Konspekt – ekonometria część 1, 2 i 3 grudnia 2006 - E-SGH

Konspekt – ekonometria część 1, 2 i 3 grudnia 2006 - E-SGH

Konspekt – ekonometria:
Weryfikacja modelu ekonometrycznego
Podręcznik: Ekonometria i badania operacyjne, red. nauk. Marek Gruszczyński, Maria
Podgórska, Tomasz Kuszewski (ale można czytać dowolny podręcznik do ekonometrii dla
studiów licencjackich).
Klasyfikacja modeli
Modele dzielimy na:
- jedno- i wielorównaniowe
- liniowe i nieliniowe
- statyczne i dynamiczne
- stochastyczne i deterministyczne
- przyczynowo-skutkowe i symptomatyczne
Dane wykorzystywane do estymacji modeli to:
- szeregi czasowe (PKB, notowania WIG20 itd.)
- dane przekrojowe (liczba zakładów przemysłowych danej branży w 16 województwach;
konsumpcja, dochód, liczba osób w gospodarstwie domowym dla 50 tys. gospodarstw objętych
badaniami ankietowymi, itp.).
Metoda najmniejszych kwadratów
Regresja liniowa:
Oceny parametrów otrzymujemy na podstawie znanych obserwacji zmiennych – objaśnianej
y i objaśniających xj na przykład metodą najmniejszych kwadratów:
,
gdzie
są to reszty modelu.
Oceny MNK minimalizują sumę kwadratów reszt.
TU INTERPRETACJA GRAFICZNA
ESTYMATOR MNK:
Założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów:
1) Macierz obserwacji zmiennych objaśniających jest nielosowa, ma pełny rząd
kolumnowy, a liczba obserwacji (= liczba wierszy) jest nie mniejsza niż liczba
szacowanych parametrów (= liczbie kolumn).
2) Składnik losowy ma stałą wartość oczekiwaną równą zeru.
3) Składnik losowy ma stałą, skończoną wariancję.
4) Składnik losowy nie wykazuje autokorelacji.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
2
Te warunki można wyrazić tak: macierz wariancji-kowariancji składnika losowego jest
macierzą skalarną, wyraz na głównej przekątnej jest równy .
Tw. Gaussa- Markowa:
Jeśli warunki 1)-4) są spełnione, estymator MNK jest najlepszym liniowym nieobciążonym
estymatorem.
Uwaga: składnik losowy jest nieobserwowalny, dlatego jako estymator wariancji składnika
losowego przyjmuje się wariancję resztową:
Estymator macierzy kowariancji składnika losowego:
Nieobciążony i zgodny estymator macierzy kowariancji estymatora MNK parametrów
modelu:
Pierwiastki kwadratowe elementów głównej przekątnej tej macierzy to średnie błędy szacunku
parametrów modelu.
Średnie względne błędy szacunku wyznaczamy dzieląc błędy szacunku przez oceny
odpowiednich parametrów. Średnie względne błędy nie powinny przekraczać 50%.
Interpretacja ocen parametrów:
Np. gdy zmienną objaśnianą jest poziom konsumpcji zagregowanej, zmienną objaśniającą jest
poziom dochodu, w tys. PLN. Ocena parametru dla zmiennej dochód mówi, o ile przeciętnie
wzrosną wydatki na konsumpcję dla danego gospodarstwa domowego, jeśli dochód wzrośnie o
1 tys. zł.
Dla modelu objaśniającego liczbę kupowanych w danym roku samochodów, z ceną benzyny,
kursem euro i ceną biletów PKS jako zmiennymi objaśniającymi: ocena parametru przy cenie
benzyny mówi, o ile przeciętnie tys. sztuk zmniejszy się liczba kupowanych w kraju
samochodów, jeśli cena benzyny wzrośnie o 1 zł, przy pozostałych czynnikach ustalonych.
W regresji konsumpcji zagregowanej względem dochodu do dyspozycji gospodarstw
domowych, wyraz wolny oznacza konsumpcję autonomiczną, ocena parametru przy dochodzie
oznacza krańcową skłonność do konsumpcji.
Prócz ocen parametrów wyznaczamy błędu szacunku: praktyczna reguła jest taka, że błędy
szacunku nie powinny przekraczać 50% wartości parametru.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
3
Współczynnik determinacji : w jakim stopniu zmienność zmiennej objaśnianej jest
wyjaśniana przez model.
