Geometria Elementarna 2016/17 Zestaw ćwiczeń 9, na dzień 12

Geometria Elementarna 2016/17
Zestaw ćwiczeń 9, na dzień 12 grudnia 2016r.
C
Zadanie 42 Niech 4ABC będzie trójkątem ostrokątnym, a punkty P , Q i R spodkami jego wysokości, opuszczonych odpowiednio z wierzchołków C, A i
B. Punkt P 0 jest obrazem punktu P względem symetrii osiowej Spr BC . Wykazać, że punkty P 0 , Q i R są
współliniowe.
R
Q
P'
A
P
Zadanie 43 Przekątne trapezu o wierzchołkach
A, B, C, D przecinają się w punkcie E. Pole trapezu
jest równe S, a pola trójkątów 4ABE, 4CDE odpowiednio S2 i S1 . Wykazać, że
√
S=
q
S1 +
D
B
C
S1
E
S2
q
S2 .
A
B
Symedianą trójkąta 4ABC nazywamy prostą, będącą obrazem środkowej wychodzącej z
danego wierzchołka trójkąta 4ABC względem symetrii osiowej Sl , gdzie l jest
dwusieczną kąta wewnętrznego tego trójkąta (przy tym samym wierzchołku).
Zadanie 44 Niech 4ABC będzie dowolnym trójkątem oraz M 0 punktem leżącym na boku BC. Wykazać, że prosta pr AM 0 jest symedianą trójkąta 4ABC
wtedy i tylko wtedy, gdy
C
M'
P
M
c2
|BM 0 |
=
,
|CM 0 |
b2
gdzie b = |AC| i c = |AB|.
B
A
C
P
Zadanie 45 Wykazać, że symediany trójkąta
4ABC przecinają się w jednym punkcie (punkt
Lemoine’a).
Q
B
R
A
!
!
!
3
1
2
Zadanie 46 Niech P =
, P0 =
i P 00 =
.
2
4
3
!
2
2
0
2
2
00
a) Wskazać wszystkie izometrie f : R → R takie, że f (P ) = P
i
1
∈ Fix(f ).
2
i
0
∈ Fix(g).
0
!
b) Wskazać wszystkie izometrie g : R → R takie, że g(P ) = P
Podać postać macierzową przekształceń f i g.
http://szemberg.up.krakow.pl/Geometria Elementarna -- 2016-17.html