3. Rachunek prawdopodobieństwa

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Rachunek prawdopodobieństwa – rozwiązywanie zadań
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Doświadczenie polega na rzucie trzema rozróżnialnymi monetami. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Na półce w sposób losowy ustawiamy w jednym szeregu książki A, B, C, D. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych
tego doświadczenia.
Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.
Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} losujemy kolejno dwie liczby i zapisujemy je w kolejności losowania. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia, jeśli losujemy: a) ze zwracaniem; b) bez zwracania.
Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami zawartymi w przestrzeni Ω. Zapisz za pomocą A, B, A’, B’ zdarzenia:
a) Zaszło co najmniej jedno ze zdarzeń A i B;
b) Zaszło tylko jedno ze zdarzeń A i B;
c) Zaszły oba zdarzenia A i B;
d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
e) Nie zaszło ani zdarzenie A, ani B;
f) Nie zaszło zdarzenie A lub zaszło zdarzenie B;
7. Doświadczenie losowe polega na wylosowaniu jednej karty z talii 52 kart. Zdarzenia: A – „wylosowana karta jest pikiem”; B – „wylosowana karta jest koloru czerwonego”; C – „wylosowana karta jest asem”. Opisz słowami zdarzenia:
⋂ ; ⋂ ; ∖ ; ⋃ ; ⋂ ; ∖ .
8. Doświadczenie losowe polega na wylosowaniu jednej liczby ze zbioru {10, 11, 12, 13, 14, 15}. Zdarzenia: A – „wylosowana liczb jest liczbą pierwszą”; B – „wylosowana liczb jest większa od 12”; C – „wylosowana liczb jest podzielna
przez 3”. Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom: ; ; ; \ ; ∪ ; ∩ ; ∪ .
9. Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie monetą. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: A – „wypadły tylko dwie reszki”; B – „co najwyżej raz
wypadł orzeł”; C – reszka nie wypadła ani razu”. Opisz słowami zdarzenia: A’, B’, C’.
10. Doświadczenia losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Następnie wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: A – „suma
wyrzuconych oczek jest liczbą dwucyfrową”; B – „w pierwszym rzucie wypadła mniejsza liczba oczek, niż w drugim
rzucie”; C – „liczba oczek w drugim rzucie jest całkowitą wielokrotnością liczby oczek w pierwszym rzucie”. Wyznacz
elementy zdarzeń: ∩ ; \ ; ∪ ; ∩ i opisz słowami te zdarzenia.
11. Dane są zdarzenia ,
12. Wiadomo, że ,
⊂ Ω takie, że
⊂ Ω takie, że
;
. Czy zdarzenia A i B są rozłączne? Uzasadnij.
∪
;
∩
. Oblicz
;
;
\
.
13. Mamy kostkę w kształcie czworościanu foremnego. Na ściankach kostki są odpowiednio liczby: 1, 2, 3, 4. Kostka jest
wykonana z materiału, który nie jest jednorodny. Rzucamy kostką i odczytujemy liczbę oczek. Prawdopodobieństwo
otrzymania liczby nie mniejszej niż 3 jest równe , a otrzymania liczby nie większej niż trzy jest równe . Jakie jest
14.
15.
16.
17.
prawdopodobieństwo otrzymania liczby 3 w pojedynczym rzucie kostką?
Rzucamy sześcienną kostką do gry. Ścianka z 6 oczkami wypada trzy razy częściej, niż każda z pozostałych ścianek.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pojedynczym rzucie otrzymamy liczbę oczek: a) parzystą; b) nieparzystą.
Dane są zdarzenia , ⊂ Ω takie, że
0,75 0,5. Czy może się zdarzyć, że
∩
$ 0,4?
Dane są zdarzenia , ⊂ Ω takie, że
0,6 ′
0,25'()* ∪
Ω. Oblicz:
;
∩ ;
\ .
