Instrukcja do ćwiczenia A-4 - SiMR

POLITECHNIKA WARSZAWSKA
WYDZIAŁ SAMOCHODÓW I MASZYN ROBOCZYCH
Instytut Podstaw Budowy Maszyn
Zakład Mechaniki
Laboratorium podstaw automatyki i teorii maszyn
Instrukcja do ćwiczenia A-4
„Badanie układu sterowania temperaturą głowicy drukarki 3D
- charakterystyki czasowe i częstotliwościowe”
Kierownik laboratorium: prof. nzw. dr hab. inż. Zbigniew Skup
Opracowanie ćwiczenia: mgr inż. Sebastian Korczak
Wersja z dnia: 31.03.2016
Instrukcja dostępna pod adresem: www.simr.pw.edu.pl/ipbm/LAB-PAiTM
Licencja na użytkowanie: tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego.
1. Cele ćwiczenia
Głównym celem niniejszego ćwiczenia jest:
• przeprowadzenie procesu identyfikacji głowicy drukarki 3D poprzez wyznaczenie jej
odpowiedzi na wymuszenie skokowe oraz charakterystyk częstotliwościowych.
Dodatkowymi celami ćwiczenia są:
• poznanie możliwości zastosowania tanich układów elektronicznych do sterowania grzałką,
• poznanie sposobu pomiaru temperatury z użyciem termistora.
2. Wstęp
Badany w ćwiczeniu obiekt stanowi głowica drukarki 3D typu FDM 1, dla której określono
następujące sygnały:
• sygnał wejściowy – sygnał sterowania grzałką głowicy,
• sygnał wejściowy – sygnał sterowania wentylatorem głowicy,
• sygnał wyjściowy – temperatura dyszy głowicy.
Pomiar temperatury odbywa się elektronicznie z użyciem termistora (patrz dodatek A). Aplikacja na
komputerze pozwala sterować grzałką głowicy i jej wentylatorem poprzez prosty układ
elektroniczny podłączony do portu USB. Zastosowano tu sygnały sterujące typu PWM o
częstotliwości 980 Hz i 4 Hz (patrz ćwiczenie A-3).
badana
głowica
wentylator
tworzywo
komputer z oprogramowaniem
sterującym
układ sterowania
i pomiaru
temperatury
blok grzejny
grzałka
termistor
dysza
Rys. 1. Schemat stanowiska do badania głowicy drukarki 3D.
1
FDM – metoda wytwarzania przedmiotów poprzez nakładania kolejnych warstw topionego tworzywa. Tworzywo w
postaci drutu (tzw. filament) rozpuszczane jest w ruchomej głowicy (ang. hotend). Średnica stosowanego w
ćwiczeniu filamentu wynosi 1,75 mm, a otworu dyszy 0,4 mm. Mocowanie głowicy wykonane jest według
standardu J-Head, a wentylator i grzałka pracują przy napięciu zasilania 12 V.
PW SiMR, IPBM, Lab. PAiTM, ćwiczenie A-4
2
3. Element inercyjny pierwszego rzędu
Elementem inercyjnym pierwszego rzędu nazywamy obiekt dynamiczny, którego zależność
między sygnałem wejściowym x (t) i wyjściowym y (t) opisana jest równaniem różniczkowym
dy (t )
T
+ y (t)=k x (t)
(1)
dt
Równanie (1) zawiera dwa stałe współczynniki: współczynnik T wyrażony w sekundach oraz
współczynnik k o jednostce zależnej od jednostek sygnałów x( t) i y (t). Transmitancja
operatorowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu ma formę
y (s )
k
GI ( s)=
=
(2)
x ( s) Ts+1
Odpowiedź na wymuszenie skokowe w formie x(t)=x st⋅1(t) wyliczamy z pomocą tabeli
transformat Laplace'a następująco
k x st
1 /T
y ( t ) =L−1 { y ( s ) } =L−1 { G I ( s ) x ( s ) } =L−1
=k x st L−1
=k x st (1−e−t /T )
(
)
Ts+ 1 s
s s +1/T
a jej wykres przedstawiono na rysunku 2. Transmitancja widmowa
k
GI ( j ω)=
=P (ω)+ jQ(ω)
(3)
Tj ω+1
gdzie
k
P(ω)= 2 2
(4)
T ω +1
−k T ω
Q(ω)= 2 2
(5)
T ω +1
pozwala wykreślić charakterystykę amplitudowo-częstościową tego obiektu w skali liniowej
(rys. 3a) i decybelowo-logarytmicznej (rys. 3b), korzystając ze wzorów
(6)
A (ω)= √ P2 (ω)+Q 2(ω)
L(ω)=20 log 10 A (ω)
(7)
jak również charakterystykę fazową w skali liniowej (rys. 4a) i logarytmicznej (rys. 4b) stosując
zależność2
Q(ω)
ϕ(ω)=arctan
(8)
P (ω)
{
x(t)
}
{
}
y(t)
kxst
0,950kxst
xst(t)
0,865kxst
0,632kxst
t
T
2T 3T
t
Rys. 2. Wymuszenie skokowe i odpowiedź elementu inercyjnego pierwszego rzędu.
