Rozwiązania etap wojewódzki

Wojewódzki Konkurs Matematyczny
dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki
12 lutego 2015
Czas 90 minut
Rozwiązania i punktacja
Zadanie 1. (1 punkt) Średnia arytmetyczna liczb 0, 3 · 102015 i 2, 2 · 102014 jest równa:
a) 5, 2 · 102014
c) 2, 6 · 102014
b) 5, 2 · 102015
d) 1, 125 · 102014
e) 2, 6 · 102015
Zadanie 2. (1 punkt) Koza pasie się na polu kapusty. Kapusty wystarczy kozie na 30 dni. W
nocy zakrada się zając i podjada kozie kapustę. Okazało się, że po dwudziestej nocy zabrakło
kapusty dla kozy. Na ile dni wystarczyłoby kapusty na tym polu dla samego zająca, gdyby koza
nie jadła kapusty?
a) 20
b) 40
c) 60
d) 45
e) 80
Zadanie 3. (1 punkt) Monitor o rozdzielczości 600 na 800 pikseli ma przekątną 40 cali. Ile
pikseli znajduje się w jednym calu kwardatowym tego monitora?
a) 300
b) 1200
c) 625
d) 12000
e) 768
Zadanie 4. (1 punkt) Sześcian o długości krawędzi 10 cm rozcięto na sześciany o długości
krawędzi 1 cm. Ile wynosi łączna długość krawędzi wszystkich, powstałych w ten sposób, sześcianów?
a) 103 cm
b) 6 · 103 cm
c) 12 · 103 cm d) 12 · 102 cm
e) 6 · 102 cm
Zadanie 5. (1 punkt) Na farmie jest o 20% więcej krów niż koni. Jaki jest stosunek liczby koni
do liczby krów na tej farmie?
a) 5 : 4
b) 5 : 6
c) 6 : 5
d) 4 : 5
1
e) 1 : 5
Zadanie 6. (1 punkt) Funkcję f opisujemy następująco: każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowujemy sumę tej liczby i liczby większej od niej o 2
Rozwiązaniem równania f (x) + 4 = 0 jest:
a) x = −1
b) x = −6
c) x = 2
e) x = −3
d) x = 1
Zadanie 7. (1 punkt) Mamy dane koło, kwadrat i trójkąt równoboczny, każde o obwodzie
równym 1. Pole koła oznaczamy przez A, pole kwadratu przez B, pole trójkąta przez C. Które
z poniższych wyrażeń jest prawdziwe:
a) A < B < C
b) B < A < C
c) C < B < A
d) A = B = C
e) C < A < B.
Zadanie 8. (1 punkt) Suma kątów wewnętrznych wielokąta foremnego wynosi 1800◦ . Ile boków
ma ten wielokąt?
a) 10
b) 11
c) 13
d) 12
e) 15
Zadanie 9. (1 punkt) Okręgi przedstawione na rysunku są styczne zewnętrznie i mają równe
promienie długości r, natomiast trójkąt ABC jest równoboczny. Pole P zacieniowanej części
wynosi:
a)
√
r2 3
4
− 16 πr2
b)
√
r2 3
4
− 13 πr2
√
c )r2 3 − 13 πr2
√
d) r2 3 − 14 πr2
e)
√
r2 3
4
− 14 πr2
Zadanie 10. (1 punkt)Ile wynosi stosunek pól powierzchni kul, gdy stosunek objętości tych
kul wynosi 27 : 8?
a) 3 : 2
b) 4 : 9
c) 1 : 3
d) 9 : 4
2
e) 2 : 3
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań od 11. do 15. należy zapisać w wyznaczonym miejscu pod ich
treścią.
Zadanie 11.(3 punkty) Ogrodzona łąka ma kształt trapezu równoramiennego o kątach wewnętrznych przy dłuższej podstawie α = 60◦ . Na łące pasie się koza przwiązana w wierzchołku
jednego z kątów ostrych, na łańcuchu o długości 24 m. Odległość między równoległymi bokami
ogrodzenia wynosi 12 m. Jaką długość ma siatka ogradzająca łąkę, jeżeli koza ma w zasięgu
dokładnie połowę łąki?
Rozwiązanie:
1) Obliczenie
długości ramienia - 1 punkt :
√
c=8 3
2) Obliczenie pola wycinka koła o promieniu długości 24 cm i kącie 30◦
i obliczenie h - 1 punkt : √
√
1
PW = 12
π242 = 48π; h2 = (8 3)2 − 122 , czyli h = 4 3 ,
lub
obliczenie pola trójkąta
równoramiennego o podstawie długości 24 cm
√
i wysokości h =
4
3
1
√
√ punkt :
1
PT = 2 · 24 · 4 3 = 48 3.
3
3) Obliczenie obwodu L trapezu - 1 √
punkt :
√
√
√
1 a+b
PT + PW = 2 2 · 12, stąd a + b = 16 3 + 16π. Czyli L = 2 · 8 3 + 16 3 + 16π = 32 3 + 16π.
Zadanie 12.(3 punkty) Dwie piłki i skakanka kosztują razem 80 zł, piłka i dwie deskorolki
kosztują razem 110 zł, a skakanka i deskorolka kosztują razem 60 zł. Ile kosztuje deskorolka, ile
piłka, a ile skakanka?
Rozwiązanie:
1)
 Napisanie poprawnego układu równań - 1 punkt :