Jest interpretowalny tylko wtedy, gdy model jest liniowy, ma wyraz wolny i jest oszacowany
metodą najmniejszych kwadratów.
Rośnie przy wzroście liczby zmiennych objaśniających (nawet jeśli nie są zbyt sensowne….)
Nie jest dobrym miernikiem jakości modelu.
Stosowany jest skorygowany współczynnik determinacji
, a dla modeli bez wyrazu
wolnego niescentrowany współczynnik determinacji.
Współliniowość zmiennych objaśniających
Jeśli kolumny macierzy X są liniowo zależne, nie istnieje macierz odwrotna do macierzy Grama
i nie można wyznaczyć estymatora MNK.
Kolumny obserwacji zmiennych mogą mieć zbliżone wartości, tzw. statystyczna lub
przybliżona współliniowość. Skutek: wyznacznik macierzy Grama jest bliski zeru –
komplikacje numeryczne, wysokie błędy szacunku itp.
Miernikiem współliniowości przybliżonej jest czynnik inflacji wariancji:
, dla parametru ,
gdzie
jest współczynnikiem determinacji modelu, w którym jako zmienna objaśniana
występuje Xj, a jako zmienne objaśniające – wszystkie pozostałe zmienne wyjściowego modelu.
Wartość >10 oznacza znaczne obniżenie jakości modelu.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
4
Weryfikacja hipotez
Hipoteza statystyczna: przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej, którego
prawdziwość oceniana jest na podstawie wyników próby losowej
Test statystyczny: reguła rozstrzygająca, jakie wyniki próby pozwalają uznać hipotezę za
prawdziwą, a jakie – za fałszywą
Hipoteza podlegająca weryfikacji nazywana jest hipotezą zerową (H0); jej zaprzeczenie –
hipotezą alternatywną (H1)
Hipotezę H1 uznaje się za prawdziwą w przypadku odrzucenia H0
Błąd 1. rodzaju polega na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa. Błąd 2. rodzaju
polega na nieodrzuceniu hipotezy zerowej, która w istocie jest fałszywa. Testy statystyczne
konstruuje się w ten sposób, aby przy przyjętym poziomie błędu 2. rodzaju zminimalizować
prawdopodobieństwo błędu 1. rodzaju.
Weryfikacja normalności rozkładu składnika losowego
Aby możliwe było wykorzystanie testów statystycznych do badania własności modelu
ekonometrycznego, trzeba przyjąć dodatkowe założenie o postaci rozkładu składnika losowego.
Test Jarque-Bera-Łomnickiego jest jednym z testów normalności badanego szeregu.
Wartość statystyki jest wyznaczana według wzoru:
JB= n
k
6
S2
3) 2 ,
(K
4
Gdzie n oznacza liczebność próby,
k – liczbę oszacowanych parametrów,
S – skośność,
K – kurtozę badanego szeregu.
Hipoteza zerowa testu zakłada normalność badanego szeregu.
Idea testu polega na porównaniu empirycznych momentów rozkładu badanego szeregu
z odpowiednimi momentami rozkładu normalnego. Statystyka testu przy założeniu
prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład o dwu stopniach swobody.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
5
Weryfikacja statystycznej istotności zmiennych
1) Test t-Studenta:
Hipoteza zerowa zakłada, że parametr przy zmiennej objaśniającej jest równy zeru, hipoteza
alternatywna – że jest różny od zera: H 0 : j 0, H 1 : j 0 .
Statystyka t Studenta jest równa ilorazowi oceny parametru przez błąd szacunku:
Porównujemy obliczoną wartość statystyki z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu
t Studenta dla przyjętego poziomu istotności (np.
) i dla odpowiedniej liczby stopni
swobody (która jest równa różnicy między liczbą obserwacji a liczbą szacowanych
parametrów):
df = n – (k+1) :
df = degrees of freedom,
gdzie: n– liczba obserwacji,
k – liczba zmiennych objaśniających,
k+1 – liczba parametrów strukturalnych modelu jeśli oprócz zmiennych objaśniających
występuje w nim wyraz wolny.
Jeśli obliczona wartość statystyki jest większa niż odpowiednia wartość krytyczna, hipotezę
zerową odrzucamy.
