Zestaw SM4

Zestaw SM4
1. Cena pewnego wyrobu jest różna w zależności od punktu sprzedaży. Przyjęto, że cena w
wybranym punkcie sprzedaży jest zmienną o rozkładzie w przybliżeniu normalnym. Po obliczeniu średniej i wariancji z 15 wylosowanych punktów sprzedaży otrzymano następujące
__
wyniki: X = 2,5 , S 2 = 1,8 . Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że waha-
nia ceny (mierzone wariancją) są równe 1 przeciw hipotezie, że są większe od 1.
2. W celu sprawdzenia, czy po dokonaniu usprawnienia w silniku samochodowym zmalało
zużycie paliwa, przeprowadzono jazdy próbne i otrzymano następujące wyniki:
przed usprawnieniem: 5,7; 6,5; 5,5; 5,0; 6,1; 6,2; 5,9 (litrów na 100km),
po usprawnieniu: 4,9; 5,0; 4,7; 5,0; 5,0; 4,0 (litrów na 100km).
Załóżmy, że zużycia paliwa są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych
o różnych wariancjach. Na poziomie istotności α = 0,1 zweryfikować hipotezę o jednakowym
średnim zużyciu paliwa przed i po zmianie, przeciwko hipotezie mówiącej o mniejszym zużyciu paliwa po przeróbkach.
3. Przetestować równość wariancji średniego zużycia paliwa przed i po usprawnieniu dla
danych z zadania 2.
4. W pliku Ilorazy_zadanie_SM3.4 znajdują się wartości ilorazu inteligencji otrzymane
przez przebadanie losowej próby studentek i studentów ekonomii. Przyjmując, że iloraz inteligencji ma w przybliżeniu rozkład normalny spróbuj się odnieść do opinii na temat różnic w
inteligencji w zależności od płci.
5. W Wyższej Szkole Czegoś Tam stwierdzono, że wyniki nauczania są niezadowalające i że
przyczyną tego jest zbyt duża absencja i spóźnienia na zajęcia. Studenci wyrazili opinie, że
przyczyny muszą być inne, gdyż średni procent nieobecnych i spóźnionych nie przekracza 10.
W celu zweryfikowania hipotezy, ze średni procent m nieobecnych i spóźnionych jest równy
10, wybrano losowo 50 zajęć, skontrolowano na nich procent nieobecności i spóźnień.
Otrzymano średnią z próby 11,5 i wariancję z próby S 2 = 9 . Czy otrzymane wyniki przeczą
hipotezie m = 10 przy poziomie istotności α = 0,02 ?
6. Skonstruować test do weryfikacji hipotez dotyczących wskaźnika struktury w przypadku
licznej próby (n ≥ 100) . Model: Badana cecha ma w populacji rozkład dwupunktowy zerojedynkowy z nieznanym parametrem θ . Hipoteza zerowa: H 0 : θ = θ 0 .
Uwaga: Wykorzystać rozwiązanie zadania SM3.16.
7. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
θ xθ −1
fθ ( x) = 
 0
gdy
x ∈ (0,1)
gdy
x ∉ (0,1),
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Postawiono hipotezę H 0 : θ = 1 przeciw hipotezie
H 1 : θ = 2 . Ustalono liczbę 0 < c < 1 . Hipotezę H 0 należy odrzucić, jeśli X > c , w przeciw-
nym razie hipotezę H 0 należy przyjąć. Obliczyć a) prawdopodobieństwa błędów pierwszego
i drugiego rodzaju, b) moc testu, c) wartość c, przy której suma prawdopodobieństw błędów
jest najmniejsza.
8. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
1

fθ ( x) = θ
 0
gdy
x ∈ (0,θ )
gdy x ∉ (0,θ ),
gdzie θ jest nieznanym parametrem. Niech c będzie ustaloną liczbą dodatnią. Test polega na
tym, że jeżeli X ≥ c , to należy przyjąć hipotezę H 0 : θ = 4 , a gdy X < c należy przyjąć hipotezę H 1 : θ = 2 . Obliczyć a) prawdopodobieństwa błędów pierwszego i drugiego rodzaju, b)
moc testu.