Na sześciennej symetrycznej kostce są dwie ściany z liczbą 5, pozostałe ściany mają odpowiednio liczby: 1, 2, 3, 4.
Niech Ω oznacza zbiór wszystkich możliwych wyników rzutu tą kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia poszczególnych zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wypadła nieparzysta liczba oczek?
18. Dane są zdarzenia ,
⊂ Ω takie, że
∪
19. Dane są zdarzenia , ⊂ Ω takie, że
′
20. O pewnym zdarzeniu ⊂ Ω wiadomo, że
równość
∩
$ 0,2.
21. Dane są zdarzenia , ⊂ Ω takie, że
\ ;
∩ .
22. Dane są zdarzenia , ⊂ Ω takie, że
′
∩ ′ .
9 ∪ \ :;
0,5 ∩
. Oblicz:
;
\
.
0,69 ′
0,3. Czy zdarzenia są rozłączne? Uzasadnij.
- 0,9. Wykaż, że dla dowolnego zdarzenia ⊂ Ω zachodzi nie0,12 0,7oraz
0,83 0,88oraz
∪
0,4. Oblicz:
∩
0,04. Oblicz:
∩
;
∪
;
23. Dane są zdarzenia , ⊂ Ω takie, że
0,91 ∩
0,01oraz
∪
0,21. Oblicz:
;
9 \ ∩ :; 9 ∪ \ ∩ :.
24. Kostka sześcienna wykonana jest z materiału niejednorodnego. Ścianka z jednym oczkiem wypada dwa razy częściej, niż każda z pozostałych. Wykonujemy jeden rzut kostką. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania nieparzystej
liczby oczek.
25. Kostka sześcienna wykonana jest z materiału niejednorodnego. Ścianka z dwoma oraz z sześcioma oczkami wypada
trzy razy częściej, niż każda z pozostałych. Wykonujemy jeden rzut kostką. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia ścianki : a) z jednym oczkiem; b) z sześcioma oczkami; c) z parzystą liczbą oczek.
26. W pudełku znajdują się kartki z różnymi numerami. Prawdopodobieństwo wylosowania kartki z numerem nie większym niż 10 jest równe , a prawdopodobieństwo wylosowania kartki z numerem nie mniejszym niż 10 jest równe .
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kartki z numerem 10.
27. Biatlonista w jednej serii strzela pięć razy do celu. Prawdopodobieństwo, ze trafi co najmniej trzy razy jest równe ,
a prawdopodobieństwo, że trafi co najwyżej trzy razy, wynosi
. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze biatlonista w
jednej serii trafi do celu trzy razy?
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Prawdopodobieństwo klasyczne
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką czworościenną. Na ściankach są liczby: 1, 2, 3, 4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A – „wartość bezwzględna różnicy oczek jest większa lub równa 2”; B – „suma liczby oczek jest równa
6”; C – „suma liczby oczek jest nie większa od 5”.
Z talii 52 kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest pikiem lub asem.
Ze zbioru {0, 1, 2, 3, …, 100} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba jest podzielna
przez 3 lub przez 4.
W loterii jest 20 losów: 3 losy dają wygraną po 10 zł, 4 losy dają wygraną po 5 zł, pozostałe są przegrywające. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że kupując 2 losy, wygramy 10 zł?
Trzykrotnie rzucamy sześcienną kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie 6 oczek?
Spośród liczb {1, 2, 3, …, 1000} wybieramy losowo jedna liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba ta jest
podzielna przez 4 i nie jest podzielna przez 6?
Trzech turystów przyjechało do miejscowości, w której są trzy hotele należące do jednego właściciela. Wszystkie
rozmieszczenia turystów w tych hotelach są jednakowo prawdopodobne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy
z turystów będzie w innym hotelu?