2) Uogólniony test Walda:
Test łącznej istotności całej grupy zmiennych objaśniających. Jedna z wersji: sprawdzamy
łączną istotność wszystkich zmiennych objaśniających, czyli dla modelu
yt
...
(1)
0
1 x1t
2 x2 t
k xkt
t
H0 : 1
...
0,
2
k
H 1 : niektóre z tych parametrów są niezerowe.
Statystyka testu Walda:
Jest wyznaczana na podstawie wartości współczynnika determinacji dla modelu (1):
R2 / k
F
(1 R 2 ) /[ n (k 1)]
ma rozkład F-Snedecora F(k, n–(k+1)).
Jeśli obliczona wartość statystyki F jest większa niż wartość krytyczna dla przyjętego poziomu
istotności i określonej liczby stopni swobody, to odrzucamy hipotezę zerową.
Druga wersja wzoru: niech e oznacza wektor reszt modelu pierwotnego, r – wektor reszt
modelu rozszerzonego, uzupełnionego o dodatkowe zmienne (jest ich m):
Jeśli obliczona wartość jest większa od wartości krytycznej, odrzucamy hipotezę zerową o
braku istotności dodatkowych zmiennych.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
6
Przykład: Oszacowano model na podstawie danych z przykładu 2.1 (Rozdział 2, str. 26-27,
Ekonometria, 2008). Model wyraża zależność między inflacją a bezrobociem: uogólniona
krzywa Phillipsa. SI – stopa inflacji, SB – stopa bezrobocia, OSI – oczekiwana stopa inflacji.
Wyniki estymacji:
Zmienna
Ocena
parametru
-4,2152
0,8874
0,6371
0,9538
Wyraz wolny
SB
OSI
0,9503
0,5323
7,3679
-21,2818
2,2348
Odchylenie reszt
Suma kwadratów reszt
Log likelihood
Statystyka DurbinaWatsona
Błąd szacunku
Statystyka t
Poziom
istotności
0,5208
-8,0937
0,072677
12,2096
0,036764
17,3289
Średnia arytmetyczna obserwacji
SI
Odchylenie standardowe SI
Kryterium informacyjne Akaike
Kryterium informacyjne Schwarza
Statystyka F testu Walda
Poziom istotności F
0,0000
0,0000
0,0000
5,7314
2,3876
1,6746
1,8161
268,6271
0,000000
Reszty tego modelu, wartości empiryczne i teoretyczne są pokazane na wykresie, obliczono
statystyki opisowe dla reszt i wyznaczono histogram rozkładu empirycznego.
Prócz wartości statystyki Jarque-Bera podano poziom istotności tego testu – niska wartość
prawdopodobieństwa sugeruje odrzucenie hipotezy zerowej, tzn. rozbieżność rozkładu
badanego szeregu od rozkładu normalnego.
8
7
7
Reszty modelu
7
Srednia
2,87E-17
Mediana
0,040570
Maksimum
1,757648
Minimum
-0,902716
Odch. st.
0,512971
Skosnosc
1,248856
Kurtoza
6,084330
Test Jarque-Bera 19,0332
Prawd.
0,000074
6
6
5
4
4
3
2
2
1
1
1
0
0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1
0
1.0
0
0
1.5
2.0
12
10
8
2
6
4
1
2
0
-1
5
Reszty
10
15
E m p iryczn e
20
25
Teoretyczn e
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
7
Testy specyfikacji modelu:
Test RESET Ramseya: bardzo ogólny test poprawności specyfikacji modelu.
Ma dwie wersje:
1) Do równania modelu wprowadza się dodatkowo kwadraty oraz iloczyny wszystkich par
zmiennych objaśniających. Hipoteza zerowa o poprawności postaci funkcyjnej oznacza,
że parametry przy wszystkich dodatkowych zmiennych są równe zeru.
Hipoteza alternatywna – że parametry są różne od zera, co oznacza, że postać funkcyjna
modelu nie została dobrze dobrana. Ta wersja wymaga dużej liczby obserwacji.
2) Do równania wprowadza się kwadraty i trzecie potęgi zmiennej objaśniającej. Hipoteza
zerowa oznacza, że parametry przy tych zmiennych są jednocześnie równe zeru. Jest
sprawdzana przy użyciu testu Walda łącznej istotności zmiennych.
