KULTURA LOGICZNA

KULTURA LOGICZNA
klasyczny rachunek predykatów 1/2
Pojęcie zmiennej zdaniowej, spójnika ekstensjonalnego, definicja formuły KRZ.
Wprowadzenie spójników negacji, implikacji, alternatywy, koniunkcji i równoważności.
Translacja zdań języka naturalnego na zdania KRZ. Semantyka KRZ: pojęcie wartościowania i
charakterystyka prawdziwościowa spójników ekstensjonalnych KRZ.
plan na dziś:
Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP)
Do alfabetu KRP należą następujące rodzaje wyrażeń:
1. Zmienne indywiduowe: x, y, z, x1, x2,…, y1, y2,…, z1, z2,…
2. Stałe indywiduowe: a, b, c, a1, a2,…, b1, b2,…, c1, c2, …
3. Stałe predykatywne: P, Q, R, P1, P2,…, Q1, Q2,…, R1, R2,…;
z każdą stałą predykatywną związana jest liczba naturalna zwana jej argumentowością.
4. Funktory zdaniotwórcze: ∧, ∨, →, ≡, ~
5. Kwantyfikatory: ∀, ∃.
6. Nawiasy: (, ).
DEFINICJA: wyrażenie KRP
Wyrażeniem KRP nazywamy każdy skończony ciąg symboli alfabetu KRP.
DEFINICJA: formuła (wyrażenie sensowne) KRP
Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami:
(i)
Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po
nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub
stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową).
(ii)
Jeżeli α, β są formułąmi KRP, to (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β), (α ≡ β) i ~α też są formułami KRP.
(iii)
Jeżeli α jest formułą KRP, a xi zmienną indywiduową, to ∀xi α, ∃xi α też są formułami KRP.
DEFINICJA: zdanie KRP
Zdaniem KRP nazywamy formułę, która nie zawiera zmiennych wolnych.
1. Niektóre z poniższych wyrażeń nie są zdaniami KRP. Popraw je tak, by jak najmniej zmieniając
uczynić z nich zdania KRP. Nie usuwaj i nie dopisuj kwantyfikatorów.
(i) ∀x C(x) → S(x)
(vi)
(ii) ∃a C(a)
(vii)
∀x ∀y ∀z O(x, y) ∧ O(y, z) → O(x, z)
(iii)
(viii)
∀x ∀y (L(a, b) → C(a) ∧ D(b))
(iv) ∃y (S(y) ∧ C(y)
(ix)
∀x ∀y C(x) ∧ C(y) → O(x, y)
(v) ~∃y L(y,a) ∧ L(a,y)
(x)
∀x (C(x) → ∃x B(x, x, y))
∃y (C(y) ∨ M(y)) ∨ L(y,c))
∀x R(x,b) → R(b,x)
2. Niektóre z poniższych wyrażeń nie są zdaniami KRP. Popraw je tak, by jak najmniej zmieniając
uczynić z nich zdania KRP. Wolno jedynie dodawać kwantyfikatory i zmienne.
(i) ~P(y, y)
(vi)
∀x y ((C(x) ∧ C(y)) → ~L(x, y))
(ii) (T(x) → Q(x))
(vii)
∀ C(a)
(iii)
(viii)
∀x T(y) → S(x)
(iv) T(x) → Q(x)
(ix)
((T(x) ∧ T(y)) → B(z, x, y))
(v) Q(x) → ~L(y, x)
(x)
(T(x) ∧ Q(x)) ∧ O(x, y)
T(a) → Q(x)
3. Przetłumacz następujące zdania z języka KRP na kolokwialny język polski. Niech T(x) = "x jest
superbohaterem", P(x) = "x ma złożoną osobowość", E(x) = "x ma niewzruszony kręgosłup
moralny”, k = Clark Kent, t = Bruce Wayne, r = Kubuś Puchatek.
(i) ∃x (T(x) ∧ P(x))
(v) ~∀x (T(x) → E(x))
(ii)
∃x (T(x) ∧ ~E(x))
(vi) ∀x ((E(x) ∧ ~P(x)) → ~T(x))
(iii) ~∃x (T(x) ∧ E(x))
(vii) ∃x (T(x) ∧ ~(P(x) ∧ E(x)))
(iv) ∀x (T(x) → ~E(x))
(viii) ∃x (T(x) ∧ (P(x) ∨ E(x)))
(ix) ∀x (T(x) → E(x)) → ~T(k)
(xi) ∀x (T(x) → P(x)) → ~T(r)
(x)
(xii) ∀x (T(x)→(P(x)∧E(x)))→~(T(t)∨T(r))
T(t) → ∀y ((T(y) ∧ P(y)) → ~E(y))
4. Zapisz następujące zdania za pomocą symboli KRP.
(i)
Sokrates jest filozofem.
(ii)
Platon jest uczniem Sokratesa.
(iii)
Ktoś jest uczniem Sokratesa.
(iv)
Każdy boi się śmierci.
(v)
Nikt nie boi się śmierci.
(vi)
Nie każdy boi się śmierci.
(vii)
Wszyscy uczciwi ludzie boją się śmierci.
(viii)
Nikt, kto jest uczciwy, nie boi się śmierci.
(ix)
Każdy kto nie boi się śmierci, nie jest uczciwy.
(x)
Chociaż wszyscy uczciwi ludzie boją się śmierci, Jane się nie boi.
(xi)
Każdy albo jest uczciwy, albo boi się śmierci.
(xii)
To nieprawda, że uczciwi ludzie nie boją się śmierci.
(xiii)
Każdy wieloryb jest ssakiem, ale niektóre ssaki nie są wielorybami.
(xiv)
Każdy człowiek jest poetą.
(xv)
Niektórzy ludzie są poetami.
(xvi)
Niektórzy ludzie nie są poetami.
(xvii)
Żaden człowiek nie jest poetą.
(xviii)
Każdy sędzia wydał jakiś niesprawiedliwy wyrok.
(xix)
Niektórzy adwokaci prowadza jakieś sprawy karne.
(xx)
Masło i jajka są bogate w cholesterol.
(xxi)
Jeżeli ktokolwiek ze świadków powiedział prawdę, to winien jest Pawłowski lub Kowalski.
(xxii)
Każdy ma jakiegoś przewodnika.
(xxiii)
Istnieje ktoś, kto jest wspólnym przewodnikiem wszystkich.
(xxiv)
Każdy jest czyimś przewodnikiem.
(xxv)
Istnieje ktoś, kto nie ma żadnego przewodnika.
(xxvi)
Kopernik był astronomem.
(xxvii)
Każdy astronom jest zwolennikiem jakiejś teorii.
(xxviii)
Nie istnieje teoria, której zwolennikami byliby wszyscy astronomowie.
(xxix)
Istnieje teoria, która nie ma zwolenników wśród astronomów.
(xxx)
Istnieje teoria, której zwolennikami są tylko astronomowie.