy energetycznej dla fononowych wzbudzeń praktycznie nie ma,
tj. najmniejsza wartość ǫk , zob. (2.1.9), odpowiada k = π/L, które dąży do zera dla
dużego układu. Ponadto ciemny soliton jest kolektywnie wzbudzonym stanem, który może
rozpadać się do stanów o niższej energii poprzez emisję fononów. Jeśli siła potencjału
nieporządku V0 ≪ 1 wiemy z klasycznej analizy z sekcji 2.2, że kształt stacjonarnego ciemnego solitonu jest zaniedbywalnie zdeformowany przez zewnętrzny potencjał. W opisie
kwantowym możemy zatem oczekiwać, że czas życia zlokalizowanych andersonowsko stanów własnych jest dostatecznie długi, że możliwa jest eksperymentalna obserwacja efektów
lokalizacji.
Wybierzmy jako stan początkowy układu zawierającego N0 cząstek stan |Ψi, gdzie
położenie solitonu opisane jest przez stan własny ψn (q) do energii własnej En hamiltonianu
37
Ĥq oraz że nie ma wzbudzeń fononowych, tj. mamy do czynienia z próżnią kwazicząstkową:
|Ψi = |ψn , 0B i = ψn (q)|0B i,
(2.3.13)
gdzie b̂k |0B i = 0 dla każdego k. W pierwszym rzędzie w H1 , zob. (2.3.11), układ może
rozpadać się do innego stanu własnego ψm (q) odpowiadającego energii Em emitując przy
tym pojedynczy fonon o energii ǫk . Zgodnie ze złotą regułą Fermiego szybkość zaniku ma
postać:
Γ = 2π
X
γm ,
(2.3.14)
m
gdzie
γm = |hψm , 1k |Ĥ1 |ψn , 0B i|2 g(ǫk ) = |hψm |sk |ψn i|g(ǫk ).
(2.3.15)
Suma występująca w (2.3.14) przebiega po wszystkich stanach własnych ψm , dla których
możemy znaleźć taki fonon, że zasada zachowania energii En = Em + ǫk jest spełniona.
Zakładamy ciągłe spektrum fononów (2.1.9) z przerwą energetyczną odpowiadającą k =
π/L. Gęstość stanów wynosi:
ǫ
g(ǫ) = h
i1/2 .
√
2
2
ǫ +1−1
2(ǫ + 1)
(2.3.16)
Czas życia stanów zlokalizowanych andersonowsko przedstawionych na Rys. 2.2a i 2.2c
wynosi τ = 1/Γ = 8×105 (∼17 minut) oraz na Rys. 2.2b i 2.2d τ = 2.5×105 (∼5 minut), co
oznacza, że jest wystarczająco dużo czasu aby przeprowadzić eksperyment zanim rozpadną
się ze względu na emisję fononów. Na Rys. 2.3 przedstawione zostały przyczynki γm do
szybkości rozpadu (2.3.14) oraz stany ψm odpowiadające największej wartości γm . Rys. 2.3
wskazuje, że najbardziej prawdopodobny rozpad prowadzi układ do stanów zlokalizowanych
w pobliżu początkowego obszaru lokalizacji.
Długi czas życia stanów zlokalizowanych andersonowsko jest bardzo obiecujący z eksperymentalnego punktu widzenia. W istocie oznacza to, że jest wystarczająco dużo czasu
aby wzbudzić ciemny soliton w ultrazimnej chmurze atomowej, odczekać aż się zlokalizuje
w obecności słabego potencjału przypadkowego i przeprowadzić pomiar gęstości atomów.
Jeśli soliton jest zlokalizowany andersonowsko, to rozkład położenia solitonu zebrany z
wielu realizacji eksperymentu [74–77] będzie przejawiał eksponencjalny profil.
Eksperymenty z ciemnymi solitonami były przeprowadzane w obecności pułapki harmonicznej [80–85]. W takim przypadku aby obserwować lokalizację Andersona solitonów,
38
7
10 γm
2.4. Podsumowanie
0.5 a)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.007
2
b)
1.5
1
0.5
-0.006
-0.005
0
wave function
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
Em
c)
-100
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
q
-0.01
-0.015
Em
100
200
d)
-400 -200 0
q
200 400
Rysunek 2.3: Górne panele: wkład γm , z równania (2.3.15), do całkowitego czynnika rozpadu Γ jako funkcja energii Em . Dolne panele: stany początkowe ψn (q) układu (ciągłe
czarne linie) oraz stany własne ψm (q) (czerwone przerywane) odpowiadające najbardziej
prawdopodobnym kanałom rozpadu, tj. maksymalnym wartościom γm . Parametry wybrane w lewych (prawych) panelach są takie same jak odpowiadające im w Rys. 2.2.
pułapka musi być wystarczająco płytka. Oznacza to, że stan podstawowy położenia solitonu w pułapce harmonicznej bez nieporządku rozciąga się na obszarze większym niż
długość lokalizacji przewidzianej w naszej analizie, tj. √
ścią pułapki harmonicznej.
2.4
1
|Mq |ω
≫ lloc gdzie ω jest często-
Podsumowanie
W niniejszym rozdziale rozważaliśmy ciemny soliton w rozrzedzonym ultrazimnym gazie atomowym w obecności słabego potencjału przypadkowego. Rozważania podzieliliśmy
na dwie części: opis klasyczny oraz kwantowy. Opis klasyczny dotyczył analizy stacjonarnego rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego oraz wpływu potencjału przypadkowego
na kształt solitonu. Zastosowaliśmy w tym celu dwie metody: podejście Bogoliubova oraz
rozwinięcie perturbacji funkcji falowej w stany własne potencjału Pöschl-Tellera. Obie
metody prowadzą do takich samych wyników, jednak rozwinięcie w mody Pöschl-Tellera
okazuje się być wygodniejsze, a w szczególności pozwala otrzymać prostą formę zaburzenia
solitonu w postaci jądra całkowego. Porównanie metod perturbacyjnych z wynikami numerycznymi pokazuje zadziwiająco dobrą zgodność nawet dla potencjałów o amplitudzie
39
2.4. Podsumowanie
rzędu potencjału chemicznego. Jeśli natomiast rozpatrujemy słaby zewnętrzny potencjał,
to deformacja solitonu okazuje się być zaniedbywalnie mała.
Podejście Bogoliubova natomiast jest nieocenionym narzędziem w opisie kwantowym,
w którym interesują nas wielociałowe stany własne układu. Jeśli amplituda zewnętrznego
potencjału jest dużo mniejsza niż potencjał chemiczny, położenie ciemnego solitonu może
być opisane efektywnym hamiltonianem, który jest słabo sprzężony z podukładem fononów. Podobnie jak w przypadku jasnego solitonu przewidywaliśmy lokalizację Andersona
ciemnego solitonu w obecności nieporządku. Ze względu na sprzężenie pomiędzy stopniem
swobody związanym z położeniem solitonu z podukładem kwazicząstek zlokalizowane stany
mogą rozpadać się poprzez emisję fononu. Wyznaczyliśmy czasy życia stanów zlokalizowanych andersonowsko i okazuje się, że dla typowych eksperymentalnych warunków są
one dłuższe niż typowy czas życia kondensatu. Dzięki temu możliwa jest eksperymentalna
realizacja lokalizacji ciemnego solitonu.
40
Rozdział 3
Sztuczne pola cechowania w zimnych
gazach atomowych
W sekcji 1.1 zimne gazy atomowe zostały przedstawione jako symulatory kwantowe
wielu zjawisk fizycznych, które do tej pory pozostawały niedostępne w bezpośrednich badaniach. Pomimo możliwości kontrolowania wielu parametrów układu, atomy używane w
eksperymentach są neutralne, a więc nie oddziałują z polem magnetycznym w taki sposób
jak cząstki naładowane. Pojawia się zatem pytanie czy możliwe jest symulowanie w zimnych gazach atomowych zjawisk magnetycznych, których obserwowanie w rzeczywistych
ciałach stałych jest bardzo trudne lub wręcz niemożliwe? Okazuje się, że taką możliwość
dają sztuczne pola cechowania, a więc pewne specyficzne warunki, które powodują, że neutralne atomy zachowują się jak naładowane cząstki w efektywnym polu magnetycznym.
Niniejszy rozdział poświęcony jest mechanizmom fizycznym stojącym za generacją
sztucznych pól magnetycznych, a także zawiera szczegółowy opis opracowanej przez nas
metody wytwarzania sztucznego pola magnetycznego blisko powierzchni dielektrycznej.
Sekcja 3.1.1 stanowi wprowadzenie do opisu oddziaływania atomów ze światłem. Ponieważ
pole wiązki laserowej jest periodyczne w czasie, do wyznaczenia stanów własnych układu,
opisanych w podpunkcie 3.1.3, pomocne jest zastosowanie twierdzenia Floquet, któremu
poświęcony jest podpunkt 3.1.2. Jeżeli atomy poruszają się dostatecznie wolno, a więc
w przybliżeniu adiabatycznym przedstawionym w sekcji 3.1.4 pozostają w początkowym
stanie ubranym, to w hamiltonianie opisującym ruch atomu pojawiają się wyrazy odpowiadające potencjałowi wektorowemu A i skalarnemu W . Potencjał wektorowy A związany
jest z fazą Berry’ego, do której wprowadzenie stanowi podpunkt 3.1.5, wynikającą z ruchu adiabatycznego atomu oraz nietrywialnej geometrii przestrzeni parametrów. Ponieważ
41
3.1. Wprowadzenie
nasze badania poświęcone są generacji sztucznych pól magnetycznych przez falę zanikającą, punkt 3.1.7 przedstawia zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia oraz własności
powstającej w ten sposób fali zanikającej.
Od sekcji 3.2 rozpoczyna się opis opracowanej przez nas metody generacji sztucznego
pola magnetycznego przez falę zanikającą. Początkowe rozważania oparte są na przybliżeniu wiązki laserowej jako fali płaskiej. Takie podejście pozwala uzyskać analityczne rozwiązania oraz przeprowadzić wstępną analizę zarówno pola, jak i jego wpływu na chmurę
ultrazimnych atomów. Okazuje się jednak, że do otrzymania optymalnych pól potrzebne
są wiązki padające pod kątem bliskim kątowi granicznemu dla całkowitego wewnętrznego
odbicia. W związku z tym konieczne jest wzięcie pod uwagę rzeczywistego gaussowskiego
profilu wiązki laserowej. Szczegółowe obliczenia dla tego przypadku prezentuje sekcja 3.3,
w której wykonaliśmy również numeryczne symulacje ukazujące powstawanie wirów w kondensacie Bosego-Einsteina, będących sygnaturą sztucznego pola magnetycznego. Sekcja 3.4
przedstawia natomiast propozycję realizacji eksperymentalnej sztucznych pól w zimnych
gazach atomowych, których temperatura rzędu kilku kelwinów jest zbyt wysoka dla kwantowej degeneracji. Otrzymane przez nas wyniki symulacji trajektorii pokazują, że atomy
mogą być odbijane od powierzchni pryzmatu za pomocą sztucznej siły Lorentza, która
powstaje dzięki oddziaływaniu atomów z falą zanikającą blisko powierzchni dielektrycznej.
Jeśli sztucznego pola magnetycznego nie ma, wszystkie atomy zostają rozproszone na powierzchni pryzmatu. Sekcja 3.5 stanowi podsumowanie otrzymanych przez nas wyników.
Całość materiału zaprezentowanego w niniejszym rozdziale została zebrana w artykule [86].
3.1
3.1.1
Wprowadzenie
Oddziaływanie atomów ze światłem
e
ℏ|Δ|
Ee
ℏω 0
E=0
g
Eg
Rysunek 3.1: Model dwupoziomowego atomu, którego poziomy podstawowy |gi i wzbudzony |ei oddzielone są przerwą energetyczną ~ω0 .
42
3.1. Wprowadzenie
Rozważmy atom dwupoziomowy (Rys. 3.1) umieszczony w polu laserowym o wektorze
falowym k. Poziomy energetyczne o energiach Eg i Ee odpowiadające stanowi podstawowemu |gi i wzbudzonemu |ei, oddzielone są przerwą energetyczną równą ~ω0 . Układ ten
posiada dwie skale: jedną związaną z atomem i jego strukturą (r̃) oraz drugą, związaną z
ruchem środka masy (r). Okazuje się, że zależność od wewnętrznej struktury można wyeliminować stosując przybliżenie długiej fali, a więc zakładając, że zmiany pola elektrycznego
zachodzą na dużo większej skali niż rozmiar atomu, tj. k · r̃ ≪ 1. Wtedy pole elektryczne
można przedstawić w postaci E(r, t) = E0 (r)cos(ωt), gdzie E0 (r) jest amplitudą pola, a r
jest wektorem położenia atomu. Pole to indukuje atomowy moment dipolowy d, z którym
następnie oddziałuje w taki sposób, że Hint = −d · E(r, t). Zakładając różną parzystość
stanów |gi i |ei, jedynie pozadiagonalne elementy Hint będą niezerowe. Hamiltonian układu
opisujący wewnętrzne stopnie swobody atomu i ich oddziaływanie z zewnętrznym polem
możemy zapisać jako:
1
H = H0 + Hint = ~ω0 σ̂3 + cos(ωt) (V (r)σ̂+ + V ∗ (r)σ̂− ) ,
2
(3.1.1)
gdzie σ̂3 = |eihe| − |gihg| jest tak zwanym operatorem inwersji, σ̂+ = |eihg| jest operatorem podniesienia, a σ̂− = |gihe| operatorem obniżenia energii atomu. Ponadto V (r) =
−he|d · E0 (r)|gi ≡ d · E(r), gdzie bez straty ogólności założyliśmy rzeczywisty element macierzowy he|d|gi ≡ d. Pierwszy wyraz hamiltonianu (3.1.1) odpowiada energii atomu wy-
znaczonej względem połowy odległości między poziomami, drugi natomiast można uprościć
poprzez zastosowanie przybliżenia fali rotującej (RWA). Rozpisując 2cos(ωt) = eiωt + e−iωt
i
i przechodząc do obrazu oddziaływania poprzez transformację unitarną U = e ~ H0 t , otrzymujemy wyrazy „rezonansowe” typu ei(ω−ω0 ) oraz „antyrezonansowe” ei(ω+ω0 ) . Zakładając
niewielkie odstrojenie od atomowego rezonansu ∆ = ω0 − ω widzimy, że ∆ ≪ ω + ω0 , a
więc wyrazy szybko oscylujące z częstością ω + ω0 uśredniają się do zera. Wracając do
obrazu Schrödingera otrzymujemy:
1
1
HRW A = ~ω0 σ̂3 +
V (r)e−iωt σ̂+ + V ∗ (r)eiωt σ̂− .
2
2
(3.1.2)
Powyższy hamiltonian jest periodycznie zależny od czasu, a więc znalezienie energii i stanów własnych ułatwia zastosowanie twierdzenia Floquet.
3.1.2
Twierdzenie Floquet
Pomimo zależności hamiltonianu (3.1.2) od czasu, periodyczność w domenie czasowej
pojawiająca się w układzie pozwala na wprowadzenie znaczących uproszczeń. Podobnie jak
w fizyce ciała stałego funkcję falową cząstki w periodycznym potencjale sieci krystalicznej
43
3.1. Wprowadzenie
opisuje funkcja Blocha wynikająca wprost z twierdzenia Blocha, tak twierdzenie Floquet
pozwala znaleźć rozwiązania zależnego od czasu równania Schrödingera dla hamiltonianu
periodycznego w czasie [87–89]. Jeżeli H(t) = H(t+T ), gdzie T jest okresem hamiltonianu,
to rozwiązań równania Schrödingera możemy szukać w postaci:
i
|ψi = e− ~ En t |un (t)i,
(3.1.3)
gdzie |un (t)i = |un (t + T )i posiada periodyczność hamiltonianu, a więc T = 2π/ω, natomiast En oznaczają kwazienergie (w analogii do kwazipędów z twierdzenia Blocha). Pod-
stawiając ansatz (3.1.3) do równania Schrödingera:
i~
d|ψi
= H(t)|ψi
dt
(3.1.4)
otrzymujemy
d
|un (t)i = En |un (t)i,
H − i~
dt
(3.1.5)
d
. Warto
a więc En i |un (t)i to wartości i wektory własne hamiltonianu Floquet H = H −i~ dt
zauważyć, że spektrum energii posiada period ~ω, a więc w domenie kwazienergii istnieją
strefy odpowiadające strefom Brillouina kwazipędów z twierdzenia Blocha. Analogicznie
więc wystarczy badać tylko rozwiązania należące do pierwszej strefy Floquet.
W świetle twierdzenia Floquet hamiltonian, który rozważamy przyjmuje postać:
d
1
1
V (r)e−iωt σ̂+ + V ∗ (r)eiωt σ̂− − i~ .
(3.1.6)
H = ~ω0 σ̂3 +
2
2
dt
Skoro wektory własne |un (t)i są periodyczne z okresem 2π/ω, to możemy je rozwinąć w
szereg Fouriera, tj.
|un (t)i =
oraz wprowadzić dodatkową bazę |ji =
X
j
eijωt
cj q |ujn i,
2π
ω
q
eijωt /
2π
ω .
(3.1.7)
W przypadku braku oddziaływania,
stany własne układu możemy zapisać w postaci wektorów |ei|ji oraz |gi|ji. Gdy oddzia-
ływanie jest obecne pojawiają się sprzężenia między stanami |ei|ji i |gi|j + 1i, podobnie
jak w przypadku elektrodynamiki kwantowej, w którym oddziaływanie odbywa się przez
absorpcję lub emisję fotonu. W nowej bazie zdefiniowanej jako
|ψ1j i = |ei|ji,
(3.1.8)
|ψ2j i = |gi|j + 1i,
(3.1.9)
hamiltonian (3.1.6) nie zależy od czasu i rozsprzęga się na niezależne bloki w postaci:


V (r)
~ωj + 12 ~ω0
2


(3.1.10)
H(j) = 

V ∗ (r)
1
~ω(j + 1) − 2 ~ω0
2
44
3.1. Wprowadzenie
Wystarczy więc wyznaczyć energie i stany własne hamiltonianu H(j) , aby uzyskać pełną
informację o wewnętrznych stopniach swobody atomu zaburzonego zewnętrznym polem
elektromagnetycznym.
3.1.3
Stany ubrane
Rozwiązując zagadnienie własne dla hamiltonianu (3.1.10) otrzymujemy dwie energie
własne
1
E± (j) = ~ω j +
2
gdzie Ω =
Ω
±~ ,
2
(3.1.11)
p
∆2 + |V (r)|2 /~2 oznacza uogólnioną częstość Rabiego odzwierciedlającą siłę
sprzężenia atomu z polem lasera. Otrzymane spektrum jest w pełni periodyczne, a odległość między poziomami stanów własnych, tzw. stanów ubranych, jest równa ~Ω, tak jak
na Rys. 3.2. Każdej z energii odpowiada stan ubrany, tj.


cos Φ(r)
2


|χ+ (r)i = 
,
−iφ(r)
e
sin Φ(r)
2


|χ− (r)i = 
iφ(r)
− sin Φ(r)
2 e
cos Φ(r)
2
(3.1.12)

(3.1.13)