Test Davidsona-McKinnona: porównujemy dwa modele (A) i (B), objaśniające tę samą
zmienną Y, ale różniące się zestawami zmiennych objaśniających. Po oszacowaniu modelu (A)
obliczamy wartość teoretyczną zmiennej YA i dołączamy ją do zestawu zmiennych
objaśniających w modelu (B). Jeśli YA okaże się nieistotna, model (B) uważamy za kompletny.
Następnie procedurę powtarzamy zamieniając kolejność modeli.
Wynik testu jest jednoznaczny, jeśli jeden z modeli okaże się kompletny, a drugi nie.
Wybór modelu na podstawie kryteriów informacyjnych
Kryteria informacyjne Akaike, Schwarza i in. polegają na minimalizacji wartości pewnego
wyrażenia, które zależy
1) od liczby parametrów modelu i liczby obserwacji oraz
2) od wariancji reszt.
Przy zwiększeniu liczby parametrów wartość kryterium rośnie, gdyż rośnie k/n, za to wariancja
resztowa maleje.
Przy zmniejszeniu liczby parametrów wariancja może wzrosnąć, gdyż rosną wartości
bezwzględne reszt, za to składnik k/n maleje.
Wybieramy taką liczbę parametrów, dla której kryterium osiąga wartość minimalną.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
8
Autokorelacja składnika losowego – statystyka Durbina-Watsona
Na podstawie reszt oszacowanego modelu można wyznaczyć oszacowanie współczynnika
korelacji składnika losowego, mianowicie współczynnik korelacji reszt i reszt opóźnionych
o 1 okres:
n
et et
ˆ
t 2
1/ 2
n
1
1/ 2
n
et2
et2 1
t 1
t 2
Do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji składnika losowego stosowana jest statystyka
Durbina-Watsona:
Współczynnik autokorelacji ma wartości z przedziału
z przedziału
.
–1 ... 0 ... 1
d 4 ... 2 ... 0
, więc wartości statystyki DW są
Uwaga: test Durbina-Watsona wolno stosować tylko dla modeli, w których nie występuje
opóźniona zmienna objaśniana. Zatem np. dla modeli autoregresji, ARMA itp. lepiej wybrać
inny test autokorelacji, albo wyznaczyć funkcję ACF (współczynniki korelacji reszt i reszt
opóźnionych,
, obliczane na podstawie definicji; można sprawdzić,
czy są istotne).
W naszym przykładzie modelu dla stopy inflacji, objaśnianej przez stopę bezrobocia
i oczekiwania inflacyjne, obliczona wartość statystyki Durbina-Watsona d = 2,235,
liczba obserwacji n =29, liczba zmiennych objaśniających= 2. Tablice wartości
krytycznych są na stronie www.kufel.torun.pl. W boczku tablicy podane są wartości n,
w główce – liczba zmiennych objaśniających k.
Testujemy hipotezę o braku autokorelacji przeciw hipotezie alternatywnej o występowaniu
autokorelacji dodatniej:
W tablicy rozkładu podano dwie wartości krytyczne, d L , dU .
d
dL
dL
d
dU
– H0 odrzucamy,
dU – nie podejmujemy decyzji,
d – nie ma podstaw do odrzucenia H0.
n=29, k = 2:
– nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
o braku autokorelacji.
Pamiętajmy jednak, że testowaliśmy ją przeciwko hipotezie o autokorelacji dodatniej!
Nie można wykluczyć możliwości wystąpienia autokorelacji ujemnej. Testujemy więc hipotezę
o braku autokorelacji przeciwko hipotezie alternatywnej o występowaniu autokorelacji ujemnej:
d
4 dU
d
4
dL
d 4 dL
– H0 odrzucamy,
– nie podejmujemy decyzji,
4 dU
W naszym przykładzie: d <
– nie ma podstaw do odrzucenia H0.
= 4–1,563=2,4369, więc nie ma podstaw do odrzucenia H0.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
9
Heteroskedastyczność składnika losowego
H0: wariancja składnika losowego jest stała
H1: wariancja składnika losowego nie jest stała (składnik jest heteroskedastyczny)
Estymator MNK modelu, w którym składnik losowy jest heteroskedastyczny, jest nieobciążony,
liniowy i zgodny, ale nie jest najefektywniejszy w klasie liniowych nieobciążonych
estymatorów.
