Zestaw 8 - Instytut Matematyki UJ

Zestaw 8
Zad. 1 A powiedział, że B powiedział, że C powiedział, że D skłamał. Jakie jest prawdopodobieństwo, że D skłamał, jeśli każdy z nich zwykł mówić prawdę z prawdopodobieństwem
p, gdzie 0 < p < 1.
Zad. 2 Na rozstaju dróg, z których jedna prowadzi do miasteczka A, zaś druga do B,
stoją dwaj bracia bliźniacy. Jeden z nich mówi prawdę z prawdopodobieństwem p, a drugi z
prawdopodobieństwem q, przy czym p > q. Nie wiemy, który z nich jest bardziej prawdomówny.
Pytamy braci, która droga prowadzi do miasta A. ”Ta w lewo” - odpowiada jeden z nich. ”Czy
twój brat mówi prawdę?” - pytamy drugiego. ”Tak” - odpowiada drugi z braci. W którą stronę
należy pójść do A: w prawo, czy w lewo?
Zad. 3 Dwaj skłóceni skoczkowie narciarscy Nahawald i Mschit rywalizowalize sobą o mistrzostwo Regmanii. Zwykle w ich pojedynkach zwyciężał dwa na trzy razy Nahawald. Postanowił on jednak poprawić jeszcze bardziej swoje szanse dosypując Mschitowi do piwa środek
dopingujący. Zwiększał on co prawda prawdopdoobieństwo zwycięstwa Mschita nad Nahawaldem do 23 , ale jeżeli sędzioweie odkryliby w organizmie Mschita doping, to zostałby on zdyskwalifikowany, a mistrzostwo Regmanii przypadłoby w udziale Nahawaldowi. Szansa, że Mschit
wypije piwo wynosiła 50%, zaś prawdopodobieństwo wykrycia śladów dopingu u zawodnika,
który z niego korzysta jest równe 80%. Mschit nie pozostał dłużny swojemu koledze i powiesił
we wspólnej szatni zdjęcie jego największego rywala - Łamysza, zawodnika z Loponii. Jeżeliby
znany ze słabej psychiki Nahawald zobaczył zdjęcie Łamysza (a prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosiło 12 ), to z całą pewnością przegrałby z Mschitem. Po zawodach okazało się, że
mistrzem Regmanii został Mschit. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypił on piwo?
Zad. 4 Trwają Zimowe Igrzyska Olimpijskie - Zakopane 2010. Odbywa się druga kolejka
skoków na Bardzo Dużej Krokwi (K-150 po najnowszej przebudowie). Weteran polskich skoków
Adam Małysz pragnie dołączyć do swojej kolekcji trzeci medal olimpijski. Po nieco słabszym
skoku w pierwszej serii, w drugiej serii leci nieprawdopodobnie daleko... i ląduje na 166 metrze.
Lot był niemal idealny, ale lądowanie nieco zachwiane i każdy z sędziów waha się długo, czy za
skok przyznać 18, 18,5 czy 19 punktów. Aby zdobyć złoty medal Małysz musi przy tej odległości
dostać za styl co najmniej 56,6 punktu. Prawdopodobieństwo, że dany sędzia wybierze jedną
z trzech ocen wynosi 13 , zaś z pięciu ocen odrzuca się najniższą i najwyższą. Wreszcie wynik
ukazuje się na tablicy i wybucha entuzjazm zakopiańskiej publiczności - Małysz zdobywa swój
trzeci złoty medal. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej trzech sędziów oceniło skok
Małysza na 19 punktów?
Zad. 5 Adam i Ewa grają ze sobą w następującą grę. Rozgrywają ciąg partii, w których mają
równe szanse. Zwycięzca każdej z partii dostaje od pokonanego żeton. Adam ma na początku
m żetonów, Ewa n żetonów. Gra się kończy, gdy któreś z nich zostaje bez żetonów. Oblicz
prawdopodobieństwo wygranej Adama i Ewy. Zrób zadanie, gdy szansa wygranje Adama w
jednej partii wynosi p.