,
gdzie Φ(r) = arctg(|κ(r)|/∆) z wprowadzonym oznaczeniem κ(r) = V (r)/~ = d · E(r)/~,
oraz V (r) = |V (r)|eiφ(r) . Ponadto użyliśmy notacji:
1
Φ(r)
=√
sin
2
2
r
Ω−∆
,
Ω
Φ(r)
1
cos
=√
2
2
r
Ω+∆
.
Ω
(3.1.14)
Dla odstrojenia ku niebieskiemu (∆ < 0) stan |χ+ i skojarzony jest ze stanem podstawo-
wym, zob. Rys. 3.2, dlatego jego obsadzenie będzie większe. Wraz ze wzrostem natężenia
światła laserowego (efektywnie Ω(r)), rośnie również energia stanu |χ+ i, a więc atomy
będą odpychane od regionów o maksymalnym natężeniu, które są niekorzystne energetycznie. Odwrotne zachowanie można zaobserwować w przypadku przeciwnego odstrojenia,
ku czerwieni (∆ > 0), w którym atomy będą przyciągane do maksymalnego natężenia
lasera. Dzieje się tak dlatego, że przesunięcie poziomów energetycznych, będące wynikiem oddziaływania atomów z polem elektrycznym (dynamiczny efekt Starka), odpowiada
potencjałowi dipolowemu związanemu z danym stanem ubranym [90, 91], tj.:
Udip =
~∆ ~
± Ω(r)
2
2
45
dla
|χ± i.
(3.1.15)
3.1. Wprowadzenie
Rysunek 3.2: Struktura poziomów energetycznych atomu ubranego dla ∆ < 0 (odstrojenie
ku niebieskiemu). Początkowe stany o energiach Ej−1 i Ej zostają rozszczepione w wyniku
oddziaływania atomu z polem elektrycznym (efekt Starka). W sektorze A widać poziomy
„gołe” bez sprzężenia z polem laserowym. Sektor B natomiast przedstawia poziomy ubrane
atomu znajdującego się w danym punkcie przestrzeni r. Sprzężenie z polem laserowym
skutkuje zależnym od parametrów przestrzennych odpychaniem poziomów ubranych ~Ω(r).
Stąd dla ∆ < 0 (stan |χ+ i skojarzony jest ze stanem podstawowym) potencjał dipolowy jest
nieujemny, a więc atomy są odpychane od regionów z maksimum natężenia pola laserowego
i odwrotnie gdy ∆ > 0. Wynik ten zgadza się z intuicyjnym obrazem przedstawionym
wyżej. Potencjał dipolowy jest szeroko stosowany do pułapkowania atomów.
3.1.4
Adiabatyczny ruch atomów
Wydawać by się mogło, że zjawiska fizyczne można podzielić pod względem ich ewolucji
na dwie grupy: statyczne oraz dynamiczne. Okazuje się jednak, że gdzieś pośrodku statyki i
dynamiki leży pojęcie adiabatyczności, które dotyczy efektów dynamicznych, ale w granicy
„nieskończenie powolnych” zmian. Przybliżenie adiabatyczne zakłada, że układ pozostaje
46
3.1. Wprowadzenie
w danym stanie własnym o ile zaburzenie działające na niego jest dostatecznie wolne i
istnieje przerwa energetyczna między energią stanu a resztą spektrum hamiltonianu [92].
Typowym przykładem zastosowania przybliżenia adiabatycznego jest układ, który można
podzielić na dwa podsystemy: szybki i wolny o różnych skalach czasowych. Jeżeli zmiany
hamiltonianu są wolne w porównaniu z naturalną skalą czasową układu zdeterminowaną
przez przerwy energetyczne w widmie, to przybliżenie adiabatyczne może być zastosowane.
Aby lepiej zrozumieć ideę przybliżenia adiabatycznego oraz jego konsekwencje, rozważmy zależny od czasu hamiltonian H(t) oraz jego „chwilowe”, tj. dla ustalonego t, stany
własne |n(t)i do energii własnych En (t). Zakładamy przy tym, że dla wszystkich czasów
t spektrum H(t) jest dyskretne i niezdegenerowane. Jeżeli przyjmiemy stan początkowy
|ψ(0)i = |n(0))i, to zgodnie z twierdzeniem adiabatycznym w czasie ewolucji układ po-
zostanie w n-tym stanie własnym. Aby się o tym przekonać, rozwińmy stan |ψ(t)i w
ortonormalnej bazie stanów |n(t)i [93]
|ψ(t)i =
X
(3.1.16)
cm (t)|m(t)i,
m
Wstawiając taką postać |ψ(t)i do zależnego od czasu równania Schrödingera otrzymujemy
równanie na współczynniki cm (t):
ċm (t) = −cm (t)hm(t)|
X
d
d
ck (t)hm(t)| |k(t)i,
|m(t)i −
dt
dt
(3.1.17)
k6=m
Aby uprościć wyrażenie (3.1.17) zauważmy, że różniczkując po czasie równanie własne
H(t)|k(t)i = Ek (t)|k(t)i oraz obkładając je z lewej strony hm(t)| otrzymujemy wyrażenie:
hm(t)|k̇(t)i =
hm(t)|Ḣ(t)|k(t)i
,
Ek (t) − Em (t)
m 6= k.
(3.1.18)
W granicy adiabatycznej zmiany hamiltonianu są nieskończenie małe, a więc |hm(t)|Ḣ(t)|k(t)i| →
0. Wtedy wyrażenie na współczynniki cm redukuje się do prostej postaci:
ċm = −cm hm(t)|ṁ(t)i
(3.1.19)
z warunkiem początkowym cm (0) = δnm zgodnie z założeniem o stanie początkowym
układu. Z warunku początkowego widać, że cm (t) = 0 dla m 6= n, a więc rozwiązaniami
tego równania są współczynniki cn (t), które mają postać czynnika fazowego:
Z t
iϑn (t)
hn(τ )|ṅ(τ )idτ
cn (t) = e
,
ϑn (t) = i
(3.1.20)
0
Otrzymaliśmy przy tym wynik zapostulowany na samym początku rozważań o adiabatyczności: jeżeli w chwili początkowej układ był w stanie |ψ(0)i = |n(0)i, to w czasie ewolucji
47
3.1. Wprowadzenie
pozostaje on w n-tym stanie własnym, t.j.
(3.1.21)
|ψ(t)i = cn (t)|n(t)i,
zgodnie z równaniem (3.1.16).
3.1.5
Faza Berry’ego
Wróćmy jeszcze do wyrażenia (3.1.20) na czynnik fazowy ϑn (t). W naszym przypadku
wolne zmiany hamiltonianu związane są z ruchem atomów, a więc parametrem zależnym
od czasu jest położenie atomu r. Zgodnie z twierdzeniem adiabatycznym gdy ewolucja jest
cykliczna wzdłuż zamkniętej krzywej C, tj. r(0) = r(T ), to stany |ψ(r(0))i i |ψ(r(T ))i
mogą się różnić względem siebie tylko czynnikiem fazowym zawierającym fazę dynamiczną
oraz tak zwaną fazę Berry’ego obecną w równaniu (3.1.20), którą można przepisać jako:
ϑn (T ) = i
Z
T
hn(r(τ ))|ṅ(r(τ ))idτ = i
0
I
C
hn(r)|∇r n(r)idr ≡ γn (C).
(3.1.22)
Ostatnie wyrażenie pokazuje w sposób jawny zależność fazy od geometrii przestrzeni parametrów hamiltonianu. Sir Michael Berry jako pierwszy pokazał, że γn (C) nie można
wyeliminować przez transformację cechowania [94].
Warto zwrócić uwagę na jeszcze jeden aspekt geometrycznej fazy Berry’ego. Wprowadźmy oznaczenie:
(n)
A
wtedy
≡ ihn|dni,
γn (C) =
I
A(n) .
(3.1.23)
C
Stany własne określone są z dokładnością do fazy, a więc arbitralna jej zmiana nie wpływa
na fizyczny opis układu. Skoro naszym stanem końcowym jest |ψ(r(T ))i = eγn (C) |ψ(r(0))i,
to dokonując transformacji cechowania, tj.
|ψ(r)i → |ψ ′ (r)i = eiαn (r) ei
H
C
A(n)
|ψ(r)i = ei
H
C
(A(n) +dαn )
|ψ(r)i,
(3.1.24)
widać, że A(n) → A′(n) = A(n) + dαn transformuje się w taki sam sposób jak potencjał
wektorowy w elektrodynamice. Z twierdzenia Stokesa fazę Berry’ego można przepisać w
jeszcze inny sposób:
γn (C) =
Z
F (n) ,
F (n) = dA(n) ,
(3.1.25)
Σ
gdzie brzeg powierzchni Σ wyznacza krzywa zamknięta C. Dlatego też faza Berry’ego
γn (C) jest analogiem strumienia magnetycznego przez powierzchnię Σ.
48
3.1. Wprowadzenie
3.1.6
Związek pomiędzy fazą Berry’ego a sztucznymi polami cechowania
Aby lepiej zobrazować w jaki sposób potencjał wektorowy pojawia się w hamiltonianie
opisującym ruch środka masy atomu, rozważmy ponownie atom umieszczony w polu laserowym. Jak zostało to omówione w sekcji 3.1.3, stanami własnymi układu są stany ubrane,
zapisane ogólnie jako |χn i. Pełny stan kwantowy atomu można przedstawić w formie:
|Ψi =
N
X
ψn (r)|χn (r)i,
(3.1.26)
n=1
gdzie ψn są funkcjami falowymi dla środka masy atomu w stanie ubranym |χn i. Podstawiając |Ψi do równania Schrödingera i rzutując na pozostałe stany ubrane otrzymujemy [27]:
∂
1
2
i~ ψ =
(−i~ ▽ −A) + W ψ,
∂t
2m
(3.1.27)
ψ = (ψ1 , ψ2 , ...ψN )T ,
(3.1.28)
An,m = i~hχn (r)| ▽ χm (r)i,
(3.1.29)
gdzie
Wn,m =
~2 X
hχl (r)|∇χn (r)ih∇χm (r)|χl (r)i.
2M
(3.1.30)
l6=n,m
W hamiltonianie układu pojawiły się zatem dwa nowe wyrazy. A modyfikuje część kinetyczną hamiltonianu i wyraża potencjał wektorowy znany z elektrodynamiki, natomiast
W jest geometrycznym potencjałem skalarnym wyrażającym energię kinetyczną szybkich
mikroruchów atomów. Oba potencjały zależą od geometrii układu, ponieważ wyrażone są
przez gradienty stanów ubranych.
Porównując wyrażenia na potencjał wektorowy A oraz fazę Berry’ego γn (C) (3.1.22)
można zauważyć, że są one ze sobą powiązane. Istotnie istnienie niezerowej fazy geometrycznej skutkuje efektywnym potencjałem wektorowym odczuwanym przez atomy. W
przybliżeniu adiabatycznym pomijamy wyrazy pozadiagonalne opisujące sprzężenia między
stanami, dzięki czemu możliwe jest rozdzielenie dynamiki poszczególnych stanów ubranych.
Wtedy potencjał wektorowy dla danego stanu ubranego redukuje się do macierzy 1 × 1, a
więc potencjał cechowania jest abelowy. Odpowiada to znanemu z elektrodynamiki potencjałowi wektorowemu z grupą symetrii cechowania U (1). Inaczej jest gdy układ posiada
zdegenerowane (lub prawie zdegenerowane) stany ubrane. W takiej sytuacji nie da się pominąć wyrazów pozadiagonalnych sprzęgających stany zdegenerowane, co może skutkować
nieabelowymi polami cechowania.
49
3.1. Wprowadzenie
Wróćmy jednak do atomu dwupoziomowego i jego stanów ubranych (3.1.12) i (3.1.13).
Załóżmy, że układ początkowo znajduje się w stanie |χ+ i i w czasie adiabatycznej ewolucji
pozostaje w tej podprzestrzeni stanów. Wtedy potencjał wektorowy A przyjmuje postać:
A(r) = i~hχ+ |∇χ+ i = ~sin2
Φ(r)
∇φ(r).
2
Ponieważ pole magnetyczne jest rotacją potencjału wektorowego A, to:
Φ(r)
B(r) = ∇ × A(r) = ~∇ sin2
× ∇φ(r).
2
(3.1.31)
(3.1.32)
Wynika stąd, że pole B zależy od gradientu fazy φ(r) danego pola laserowego oraz gradientu
p
uogólnionej częstości Rabiego Ω = ∆2 + |κ|2 , gdzie ∆ jest odstrojeniem od częstości
rezonansowej, a κ = d · E(r)/~ częstością Rabiego [27, 28]. Gradient Ω można uzyskać na
dwa sposoby: poprzez zależne od położenia odstrojenie lub gradient amplitudy pola (κ).
Dużym gradientem amplitudy charakteryzuje się fala zanikająca, dlatego wydaje się ona
być idealnym kandydatem do realizacji sztucznych pól magnetycznych. Temu zagadnieniu
poświęcony jest kolejny punkt.
3.1.7
Fala zanikająca i jej własności
Rozważmy falę płaską propagującą w płaszczyźnie XZ w ośrodku o współczynniku
załamania n1 i padającą na granicę rozdziału z drugim ośrodkiem o współczynniku załamania n2 , lewa strona Rys. 3.3. Przy założeniu, że n1 > n2 istnieje taki graniczny kąt
padania θc , dla którego kąt załamania β wynosi π/2. Kąt ten można wyznaczyć z prawa
Snella i wynosi on:
θc = arcsin
n2
.
n1
(3.1.33)
Zatem może dojść do sytuacji, w której kąt padania będzie większy od granicznego. Wtedy
kąt załamania β przyjmuje wartości zespolone i dochodzi do tzw. całkowitego wewnętrznego odbicia, prawa strona Rys. 3.3. Ponieważ długość próżniowego wektora falowego
k0 = 2π/λ, gdzie λ jest długością fali, propagując w ośrodku zmienia się proporcjonalnie
do współczynnika załamania, tj. k0 → k0 n1 lub k0 → k0 n2 , stąd dostajemy zależność:
2
2
k 2 = ktx
+ ktz
,
gdzie
k = k0 n2 .
(3.1.34)
Składową ktx można wyznaczyć z warunków ciągłości na granicy ośrodków, zgodnie z
którymi powinna ona być równa składowej kix , a więc:
ktx = k0 n1 sinθ.
50
(3.1.35)
3.1. Wprowadzenie
Stąd podstawiając do równania (3.1.34) otrzymujemy:
q
ktz = ik0 n21 sin2 θ − n22 .
z
n1 n2
(3.1.36)
z
n1 n2
θ θc
θ θc
kt
n2
β
n1
θ θ
ki
n2
x
n1
kr
β ∈ℂ
ki
θ θ
kr
x
θc
Rysunek 3.3: Schemat propagacji fali płaskiej padającej na granicę ośrodków. Lewy rysunek: odbicie i załamanie dla kąta padania θ < θc , prawy rysunek: całkowite wewnętrzne
odbicie dla kąta padania θ > θc . Symbolicznie kolorem zielonym przedstawiony jest eksponencjalny zanik amplitudy fali zanikającej.
Ponieważ w dalszych rozważaniach będziemy rozpatrywać przejście z dielektrycznego
pryzmatu do próżni oraz będzie interesowało nas pole nad powierzchnią pryzmatu, przyjmijmy n1 ≡ n i n2 = 1 oraz pomińmy wskaźnik „t”. W nowej notacji pole nad powierzchnią
pryzmatu możemy zapisać w postaci:
E(x, z, t) = tT E (θ) E0 e−iωt eiφ(x) e−z/d ,
(3.1.37)
gdzie E0 opisuje amplitudę i kierunek wektora pola elektrycznego, φ(x) = xk0 n sin θ
−1
p
jest tak zwaną głębokością wnijest fazą fali biegnącej, a d = k0 n2 sin2 θ − 1
kania. W powyższym wzorze wybraliśmy polaryzację T E, a więc taką, w której wektor pola elektrycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania zarówno w pryzmacie,
jak i próżni. Wtedy współczynnik transmisji wyznaczony ze wzorów Fresnela wynosi
−1
p
tT E (θ) = 2n cos θ n cos θ + i n2 sin2 θ − 1
. Zmiana polaryzacji na T M , w której wek-
tor pola elektrycznego jest równoległy do płaszczyzny padania, nie zmienia jakościowo
naszych wyników.
Z postaci pola elektrycznego opisanego wzorem (3.1.37) widać, że zanika ono eksponencjalnie z odległością od powierzchni dielektryka, a wielkością charakteryzującą ten zanik
jest głębokość wnikania d. Zależy ona ściśle od kąta padania θ i przyjmuje największą
wartość w okolicy kąta granicznego θc , a następnie maleje bardzo szybko wraz ze wzrostem
θ i dąży do wartości granicznej, która dla λ = 578 nm wynosi około 100 nm, Rys. 3.4. W
51
3.2. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej
kolejnych sekcjach pokażemy, że wielkość ta odgrywa kluczową rolę w generacji sztucznych
pól magnetycznych za pomocą fali zanikającej.
p
−1
od kąta padania θ.
Rysunek 3.4: Zależność głębokości wnikania d = k0 n2 sin2 θ − 1
W miarę oddalania się od kąta granicznego θc głębokość wnikania bardzo szybko maleje.
3.2
Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej
3.2.1
Opis układu
Rozważmy elektromagnetyczną falę płaską o wektorze falowym k0 , która rozchodzi się
w pryzmacie wykonanym z dielektrycznego materiału o współczynniku załamania n > 1.
Fala pada na granicę między dielektrykiem a próżnią, pod kątem padania θ większym od
kąta granicznego θc = arcsin(1/n) dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Powstała w
ten sposób fala zanikająca propaguje się wzdłuż granicy ośrodków w kierunku x i zanika
eksponencjalnie wraz z oddalaniem się od powierzchni pryzmatu w kierunku z, tak jak na
Rys. 3.5.
Pole elektryczne powstałe w próżni wyraża się wzorem (3.1.37), a jego obecność będą
odczuwały atomy spułapkowane nad powierzchnią pryzmatu w odległości mniejszej niż
głębokość wnikania fali zanikającej. Zakładamy, że chmura atomowa znajduje się w stanie
kondensatu Bosego-Einsteina, a więc wszystkie atomy opisane są tym samym stanem jednocząstkowym. Aby znaleźć stany własne układu za pomocą formalizmu przybliżenia fali
rotującej, odstrojenie ∆ częstości lasera ω od atomowego rezonansu ω0 musi być niewielkie. To z kolei w przypadku atomu dwupoziomowego pociąga za sobą niebezpieczeństwo
52
Rysunek 3.5: Geometria rozważanego układu. Fala płaska o wektorze falowym k0 (zielona
strzałka) pada na powierzchnię pryzmatu pod kątem θ większym niż kąt graniczny dla
całkowitego wewnętrznego odbicia. Powstała w ten sposób fala zanikająca oddziałuje z
chmurą atomów (żółte koło) spułapkowaną przy powierzchni pryzmatu.
dużej emisji spontanicznej, która może zniszczyć koherencję w kondensacie, a tym samym
uniemożliwić obserwację sztucznego pola magnetycznego. Dlatego też nie można użyć w
tego typu eksperymencie powszechnie stosowanych atomów metali alkalicznych, jak np.
rubid, ale potrzebne są atomy o długo żyjących stanach (tzw. przejścia zegarowe wykorzystywane w zegarach atomowych). Są to m.in. iterb, stront czy cez [95]. W naszych
obliczeniach będziemy stosować długość fali odpowiadającą przejściu 1 S0 →3 P0 w iterbie,
a więc λ = 578 nm.
3.2.2
Przybliżenie adiabatyczne
Oddziaływanie atomów z polem laserowym powoduje, że układ znajduje się w jednym
ze stanów ubranych danych wzorami (3.1.12) oraz (3.1.13). Załóżmy, że atomy poruszają
się na tyle wolno, aby przez adiabatyczną ewolucję podążały za stanem np. |χ+ i. Jest to
możliwe ponieważ istnieje przerwa energetyczna między stanami ubranym o wartości ~Ω,
która pozwala na separację dynamiki każdego ze stanów i adiabatyczną eliminację jednego
z nich. Aby otrzymać warunek na dozwolone prędkości rozważmy stan wewnętrzny atomu
53
dany jako superpozycja stanów ubranych Ψ(r(t)) =
P
i ci (t)|χi (r(t))i,
gdzie i = +, − [96].
Załóżmy ponadto, że w chwili początkowej atom był w spoczynku w stanie Ψ = |χ+ i, a
następnie jest jednostajnie przyspieszany do prędkości v w czasie T , tj. v(t) = vt/T dla
0 ≤ t ≤ T . Podstawiając |Ψi do zależnego od czasu równania Schrödingera i~|Ψ̇i = H|Ψi
i wyznaczając lewą stronę jako:
X
X
dr d
|Ψ̇i =
ċi |χi i + ci
|χi i =
(ċi |χi i + ci v|∇χi i) ,
dt dr
i
(3.2.1)
i
możemy zrzutować obustronnie na stan hχk | i otrzymać równanie:
X
i
ci vhχk |∇χi i.
ċk (t) = − Ek ck (t) −
~
(3.2.2)
i
W zerowym rzędzie współczynnik c− = 0, natomiast c+ (t) = e−iE+ t/~ , ponieważ jest to
nasz punkt startowy. W pierwszym rzędzie otrzymujemy:
Z T
i
t
− ~i E− T
c− (T ) = −v · hχ− |∇χ+ ie
e ~ (E− −E+ )t dt,
T
0
(3.2.3)
gdzie |χ− i, |χ+ i, E− i E+ są wzięte w zerowym rzędzie w v. Zakładając, że atom jest
wprawiony w ruch adiabatycznie, tzn. T (E− − E+ )/~ ≫ 1 otrzymujemy warunek:
c− (T ) ≈ i~
v · hχ− |∇χ+ i − i E+ T
e ~
.
E− − E+
(3.2.4)
W przybliżeniu adiabatycznym chcemy ponadto, aby |c− | ≪ 1, tj. aby układ podążał za
stanem początkowym |χ+ i, stąd ostatecznie warunek na dozwolone prędkości przyjmuje
postać:
v≪
Ω
,
|hχ− |∇χ+ i|
(3.2.5)
gdzie ~Ω = |E− −E+ |. Warunek ten dla małych odstrojeń rzędu kHz pozwala na prędkości
rzędu cm/s, co odpowiada temperaturze rzędu µK, a więc jest to zakres zimnych gazów
atomowych. Kwantowa degeneracja zachodzi dla atomów iterbu poniżej 500nK, a więc
rozważając kondensat Bosego-Einsteina i niewielkie odstrojenia możemy być pewni, że
znajdujemy się w reżimie przybliżenia adiabatycznego.
3.2.3
Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego pojedynczą
falą zanikającą
Znając stany ubrane układu możemy wyznaczyć potencjał wektorowy odczuwany przez
atomy:
A(x, z) = ~ sin2 [Φ(z)/2] ∇φ(x),
54
(3.2.6)
gdzie Φ(z) = arctg(|κ(x, z)|/∆), a κ(x, z) = d · E(r)/~ z polem elektrycznym E(r) danym
wzorem (3.1.37). Rotacja potencjału wektorowego A pozwala na uzyskanie wyrażenia na
wektor sztucznego pola magnetycznego, które posiada niezerową składową tylko w kierunku
y:
B(z) = −ŷB(z) = −ŷB0
p
s2 α(z)n sin θ
n2 sin2 θ − 1
,
[1 + s2 α(z)]3/2
(3.2.7)
2
gdzie B0 = ~k02 /2 i α(z) = tT E (θ) e−2z/d . Ponadto wprowadziliśmy nowy parametr
s=
|d · E0 |
,
~|∆|
(3.2.8)
będący stosunkiem maksymalnej częstości Rabiego do odstrojenia od rezonansu atomowego.
Rysunek 3.6: Pole magnetyczne B(z) (3.2.7), w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z/d
dla s = 5, zob. (3.2.8). Kolory odróżniają pola magnetyczne dla różnych kątów padania θ. Szerokość połówkowa B(z) dla każdego kąta wyznacza zakres znaczących wartości
amplitudy. Wynika stąd, że ∆z ≈ d.
Pole magnetyczne B(z) można modelować zmieniając kąt padania θ, który determinuje
zarówno maksymalną wartość amplitudy pola, jak również zakres ∆z, na którym B(z) jest
znaczące. Na Rys. 3.6 przedstawiono wykresy pola magnetycznego dla różnych kątów
padania θ w zależności od z/d, a więc odległości od pryzmatu z, do głębokości wnikania d
fali zanikającej. Biorąc pod uwagę szerokość połówkową krzywych jako zakres ∆z widać,
że ∆z ≈ d. Najsilniejsze pole magnetyczne można wytworzyć jeśli kąt padania θ znacznie
przekracza wartość kąta granicznego θc dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Jednak
wtedy głębokość wnikania maleje, a więc również ∆z. Całkując pole magnetyczne dane
55
wzorem (3.2.7), otrzymujemy:
+∞
Z
B(z)dz = ~k0 sin2 [Φ(0)/2] ≤ ~k0 .
(3.2.9)
0
Widać stąd, że maksymalna wartość pola magnetycznego wynosi ~k02 . Gdy θ zbliża się
do kąta granicznego θc głębokość wnikania rośnie, ale maleje amplituda, ponieważ B ∝
p
k0 /d = k02 n2 sin2 θ − 1.
Na Rys. 3.7 przedstawione są wykresy pola magnetycznego B(z) dla dwóch różnych
kątów padania θ. Jak widać poprzez zmianę kąta θ można osiągać albo silne pola na
mniejszym zakresie (czarna krzywa), albo słabsze, ale odczuwalne przez atomy na większym
obszarze (czerwona przerywana).
BHzLB0
0.015
0.010
0.005
0.000
0
20
40
60
80
100
z @ΜmD
Rysunek 3.7: Pole magnetyczne B(z) wytworzone przez pojedynczą falę zanikającą, w
jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania: θ − θc =
8 · 10−4 rad (czarna linia) i θ − θc = 10−5 rad (czerwona przerywana linia) oraz dla s = 5
(3.2.8) i λ = 578 nm.
Wzrost parametru s (3.2.8) natomiast powoduje przesunięcie pola magnetycznego B(z)
w kierunku większych wartości z jak na Rys. 3.8. Stąd poprzez odpowiednią zmianę s możemy decydować o tym, w jakim obszarze nad powierzchnią pryzmatu pole magnetyczne
będzie obecne. Pozwala to na spułapkowanie atomów dostatecznie daleko od powierzchni,
a tym samym uniknięcie oddziaływania van der Waalsa atomów z powierzchnią dielektryka.
Istnieją jednak naturalne ograniczenia na odległość pola magnetycznego od powierzchni,
a tym samym na wielkość parametru s. W przypadku atomów iterbu, dla których zostały
wykonane obliczenia, uzyskanie s ≫ 1 jest trudne, ponieważ długo żyjące stany charak-
56
teryzują się słabym sprzężeniem z polem laserowym, co jednak można ominąć wybierając
odpowiednio małe odstrojenie ∆. W większości obliczeń przyjęliśmy wartość s = 5, która
jest łatwo osiągalna we współczesnych laboratoriach.
BHzLB0
0.015
0.010
0.005
0.000
0
2
4
6
8
10
12
14
z @ΜmD
Rysunek 3.8: Pole magnetyczne B(z) wytworzone przez pojedynczą falę zanikającą, w
jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla trzech różnych wartości parametru s (3.2.8),
tj. s = 2 (czarna ciągła linia), s = 5 (czerwona przerywana linia) i s = 10 (zielona
kropkowana linia), oraz dla θ − θc = 8 · 10−4 rad i λ = 578 nm.
Geometryczny potencjał skalarny W wyrażony wzorem:
~2
W (z) =
8m
1
s2 α(z)
s2 α(z)
2 2
2
+
k n sin θ ,
d2 [1 + s2 α(z)]2 1 + s2 α(z) 0
(3.2.10)
okazuje się być zbyt słaby, aby przezwyciężyć przyciąganie grawitacyjne, dlatego aby spułapkować atomy blisko powierzchni pryzmatu potrzebna jest albo zewnętrzna pułapka magnetyczna, albo dodatkowe wiązki laserowe. Na Rys. 3.9 przedstawiony został potencjał
skarany W (3.2.10) dla parametrów użytych na wykresach Rys. 3.7. Na przykład dla
atomów iterbu, maksymalna siła od potencjału skalarnego wynosi 0.17mg, gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie. Również optyczny potencjał dipolowy wytworzony przez rozważaną falę zanikającą jest zbyt słaby aby utrzymać chmurę atomów nad powierzchnią
pryzmatu. Dzieje się tak dlatego, że generacja sztucznego pola magnetycznego wymaga
dużych głębokości wnikania d, co z kolei prowadzi do zmniejszenia gradientu uogólnionej
częstości Rabiego ∇Ω, a tym samym proporcjonalnej do niej optycznej siły dipolowej.
57
0.25
WHzLER
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
20
40
60
80
100
z @ΜmD
Rysunek 3.9: Geometryczny potencjał skalarny W (z) wytworzony przez pojedynczą falę
zanikającą, w jednostkach energii odrzutu ER = ~2 k02 /(2m), jako funkcja z dla dwóch
różnych kątów padania θ−θc = 8·10−4 rad (ciągła czarna linia), θ−θc = 10−5 rad (czerwona
przerywana linia) oraz dla s = 5 (3.2.8) i λ = 578 nm.
3.2.4
Topologiczne wiry jako konsekwencja istnienia sztucznego pola
magnetycznego
Aby zadecydować, które wartości kąta padania θ są najbardziej odpowiednie dla eksperymentu, powinniśmy przeanalizować jaką liczbę wirów jest w stanie wygenerować sztuczne
pole magnetyczne w ultrazimnej chmurze atomowej. Zgodnie z informacjami z sekcji 1.2.3
wiry w kondensacie Bosego-Einsteina są wynikiem niezerowej cyrkulacji. W mechanice klasycznej naładowana cząstka w polu magnetycznym porusza się po orbicie cyklotronowej,
natomiast w mechanice kwantowej, orbitalny moment pędu jest skwantowany. A więc w
tym przypadku cyrkulacja jest kwantowym odpowiednikiem ruchu po okręgu cząstki naładowanej w polu magnetycznym. Dlatego gęstość wirów może być wyrażona za pomocą
długości magnetycznej lB , charakteryzującej rozmiar elementarnej orbity cyklotronowej,
2 = B/(2π~). Ponieważ położenie wirów wyznacza miejsca zerowe funkcji
jako ρv = 1/lB
falowej, to ich promień powinien być równy długości zabliźnienia, zob. sekcja 1.1.1.
Zakładając, że pole B jest znaczące na powierzchni (∆z)2 , to liczba wirów na tym
obszarze wyniesie Nv = (∆z)2 ρv . Ponieważ pole B(z) zależy tylko od współrzędnej z, to
przestrzeń, gdzie pole magnetyczne jest znaczące tworzy pas o szerokości ∆z. Dlatego w
√
tym przypadku powinniśmy raczej oszacować liczbę rzędów wirów, tj. Nrows = ∆z ρv ,
58
3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim
która dla kąta θ bliskiego kątowi granicznemu θc może być przybliżona przez:
Nrows
1
≈
2
r
d
≈
λ
1
√
√
2
8 2π(n − 1)1/4 θ − θ0
1/2
.
(3.2.11)
Dla parametrów użytych na Rys. 3.7, tj. n = 1.4 i λ = 578 nm otrzymujemy Nrows = 1 oraz
∆z ≈ 2.3 µm jeśli θ − θ0 ≈ 8 · 10−4 rad (czarna krzywa), podczas gdy θ − θ0 ≈ 10−5 rad,
Nrows = 3 i ∆z ≈ 20.8 µm (czerwona przerywana). Wynika stąd, że poprzez zmianę
θ możemy kontrolować liczbę wirów w realizacji eksperymentalnej. Im jesteśmy bliżej
kąta granicznego, tym więcej rzędów wirów możemy wygenerować w ultrazimnej chmurze
atomów. W obecnych laboratoriach możliwe jest ustawienie kąta padania z dokładnością do
10−4 rad [97], a w eksperymentach z falą zanikającą osiągalna jest jeszcze lepsza precyzja.
Atomy używane w eksperymentach są neutralne, ale chcąc nabyć pewną intuicję odnośnie rzędu wielkości takiego sztucznego pola magnetycznego wygenerowanego przez falę
zanikającą, załóżmy, że atomy posiadają ładunek elementarny e. Wtedy np. czarna krzywa
na Rys. 3.7 odpowiada polu magnetycznemu B/e ≈ 0.3 mT, które jest obecne na obszarze
∆z ≈ 10 µm.
3.3
Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim
Dla wiązki laserowej padającej pod kątem znacznie większym od granicznego θc możliwe
jest przybliżenie wiązki przez falę płaską. Dzieje się tak dlatego, że w miarę oddalania się
od kąta granicznego głębokość wnikania nie zmienia się już tak drastycznie ze zmianą θ
jak w przypadku kątów bliskich θc . Sytuacja wygląda nieco inaczej jeśli kąt padania θ jest
bliski granicznemu. Wtedy aby opisać poprawnie generację sztucznego pola magnetycznego
przez falę zanikającą trzeba wziąć pod uwagę efektywne pole powstające nad powierzchnią
pryzmatu, ponieważ rzeczywista wiązka laserowa składa się wielu fal płaskich padających
pod różnymi kątami i fala zanikająca już nie wygasa dokładnie jak funkcja eksponencjalna.
Powinniśmy zatem rozpatrzyć wiązkę gaussowską, która jest powszechnie stosowana w
eksperymentach z zimnymi gazami atomowymi.
3.3.1
Opis układu
Rozważmy wiązkę laserową padającą pod kątem θin na granicę pomiędzy dielektrycznym pryzmatem a próżnią, tak jak na Rys. 3.10. Wiązka jest reprezentowana przez
59
Rysunek 3.10: Geometria rozważanego układu. Wiązka gaussowska o wektorze falowym
k0 (zielona strzałka) pada na powierzchnię pryzmatu pod kątem θin większym niż kąt
graniczny dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Efektywne pole, które powstaje nad powierzchnią pryzmatu, przejawia zanik amplitudy wraz z oddalaniem się od powierzchni
pryzmatu i oddziałuje z chmurą atomów (żółte koło) spułapkowaną przy powierzchni pryzmatu.
gaussowską superpozycję fal płaskich, a więc możemy rozłożyć ją na dwie części:
(3.3.1)
E(r, t) = E1 (r, t) + E2 (r, t).
Pierwsza opisuje pole zanikające, tzn odpowiada superpozycji fal płaskich o kątach padania
θ > θc ,
E0 e−iωt
E1 (r, t) = √
π∆θ
Z
π/2
dθ t
TE
(θ)e
l
2
iφ(x) −z/d ink0 2 (θ−θin ) −
e
e
2
(θ−θin )2
− y2
(∆θ)2
wy
,
(3.3.2)
θc
gdzie ostatni eksponencjalny wyraz opisuje profil wiązki. Tak jak na Rys. 3.10, l oznacza
odległość przewężenia wiązki w od powierzchni pryzmatu, ∆θ = 2/(nk0 w) określa rozkład
gaussowski kątów padania, natomiast wy jest promieniem poprzecznego przewężenia [97].
Drugie wyrażenie w (3.3.1), tj. E2 (r, t) opisuje propagację fal padających pod kątami
mniejszymi od granicznego, θ < θc i dane jest podobnym wzorem jak E1 (3.3.2), ale
całkowanie przebiega po kątach od 0 do θc , a eksponencjalny zanik amplitudy, tj. e−z/d
60
p
jest zastąpiony czynnikiem fazowym exp izk0 1 − n2 sin2 θ :
E0 e−iωt
E2 (r, t) = √
π∆θ
Z
θc
dθ t
TE
(θ)e
iφ(x) izk0
e
√
l
2
1−n2 sin2 θ ink0 2 (θ−θin ) −
e
2
(θ−θin )2
− y2
(∆θ)2
wy
, (3.3.3)
0
Podobnie jak wcześniej wybraliśmy polaryzację T E, a więc prostopadłą do płaszczyzny
padania, dlatego w wyrażeniu (3.3.1) możemy pominąć zapis wektorowy i sprowadzić je do
zwykłej sumy natężeń pola elektrycznego.
3.3.2
Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego falą zanikającą z profilem gaussowskim
Rozważmy wiązkę o realistycznych parametrach eksperymentalnych, tj.: λ = 578 nm,
l = 680 mm, w = 440 µm oraz wy = 440 µm [97]. Rys. 3.11 przedstawia profil fali
zanikającej, a więc wypadkowe pole |E1 (x, z)| (3.3.2) w zależności zarówno od współrzędnej
x, jak i z oraz w płaszczyźnie padania XZ.
Efektywne pole nad powierzchnią dielektryka, pochodzące od fal padających pod kątami θ > θc , przejawia eksponencjalny zanik w kierunku z, podobnie jak w przypadku
pojedynczej fali płaskiej. Dodatkowo pojawia się natomiast pewne rozmycie w kierunku x,
jednak jego zakres jest na tyle duży, że bezpiecznie możemy założyć stałe pole elektryczne
w kierunku x w obrębie chmury ultrazimnych atomów, której przeciętne rozmiary są rzędu
∼ 100 µm. Okazuje się, że przyczynek |E2 (x, z)| do efektywnego pola, pochodzący od fal
padających pod kątami θ < θc jest znikomy ze względu na bardzo małe rozmycie kątowe
w wiązce gaussowskiej, tj. ∆θ ≈ 3 · 10−4 rad. W związku z tym całkowite pole nad po-
wierzchnią pryzmatu pochodzi głównie od fal zanikających, których kąt padania znajduje
się w granicach θc < θ < θin + ∆θ.
W przeciwieństwie do pojedynczej fali płaskiej, wiązka gaussowska generuje trzy skła-
dowe sztucznego pola magnetycznego. Jednak warto zauważyć, że brane przez nas pod
uwagę kąty padania spełniają warunek d(θin ) ≪ wy , a więc uogólniona częstość Rabiego
zmienia się dużo wolniej ze zmianą y niż z. Podobnie zgodnie z wcześniejszymi wnioskami,
zależność amplitudy efektywnego pola od współrzędnej x zachodzi na skali dużo większej
niż przeciętne rozmiary kondensatu, a więc jej przyczynek do składowych By oraz Bz będzie
zaniedbywalnie mały. Stąd dominującą składową sztucznego pola magnetycznego będzie
składowa w kierunku y, tj. B(r) ≈ −B(r)ŷ, podobnie jak we wcześniejszych rozważaniach
z pojedynczą falą płaską. Teraz natomiast kształt B(r) zależy zarówno od kąta padania
wiązki θin oraz parametru s. Wcześniej, w sekcji 3.2 parametr s nie zmieniał kształtu pola,
a jedynie przesuwał je względem powierzchni pryzmatu. W przypadku wiązki gaussowskiej
61
wzrost parametru s oprócz odsuwania maksimum pola od powierzchni pryzmatu powoduje
niewielkie zmniejszenie jego amplitudy.
Rysunek 3.11: Wypadkowe pole |E1 (x, z)| (3.3.2) w jednostkach |E0 |, w funkcji z (lewy
górny panel), x (prawy górny panel) oraz w płaszczyźnie XZ (dolny panel), fali zanikają-
cej powstałej w wyniku całkowitego wewnętrznego odbicia wiązki gaussowskiej padającej
pod kątem θin do powierzchni pryzmatu, Rys. 3.10. Efektywne pole nad powierzchnią
dielektryka przejawia eksponencjalny zanik w kierunku z (lewy górny panel), ale również
pewne rozmycie w kierunku x (prawy górny panel) na tyle jednak duże, że można rozpatrywać pole elektryczne jako stałe w kierunku x w obrębie chmury ultrazimnych atomów.
Parametry układu to: λ = 578 nm, l = 680 mm, n = 1.4, θin − θc = 8 · 10−4 , w = 440 µm
oraz wy = 440 µ.
Rys. 3.12 przedstawia wykres B(0, 0, z) od z dla s = 5 i dla takich samych kątów
padania θin jak w przypadku pojedynczej fali zanikającej, tj. θin − θc = 8 · 10−4 rad oraz
θin −θc = 10−5 rad. Sztuczne pole magnetyczne odpowiadające czarnej krzywej jest prawie
takie samo jak w przybliżeniu fali płaskiej, por. Rys. 3.7. Można zatem wnioskować, że
dla kątów padania odchylonych od granicznego o około 10−4 rad przybliżenie fali płaskiej
odzwierciedla rzeczywistą sytuację eksperymentalną. Różnicę jednak można zauważyć dla
62
θin − θc = 10−5 rad. Maksymalna wartość pola jest co prawda większa niż wcześniej, ale
zakres ∆z, na którym pole magnetyczne jest znaczące zmniejszył się. Konsekwencją tej
zmiany jest ograniczenie liczby rzędów wirów, które można wygenerować w ultrazimnej
chmurze atomowej. Ponadto zbliżając się jeszcze bardziej z θin do kąta granicznego nie
otrzymujemy już znacząco różnego pola magnetycznego, a liczba rzędów wirów pozostaje
stała.
0.014
BH0,0,zLB0
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0.000
0
5
10
15
20
25
30
z @ΜmD
Rysunek 3.12: Pole magnetyczne B(0, 0, z) wytworzone przez wiązkę gaussowską, w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania θin −θc = 8·10−4 rad
(ciągła czarna linia), θin −θc = 10−5 rad (przerywana czerwona linia) oraz dla s = 5 (3.2.8).
Parametry wiązki laserowej są następujące: λ = 578 nm, l = 680 mm, w = 440 µm i
wy = 440 µm.
Okazuje się jednak, że sztuczne pole magnetyczne generowane wiązką gaussowską można
modelować w nieco inny sposób. W przypadku pojedynczej fali zanikającej kluczowym parametrem był kąt padania wiązki θ, ponieważ odpowiadał za kształt i amplitudę sztucznego
pola magnetycznego. Wiązka gaussowska natomiast generuje pole magnetyczne nieczułe na
zmiany kąta padania gdy jest on bardzo bliski granicznemu, tj. gdy 0 < θin −θc ≤ 10−5 rad,
jednak dla odpowiednio dobranych parametrów wiązki gaussowskiej można odtworzyć wy-
niki z sekcji 3.2, por. Rys. 3.7. W przypadku kąta padania θin − θc = 8 · 10−4 rad sztuczne
pole magnetyczne wygenerowane wiązką gaussowską z dobrym przybliżeniem odpowiada
temu wytworzonemu przez pojedynczą falę zanikającą dla bardzo szerokiego zakresu parametrów. Zarówno szerokość przewężenia w, jak również jego odległość od powierzchni
pryzmatu l nie zmienia w sposób znaczący wyników. Dla kątów bardzo bliskich granicznemu sytuacja wygląda nieco inaczej. Okazuje się, że kluczową wielkością decydującą
o kształcie pola jest szerokość przewężenia wiązki w. Rys. 3.13 przedstawia zależność
kształtu pola magnetycznego B(0, 0, z) od z dla trzech różnych wartości w. Aby dla kąta
63
padania θin − θc = 10−5 rad otrzymać wyniki zbieżne z przybliżeniem fali płaskiej, trzeba
wybrać przewężenie wiązki równe w = 3 mm, które jest łatwo osiągalne eksperymentalnie.
Intuicyjnie różnicę między falą płaską a wiązką gaussowską można poczuć patrząc na
rozmycie kątowe wiązki ∆θ ∼ 1/w. Oddalając się z θin od kąta granicznego zmiany w
głębokości wnikania stają się mniej drastyczne, a więc jeśli θin − θc = 8 · 10−4 rad, to do
efektywnego pola nad powierzchnią pryzmatu dają przyczynek fale padające pod kątami
z przedziału θc < θ < θin + ∆θ, a więc bliskie θin i o podobnej głębokości wnikania. W
miarę zbliżania się do kąta granicznego również chcielibyśmy, aby największy przyczynek do
efektywnego pola pochodził od kątów bliskich θin . Należy zatem odpowiednio zmniejszyć
∆θ poprzez zwiększenie szerokości przewężenia wiązki w.
Podobnie jak wcześniej, parametr l nie zmienia znacząco wyników, więc jedynym kryterium w jego wyborze może być łatwość eksperymentalna.
Rysunek 3.13: Pole magnetyczne B(0, 0, z) wytworzone przez wiązkę gaussowską, w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla kąta padania θin − θc = 10−5 rad oraz trzech
różnych wartości przewężenia wiązki: w = 100 µm (czarna krzywa), w = 1 mm (czerwona krzywa) oraz w = 2 mm (zielona krzywa). Pozostałe parametry to: s = 5 (3.2.8),
λ = 578 nm, l = 680 mm.
3.3.3
Symulacje numeryczne
Do tej pory analizowaliśmy generację sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą i szacowaliśmy liczbę wirów, które mogą zostać wytworzone w chmurze ultrazimnych
atomów w obecności tego pola. Aby potwierdzić nasze przewidywania przeprowadziliśmy symulacje numeryczne w przybliżeniu średniego pola. Rozważamy kondensat Bosego-
64
Einsteina spułapkowany w potencjale harmonicznym w obecności potencjału wektorowego
A w dwuwymiarowym (2D) przybliżeniu. Dla używanych przez nas parametrów, geometryczny potencjał skalarny W (3.2.10) i optyczny potencjał dipolowy są bardzo słabe, a
więc mogą być pominięte. Równanie Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) w jednostkach potencjału harmonicznego przyjmuje postać:
i
x2 + z 2
1h
ψ + g|ψ|2 ψ,
µψ = − (∂x + iAx )2 + (∂z + iAz )2 ψ +
2
2
(3.3.4)
gdzie µ oznacza potencjał chemiczny układu, a g opisuje siłę oddziaływania między atomami (zakładamy normalizację hψ|ψi = 1). Do symulacji numerycznych potrzebujemy
zdyskretyzować dwuwymiarową przestrzeń, a więc możemy zastąpić pochodną cząstkową
∂x jej dyskretną wersją:
∂x ψ(x, z) ≈
ψ(x + dx, z) − ψ(x − dx, z)
.
2dx
(3.3.5)
Jednak w takim przypadku otrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskiego, które nie jest niezmiennicze ze względu na transformację cechowania. Problem ten można ominąć stosując
tzw. liniową całkę Schwingera używaną powszechnie w teoriach cechowania na sieciach [98].
Aby nasza dyskretna wersja hamiltonianu była niezmiennicza ze względu na transformację
cechowania, wyrazy typu ψ ∗ (x, z)ψ(x+dx, z) muszą zostać zastąpione wyrazami niezmienniczymi, tj.:
ψ ∗ (x, z) U (x, z; x + dx, z) ψ(x + dx, z),
(3.3.6)
gdzie U (x, z; x + dx, z) = exp(iAx dx) jest liniową całką Schwingera. Odpowiada to następującemu podstawieniu w równaniu Grossa-Pitajewskiego:
(∂x + iAx )2 ψ(x, z) −→
1
[U ψ(x + dx, z) + U ∗ ψ(x − dx, z) − 2ψ(x, z)],
dx2
(3.3.7)
i podobnie dla (∂z + iAz )2 ψ. Powstała w ten sposób dyskretna wersja równania GP jest
niezmiennicza ze względu na transformację cechowani i odtwarza ciągłą wersję równania
(3.3.4) w granicy dx → 0 i dz → 0.
Do znalezienia stanu podstawowego równania GP użyliśmy metody polegającej na ewo-
lucji układu w czasie urojonym. W przypadku liniowego równania Schrödingera, rozkładając stan układu w bazie własnej hamiltonianu:
X
i
|ψ(t)i =
αn e− ~ En t |ψn i
(3.3.8)
n=0
i zamieniając czas rzeczywisty na urojony, tj. t → iτ otrzymujemy:
X
1
|ψ(τ )i =
αn e− ~ En τ |ψn i,
n=0
65
(3.3.9)
Dla długich „czasów” τ → ∞ przyczynki od stanów wzbudzonych zanikają eksponencjalnie
z energią stanu, a więc największy wkład do stanu układu |ψi będzie miał stan własny
hamiltonianu o najniższej energii, tj. stan podstawowy:
1
τ →∞
|ψ(τ )i −→ α0 e− ~ E0 τ |ψ0 i.
(3.3.10)
Przyjmując początek skali energii jako zero, E0 ≡ 0, możemy otrzymać stan podstawowy
układu. Okazuje się, że nawet w przypadku nieliniowego równania G-P metoda ewolucji
w czasie urojonym pozwala znaleźć stan podstawowy.
W praktyce implementacja numeryczna wygląda w ten sposób, że zapisujemy zależne
od czasu równanie GP w czasie urojonym:
−∂τ |ψi = H|ψi,
(3.3.11)
i wyznaczamy |ψ(dτ )i = e−dτ H |ψ(0)i. Najpierw jednak musimy wybrać stan początkowy,
od którego rozpocznie się ewolucja. W naszym przypadku najlepiej zacząć od stanu podstawowego kondensatu w pułapce harmonicznej, a więc od stanu Thomasa-Fermiego postaci
(1.1.14):
|ψ(0)i =
gdzie µ =
(x2 + z 2 )/2
p
s
µ − Vtrap iϕ(r)
e
,
g
(3.3.12)
g/π oznacza potencjał chemiczny w 2D, potencjał harmoniczny Vtrap =
pułapkuje atomy, g = RT4 F π/4 opisuje odpychającą siłę oddziaływania między
atomami w 2D, a ϕ(r) jest fazą wybieraną losowo w każdym punkcie r z przedziału [0; 2π].
Wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach oscylatorowych. W symulacjach ustalamy
promień Thomasa-Fermiego RT F i na tej podstawie wyznaczamy pozostałe parametry
układu. Następnie dla małych kroków dτ możemy zastosować przybliżenie:
|ψ(dτ )i ≈ (1 − dτ H) |ψ(0)i,
(3.3.13)
znormalizować otrzymany stan tak, aby hψ(dτ )|ψ(dτ )i = 1 i powtarzać iteracyjnie całą
procedurę aż do momentu otrzymania |ψ(τ )i o najniższej energii. W praktyce algorytm
przerywany jest w momencie, gdy różnica energii między |ψ(τ − dτ )i i |ψ(τ )i jest znikomo
mała w porównaniu ze skalą energii w układzie.
Znaleziony numerycznie stan podstawowy równania GP dla sztucznego pola magnetycznego wytworzonego przez falę zanikającą o profilu gaussowskim przedstawiony jest
na Rys. 3.14. Lewy panel odpowiada czarnej krzywej na Rys. 3.12, natomiast prawy
czerwonej. Współczynnik oddziaływania między atomami g został wybrany tak, aby promień Thomasa-Fermiego chmury atomów iterbu wynosił odpowiednio RT F = 10µm w
66
lewym panelu oraz RT F = 15µm w prawym. Częstość potencjału harmonicznego wynosi
ωtrap = 2π × 16Hz.
Rysunek 3.14: Gęstość prawdopodobieństwa atomów iterbu spułapkowanych w potencjale
harmonicznym odpowiadającym częstości ωtrap = 2π × 16Hz. Współczynnik oddziaływa-
nia między atomami g, zob. (3.3.4), został wybrany tak, aby promień Thomasa-Fermiego
chmury atomów iterbu wynosił RT F = 10µm (lewy panel) i RT F = 15µm (prawy panel).
Dwuwymiarowa przestrzeń została zdyskretyzowana, tj. dx = dz = 0.05µm (lewy panel) i
0.063µm (prawy panel). Wiry widoczne na wykresach są wynikiem obecności sztucznego
pola magnetycznego wygenerowanego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim. Parametry pola magnetycznego są takie same jak na Rys. 3.12, a więc panel lewy odpowiada
czarnej krzywej na Rys. 3.12, a prawy panel czerwonej.
Analizujemy zachowanie naszego układu w reżimie Thomasa-Fermiego. Profil gęstości prawdopodobieństwa jest paraboliczny ze względu na umieszczenie chmury atomów w
symetrycznej pułapce harmonicznej. Ponadto zakres zaburzeń w gęstości prawdopodobieństwa, a więc rozmiar wiru, odpowiada długości zabliźnienia ξ (1.1.11), dużo mniejszej
niż promień RT F oraz obszar ∆z, na którym pole magnetyczne jest znaczące. Dlatego też
nawet w niewielkich chmurach atomowych możliwa jest obserwacja topologicznych defektów takich jak solitony czy wiry. Szacując liczbę rzędów wirów jako iloczyn zakresu pola
magnetycznego i gęstości wirów, tj. (zob. sekcja 3.2.4):
r
B
Nrows ≈ ∆zρv = ∆z
,
(3.3.14)
2π~
gdzie B jest połową maksymalnej wartości pola magnetycznego, otrzymujemy dla czarnej
67
3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych
krzywej z Rys. 3.12 jeden rząd wirów, natomiast dla czerwonej dwa rzędy. Wielkości te są
mniejsze niż wynika to z symulacji numerycznych, przedstawionych na Rys. 3.14. Powodem zaniżenia szacunkowej liczby rzędów wirów jest to, że braliśmy pod uwagę minimalną
wartość pola magnetycznego na danym obszarze oraz ograniczony jego zakres odpowiadający szerokości połówkowej. W rzeczywistości natomiast atomy odczuwają silniejsze pole
na większym zakresie.
Przeprowadzone symulacje numeryczne i ich wyniki nie tylko jednoznacznie potwierdzają wnioski wyciągnięte na podstawie analitycznych obliczeń w sekcjach 3.2.3 i 3.3.2,
ale również pokazują, że realistyczna sytuacja eksperymentalna jest bardziej obiecująca
niż przyjęliśmy to w naszych szacunkach. Wszystkie parametry użyte w symulacjach są
powszechnie osiągalne we współczesnych laboratoriach zimnych gazów atomowych, dzięki
czemu możliwa jest eksperymentalna realizacja naszej koncepcji.
3.4
Lustro dla zimnych gazów atomowych
W poprzednich sekcjach zostało omówione sztuczne pole magnetyczne wygenerowane
falą zanikającą oraz jego wpływ na chmurę ultrazimnych atomów będących w stanie
kondensatu Bosego-Einsteina. Teraz chcielibyśmy odpowiedzieć na pytanie czy obecność
sztucznego pola magnetycznego może być obserwowana w eksperymentach z zimnymi gazami atomowymi, które są dużo łatwiejsze z perspektywy doświadczalnej implementacji.
Możliwość obserwacji zjawisk magnetycznych w zimnych gazach atomowych byłaby zatem
ciekawym zagadnieniem, które może doczekać się eksperymentalnej realizacji. Podczas prowadzenia niniejszych badań, grupa doświadczalna Zakładu Optyki Atomowej Uniwersytetu
Jagiellońskiego w Krakowie, prowadzona przez dra Tomasza Kawalca wyraziła zainteresowanie przeprowadzeniem odpowiedniego eksperymentu.
Detekcja sztucznych pól w tym przypadku musi jednak przebiegać w inny sposób, ponieważ w gazach, których temperatura jest wyższa niż krytyczna dla kwantowej degeneracji,
nie można obserwować wirów charakterystycznych dla nadciekłości. Sygnaturą sztucznych
pól może być zatem przekaz pędu w kierunku prostopadłym do prędkości atomów v, będący wynikiem działania siły Lorentza. Ponadto w takim wypadku prędkości osiągane
przez atomy są rzędu m/s, a więc dużo większe niż prędkości ultrazimnych atomów (rzędu
mm/s). Stąd aby spełnić warunek adiabatyczny potrzebne jest duże odstrojenie ∆. Taki
warunek pociąga za sobą dużą częstość Rabiego, ponieważ parametr s (3.2.8) musi być
większy od jedności aby pole magnetyczne było znaczące. Dla atomów iterbu spełnienie tych warunków może być trudne, ponieważ przejścia zegarowe, na których bazujemy,
68
charakteryzują się małymi sprzężeniami z polem laserowym. Dlatego w niniejszej sekcji
rozważymy inną konfigurację naszego układu.
3.4.1
Stany ubrane dla konfiguracji Λ
Rozważmy dwa zdegenerowane stany wewnętrzne |1i i |2i atomu, które należą do pod-
przestrzeni stanów podstawowych, np. dwa stany struktury nadsubtelnej atomu rubidu
87 Rb,
oraz dwie wiązki laserowe, scharakteryzowane częstościami Rabiego κ1 (x, z), κ2 (x, z)
i wektorami falowymi o długościach k1 ≈ k2 ≡ k0 , które sprzęgają oba stany podstawowe
ze stanem wzbudzonym |3i, Rys. 3.15. Obie wiązki mogą wywołać przejścia Ramana po-
między dwoma stanami podstawowymi. Układ ten posiada trzy stany własne, z których
3
ℏ
κ2
κ1
2
1
Rysunek 3.15: Schemat Λ poziomów energetycznych atomu trójpoziomowego. Poziomy
podstawowe |1i i |2i sprzęgają się z poziomem wzbudzonym |3i poprzez dwie wiązki lase-
rowe o częstościach Rabiego κ1 (x, z) i κ2 (x, z) odpowiednio. Odstrojenie dla każdej wiązki
wynosi ∆.
jeden zasługuje na szczególną uwagę. Jest to tak zwany stan „ciemny” o energii ED = 0,
będący kombinacją liniową dwóch stanów podstawowych |1i i |2i oraz rozsprzęgnięty od
stanu wzbudzonego |3i, tj.:
|1i − ζ|2i
,
(3.4.1)
|χD i = p
1 + |ζ|2
gdzie ζ = κ∗1 /κ∗2 . Wynika stąd, że atom przygotowany w stanie ciemnym odporny jest na
proces spontanicznej emisji i absorpcji fotonów, dzięki czemu możemy zastosować formalizm przybliżenia adiabatycznego opisanego w sekcji 3.1.4. Pozostałe stany własne układu
p
√
mają energie własne E± = (∆ ± ∆ + |Ω1 |2 + |Ω2 |2 )/2 i wynoszą |±i = (|χB i ± |3i)/ 2,
gdzie |χB i jest tzw. stanem „ jasnym” o postaci:
ζ ∗ |1i + |2i
.
|χB i = p
1 + |ζ|2
(3.4.2)
Zakładając więc, że atom podąża adiabatycznie za stanem ciemnym |χD i, w hamiltonianie
opisującym ruch środka masy atomu możemy się spodziewać niezerowego geometrycznego
69
potencjału wektorowego A = i~hχD |∇χD i oraz skalarnego W = ~2 hχB |∇χD i|2 /(2M ). W
wyrażeniu na potencjał skalarny W pojawił się przyczynek jedynie od stanu jasnego |χB i,
ponieważ h±|∇χD i = hχB |∇χD i. Wynika stąd, że efektywnie układ składa się z dwóch
stanów ubranych oddzielonych przerwą energetyczną:
~δǫ = −
~∆η
,
4
(3.4.3)
gdzie η = |κ1 |2 + |κ2 |2 /∆2 . Założyliśmy ponadto duże odstojenie ∆, a więc zachodzi
nierówność η ≪ 1, tj. suma kwadratów częstości Rabiego musi być mniejsza od kwadratu
odstrojenia ∆. Warto podkreślić, że stan jasny nie jest stanem własnym pełnego hamiltonianu, dlatego nie może być wybrany jako stan początkowy dla adiabatycznej ewolucji.
Przewaga konfiguracji Λ nad atomem dwupoziomowym polega na tym, że wybierając stan ciemny jako stan początkowy układu, pozbywamy się zupełnie zjawiska emisji
spontanicznej, które niszczy adiabatyczność ewolucji układu. Możemy zatem użyć w eksperymencie atomy rubidu
87 Rb
lub innych metali alkalicznych, które są szeroko stosowane
w laboratoriach zimnych gazów atomowych oraz istnieją efektywne metody ich manipulacji. Ponadto w przeciwieństwie do stanów ubranych atomu dwupoziomowego, stan ciemny
nie ma przesunięcia Starka poziomów energetycznych, zob. sekcja 3.1.3. Stąd, rozpatrując zachowanie atomów przy powierzchni dielektrycznej możemy być pewni, że nie istnieje
potencjał dipolowy mogący wpływać na ruch atomów, a zatem jeżeli ruch atomów jest
modyfikowany przy powierzchni, to musi to wynikać z obecności potencjałów geometrycznych.
3.4.2
Opis eksperymentu z zimnymi gazami atomowymi
Rozważmy chmurę atomów schłodzoną w pułapce magnetooptycznej do temperatury
T i umieszczoną w odległości z0 nad powierzchnią poziomo ustawionego pryzmatu, tak jak
na Rys. 3.16. Na chmurę działa siła grawitacji skierowana w dół wzdłuż osi z. W takich
warunkach początkowych chmura atomów rozpręża się w polu grawitacyjnym i spada na powierzchnię pryzmatu. Zakładamy, że pierwsza wiązka pada na granicę między pryzmatem
a próżnią pod kątem θ niewiele większym od kąta granicznego θc i tworzy falę zanikającą,
natomiast druga propaguje się w próżni wzdłuż powierzchni pryzmatu z wektorem falowym