Ze zbioru wszystkich liczb dwucyfrowych losujemy jedna liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: A – „wylosowana liczba jest podzielna przez 11”; B – „wylosowana liczba jest nie większa niż 35 i nie mniejsza niż 25”;
C – „wylosowana liczba jest podzielna przez 5 i nie jest podzielna przez 3”; D – „wylosowana liczba jest całkowitą
wielokrotnością liczby 6 lub liczby 8”.
Sześcienna kostka ma trzy ściany niebieskie, jedną czerwoną, jedną zieloną o jedną czerwono – zielono – niebieską.
Jeden raz rzucamy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo: a) otrzymania ścianki z kolorem zielonym; b) otrzymania
ścianki z kolorem niebieskim lub zielonym; c) nieotrzymania ścianki z kolorem czerwonym.
Ze zbioru {5, 6, 7, 8} losujemy kolejno ze zwracaniem dwie cyfry i tworzymy liczbę dwucyfrową. Wypisz zdarzenia
elementarne tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) utworzona liczba jest większa od 65;
b) utworzona liczba jest podzielna przez 4; c) suma cyfr tej liczby jest liczbą pierwszą.
Ze zbioru {6, 7, 8, 9} losujemy kolejno bez zwracania dwie cyfry i tworzymy liczbę dwucyfrową. Wypisz zdarzenia
elementarne tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) utworzona liczba jest niewiększa od
86; b) utworzona liczba jest podzielna przez 3; c) suma cyfr tej liczby jest liczbą nieparzystą.
Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} losujemy kolejno ze zwracaniem dwie cyfry i tworzymy liczbę dwucyfrową. Wypisz zdarzenia
elementarne tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) utworzona liczba jest podzielna przez
11; b) utworzona liczba jest nieparzysta; c) iloczyn cyfr tej liczby jest większy od 10.
Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} losujemy kolejno bez zwracania dwie cyfry i tworzymy liczbę dwucyfrową. Wypisz zdarzenia
elementarne tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) utworzona liczba jest parzysta;
b) utworzona liczba jest podzielna przez 3; c) różnica cyfr tej liczby jest podzielna przez 2.
41. Przestawiając dowolne cyfry 1, 2, 3, 4, 5 tworzymy losowo pięciocyfrowy kod. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) Najpierw ustawione są cyfry będące liczbami parzystymi, a potem cyfry będące liczbami nieparzystymi;
b) Cyfry 1, 2, 3 stoją w podanej kolejności obok siebie.
42. W szeregu ustawiono losowo 4 mężczyzn i 3 kobiety. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że osoby tej samej płci
nie będą stały obok siebie.
43. Sześć osób, w tym Jacek i Placek wybrało się do kina. Mają bilety z kolejnymi numerami w jednym rzędzie. Zakładając, że usiądą losowo, oblicz prawdopodobieństwo, że: a) Jacek i Placek usiądą na najbardziej odległych miejscach;
b) Jacek i Placek usiądą na dwóch pierwszych miejscach od lewej strony, w podanej kolejności.
44. Kasia w jednej szufladzie ma 3 czapki: białą, czarną i zieloną, w drugiej szufladzie 4 szaliki: biały, czarny i dwa zielone. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając losowo jedną czapkę i jeden szalik, Kasia wybierze czapkę i szalik w
jednym kolorze.
45. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) orzeł wypadnie co najwyżej raz; b) reszka wypadnie
co najmniej raz; c) za drugim razem wypadnie orzeł, a za trzecim reszka.
46. Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) wylosowana liczba jest
podzielna przez 2 i przez 5; b) wylosowana liczba jest podzielna przez 2 lub przez 5; c) wylosowana liczba jest podzielna przez 10 lub przez 15; d) wylosowana liczba jest podzielna przez 15 i nie jest podzielna przez 20.
47. Z talii 52 kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania karty, która jest: a) treflem lub pikiem;
b) asem i nie jest treflem; c) królem lub kierem.
48. Z talii 52 kart losujemy jednocześnie 13 kart. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród nich: a) będą 2 asy; b) będą
karty jednego koloru (tylko piki lub tylko trefle lub tylko kiery lub tylko kara); c) będzie 13 kierów.