Zad. 6 W grudniu 1916 roku grupa rosyjskich arystokratów, na której czele stali ksiażę
Feliks Feliksowicz Jusupow i wielki książę Dymitr Pawłowicz, uznała, że ogromny wpływ, jaki
na carską rodzinę wywiera samozwańczy mnich Grzegorz Jefimowicz Rasputin, stanowi zagrożenie dla dalszej egzystencji imperium. Postanowili oni za wszelką cenę zgładzić Rasputina,
zaś termin akcji wyznaczyli na noc z 17 na 18 grudnia. Wiedzieli, że mnich ma w zwyczaju
przed udaniem się na spoczynek wypijać z prawdopodobieństwem 23 butelkę czerwonego wina.
Spiskowcy uznali, ze Dymitr Pawłowicz spróbuje zatruć wino cyjankiem potasu dostarczonym
przez deputowanego do Dumy z ramienia partii kadetów Wasyla Makłakowa. Szansę, że uda mu
się to uczynić, ocenili na 50%. Gdyby podanie trucizny nie powiodło się, ale Rasputin wypiłby
wino, wielki książę miał go spróbować zastrzelić strzałem z rewolweru. W obu przypadkach
zwłoki miały być wrzucone do Newy. Ustalili ponadto, ze gdyby Rasputin nie wypiłby wina, to
nie będą ryzykować strzału, tylko Jusupow wraz z innym deputowanym do Dumy, monarchistą
Wlodzimierzem Puryszkiewiczem, zwabią go nad brzeg Newy, ogłuszą i wepchną do wody. Rasputin, człowiek legendarnej tężyzny fizycznej, miał szansę przeżyć każdy z zamachów na swoje
życie, lecz wiadomo, że prawdopodobieństwa śmierci od trucizny, strzału z rewolweru oraz utopienia miały się do siebie, jak 3 : 2 : 1. Po trzech dniach zwłoki Rasputina wyłowiono z rzeki.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że utonął?
Zad. 7 Baltazar Kwantyl popadł w nie lada tarapaty, gdy zainteresował się nim Instytut
Braku Pamięci Sułtanatu Sestercji. Wyszło bowiem na jaw, że przez wiele lat nauczał matematyki bez obowiązkowego zezwolenia, tzw. licencia mathematica, wydawanego przez Kancelarię
Sułtana. Zgodnie z Kodeksem Praw Sestercji czeka go teraz 24-godzinny sąd probabilistyczny.
Odkąd Sułtan zreformowal sądownictwo (podkreślają, że za młodu Sułtan studiował probablilistyke w zimnych krajach), każdy taki proces jest błyskawiczny: ustawia się przed oskarżonym
dwie urny: seledynową i karminową, a w każdej z nich znajduje się po pięć kul. Każda z kul
może być albo biała, albo czarna, zaś oskarżony musi wylosować dwa razy po jednej kuli, przy
czym po pierwszym losowaniu musi ją wrzucić do tej samej urny, z której ją wyciągnął. Losować kule podsądny może według własnego wyboru: albo dwa razy z tej samej urny (seledynowej
lub karminowej), albo też z dwóch różnych w dowolnej kolejności. Jeżeli oskarżony wyciągnie
choć jedną kulę białą, wina zostaje mu darowana, jeżeli jednak wyciągnie dwie czarne - spotyka go surowa kara i udaje się na wygnanie. Sułtan ogłasza, jakie dwa zestawy kul wybrał i z
jakim prawodpodobieństwem każdy z nich znajduje się w danej urnie, a następnie pozostawia
oskarżonemu dobę na namysł i podjęcie decyzji, jak losować kule.
Baltazar dowiedział się, że w jednej z urn są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej 5 kul
czarnych oraz że z prawdopodobieństwem 23 urna karminowa zawiera tylko kule czarne. Zdaje
sobie sprawę, że ma niemałe szanse uniknięcia zesłania na kilka lat do zimnej Bruxlandii i
nie zamierza się poddawać. Przez całą noc zastanawiał się tylko, czy to dobry pomysł zacząć
losowanie od urny seledynowej i co zrobić, jeśli pierwsza kula będzie czarna. Teraz już wie :).
a) Jaka strategię losowania powinien obrać Baltazar Kwantyl, aby zmaksymalizować swoje
szanse na wyciągnięcie kuli białej?
b) Jakie jest prawodpodobieństwo, że zostanie uniewninniony, jeżeli zastosuje właśnie tę
strategię?
2