k2 = −k0 x̂, zob. Rys. 3.16. Dzięki takiemu ustawieniu wiązek parametr ζ występujący
w definicji stanu ciemnego (3.4.1) posiada odpowiednio duży gradient amplitudy i fazy,
ponieważ ζ = κ∗1 /κ∗2 = s̃e−z/d e−ik0 (n sin θ+1)x , gdzie s̃ = |d1 · E01 | / |d2 · E02 | [99]. E0i opi-
suje amplitudy i kierunki wektorów pola elektrycznego wiązki laserowej, natomiast di są
atomowymi momentami dipolowymi. Propagacja obu wiązek w tym samym kierunku pro-
70
z
y
κ2
x
n
κ1
θ
Rysunek 3.16: Geometria rozważanego układu. Wiązka κ1 (czerwona strzałka) pada na
powierzchnię pryzmatu pod kątem bliskim kątowi granicznemu θ > θc tworząc w ten sposób
na granicy ośrodków falę zanikającą, natomiast druga wiązka κ2 jako fala płaska propaguje
się w kierunku −x̂ (czerwona sinusoida). Chmura atomowa (żółte koło) umieszczona w
odległości z0 od powierzchni pryzmatu zostaje uwolniona z pułapki magnetooptycznej i
spada swobodnie w polu grawitacyjnym z prędkością początkową v = −v x̂ m/s. Blisko
powierzchni atomy oddziałują z falą zanikającą, co prowadzi do powstania sztucznego
pola magnetycznego, a w konsekwencji sztucznej siły Lorentza, która zakrzywia ich tor
(przerywana linia).
wadziłaby do zredukowania fazy fali biegnącej, a tym samym do znacznego zmniejszenia
jej gradientu. Podobnie w przypadku amplitudy zastosowanie drugiej wiązki zanikającej
powodowałoby ograniczenie jej gradientu.
Analogicznie jak w sekcji 3.2.2 możemy wyznaczyć warunek na dozwolone prędkości w
przybliżeniu adiabatycznym i podobnie jak wcześniej ma on postać:
|v| ≪
δǫ
.
|hχB |∇χD i|
(3.4.4)
Okazuje się, że dla odpowiednio dużych odstrojeń ∆ warunek ten jest spełniony nawet dla
atomów poruszających się z prędkością rzędu m/s, a więc możliwe jest przeprowadzenie
eksperymentu z zimnymi gazami atomowymi o temperaturze rzędu kilkunastu ∼ µK.
Sztuczne pole magnetyczne, które zostanie wygenerowane przez falę zanikającą w tym
przypadku ma postać:
B(z) = −ŷ 2~k02 (n sin θ + 1)
p
n2 sin2 θ − 1
71
s̃2 e−2z/d
.
(1 + s̃2 e−2z/d )2
(3.4.5)
Warto podkreślić, że zastosowaliśmy w tym przypadku przybliżenie fali płaskiej, ponieważ
zgodnie z wnioskami z sekcji 3.3.1 dla kątów odchylonych od θc o około 10−4 rad wyniki dla
wiązki gaussowskiej i fali płaskiej są zbieżne. Rys. 3.17 przedstawia wykresy pola magnetycznego dla dwóch różnych kątów padania bliskich kątowi granicznemu. Pierwszy z nich
(czarna krzywa) odpowiada kątowi pojawiającemu się we wcześniejszych rozważaniach, a
więc θ − θc = 8 · 10−4 rad, drugi natomiast (czerwona przerywana) przedstawia pole magnetyczne użyte w symulacjach trajektorii w zimnych gazach atomowych, a więc dla kąta
padania θ − θc = 3 · 10−4 . Różnicą w stosunku do dwupoziomowego iterbu jest ponad
pięciokrotnie większa amplituda pola magnetycznego, natomiast kształt oraz funkcja parametru s̃ pozostają podobne. Porównując jednak z Rys. 3.8 można zauważyć, że sztuczne
pole magnetyczne dla konfiguracji Λ jest dalej odsunięte od powierzchni pryzmatu. Aby
pole B było znaczące, parametr s̃ musi być rzędu jedności bądź większy.
Rysunek 3.17: Pole magnetyczne B(z) (3.4.5) wytworzone przez pojedynczą falę zanikającą, w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania:
θ − θc = 8 · 10−4 rad (czarna linia) i θ − θc = 3 · 10−4 rad (czerwona przerywana linia) oraz
dla s = 5 (3.2.8) i λ = 795 nm.
Stan ciemny (3.4.1) rozsprzęga się ze stanem wzbudzonym i w tej konfiguracji przesunięcie poziomów energetycznych w wyniku efektu Starka nie zachodzi, a więc nie ma potencjału dipolowego, który mógłby odpychać zimne atomy od powierzchni pryzmatu. Również
geometryczny potencjał skalarny W jest zbyt słaby, aby odbić atomy. Stąd jedyną możliwością na skonstruowanie lustra dla zimnych atomów jest wykorzystanie sztucznej siły
Lorentza, która jest w stanie zakrzywić ich tor. Skoro pole magnetyczne ma składową
w kierunku −ŷ, to przyspieszając atomy po uwolnieniu z pułapki do średniej prędkości
v ∝ −x̂ możemy wygenerować sztuczną siłę Lorentza odpychającą atomy od powierzchni
72
pryzmatu, tak jak na Rys. 3.18 przedstawiającym przykładową trajektorię atomu.
1
z [mm]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
x [mm]
Rysunek 3.18: Przykładowa trajektoria atomu odbitego od powierzchni pryzmatu przez
sztuczną siłę Lorentza.
Rysunki 3.19 oraz 3.20 pokazują gęstość atomów, otrzymaną na podstawie symulacji
klasycznych trajektorii N = 107 atomów rubidu
87 Rb,
w chwilach czasowych co 5 ms od
uwolnienia z pułapki magnetooptycznej. Wszystkie rysunki przedstawiają cykl spadku i
odbicia od powierzchni. Dla spadku z wysokości początkowej z0 = 1 mm i dla początkowej
prędkości v = −1x̂ m/s, atomy osiągają powierzchnię pryzmatu po około 15 ms od uwol-
nienia chmury z pułapki, Rys. 3.19, 3.20. Po około 30 ms następuje punkt zwrotu i odbite
atomy osiągają pierwotną wysokość. Następnie po czasie t ≈45 ms można zauważyć kolejne
odbicie niektórych z nich i cykl ulega powtórzeniu. Jeśli sztuczne pole magnetyczne jest
nieobecne, wszystkie atomy spadają na powierzchnię pryzmatu w czasie około 15 ms. Z
powodu rozmycia początkowych prędkości atomów w niezerowej temperaturze, nie wszystkie atomy zostaną odbite. Jednak te z nich, które wkroczyły w rejon pola magnetycznego
pod dostatecznie małym kątem względem powierzchni, są w stanie odbijać się kilkakrotnie
od pryzmatu tylko i wyłącznie w wyniku działania sztucznego pola magnetycznego. W
temperaturze T = 10 µK rozmycie prędkości wynosi ∆v ≈ 0.03 m/s, co powoduje frakcję
odbitych atomów na poziomie 5%, Rys. 3.19. We współczesnych laboratoriach do detekcji chmury atomowej potrzebnych jest około 104 atomów, choć w wielu przypadkach
możliwe jest zejście poniżej tej wartości [100]. Obniżenie temperatury do T = 1 µK przy
zachowaniu pozostałych parametrów skutkuje rozmyciem prędkości ∆v ≈ 0.01 m/s, a więc
więcej atomów powinno zostać odbitych. To rozumowanie znajduje odzwierciedlenie w
73
wynikach symulacji przedstawionych na Rys. 3.20, gdzie prawie dwukrotnie więcej atomów zostaje odbitych od powierzchni pryzmatu. Obniżenie startowej wysokości chmury
atomowej pozwala na redukcję początkowej prędkości v i osiągnięcie lepszych rezultatów,
tj. więcej atomów zostaje odbitych. Osiągnięcie początkowych wysokości rzędu kilkuset
µm jest trudniejsze z doświadczalnego punktu widzenia, ponieważ geometria układu wymaga ustawienia wiązek laserowych pułapkujących atomy blisko powierzchni pryzmatu.
Niemniej jednak problem ten można ominąć stosując pułapki dipolowe zamiast tradycyjnych magnetooptycznych. Podobnie początkowe przyspieszenie równoległe do pryzmatu,
można nadać atomom poprzez obrót pryzmatu do pozycji odchylonej o 0.1 rad od wektora
siły grawitacji. Wtedy początkowe przyspieszenie pojawia się w układzie naturalnie jako
przyspieszenie ziemskie.
74
t = 0 ms
t = 5 ms
5
.10 5
t = 25 ms
10
10 5
t = 10 ms
4
10 5 .10 10 5
t = 30 ms
.10
44
.10
t = 15 ms
t = 35 ms
t = 20 ms
.10 4
.10 4
t = 40 ms
.10 4
t = 45 ms
.10 4
Rysunek 3.19: Gęstość atomów po uwolnieniu z pułapki magnetooptycznej i ich ewolucja w
różnych chwilach czasowych w ciągu 45 ms w obecności pola grawitacyjnego oraz sztucznego pola magnetycznego wytworzonego przez falę zanikającą. Powierzchnia pryzmatu
położona jest poziomo wzdłuż kierunku x oraz w z = 0, zob. Rys. 3.16. Siła grawitacji
skierowana jest w dół wzdłuż osi z. Wyniki zostały otrzymane dla symulacji klasycznych
trajektorii. Początkowo N = 107 atomów rubidu
87 Rb
jest chłodzona do temperatury
T = 10 µK w pułapce magnetooptycznej (ωtrap = 2π × 100 Hz) na wysokości z0 = 1 mm
nad powierzchnią pryzmatu w x = 0. Zakładamy, że po wyłączeniu pułapki atomy są
przyspieszane do średniej prędkości v = −1x̂ m/s. Następnie chmura spada swobodnie w
polu grawitacyjnym. Blisko powierzchni atomy odczuwają sztuczne pole magnetyczne wygenerowane przez dwie odstrojone ku czerwieni wiązki laserowe (∆ = 10 GHz, λ = 795 nm)
o stosunku częstości Rabiego s̃ = 5. Pierwsza wiązka rozchodzi się w pryzmacie i pada na
jego powierzchnię pod kątem θ = θ0 + 3 · 10−4 rad tworząc w ten sposób falę zanikającą.
Druga natomiast propaguje się w próżni w kierunku −x̂. Zakładamy, że atomy są przygotowane w stanie ubranym ciemnym (3.4.1), który nie jest sprzężony ze stanem wzbudzonym.
Jedynymi skalarnymi potencjałami, które atomy mogą odczuwać, są geometryczny potencjał W , który generuje siłę odpychającą atomy od powierzchni pryzmatu, oraz potencjał
grawitacyjny przyciągający do niej atomy. Siła od potencjału W jest jednak zbyt słaba
(mniejsza niż 0.2mg) aby przezwyciężyć przyciąganie grawitacyjne, a w konsekwencji aby
odbić atomy. Warto podkreślić, że przy braku sztucznego pola magnetycznego wszystkie
atomy zostają rozproszone na powierzchni pryzmatu w czasie rzędu 20 ms. Jeśli sztuczne
pole istnieje, 5% atomów zostaje odbitych od powierzchni pryzmatu po około 20 ms, a po
30 następuje punkt zwrotu i atomy spadają ponownie, powtarzając cały cykl.
75
3.5. Podsumowanie
t = 0 ms
t = 5 ms
t = 10 ms
5
t = 25 ms
t = 30 ms
10 4
10 4
10 4
10 4
t = 15 ms
10 5
10 5
t = 35 ms
10
5
10 4
t = 20 ms
5
10 4
t = 40 ms
10 4
t = 45 ms
10 4
Rysunek 3.20: Gęstość atomów po uwolnieniu z pułapki magnetooptycznej i ich ewolucja w różnych chwilach czasowych w ciągu 45 ms w obecności pola grawitacyjnego oraz
sztucznego pola magnetycznego wytworzonego przez falę stojącą. Parametry układu są
takie jak wcześniej, zob. Rys. 3.19 oprócz temperatury T , która teraz wynosi T = 1µK.
Dzięki obniżeniu temperatury chmury atomowej prawie dwa razy większa frakcja atomów
ulega odbiciu, tj. 9%. Po około 30 ms następuje punkt zwrotu i atomy spadają ponownie,
powtarzając cały cykl. Drugiemu odbiciu ulega około 1% atomów po czasie t = 45 ms.
Niższa temperatura chmury powoduje też mniejsze rozmycie prędkości, bo ∆v ≈ 0.01 m/s,
dlatego większa frakcja atomów zostanie odbita od powierzchni pryzmatu.
3.5
Podsumowanie
W niniejszym rozdziale rozważaliśmy atomy, które poruszały się wolno w obecności
fali zanikającej. W celu teoretycznego opisu zachowania ultrazimnej chmury atomowej
skorzystaliśmy z formalizmu przybliżenia adiabatycznego, które pozwoliło nam wyznaczyć
geometryczne potencjały odczuwane przez atomy, tj. potencjał wektorowy A i skalarny
W . Dzięki temu byliśmy w stanie stworzyć warunki, w których neutralne atomy zachowywały się jak cząstki naładowane w polu magnetycznym. Fala zanikająca okazała się być
odpowiednia do tych celów, ponieważ posiada duży gradient amplitudy i fazy, które są
kluczowe dla osiągnięcia silnych pól magnetycznych.
Przedstawione zostały trzy konfiguracje prowadzące do powstania sztucznych pól ma-
76
3.5. Podsumowanie
gnetycznych. Pierwsza z nich bazuje na fali zanikającej wytworzonej przez pojedynczą
falę płaską, dostrojoną do atomowego rezonansu. Zatem metoda ta może być zastosowana w atomach o długo żyjących stanach. Ponadto pokazaliśmy, że kondensat BosegoEinsteina umieszczony w zakresie takiego pola, wykazuje niezerową cyrkulację, a więc obecność sztucznego pola magnetycznego przejawia się powstaniem sieci wirów w ultrazimnej
chmurze atomowej. Okazuje się, że największą liczbę wirów generują fale zanikające o
kącie padania bardzo bliskim kątowi granicznemu dla całkowitego wewnętrznego odbicia.
W takim wypadku jednak należy wziąć pod uwagę realistyczny gaussowski profil wiązki,
który dla odpowiednio dobranych parametrów odtwarza przybliżenie fali płaskiej.
Trzecia konfiguracja dotyczy atomu trójpoziomowego typu Λ, gdzie do wytworzenia
sztucznego pola magnetycznego użyte zostały dwie wiązki - jedna tworzy falę zanikającą,
a druga propaguje się w próżni równolegle do pryzmatu. Atomy przygotowane w ciemnym
stanie ubranym, który rozsprzęga się ze stanem wzbudzonym, nie ulegają procesowi emisji
spontanicznej, a więc w eksperymencie mogą brać udział atomy metali alkalicznych takich
jak np. rubid
87 Rb.
Metodę generacji sztucznego pola dla tej konfiguracji zastosowaliśmy
w zimnych gazach atomowych o temperaturze wyższej niż krytyczna dla kwantowej degeneracji. Obecność pola magnetycznego wpływa na ruch chmury atomów, która zostaje
uwolniona z pułapki magnetooptycznej i spada na powierzchnię pryzmatu. W ten sposób
można zrealizować nowy typ atomowego lustra, który bazuje na sztucznej sile Lorentza,
a nie potencjale dipolowym [100–104] czy oddziaływaniu momentów magnetycznych atomów z zewnętrznym polem magnetycznym [105] jak do tej pory. Ponadto pokazaliśmy,
że efekt ten może być obserwowany doświadczalnie w zakresie parametrów osiągalnych we
współczesnych laboratoriach.
77
Rozdział 4
Kwantowy efekt Halla w 4D
Kwantowy efekt Halla w dwóch wymiarach przestrzennych przyciągał zainteresowanie
fizyków od wielu lat. Od momentu pierwszej obserwacji przez Klausa von Klitzinga, pojawiło się wiele propozycji eksperymentalnej realizacji fizyki Halla, m. in. w ostatniej
dekadzie w ultrazimnych gazach atomowych. Nową ścieżkę w badaniach wyznaczył S. Ch.
Zhang i J. Hu, którzy uogólnili kwantowy efekt Halla na cztery wymiary przestrzenne [106].
Pomimo kilku obiecujących projektów, jak np. z użyciem dwuwymiarowych kwazikryształów [107], w których parametry przesunięcia sieci pełnią rolę pędów w dodatkowych wymiarach, oraz ostatnio przez zastosowanie sztucznego wymiaru bazującego na wewnętrznych
stopniach swobody atomów [108], temat jest bardzo nowy i wciąż wymaga szczegółowych
badań. W niniejszym rozdziale opiszemy metodę eksperymentalnej realizacji kwantowego
efektu Halla w 4D używając „rzeczywistych” wymiarów przestrzennych, które można osiągnąć poprzez odpowiednią inżynierię sieci optycznej. Przedstawimy ponadto efektywny
algorytm wyznaczania drugiej liczby Cherna - niezmiennika topologicznego charakteryzującego topologiczne fazy w czterech wymiarach.
W sekcji 1.2.4 rozważaliśmy elektrony umieszczone w dostatecznie silnym polu magnetycznym, aby kwantyzacja poziomów Landaua stała się znacząca. Wtedy elektrony
przejawiały kwantowy efekt Halla, w którym przewodność przyjmowała dyskretne wartości będące liczbami całkowitymi w jednostkach kwantów przewodności, tj. e2 /h. Okazuje
się, że efekt ten może być analizowany na różne sposoby. W przypadku ciągłym otrzymujemy mocno zdegenerowane poziomy Landaua, a przewodność Halla określa jaka ich
liczba jest obsadzona. W punkcie 4.1.2 natomiast przyjrzymy się kwantowemu efektowi
Halla z perspektywy sieci umieszczonej w zewnętrznym polu magnetycznym. Spektrum takiego układu w funkcji strumienia pola przepływającego przez komórkę elementarną sieci
przyjmuje kształt fraktalnego motyla, zwanego Motylem Hofstadtera [33]. Zmieniając wa-
79
4.1. Wprowadzenie
runki brzegowe na otwarte w jednym kierunku przestrzennym otrzymujemy stany brzegowe
opisane w punkcie 1.2.4, a pokazane na wykresach w sekcji 4.1.2.
Okazuje się, że przewodność Halla może być opisana zarówno za pomocą stanów brzegowych, co pokazał Laughlin w swoim argumencie, zob. punkt 1.2.4, jak również na podstawie pasm energetycznych. W drugim przypadku przewodność σxy wyrażona jest przez
całkę z krzywizny Berry’ego zapełnionych pasm energetycznych, a liczba całkowita będąca
wynikiem całkowania odpowiada niezmiennikowi topologicznemu, tak zwanej pierwszej
liczbie Cherna, która charakteryzuje topologiczną fazę. Temu zagadnieniu poświęcony jest
punkt 4.1.3. W ostatniej części wiadomości wstępnych, tj. w punkcie 4.1.4 pokażemy, że
kwantowy efekt Halla może być uogólniony na wyższe wymiary.
W czterech wymiarach przestrzennych, niezmiennikiem topologicznym charakteryzującym pasma energetyczne jest tzw druga liczba Cherna. W przypadku gdy model czterowymiarowy powstaje z dwóch niezależnych modeli dwuwymiarowych, to istnieje analityczna
metoda wyznaczania wartości tego niezmiennika. W ogólności jednak wyznaczenie drugiej
liczby Cherna w ten sposób jest niemożliwe i pojawia się potrzeba zastosowania efektywnego algorytmu, dzięki któremu można byłoby scharakteryzować pasma dowolnego układu
typu kwantowego efektu Halla. Temu zagadnieniu poświęcony jest punkt 4.2, gdzie najpierw przedstawiony jest algorytm dla dwóch wymiarów przestrzennych opracowany przez
Fukui, Hatsugai i Suzuki w 2005 roku, a następnie przedstawimy zaproponowane przez nas
uogólnienie na cztery wymiary. Wyniki tej sekcji zostały zebrane w artykule [109]
Ostatnia część rozdziału przedstawia szkic propozycji realizacji eksperymentalnej czterowymiarowego efektu Halla w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Projekt ten wymaga
jeszcze dodatkowych badań, a wyniki przedstawione w niniejszym rozdziale potrzebują
ulepszenia i weryfikacji.
4.1
4.1.1
4.1.1.1
Wprowadzenie
Cząstka w potencjale periodycznym
Fale Blocha i funkcje Wanniera
Rozważmy cząstkę umieszczoną w zewnętrznym periodycznym potencjale. Jej położenie na sieci może być opisane wektorem:
Rnx ,ny ,nz = nx ax + ny ay + nz az ,
80
(4.1.1)
4.1. Wprowadzenie
gdzie nx , ny , nz ∈ Z, natomiast aj = aj ĵ, j = x, y, z, są wektorami prymitywnymi sieci.
Jednocząstkowy hamiltonian możemy zatem zapisać w postaci:
H=−
~2 2
∇ + Vlatt (r),
2m
(4.1.2)
gdzie Vlatt (r) = Vlatt (r + aj ), j = x, y, z. Zgodnie z twierdzeniem Blocha funkcje własne
hamiltonianu (4.1.2) są również periodyczne z periodem sieci i przyjmują formę tzw. fal
Blocha [110]:
ψnk = eikr unk (r),
unk (r) = unk (r + aj ),
(4.1.3)
gdzie k jest tzw. kwazipędem związanym z siecią odwrotną (przestrzenią pędów), która
odpowiada transformacie Fouriera przestrzeni położeń oraz j = x, y, z. Indeks n numeruje
pasma powstałe na skutek tego, że dla danego k istnieje wiele różnych fal Blocha. Dla
danego pasma o ustalonym n ψnk oraz energia Enk zmieniają się w sposób ciągły z k
oraz dla każdego wektora sieci odwrotnej k′ mamy ψnk = ψnk+k′ , co oznacza, że wystarczy rozpatrywać wektory z komórki elementarnej sieci odwrotnej zwanej pierwszą strefą
Brillouina.
Fale Blocha stanowią kompletny zbiór ortogonalnych stanów własnych hamiltonianu
(4.1.2), ale są zdelokalizowane. Możliwe jest jednak skonstruowanie na podstawie fal Blocha
ortogonalnych stanów zlokalizowanych na oczkach sieci, zwanych funkcjami Wanniera [111,
112]:
1 X −ik·Ri
e
ψnk (r),
wni (r) = √
N k
(4.1.4)
gdzie Ri jest dowolnym wektorem sieci, a N jest liczbą oczek. Funkcje Wanniera zależą
tylko od względnej odległości cząstki r i oczka sieci Ri , tj. wi (r) ≡ w(r − Ri ). W dalszych
rozważaniach będziemy zakładać, że tunelowanie odbywa się tylko między sąsiadującymi
oczkami oraz ograniczamy się do najniższego pasma Blocha, a więc pominiemy indeks n.
4.1.1.2
Jednocząstkowy hamiltonian na sieci
Przechodząc do formalizmu drugiej kwantyzacji, a więc wyrażając wektory pola jako
kombinację liniową funkcji Wanniera oraz operatorów anihilacji âi (kreacji â†i ) cząstki (ferP
mionu) w i-tym oczku, tj. Ψ(r) = i âi wi (r), otrzymujemy hamiltonian wielocząstkowy.
Jednak w naszych rozważaniach rozpatrujemy jednocząstkowe hamiltoniany oraz funkcje
falowe. Rozkładając zatem hamiltonian w bazie stanów własnych, w tym przypadku funkcji
Wanniera |wi i, otrzymujemy jednocząstkową wersję hamiltonianu na sieci, tj.:
X
X
H=
(|wi ihwi |H|wj ihwj | + h.c.) = −
(Jij |wi ihwj | + h.c.),
hiji
hiji
81
(4.1.5)
4.1. Wprowadzenie
gdzie Jij = −hwi |H|wj i jest amplitudą tunelowania.
Poprzez wyrażenie całkowitej funkcji falowej przez funkcje Wanniera stosujemy tzw.
przybliżenie ciasnego wiązania, w którym cząstki zlokalizowane są w danym oczku sieci.
Hamiltonian (4.1.5) zawiera tylko jeden wyraz, będący energią kinetyczną, który opisuje
tunelowanie cząstki między oczkami. Oznaczenie hiji odnosi się do indeksów sąsiadujących
ze sobą oczek, a więc tunelowanie odbywa się tylko między najbliższymi sąsiadami.
4.1.2
Sieć kwadratowa w polu magnetycznym
Rozważmy hamiltonian w 2D dla bezspinowych nieoddziałujących elektronów umieszczonych w sieci kwadratowej w modelu ciasnego wiązania:
(4.1.6)
H = Tx + Ty + h.c.,
gdzie Tx i Ty są operatorami translacji o jedno oczko (stałą sieci) w kierunkach x i y
odpowiednio. W zewnętrznym polu magnetycznym przyjmują one postać:
Tx = J x
X
m,n
x
eiθmn |wm+1,n ihwm,n |,
Ty = J y
X
m,n
y
eiθmn |wm,n+1 ihwm,n |,
(4.1.7)
gdzie |wm,n i są stanami Wanniera hamiltonianu 4.1.5 w oczku (m, n) , Jx oraz Jy są
izotropowymi amplitudami tunelowań, dlatego pozbawione zostały indeksów sieciowych,
natomiast pole magnetyczne zostało wprowadzone przez podstawienie Peierlsa [113–117].
Polega ono na dodaniu do każdego elementu przeskoku |wm+1,n ihwm,n | oraz |wm,n+1 ihwm,n |
odpowiednio fazy
x
θmn
e
=
~
Z
m+1
m
y
θmn
A · dx,
e
=
~
Z
n+1
n
A · dy.
(4.1.8)
A wyraża potencjał wektorowy pola elektromagnetycznego. Takie podstawienie generuje
fazę równą 2πφmn gdy okrążamy komórkę elementarną sieci, przez którą przepływa strumień pola φmn wyrażony w jednostkach kwantów strumienia h/e. Okazuje się jednak,
że operatory translacji Tx i Ty w ogólności nie komutują ani ze sobą, ani z hamiltonianem, a tym samym hamiltonian nie jest niezmienniczy względem translacji w wyniku
obecności potencjału wektorowego. Możemy jednak znaleźć tak zwane operatory translacji magnetycznej T̃x i T̃y , które komutują z hamiltonianem oraz wzajemnie ze sobą przy
odpowiednim wyborze cechowania i strumienia magnetycznego. Wybierając cechowanie
Landaua Ay = Bx = 2πφm, gdzie φ jest jednorodnym strumieniem pola przez plakietkę
sieci, otrzymujemy komutujące operatory translacji magnetycznej jeśli φ = p/q, gdzie p i q
są relatywnie pierwsze, a więc nie posiadają wspólnych dzielników oprócz jedności. Łatwo
82
4.1. Wprowadzenie
stąd widać, że nowa komórka elementarna ma periodyczność q w kierunku x i zwana jest
magnetyczną komórką elementarną. W sytuacji, gdy oba operatory translacji komutują z
hamiltonianem, możemy numerować stany własne układu ze względu liczby kwantowe kx i
ky . Wtedy magnetyczna strefa Brillouina jest q razy mniejsza w kierunku x: 0 ≤ kx ≤ 2π/q
i niezmieniona w kierunku y: 0 ≤ ky ≤ 2π, a jednocząstkową funkcję falową możemy zapi-
sać w postaci fal Blocha jako: ψm,n = eikx m eiky n um , gdzie um jest periodyczna z periodem
q. Wstawiając ją następnie do równiania Schrödingera otrzymujemy równanie własne,
które przyjmuje postać postać równania Harpera [118], tj.:
(4.1.9)
E/J
−2Jcos(2πφm + ky )um − J(eikx um+1 + e−ikx um−1 ) = Eum ,
Rysunek 4.1: Fraktalna struktura poziomów energetycznych elektronu umieszczonego w
dwuwymiarowej sieci kwadratowej w obecności zewnętrznego jednorodnego pola magnetycznego, znana jako Motyl Hofstadtera. Założyliśmy izotropowe tunelowania w każdym
kierunku, tj. Jx = Jy ≡ J, a energia została wyrażona w jednostkach amplitudy tune-
lowania J. Strumień pola magnetycznego wyrażony jest jako stosunek liczb względnie
pierwszych, tj. φ = p/q ∈ [0, 1].
Spektrum dla tego problemu przedstawia sławny Motyl Hofstadtera [118], a więc fraktalna struktura poziomów energetycznych, zob. Rys. 4.1. Z wykresu można się przekonać,
że rzeczywiście dla danego strumienia φ = p/q spektrum składa się z q pasm energetycznych oddzielonych przerwami energetycznymi. Ponadto dla nieparzystych wartości q
poziom E = 0 znajduje się wewnątrz środkowego pasma, tak jak na prawym panelu Rys.
83
4.1. Wprowadzenie
4.2, podczas gdy dla parzystych q relacja dyspersji jest symetryczna względem E = 0,
zob. lewy panel Rys. 4.2, a rozwiązanie problemu sieci w polu magnetycznym zawiera
q fermionów Diraca w E = 0, tj. wokół punktów E = 0 otrzymujemy liniową relację
dyspersji charakterystyczną dla cząstek relatywistycznych. Przykład struktury pasmowej
z periodycznymi warunkami brzegowymi dla wartości strumienia φ = 1/2 (lewy panel)
oraz φ = 1/5 (prawy panel) przedstawia Rys. 4.2. Widoczne na lewym wykresie punkty
złączenia pasm nazywane są węzłami Diraca.
3
3
2
2
1
E/t
E/J
E/J
E/t
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
0
π/2
π
3π/2
2π
0
ky
π/2
π
3π/2
2π
ky
Rysunek 4.2: Struktura pasmowa poziomów energetycznych elektronu umieszczonego w
dwuwymiarowej sieci kwadratowej o izotropowych tunelowaniach Jx = Jy ≡ J w obecności zewnętrznego jednorodnego pola magnetycznego, którego strumień przez komórkę
