Zadania do egzaminu v3 - E-SGH

Zadania przygotowujące do egzaminu z wykładu „Inżynieria Finansowa”
Rozpisywanie przepływów gotówkowych, zabezpieczanie, spekulacja:
1. Za 9 miesięcy musisz zapłacić za wycieczkę 1500 EUR. Posiadasz konto PLN i konto EUR, gdzie
możesz lokować pieniądze i zaciągać krótkoterminowe pożyczki (do 1Y), możesz też wymieniać EUR
na PLN po kursie bieżącym. Jak możesz zabezpieczyć ryzyko kursowe związane z płatnością za
wakacje i ile wynoszą widełki kupna-sprzedaży kursu terminowe przy zadanym dostępie do rynku
finansowego? Ile potrzebujesz dziś PLN by zabezpieczyć płatność w EUR na termin? Kurs kasowy
EUR/PLN bid 4,2500 – 4,2900 offer, r EUR bid 2% – 3% offer, r PLN bid 1% – 6% offer.
Zarys rozwiązania: Chcemy już dziś wiedzieć ile PLN mamy zapłacić za 1500 EUR za 9M. Rozwiązaniem
jest kurs terminowy, F=S*(1+∆r<PLN>)/(1+∆r<EUR>), gdzie ∆ oznacza długość okresu (rok=1, dla
uproszczenia pomijamy różnice w konwencjach w naliczaniu odsetek na różnych rynkach, w tym
zadaniu brakuje zresztą danych by to uwzględnić).
Nie mamy dostępu do transakcji terminowej, musimy ją zreplikować. Replikacja zakupu EUR za PLN
za 9M: pożyczka w złotych na 9M, zamiana otrzymanych PLN na EUR na rynku FX spot, zdeponowanie
EUR na 9M. Ile złotych musimy pożyczyć? Tyle, by po 9M na rachunku EUR było 1500 EUR. Widełki
kupna sprzedaży uzyskamy replikując transakcję zakupu EUR (powyżej) i transakcję sprzedaży (loan
EUR, FX spot, depo PLN). Kurs terminowy będzie proporcją EUR i PLN po 9M na transakcjach
depozytowo-pożyczkowych.
2. Masz portfel akcji i jesteś skłonny(a) zaakceptować stratę wynikającą ze spadku cen akcji o nie
więcej niż 30%. Jaka transakcja zabezpieczająca odzwierciedlałaby te preferencje?
Odpowiedzieć: Long put OTM (w przybliżeniu 0,7 kursu spot)
3. Bank oferuje klientowi pożyczkę terminową za 3M na 3M. Co bank może zrobić, by zabezpieczyć
się przed ryzykiem powstałym w powyższej transakcji? Jaki jest związek pomiędzy zabezpieczeniem
takiej transakcji a wyceną stopy 3x6?
Zarys rozwiązania: Z punktu widzenia banku jest to depozyt 3x6 (start x end): ujemny przepływ za 3M
i dodatni za 6M. Zabezpieczaniem jest przeprowadzenie transakcji, które dokładnie równoważą te
przepływy. Najprostsze rozwiązanie to zawarcie odwrotnej transakcji na rynku terminowym, czyli
pożyczki 3x6 (z punktu widzenia banku). Alternatywą jest replikacja takiej odwrotnej transakcji, czego
dokonamy poprzez 3M pożyczkę i 6M depozyt (dla klarowności proszę rozpisać te przepływy na
diagramach przepływu).
3a. Bank sprzedał klientowi kontrakt FRA 3x6. Jak zabezpieczyć ryzyko w tej transakcji? (Zadanie 3
lekko zmieniono, to dodano edukacyjnie w ślad za rozważaniami z wykładu).
Zarys rozwiązania: Kupiony (sprzedany) FRA (np. t1xt2) to pożyczka (depozyt) po ustalonej dziś stopie
FRA i depozyt (pożyczka) po stopie zmiennej, którą poznamy za t1M. W transakcji FRA nie dokonuje
się wymiany nominałów, a rozlicza jedynie różnice między stopą FRA i zmienną w terminie t1, jakie
wynikałyby ze znanych już odsetek po stopie rynkowej i stopie FRA w terminie t2 (dyskontuje się
bieżącą stopą rynkową).