 2p + s = 80
p + 2d = 110


s + d = 60
gdzie p - cena piłki, s - cena skakanki, d - cena deskorolki
2) Rozwiązanie układu z błędem - 1 punkt
lub
bezbłędne rozwiązanie układu - 2 punkty
Przykładowe rozwiązanie układu:
Trzecie równanie mnożymy przez −1 i dodajemy równania stronami.
Otrzymujemy: 3p + d = 130 a stąd d = 130 − 3p.
Podstawiając do drugiego równania d = 130 − 3p, otrzymujemy p = 30.
Teraz możemy obliczyć już pozostałe niewiadome: d = 130 − 90 = 40, oraz s = 60 − 40 = 20.
4
Zadanie 13.(2 punkty) Czy kwadratowy arkusz brystolu o polu powierzchni równym 81 dm2
wystarczy, aby skleić model czworościanu foremnego o polu powierzchni całkowitej równym 18
dm2 ? Odpowiedź uzasadnij.
Czworościan foremny jest ostrosłupem, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.
Rozwiązanie:
• 1) Narysowanie siatki i obliczenie a lub h - 1 punkt
lub
Obliczamy długość boku a jednego trójkąta równobocznego wiedząc, że pole całkowite
czworościanu foremnego wynosi 18dm2 i składa się z czterech
q √ przystających trójkątów
√
√
a2 3
2
równobocznych: 4 · 4 = 18, czyli a = 6 3. Stąd a = 6 3 ≈ 3, 2. √
Następnie obliczamy wysokość h jednego trójkata równobocznego: h = a 2 3 , czyli h ≈ 2, 8.
2) Wyjaśnienie uwzględniające drugi wymiar a lub h - 1 punkt.
W pierwszym przypadku należy zauważyć, że 2a < 9, oraz 2h < 9.
W drugim przypadku należy zauważyć, że 2, 5a < 9, oraz h < 9.
5
• 1) Narysowanie siatki i obliczenie pola największego trójkąta równobocznego, jaki można
wpisać w kwadrat o boku długości 9dm - 1 punkt
2
√
Obliczamy pole trójkata równobocznego o boku długości 9dm: P = 9 4 3 ≈ 35, 03.
2) Wyjaśnienie uwzględniające pole największego czworościanu, jaki można zbudować z
kwadratowego arkusza. - 1 punkt
Należy zauważyć, że 18 < 35, 03.
• 1) Obliczenie a lub h - 1 punkt
Obliczamy długość boku a jednego trójkąta równobocznego wiedząc, że pole całkowite
czworościanu foremnego wynosi 18dm2 i składa się z czterech
q √ przystających trójkątów
√
√
a2 3
2
równobocznych: 4 · 4 = 18, czyli a = 6 3. Stąd a = 6 3 ≈ 3, 2. √
Następnie obliczamy wysokość h jednego trójkata równobocznego: h = a 2 3 , czyli h ≈ 2, 8.
2) Wyjaśnienie uwzględniające wielkość pola P jednego trójkąta - 1 punkt
Należy zauważyć, że P = 3,2·2,8
= 4, 48 < (4, 5)2 .
2
6
Zadanie 14.(3 punkty) Oblicz
(1012 + 511 · 29 − 513 · 28 ) : (4 · 55 · 106 )
Rozwiązanie:
1) Zapisanie potęg o podstawach 2 i 5 lub 5 i 10. - 1 punkt
2) Wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias i skrócenie. - 1 punkt
3) Doprowadzenie rachunków do końca. - 1 punkt
212 · 512 + 29 · 511 − 28 · 513
28 · 511 · (24 · 5 + 2 − 52 )
=
= 80 + 2 − 25 = 57
22 · 55 · 26 · 56
28 · 511
lub
1012 + 52 · 109 − 55 · 108
108 · 53 · (5 · 24 + 2 − 52 )
=
= 80 + 2 − 25 = 57
102 · 53 · 106
108 · 53
7
Zadanie 15.(3 punkty) Pociąg długości 600 m jechał z prędkością 48 km
i miał przed sobą
h
tunel. Od momentu wejścia czoła lokomotywy do tunelu do chwili, w której ostatni wagon
opuścił tunel, upłynęło 2,5 minuty. Ile czasu jechał maszynista przez tunel? Jaka była długość
tunelu?
Rozwiązanie:
1) Poprawne zastosowanie wzoru na prędkość uwzględniające poprawne (ujednolicone) jednostki - 1 punkt
2) Obliczenie długości tunelu - 1 punkt
3) Obliczenie czasu jazdy maszynisty przez tunel - 1 punkt
Przykładowe rozwiązanie:
x− długość tunelu
s = 0, 6 + x− droga [km]
1
− czas [h]
t = 24
V = 48− prędkość [km/h]
Poprawnie zbudowane równanie : 0, 6 + x =
1
24
· 48. Stąd x = 1, 4.
7
Obliczenie czasu jazdy maszynisty: 1, 4 : 48 = 240
[h], co daje 1min 45s.
lub
1
0, 6 : 48 = 80
[h]co daje 0,75min. A więc 2, 5 − 0, 75 = 1, 75[min] czyli 1min 45s.
8