2
Stosując funkcję arcus tangens należy zwrócić uwagę na ograniczenie jej przeciwdziedziny do zakresu
⟨−π /2, π/2⟩. Spowoduje to błędne wyniki w sytuacji ujemnych wartości P(ω). Problem rozwiązać
można modyfikując odpowiednio wynik dodając π lub stosując funkcję atan2.
PW SiMR, IPBM, Lab. PAiTM, ćwiczenie A-4
3
a) A(ω)
k
b)
L(ω)
[dB]
20logk
1
10 T
1
T
10
T
100
T
ω (log)
20logk-20
20logk-40
k
10
ω
10
T
Rys. 3. Charakterystyka amplitudowo-częstościowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu:
a) w skali liniowej, b) w skali decybelowo-logarytmicznej.
0
4. Element inercyjny drugiego rzędu
Elementem inercyjnym drugiego rzędu nazywamy obiekt dynamiczny, którego zależność
między sygnałem wejściowym x (t) i wyjściowym y (t) opisana jest równaniem różniczkowym
2
dy (t )
2 d y (t)
T1
+T 2
+ y (t )=k x(t )
(9)
2
dt
dt
Równanie (9) zawiera trzy stałe współczynniki: stałe czasowe T 1 [ s] i T 2 [s] oraz współczynnik
wzmocnienia k o jednostce zależnej od jednostek sygnałów x (t) i y (t). Transmitancja
operatorowa elementu inercyjnego drugiego rzędu ma formę
y (s)
k
GII ( s)=
= 2 2
(10)
x(s) T 1 s +T 2 s+1
a)
φ(ω)
0
b)
1
T
π
4
φ(ω)
1
1
100 T 10 T
1
T
10
T
ω
100
T
ω
π
4
π
π
2
2
Rys. 4. Charakterystyka fazowo-częstościowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu:
a) w skali liniowej, b) w skali logarytmicznej.
PW SiMR, IPBM, Lab. PAiTM, ćwiczenie A-4
4
x(t)=x st⋅1( t) wyliczamy następująco
x st
k
1
=k x st L−1
=
2 2
2 2
s
T 1 s +T 2 s+1
s ( T 1 s +T 2 s+1 )
Odpowiedź na wymuszenie skokowe w formie
y ( t ) =L−1 { y ( s ) } =L−1 { G II ( s ) x ( s ) } =L−1
{
{
}
{
}
1
h
1−e−ht cos ω t+ ω sin ω t , dla h<ω0
2
T1
=
1
h+ w
h+w wt
k x st 2 1+ e−ht
−1 e−wt −
e
, dla h>ω0
2
w
2w
T1
(
k x st
(
))
(
((
)
))
gdzie zastosowano opis parametrami znanymi z teorii drgań mechanicznych:
T
1
h= 22 , ω0 = , ω= √ω 20−h2 , w=√ h2−ω20
T
2 T1
1
Przebieg odpowiedzi na wymuszenie skokowe może mieć charakter oscylacyjny bądź
bez oscylacji (rys. 5).
x(t)
h<ω0
y(t)
kxst
xst
h=ω0
h>ω0
t
t
Rys. 5. Wymuszenie skokowe i przykładowe odpowiedzi elementu inercyjnego drugiego rzędu.
Transmitancja widmowa tego obiektu ma postać
GII ( j ω)=P (ω)+ jQ(ω)
(11)
k (1−T 21 ω2 )
P(ω)=
(1−T 21 ω2)2 +T 22 ω 2
(12)
gdzie
Q(ω)=
−k T 2 ω
2
2 2
2
(1−T 1 ω ) +T 2 ω
2
(13)
Charakterystykę amplitudowo-częstościową tego obiektu w skali liniowej (rys. 6a) i decybelowologarytmicznej (rys. 6b) wykreślamy korzystając z zależności (6) i (7), a charakterystykę fazową
w skali liniowej (rys. 7a) i logarytmicznej (rys. 7b) stosując zależność (8).