49. Z talii 52 kart losujemy jednocześnie 13 kart. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród nich: a) będzie co najmniej
jeden as; b) będą trzy damy i dwie dziesiątki; c) będą co najwyżej dwie damy.
50. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że: a) suma oczek jest
równa 7; b) na przynajmniej jednej z kostek wypadła liczba oczek większa od 4.
51. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczby wyrzuconych oczek jest: a) większy od 4 i mniejszy od 12; b) podzielny przez 4 lub przez 6; c) podzielny przez 5 i niepodzielny przez 10.
52. Mamy 8 książek, wśród nich A i B. Ustawiamy je losowo na pustej półce. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że:
a) książki A i B będą stały obok siebie w dowolnym porządku; b) pomiędzy A i B będą stały tylko dwie inne książki.
53. Ze zbioru {1, 2, 3, …, 10} losujemy bez zwracania dwie liczby i od pierwszej odejmujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania różnicy większej od 2.
54. Ze zbioru {1, 2, 3, …, 9} losujemy bez zwracania 3 liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ich suma jest
liczbą parzystą.
55. Sześciu pasażerów A, B, C, D, E, F wsiada do tramwaju złożonego z trzech wagonów. Każdy losowo wybiera wagon.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że: a) wszyscy wsiądą do jednego wagonu; b) pasażerowie znajdą się tylko
w dwóch wagonach.
56. W pudełku jest 15 losów, w tym 5 wygrywających. Wyciągamy jednocześnie 4 losy. Oblicz prawdopodobieństwo
wylosowania: a) dwóch losów wygrywających; b) co najmniej jednego losu wygrywającego.
57. W pudełku jest 10 losów, wśród których jeden daje wygraną 30 zł, cztery dają wygraną po 10 zł każdy, a pozostałe
są puste. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupując jednocześnie trzy losy, wygramy 30 zł.
58. Student umie odpowiedzieć na 30 pytań spośród 45 zamieszczonych w zestawie egzaminacyjnym. Losuje cztery
pytania. Jeśli odpowie na 4 pytania otrzyma ocenę bdb., jeśli na 3 pytania – db., jeśli na 2 pytania – dst. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania: a) oceny bdb.; b) oceny co najmniej dst.
59. Siedem ponumerowanych kul umieszczono losowo w siedmiu ponumerowanych szufladach (w jednej szufladzie
może znajdować się więcej niż jedna kula). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że: a) każda kula trafi do innej
szuflady; b) przynajmniej dwie kule trafią do tej samej szuflady.
60. W pudełku znajdują się piłki niebieskie i piłki czerwone, przy czym niebieskich jest o 5 więcej niż czerwonych. Prawdopodobieństwo wylosowania jednej piłki czerwonej jest równe ;. Ile jest piłek niebieskich w tym pudełku?
61. W klasie jest o 4 chłopców więcej niż dziewcząt. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest dziewczynką,
jest równe
. Oblicz, ile osób jest w klasie.
<
62. W urnie znajduje się 6 kul żółtych i pewna liczba kul zielonych. Ile, co najwyżej kul zielonych jest w urnie, jeśli prawdopodobieństwo wylosowania kuli żółtej jest większe od ?
63. W pudełku z maskotkami są misie i pieski, przy czym misiów jest 3 razy więcej niż piesków. Wybieramy losowo kolejno bez zwracania dwie maskotki. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że za pierwszym razem wylosowaliśmy misia,
a za drugim razem pieska, wynosi
. Oblicz, ile piesków i ile misiów było w pudełku.
<
64. W klasie liczącej mniej niż 30 osób, jest 15 dziewcząt i pewna liczba chłopców. Wybieramy losowo dwuosobową
delegację. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wybranych osób jest jedna dziewczynka i jeden chłopiec jest
równe . Ilu jest chłopców w tej klasie?