Zabezpieczając kontrakt FRA zabezpieczamy jedynie stopę FRA, bo zmienną neutralizujemy w
terminie start przeprowadzając przeciwną transakcje na stopę zmienną właśnie. Kupiony FRA
(płacimy stopę FRA, dostajemy zmienną) zabezpieczamy sprzedając FRA bądź replikując sprzedany
FRA: pożyczamy na t1 i lokujemy na t2. Sprzedany FRA zabezpieczamy symetrycznie, kupując FRA,
bądź replikując kupiony FRA: pożyczamy na t2 i lokujemy na t1.
4. Na płynnym rynku akcji (nie wypłacających dywidend) zaobserwowano następującą zależność
między cenami (F-S)/S>i, gdzie i to stopa procentowa, po której można pożyczać i lokować, natomiast
S i F to odpowiednio cena bieżąca (spot) i terminowa. Czy daje to możliwość arbitrażu, a jeśli tak, to
jak go przeprowadzić? Co zmieniłoby się gdyby akcje wypłacały dywidendę? (Wskazówka: jak zmienia
się cena terminowa dla papierów wypłacających płatności przed zapadalnością kontraktu? Zauważ,
że bieżąca cena uwzględnia wartość tej płatności, ale osoba kupująca aktywo w transakcji terminowej
na tej płatności nie skorzysta, a osoba je sprzedająca i zabezpieczająca swą pozycję kupując ten aktyw
otrzyma tę płatność).
Zarys rozwiązania: warunek braku arbitrażu dla aktywu nie przynoszącego dochodu (odsetek,
dywidend) jest dany jako F=S(1+∆r), gdzie ∆ to horyzont czasowy, równy 1 dla roku. Przyjmując, że
mamy do czynienia z horyzontem rocznym przekształcamy równanie i równoważny warunek to (FS)/S=r. W danych zadania nie zachodzi, mamy arbitraż. Cena rynkowa jest wyższa niż replikująca, w
związku z czym chcemy sprzedać po cenie rynkowej i zreplikować zakup.
5. Kurs bieżący EUR/PLN wynosi 4,1500, punkty swapowe 3M wynoszą 250, a dla 6M 500. Stopa
depozytowa PLN na 3M wynosi 4,0%, FRA 3x6 PLN wynosi 5%, a FRA 3x6 EUR wynosi 2,0%. Ile wynosi
3M stopa w EUR przy założeniu, że nie ma arbitrażu? Czy istnieje możliwość arbitrażu dla transakcji
6M na rynku walutowym, a jeśli tak, to jak go skonstruować? (Zadanie pochodzi z Waluś i Baryło
„Inżynieria Finansowa, zadanie 5.3).
Zarys rozwiązania: Dodając punkty swapowe (podzielone przez 10 000) do kursu spot by otrzymać
kurs terminowy. Mając FX(3M) i PLN 3M obliczamy EUR 3M ze wzoru (przy założeniu braku arbitrażu)
F=S*(1+∆r<PLN>)/(1+∆r<EUR>), gdzie ∆ oznacza długość okresu. Druga część zadania o arbitrażu:
Mamy już kurs FX(3M), aby dostać FX(6M)= FX(3M)*(1+∆3x6<PLN>)/(1+∆3x6<EUR>). Jest to
równoważne z policzeniem implikowanych stóp 6M i użyciem wzoru F=S*(1+∆r<PLN>)/(1+∆r<EUR>).
Tak otrzymana cena wynikająca z replikacji jest inna niż mówią punkty swapowe, więc jest możliwy
arbitraż (kupujemy tanio, sprzedajemy drogo).
6. Uważamy, że cena akcji spółki energetycznej A wynosząca 100 jest za niska, natomiast cena akcji
spółki telekomunikacyjnej B wynosząca 50 za wysoka, Jak wyglądałby skład portfela, w którym
spekulowalibyśmy na „powrót cen do fundamentów”, jeśli chcielibyśmy w możliwie dużym stopniu
ograniczyć ryzyko rynku akcji?
