OpowieŹē o fizyce

WiZ10-fizycy ok
24/8/2001 14:11
Page 2
OpowieÊç o fizyce
ewolucji i
Katarzyna Sznajd-Weron
Paniczna ucieczka: na rysunku umieszczeni zostali „przedstawiciele”
trzech dziedzin, na których obszary wtargn´li ostatnio fizycy: ewolucji
biologicznej, ruchu ulicznego i socjologii.
ewnego dnia jecha∏am taksówkà i kierowca zapyta∏
mnie: „Czym w∏aÊciwie pani si´ zajmuje?”. Niech´tnie odpowiadam na to pytanie, poniewa˝ zwykle s∏ysz´: „A... fizykà.
To bardzo... trudne. W szkole to by∏ najgorszy przedmiot”. Tym razem by∏o inaczej. Taksówkarz zada∏ mi kolejne pytanie, co nie zdarza si´ zbyt cz´sto: „No to
co pani tak naprawd´ robi?”. „W tej chwili zajmuj´ si´ socjologià, ale w∏aÊciwie to
przedmiotem mojej pracy jest ewolucja
biologiczna” – odpowiedzia∏am. Mia∏am
sporo czasu, by snuç swà opowieÊç! (ach,
te wroc∏awskie korki!) i opowiedzieç, co
to jest fizyka egzotyczna.
P
Uwaga, upiory na drodze!
À propos korków, to z ich powodu
cierpià kierowcy prawie wszystkich wi´kszych miast. Korki tworzà si´ jednak nie
tylko w miastach, ale nawet na trzypasmowych autostradach. Cz´sto pojawiajà si´ bez wyraênej przyczyny, takiej jak remont czy kraksa. Takie korki, nazywane
cz´sto w literaturze korkami–upiorami,
znikajà równie nagle, jak si´ pojawiajà.
KogoÊ, kto podró˝owa∏ po niemieckich
autostradach, nie zdziwi fakt, ˝e w∏aÊnie
w Niemczech fizyka ruchu drogowego
rozwija si´ szczególnie szybko.
Najprostszy model, który wiernie
naÊladuje podstawowe cechy ruchu drogowego (patrz: ramka obok) zaproponowali w roku 1992 Nagel i Schrec-
2
WIEDZA I ˚YCIE
>
Rys. 1. Model Nagela–Schreckenberga. Tak wyglàda w tej chwili ulica za moim
oknem (pr´dkoÊci samochodów zosta∏y zaznaczone w prawym górnym rogu).
Dopuszczalna pr´dkoÊç na mojej ulicy wynosi vmax = 2. Model ruchu drogowego
opisuje cztery elementy: przyÊpieszenie, hamowanie, zjawiska losowe i jazd´
PrzyÊpieszenie: wszyscy kierowcy naciskajà peda∏ gazu, je˝eli tylko przepisy na to
pozwalajà, tzn. pr´dkoÊç ka˝dego samochodu wzrasta o 1, jeÊli nie jest wi´ksza od
maksymalnej dopuszczalnej pr´dkoÊci.
Hamowanie: niektórzy muszà przyhamowaç, ˝eby nie uderzyç w samochód jadàcy
przed nimi, np. czerwony samochód ma pr´dkoÊç v = 2, ale tylko jednà wolnà
komórk´ przed sobà, zwalnia wi´c do v = 1. Karetka musi si´ zatrzymaç.
Zjawiska losowe: sà te˝ tacy, którzy si´ zagapili, niektóre losowo wybrane
samochody zwalniajà; w tym przypadku kierowca czerwonego samochodu zapatrzy∏
si´ na reklam´ z pi´knà dziewczynà i stanà∏.
Jazda: samochody jadà (stan w chwili t + 1), tzn. przesuwajà si´ o tyle komórek,
ile wynosi ich pr´dkoÊç.
