Rozwiązania etap szkolny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny
dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny
4 listopada 2015
Rozwiązania zadań
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Zadanie 1. (1 punkt) Gwiazda sześcioramienna ma wszystkie boki równe i składa się z dwóch
jednakowych trójkątów równobocznych (patrz rysunek). Pole każdego z trójkątów wynosi 30 cm2 .
Pole gwiazdy wynosi:
a) 35 cm2
b) 40 cm2
c) 45 cm2
Zadanie 2. (1 punkt) Nierówność
d) 50 cm2
e) 60 cm2
x
1
2
>2
jest prawdziwa dla:
a) x = −2
b) x = −1
c) x = 0
d) x = 1
e) x = 2
Zadanie 3. (1 punkt) Po obniżce ceny o 15% garnitur kosztuje 510 zł. Przed obniżką ten
garnitur kosztował:
a) 586 zł 50 gr
b) 600 zł
c) 536 zł 84 gr
d) 576 zł 50 gr
e) 566 zł 67 gr
Zadanie 4. (1 punkt) Jaka jest cyfra jedności liczby
512 + 1015 + 911
a) 4
b) 5
c) 0
d) 9
e) 6
Zadanie 5. (1 punkt) Funkcja f każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje resztę z dzielenia
liczby n przez 5. Jaki jest zbiór wartości tej funkcji
a) {1, 2, 3, 4}
b) {0, 1, 2, 3, 4}
c) {1, 2, 3, 4, 5}
d) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
e) {2, 3, 4, 5}
Zadanie 6. (1 punkt) Liczba różnych dzielników liczby 22015 wynosi:
a) 22015
b) 2015
c) 2016
d) 2
e) 1008
d) 0
e) ∞
Zadanie 7. (1 punkt) Ile osi symetrii ma figura:
a) 1
b) 2
c) 3
Zadanie 8. (1 punkt) Ile różnych trójkątów można zbudować z odcinków o długościach: 29 cm,
14 cm, 12 cm, 6 cm, 19 cm ?
a) 5
b) 4
c) 7
d) 6
e)10
Zadanie 9. (1 punkt) Rozwiązaniem równania
29 · x − 16 = 0
jest liczba
a)
1
2
b)
1
16
c) 18
d) 2
e)
1
32
Zadanie 10. (2 punkty) Marek potrafi posprzątać pokój w ciągu 8 godzin. Rozpoczął sprzątanie o godz. 8:00. Gosia obiecała mu pomoc w sprzątaniu, lecz spóźniła się 4 godziny. Razem
dokończyli sprzątanie o godz 13:00. O której godzinie skończyliby sprzątanie gdyby zaczęli
sprzątać razem?
a) 11:30
b) 10:30
c) 11:00
d) 12:10
e) 10:00
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 11.(3 punkty) Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe takie, że po wstawieniu między
cyfrę dziesiątek i jednostek dodatkowej cyfry zwiększają się dziewięciokrotnie.
Rozwiązanie:
Oznaczenia:
a - cyfra dziesiątek szukanej liczby
b - cyfra jedności szukanej liczby
x - cyfra która została umieszczona między a i b.
Szukaną liczbę można zapisać jako 10a + b, przy czym zakładamy, że a 6= 0
Po wstawieniu między a i b cyfry x otrzymujemy liczbę 100a + 10x + b
Z treści zadania wynika, że
100a + 10x + b = 9(10a + b)
Po przekształceniach otrzymujemy
10a + 10x = 8b
i dalej
4
a+x= b
5
Suma liczb a + x jest liczba całkowitą, więc 45 b też jest liczba całkowitą. Z faktu, że b jest
liczbą jednocyfrową wynika, że b = 5 lub b = 0. Rozwiązanie b = 0 należy odrzucić, gdyż suma
a + x nie może być równa zero. Tak więc b = 5. Stąd otrzymujemy:
a+x=4
Ze względu na to, że a 6= 0 i a oraz x są liczbami całkowitymi nieujemnymi, rozwiązaniami
tego równania są pary:
a=1
x=3
a=2
x=2
a=3
x=1
a=4
x=0
Odpowiedź:
Szukanymi liczbami są: 15, 25, 35, 45.
Punktacja:
1. Zapisanie liczb w postaci 10a + b oraz 100a + 10x + b - 1 punkt
2. Zapisanie równania - 1 punkt
3. Wyznaczenie rozwiązań - 1 punkt
Zadanie 12.(3 punkty) Mrówka porusza się z prędkością 2 razy większą niż biedronka i odległość 100 m przebywa w czasie o 10 min krótszym. Z jaką prędkością porusza się biedronka?