Zarys rozwiązania: sprzedaż na termin akcji B w 2 razy większej ilości niż kupimy akcji A. Portfel jest
czuły tylko na relatywną zmianę wartości obydwu akcji, ich jednakowe zmiany nie zmienią wartości
portfela, która w momencie konstrukcji wynosi 0.
7. Dane jak w poprzednim zadaniu, depozyt zabezpieczający w kontraktach terminowych na akcje
spółki A wynosi 10%, a na akcje spółki B wynosi 15%. Jaki będzie wynik naszej spekulacji (absolutny i
stopa zwrotu z kapitału) następnego dnia (i) cena akcji A wzrośnie do 110 a B nie zmieni się, (ii) cena
akcji A spadnie do 90, a cena akcji B do 40? Jak stopa zwrotu z kapitału zmieniłaby się, gdyby
wymagane depozyty zabezpieczające wynosiły odpowiednio 20% i 30%
Zarys rozwiązania: depozyt zabezpieczający mówi, jaką kwotę musimy trzymać na rachunku
maklerskim jeśli wartość inwestycji wynosi X, tj. depozyt%*X. Kiedy cena się zmieni nasz do naszego
rachunku jest dodawane (X(t1)-X(t0)) – co może oznaczać odejmowanie. Następnie sprawdza się, czy
nowa wartość środków, depozyt%*X+(X(t1)-X(t0)) spełnia wymagania minimalnego depozytu, tj.
depozyt%*X+(X(t1)-X(t0))≥depozyt%*X(t1). Jeśli nie, musimy dopłacić różnicę.
Stopa procentowa, FRA, analiza wrażliwości:
1. Masz wolne środki, za które kupujesz 5Y obligacje o modyfikowanej duracji 4,5, licząc na wzrost ich
cen. Następnie zakupione obligacje wykorzystujesz jako zabezpieczenie w transakcji repo, a
pozyskane środki po stopie repo równej 4% inwestujesz w takie same obligacje, przy czym
kontrahent transakcji repo stosuje 5% haircut. W kolejnych dniach stopy procentowe wzrastają z
obecnych 4% do 5%. Jaki jest wynik na tej spekulacji?
Zarys rozwiązania: Operacja (reverse) repo to połączenie operacji kasowej (zakupu) sprzedaży aktywu
i jego terminowego (sprzedaży) zakupu. W rezultacie operacja ta może być utożsamiania z
zabezpieczoną (depozytem) pożyczką. Pożyczka ta może być wykorzystana do spekulacji na zmiany
cen aktywu stanowiącego zabezpieczenie – przedstawiając go do zabezpieczenia, a tym samym
odkupu na termin po znanej dziś cenie (stanowiącej koszt pożyczki) zarabiamy, jeśli cena rynkowa w
terminie jest wyższa niż cena odkupu. Haircut w operacji repo mówi o ile mniejsza jest udzielona
pożyczka w stosunku do bieżącej, rynkowej wartości zabezpieczenia, w tym przypadku obligacji.
Mając oryginalnie X i za tyle kupiwszy obligacji, po przedstawieniu ich w operacji repo mamy 1,95X
obligacji. Od 0,95X będziemy musieli zapłacić odsetki 4% w skali roku, ale w zadaniu horyzont to kilka
dnia i ich wpływ zaniedbujemy. Wzrost stóp oznacza spadek cen obligacji o (modyfikowana
duracja)x(zmiana stóp), czyli o ok. 4,5%. W rezultacie na koniec mamy 1,95X*0,955=1,862X.
Spłacamy pożyczkę (ok. 0,95) i sprzedajemy obligacje, zostając z ok. 0,91. Straciliśmy dwa razy więcej
niż przy zwykłej spekulacji, bo stosowaliśmy dźwignię pożyczając.
2. Inwestor posiada w portfelu 30% obligacji z terminem zapadalności (wykupu) 2 lata (2Y) i 70%
obligacji zapadających za 10 lat (10Y). Stopy procentowe wzrastają wzdłuż całej krzywej o 1 punkt
procentowy. O ile zmieni się wartość jego portfela, przy założeniu, że modyfikowana duracja wynosi
odpowiednio 1,7 dla obligacji 2Y oraz 7 dla obligacji 10Y, natomiast wypukłość odpowiednio 5 i 65? O
ile pomylilibyśmy się obliczając zmianę ceny obligacji 2Y i 10Y gdybyśmy abstrahowali od wypukłości?