65. W urnie jest pewna liczba kul białych i pewna liczba kul czarnych – razem 9 kul. Ile jest kul białych w urnie, jeśli wiadomo, że przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul, prawdopodobieństwo otrzymania kul tego samego koloru jest
równe otrzymaniu kul różnych kolorów?
66. W urnie jest pewna liczba kul białych i jedna kula czarna. Losujemy jedną kulę i zatrzymujemy ją, a następnie z pozostałych losujemy jedna kulę. Ile powinno być kul białych w urnie, aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch
kul białych było równe ?
67. W rzucie niesymetryczną monetą prawdopodobieństwo otrzymania orła jest równe 1/3. Doświadczenie losowe
polega na dwukrotnym rzucie tą monetą. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia: a) dwóch orłów; b) dwóch reszek; c) co najmniej jednego orła.
68. Dwie ścianki symetrycznej sześciennej kostki są białe, dwie są czerwone, jedna jest zielona i jedna ścianka jest niebieska. W drugiej symetrycznej sześciennej kostce trzy ścianki są białe, jedna jest niebieska, jedna zielona i jedna
czerwona. Doświadcz zenie losowe polega na jednokrotnym rzucie jedną i drugą kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że: a) wypadną dwie ścianki białe; b) wypadnie ścianka biała i ścianka czerwona; c) wypadną ścianki
w tym samym kolorze.
69. W rzucie niesymetryczną sześcienną kostką, ścianki z dwoma oczkami i z sześcioma oczkami wypadają częściej, niż
każda z pozostałych ścianek. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie tą kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) dwa razy wypadnie ścianka z dwoma oczkami; b) dwa razy wypadnie ścianka z taką samą
liczba oczek; c) suma liczby oczek w dwóch rzutach będzie równa 8.
70. Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) co najmniej raz wypadł orzeł;
b) co najwyżej dwa razy wypadła reszka; c) orzeł wypadł dwa razy.
71. Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) za pierwszym razem wypadła parzysta liczba oczek, a za drugim razem liczba oczek podzielna przez 3; b) za pierwszym razem wypadła mniejsza liczba oczek niż za drugim razem; c) za drugim razem wypadła liczba oczek o dwa mniejsza niż za pierwszym.
72. Z talii 52 kart losujemy trzy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) co najmniej jedna karta jest pikiem; b) co
najwyżej jedna karta jest asem; c) żadna karta nie jest asem ani pikiem.
73. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, …, 100} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest:
a) większa od 47 i nie jest podzielna przez 5; b) podzielna przez 4 lub przez 10; c) nie większa niż 50 i nie mniejsza
niż 20; d) podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 12.
74. W urnie znajdują się 4 kule czerwone, 3 zielone i po jednej niebieskiej, żółtej i białej. Losujemy dwie kule. Oblicz
prawdopodobieństwo, że: a) co najmniej jedna kula jest czerwona; b) obie kule są różnych kolorów; c) wśród wylosowanych kul jest kula biała lub żółta.
75. Wielokąt wypukły ma n wierzchołków, spośród których losujemy dwa. Wyznacz n wiedząc, że prawdopodobieństwo
wylosowania wierzchołków wyznaczających przekątną tego wielokąta jest równe 0,9.
76. Kostka sześcienna została wykonana z jednorodnego materiału, ale na niektórych ściankach liczby oczek są takie
same. Wiadomo, że w jednokrotnym rzucie tą kostką prawdopodobieństwo otrzymania liczby oczek nie większej niż
3 wynosi <, a prawdopodobieństwo otrzymania liczby oczek nie mniejszej niż 3 jest równa .
a) Na ilu ściankach tej kostki są trzy oczka?
b) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania w jednokrotnym rzucie tą kostką liczby oczek większej niż 3.
77. Mamy dwie urny: w pierwszej jest 8 kul – 5 białych i trzy czerwone, w drugiej też jest 8 kul – 3 białe i 5 czerwonych.