Test White’a jest testem asymptotycznym. Procedura jest dwustopniowa: w drugim etapie
szacujemy równanie modelu zawierające dodatkowo kwadraty zmiennych objaśniających oraz
iloczyny par zmiennych objaśniających. Zmienną objaśnianą są kwadraty reszt wyjściowego
modelu. Dla dostatecznie dużej liczby stopni swobody statystyka testu White’a ma rozkład
o liczbie stopni swobody równej liczbie zmiennych objaśniających równania testowego.
Jeśli obliczona wartość statystyki jest większa niż wartość krytyczna z tablic rozkładu ,
to hipotezę zerową o stałości wariancji składnika losowego należy odrzucić.
W gretl mamy również inne warianty testów heteroskedastyczności oraz autokorelacji (test
Breuscha-Pagana); może się zdarzyć, że ten drugi wariant testu udziela zdecydowanej
odpowiedzi o występowaniu heteroskedastyczności lub jej braku, podczas gdy statystyka testu
White’a ma empiryczny poziom istotności np. 0,07 (czyli praktycznie zostawia decyzję do
naszego uznania).
Co zrobić jeśli występuje heteroskedastyczność?
1) Można zastosować inną metodę estymacji – ważoną MNK.
2) Można skorygować estymator macierzy kowariancji estymatora – np. zastosować
estymator asymptotycznej macierzy kowariancji, wprowadzony przez Neweya i Westa,
tzw. estymator HAC – Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Estimator.
Przykład 3.5 str. 87 w podręczniku: statystyki t Studenta wyznaczone na podstawie HAC są
mniejsze co do modułu niż wyznaczone wg zwykłych wzorów. Gdybyśmy zastosowali
typowy wzór na błędy szacunku parametrów, wyciągnęlibyśmy zbyt optymistyczne wnioski
co do istotności zmiennych!
Schemat weryfikacji modelu ekonometrycznego
Podręcznik: str. 90-91.
Model oszacowany na podstawie szeregów czasowych:
1) Analiza graficzna zmiennych
2) Test niestacjonarności zmiennych – ustalenie stopnia integracji.
3) Wstępna specyfikacja modelu: sformułowanie oczekiwań co do oszacowań parametrów,
wyznaczenie statystyk opisowych.
4) Test postaci funkcyjnej modelu i pominiętych zmiennych; ewentualnie korekta postaci
funkcyjnej, dodanie zmiennej czasowej, modyfikacja zestawu zmiennych objaśniających.
5) Testy własności składnika losowego (autokorelacja, heteroskedastyczność; normalność).
6) Sprawdzenie stopnia współliniowości zmiennych.
7) Ostateczna decyzja co do postaci funkcyjnej modelu, zestawu zmiennych objaśniających i
metody estymacji.
8) Interpretacja współczynnika determinacji.
9) Wyznaczenie i interpretacja względnych błędów szacunku.
10) Testy istotności zmiennych objaśniających.
11) Analiza dynamiki modelu: sprawdzanie równowagi długookresowej, kierunku
przyczynowości między zmiennymi.
12) Wyznaczenie prognozy wewnątrz próby, ocena prognostycznej jakości modelu.
13) Podsumowanie: ogólna ocena jakości modelu.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
10
Model oszacowany na podstawie danych przekrojowych:
1) Analiza graficzna zmiennych
2) Wstępna specyfikacja modelu. Sformułowanie oczekiwań nt. znaków ocen parametrów,
wyznaczenie i interpretacja statystyk opisowych.
3) Test postaci funkcyjnej i pominiętych zmiennych, ewentualna korekta postaci modelu.
4) Testy własności składnika losowego, test heteroskedastyczności, normalności.
(Uwaga: Autokorelacja jest zdefiniowana dla danych przekrojowych, ale w inny sposób niż
dla szeregów czasowych.)
5) Sprawdzenie stopnia współliniowości zmiennych objaśniających.
6) Ostateczna decyzja co do postaci funkcyjnej modelu, zestawu zmiennych objaśniających,
metody estymacji.
7) Estymacja modelu i interpretacja ocen parametrów.
8) Interpretacja współczynnika determinacji.