9. W pudełku jest 5 losów. Postawiono hipotezę H 0 , że wśród nich są cztery losy pełne
przeciw hipotezie H 1 , że są dwa losy pełne. Test polega na tym, że losowano (bez zwrotu)
dwa losy. Jeśli oba są pełne, to należy przyjąć H 0 , w przeciwnym przypadku należy przyjąć
hipotezę H 1 . A) Obliczyć prawdopodobieństwa błędów pierwszego i drugiego rodzaju w opisanym teście. B) Wyznaczyć moc tego testu w przypadku każdej hipotezy alternatywnej postaci: H 1 : w pudełku jest θ pełnych losów.
10. W pliku Portfele_zadanie_SM4.10 podano dziennie stopy zwrotu z dwóch portfeli inwestycyjnych. Czy można na podstawie tych danych z przekonaniem postawić tezę, że wyższa
oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji związana jest z większym ryzykiem? Zaproponuj odpowiednie badanie.
11. 155 banków prowadzi poważne międzynarodowe transakcje. Agencja ratingowa zapewnia, że 35% tych banków dysponuje aktywami o wartości ponad 10 mld $. W dobie kryzysu,
na skutek spadku zaufania do firm ratingowych, poproszono inną niezależną agencję o
sprawdzenie tego zapewnienia. Pracownicy tej agencji pobrali próbę losową złożoną z 50
spośród tych 155 banków i znaleźli 15 banków dysponujących aktywami powyżej 10 mld $.
Czy zapewnienie pierwszej agencji może być odrzucone?
12. Uważa się, że jeżeli wariancja czasu oczekiwania (który ma w przybliżeniu rozkład
normalny) przed okienkiem w banku przekracza 1,5 (minut do kwadratu), to system obsługi
wymaga zmian. Te zmiany mogą iść w różnych kierunkach: zwiększenie liczby okienek,
przeszkolenie lub zmiana personelu w okienkach itp. Bank regularnie sprawdza, czy
wariancja czasu oczekiwania przed okienkiem nie przekracza dopuszczalnego poziomu. W
wyniku pobrania losowej próby czasów oczekiwania klientów otrzymano wariancję równą
1,8 (minut do kwadratu). Przeprowadź test, podaj przybliżoną wartość p i sformułuj wnioski.
13. Dla porównania jakości przędzy produkowanej w dwóch fabrykach sprawdzono wytrzy__
małość na zerwanie dwóch 40-elementowych próbek i uzyskano X = 4,8 kG/mm2 oraz
__
X = 5,1 kG/mm2. Na podstawie poprzednich badań założono, że odchylenia standardowe w
populacjach wynoszą σ 1 = 0,23 kG/mm2 σ 2 = 0,64 kG/mm2. Czy uzyskane wyniki uzasadniają hipotezę, że wytrzymałość przędzy produkowanej w drugiej fabryce jest większa? Przyjąć poziom istotności α = 0,05 . Jakie założenie trzeba przyjąć?
14. W trakcie poszukiwania horkruksów Harry Potter , Hermiona Granger i Ron Weasley
przez długi czas prowadzili koczowniczy tryb życia. W tym okresie często dochodziło między
nimi do kłótni związanych ze zdobywaniem i przygotowywaniem jedzenia (jak wiadomo,
jedzenia nie można wyczarować z niczego). Hermiona twierdzi, że ona przygotowała dokładnie połowę posiłków, a Ron mniej niż 15 %. Ron zgadza się, że gotował mniej niż Hermiona,
ale jest przekonany, że 15% posiłków przygotował na pewno. Dziennik z ich podróży uległ
zniszczeniu w trakcie przyjęcia po zwycięstwie nad Voldemortem. Uratowały się jednak kawałki kartek i szczątkowe zapiski. W pliku HarryPotter_zadanie_SM4.14 znajdują się dane
dotyczące zachowanych informacji na temat 120 posiłków. Przeprowadź test, który pozwoli
na ocenę prawdziwości twierdzeń Hermiony i Rona.
15. Dla 7 wybranych losowo roślin chmielu wykonano następujące doświadczenie. Zapylono
jedną połowę każdej rośliny, druga połowa została natomiast niezapylona. Plon nasion chmielu przedstawiono w tabeli
Nr rośliny
Masa
zapylona
1
2
3
4
5
6
7
0,78 0,7 0,43 0,92 0,86 0,59 0,68
nasion niezapylona 0,21 0,12 0,32 0,29 0,30 0,20 0,14
Czy na 5% poziomie istotności można uznać, że zapylona część rośliny daje wyższy plon niż
niezapylona? Jakie założenie trzeba przyjąć?