elementarną sieci wynosi φ = 1/2 (lewy panel) oraz φ = 1/5 (prawy panel). Gdy q jest
liczbą parzystą, to wykres jest symetryczny względem poziomu E = 0 i posiada węzły
Diraca (zob. dyskusja w tekście), natomiast dla nieparzystych q poziom E = 0 znajduje
się wewnątrz środkowego pasma. W obu przypadkach liczba pasm jest równa q.
Na Rys. 4.3 została przedstawiona struktura pasm energetycznych dla periodycznych
warunków w y i otwartych w x oraz dla strumienia pola φ = 1/3 przepływającego przez
komórkę elementarną sieci. Jest to konfiguracja podobna do przedstawionej w sekcji 1.2.4,
przy czym zamiast ciągłej próbki mamy dyskretną sieć. W konfiguracji Laughlina przewodność Halla była równa liczbie chiralnych modów brzegowych. Na wykresie w górnym
panelu wyraźnie widać obecność modów brzegowych zlokalizowanych na brzegach układu
(dolny panel). W kolejnych sekcjach pokażemy, że przewodność Halla może również być
zdefiniowana w kontekście modów objętościowych, a więc istniejących wewnątrz pasm.
Obie definicje są sobie równoważne, co zostało pokazane przez Hatsugai [119, 120] i nosi
84
4.1. Wprowadzenie
3
2
E/J
E/t
1
0
-1
-2
-3
0
π/2
3π/2
π
2π
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
|ψ|2
|ψ|2
ky
0.4
0.2
0.2
0
0.4
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
x
x
Rysunek 4.3: Struktura pasm energetycznych dla modelu Hofstadtera o izotropowych tunelowaniach w każdym kierunku, tj. Jx = Jy = J, z periodycznymi warunkami brzegowymi
w kierunku y i otwartymi w kierunku x oraz dla strumienia pola φ = 1/3. Na górnym wykresie wyraźnie widać obecność modów brzegowych zlokalizowanych na brzegach układu o
liczbie oczek w kierunku x równiej Nx = 51. Mod o dodatniej prędkości grupowej porusza
się na prawym brzegu próbki (dolny prawy panel), natomiast o ujemnej na lewym brzegu
(dolny lewy panel).
85
4.1. Wprowadzenie
nazwę zasady korespondencji między objętością a brzegiem izolatora topologicznego.
4.1.3
Przewodność Halla i liczby Cherna
W rozdziale 1 zawarliśmy krótkie wprowadzenie do kwantowego efektu Halla, aby wyrobić pewną intuicję związaną z tym zjawiskiem. Pomimo jednak, że ten stosunkowo prosty fizyczny obraz pozwala na wyjaśnienie większości aspektów kwantowego efektu Halla,
chcielibyśmy wprowadzić formalizm niezbędny dla głębszego zrozumienia istoty procesów
odpowiedzialnych za kwantyzację przewodności Halla i pojawienie się stanów brzegowych.
4.1.3.1
Związek przewodności Halla z krzywizną pasm Blocha
W przypadku sieci spektrum energii posiada strukturę pasmową odcinkami ciągłą.
Energia w każdym ciągłym fragmencie zależy od kwazipędu Blocha zmieniającego się w obrębie strefy Brillouina. W dwóch wymiarach przestrzennych strefa Brillouina jest torusem,
a więc stanowi ciągłą przestrzeń parametrów, w której można zdefiniować fazę Berry’ego,
wprowadzoną w punkcie 3.1.5. Wtedy stan układu może zakreślić zamkniętą drogę podczas adiabatycznej ewolucji, a parametrem opisującym dane pasmo jest wektor falowy k.
Jeśli poprzez małe zaburzenie sieci możemy wprowadzić adiabatyczne zmiany wektora k
na zamkniętej drodze w strefie Brillouina, wtedy funkcja Blocha powinna nabyć niezerową
geometryczną fazę Berry’ego. W przypadku, gdy strefa Brillouina jest torusem, możemy
zmieniać k w określonym kierunku, a kiedy osiągniemy brzeg, ścieżka zostaje zamknięta
automatycznie. Zgodnie z punktem 3.1.5 możemy również wyrazić fazę Berry’ego jako
strumień pola magnetycznego przepływający przez powierzchnię wyznaczoną pętlą adiabatycznej ewolucji wektora k, zob. równanie (3.1.25). F stanowi tak zwaną krzywiznę
Berry’ego, która opisuje geometrię stanów własnych w obrębie strefy Brillouina, a tym
samym krzywiznę pasm Blocha. Okazuje się, że źródłem kwantowej przewodności Halla
jest właśnie krzywizna Berry’ego zapełnionych pasm, a dokładniej [121]:
σxy
e2 1
=
h 2π
Z Z
(4.1.10)
dkx dky Fxy (k),
BZ
gdzie
Ai = −i
Fxy (k) = ∂kx Ay (k) − ∂ky Ax (k),
X
a≤ν
hak|
∂
|aki.
∂ki
(4.1.11)
ν oznacza liczbę zapełnionych pasm, a |aki są niezdegenerowanymi stanami Blocha w
paśmie a o kwazipędzie k. Wynika stąd, że przewodnictwo Halla nie zależy od energii
86
4.1. Wprowadzenie
w paśmie, ale od stanów własnych układu. Ponadto widać, że krzywizna Berry’ego jest
rotacją koneksji Berry’ego A.
Jeśli natomiast w pasmach Blocha mamy do czynienia z degeneracją, tj. pasma się
stykają lub przecinają w pewnych punktach strefy Brillouina, to koneksja oraz krzywizna
Berry’ego przyjmują postać macierzową:
(A(k))nm = hn(k)|∇k |m(k)i,
(Fxy (k))nm = ∂kx Anm (k) − ∂ky Anm (k),
(4.1.12)
(4.1.13)
gdzie |ni i |mi są stanami własnymi do energii poniżej energii Fermiego, a przewodność
Halla zdefiniowana jest przez ślad krzywizny, tj.:
Z
e2 1
d2 kTr[Fxy ].
σxy =
h 2π T 2
4.1.3.2
(4.1.14)
Pierwsza liczba Cherna jako niezmiennik topologiczny
Niejednokrotnie widzieliśmy już, że przewodność Halla wyrażona jest przez całkowitą
wielokrotność ν elementarnego strumienia (w jednostkach e2 /h). Teraz przekonamy się, że
ν jest topologicznym niezmiennikiem zwanym pierwszą liczbą Cherna.
Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami strefa Brillouina w układzie dwuwymiarowym
ma kształt torusa, a więc nie posiada granic. Wynika stąd, że stosując twierdzenie Stokesa
zawsze otrzymamy przewodność Halla σxy = 0 jeśli A(k) jest dobrze zdefiniowane na całej
strefie Brillouina. Niezerowe wartości przewodności Halla mogą wynikać zatem jedynie
z nietrywialnej struktury koneksji Berry’ego A, tj. z obecności punktów osobliwych w
obrębie strefy Brillouina. Zatem nie możemy wybrać globalnego cechowania, które jest
ciągłe i jednoznaczne w całej strefie Brillouina.
W wyniku transformacji cechowania U (1) funkcja falowa j-tego poziomu nabywa czynnik fazowy:
|j, ki′ = eif (k) |j, ki,
(4.1.15)
gdzie f (k) jest gładką funkcją w obrębie strefy Brillouina. Koneksja Berry’ego zatem
transformuje się jako:
Aj (k)′ = Aj (k) + ∇f (k).
(4.1.16)
Przewodność Halla jest obserwablą, a więc nie zależy od wyboru cechowania. Korzystając
z transformacji cechowania można by zatem sądzić, że wybór całkowitej fazy funkcji falowej jest dowolny. Jednak jeśli jesteśmy w stanie zawsze znaleźć gładkie cechowanie, to
przewodność Halla zawsze zanika na mocy argumentu związanego z twierdzeniem Stokesa.
87
4.1. Wprowadzenie
A zatem muszą istnieć takie przypadki, w których nie możemy zastosować gładkiego cechowania do naszej funkcji falowej. Dzieje się tak np. kiedy pierwsza składowa funkcji Blocha
|j, ki znika w pewnych punktach strefy Brillouina (każda składowa odpowiada kolejnym
oczkom sieci). Oznaczmy te miejsca zerowe jako ks , dla s = 1, ..., N oraz zdefiniujmy małe
obszary wokół nich jako:
2
Rsǫ = {k ∈ TBZ
||k − ks | < ǫ, |a, ks i1 = 0},
(4.1.17)
2
gdzie TBZ
jest dwuwymiarowym torusem pierwszej strefy Brillouina, a indeks 1 wektora
|j, ks i1 oznacza jego pierwszą składową. Wtedy możemy nadać funkcji falowej gładkie
cechowanie w każdym z obszarów osobno, tj. wewnątrz Rsǫ cechowanie A1 i na zewnątrz
A2 . Na granicy między nimi dwie funkcje falowe są ze sobą związane przez transformację
cechowania:
ψ2 (k) = ei(g(k)−f (k)) ψ1 (k) = eiχ(k) ψ1 (k),
(4.1.18)
A2 (k) = ψ2 ∂k ψ2 = ψ1 ∂k ψ1 + i∇χ(k) = A1 (k) + i∇χ(k).
(4.1.19)
a koneksje Berry’ego:
Wtedy przewodność Halla możemy zapisać jako:
σxy
e2 1
=
h 2πi
Z
2 −Rǫ
TBZ
s
∇ × A1 (k) +
Z
Rsǫ
!
(4.1.20)
∇ × A2 (k) .
Stosując twierdzenie Stokesa mamy:
σxy
e2 1
=
h 2πi
Z
2 −Rǫ )
∂(TBZ
s
dk · A1 (k) +
Z
∂(Rsǫ )
!
(4.1.21)
dk · A2 (k) .
2 − Rǫ ) = −∂(Rǫ ), a wtedy:
Skoro torus nie ma brzegu, to brzeg ∂(TBZ
s
s
σxy
e2 1
=
h 2πi
Z
e2 1
dk · (A2 (k) − A1 (k)) =
h 2πi
∂(Rsǫ )
Z
∂(Rsǫ )
dk · i∇χ(k) =
e2
ν,
h
(4.1.22)
gdzie
1
ν=
2π
I
∂(Rsǫ )
dk · ∇χ(k)
(4.1.23)
jest liczbą nawinięć transformacji cechowania na granicy ∂(Rsǫ ) [119, 120]. Podobnie jak w
przypadku wirów w 2D opisanych w punkcie 1.2.3 ν musi być liczbą całkowitą ze względu
na jednowartościowość funkcji falowej po zakreśleniu zamkniętej drogi wokół każdego z
obszarów Rsǫ . Niezmiennik topologiczny ν nosi nazwę pierwszej liczby Cherna.
88
4.1. Wprowadzenie
4.1.4
Uogólnienie kwantowego efektu Halla na wyższe wymiary
W podpunkcie 4.1.2 pokazaliśmy, że spektrum cząstki umieszczonej w dwuwymiarowej
sieci kwadratowej w prostopadłym silnym polu magnetycznym podzielone jest na pasma
oddzielone przerwą energetyczną. Liczba pasm oraz wielkość przerw zależy od strumienia
pola przepływającego przez komórkę elementarną sieci, a każdemu z pasm można przypisać
pewną charakterystyczną wielkość, zwaną pierwszą liczbą Cherna. Tego typu układ stanowi realizację dwuwymiarowego kwantowego efektu Halla, ponieważ zmieniając warunki
brzegowe z periodycznych na otwarte, otrzymujemy stany brzegowe, a więc niezerowe przewodnictwo poprzeczne, którego wartość jest skwantowana i zależy od pola magnetycznego.
Okazuje się, że kwantowy efekt Halla można uogólnić na wyższe parzyste wymiary [106],
a najprostszym przykładem realizującym czterowymiarową fizykę Halla są dwa niezależne
dwuwymiarowe modele Hofstadtera, opisane równaniem (4.1.9) - jeden w płaszczyźnie XZ,
drugi natomiast w płaszczyźnie Y W . Odpowiada to wyborowi potencjału wektorowego w
postaci Ax (r) = Ay (r) = 0, Az (r) = 2πφz x oraz Aw (r) = 2πφw y, gdzie φz oraz φw oznaczają strumienie pola przez komórkę elementarną w płaszczyźnie XZ i Y W odpowiednio.
Równanie własne przyjmuje zatem postać podwójnego równania Harpera (4.1.9), tj.
−J eikx um+1,n (k) + e−ikx um−1,n (k) − J eiky um,n+1 + e−iky um,n−1 −
2Jum,n (k)(cos(2πφz m + kz ) + cos(2πφw n + kw )) = E(k)um,n (k),
(4.1.24)
gdzie x = ma oraz y = na. Ponieważ w takim przypadku hamiltonian układu jest sumą
dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli, to spektrum czterowymiarowego układu jest
tzw sumą Minkowskiego obu komponentów Hofstadtera, tj. [108]):
E(k) = {E1 + E2 | E1 ∈ EXZ , E2 ∈ EY W },
(4.1.25)
a więc pasma w 4D powstają poprzez sumę „każdy z każdym” pasm modeli 2D. Na Rys. 4.4
pokazane są dwa przykładowe spektra układu 4D oraz odpowiadające im spektra układów
2D. Jeśli najniższe pasmo modelu 2D jest dobrze odseparowane od reszty pasm, wkład do
najniższego pasma modelu 4D pochodzi tylko od sumy najniższych pasm 2D, zob. górny
panel, który przedstawia pasma energetyczne dla φz = φw = 1/4. Sytuacja może być jednak bardziej skomplikowana i najniższe efektywne pasmo 4D może być złożeniem większej
ilości podpasm 2D, tak jak na dolnym panelu dla φz = φw = 3/5. Oba czterowymiarowe
spektra pokazują, że pasma pogrupowane są w większe struktury, pomiędzy którymi istnieje przerwa energetyczna. Od tej pory nazywać je będziemy efektywnymi pasmami. Dla
φz = φw = 1/4 istnieją trzy efektywne pasma, natomiast dla φz = φw = 3/5 jest ich pięć,
zob. Rys. 4.4.
89
4.1. Wprowadzenie
Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym pasma energetyczne czterowymiarowego
układu posiadają nietrywialną topologię i są scharakteryzowane niezmiennikiem topologicznym zwanym drugą liczbą Cherna. Zawiera ona wkłady od dwuwymiarowych krzywizn
Berry’ego F zdefiniowanych równaniem (4.1.11).
c2
4D
2D
3
-1
c1
-1
2
1
2
E
2
0
-
-
-1
-
-1
ky
3
-1
4
-6
2
-3
2
1
2
0
4
-1
-3
2
ky
Rysunek 4.4: Przykładowe spektra czterowymiarowego układu (wykresy po lewej stronie)
dla φz = φw = 1/4 (górny panel) oraz φz = φw = 3/5 (dolny panel), będące sumą Minkowskiego pasm odpowiadających im dwuwymiarowych modeli, których spektra przedstawione
są po prawej stronie ilustracji. Obok każdego z pasm zostały podane odpowiadające im
liczby Cherna, pierwsza c1 dla układów dwuwymiarowych i druga c2 dla układów czterowymiarowych. Szczegółowo omówimy je w dalszej części pracy, tj. w sekcji 4.2.3.
W przypadku najbardziej ogólnym wyrażenie na drugą liczbę Cherna przyjmuje postać
[122]:
(n)
c2
1
=
32π 2
Z
d4 kǫijkl Tr[Fij Fkl ],
90
(4.1.26)
4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna
gdzie
Aαβ
ki (k) = −ihα(k)|∂ki |β(k)i
αβ
αβ
Fijαβ = ∂ki Aαβ
kj − ∂kj Aki + i[Aki , Akj ]
(4.1.27)
(4.1.28)
są teraz macierzami, i, j, k, l = x, y, z, w, a α, β oznaczają stany obsadzone. Wzór ten
znajduje zastosowanie w przypadku pól nieabelowych oraz w sytuacji, kiedy pasma się
stykają bądź przecinają.
W przypadku pól abelowych wyrażenie (4.1.26) ulega znacznemu uproszczeniu i dla
n-tego pasma możemy je przepisać jako:
Z
Z
1
1
(n)
F ∧F = 2
d4 k (Fxy Fzw + Fwx Fzy + Fzx Fyw ) ,
c2 = 2
8π T 4
4π T 4
(4.1.29)
gdzie czterowymiarowa strefa Brillouina zdefiniowana jest na czterowymiarowym torusie
T 4 . W czterech wymiarach przestrzennych druga liczba Cherna nie posiada prostej interpretacji geometrycznej, w przeciwieństwie do pierwszej liczby Cherna w dwóch wymiarach,
która jest liczbą nawinięć fazy wokół osobliwości w strefie Brillouina, zob. sekcja 4.1.3.
Niemniej jednak jej znaczenie w czterech wymiarach przestrzennych jest równie ważne jak
w przypadku pierwszej liczby Cherna w dwóch wymiarach, ponieważ jej niezerowa wartość świadczy o nietrywialnej topologii układu. Podobnie jak wcześniej dla skończonych
układów druga liczba Cherna determinuje pojawienie się przewodzących stanów powierzchniowych na granicy topologiczny izolator-próżnia.
4.2
Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna
W niniejszej sekcji przedstawimy efektywny algorytm wprowadzony przez T. Fukui, Y.
Hatsugai oraz H. Suzuki (FHS) [123], pozwalający na wyznaczenie pierwszej liczby Cherna
w dwóch wymiarach przestrzennych w oparciu o teorię cechowania na sieci [124–128]. W
niektórych sytuacjach liczby Cherna mogą być wyznaczone analitycznie, np. na podstawie
liczby stanów brzegowych, jednak w ogólności do tego celu potrzebne są metody numeryczne. Pokażemy następnie w jaki sposób można uogólnić tę ideę na cztery wymiary
przestrzenne, aby wyznaczyć drugą liczbę Cherna, charakteryzującą pasma energetyczne
czterowymiarowego układu. Okazuje się, że opracowany przez nas algorytm sprawdza się
bardzo dobrze dla różnych układów. Aby to pokazać, najpierw porównamy dokładne wartości drugiej liczby Cherna otrzymane analitycznie dla modelu Diraca na sieci oraz dwóch
niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera z wynikami numerycznych obliczeń.
Następnie rozważymy bardziej skomplikowany układ, dla którego analityczne rozwiązania
nie istnieją i zaprezentujemy działanie naszego uogólnionego algorytmu.
91
4.2.1
Efektywny algorytm wyznaczania pierwszej liczby Cherna w opaciu o teorię cechowania na sieci
Problem dyskretyzacji ciągłych teorii cechowania pojawił się poprzednio w sekcji 3.4.2,
kiedy potrzebowaliśmy numerycznie wyznaczyć stan podstawowy kondensatu Bosego-Einsteina w obecności sztucznego pola magnetycznego. Bezpośrednia dyskretyzacja układu
poprzez skończone sumy prowadzi do wyników zależnych od cechowania oraz jest nieefektywna z obliczeniowego punktu widzenia, ponieważ koneksję i krzywiznę Berry’ego należałoby wyznaczyć w każdym punkcie przestrzeni odwrotnej. Zamiast tego wygodnie jest
zdefiniować linki „łączące” sąsiadujące punkty strefy Brillouina, w postaci:
Uµ (k) ≡
hn(k)|n(k + µ̂)i
,
Nµ (k)
(4.2.1)
gdzie µ = x, y oraz Nµ (k) ≡ |hn(k)|n(k + µ̂)i| jest czynnikiem normalizacyjnym. Punkty
strefy Brillouina dobrze jest wybrać tak, aby odległości między nimi w każdym kierunku
przestrzennym były takie same, tj.
dkµ =
2π
,
qµ N µ
(4.2.2)
gdzie 0 < kµ < 2π/qµ . Wtedy krzywizna Berry’ego przyjmuje postać:
F̃xy (k) ≡ lnUx (k)Uy (k + x̂)Ux (k + ŷ)−1 Uy (k)−1 ,
−π < −iF̃xy (k) ≤ π,
(4.2.3)
która jest jawnie niezmiennicza ze względu na cechowanie, ponieważ pozwala wyznaczyć
krzywiznę w podstawowej komórce strefy Brillouina (linki zakreślają pętlę w dyskretnej
strefie Brillouina) zamiast wyliczania krzywizny w każdym punkcie. Wartość F̃xy zawiera
się w przedziale charakteryzującym gałąź główną logarytmu zespolonego.
W efekcie pierwsza liczba Cherna n-tego pasma może być wyrażona jako suma wszystkich plakietek krzywizny Berry’ego, tj.
c̃(n) ≡
1 X
F̃xy (k).
2πi
(4.2.4)
k
Przybliżenie jest tym lepsze, im dokładniej spełniony jest warunek:
|F̃xy (k)| ≈ |Fxy (k)|dkx dky .
(4.2.5)
Oznacza to, że w granicy dkx (dky )→ 0 rozwiązanie na sieci odtwarza wartość krzywizny
Berry’ego dla ciągłej przestrzeni. Warto podkreślić, że otrzymana w ten sposób pierwsza
92
liczba Cherna c̃(n) przyjmuje dokładnie całkowite wartości. Aby to lepiej zobrazować,
wprowadźmy potencjał wektorowy:
Ãµ (k) = lnUµ (k),
−π < −iÃµ (k) ≤ π,
(4.2.6)
periodyczny na sieci. Podstawiając do równania Eq. (4.2.3) otrzymujemy:
F̃xy (k) = ∆x Ãy (k) − ∆y Ãx (k) + 2πinxy (k),
(4.2.7)
gdzie ∆µ oznacza skończoną różnicę, tj. ∆µ Ãν = Ãν (k + µ̂) − Ãν (k), natomiast nxy jest
liczbą całkowitą wybraną w ten sposób, aby krzywizna przyjmowała wartość główną logarytmu, tj. −π < −iF̃xy (k) ≤ π. Biorąc pod uwagę periodyczność potencjału wektorowego,
otrzymujemy:
c̃(n) =
X
nxy (k),
(4.2.8)
k
co pokazuje, że c̃(n) jest liczbą całkowitą.
Powyższe rozważania dotyczą przypadku bez degeneracji pasm, a więc pasma nie mogą
się stykać ani przecinać. Okazuje się jednak, że metoda ta może być uogólniona [129], a
linki powinny uwzględniać macierzową naturę koneksji i krzywizny Berry’ego, a więc:
Uµ (k) ≡ |detUµ (k)|−1 detUµ (k),
(4.2.9)
(Uµ )αβ = hα(k)|β(k + µ̂)i.
(4.2.10)
gdzie
Stany |αi oraz |βi są stanami zapełnionych pasm. Krzywizna Berry’ego wokół plakietki
dyskretnej strefy Brillouina może być wyrażona podobnie jak wcześniej:
F̃xy (k) ≡ lnUx (k)Uy (k + x̂)Ux (k + ŷ)−1 Uy (k)−1
(4.2.11)
a pierwsza liczba Cherna n-tego pasma:
c(n) ≡
1 X
F̃xy (k).
2πi
(4.2.12)
k
Powyższe sformułowanie oparte jest na dobrze znanej równości pomiędzy śladem logarytmu a logarytmem wyznacznika, tj. w tej sytuacji TrFxy = Tr[ln(Ux Uy Ux−1 Uy−1 )] =
... = ln(detUx detUy detUx−1 detUy−1 ). Okazuje się jednak, że chcąc uogólnić to podejście do
wyższych wymiarów, nie można skorzystać z triku między śladem, logarytmem i wyznacznikiem, a ponadto rozszerzenie na cztery wymiary nie jest tak oczywiste ze względu na
skomplikowaną formę drugiej liczby Cherna, tj. c2 ∼ T r[F ∧ F ]. Niemniej jednak opra-
cowana przez nas metoda pozwala efektywnie wyznaczyć drugą liczbę Cherna dowolnego
układu czterowymiarowego, ponieważ szybko zbiega do prawidłowej, całkowitej wartości
c2 , podczas gdy bezpośrednie wyznaczenie c2 ze wzoru (4.1.26) jest żmudne i nieefektywne.
93
4.2.2
Efektywny algorytm wyznaczania drugiej liczby Cherna
Okazuje się, że w przypadku niezdegenerowanych pasm bezpośrednia generalizacja algorytmu FHS jest poprawna, tj. można zdefiniować linki podobnie jak w równaniu (4.2.1)
z indeksami uwzględniającymi wszystkie wymiary: x, y, z, w, a więc mamy cztery podstawowe linki Ux , Uy , Uz oraz Uw . Na tej podstawie możliwe jest wyznaczenie odpowiednich
krzywizn Berry’ego, a podstawienie do równania (4.1.29) sprowadza się do prostego mnożenia pierwszych liczb Cherna (zob. [107, 108]). Okazuje się, że istnieje metoda analityczna,
opisana dokładniej w punkcie 4.2.3, która pozwala znaleźć drugie liczby Cherna pod warunkiem, że dwuwymiarowe podukłady tworzące efektywnie czterowymiarową przestrzeń
są od siebie niezależne [45], zob. sekcję 4.1.4.
Niemniej jednak sytuacja zmienia się, gdy mamy do czynienia z bardziej skomplikowanymi układami, w których wszystkie kierunki są od siebie zależne, a pasma energetyczne wielokrotnie stykają się lub przecinają. W ogólności koneksja A oraz krzywizna F
Berry’ego stają się macierzami, których nie można uprościć jak w przypadku dwuwymiarowym, tj. zastosowanie uproszczenia poprzez wyznacznik prowadzi do pominięcia ważnych
informacji o układzie. Potrzebne jest natomiast zachowanie macierzowej struktury, ponieważ zgodnie z równaniem (4.1.26) należy na końcu wyznaczyć ślad z mnożenia macierzy
będących krzywiznami Berry’ego. Okazuje się, że jest możliwe zachowanie postaci macierzowej koneksji i krzywizny Berry’ego poprzez zdefiniowanie linków zgodnie z równaniem
(4.1.27), tj. przepisując koneksję w postaci dyskretnej pochodnej:
Aαβ
µ (k)δkµ = −i (hα(k)|β(k + µ̂)i − hα(k)|β(k)i) ,
(4.2.13)
która w zapisie macierzowym przyjmuje prostą formę:
Aµ (k)δkµ ≡ −i(Aµ − I),
(4.2.14)
gdzie Aα,β
µ (k) = hα(k)|β(k + µ̂)i oraz I jest macierzą jednostkową, ponieważ wszystkie
wektory własne są ortogonalne względem siebie. |αi oraz |βi oznaczają stany obsadzone.
Zdefiniujmy następnie eksponentę koneksji Berry’ego, tj.:
Uµ = eiAµ (k) ≈ I + iAµ (k) = Aµ ,
(4.2.15)
a więc elementy macierzowe macierzy Uµ są równe
Uµαβ = hα(k)|β(k + µ̂)i.
(4.2.16)
Podobnie jak wcześniej możemy zdefiniować krzywiznę Berry’ego wokół jednej plakietki
jako:
F̃µν (k) ≡ −iln Uµ (k)Uν (k + µ̂)Uµ (k + ν̂)−1 Uν (k)−1 ,
94
(4.2.17)
gdzie tym razem F̃µν jest macierzą, a logarytm odnosi się do logarytmu macierzowego. W
tym przypadku otrzymujemy podobny warunek na ziarnistość strefy Brillouina, tj.
|F̃µν (k)| ≈ |Fµν (k)|dkµ dkν .
(4.2.18)
Okazuje się, że wyrażenie na drugą liczbę Cherna (4.1.26) można uprościć do postaci
podobnej jak w równaniu (4.1.29), tj.
1 X (n)
Tr F̃xy F̃zw + F̃wx F̃zy + F̃zx F̃yw ,
c̃2 = 2
4π
(4.2.19)
k
Macierze linków Uµ są unitarne biorąc pod uwagę całą przestrzeń Hilberta, a poprzez zawężenie ich jedynie do stanów obsadzonych łamiemy ich unitarność. Aby być w pełni
poprawnym należałoby rozpatrywać pełny układ, a uwzględnić stany obsadzone biorąc
ślad w ostatnim kroku. Oznacza to, że w pierwszej kolejności powinniśmy obliczyć iloczyn
unitarnych macierzy, tj. Uµ Uν Uµ−1 Uν−1 w pełnej przestrzeni Hilberta, który posiada tylko
elementy diagonalne w postaci ei2πmj , gdzie j = 1, 2, ..., q1 · q2 , a mj są liczbami całkowitymi z racji tego, że wyznaczamy krzywiznę Berry’ego wzdłuż zamkniętej pętli (innymi
słowy jest to liczba pełnych nawinięć fazy). Chcąc wyznaczyć druga liczbę Cherna powinniśmy zatem wyznaczyć iloczyn pętli Wilsona, a następnie wyliczyć ślad tylko po pasmach
obsadzonych. W tym miejscu pojawia się jednak problem, ponieważ z punktu widzenia
obliczeń numerycznych nie ma różnicy pomiędzy ei2π·m a liczbą 1, gdzie m oznacza liczbę
całkowitą, a więc istnieje potrzeba znalezienia innej metody, aby wyciągnąć wszystkie informacje o układzie. Z tego powodu pomocnym okazuje się zredukowanie już na samym
początku naszej przestrzeni do podprzestrzeni stanów obsadzonych, które delikatnie łamie
unitarność linków Uµ , ale w efekcie otrzymujemy wartości drugiej liczby Cherna, które są
szybko zbieżne do właściwej całkowitej wartości. Własności skalowania można uzyskać z
warunku (4.2.18), który pokazuje, że F̃µν zdefiniowane jest z dokładnością do drugiego
rzędu w dk. Oznacza to, że F̃µν skaluje się jak dk 2 ∼ 1/N 2 , gdzie N oznacza liczbę punk-
tów w strefie Brillouina w danym kierunku. W ogólności wynika stąd, że im większa liczba
punktów w strefie Brillouina, tym numeryczna wartość drugiej liczby Cherna jest bliższa
właściwemu, całkowitemu rozwiązaniu.
4.2.3
Przykłady zastosowania efektywnego algorytmu do wyznaczania
drugiej liczby Cherna
4.2.3.1
Porównanie z modelem Diraca w (4+1) wymiarach
W niniejszej sekcji chcielibyśmy pokazać, że nasza metoda działa prawidłowo dla modelu Diraca na sieci w (4 + 1) wymiarach. Model ten posiada rozwiązania analityczne,
95
a więc tym bardziej warto przetestować wyniki numeryczne z dokładnymi wartościami
drugiej liczby Cherna w tym przypadku [122].
Zacznijmy od wprowadzenia hamiltonianu Diraca w (4 + 1) wymiarach w przestrzeni
ciągłej:
HDirac =
Z
d4 x[ψ † (x)Γj (−i∂j )ψ(x) + mψ † Γ0 ψ],
(4.2.20)
gdzie j = 1, 2, 3, 4 są wymiarami przestrzennymi, a Γµ są pięcioma macierzami Diraca dla
µ = 0, 1, 2, 3, 4, które spełniają algebrę Clifforda, tj. Γµ , Γν = 2δµν I.
Model Diraca może być przepisany w formie dyskretnej w przybliżeniu ciasnego wiązania:
Hlatt =
X
[ψn†
n,j
cΓ0 − iΓj
2
ψn+ĵ + h.c.] + m
X
ψn† Γ0 ψn ,
(4.2.21)
n
gdzie Γ = (σx ⊗I, σy ⊗I, σy ⊗σx , σy ⊗σy , σz ⊗σz ) oraz σµ są macierzami Pauliego [122,130].
Okazuje się, że w przestrzeni pędów hamiltonian ten może być przepisany w prostej formie:
Hlatt =
X
ψk† da (k)Γa ψk ,
(4.2.22)
k
gdzie

