Nierówności symetryczne

Nierówności symetryczne
Andrzej Nowicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki,
ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń
(e-mail: [email protected])
Sierpień 1995
Wstęp. Jeśli x, y, z, t są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to:
(0.1)
x2 + y 2 > 2xy,
(0.2)
x5 + y 5 > x3 y 2 + y 3 x2 ,
(0.3)
x2 + y 2 + z 2 > xy + yz + zx,
(0.4)
x3 + y 3 + z 3 > 3xyz,
(0.5)
(0.6)
x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 > x2 yz + xy 2 z + xyz 2 ,
x3 + y 3 + z 3 + t3 > xyz + xyt + xzt + yzt.
Pewne z tych nierówności są prawdziwe nawet dla dowolnych liczb rzeczywistych (niekoniecznie dodatnich). Rozważać będziemy jednak tylko liczby dodatnie.
Pokażemy, że wszystkie powyższe nierówności są szczególnymi przypadkami pewnego
twierdzenia udowodnionego w 1903 roku przez R. E. Muirheada. Przed wysłowieniem tego twierdzenia wprowadzimy najpierw kilka nowych pojęć i oznaczeń.
1. Podziały. Podziałem długości k liczby naturalnej n nazywamy każdy k-wyrazowy
ciąg α = (α1 , . . . , αk ) nieujemnych liczb całkowitych spełniających następujące dwa warunki:
(1) α1 > α1 > · · · > αk ,
(2) α1 + α2 + · · · + αk = n.
Zbiór wszystkich podziałów długości k liczby n oznaczać będziemy przez P(n, k). W szczególności zbiór P(4, 3) składa się z 4 elementów:
(4, 0, 0), (3, 1, 0), (2, 2, 0), (2, 1, 1).
Natomiast zbiór P(7, 4) ma 11 elementów:
(7, 0, 0, 0), (6, 1, 0, 0), (5, 2, 0, 0), (5, 1, 1, 0), (4, 3, 0, 0), (4, 2, 1, 0),
(4, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 0), (3, 2, 2, 0), (3, 2, 1, 1), (2, 2, 2, 1).
Jeśli n < 10, to elementy zbioru P(n, k) zapisywać będziemy bez nawiasów i bez przecinków.
Elementami zbioru P(4, 3) są więc podziały: 400, 310, 220, 211, a elementami zbioru P(7, 4)
podziały:
7000, 6100, 5200, 5110, 4300, 4210 4111, 3310, 3220, 3211, 2221.
1
2
A. Nowicki, Sierpień 1995,
Nierówności symetryczne
2. Porównywanie podziałów. Załóżmy, że α = (α1 , . . . , αk ), β = (β1 , . . . , βk )
są podziałami należącymi do zbioru P(n, k). Mówić będziemy, że podział α jest większy lub
równy od podziału β, co zapisywać będziemy jako ”α > β”, jeśli:
α1 > β1 ,
α1 + α2 > β1 + β2 ,
α1 + α2 + α3 > β1 + β2 + β3 ,
α1 + α2 + α3 + · · · + αk
..
.
> β1 + β2 + β3 + · · · + βk .
Spójrzmy na przykłady. Ciągi 421 i 322 są podziałami długości 3 liczby 7. Zachodzi nierówność 421 > 322, gdyż:
4 > 3,
4 + 2 > 3 + 2,
4 + 2 + 1 = 3 + 2 + 2.
W ten sam sposób sprawdzamy, że: 720 > 522, 521 > 431, 52100 > 43100, 22220 > 22211.
Łatwo udowodnić:
Stwierdzenie. Niech α, β, γ będą podziałami należącymi do zbioru P(n, k). Wtedy:
(1) α > α;
(2) jeśli α > β i β > α, to α = β;
(3) jeśli α > β i β > γ, to α > γ.
W zbiorze P(3, 3) mamy elementy 300, 210, 111 i zachodzi: 300 > 210 > 111. Wszystkie
elementy zbioru P(4, 3) uporządkowane są następująco: 400 > 310 > 220 > 211. Podobnie
jest w zbiorze P(5, 3): 500 > 410 > 320 > 311 > 221. Widzimy tutaj, że każde dwa elementy
α, β zbioru P(n, k) są w relacji: albo α > β albo β > α. Na ogół tak jednak nie musi być.