PA è D Z I E R N I K 2 0 0 1
WiZ10-fizycy ok
24/8/2001 14:11
Page 3
ce egzotycznej
i rewolucji
kenberg z Wydzia∏u Fizyki Uniwersytetu w Duisburgu. Model ten sk∏ada si´
z czterech elementów: przyÊpieszania,
hamowania, zdarzeƒ losowych (tzn. wypadki uliczne, za∏amania pogody itd.)
i swobodnej jazdy. Droga zastàpiona zosta∏a ∏aƒcuszkiem sk∏adajàcym si´ z jednakowych komórek (ryc. 1). W ka˝dej
komórce mo˝e si´ znajdowaç samochód,
który jest charakteryzowany jego aktualnà pr´dkoÊcià v = 0, 1, 2,..., vmax (np.
v = 0, gdy samochód stoi, a v = 5, gdy
jedzie z pr´dkoÊcià 135 km/h). W chwili poczàtkowej ka˝demu autu przypisujemy losowà pr´dkoÊç, tak jakbyÊmy nagle wyjrzeli za okno i zanotowali
aktualny stan na drodze. Cztery regu∏y
opisujàce ruch uliczny, wprowadzone
w tym modelu, przedstawione zosta∏y
na poprzedniej stronie. Prosz´ spojrzeç,
prawda, ˝e proste? KtoÊ móg∏by nawet
zarzuciç, ˝e zbyt proste. Przecie˝ nie
wszyscy kierowcy przestrzegajà przepisów, szczególnie w czasie wakacji.
Zgoda buduje, niezgoda rujnuje
Skoro jesteÊmy ju˝ przy wakacjach...
W zesz∏ym roku sp´dza∏am je z moimi rodzicami i synkiem nad morzem. Tam w∏aÊnie
napisaliÊmy z Tatà niewàtpliwie najbardziej
egzotycznà prac´ w naszym ˝yciu. Egzotyczny by∏ ju˝ sam fakt, ˝e pracowaliÊmy
razem (nie sàdzi∏am, ˝e to kiedyÊ nastàpi!),
ale przede wszystkim egzotyczny by∏ temat.
Mój Tata jest bardzo powa˝nym fizykiem zajmujàcym si´ magnetyzmem, ale tak dzia∏a
czar egzotyki, ˝e na chwil´ si´ zapomnia∏ i...
napisaliÊmy prac´ o podejmowaniu decyzji
w zamkni´tych spo∏eczeƒstwach. Pomys∏ by∏
niezmiernie prosty i mo˝na by go zawrzeç
w znanym przys∏owiu „Zgoda buduje, niezgoda rujnuje”.
Rys. 2. Interaktywna mapa Duisburga.
Drogi sà pokolorowane zgodnie
z nat´˝eniem ruchu: zielony kolor oznacza,
˝e droga jest prawie pusta,
czerwony – pokrycie 20% i wi´cej
www.traffic.uni– duisburg.de/OLSIM/
index.html)
2200
przep∏yw (liczba aut na godzin´)
2000
Inteligentny system transportu
1800
Ruch na autostradach i ulicach wielkich miast na ca∏ym Êwiecie jest coraz
wi´kszy. Dane o ruchu drogowym zwykle zbierane sà za pomocà specjalnych
detektorów. W miastach najcz´Êciej instaluje si´ je przy skrzy˝owaniach w celu
optymalizacji sygnalizacji Êwietlnej. Mimo, ˝e przepisy i struktura dróg sà ró˝ne
w ró˝nych miejscach, to jednak pewne cechy ruchu drogowego obserwowane sà
wsz´dzie. Okazuje si´ (rys. 3), ˝e maksymalny przep∏yw wyst´puje przy mniej
wi´cej dwudziestuprocentowym zag´szczeniu samochodów na drodze. Poni˝ej tej
wartoÊci ruch samochodów jest zupe∏nie swobodny, ale ze wzgl´du na ma∏à liczb´
aut strumieƒ nie jest du˝y. Dla nat´˝enia ruchu powy˝ej 20% przep∏yw zmniejsza
si´ z powodu zat∏oczenia. Najprostszy model (Nagel–Schreckenberg, 1992)
odtwarzajàcy te cechy zosta∏ wykorzystany do symulowania na bie˝àco ruchu
ulicznego w Duisburgu. Na terenie centrum, o powierzchni oko∏o 30 km2, zosta∏o
umieszczonych 750 czujników. Co minut´ dane z detektorów przekazywane sà do
komputera, który wykonuje na bie˝àco symulacje. Na ich podstawie okreÊlany jest
ruch panujàcy na ulicach Duisburga (równie˝ w miejscach, gdzie nie ma
detektorów) i co minut´ uaktualniana jest interaktywna mapa (rys. 2).