da (k) = m + c
X
j


coskj  , sinkx , sinky , sinkz , sinkw  .
(4.2.23)
Indeks a oznacza a-tą składową pięciowymiarowego wektora d. Zaprezentowany model
posiada dwie wartości własne E+ oraz E− , które są podwójnie zdegenerowane, w wyniku
czego efektywnie mamy do czynienia z modelem dwupasmowym, w którym najniższe tylko
pasmo jest obsadzone. Na Rys. 4.5 zaprezentowane jest spektrum energii dla różnych
wartości parametru m. W pobliżu przejść fazowych, które mają miejsce dla m = −4 i m =
−2, por. Rys.4.6, wyraźnie widać, że przerwa energetyczna ulega znacznemu zmniejszeniu,
aby ostatecznie domknąć się dla krytycznych wartości parametru m (lewy i prawy panel).
Z daleka od przejścia fazowego, przerwa energetyczna jest duża, a pasma płaskie (środkowy
panel).
W tym wypadku drugą liczbę Cherna można wyznaczyć z całki, która ma formę niezmienniczą ze względu na cechowanie:
Z
3
c2 = 2 d4 kǫabcde dâ ∂x dˆb ∂y dˆc ∂z dˆd ∂w dê ,
8π
(4.2.24)
gdzie dâ (k) ≡ da (k)/|d(k)| oraz a, b, c, d, e = 0, 1, 2, 3, 4. W ogólności jednak znalezienie
formy całkowej niezmienniczej ze względu na cechowanie jest trudne lub wręcz niemożliwe.
96
m = -3
m = -3.9
2
m = -2.1
E
1
0
-1
-2
0
π/2
π 3π/2 2π 0
π/2
kx
π 3π/2 2π 0
π/2
kx
π 3π/2 2π
kx
Rysunek 4.5: Spektrum energii czterowymiarowego modelu Diraca na sieci dla trzech różnych wartości parametru m. Najbliższe punkty krytyczne są dla m = −4 i m = −2.
Na wykresach widać wyraźnie zmniejszanie się przerwy energetycznej w pobliżu punktów
przejścia fazowego (prawy i lewy wykres).
Dlatego też w większości przypadków wyznaczanie wartości drugiej liczby Cherna na podstawie całki jest nieefektywne. Biorąc pod uwagę tylko niezerowe wyrazy hamiltonianu
opisanego równaniem (4.2.23), całkę (4.2.24) można uprościć do sumy pięciu wyrazów:
+
dˆ0 ∂x dˆ1 ∂y dˆ2 ∂z dˆ3 ∂w dˆ4
−
−
−
(4.2.25)
− dˆ4 ∂x dˆ1 ∂y dˆ2 ∂z dˆ3 ∂w dˆ0 .
Okazuje się, że powyższa całka posiada rozwiązanie analityczne, zaprezentowane na Rys.
4.6, które zależy od parametrów m i c. We wszystkich wykresach tej sekcji przyjęliśmy
parametr c = 1. Warto jednak podkreślić, że w większości przypadków trudno znaleźć
formę całkową niezmienniczą ze względu na cechowanie, dlatego w ogólności obliczenia
drugiej liczby Cherna poprzez całkowanie są nieefektywne i trudne.
Na Rys. 4.7 pokazane są wartości drugiej liczby Cherna wyznaczone naszą metodą
(czerwone punkty) dla m = −3 (górny panel) i blisko przejścia fazowego, tj. dla m = −3.9
(dolny panel). Liczba punktów w każdy kierunku w strefie Brillouina została wybrana tak,
aby dkx = dky = dkz = dkw ≡ dk, gdzie dk = 2π/N . To samo zrobiliśmy dla postaci
97
3
2
c2
1
0
0
2
4
6
m
Rysunek 4.6: Diagram fazowy dla (4 + 1)-wymiarowego modelu Diraca dla parametru
c = 1. Na diagramie wyraźnie widać krytyczne wartości parametru m, dla których przerwa energetyczna zostaje zamknięta i następuje przejście do fazy scharakteryzowanej inną
wartością drugiej liczby Cherna. Kolorami zaznaczone są niezerowe jej wartości.
całkowej drugiej liczby Cherna (niebieskie punkty) opartej na równaniu (4.2.24), gdzie całkowanie zastąpiliśmy sumowaniem, aby porównać wyniki otrzymane za pomocą obu metod.
Wielkość ∆c2 jest różnicą pomiędzy dokładną całkowitą wartością drugiej liczby Cherna
oraz wynikami numerycznych obliczeń, tj. ∆c2 = c2 − c̃2 . Rysując wykres zależności
ln(∆c2 ) od ln(N ) widać, że zależność ta jest wykładnicza. Niemniej w skali logarytmicznej
otrzymujemy prostą, a parametry dopasowania funkcji liniowej ln(∆c2 ) = a · ln(N ) + b
określają skalowanie naszego algorytmu. W tym przypadku otrzymane skalowanie jest w
postaci eb · N a . Wyniki dopasowania znajdują się w poniższych tabelach:
m = -3, c = 1
algorytm
postać całkowa
a
-1.973±0.019
-1.077±0.021
b
2.819±0.072
3.289±0.097
0.9999
0.9996
R2
m = -3.9, c = 1
algorytm
postać całkowa
a
-1.882±0.063
-1.104±0.016
b
5.14±0.29
4.811±0.097
0.9994
0.9998
R2
98
m = -3
0.2
2
3
algorytm
fit
fit
0.1
0
2
-2
ln(∆ c2)
∆ c2
∆ c2
0.15
2.5
1.5
-4
1
0.05
-6
0.5
0
0
50
N
100
-8
150
50
150
250
2
N
4
ln(N)
m = -3.9
14
0.5
algorytm
fit
4
fit
12
0.4
2
∆ c2
∆ c2
0.3
0.2
ln(∆ c2)
10
8
6
0
-2
4
0.1
-4
2
0
0
50
100 150 200
0
200
N
400
N
600
2
4
6
ln(N)
Rysunek 4.7: Wykresy pokazują ∆c2 , a więc różnicę pomiędzy dokładną wartością drugiej liczby Cherna a wynikiem numerycznym, jako funkcję liczby punktów N w strefie
Brillouina. Czerwonymi punktami oznaczone są numeryczne wyniki otrzymane naszym
algorytmem, natomiast niebieskie kółka oznaczają wyniki całkowania. Górny panel odpowiada parametrowi m = −3, a więc daleko od przejścia fazowego, dzięki czemu reżim
zbieżności osiągnięty jest nawet dla niewielkiej liczby punktów. Sytuacja zmienia się dla
m = −3.9 (dolny panel) blisko przejścia fazowego ze względu na znaczne zmniejszenie się
przerwy energetycznej w układzie. Dla naszej metody reżim zbieżności jest osiągnięty dla
około N ≈ 60, podczas gdy w przypadku postaci całkowej potrzebnych jest około N ≈ 250.
Do każdego dopasowania podana jest również wartość współczynnika determinacji R2 .
Jak widać w każdym przypadku jest on bliski jedności, a więc wszystkie dopasowania
są wiarygodne. W niektórych przypadkach w fitowaniu pominięte zostały początkowe
punkty zdecydowanie odbiegające od właściwych wartości. Otrzymane wyniki pokazują,
99
że zbieżność naszej metody jest jak dk 2 ∼ 1/N 2 , natomiast całka zbiega do prawidłowej
wartości c2 liniowo, tj. proporcjonalnie do dk ∼ 1/N . Warto zauważyć, że w przypadku,
gdy układ znajduje się blisko przejścia fazowego, tj. przerwa energetyczna jest bardzo
mała (dolne panele), to reżim zbieżności osiągany jest dla gęstszej siatki punktów w strefie
Brillouina, tj. Nmin ≈ 60 w przypadku naszego algorytmu, podczas gdy postać całkowa
wymaga co najmniej Nmin ≈ 250 punktów, zob. prawy wykres w dolnym panelu Rys. 4.7.
Daleko od przejścia fazowego reżim zbieżności osiągany jest bardzo szybko, tak jak widać
to na wykresie po prawej stronie górnego panelu.
4.2.3.2
Przypadek dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera
Wprowadzenie do układu dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera
opisaliśmy już w punkcie 4.1.4. Teraz natomiast chcielibyśmy w praktyce pokazać działanie naszego algorytmu oraz porównać je ze ścisłymi rozwiązaniami analitycznymi. Okazuje
się bowiem, że w sytuacji, gdy dwa dwuwymiarowe układy są niezależne, istnieje analityczna formuła wyznaczenia drugiej liczby Cherna. Aby to pokazać zauważmy najpierw,
że druga liczba Cherna ze wzoru (4.1.29) jest iloczynem pierwszych liczb Cherna odpowiednich podpasm układów dwuwymiarowych. Wychodząc od równoważnego sformułowania drugiej liczby Cherna wykorzystującego operatory rzutowania P (kµ ) na podprzestrzeń
stanów obsadzonych [122]:
X −ǫαβγδ ∂P ∂
∂P ∂
,
Tr P
P
c̃2 =
8π 2
∂kα ∂kβ ∂kγ ∂kδ
(4.2.26)
αβγδ
możemy je uprościć i efektywnie otrzymać prostą postać:
c̃2 =
X
(nxz )
c1
E1 +E2 <EF
(nxz )
gdzie c1
(nyw )
i c1
(nyw )
· c1
,
(4.2.27)
są pierwszymi liczbami Cherna dwuwymiarowych modeli Hofstadtera
w płaszczyznach XZ oraz Y W odpowiednio, natomiast E1 ∈ EXZ oraz E2 ∈ EY W . Aby
zaprezentować zasadę działania analitycznej metody opisanej wzorem (4.2.27), rozważmy
przykład strumieni magnetycznych φz = φw = 1/4. Ponieważ każdy z dwuwymiarowych
modeli posiada 4 pasma, otrzymujemy 16 możliwych kombinacji sum (4.1.25), a więc w
efekcie pasm energetycznych czterowymiarowego modelu. Na Rys. 4.4 przedstawione są
struktury pasmowe układu czterowymiarowego (lewy górny panel) oraz odpowiadającego
mu podukładu dwuwymiarowego (prawy górny panel). Najniższe pasmo czterowymiarowego efektu Halla jest utworzone przez sumę najniższych pasm podukładów dwuwymiaro(1)
yw
wych, a więc c2 = czx
1 · c1 = −1. Warto zwrócić uwagę, że znak jednej z liczb Cherna
100
zx
uległ zmianie ze względu na zmianę definicji przewodności Halla, tj. cxz
1 = −1, ale c1 = 1.
Pasma, które tworzą środkową część spektrum 4D są kombinacjami wszystkich pasm, z wy-
jątkiem sum najniższego z najniższym i najwyższego z najwyższym. W rezultacie środkowa
część spektrum lewego górnego panelu Rys. 4.4 składa się tak naprawdę z 14 pasm, które
się stykają lub przecinają, a więc nie ma przerwy energetycznej pomiędzy nimi i niemożliwe
jest wyznaczenie niezmiennika topologicznego dla każdego z nich. Niemniej jednak wyliczenie wszystkich możliwych kombinacji iloczynów odpowiednich pierwszych liczb Cherna
(2)
daje c2 = 2, która stanowi charakterystykę topologiczną środkowego efektywnego pasma.
Natomiast najwyższe pasmo 4D pochodzi od najwyższych pasm obu podukładów, a więc
(3)
otrzymujemy c2 = −1.
Metoda analityczna opisana powyżej działa zarówno dla pojedynczych pasm, jak i prze-
cinających lub stykających się, dla których można wyznaczyć łączną drugą liczbę Cherna.
Niemniej jednak warunkiem koniecznym jest czterowymiarowy układ zbudowany z dwóch
niezależnych dwuwymiarowych podukładów.
Tak jak wspominaliśmy wcześniej, najniższe pasmo układu czterowymiarowego dla strumienia pola φz = φw = 1/4 (lewy górny panel) stanowi sumę energii najniższych pasm
modeli dwuwymiarowych o liczbach Cherna c1 = −1, dlatego też w tym przypadku użycie
naszego algorytmu nie jest potrzebne. Niemniej jednak kolejne pasmo jest mieszaniną 14
pasm, które się stykają bądź przecinają. W tym przypadku wygodnie jest użyć metody numerycznej, ponieważ rozpisywanie kombinacji iloczynów pierwszych liczb Cherna może być
uciążliwe. Wyniki obliczeń numerycznych drugiej liczby Cherna środkowego efektywnego
pasma dla różnych wartości N , gdzie dk = 2π/q · N , pokazane są na Rys. 4.8. W prawym
panelu znajduje się wykres ln(∆c2 ) w zależności od liczby punktów N , do którego następnie
dopasowaliśmy regresję liniową o parametrach a = −1.973 ± 0.018, b = 1.303 ± 0.056 oraz
R2 = 0.9999. Jak widać, zgodnie z oczekiwaniami skalowanie w tym przypadku również
zachowuje się jak ∼ dk 2 .
Odmienną nieco sytuację prezentuje dolny panel Rys. 4.4 dla φz = φw = 3/5. Całko-
wita liczba pasm w tym przypadku wynosi q1 · q2 = 25, jednak przerwami energetycznymi
rozdzielone są tylko niektóre z nich, w wyniku czego układ posiada 5 efektywnych pasm.
Interesujące w tym przypadku jest to, że rozłożenie pasm w efektywnych pasmach jest
bardziej jednorodne, tzn dolne efektywne pasmo składa się tak naprawdę z 4 stykających
się pasm, a idąc dalej mamy ich odpowiednio 4, 9, 4, 4, co sumarycznie daje 25 pasm. W
tym przypadku zbieżność naszego algorytmu następuje przy minimalnej liczbie punktów
w strefie Brillouina, tj. N = 5 i natychmiastowo prowadzi do całkowitych wyników.
101
0.25
-1
-2
0.2
-3
∆c2
ln(∆c2)
0.15
0.1
-4
-5
0.05
-6
0
-7
10
20
30
40
50
N
2
3
4
ln(N)
Rysunek 4.8: Wykresy pokazują ∆c2 , tj. różnicę pomiędzy dokładną wartością drugiej
liczby Cherna a wynikiem numerycznym, jako funkcja liczby punktów w strefie Brillouina
wybranych tak, aby dkx = dky = dkz = dkw ≡ dk, gdzie dk = 2π/q1 · N . Czerwone
punkty odpowiadają wynikom numerycznym otrzymanym za pomocą naszego algorytmu.
Parametry dopasowania funkcji liniowej ln(∆c2 ) = a·ln(N )+b wynoszą a = −1.973±0.018,
b = 1.303 ± 0.056 ze współczynnikiem determinacji R2 = 0.9999.
4.2.3.3
Analiza układu ze sprzężeniem wszystkich kierunków
W ostatniej części pokażemy, że numeryczny algorytm pozwala wyznaczyć drugą liczbę
Cherna układu, dla którego nie istnieje analityczne rozwiązanie. Rozważmy zatem układ,
w którym wszystkie kierunki są od siebie zależne, tj. wprowadźmy sprzężenie pomiędzy dwuwymiarowymi modelami Hofstadtera poprzez potencjał wektorowy w postaci:
Az (r) = 2πφz x oraz Aw (r) = 2πφw (y + x), gdzie φz = p1 /q1 i φw = p2 /q2 , a więc oba
modele są sprzężone poprzez współrzędną x. W takiej sytuacji nie możemy zastosować
formuły (4.2.27) dla faktoryzacji pierwszych liczb Cherna dwuwymiarowych podukładów,
a więc wyliczenie drugiej liczby Cherna dla każdego pasma w czterech wymiarach wymaga
uniwersalnego algorytmu. Zacznijmy od równania typu Harpera, które ma postać podobną
jak we wzorze (4.1.24), tj.
−J eikx um+1,n (k) + e−ikx um−1,n (k) − J ei(ky +kx ) um,n+1 + e−i(ky +kx ) um,n−1 −
2Jum,n (k)(cos(2πφz m + kz ) + cos(2πφw (n + m) + kw )) = E(k)um,n (k), (4.2.28)
a więc różnica występuje w argumencie drugiego cosinusa, gdzie występuje suma x + y,
a x = ma oraz y = na. Z powodu istnienia dodatkowego strumienia przepływającego
102
przez płaszczyznę Y W , a zależnego od x, magnetyczna komórka w kierunku x powinna
zostać powiększona ze względu na strumień φw , tj. periodyczność w x jest równa q1 · q2
(a nie q1 jak wcześniej). W konsekwencji strefa Brillouina w kx jest zredukowana do
0 ≤ kx ≤ 2π/(q1 · q2 ).
Przykładem tego typu układu, który posiada przerwę energetyczną w swoim spektrum,
jest sieć, przez którą przepływają dwa strumienie: φz = 1/3 i φw = 1/8. W tym przypadku
komórka magnetyczna w kierunku x zawiera 24 oczka, a więc 192 stany własne tworzą 3
efektywne pasma, których wielkość jest rzędu 0.5 w jednostkach E/J, zob. Rys. 4.9. Podobnie jak wcześniej wybraliśmy dyskretyzację strefy Brillouina taką, że dk jest identyczne
we wszystkich kierunkach.
ϕz = 1/3
ϕw = 1/8
-1
2
-1
Rysunek 4.9: Spektrum zmodyfikowanego modelu czterowymiarowego, zob. (4.2.28), w
kórym wszystkie współrzędne są sprzężone przez strumienie pola magnetycznego φz = 1/3
oraz φw = 1/8. Układ posiada dwie duże przerwy energetyczne, które przejawiają fizykę
Halla. Po prawej stronie wykresu podane są wyliczone wartości drugiej liczby Cherna dla
każdego pasma.
Na Rys. 4.10 zaprezentowane są wykresy zbieżności naszego algorytmu dla najniższego
pasma (górny panel) oraz środkowego (dolny panel) modelu opisanego równaniem (4.2.28).
Parametry dopasowania są następujące:
103
1. pasmo
2. pasmo
a
-1.942±0.023
-1.974±0.012
b
-5.305±0.037
-1.691±0.018
0.9999
0.9999
1.4
1.2
1
0.8
ln(∆ c2)
∆ c2·103
R2
0.6
0.4
0.2
0
-10
2
4
6
8
10
1
N
1.5
2
ln(N)
0.05
-3
-3.5
0.04
-4
∆ c2
ln(∆ c2)
0.03
0.02
-4.5
-5
0.01
-5.5
0
-6
2
4
6
8
1
1.5
l
2
Rysunek 4.10: Wykresy przedstawiają ∆c2 , tj. różnicę pomiędzy całkowitą wartością
drugiej liczby Cherna, do której zbiega algorytm, a wartością numeryczną, jako funkcja liczby punktów w strefie Brillouina N . Czerwone punkty odpowiadają wartościom
numerycznym otrzymanym za pomocą naszego algorytmu. Parametry funkcji liniowej
ln(∆c2 ) = a · ln(N ) + b są następujące: a = −1.942 ± 0.023, b = −5.305 ± 0.037 oraz
R2 = 0.9999.
104
4.3. Realizacja doświadczalna
W tym przypadku dokładna wartość drugiej liczby Cherna nie jest znana. Niemniej
jednak bazując na poprawności naszego algorytmu w przypadkach analitycznych, możemy
rozszerzyć naszą analizę również na nieanalityczne układy. Wyznaczając bowiem wartość
numeryczną za pomocą naszego algorytmu widać, że zbiega ona do pewnej liczby całkowitej
dla każdego efektywnego pasma, a suma wszystkich liczb Cherna efektywnych pasm w
danym układzie daje wartość 0, co jest zgodne z naszymi przewidywaniami.
4.3
Realizacja doświadczalna
W niniejszej sekcji przedstawimy zarys propozycji doświadczalnej realizacji czterowymiarowego efektu Halla w zimnych gazach atomowych opisanego równaniem (4.1.24), a
więc składającego się z niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera. Zaletą naszego podejścia jest to, że dodatkowy wymiar zostaje wygenerowany w trójwymiarowej
przestrzeni bez zastosowania spinowych stopni swobody, które mogą zostać wykorzystane
w dalszym etapie badań. Okazuje się bowiem, że odpowiedź układu na słabe zewnętrzne
pole elektryczne zawiera wyraz liniowy, pochodzący od dwuwymiarowego efektu Halla,
oraz nieliniowy, charakterystyczny dla czterowymiarowej fizyki Halla. W przypadku cząstek bezspinowych równania transportu zawierają wkłady od obu zjawisk, natomiast wykorzystując cząstki o spinie σ = ± można wyeliminować efekty dwuwymiarowe, ponieważ
pierwsze liczby Cherna dla każdego ze spinów mają przeciwne znaki. Dzięki temu możliwe jest wyeliminowanie liniowej odpowiedzi z równań transportu i obserwowanie czysto
czterowymiarowego efektu Halla.
4.3.1
4.3.1.1
Wprowadzenie
Sieci optyczne
W punktach 3.1.1 oraz 3.1.3 opisaliśmy oddziaływanie atomów ze światłem, które prowadzi do powstania potencjału dipolowego odczuwanego przez atomy. Potencjał ten leży
u podstaw wielu typów pułapek dla zimnych gazów atomowych, a w szczególności sieci
optycznych, które naśladują strukturę ciał stałych [12, 13]. Potencjał ten może być przyciągający lub odpychający, w zależności od odstrojenia wiązki, które zwykle jest dość duże,
aby zredukować spontaniczną emisję. Pułapki optyczne polegają na przestrzennie zmiennym przesunięciu Starka poziomów energetycznych. Interferujące wiązki laserowe powodują powstawanie periodycznych struktur natężenia światła, a tym samym periodycznych
105
potencjałów dla zimnych atomów w postaci:
V (r) = −
X
ij
Ei · Ej cos((ki − kj ) · r + ϕi − ϕj ),
(4.3.1)
gdzie ki oznaczają wektory falowe wiązek, natomiast ϕi ich fazy. W zależności od liczby
użytych wiązek i ich konfiguracji, można w ten sposób generować sieci jedno-, dwu- i
trójwymiarowe o strukturze kubicznej, trójkątnej [131] czy typu sieci Kagome [132, 133].
Ogromną korzyścią stosowania tego typu potencjałów jest dowolność w wyborze geometrii,
głębokości sieci, ponieważ wszystkie parametry są pod kontrolą.
4.3.1.2
Tunelowanie wspomagane laserowo
W niniejszym punkcie przedstawimy schemat działania tunelowania wspomaganego
laserowo na przykładzie sieci w płaszczyźnie XY . Załóżmy, że w dwuwymiarowej sieci
optycznej w jednym kierunku, na przykład x wprowadzamy liniowy gradient potencjału,
który powoduje przesunięcie poziomów energetycznych kolejnych oczek o ~∆B , gdzie ∆B
oznacza częstość oscylacji Blocha, tak jak na Rys. 4.11. Tego typu działanie prowadzi do
zaniku tunelowania wzdłuż pochylenia sieci, a więc w kierunku x, natomiast w dalszym
ciągu możliwe są przeskoki w kierunku prostopadłym, a więc y [26].
k2,ω2
k1,ω1
Egap
ħδω
ħΔB
Rysunek 4.11: Schemat zasady działania tunelowania wspomaganego laserem w najniższym
paśmie nachylonej sieci. Pomiędzy oczkami sieci poziomy energetyczne przesunięte są
o ~∆B , a przejście pomiędzy nimi determinują dwie wiązki laserowe scharakteryzowane
wektorami falowymi k1 , k2 oraz częstościami ω1 i ω2 odpowiednio.
Aby przywrócić ruch atomów w kierunku x potrzebne są dwie odstrojone od rezonansu
wiązki laserowe, których różnica częstości δω = ω1 − ω2 odpowiada dokładnie różnicy energii wywołanej liniowym gradientem potencjału, tj. δω = ∆B . Dzięki temu obie wiązki są
w stanie wywołać przejście Ramana pomiędzy stanem zlokalizowanym na jednym oczku
sieci a najbliższym sąsiadem, a więc kolejnym oczkiem w kierunku x, nie zmieniając przy
106
n
2
...
k2,
3
φy
k1,
2
φy
2φx+3φy
φx+2φy
2φx+2φy
φx+φy
2φx+φy
φy
1
J
φx+3φy
φy
y
1
Je ±φm,n Je ±φm+1,n
1
2
3 ... m
x
Rysunek 4.12: Schemat eksperymentalnej realizacji jednorodnego strumienia pola magnetycznego poprzez użycie pary odstrojonych od rezonansu wiązek laserowych oraz jednorodnego gradientu energii potencjalnej (lewy panel). Poprzez zastosowanie pochylenia sieci w
kierunku x następuje zanik tunelowania, które następnie zostaje odzyskane dzięki dwóm
wiązkom laserowym. Tunelowanie w kierunku x nabywa przez to dodatkowy czynnik fazowy φm,n jako że następuje transfer pędu w kierunku y. Na prawym panelu pokazane są
zależne od położenia fazy, które cząstka nabywa tunelując pomiędzy oczkami sieci.
tym stanu wewnętrznego atomu. Efektywnie wiązki Ramana pojawiają się w hamiltonianie
jako dodatkowa sieć, oscylująca z częstością rezonansową, tj. δω = ∆B , tj. dodatkowy
potencjał ma postać Vosc = ~Ωcos(δk · r − δωt) i jako wyraz diagonalny hamiltonianu
pełni rolę chwilowej modulacji energii na oczku. Zależność od czasu może jednak zostać
usunięta poprzez transformację unitarną, która efektywnie uśrednia po czasie szybko oscylujące wyrazy i prowadzi do niezależnego od czasu hamiltonianu efektywnego [134–137].
W rezultacie nachylenie sieci zanika, ponieważ stosując opis atomu ubranego (zob. punkt
3.1.3) oczko (m, n) z j oraz l fotonami w obu wiązkach laserowych jest zdegenerowane z
oczkiem (m + 1, n) i j + 1, l − 1 fotonami. Rozumowanie to jest poprawne zakładając, że
~∆B jest większa niż energia związana z amplitudą tunelowania J, ale jednocześnie mniej-