Elementy α = 411 i β = 330 zbioru P(6, 3) nie są w żadnej relacji; nie jest prawdą, że α > β
i nie jest prawdą, że β > α.
3. Wielomiany symetryczne.
Jeżeli k jest ustaloną liczbą naturalną, to przez Sk
oznaczać będziemy zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , k}. Przypomnijmy, że zbiór
Sk ma k! elementów.
Niech f (x1 , . . . , xk ) będzie wielomianem zmiennych x1 , . . . , xk . Mówimy, że wielomian ten
jest symetryczny, jeśli dla każdej permutacji σ należącej do zbioru Sk zachodzi równość
f (xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(k) ) = f (x1 , x2 , . . . , xk ).
Załóżmy, że mamy tylko dwie zmienne x1 i x2 (tzn. k = 2). Zmienne te oznaczmy odpowiednio przez x i y. W tym przypadku wielomian f (x, y) jest symetryczny dokładnie wtedy,
gdy
f (y, x) = f (x, y).
W szczególności wielomiany xy, x5 + y 5 , x3 + y 3 − 13xy są symetryczne. Natomiast wielomiany x + 4y, x2 + y 3 , xy + 5y 2 nie są symetryczne.
Rozważmy teraz trzy zmienne x = x1 , y = x2 , z = x3 (tzn. k = 3). W tym przypadku
wielomian f (x, y, z) jest symetryczny dokładnie wtedy, gdy
f (x, y, z) = f (x, z, y) = f (y, x, z) = f (y, z, x) = f (z, x, y) = f (z, y, x).
A. Nowicki, Sierpień 1995,
Nierówności symetryczne
3
Wielomiany xyz, x9 + y 9 + z 9 , xy + yz + zx, 5xyz − 12x2 − 12y 2 − 12z 2 są symetryczne.
Wielomiany xyz 2 , x + 5y + z, x2 + y 2 + z nie są symetryczne.
Zanotujmy jeszcze kilka przykładów wielomianów symetrycznych większej ilości zmiennych.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ,
x31 + x32 + x33 + x34 + x35 + x36 ,
x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ,
x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 .
Łatwo udowodnić, że suma wielomianów symetrycznych jest wielomianem symetrycznym.
Podobnie jest z iloczynem.
4. Wielomian symetryczny stowarzyszony z podziałem. Niech α = (α1 , . . . , αk )
będzie podziałem długości k liczby naturalnej n. Oznaczmy przez Aα jednomian zmiennych
x1 , . . . , xk zdefiniowany następująco:
Aα = Aα (x1 , . . . , xk ) = xα1 1 xα2 2 · · · xαk k .
Przykłady: A21 (x, y) = x2 y, A432 (x, y, z) = x4 y 3 z 2 , A5100 (x, y, z, t) = x5 y.
W dalszym ciągu istotną rolę odgrywać będzie wielomian symetryczny zmiennych x1 , . . . , xk ,
którego oznaczać będziemy przez Tα lub Tα (x1 , . . . , xk ). Wielomian ten definiujemy następująco:
X
Tα = Tα (x1 , . . . , xk ) =
Aα (xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(k) ).
σ∈Sk
W szczególności, dla dwóch zmiennych x i y, mamy:
Tα (x, y) = Aα (x, y) + Aα (y, x),
natomiast dla trzech zmiennych x, y, z:
Tα (x, y, z) = Aα (x, y, z) + Aα (x, z, y) + Aα (y, x, z) + Aα (y, z, x) + Aα (z, x, y) + Aα (z, y, x).
Przykłady:
T32 (x, y)
= x3 y 2 + y 3 x2 ,
T321 (x, y, z)
= x3 y 2 z + x3 z 2 y + y 3 x2 z + y 3 z 2 x + z 3 x2 y + z 3 y 2 x,
T3300 (x, y, z, t)
= 4x3 y 3 + 4x3 z 3 + 4x3 t3 + y 3 z 3 + 4y 3 t3 + 4z 3 t3 ,
T4110 (x, y, z, t)
= 2x4 (yz + yt + zt) + 2y 4 (xz + xt + zt)+
2z 4 (xy + xt + yt) + 2t4 (xy + xz + yz),
T50000 (x, y, z, t, u) = 24(x5 + y 5 + z 5 + t5 + u5 ),
T11111 (x, y, z, t, u) = 120xyztu.