W Duisburgu program bie˝àcej symulacji ruchu zosta∏ wprowadzony ju˝
w 1997 roku. Pozwoli∏ on nie tylko na weryfikacj´ modelu, ale przede wszystkim
na optymalizacj´ ruchu.
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
10
20
30
40 50 60
zag´szczenie (%)
70
80
Rys. 3. Przep∏yw i zag´szczenie aut
(tzw. diagram fundamentalny): dane
zebrane przy pomocy czujników na
jednej z autostrad w Kanadzie. Ka˝dy
punkt (niebieska kropka) na wykresie
odpowiada Êredniej wartoÊci
w przedziale 5–minutowym. Czerwona
∏amana to wynik teoretyczny z modelu
Nagela–Schreckenberga
PA è D Z I E R N I K 2 0 0 1
<
WIEDZA I ˚YCIE
3
WiZ10-fizycy ok
24/8/2001 14:12
Page 4
Szum informacyjny
Je˝eli sàsiadujàce osoby
k∏ócà si´
to równie˝ ich sàsiedzi zgodzà
si´ z nimi („zgoda buduje”)
to ich sàsiedzi te˝
zacznà si´ z nimi k∏óciç
(„niezgoda rujnuje”)
opowieÊç o fizyce egzotycznej
Rys. 4. Regu∏a zachowania w socjologicznym
modelu sznajdów
Prosz´ spojrzeç na rysunek powy˝ej.
Widzà Paƒstwo na niej ∏aƒcuszek ludzi. Interesuje nas zamkni´te spo∏eczeƒstwo,
tzn. takie, w którym jedynym czynnikiem
wp∏ywajàcym na zmian´ opinii jest zdanie
innych cz∏onków grupy. (Tym z Paƒstwa,
którzy zajmowali si´ kiedyÊ teorià magnetyzmu, za∏o˝enie to przypomni z pewnoÊcià znany model Isinga).
Za pomocà komputera uzyskaliÊmy dla
tego modelu wiele zaskakujàcych wyników
(ramka „Szum informacyjny” i rys. 5), mi´dzy innymi taki, ˝e opinia publiczna mo˝e
zmieniaç si´ drastycznie bez ˝adnej konkretnej przyczyny. Na przyk∏ad w maju
60% spo∏eczeƒstwa mo˝e twierdziç, ˝e sytuacja w kraju jest dobra, a ju˝ w lipcu
70% spo∏eczeƒstwa twierdzi, ˝e jest êle,
czyli popada z optymizmu w pesymizm.
Dane zbierane przez oÊrodki badajàce opini´ publicznà potwierdzajà ten rezultat.
Prac´ wys∏aliÊmy, jak ju˝ wspomina∏am,
do jednego z czo∏owych pism fizycznych.