sza niż przerwa energetyczna Egap między pasmami. Otrzymany w ten sposób hamiltonian
ma taką samą formę jak hamiltonian dla naładowanej cząstki na sieci w efektywnym polu
magnetycznym, tj [35, 138].
H=−
X hm,ni
˜ iφm,n |m + 1, nihm, n| + J|m, n + 1ihm, n| + h.c. ,
Je
(4.3.2)
gdzie |m, ni jest stanem własnym hamiltonianu w oczku (m, n), φm,n = δk · Rm,n , a
107
δk = k1 − k2 oraz Rm,n oznacza wektor położenia w oczku (m, n). Ponadto J˜ oznacza
efektywną amplitudę tunelowania w kierunku x. W ten sposób możliwe jest otrzymanie
dowolnego strumienia sztucznego pola magnetycznego przez plakietkę poprzez odpowiednie
dobranie δk.
Schemat eksperymentalnej realizacji jednorodnego strumienia pola magnetycznego poprzez użycie pary odstrojonych od rezonansu wiązek laserowych oraz jednorodnego gradientu energii potencjalnej przedstawia Rys. 4.12. Warto podkreślić, że z eksperymentalnego punktu widzenia liniowy gradient potencjału może być osiągnięty w stosunkowo
łatwy sposób, tj. na przykład wykorzystując grawitację czy gradienty pola magnetycznego.
4.3.2
Opis układu
Główną ideą w proponowanej przez nas realizacji doświadczalnej czterowymiarowego
efektu Halla jest stworzenie struktury trójwymiarowej, tj. trójwymiarowej sieci Bravais,
oraz bazy składającej się z kilku oczek w każdym punkcie sieci Bravais, tak jak na Rys.
4.13. Warto podkreślić, że tego typu układ posiada jeden wymiar skończony, a więc w nietrywialnym topologicznie modelu spodziewamy się otrzymać przewodzące stany brzegowe,
będące w tym przypadku stanami powierzchniowymi.
w
z
45
y
x
Rysunek 4.13: Struktura sieciowa złożona z trójwymiarowej sieci Bravais (duże zielone
kółka) oraz pięciopunktowej bazy w każdym z oczek sieci Bravais (mniejsze zielone kółka).
Punkty bazy znajdują się na prostej, przecinającej układ pod kątem 45◦ do każdego z
kierunków.
Obecnie realizacja kubicznej sieci optycznej wymaga trzech par prostopadłych monochromatycznych wiązek laserowych i jest powszechnie stosowana w laboratoriach zimnych
108
gazów atomowych. Konstrukcja sieci z bazą (w obrębie tego samego układu eksperymentalnego) wymaga użycia wiązek laserowych o wyższych harmonicznych, aby „nadrukować”
na sieć kubiczną dodatkową strukturę, tj. suma dwóch wiązek laserowych typu ∼ cos(k · r)
pozwala otrzymać sieć o kształcie funkcji cosinus, natomiast stosując wyższe harmoniczne,
możemy otrzymać nowe „supersieci” o zmodyfikowanej formie. Niemniej jednak taki układ
potrzebuje pewnych zmian, aby był odpowiedni dla naszych celów, ponieważ czterowymiarowa geometria hamiltonianu (4.1.24) wymaga dodatkowych warunków. W szczególności,
tunelowania atomów pomiędzy oczkami sieci mogą odbywać się tylko między najbliższymi
sąsiadami, tj. dla przykładu dozwolone jest przejście z punktu (l, m, n, w) do (l, m, n, w+1),
natomiast z (l, m, n, w) do (l + 1, m, n, w + 1) nie, a więc w danej chwili możliwa jest
zmiana tylko jednej współrzędnej w danym kierunku. Aby wyeliminować możliwość tego
typu niedozwolonych przeskoków chcielibyśmy ukształtować potencjał sieci w taki sposób,
aby połączyć minimami potencjału odpowiednie oczka sieci. Wtedy tunelowania w każdym kierunku mogą odbywać się zgodnie ze strukturą minimów potencjału. Ponadto aby
uniemożliwić krzyżowanie się dozwolonych przeskoków na sieci, proponujemy, aby punkty
bazy znajdowały się pod kątem 45◦ w stosunku do wszystkich kierunków. W konsekwencji
taka geometria pozwala na umieszczenie czwartego wymiaru w trójwymiarowej przestrzeni
oraz zapobiega niechcianym tunelowaniom do dalszych sąsiadów.
Konstrukcję sieci potrzebnej do symulacji czterowymiarowego efektu Halla rozpoczniemy od teoretycznego modelowania potencjału w pojedynczym oczku sieci. Okazuje
się, że potrzebną strukturę można osiągnąć poprzez iloczyn funkcji Gaussa, tj. potencjał
przyjmuje postać V (x, y, z) = −W (x)W (y) − W (x)W (z) − W (y)W (z), gdzie W (j) =
exp[−(j − j0 )2 /2d2 ] dla j = x, y, z. W taki sposób minima w środku każdej komórki skła-
dowej, tj. oczka sieci, są połączone przez „tuby” minimów potencjału, tak jak przedstawia
to lewy panel Rys. 4.14.
Tego typu konstrukcję, tj. V (x, y, z) nazywać będziemy dalej komórką elementarną
potencjału. Ponadto, jeśli przesuniemy centrum gaussianu i dodamy do siebie przesunięte
komórki, tj. V (x, y, z) + V ′ (x, y, z) + V ′′ (x, y, z) + ..., gdzie V ′ (x, y, z) = V (x + aw /2, y +
√
√
aw /2, z + aw / 2), itd., oraz ŵ = (aw /2, aw /2, aw / 2), to jesteśmy w stanie stworzyć niewielkie przesunięcie minimum potencjału, które prowadzi do powstania kolejnego oczka
bazy, tak jak na prawym panelu Rys. 4.14. Łacząc ze sobą kolejne komórki elementarne
otrzymujemy trójwymiarową sieć kubiczną z bazą, w której wszystkie oczka sieci są połączone z najbliższymi sąsiadami obniżoną wartością potencjału, aby wymusić odpowiednie
tunelowania. W celu znalezienia konfiguracji wiązek laserowych realizujących tego typu
potencjał, należy rozwinąć jego komórkę elementarną V (x, y, z) w bazie Fouriera. Zgod-
109
Rysunek 4.14: Lewy panel przedtawia komórkę elementarną potencjału V (x, y, z), tj. wykres konturu V (x, y, z) = const. W centralnej części komórki znajduje się minimum potencjału odpowiadające oczku sieci. Kolejne oczka połączone są ze sobą minimami potencjału,
przyjmującymi formę „tub”. Na ich przecięciach powstają kolejne oczka sieci, dzięki czemu
powstaje tradycyjna trójwymiarowa sieć Bravais. Przesuwając centra gaussianów zmieniamy położenia minimów potencjału, a tym samym jesteśmy w stanie stworzyć oczka
bazy w każdym punkcie sieci Bravais (prawy panel). Dzięki ustawieniu oczek bazy pod
kątem 45◦ do każdego z kierunków x, y, oraz z, unikamy niechcianego przecięcia „tub” poza
wyznaczonymi oczkami sieci.
nie z naszymi obliczeniami do tego celu potrzeba około dwudziestu wiązek laserowych,
świecących pod różnymi kątami oraz z wyższymi harmonicznymi (do około ósmej).
Drugą metodą wytworzenia tego typu egzotycznej sieci są maski holograficzne, które
pozwalają stworzyć niemal dowolny wzór sieci optycznej. W eksperymencie przeprowadzonym przez grupę prof. Marcusa Greinera w 2009 roku [139] wytworzona została sieć
optyczna o stałej sieci 600nm poprzez bezpośrednie rzutowanie przygotowanej litograficznie maski holograficznej zawierającej strukturę sieci jako hologram fazowy. Wynika stąd,
że możliwe jest otrzymanie w ten sposób sieci optycznej w reżimie Hubbarda, dzięki czemu
metoda ta wygląda obiecująco w kontekście stworzenia naszej egzotycznej czterowymiarowej sieci.
110
4.3.3
Wstępne wyniki
Czterowymiarowy efek Halla wymaga obecności pola magnetycznego, w naszym przypadku strumienie pola obecne są w płaszczyźnie XY oraz ZW . W przypadku dyskretnym obecność pola magnetycznego w hamiltonianie objawia się w postaci dodatkowego
czynnika fazowego przy amplitudzie tunelowania, tzw fazy Peierlsa, zob. punkt 4.1.2.
Zespolone amplitudy tunelowania zależne od położenia można osiągnąć za pomocą tunelowania wspomaganego laserem (opisanego w sekcji 4.3.1) w kierunku y oraz z, ponieważ
potrzebny potencjał wektorowy ma postać Ax (r) = Aw (r) = 0, Ay (r) = 2πφy x oraz
Az (r) = 2πφz w, gdzie φy oraz φz oznaczają strumienie pola przez komórkę elementarną
w płaszczyźnie XY i ZW odpowiednio. W takiej sytuacji potrzebne są dwie pary wiązek
laserowych aby przywrócić tunelowania w tych kierunkach, zob. punkt 4.3.1. Pierwszą
parę oznaczymy indeksem górnym (1), natomiast drugą (2). Różnice wektorów falowych
każdej pary oznaczmy jako δk (1) oraz δk (2) odpowiednio. W konsekwencji w hamiltonianie
układu pojawiają się dwa nowe wyrazy diagonalne związane z pochyleniem sieci oraz z jej
modulacją, która efektywnie powoduje przejścia Ramana:
~δω (1) y + ~Ω(1) cos(δk (1) · r − δω (1) t)
(4.3.3)
~δω (2) z + ~Ω(2) cos(δk (2) · r − δω (2) t),
(4.3.4)
gdzie Ω(1) i Ω(2) są dwufotonowymi częstościami Rabiego każdej pary wiązek laserowych.
Dla uproszczenia obliczeń zakładamy, że stosunek częstości jest liczbą całkowitą, tj.
δω (1) /δω (2)
=
s, δω (1) jest różnicą częstości wiązek pierwszej pary (dla tunelowania
wspomaganego laserem w kierunku y), natomiast δω (2) opisuje drugą parę (tunelowanie w
kierunku z). Całkowity hamiltonian układu może być zapisany jako:
H = − Jx
− Jz
+
X
hl,m,n,wi
X
hl,m,n,wi
X
hl,m,n,wi
+
|l + 1, m, n, wihl, m, n, w| − Jy
|l, m, n + 1, wihl, m, n, w| − Jw
X
hl,m,n,wi
X
hl,m,n,wi
|l, m + 1, n, wihl, m, n, w|
|l, m, n, w + 1ihl, m, n, w|
~δω (1) may + ~Ω(1) cos(δk (1) · Rl,m,n,w − δω (1) t)
(4.3.5)
~δω (2) naz + ~Ω(2) cos(δk (2) · Rl,m,n,w − δω (2) t) |l, m, n, wihl, m, n, w|,
gdzie Rl,m,n,w jest wektorem położenia oczka (l, m, n, w), natomiast |l, m, n, wi oznaczają
odpowiadające mu stany Wanniera hamiltonianu. Hamiltonian (4.3.5) jest periodyczny w
czasie, a więc do wyznaczenia stanów własnych możemy zastosować twierdzenie Floquet
opisane w punkcie 3.1.2, a więc szukamy stanów własnych hamiltonianu Floquet H =
111
H − i~∂t . Zależność od czasu obecna w wyrazach diagonalnych może zostać usunięta
poprzez unitarną transformację U , tj. H ′ = U † HU − i~U † ∂U/∂t, gdzie:
U=
X
e
(1)
(2)
−i Λl,m,n,w +Λl,m,n,w
l,m,n,w
(4.3.6)
|l, m, n, wihl, m, n, w|,
oraz
(1)
(1)
Λl,m,n,w = may δω (1) t + Ω(1) /δω (1) sin(δω (1) t − φl,m,n,w ),
(2)
(4.3.7)
(2)
Λl,m,n,w = naz δω (2) t + Ω(2) /δω (2) sin(δω (2) t − φl,m,n,w ).
(4.3.8)
(j)
W powyższych wzorach φl,m,n,w = δk (j) · Rl,m,n,w , gdzie j = 1, 2. W przypadku rezonan-
sowej modulacji sieci z częstością δω (j) , która odpowiada różnicy energii między oczkami
pochylonej sieci, wyrazy diagonalne znikają. Aby wyznaczyć zatem hamiltonian niezależny
od czasu należy wyznaczyć wszystkie wyrazy związane z tunelowaniem do najbliższych są(j)
(j)
(j)
(j)
siadów, tj. exp[i(Λl+1,m,n,w − Λl,m,n,w )], exp[i(Λl,m+1,n,w − Λl,m,n,w )], itd. Okazuje się, że
wszystkie tego typu wyrazy można sprowadzić do prostej postaci korzystając z rozwinięcia
Jacobi-Angera, tj.
eixcosθ =
X
r
ir Jr (x)eirθ ,
(4.3.9)
gdzie Jr oznacza funkcję Bessela rzędu r. Dla przykładu rozważmy amplitudę tunelowania
w kierunku x. Otrzymujemy wtedy wyraz pozadiagonalny hamiltonianu w postaci:
e
i(Λl+1,m,n,w −Λl,m,n,w )
=e
−i(ps+r)δω (2) t
∞
X
(1)
r,p=−∞
gdzie wykorzystaliśmy fakt, że
(n)
2Ω(n) /δω (n) sin(δkj /2),
(2)
(2) −i(pφl,m,n,w +rφl,m,n,w )
i(p+r) Jp (Γ(1)
,
x )Jr (Γz )e
(4.3.10)
δω (1) /δω (2)
= s oraz Λ =
Λ(1)
+
Λ(2) .
(n)
Ponadto Γj
=
gdzie j = x, y, z, w oraz n = 1, 2. Następnie wyraz ten może być
uśredniony po czasie τ ∼ 1/δω (2) , tj. z wyznaczenia całki:
δω (2)
2π
Z
2π/δω (2)
dtei(ps+r)δω
(2) t
(4.3.11)
0
otrzymujemy warunek wiążący współczynniki p i r, tj. ps + r = 0, aby powyższa całka
była niezerowa. Ostatecznie współczynnik tunelowania w kierunku x przyjmuje postać:
Jxef f = Jx
X
p
(1)
(2)
(2) −ip(φl,m,n,w −sφl,m,n,w )
ip(1−s) Jp (Γ(1)
.
x )J−sp (Γz )e
(4.3.12)
Dobierając odpowiednio parametry, np. zerując jeden z argumentów funkcji Bessela po(n)
przez wybór δkj , możemy efektywnie wyeliminować wkłady od wyższych rzędów funkcji
112
Bessela, zapewniając tym samym największy wkład do amplitudy tunelowania od wyrazów
z p = 0.
Okazuje się, że najprostszym wyborem przekazu pędu potrzebnym do otrzymania od(1)
(1)
(2)
powiedniego pola cechowania jest δk (1) = (δkx , δky , 0) oraz δk (2) = (0, 0, δkz ). Wtedy
uśrednione po czasie amplitudy tunelowania mają formę:
Jxef f = Jx J0 (Γ(1)
x ),
(1)
iφl,m,n,w
Jyef f = Jy J1 (Γ(1)
,
y )e
(2)
isφl,m,n,w
Jzef f = Jz Js (Γ(2)
,
z )e
(2)
Jwef f = Jw J0 (Γ(1)
w )J0 (Γw ),
(n)
(4.3.13)
(n)
(1)
(1)
= 2Ω(n) /δω (n) sin(δkj /2), j = x, y, z, w oraz n = 1, 2, φl,m,n,w = δkx (lax +
√
(1)
(2)
(2)
waw /2)+δky (may +waw /2), φl,m,n,w = δkz (naz +waw / 2). Ponadto wyrażamy długość
gdzie Γj
w jednostkach stałej sieci ax , co oznacza, że ax = ay = az = 1, natomiast aw jest pewnym
(1)
(1)
ułamkiem pozostałych stałych sieci. Poprzez odpowiednie dobranie δkx , δky
(2)
oraz δkz
możliwe jest wyindukowanie w układzie odpowiednich strumieni pola przez plakietkę, tj. w
płaszczyźnie XY oraz ZW . Konstrukcja sieci połączonej minimami potencjału, zob. Rys.
4.14, pozwala nam na pochylenie sieci w kierunkach y i z, natomiast dwie pary wiązek
(n)
Ramana zawierają wkład od czwartej współrzędnej w postaci δkj
p
(n)
(2)δkz ).
(n)
(n)
= 1/2(δkx + δky +
(1)
W tym przypadku dla aw = 1/5 oraz s = 1 powinniśmy wybrać δkx = 2π · 3/5,
√
(1)
(2)
δky = π oraz δkz = 3 2π aby otrzymać analogiczny hamiltonian jak z równania (4.1.24).
(1)
Przekaz pędu w kierunku y, tj. δky
amplitudy
Jyef f ,
= π pozostawiliśmy niezerowy aby uniknąć zaniku
która zależy od funkcji Bessela pierwszego rzędu. Niemniej jednak taki
wybór nie zmienia jakościowo naszych rozważań.
4.3.4
Perspektywy
Niniejszy zarys projektu realizacji eksperymentalnej może zostać rozszerzony o nowe
schematy realizacji trójwymiarowej sieci Bravais z bazą, które byłyby prostsze z eksperymentalnego punktu widzenia. W tym celu należałoby zbadać zachowanie układu uwzględniając możliwość tunelowania między kolejnymi najbliższymi sąsiadami w kierunku w,
ponieważ geometria układu zapewnia taką możliwość, o ile nie zastosujemy sieci z wyrzeźbionymi odpowiednio minimami potencjału, opisanymi w punkcie 4.3.2. Kolejną kwestią,
którą należałoby dokładnie zbadać są amplitudy współczynników tunelowań. Przyjęliśmy bowiem, że δω (2) jest całkowitą wielokrotnością δω (1) dla ułatwienia obliczeń. Nie-
113
4.4. Podsumowanie
mniej jednak możliwe jest wykonanie obliczeń numerycznych dla niecałkowitych krotności
i sprawdzenie, czy taka konfiguracja zapewnia otrzymanie odpowiednich strumieni pola
magnetycznego. Całkowite wielokrotności bowiem mogą prowadzić do innych sprzężeń w
układzie i generacji niechcianych strumieni.
4.4
Podsumowanie
Niniejszy rozdział dotyczy kwantowego efektu Halla w czterech wymiarach przestrzennych, w którym pasma energetyczne układu przejawiają topologiczne własności, w szczególności scharakteryzowane są niezmiennikiem topologicznym tzw drugą liczbą Cherna.
Okazuje się jednak, że do tej pory brakowało w literaturze efektywnej metody jej wyliczania. W przypadku gdy model czterowymiarowy powstaje z dwóch niezależnych modeli
dwuwymiarowych, istnieje analityczna metoda wyznaczania wartości tego niezmiennika.
W ogólności jednak wyznaczenie drugiej liczby Cherna w ten sposób jest niemożliwe i
pojawia się potrzeba zastosowania efektywnego algorytmu, dzięki któremu można byłoby
scharakteryzować pasma dowolnego układu typu kwantowego efektu Halla. W pracy przedstawiliśmy schemat działania takiego algorytmu oraz przykłady jego zastosowania. Sama
konstrukcja oparta jest na znanej w teorii cechowania na sieciach metodzie linków, która
pozwala na zbudowanie wielkości niezmienniczych ze względu na cechowanie. W ten sposób
możliwe jest wyznaczenie takich wielkości jak krzywizna Berry’ego w komórce podstawowej
strefy Brillouina. W niniejszej pracy pokazaliśmy, że opracowany przez nas algorytm jest
zbieżny do właściwej całkowitej wartości drugiej liczby Cherna jak dk 2 , gdzie dk określa
dyskretyzację strefy Brillouina. Następnie przedstawiamy szkic propozycji realizacji eksperymentalnej czterowymiarowego efektu Halla w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Idea
polega na skonstruowaniu trójwymiarowej sieci, w której sąsiadujące oczka są połączone
lokalnymi minimami potencjału, dzięki czemu tunelowania redukują się do najbliższych
sąsiadów. Jest to o tyle ważne, że oczka bazy są umieszczone pod kątem 45◦ , co może powodować niechciane przeskoki między oczkami bazy. Niemniej jednak projekt ten wymaga
dodatkowych badań, a przedstawione wyniki potrzebują ulepszenia i weryfikacji.
114
Podsumowanie
W niniejszej rozprawie doktorskiej zaprezentowane zostały efekty topologiczne, do których należą jednowymiarowe ciemne solitony, dwuwymiarowe wiry, a także kwantowy efekt
Halla, oraz sztuczne pola cechowania generowane przez falę zanikającą, które można efektywnie badać w zimnych gazach atomowych.
Rozważania otwiera najniżej wymiarowy topologiczny defekt - ciemny soliton umieszczony w słabym zewnętrznym potencjale przypadkowym. Rozważania zostały podzielone
na dwie części: opis klasyczny oraz kwantowy. Opis klasyczny dotyczy analizy stacjonarnego rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego oraz wpływu potencjału przypadkowego
na kształt solitonu. Zastosowaliśmy w tym celu dwie metody: podejście Bogoliubova oraz
rozwinięcie perturbacji funkcji falowej w stany własne potencjału Pöschl-Tellera. Obie
metody prowadzą do takich samych wyników, jednak rozwinięcie w mody Pöschl-Tellera
okazuje się być wygodniejsze i pozwala otrzymać prostą formę zaburzenia solitonu w postaci
jądra całkowego. Porównanie metod perturbacyjnych z wynikami numerycznymi pokazuje
zadziwiająco dobrą zgodność nawet dla potencjałów o amplitudzie rzędu potencjału chemicznego. Jeśli natomiast rozpatrujemy słaby zewnętrzny potencjał, to deformacja solitonu
okazuje się być zaniedbywalnie mała. Z kolei podejście Bogoliubova jest nieocenionym narzędziem w opisie kwantowym, w którym interesują nas wielociałowe stany własne układu.
Wyniki otrzymane w opisie klasycznym dotyczące deformacji solitonu w zewnętrznym potencjale przypadkowym, pozwoliły nam wysunąć wniosek, że słaby zewnętrzny potencjał
wpływa nieznacznie na kształt ciemnego solitonu. Wynik ten okazuje się pomocny przy
kwantowym opisie, w którym można pominąć sprzężenie położenia ciemnego solitonu z
rezerwuarem fononów, a położenie ciemnego solitonu może być opisane efektywnym hamiltonianem. Ze względu jednak na sprzężenie pomiędzy stopniem swobody związanym z
położeniem solitonu z podukładem kwazicząstek, zlokalizowane stany mogą rozpadać się
poprzez emisję fononu. Wyznaczyliśmy czasy życia stanów zlokalizowanych andersonowsko i okazuje się, że dla typowych eksperymentalnych warunków są one dłuższe niż typowy
czas życia kondensatu. Dzięki temu możliwa jest eksperymentalna realizacja lokalizacji
115
Podsumowanie
ciemnego solitonu.
Kolejny rozdział pracy został poświęcony generacji sztucznego pola magnetycznego w
chmurze zimnych atomów, a w konsekwencji zahaczał o tematykę wirów pojawiających się
w kondensacie w wyniku obecności sztucznego pola magnetycznego. Przeszliśmy w tym
przypadku do dwóch wymiarów przestrzennych i rozważaliśmy atomy, które poruszały się
wolno w obecności fali zanikającej. W celu teoretycznego opisu zachowania ultrazimnej
chmury atomowej skorzystaliśmy z formalizmu przybliżenia adiabatycznego, które pozwoliło nam wyznaczyć geometryczne potencjały odczuwane przez atomy, tj. potencjał wektorowy A i skalarny W . Dzięki temu byliśmy w stanie stworzyć warunki, w których neutralne
atomy zachowywały się jak cząstki naładowane w polu magnetycznym. Fala zanikająca
okazała się być odpowiednia do tych celów, ponieważ posiada duży gradient amplitudy i
fazy, które są kluczowe dla osiągnięcia silnych pól magnetycznych. Przedstawione zostały
trzy konfiguracje prowadzące do powstania sztucznych pól magnetycznych. Pierwsza z nich
bazuje na fali zanikającej wytworzonej przez pojedynczą falę płaską, dostrojoną do atomowego rezonansu. Zatem metoda ta może być zastosowana w atomach o długo żyjących
stanach. Ponadto pokazaliśmy, że kondensat Bosego-Einsteina umieszczony w zakresie
takiego pola, wykazuje niezerową cyrkulację, a więc obecność sztucznego pola magnetycznego przejawia się powstaniem sieci wirów w ultrazimnej chmurze atomowej, będących
dwuwymiarowymi defektami topologicznymi. Okazuje się, że największą liczbę wirów generują fale zanikające o kącie padania bardzo bliskim kątowi granicznemu dla całkowitego
wewnętrznego odbicia. W takim wypadku jednak należy wziąć pod uwagę realistyczny
gaussowski profil wiązki, który dla odpowiednio dobranych parametrów odtwarza przybliżenie fali płaskiej. Dla realistycznych parametrów eksperymentalnych wyznaczyliśmy
liczbę wirów, a następnie przeprowadziliśmy symulacje numeryczne, które potwierdziły
nasze szacowania. Trzecia konfiguracja dotyczyła atomu trójpoziomowego typu Λ, gdzie
do wytworzenia sztucznego pola magnetycznego użyte zostały dwie wiązki - jedna tworząca