Zarys rozwiązania: należy zastosować wzrór na przybliżoną zmianę ceny każdej obligacji w oparciu o
wzór z wykładu, pamiętając, że modyfikowana duracja działa ze znakiem ujemnym, tj.
3. Zajmujesz pozycję w transakcji FRA 3X9 na stawkę referencyjną WIBOR, w której masz płacić
odsetki naliczane według stopy FRA 5%. Jaki jest wynik na transakcji jeśli za 3 miesiące 6M WIBOR
wynosi 6%?
Zarys rozwiązania: transakcja FRA dotyczy instrumentów, które zapadają za 9M, jednak zostanie
rozliczona za 3M i należy zdyskontować przepływ na chwilę rozliczenia. Po 3M od daty zawarcia
kontraktu znamy referencyjny Wibor: po 3M od tej daty odsetki po stopie FRA wyniosłyby
5%*0,25(roku), a po stopie zmiennej 6%*0,25(roku). Różnica to 1%*0,25(roku), a dzisiejsza płatność
od sprzedawcy FRA na naszą rzecz to 1%*NominałKontraktu*0,25/(1+6%*025).
4. Zajmujesz pozycję w transakcji FRA 3X9 na stawkę referencyjną WIBOR, w której masz płacić
odsetki naliczane według stopy FRA 5%. Mija 1M, stawki FRA 3x9 wynoszą 5,75%, FRA 2x8 wynoszą
5,5%, Wibor 6M wynosi 5,25%. Jak zamknąć pozycję na stopę procentową i jakie byłby wynik netto
spekulacji?
Zarys rozwiązania: Zamykamy pozycję sprzedając FRA 2x8. Nasz wynik mark-to-market to
[Nominał*(5,5%-5%)*0,5]/(1+5,5%*0,5). Szczegóły można np. znaleźć w materiałach ćwiczeniowych
do Rynków Finansowych prof. Sławińskiego: http://rynkifinansowe.pl/rf2011z_cwiczenia2.pdf
6. Stopa 3M na rynku niezabezpieczonych pożyczek międzybankowych wynosi 6,65-6,85%, a stopa
6M 6,80-6,95% (bid-ask, WIBID-WIBOR), kwotowania FRA 3x6 wynoszą 6,84-6,90% (bid-ask, tj stopa
którą kwotujący jest gotów płacić i którą chce otrzymać). Oblicz stopy FRA bid-ask, które wynikałyby z
poziomu stóp depozytowych, przy założeniu, że kwotowania stopy opierają się na konwencji
ACT/365, a licząc od daty spot 3M ma 92 dni, natomiast 6M ma 183 dni (Za Waluś i Baryło,
„Inżynieria Finansowa, zadanie 3.1).
Zarys rozwiązania: Replikujemy kontrakty kupuj FRA i sprzedaj FRA, patrz zadanie 3a z pierwszej
części zadań. Przy okazji zastanów się, dlaczego spread z replikacji i rynkowy się różnią? Wskazówka:
Zastanów się nad ryzykiem kredytowym w kontrakcie FRA oraz ryzykiem kredytowym w portfelu
replikującym. Jak dodatkowo wpływa fakt, iż FRA nie wymagają angażowania kapitału banku (brak
wymogu kapitałowego), a depozyty już tak.
Swapy:
1. 2 lata temu firma wzięła kredyt na 3 lata z oprocentowaniem WIBOR+100pb. Firma chce płacić
odsetki według stopy stałej i zawiera w tym celu transakcję IRS. Kwotowania 1Y IRS to 4,0%–4,2%
(bid-offer). Przy jakim WIBOR wynik z tytułu transakcji zabezpieczającej będzie dodatni?
Zarys rozwiązania: Biorąc kredyt firma płaci stopę zmienną i ma ekspozycję na ryzyko stopy
procentowej. Chcąc je zabezpieczyć w kontrakcie IRS będzie chciała dostawać zmienną i płacić stałą
4,2% (zmienną, którą dostanie obsłuży kredyt). Pytanie brzmi dla jakiego Wibor: 4,2%<Wibor+100
pb? Z tego wynika, że Wibor>3,2%.