PW SiMR, IPBM, Lab. PAiTM, ćwiczenie A-4
5
a) A(ω)
b)
h<ω0
L(ω)
[dB]
20logk
k
h=ω0
1
10 T 1
1
T1
h<ω0
h=ω0
10 100
T1
T
1
ω (log)
20logk-40
h>ω0
20logk-80
h>ω0
ω
0
Rys. 6. Przykładowe charakterystyki amplitudowo-częstościowe elementu inercyjnego drugiego
rzędu: a) w skali liniowej, b) w skali decybelowo-logarytmicznej.
a)
b)
φ(ω)
0
ω
π
4
h<ω0
h=ω0
π
2
φ(ω)
h>ω0
1
1
T
10 T 1
1
10
T1
h<ω0
h=ω0
h>ω0
100
T1
ω
π
2
Rys. 7. Przykładowe charakterystyki fazowo-częstościowe elementu inercyjnego drugiego rzędu:
a) w skali liniowej, b) w skali logarytmicznej.
5. Analiza energetyczna głowicy drukarki 3D
Grzałka ceramiczna zamontowana w badanym obiekcie pracuje przy nominalnym napięciu
zasilania wynoszącym 12 V. Moc znamionowa grzałki wynosi 40 W. Pracująca grzałka powoduje
wzrost temperatury bloku grzejnego i dyszy (rys. 1). Termistor na skutek zmiany temperatury
zmienia swoją rezystancję, co pozwala dokonać pomiaru temperatury bloku grzejnego w punkcie
zamocowania termistora.
Rozważając własności cieplne badanej głowicy należy zwrócić uwagę na następujące
zjawiska:
• przewodzenie ciepła, czyli zjawisko przepływu ciepła wewnątrz materiału lub pomiędzy
stykającymi się obiektami w kierunku od elementu o wyższej temperaturze do elementu o
temperaturze niższej. Zjawisko przewodzenia opisuje się współczynnikiem przewodności
cieplnej o jednostce W/(m·K) i jest tym większe im większa jest różnica temperatur.
• konwekcja, czyli zjawisko przepływu ciepła od pewnego obiektu do otaczającego go płynu o
niższej temperaturze, przy czym przepływ ten zwiększa się wraz z wzrostem prędkości
otaczającego płynu.
PW SiMR, IPBM, Lab. PAiTM, ćwiczenie A-4
6
• promieniowanie cieplne, czyli emitowanie promieniowania elektromagnetycznego przez każde
ciało, które ma temperaturę wyższą od zera bezwzględnego. Energia tracona przez
promieniowanie wzrasta wraz ze wzrostem temperatury ciała.
Potraktujmy badaną głowicę jako obiekt dynamiczny o jednym sygnale wejściowym – napięciu
grzałki oraz jednym sygnale wyjściowym – temperaturze zmierzonej termistorem. Włączenie
zasilania grzałki powoduje jej nagrzewanie się na skutek przepływu prądu. Ciepło grzałki
rozprzestrzenia się po bloku grzejnym, dyszy i czujniku temperatury na skutek zjawiska
przewodzenia, co charakteryzuje się bezwładnością. Wentylator umieszczony na użebrowanej części
głowicy powoduje konwekcję ciepła, a cała głowica emituje promieniowanie cieplne. Wszystkie
wymienione zjawiska cieplne potęgują swoje działanie wraz ze wzrostem temperatury ciała
względem temperatury otoczenia. Z tego też względu przy ograniczeniu mocy grzałki ograniczona
jest też maksymalna możliwa do uzyskania temperatura głowicy.
6. Aplikacja komputerowa
W ćwiczeniu wykorzystany będzie program dedykowany do stanowiska, opracowany
w środowisku programu Processing. Główne okno aplikacji umożliwia ręczne sterowanie mocą
grzałki i prędkością wentylatora oraz odczytywanie wartość temperatury głowicy. Jednocześnie
sygnały sterującej pomiarowe reprezentowane są na wykresach.
Rys. 5. Przykładowy widok okna aplikacji.
7. Przebieg ćwiczenia
Studenci w trakcie ćwiczenia na bieżąco wykonują sprawozdanie na komputerze wpisując do niego
swoje obserwacje, wklejając otrzymane wykresy i wyniki obliczeń (w czasie ćwiczenia
udostępniony zostanie szablon).
Główne etapy ćwiczenia:
a) sprawdzenie przygotowania studentów do zajęć – wiedzy z niniejszej instrukcji;
b) przedstawienie stanowiska;
c) rysunek schematu blokowego układu;
PW SiMR, IPBM, Lab. PAiTM, ćwiczenie A-4
7
d) przedstawienie aplikacji komputerowej;
e) badanie odpowiedzi układu na wymuszenie skokowe;
f) aproksymacja charakterystyk czasowych układu i wyznaczenie transmitancji układu przy
użyciu udostępnionego arkusza kalkulacyjnego:
•
założenie braku opóźnienia – element inercyjny I rzędu;
•
z uwzględnieniem opóźnienia – element inercyjny II rzędu;
g) badanie odpowiedzi układu na wymuszenie harmoniczne:
•
odczyt wartości amplitud wahań temperatur i przesunięcia fazowego w stanie ustalonym
dla kilku wybranych częstości wymuszenia;
•
wykreślenie logarytmicznych charakterystyk amplitudy i opóźnienia układu w funkcji
częstości wymuszenia;
h) aproksymacja charakterystyk częstościowych układu – wyznaczenie transmitancji;
i) porównanie otrzymanych w procesie identyfikacji transmitancji układu;
j) podsumowanie wyników i wyciągnięcie wniosków;
k) wydruk sprawozdania.