falę zanikającą, a druga propagująca się w próżni równolegle do pryzmatu. Atomy przygotowane w ciemnym stanie ubranym, który rozsprzęga się ze stanem wzbudzonym, nie
ulegają procesowi emisji spontanicznej, a więc w eksperymencie mogą brać udział atomy
metali alkalicznych takich jak np. rubid
87 Rb.
Metodę generacji sztucznego pola dla
tej konfiguracji zastosowaliśmy w zimnych gazach atomowych o temperaturze wyższej niż
krytyczna dla kwantowej degeneracji, a więc 1µK i 10µK. Obecność pola magnetycznego
wpływa na ruch chmury atomów, która zostaje uwolniona z pułapki magnetooptycznej i
spada na powierzchnię pryzmatu. Ponadto pokazaliśmy, że efekt ten może być obserwowany doświadczalnie w zakresie parametrów osiągalnych we współczesnych laboratoriach.
116
Podsumowanie
Ostatnia część pracy dotyczy kwantowego efektu Halla w czterech wymiarach przestrzennych, w którym pasma energetyczne układu przejawiają topologiczne własności,
w szczególności scharakteryzowane są niezmiennikiem topologicznym tzw drugą liczbą
Cherna. Okazuje się jednak, że do tej pory brakowało w literaturze efektywnej metody jej
wyliczania. W przypadku gdy model czterowymiarowy powstaje z dwóch prostopadłych
i niezależnych do siebie modeli dwuwymiarowych, istnieje analityczna metoda wyznaczania wartości tego niezmiennika. W ogólności jednak wyznaczenie drugiej liczby Cherna
w ten sposób jest niemożliwe i pojawia się potrzeba zastosowania efektywnego algorytmu,
dzięki któremu można byłoby scharakteryzować pasma dowolnego układu typu kwantowego efektu Halla. W rozprawie doktorskiej przedstawiliśmy schemat działania takiego
algorytmu oraz przykłady jego zastosowania. Sama konstrukcja oparta jest na znanej w
teorii cechowania na sieciach metodzie linków, która pozwala na zbudowanie wielkości niezmienniczych ze względu na cechowanie. W ten sposób możliwe jest wyznaczenie takich
wielkości jak krzywizna Berry’ego w komórce podstawowej strefy Brillouina. W niniejszej
pracy pokazaliśmy, że opracowany przez nas algorytm jest zbieżny do właściwej całkowitej
wartości drugiej liczby Cherna jak dk 2 , gdzie dk określa dyskretyzację strefy Brillouina.
Następnie przedstawiamy szkic propozycji realizacji eksperymentalnej czterowymiarowego
efektu Halla w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Idea polega na skonstruowaniu trójwymiarowej sieci, w której sąsiadujące oczka są połączone lokalnymi minimami potencjału,
dzięki czemu tunelowania redukują się do najbliższych sąsiadów. Jest to o tyle ważne, że
oczka bazy są umieszczone pod kątem 45◦ , co może powodować niechciane przeskoki między
oczkami bazy. Niemniej jednak projekt ten wymaga dodatkowych badań, a przedstawione
wyniki potrzebują ulepszenia i weryfikacji.
117
Bibliografia
[1] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman, E. A. Cornell,
Science 269, 198–201 (1995)
[2] K. B. Davis, M. O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M.
Kurn, W. Ketterle. Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995)
[3] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, R. G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687
(1995)
[4] L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta (Researches on the quantum
theory), Thesis, Paris, 1924, Ann. de Physique (10) 3, 22 (1925)
[5] A. Imamoglu, R. J. Ram, S. Pau, Y. Yamamoto, Phys. Rev. A 53, 4250–4253 (1996)
[6] H. Deng, H. Haug, Y. Yamamoto, Rev. Mod. Phys. 82, 1489 (2010)
[7] T. Byrnes, N. Y. Kim, Y. Yamamoto, Nature Physics 10, 803 (2014)
[8] J. Kasprzak, et al., Nature 443, 409-414 (2006)
[9] Cheng Chin, R. Grimm, P. Julienne, E. Tiesinga, Rev. Mod. Phys. 82, 1225–1286
(2010)
[10] S. Inouye, M. R. Andrews, J. Stenger, H.-J. Miesner, D. M. Stamper-Kurn, W.
Ketterle, Nature 392, 151–154 (1998)
[11] H. J. Metcalf, P. van der Straten, JOSA B 20, 887-908 (2003)
[12] M. Lewenstein, A. Sanpera, V. Ahufinger, B. Damski, A. Sen De, U. Sen, Adv. Phys
56, 243 (2007)
[13] I. Bloch, J, Dalibard, M. Zwerger, Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008)
[14] G. Roati, et al., Nature 453, 895-898 (2008)
119
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
[15] R. Gommers, S. Denisov, F. Renzoni, Phys. Rev. Lett. 96, 240604 (2006)
[16] T. Schulte, S. Drenkelforth, J. Kruse, R. Tiemeyer, K. Sacha, J. Zakrzewski, M.
Lewenstein, W. Ertmer, J. J. Arlt, New J. Phys. 8, 230 (2005)
[17] D. Clément, et al., Phys. Rev. Lett. 95, 170409 (2005)
[18] A. Görlitz, et al., Phys. Rev. Lett. 87, 130402 (2001)
[19] R. P. Feynman, International Journal of Theoretical Physics 21, 467 (1982)
[20] I. Buluta, F. Nori, Science 326, 108 (2009).
[21] I. Bloch, J. Dalibard, S. Nascimbene, Nature Physics 8, 267–276 (2012)
[22] V. Bretin, S. Stock, Y. Seurin J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 92, 050403 (2004)
[23] V. Schweikhard, I. Coddington, P. Engels, V. P. Mogendorff, E. A. Cornell, Phys.
Rev. Lett. 92, 040404 (2004)
[24] M. A. Baranov, K. Osterloh, M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 94, 070404 (2005)
[25] J. Ruostekoski, G. V. Dunne, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 88, 180401 (2002)
[26] D. Jaksch, P. Zoller, New J. Phys. 5, 56 (2003)
[27] G. Juzeliunas, P. Öhberg, Optical Manipulation of Ultracold Atoms w: Structured
Light and its Applications, ed. D.L. Andrews (Elevier, Amsterdam), pp. 295-333
(2008)
[28] J. Dalibard, F. Gerbier, G.Juzeliunas, P. Öhberg , Rev. Mod. Phys. 83, 1523 (2011)
[29] K. J. Gönter, M. Cheneau, T. Yefsah, S. P. Rath, J. Dalibard , Phys. Rev. A 79,
011604(R) (2009)
[30] N. Goldman, G. Juzeliunas, P. Ohberg, I. B. Spielman, Rep. Prog. Phys. 77 126401
(2014)
[31] N. Barberan, D. Dagnino, M. A. García-March, A. Trombettoni, J. Taron, M. Lewenstein, New J. Phys. 17, 125009 (2015)
[32] Fuxiang Li, L. B. Shao, L. Sheng, D. Y. Xing, Phys. Rev. A 78, 053617 (2008);
[33] D. R. Hofstadter, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976)
120
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
[34] M. Aidelsburger, M. Atala, M. Lohse, J. T. Barreiro, B. Paredes, I. Bloch, Phys.
Rev. Lett. 111, 185301 (2013)
[35] H. Miyake, G. A. Siviloglou, C. J. Kennedy, W. C. Burton, W. Ketterle, Phys. Rev.
Lett. 111, 185302 (2013)
[36] W. Hofstetter, J. I. Cirac, P. Zoller, E. Demler, M. D. Lukin, Phys. Rev. Lett. 89,
220407 (2002)
[37] A. Klein, D. Jaksch, Phys. Rev. A bf 73, 053613 (2006)
[38] M. Z. Hasan, C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010)
[39] X.-L. Qi, S.-Ch. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011)
[40] B. A. Bernevig, T. L. Hughes, Topological Insulators and Topological Superconductors, Princeton University Press (2013)
[41] A, J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001).
[42] C. J. Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge
University Press 2002
[43] L.P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961); E.P. Gross, Nuovo Cimento 20,
454 (1961).
[44] Y. Castin, Coherent atomic matter waves, Les Houches Session LXXII, Springer,
Berlin Heidelberg New York 2001
[45] N. Manton, P. Sutcliffe, Topological solitons, Cambridge University Press 2007
[46] A. del Campo, W. H. Zurek, Int. J. Mod. Phys. A 29, 1430018 (2014)
[47] N. D. Mermin, Rev. Mod. Phys. 51, 591 (1979)
[48] A. Vilenkin, E. P. S. Shellard, Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cambridge University Press 2000
[49] P. G. Drazin, R. S. Johnson, Soliton: an introduction, Cambridge University Press
1989
[50] S. Ryu, A. Schnyder, A. Furusaki, A. Ludwig, New J. Phys. 12, 065010 (2010)
121
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
[51] A. P. Schnyder, S. Ryu, A. Furusaki, A. W. W. Ludwig, Phys. Rev. B 78, 195125
(2008)
[52] Ch.-K. Chiu, H. Yao, S. Ryu, Phys. Rev. B 88, 075142 (2013)
[53] R.-J. Slager, A. Mesaros, V. Juričić, J. Zaanen, Nature Physics 9, 98–102 (2013)
[54] K. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494–497 (1980)
[55] E. Hall, American Journal of Mathematics 2, 287–92 (1879)
[56] R. B. Laughlin, Phys. Rev. B. 23, 5632–5633 (1981)
[57] B. I. Halperin, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982)
[58] N. Byers, C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 7, 46 (1961)
[59] Nieopublikowana
tonu
w
Praca
kondensacie
Magisterska
Bosego-Einsteina”,
pt.
„Deformacja
którą
można
ciemnego
znaleźć
na
solistronie
http://chaos.if.uj.edu.pl/AOD/theses/m.mochol.m.pdf
[60] M. Mochol, M. Płodzień, K. Sacha, Physical Review A 85, 023627 (2012)
[61] J. Dziarmaga, Phys. Rev. A 70, 063616 (2004)
[62] M. Lewenstein, L. You, Phys. Rev. Lett. 77, 3489 (1996)
[63] Y. Castin, R. Dum, Phys. Rev. A 57, 2008 (1998)
[64] K. Sacha, C. A. Müller, D. Delande, J. Zakrzewski, Phys. Rev. Lett. 103, 210402
(2009)
[65] F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999)
[66] G. Pöschl, E. Teller, Z. Phys. 83, 143 (1933)
[67] C. Müller, Appl. Phys. B 102, 459 (2011)
[68] J. Lekner, Am. J. Phys. 75, 1151 (2007)
[69] P. W. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492–1505 (1958)
[70] Y. Lai, H. A. Haus, Phys. Rev. A 40, 844 (1989)
[71] Y. Lai, H. A. Haus, Phys. Rev. A 40, 854 (1989)
122
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
[72] D. Delande1, K. Sacha, M. Płodzień, S. K. Avazbaev,4 J. Zakrzewski, New J. Phys.
15 045021 (2013)
[73] K. Sacha, D. Delande, J. Zakrzewski, Acta Physica Polonica A 116, 772 (2009)
[74] J. Dziarmaga and K. Sacha, J. Phys. B, 39, 43 (2006)
[75] R. V. Mishmash, I. Danshita, C. W. Clark, and L. D. Carr, Phys. Rev. A 80, 053612
(2009)
[76] J. Dziarmaga, P. Deuar, and K. Sacha, Phys. Rev. Lett. 105, 018903 (2010)
[77] R. V. Mishmash, and L. D. Carr, Phys. Rev. Lett. 105, 018904 (2010)
[78] I.M. Lifshitz, S.A. Gredeskul, L.A. Pastur, Introduction to the Theory of Disordered
Systems (Wiley, New York, 1988)
[79] B. van Tiggelen, in Diffuse Waves in Complex Media, edited by J.-P. Fouque, NATO
Advanced Study Institutes, Ser. C, Vol. 531 (Kluwer, Dordrecht, 1999)
[80] S. Burger, K. Bongs, S. Dettmer, W. Ertmer, K. Sengstock, A. Sanpera, G. V.
Shlyapnikov, M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 83, 5198 (1999)
[81] B. P. Anderson1, P. C. Haljan, C. A. Regal, D. L. Feder, L. A. Collins, C. W. Clark,
E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 86, 2926 (2001)
[82] C. Becker, S. Stellmer, P. Soltan-Panahi, S. Dörscher, M. Baumert, E.-M. Richter,
J. Kronjäger, K. Bongs, aK. Sengstock, Nature Physics 4, 496 (2008)
[83] S. Stellmer, C. Becker, P. Soltan-Panahi, E.-M. Richter, S. Dörscher, M. Baumert,
J. Kronjäger, K. Bongs, K. Sengstock, Phys. Rev. Lett. 101, 120406 (2008)
[84] A. Weller, J. P. Ronzheimer, C. Gross, J. Esteve, and M. K. Oberthaler, D. J.
Frantzeskakis, G. Theocharis, P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. Lett. 101, 130401 (2008)
[85] I. Shomroni, E. Lahoud, S. Levy, J. Steinhauer, Nature Physics 5, 193 (2009)
[86] M. Mochol, K. Sacha, Sci. Rep. 5, 7672 (2015)
[87] G. Floquet, Ann. École Norm. Sup. 12, 47 (1883)
[88] J. H. Shirley, Phys. Rev. 138, B979 (1965)
123
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
[89] Y. B. Zel’dovich, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 51, 1492 (1966) [Sov. Phys. JETP 24, 1006
(1967)]
[90] R. Grimm, M. Weidemüller, Y. B. Ovchinnikov, Adv. At. Mol. Opt. Phy 42, 95-170
(2000)
[91] E. Arimondo, W.D. Phillips, F. Strumia, Laser Manipulation of Atoms and Ions,
Elsevier 1993
[92] T. Kato, Journal of the Physical Society of Japan 5, 435–439 (1950)
[93] D. Chruściński, A. Jemiołkowski, Geometric phases in classical and quantum mechanics, Springer Science and Business Media 2012
[94] M. V. Berry, Proc. R. Soc. A 392, 45 (1984)
[95] N. Hinkley, et al., Science 341, 1215 (2013)
[96] M. Cheneau, et al., Europhys. Lett. 83, 60001 (2008)
[97] R. A. Cornelussen, A. H. van Amerongen, B. T. Wolschrijn, R. J. C. Spreeuwa, H.
B. van Linden van den Heuvell, Eur. Phys. J. D 21, 347-351 (2002)
[98] H. J. Rothe, Lattice Gauge Theories: An Introduction, World Scientific Lecture Notes
in Physics - Vol. 74 (1992)
[99] M. Fleischhauer, A. Imamoglu, J. P. Marangos, Rev. Mod. Phys. 77, 633 (2005)
[100] J. Fiutowski, D. Bartoszek-Bober, T. Dohnalik, T. Kawalec, Opt. Commun. 297, 59
(2013)
[101] N. Westbrook, et al., Phys. Scr. T78, 7 (1998)
[102] H. Bender, P. W. Courteille, C. Zimmermann, S. Slama, Appl. Phys. B 96, 275-279
(2009)
[103] J. I. Gillen, et al., Phys. Rev. A 80, 021602(R) (2009)
[104] R. A. Cornelussen, A. H. van Amerongen, B. T. Wolschrijn, R. J. C. Spreeuwa, H.
B. van Linden van den Heuvell, Eur. Phys. J. D 21, 347-351 (2002)
[105] A. Sidorov, P. Hannaford, From Magnetic Mirrors to Atom Chips w J. Reichel, V.
Vuletić (eds.), Atom Chips, Wiley 2011 (ISBN 978-3-527-40755-2).
124
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
[106] S.-Ch. Zhang, J.-P. Hu, Science 294, 823 (2001)
[107] Y. E. Kraus, Z. Ringel, O. Zilberberg, Phys. Rev. Lett. 111, 226401 (2013)
[108] H. M. Price, O. Zilberberg, T. Ozawa, I. Carusotto, N. Goldman, Phys. Rev. Lett.
115, 195303 (2015)
[109] M. Mochol-Grzelak, A. Dauphin, A. Celi, M. Lewenstein, w przygotowaniu
[110] F. Bloch, Z. Phys. 52, 555–600 (1928)
[111] G. H. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937)
[112] G. H. Wannier, Rev. Mod. Phys. 34, 645 (1962)
[113] R. Peierls, Z. Phys 80, pp. 763–791 (1933)
[114] J. M. Luttinger, Phys. Rev. 84, 814 (1951)
[115] W. Kohn, Phys. Rev. 115, 1460 (1959)
[116] E. I. Blount, Phys. Rev. 126, 1636 (1962)
[117] G. H. Wannier, Rev. Mod. Phys. 34, 645 (1962)
[118] D. Hofstadter, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976)
[119] Y. Hatsugai, Phys. Rev. Lett. 71, 3697 (1993)
[120] Y. Hatsugai, Phys. Rev. B 48, 11851 (1993)
[121] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, M. den Nijs, Phys. Rev. Lett. 49,
405 (1982)
[122] X.-L. Qi, T. Hughes, S.-Ch. Zhang, Phys. Rev. B 78, 195424 (2008)
[123] T. Fukui, Y. Hatsugai, H. Suzuki, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 1674-1677 (2005)
[124] M. Lüscher, Commun. Math. Phys. 85, 39 (1982)
[125] A. Phillips, Ann. Phys. 161, 399 (1985)
[126] A. Phillips, D. Stone, Commun. Math. Phys. 103, 599 (1986)
[127] A. Phillips, D. Stone, Commun. Math. Phys. 131, 255 (1990)
125
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
[128] T. Fujiwara, H. Suzuki, K. Wu, Prog. Theor. Phys. 105, 789 (2001)
[129] Y. Hatsugai, T. Fukui, H. Aoki, Phys. Rev. B 74, 205414 (2006)
[130] J. M. Edge, J. Tworzydło, C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 109, 135701 (2012)
[131] C. Becker, P. Soltan-Panahi, J. Kronjager, S. Dorscher, K. Bongs, K. Sengstock, New
J. Phys. 12, 065025 (2010)
[132] G.-B. Jo, J. Guzman, C. K. Thomas, P. Hosur, A. Vishwanath, D. M. Stamper-Kurn,
Phys. Rev. Lett. 108, 045305 (2012)
[133] L. Santos, M. A. Baranov, J. I. Cirac, H.-U. Everts, H. Fehrmann, M. Lewenstein,
Phys. Rev. Lett. 93, 030601 (2004)
[134] A. Eckardt, C. Weiss, M. Holthaus, Phys. Rev. Lett. 95, 260404 (2005)
[135] K. Sacha, K. Targońska, J. Zakrzewski, Phys. Rev. A 85, 053613 (2012)
[136] J. Struck, Ch. Ölschläger, R. Le Targat, P. Soltan-Panahi, A. Eckardt, M. Lewenstein,
P. Windpassinger, K. Sengstock, Science 333, 996 (2011)
[137] J. Struck, Ch. Ölschläger, M. Weinberg, P. Hauke, J. Simonet, A. Eckardt, M. Lewenstein, K. Sengstock, P. Windpassinger, Phys. Rev. Lett. 108, 225304 (2012)
[138] A. R. Kolovsky, Europhys. Lett. 93, 20003 (2011)
[139] W. S. Bakr, J. I. Gillen, A. Peng, S. Fölling, M. Greiner, Nature 462, 74-77 (2009)
126
Podziękowania
Prawdopodobnie słowa nie będą w stanie wyrazić ogromu wdzięczności, jaki odczuwam
w stosunku do wielu osób, które odegrały dla mnie bardzo ważną rolę podczas studiów
doktoranckich i pisania niniejszej pracy.
Chciałabym w szczególności bardzo podziękować prof. dr hab. Krzysztofowi Sacha.
Tak naprawdę za wszystko, co dla mnie zrobił podczas tych sześciu lat naszej współpracy.
Będąc promotorem oraz opiekunem naukowym dwóch bardzo ważnych etapów mojej edukacji, tj. magisterium i doktoratu stanowił dla mnie zawsze podporę w chwilach zwątpienia
i słabości, a jednocześnie potrafił inspirować i motywować do działania. Jestem ogromnie wdzięczna za poświęcony czas, za wyrozumiałość, zaangażowanie w nasze badania, za
bezcenne rady, mądrość i doświadczenie, którymi zawsze chętnie się dzielił, za bycie moim
„dobrym duchem”, który czujnym okiem spoglądał na moje działania i kierował na właściwe
ścieżki, ale również za miłą, koleżeńską atmosferę podczas wspólnej pracy.
I am also very grateful to my coworkers and colleagues at ICFO, especially dr. Alexandre Dauphin, dr. Alessio Celi and prof. Maciej Lewenstein for stimulating discussions
and fruitful cooperation. It was a great pleasure and honour for me to work with you.
Chciałabym również serdecznie podziękować pracownikom i doktorantom z Zakładu
Optyki Atomowej UJ, z którym byłam związana przez ostatnie kilka lat, za niepowtarzalną atmosferę w pracy będącą mieszanką śmiechu, koleżeństwa i bezinteresownej pomocy. W szczególności ogromne wyrazy uznania należą się kierownikowi naszego zakładu,
prof. Jakubowi Zakrzewskiemu, którego uśmiech i cięty dowcip potrafiły niejednokrotnie rozproszyć wszystkie ciemne chmury, które zbierały się nade mną od czasu do czasu.
Dziękuję serdecznie pani Danusi Myrek za administracyjną opiekę nad grantami, ciągłe
dążenie do tego, aby wszystko było jak najlepsze, ale przede wszystkim za życzliwość i
ciepło, które promieniuje z jej usposobienia. Wyrazy wdzięczności składam również dr
Romanowi Marcinkowi, który zawsze był dla mnie niedoścignionym mistrzem w sprawach
komputerowych, wielokrotnie ratującym mnie z informatycznych opresji i zawsze cierpliwie odpowiadającym na moje pytania. Dziękuję również moim zakładowym koleżankom
Podziękowania
i kolegom doktorantom, w szczególności Andrzejowi, Arkowi, Jankowi, Marcinowi oraz
Mateuszowi za wiele wspólnie spędzonych godzin na uczelni i poza nią. Zdecydowanie
dodawaliście kolorów mojej krakowskiej rzeczywistości!
Pobyt w Krakowie podczas doktoratu z pewnością byłby dla mnie dużo trudniejszy,
gdyby nie obecność moich koleżanek i kolegów ze studiów, w szczególności Ady i Moniki,
które zawsze dodawały mi otuchy i rozśmieszały do łez. Nie sposób również pominąć:
Dawida, Grzesia, Izę i Rafała, Karola, Marcinów, Mariusza aka Mariana, Pawła i Pitera.
Dziękuję Wam za wiele lat stymulującej znajomości, przegadanych godzin i niezapomnianych chwil!
W sposób wyjątkowy dziękuję mojej Rodzinie, w szczególności moim Rodzicom za
wsparcie i doping, których zawsze doświadczałam we wszystkim, co robiłam. Wasza wiara
we mnie i moje możliwości dodaje skrzydeł. Równie mocno dziękuję mojej Siostrze Iwonie
za natchnienie, inspirację do podejmowania wyzwań, zrozumienie bez słów oraz nieustanne
poszerzanie moich horyzontów. Serdecznie dziękuję również Babci Janie za aktywną obecność w moim życiu i entuzjazm podczas naszych rozmów oraz Cioci Marysi i Wujkowi
Gienkowi za życzliwość, dobroć i ciche bycie przy mnie pomimo odległości.
Dziękuję z całego serca mojej nowej Rodzinie, w szczególności mojemu Mężowi Filipowi przede wszystkim za bezwarunkową miłość, która wszystko zwycięża, ale także za
pełną akceptację dla mojej decyzji oraz ogromną wyrozumiałość okazaną podczas mojego
doktoratu. Jestem ogromnie wdzięczna Mamie Bożence i Tacie Józefowi za stworzenie
mi prawdziwie rodzinnej atmosfery w Poznaniu, Asi za wyjątkowe chwile w Zamysłowie, a
także Tosi i Bartkowi z dzieciakami za elementy szaleństwa podczas niedzielnych obiadków.
Dziękuję również moim znajomym m. in. z Bielska-Białej i Poznania: Jadzi, Marysi
i Sebie, Magdzie, Agnieszce i Marcinowi, Mery i Stahowi, Gosi oraz znajomym z V LO
za wiele wspólnych lat i niezapomnianych przygód oraz miłą odskocznię od pracy, Beatce,
Margeni, Asi i Dominikowi, Julce i Angsarowi, Dorotce i Łukaszowi, a także Dagmarze i
Łukaszowi za serdeczną atmosferę i udział w naszym poznańskim życiu oraz Ani za kwiaty
we włosach i California dreamin’(!).
128

Efekty topologiczne i sztuczne pola cechowania w zimnych gazach

Transkrypt

Podobne dokumenty

Nadcieklosc w ukladach ultrazimnych atomow

plik do pobrania - Tutor

Podstawowe pojęcia i prawa chemiczne