Z każdej urny losujemy po jednej kuli.
a) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul w różnych kolorach;
b) Jak zmieniłoby się prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul w różnych kolorach w przypadku losowania kul
(bez zwracania) z jednej urny, w której jest 8 kul białych i 8 kul czerwonych? Odpowiedź uzasadnij.
78. W jednym pudełku znajdują się trzy kule z cyfrą 1 i jedna kula z cyfrą 3, a w drugim pudełku – cztery kule z cyfrą 2 i
jedna kula z cyfrą 5. Tworzymy liczbę dwucyfrową: wybieramy losowo jedną kulę z pierwszego pudełka – cyfra na
tej kuli jest cyfrą dziesiątek i jedną kulę z drugiego pudełka – cyfra na tej kuli jest cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: A – „utworzona liczba jest równa 15”; B – „utworzona liczba nie jest podzielna przez 3”; C –
„utworzona liczba jest parzysta lub mniejsza od 20”.
,
79. Wiedząc, że
80. Wiedząc, że
′
=
,
,
81. Wiedząc, że
∩
, oblicz: a .
∩
=
∩
∪
, oblicz: a .
, oblicz
∪
∪
,
∩
, oblicz
83. Wiedząc, że
,
∪
;
,
=
∪
, oblicz
\
.
∪
, oblicz
\
.
′
85. Wiedząc, że
′
,
86. Wiedząc, że
′
;
,
=
;
,
<
∩
∪
; c .
; b .
∩
∪
; c .
.
∪
.
.
oblicz: a .
∩
, oblicz
∩
.
82. Wiedząc, że
84. Wiedząc, że
; b .
; b .
\
; c .
\
.
∪ ′ .
Odpowiedzi: 11).nie; 12). ; ; ; 13). ; 14). ; 15).tak; 16).0,75; 0,35; 0,4; 17). ; 18). ; < ;19).nie; 21).0,02; 0,1; 0,28;
22).0,25; 0,08; 0,13; 23).0,13; 0,12; 0,2; 24). ; 25).0,1; 0,3; 0,7; 26). ; 27) ; 28). ; ; 29). ; 30).
=
33).0,167; 34).; > ?@A
41). = ;
∙9EE
F:
9HI
GJ:
; 42). ; 43).
==
;
59).
69). < ;
=
EF
EF
9EF
GJ:L ∙9GI:L<∙9GG:
=
< ;
;
9HI
GJ:
M 0,006;
< <
;
<
<
;
;
=
; 31). ; 32).
; ;= ; 36). ; < ; ; 37). < ; ; ; 38). ; ; ; 39). ; ;
; 44). ; 45). ; ; ; 46).
=
; 50).< ; ; ; 51). < ;
<; ;
< ;
; 70). < ;
Bł ; 35). = ; ;= ;
<
<
; 52). ;
; ;
=
;
; 47). ;
;
; 53). ; 54). ; 55).
<∙9EF
GG:
; 48).
;
<
9HI
GJ:
;
9HI
GJ:
=
; 56).; ;
;
9HI
GJ:
;
; ; ; 72).
;;
;
==
<
; < ; 73).0,42; 0,3; 0,31; 0,08; 74). ; ;
;
77). ;zwiększy się; 78).0,15; 0,25; 0,95; 79). ; ; ; 80). = ;
=
;
=
; 81). ; 82).
; 83). = ;
=
;
; 40). ; ; ;
; 49).1 K
; 57).<=; 58).
9EF
GJ:
9HI
GJ:
;
M 0,994; 60).7; 61).32; 62).4; 63).15m, 5p; 64).10; 65)3 lub 6; 66).5; 67).; ; ; ; ; ; 68).< ; ; ;
; ; 71).< ;
<
;
<
;
;
;
; 75).21; 76).2; < ;
; ; 84). ; 85). ; 86). = ;