PW SiMR, IPBM, Lab. PAiTM, ćwiczenie A-4
8
DODATEK A
Pomiar temperatury z użyciem termistora
Termistor jest elementem elektronicznym, który zmienia swoją rezystancję pod wpływem
zmiany temperatury według zależności aproksymowanej krzywą eksponencjalną
1 1
R(T )=R 0 exp β
–
(14)
T T0
( ( ))
gdzie
R0 – jest rezystancją odniesienia wyrażoną w Omach,
T 0 – jest temperaturą odniesienia wyrażoną w Kelwinach,
β – jest współczynnikiem charakterystycznym danego termistora wyrażonym w Kelwinach,
T – jest bieżącą temperaturą wyrażoną w Kelwinach.
Pomiar temperatury z użyciem termistora wymaga pomiaru
jego rezystancji, co najczęściej realizuje się za pomocą
dzielnika napięcia, źródła zasilania i elektronicznego pomiaru
R2
napięcia z użyciem przetwornika analogowo-cyfrowego
(tzw. ADC). Na rysunku A.1. przedstawiono schemat układu, u
1
w którym oznaczono
R1
R1 – rezystancja termistora zmienna w funkcji temperatury,
u2
R2 – stała rezystancja dodatkowego rezystora,
u1 – stałe napięcie zasilania,
u2 – zmienne w czasie napięcie wyjściowe układu.
Rys. A.1. Schemat dzielnika
napięcia do pomiaru temperatury.
Ze względu na dużą impedancję przetwornika mierzącego
napięcie u2 , znaczący prąd w układzie przepłynie tylko pomiędzy stykami wejścia zasilającego i
będzie miał wartość
u1
i (T )=
(15)
R1 (T )+ R2
Napięcie wyjściowe określimy zatem jako
u2 (T )=R1 (T )i(T )
Przekształcenie wzorów pozwala określić wartość rezystancji termistora z pomiaru napięcia
R2
R 1=
u1
(16)
−1
u2
lub też podać współczynnik wzmocnienia tego dzielnika napięcia
u2
1
=
u1 R2
(17)
+1
R1
Ostateczne połączenie wzorów (14) i (16) pozwala dokonać pomiaru temperatury na podstawie
pomiaru napięcia wyjściowego
1
T ( u2 )=
R u
1 1
(18)
− β ln 0 1 −1
T0
R2 u2
( ( ))
Ze względu na pomiar napięcia u2 z pewnym krokiem wynikającym z kwantowania sygnału przez
przetwornik analogowo-cyfrowy istotne jest sprawdzenie dokładności pomiaru zaprezentowaną
PW SiMR, IPBM, Lab. PAiTM, ćwiczenie A-4
9
metodą. Błąd pomiaru temperatury wynikający z błędu pomiaru napięcia u2 określimy jako
δT
ΔT=
⋅Δu 1
(19)
δu 1
i pozwala dobrać najlepszą pod względem dokładności pomiaru wartość rezystancji R2 w danym
układzie.
Zastosowany w ćwiczeniu układ składa się z termistora o oznaczeniu „100k NTC beta 3950”, stąd
też parametry układu są następujące: R0=100 k Ω , T 0=298 K , β=3950 . Na podstawie analizy
błędu dobrać należałoby rezystor R2=820 Ω, który przy 10-bitowej dokładności pomiaru napięcia
(1024 poziomy) skutkuje minimalnym błędem pomiaru dla temperatury 200o C wynoszącym
o
0,22 C . Niestety zakłócenia zasilania spowodowane pracą układu z sygnałami PWM powodują
duży rozrzut wartości mierzonego napięcia u2 (t) , stąd też w układzie pomiarowym stanowiska
R2=4700Ω, otrzymując błąd pomiaru dla temperatury
zastosowano rezystor o rezystancji
o
o
200 C wynoszącym 0,47 C . Warto zwrócić uwagę, że parametry R0 i β termistora są
obarczone błędem produkcyjnym, który można określić na podstawie karty przedmiotu dostarczonej
przez producenta.
Schemat ideowy pełnego układu sterowania grzałką i wentylatorem wraz z pomiarem temperatury i
sygnalizacją diodami przedstawia rysunek A.2.
Rys. A.2. Schemat układu sterowania grzałką, wentylatorem oraz pomiaru temperatury.
PW SiMR, IPBM, Lab. PAiTM, ćwiczenie A-4
10