Rozwiązanie:
Oznaczenia:
m
x - prędkość biedronki w min
m
2x - prędkość mrówki w min
.
Porównując czas biedronki i mrówki otrzymujemy równanie:
100
100
=
− 10
2x
x
m
Rozwiązaniemm powyższego równania jest x = 5 min
Punktacja:
1. poprawne oznaczenia - 1 punkt
2. Zapisanie równania - 1 punkt
3. Wyznaczenie rozwiązania - 1 punkt
Zadanie 13.(2 punkty) Dwa spośród boków trójkąta mają długości 3 cm i 4 cm. Zaznacz na
osi liczbowej zbiór wszystkich możliwych długości trzeciego boku .
1. przypadek. Jeśli x jest najdłuższym odcinkiem, czyli x ­ 4, to aby można było zbudować
trójkąt musi być spełniony warunek 3 + 4 > x.
A więc x ­ 4 i x < 7
2. przypadek. Jeśli x nie jest najdłuższym odcinkiem, czyli 0 < x < 4, to aby można było
zbudować trójkąt musi być spełniony warunek
3 + x > 4.
A więc x < 4 i x > 1.
Zatem zbiór wszystkich możliwych długości trzeciego boku oznaczonego przez x przedstawiamy
na osi liczbowej następująco:
Punktacja:
1. Jeżeli uczeń zapisze jeden z warunków (x ­ 4 i x < 7) lub (x < 4 i x > 1), to otrzymuje
1 punkt.
2. Jeżeli uczeń zapisze oba warunki i zaznaczy na osi liczbowej prawidłowy zbiór, to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 14.(3 punkty) Koza jest przywiązana do ogrodzenia otaczającego działkę w kształcie
√
koła o promieniu 100 m. Długość łańcucha, którym przywiązana jest koza wynosi 100 2 m.
Wykonaj rysunek pomocniczy. Dziennie koza zjada trawę z powierzchni 107 m2 . Po ilu dniach
należy zmienić punkt przywiązania kozy, aby nie była głodna?
Fragment łąki
√ w zasięgu kozy składa się z półkola o promieniu 100 m i odcinka koła o
promieniu 100 2 m oznaczonego na rysunku przez P. Pole półkola o promieniu 100 m jest
równe
π · 1002 2
Ppółkola =
m = π · 5000m2
2
√
Pole odcinka koła P jest równe różnicy pola wycinka koła o promieniu 100 2 m i trójkąta
o podstawie 20 m i wysokości 10 m. Pole odcinka koła P jest równe:
√ 2
π · (100 2)
200 · 100 2
PP =
−
m = π · 5000 − 10000m2
4
2
Całkowite pole w zasięgu kozy równe jest sumie obliczonych pól, więc
Pkozy = π · 5000 + π · 5000 − 10000 = 10000 · (π − 1)m2
Przyjmując π = 3, 14 otrzymujemy Pkozy = 21400m2
Zatem koza zje trawę w ciągu 21400
= 200 dni. Po 200 dniach należy zmienić kozie miejsce.
107
Punktacja:
1. Naszkicowanie poprawnego rysunku - 1 punkt
2. Poprawne wyznaczenie pola zasięgu kozy - 1 punkt
3. Obliczenie ilości dni - 1 punkt
Zadanie 15.(3 punkty) Liczba a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Wykaż, że kwadrat liczby
a powiększony o 1 jest podzielny przez 5.
Liczbę a można zapisać zgodnie z warunkami zadania jako
a = 5n + 3, n ∈ N
Wówczas
a2 + 1 = (5n + 3)2 + 1 = 25n2 + 30n + 9 + 1 = 25n2 + 30n + 10 = 5 · (5n2 + 6n + 2)
Wyrażenie w nawiasie jest liczbą naturalną, gdyż jest wynikiem potęgowania, mnożenia i sumowania liczb naturalnych, z czego wynika że całe wyrazenie jest podzielne przez 5.
Punktacja:
1. Poprawny zapis a = 5n + 3 oraz a2 + 1 - 1 punkt
2. Zamiana a2 + 1 na postać iloczynową z wyłączoną liczbą 5 - 1 punkt
3. Uzasadnienie że wyrażenie w nawiasie jest liczbą naturalną - 1 punkt
Uwaga
W przypadku innych sposobów rozwiązywania zadań prosimy o punktację zgodną z Państwa
doświadczeniem.