2. Firma wyemitowała obligacje zmiennokuponowe (FRN, kupon równy 6M Wibor) o wartości 500
mln PLN z terminem zapadalności równym 4 lata. Jaka jest modyfikowana duracja tego długu? W jaki
sposób firma może ograniczyć ryzyko stopy procentowej?
Zarys rozwiązania: Modyfikowana duracja FRN jest bliska zeru. Ograniczenie ryzyka poprzez zakup IRS
4Y (kupujący IRS płaci stopę IRS), gdyż otrzymywana w kontrakcie IRS stopa zmienna pokryje obsługę
kuponów.
3. Stopa 6M wynosi 6%, stopa FRA 6x12=6,2%, FRA 12x18=6,3%, cena obligacji zerokuponowej o
nominale 100 zapadającej z 2,5 roku wynosi (B0,2 ½Y)= 85, a B(0,3Y)=82,5. Oblicz wartość czynników
dyskontowych dla kolejnych okresów 6M (tj. 6M, 12M, 18M, 24M, 30M i 36M).
Zarys rozwiązania: Zakładając brak arbitrażu ze stóp terminowych składamy zerokuponowe; dla
0<M<N: (1+r(0xN)*L(N)= (1+r(0xM)*L(M))*(1+r(MxN)*L(N-M)); iloczyny za stopą procentową,
odpowiednio L(N), L(M) i L(N-M), odzwierciedlają skorygowanie stopy procentowej na okres którego
dotyczy, w tym przypadku stopę dzielimy przez dwa, bo dotyczy okres 0,5Y). W kwestii jednego z
możliwych sposobów interpolacji pomiędzy czynnikami dyskontowymi dla okresu 2Y patrz Waluś i
Baryło, wzór 2.8a).
4. Dla danych z poprzedniego zadania oblicz wartość stopy stałej kontraktu IRS 3Y jeśli płaci ona
odsetki częstotliwości rocznej, a stopa zmienna w częstotliwości półrocznej. (Za Waluś i Baryło,
„Inżynieria Finansowa”, zadanie 4.3)
Zarys rozwiązania: patrz wzór 4.19 w Waluś i Baryło, czynniki dyskontowe wyznaczono w poprzednim
zadaniu. Trochę więcej: zdyskontuj wartość płatności wynikającą ze stóp forward, także z
poprzedniego zadania, czynnikami dyskontowymi w częstotliwości co 6M, zsumuj; następnie zsumuj
wartość czynników dyskontowych dla okresów rocznych, podziel pierwszą sumę przez drugą.
Model dwumianowy:
1. W modelu jednookresowym aktyw bazowy może co okres wzrosnąć U=1,11, lub o D=1,02, a stopa
wolna od ryzyka wynosi 1% na okres. Czy jest możliwy arbitraż, a jeśli tak to jak go należy
skonstruować? Czy byłby możliwy arbitraż gdyby r=12%, a U=1/D=1,11?
Zarys rozwiązania: Brak arbitrażu w modelu dwumianowym D<1+r<U, w tym przypadku nie zachodzi.
Pożyczając po stopie 1% w najgorszym wypadku uzyskamy 2%, a lepszym 11%.
2. W dwuokresowym modelu dwumianowym U=1/D=1,11, stopa wolna od ryzyka wynosi 1%, a cena
bieżąca aktywu równa się 90. Ile wynosi martyngałowe prawdopodobieństwo wzrostu ceny aktywu
bazowego, a ile jego spadku? Czy są równe w każdej gałęzi drzewa? Ile powinna kosztować opcja
kupna z ceną wykonania 100?
Zarys rozwiązania: dla stałych r, U i D prawdopodobieństwa martyngałowe są takie same we
wszystkich węzłach. Wzór na prawdopodobieństwo: patrz materiał wykładowy.
3. Załóżmy, że jesteś animatorem rynku i masz krótką pozycję w opcji sprzedaży z ceną wykonania
100, pozostałe parametry takie jak w poprzednim zadaniu. Podaj skład portfela zabezpieczającego we
wszystkich węzłach drzewa.
Zarys rozwiązania: patrz model wielookresowego w materiałach wykładowych.