9) Testy istotności zmiennych objaśniających, podzbioru zmiennych objaśniających.
10) Wyznaczenie i interpretacja względnych błędów szacunku.
11) Podsumowanie, ogólna ocena jakości modelu.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
11
Prognozowanie
Oszacowano powtórnie ten sam model na podstawie 20 obserwacji, wyznaczono prognozy
zmiennej SI:
Liczba obserwacji: 20
Zmienna
Błąd
Ocena
Statystyka t Poziom istotności
Wyraz wolny -3,948894 0,823946 -4,792663
SB
0,883444 0,093933 9,405026
OSI
0,608922 0,055037 11,06392
R2
0,0002
0,0000
0,0000
0,919784
14
12
Prognoza zmiennej SI
Prognoza dla: 1 29
10
RMSE
Mean Absolute Error, MAE
MAPE
Wspolczynnik Theila
- blad obciazenia
- blad wariancji
- kowariancji
8
6
4
2
0,514787
0,370761
7,418234
0,041497
0,018359
0,057450
0,924191
0
5
10
15
20
25
Prognoza
Dla modelu wyznaczono następujące błędy prognoz i mierniki dokładności dla horyzontu
prognozy h:
1) Pierwiastek błędu średniokwadratowego
2) Średni błąd absolutny
T h
RMSE =
t T
( yt
1
yˆt )2 / h
T h
MAE
| yt
=
yˆt | / h
t T 1
3) Średni absolutny błąd procentowy
T h
MAPE = 100
t T 1
yˆt
yt
yt
4) Współczynnik rozbieżności Theila
T h
/h
( yt
yˆt ) 2 / h
t T 1
T h
yˆt2 / h
t T 1
T h
yt2 / h
t T 1
Współczynnik rozbieżności Theila jest miernikiem unormowanym, przyjmującym wartości
z przedziału 0, 1 Niskie wartości współczynnika oznaczają dużą dokładność prognoz. Można
.
wyróżnić trzy składowe współczynnika rozbieżności, odpowiadające przyczynom błędów
prognozy:
1) obciążenie prognozy – gdy wartość oczekiwana prognozy odbiega od wartości zmiennej
prognozowanej;
2) wariancja – na ile model dobrze odwzorowuje wariancję zmiennej prognozowanej;
3) kowariancja – błędy prognoz spowodowane innymi przyczynami niż obciążenie i błędy
wariancji.
Konspekt – Powtórzenie materiału nt. weryfikacji modeli ekonometrycznych
12
Przykładowe zadanie z weryfikacji
Na podstawie obserwacji rocznych z lat 1960-1979 oszacowano następujący jednorównaniowy
model ekonometryczny:
yˆ t
18 0,4 yt
1
0,2 yt
2
12xt
2 xt
1
(9) (0,3)
(0,1)
(2) (0,9)
Gdzie
y – oznacza liczbę świń w zagrodach Węgier w 10 tys. sztuk,
x – oznacza produkcję wieprzowiny w setkach ton.
Pod równaniem podane są średnie błędy szacunku odpowiednich parametrów. Składnik losowy
ma rozkład normalny. Przyjąć liczebność próby równą liczbie lat w badanym okresie.
Które z podanych stwierdzeń są prawdziwe, a które fałszywe? Odpowiedź uzasadnić.
a) Przy poziomie istotności
= 0,1 wpływ opóźnionej produkcji wieprzowiny na ilość świń
jest istotny, zaś przy poziomie istotności
= 0,02 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
o nieistotności wpływu.
b) Przy poziomie istotności
=0,01 nieopóźniona produkcja wieprzowiny ma istotny wpływ
na zmienną objaśnianą.
c) Przy poziomie istotności
= 0,02 opóźniona i nieopóźniona produkcja wieprzowiny ma
wpływ na liczbę świń (zweryfikować hipotezę oddzielnie dla każdego parametru).
d) Przy poziomie istotności =0,05 można uznać, że w modelu nie występuje wyraz wolny.
e) Po wyeliminowaniu z modelu opóźnionej zmiennej endogenicznej oszacowano powtórnie
model i obliczono statystykę Durbina-Watsona = 3,05. Można wnioskować, że w nowym
modelu (przyjmując
0,05) występuje autokorelacja składnika losowego.