Edytor odpisa∏ niemal natychmiast, ˝e przeczyta∏ wst´p i zapewnia nas, ˝e ˝adne
naukowe czasopismo tego nie opublikuje. RzeczywiÊcie, troch´ zbyt
rubasznie napisane jak na naukowà prac´ – ach, te wakacje! Mimo to upar∏am si´, ˝eby jà opublikowaç w niezmienionej,
kontrowersyjnej formie. Uda∏o
si´ – praca bardzo szybko ukaza∏a si´ w innym powa˝nym fizycznym czasopiÊmie naukowym. Ku
naszemu zdumieniu okaza∏o
si´, ˝e na tyle przypad∏a do
gustu pewnemu znanemu
niemieckiemu profesorowi
przebywajàcemu obecnie
w Brazylii, ˝e napisa∏ ju˝ na jej
temat, do spó∏ki z „po∏owà”
4
WIEDZA I ˚YCIE
>
W pierwotnym modelu Sznajdów wyborcy podejmujà decyzj´
wy∏àcznie na podstawie opinii swoich sàsiadów. W prawdziwym
Êwiecie ludzie majà dost´p do prasy, radia i telewizji, co pozwala im
na wyrobienie sobie w∏asnych poglàdów. Dlatego postanowiliÊmy
zmodyfikowaç nasz model: wprowadziliÊmy parametr p, okreÊlajàcy
wielkoÊç szumu informacyjnego. Dla ma∏ego p wyborcy ch´tnie
s∏uchajà sàsiadów (tzn. post´pujà zgodnie z regu∏à przedstawionà na
rysunku obok), a gdy szum informacyjny jest du˝y, podejmujà decyzj´
„na w∏asnà r´k´” – p jest prawdopodobieƒstwem tego, ˝e wyborca
zamiast pos∏uchaç sàsiadów, zrobi, co b´dzie chcia∏.
Uk∏ad z szumem informacyjnym, w przeciwieƒstwie do uk∏adu
zamkni´tego, nie ewoluuje do ˝adnego ustalonego stanu koƒcowego.
Ponadto okazuje si´, ˝e w takim uk∏adzie istnieje pewien
charakterystyczny czas (nie istnia∏ on w spo∏eczeƒstwie zamkni´tym!)
podejmowania decyzji. Oznacza to, ˝e jeÊli znalibyÊmy stopieƒ wp∏ywu
szumu informacyjnego na opini´ spo∏ecznà, moglibyÊmy okreÊliç, jak
cz´sto organizowaç wybory, referenda itd., ˝eby uzyskaç „nowe”
wyniki. Mog∏oby si´ na przyk∏ad okazaç, ˝e w paƒstwie X nie warto
robiç wyborów parlamentarnych co cztery lata, bo charakterystyczny
czas podejmowania decyzji w tym kraju wynosi 7 lat.
tego kraju, wiele innych prac. Co wi´cej, nazwa∏ nasz model „modelem Sznajdów”. To
powoduje, ˝e nie mo˝emy ju˝ sami wi´cej
o nim pisaç, bo przecie˝ niezr´cznie pisaç
o modelu zatytu∏owanym w∏asnym nazwiskiem. Model ten doczeka∏ si´ nie tylko zastosowaƒ w socjologii i finansach, ale równie˝ w przewidywaniu brazylijskich wyborów
parlamentarnych.
Dawno, dawno temu...
„Lokalna s∏awa”, jakà osiàgnà∏ model Sznajdów, jest jednak niczym w porównaniu ze s∏awà, jakà zyska∏ jeden
z pierwszych modeli fizyki egzotycznej
– model ewolucji biologicznej Baka– Sneppena. Jak ka˝dy dobry model
fizyki egzotycznej, model
Baka–Sneppena jest
niezmiernie prosty.
Je˝eli Szanowny
Czytelniku jesteÊ
biologiem, to z
pewnoÊcià pomyÊlisz, ˝e tym razem
fizycy przesadzili z tà
prostotà. Jak Paƒstwo
myÊlà, od czego zaczniemy? Naturalnie
od ∏aƒcuszka, tym razem gatunków. Modele budowane na sieci
jednowymiarowej sà
najprostsze i dlatego
w∏aÊnie o nich pisz´.