5. Twierdzenie Muirheada. Teraz możemy już wysłowić zapowiedziane wcześniej
Twierdzenie Muirheada.
Twierdzenie. Niech α, β będą podziałami długości k liczby naturalnej n. Następujące
dwa warunki są równoważne.
4
A. Nowicki, Sierpień 1995,
Nierówności symetryczne
(1) α > β.
(1) Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych x1 , . . . , xk zachodzi nierówność
Tα (x1 , . . . , xk ) > Tβ (x1 , . . . , xk ).
Dowód tego twierdzenia nie jest trudny. Można go znaleźć np. w [3], [2] lub [1].
6. Dowody nierówności podanych we Wstępie.
Przykład 6.1. x2 + y 2 > 2xy.
Dowód. Rozpatrzmy podziały 20 i 11. Są to podziały długości 2 liczby 2. Poniewż 20 >
11, więc (na mocy Twierdzenia Muirheada) x2 + y 2 = T20 (x, y) > T11 (x, y) = 2xy. Przykład 6.2. x5 + y 5 > x3 y 2 + y 3 x2 .
Dowód. Rozpatrzmy podziały 50 i 32. Są to podziały długości 2 liczby 5. Poniewż 50 >
32, więc (na mocy Twierdzenia Muirheada) x5 + y 5 = T50 (x, y) > T32 (x, y) = x3 y 2 + y 3 x2 . Przykład 6.3. x2 + y 2 + z 2 > xy + yz + zx.
Dowód. Wynika to z Twierdzenia Muirheada dla podziałów α = 200, β = 110. Przykład 6.4. x3 + y 3 + z 3 > 3xyz.
Dowód. α = 300, β = 111. Przykład 6.5. x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 > x2 yz + xy 2 z + xyz 2 .
Dowód. α = 220, β = 211. Przykład 6.6. x3 + y 3 + z 3 + t3 > xyz + xyt + xzt + yzt.
Dowód. α = 3000, β = 1110. 7. Zadania. Korzystając z Twierdzenia Muirheada wykazać, że zachodzą następujące
nierówności. Wszystkie liczby rzeczywiste x, y, z, . . . , x1 , x2 , . . . , wysępujące w tych nierównościach, są dodatnie.
7.1
xk1 + xk2 + · · · + xkk > kx1 x2 · · · xk .
7.2
x4 + y 4 + z 4 > xyz(x + y + z).
7.3
x5 + y 5 + z 5 > xyz(xy + yz + zx).
7.4
(x2 + y 2 + z 2 )(x + y + z) > 9xyz.
7.5
x3
yz
+
y3
xz
+
z3
xy
>
x2 +y 2
2z
+
y 2 +z 2
2x
+
x2 +z 2
2y
> x + y + z.
A. Nowicki, Sierpień 1995,
y
x+z
7.6
x
y+z
7.7
x1
x2 +x3 +···+xn
7.8
8(x4 + y 4 ) > (x + y)4 .
7.9
(x3 − y 3 )2 > (x2 − y 2 )(x4 − y 4 ).
+
+
z
x+y
Nierówności symetryczne
> 32 .
x2
x1 +x3 +···+xn
+
5
+ ··· +
xn
x1 +x2 +···+xn−1
7.10
(x + y)(x4 + y 4 ) > (x2 + y 2 )(x3 + y 3 ).
7.11
1
x+y+z
+
1
x+y+t
7.12
x6 +y 6
2
>
x+y
2
7.13
xn+m +y n+m
2
+
1
x+z+t
+
1
y+z+t
·
x2 +y 2
2
·
x3 +y 3
2 .
>
xn +y n
2
·
xm +y m
.
2
>
>
n
n−1 .
16
x+y+z+t .
Literatura
[1] A. Berent, Twierdzenie Muirheada i nierówności symetryczne, Praca magisterska, UMK
Toruń, 1991.
[2] S. W. Dworianinow, E. A. Jasinowyj, Jak otrzymuje się nierówności symetryczne, (po
rosyjsku), Kwant, 7(1985), 33 - 36.
[3] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya, Nierówności, (po rosyjsku), Moskwa, 1948.