Opcje i model Blacka-Scholesa:
1. Na podstawie serii stóp zwrotu z indeksu policzyliśmy średnią stopę zwrotu i odchylenie
standardowe tej stopy zwrotu. W kategorii rocznej wynoszą odpowiednio 6% i 10%. Przyjmując, że
obliczyliśmy je poprawnie i proces cenowy może być opisany poprzez geometryczny ruch Browna ze
stałymi w czasie parametrami podaj rozkład stóp zwrotu w horyzoncie rocznym i horyzoncie 3M.
Zarys rozwiązania: Rozkład dla stóp zwrotu geometrycznego ruchu Browna o stałych w czasie
parametrach to N(ln(S0)+(mu)*t, (sigma^2)*t). Nie znając S0 za rok będzie to N(0,06; 0,01), natomiast
za 3M N(0,06*0,25; 0,01*0,25).
2. Masz portfel opcji, którego wartość wynosi 100, rynkowa stopa procentowa wynosi 5%, a delta i
gamma wynoszą zero. Ile wynosi theta w modelu B-S?
Zarys rozwiązania: Przy deltcie=0 gamma≈-theta (z równania różniczkowego B-S)
3. Masz dwa typy opcji kupna w portfelu, 1000 opcji A oraz 2000 opcji B, o wartości odpowiednio 10 i
15, kursach wykonania 90 i 80 i terminach zapadalności 3M. Jak jest wrażliwość wartości całego
portfela na upływ czasu, zmienność i cenę instrumentu bazowego, jeśli dla pierwszej opcji delta
wynosi 0,1, gamma 0,125, theta -0,11, a vega 10, natomiast dla drugiej opcji opcji delta wynosi 0,15,
gamma 0,175, theta -0,16, a vega 20? O ile zmieni się wartość Twojego portfela jeśli zaniedbywalnie
małym odstępie czasu zmienność na rynku wzrosła o 0,05, a cena instrumentu bazowego spadła o 1?
Zarys rozwiązania: patrz wzrosy na wrażliwość w materiale wykładowym FinEng_9 oraz Waluś i
Baryło, rozdział 10.4.
4. Masz w portfelu długą pozycję w opcji sprzedaży z ceną wykonania K1=90 oraz długą pozycję w
opcji kupna z ceną wykonania K2=120, obie opcje z tym samym terminem zapadalności 3M, każda
kosztowała 5. Po miesiącu cena aktywu wzrosła do 105, stopy procentowe nie zmieniły się, a cała
płaszczyzna zmienności jest na tym samym poziomie co w momencie otwarcia kontraktu. Rynkowa
cena opcji kupna wynosi 3, a opcji sprzedaży 4. O ile się zmieniły i ile wynoszą wartość czasowa i
wartość wewnętrzna każdej z opcji?
Zarys rozwiązania: Początkowo każda z opcji miała wartość czasową 5 i wewnętrzną 0. Po miesiącu
ich wartość wewnętrzna to nadal 0, bo żadna nie zostałaby wykonana, gdyby zapadały dziś. W
rezultacie spadła tylko wartość czasowa, odpowiednio o 2 i 1.
5. Cena opcji kupna z terminem zapadalności 3M i ceną wykonania K=100 wynosi 20-21 (bid-ask z
punktu widzenia animatora rynku), a cena opcji sprzedaży dla tego samego horyzontu i kursu
wykonania wynosi 15-17 (znów bid- ask z punktu widzenia animatora rynku). Te opcje są płynne, ale
na rynku jest relatywnie niewiele innych płynnych kontraktów opcyjnych, a dynamiczna replikacja
okazuje się bardzo kosztowna. Stopa procentowa wynosi 6% w skali roku, exp(-0,06/4)=0,985. Czy
przy tych danych możemy powiedzieć jaka jest cena instrumentu bazowego by nie było możliwości
arbitrażu? Jeśli tak, podaj ją.
Zarys rozwiązania: Możemy powiedzieć, a wynika to za zasady parytetu kupna-sprzedaży, który jest
warunkiem opartym o statyczną, a nie dynamiczną replikację. Użycie wzoru na put-call parity
rozwiązuje zadanie.