PA è D Z I E R N I K 2 0 0 1
10000
1000
liczba kroków sumulacji
Je˝eli jakaÊ para
podziela t´ samà opini´
100
10
0
0
20
40
60
wyborcy
80
Rys. 5. Wyniki symulacji
modelu Sznajdów dla uk∏adu
sk∏adajàcego si´
ze 100 wyborców. Poczàtkowo
by∏o tyle samo zwolenników opcji
czerwonej, co zielonej i roz∏o˝eni
byli oni w przestrzeni zupe∏nie
losowo. Po 10 krokach symulacji
utworzy∏y si´ niewielkie grupy
o podobnych poglàdach i obszary
sk∏ócenia. Po 100 krokach grupa
k∏ócàcych si´ ze sobà wyborców
znacznie si´ powi´kszy∏a,
a grupa poparcia opcji
zielonej znik∏a. Po kolejnych
1000 krokach grupa poparcia
dla czerwonych znacznie si´
powi´kszy∏a, by w koƒcu
rozprzestrzeniç si´ na ca∏y uk∏ad.
Dalsza symulacja nic ju˝
w uk∏adzie nie zmieni.
Oprócz dyktatury opcji czerwonej,
w modelu mo˝liwe sà jeszcze
dwa inne stany koƒcowe:
dyktatura opcji zielonej
oraz maksymalne sk∏ócenie
(na przemian czerwoni z zielonymi)
100
WiZ10-fizycy ok
24/8/2001 14:12
Page 5
Rys. 6. Model ewolucji biologicznej Baka–Sneppena. W tym przyk∏adzie najgorsze
przystosowanie ma dinozaur. Najpierw wi´c zmienione zostanie losowo jego
przystosowanie, a nast´pnie jego najbli˝szych sàsiadów (ryb i pszczó∏) itd.
Wracajàc do modelu Baka–Sneppena, ka˝dy i-ty gatunek opisywany jest tylko jednà
liczbà fi z przedzia∏u [0, 1], oznaczajàcà
sprawnoÊç danego gatunku. Na rys. 6 owe
sprawnoÊci przedstawione zosta∏y za pomocà barier znajdujàcych si´ po prawej
stronie przedstawiciela danego gatunku.
Im wy˝sza bariera, tym wy˝sze przystosowanie rozumiane jako zdolnoÊç gatunku do przetrwania w niezmienionej postaci. Je˝eli przystosowanie jest ma∏e,
gatunek b´dzie si´ zmienia∏. Âledzàc histori´ cz∏owieka, mo˝na zobaczyç, ˝e nie
jest on – w przeciwieƒstwie do karaluchów
– najlepiej przystosowany.
Wybieramy najs∏abiej przystosowanego
i zmieniamy jego przystosowanie na dowolnie inne. W rezultacie mo˝e zostaç jeszcze
gorzej przystosowany, ale mo˝e te˝ staç
si´ odwrotnie. Gdy ju˝ zmienimy najs∏abszego, zmieniamy te˝ jego najbli˝szych sàsiadów, bo gatunki sà przecie˝ wzajemnie
zale˝ne, np. poprzez ∏aƒcuch pokarmowy.
Je˝eli zmienià si´ zajàce, np. urosnà im
nogi, to b´dà musia∏y zmieniç si´ równie˝
rysie, ˝eby móc dogoniç szybsze zajàce.
Potem znów wybieramy najs∏abszego i tak
w kó∏ko. Model bardzo prosty, a jednak daje mnóstwo ciekawych i, co najwa˝niejsze,
obserwowanych biologicznie efektów.
Wrzàcy ekosystem
W ciàgu czterech miliardów lat ˝ycia
na Ziemi wydarzy∏o si´ wiele epizodów
gwa∏townego wymierania gatunków, zwanych wielkimi wymieraniami (ryc. 7).
Ostatnie z nich, które zakoƒczy∏o trwajàcà 150 mln lat er´ dinozaurów, mia∏o
miejsce 65 mln lat temu. Podejrzewa si´,
˝e zosta∏o ono spowodowane uderzeniem
w powierzchni´ Ziemi jednej lub kilku
planetoid lub komet. Co jednak z poprzednimi wymieraniami? Jaka by∏a na
przyk∏ad przyczyna najwi´kszego wielkiego wymierania w historii Ziemi, które po-
Rys. 7. Na paleoklimatyczne dane
dotyczàce temperatury i wilgotnoÊci
(w odniesieniu do stanu obecnego)
zosta∏y naniesione czerwone kó∏ka
oznaczajàce wielkie wymierania.
Rozmiar kó∏ek jest proporcjonalny do
wielkoÊci wymierania. Czy widzà
Paƒstwo na tym rysunku zale˝noÊç
pomi´dzy klimatem a liczbà ginàcych
gatunków? Dla wielu fizyków ten
zwiàzek nie by∏ oczywisty.
Prawdopodobnie stàd, mi´dzy innymi,
wzi´∏o si´ powodzenie modelu
Baka–Sneppena, w którym wielkie
wymieranie nie musi byç spowodowane
czynnikami zewn´trznymi
ch∏on´∏o ponad 90% gatunków, koƒczàc
245 mln lat temu er´ paleozoicznà? Podaje si´ ró˝ne hipotezy, ale fizycy chcà wierzyç, ˝e wcale nie spowodowa∏a tego jakaÊ
pot´˝na zewn´trzna si∏a (rys. 7)
Wiedzà Paƒstwo, ˝e woda jest wodà
w temperaturze 30°C, ale równie˝ w temperaturze 10°C i 80°C. Jednak w temperaturze
0° nagle zaczyna zamieniaç si´ w lód. Czy to
nie dziwne? Woda by∏a wodà „przez ca∏e
100°”, a potem niewielka zmiana temperatury powoduje, ˝e staje si´ lodem. PrzyzwyczailiÊmy si´ do tego. Ale to jest bardzo
dziwne, ˝e niekiedy delikatny i prawie nie
zauwa˝alny impuls powoduje w uk∏adzie
olbrzymie zmiany. Byç mo˝e podobnie jest
z ziemskim ekosystemem. Bak i Sneppen,
konstruujàc swój model, postawili Êmia∏à hipotez´, która mówi, ˝e niekiedy niepotrzebny jest nawet ten impuls. Sama dynamika uk∏adu doprowadza go do takiego
stanu, zwanego przez fizyków krytycznym,
w którym zmiana bardzo ma∏ej cz´Êci uk∏adu (np. Êmierç tylko jednego gatunku) powoduje ca∏kowite jego przeobra˝enie (np.
wielkie wymieranie). Hipoteza tzw. samoorganizujàcej si´ krytycznoÊci jest wcià˝
kontrowersyjna, nawet dla fizyków, niemniej jest interesujàcà alternatywà dla hipotez stawianych przez biologów. „KrytycznoÊç” mo˝e t∏umaczyç tak˝e wiele innych
katastrof, których przyczyny nie znamy
– np. wielkie krachy gie∏dowe.
Po napisaniu tego artyku∏u da∏am go do
przeczytania mojemu m´˝owi i rodzicom.
Mà˝, zajmujàcy si´ matematykà finansowà,
zarzuci∏ mi, ˝e zupe∏nie zignorowa∏am najobszerniejszy chyba dzia∏ fizyki egzotycznej
– ekonofizyk´. Mama (te˝ fizyk) zwróci∏a
mi uwag´, ˝e fizyka egzotyczna to równie˝ klimatologia, genetyka czy medycyna (np. fizjologia mózgu – komunikacja neuronów). Jednak ka˝da bajka musi mieç swój koniec.
KATARZYNA SZNAJD-WERON
Dr. KATARZYNA SZNAJD-WERON jest adiunktem
w Zak∏adzie Dynamiki Nieliniowej i Uk∏adów Z∏o˝onych w Instytucie Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu
Wroc∏awskiego.
PA è D Z I E R N I K 2 0 0 1
<
WIEDZA I ˚YCIE
5