Wykład 10 Grafy dwudzielne

Wykład 10
Definicja. Niech u,v∈V(G) i uv∉E(G). Zbiór A⊆V(G) nazywamy zbiorem u-v oddzielającym w G
wtedy o tylko wtedy gdy u i v naleŜą do róŜnych składowych grafu G-A.
Twierdzenie. (Menger 1927).
Jeśli każdy u-v oddzielający zbiór S w grafie G ma co najmniej k wierzchołków to w G istnieje (co
najmniej) k wewnętrznie wierzchołkowo rozłącznych u-v dróg.
Dość skomplikowany dowód pomijamy.
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe charakteryzacja grafów dwuspójnych podana w poprzednim twierdzeniu jest
szczególnym przypadkiem tw. Mengera (dla k=2). Stosunkowo nowy dowód twierdzenia Mengera
podany przez McCuaig’a w 1984 jest wypasioną wersją dowodu tej charakteryzacji.
Wniosek. (Oryginalne sformułowanie tw. Mengera)
Maksymalna liczba wewnętrznie rozłącznych u-v dróg w G jest równa minimalnej liczności u-v
oddzielającego zbioru w G.
Grafy dwudzielne
Definicja.
Zbiór wierzchołków S grafu G nazywamy
pokrywającym wtedy i tylko wtedy gdy kaŜda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w S
niezaleŜnym wtedy i tylko wtedy Ŝadne dwa wierzchołki z S nie są połączone krawędzią w G.
Definicja.
Zbiór krawędzi D grafu G nazywamy
pokrywającym wtedy i tylko wtedy gdy kaŜdy wierzchołek grafu G naleŜy do którejś krawędzi z D
niezaleŜnym wtedy i tylko wtedy gdy krawędzie z D są parami rozłączne.
Definicja.
Graf G=(V,E) nazywamy dwudzielnym wtedy i tylko wtedy gdy istnieje podział zbioru V(G) na dwa
zbiory niezaleŜne. Zbiory te nazywamy „klasami dwudzielności”
Przykłady
KaŜde drzewo jest grafem dwudzielnym. KaŜdy cykl prosty długości parzystej jest grafem
dwudzielnym, a cykl długości nieparzystej nie jest.
Definicja.
Skojarzeniem doskonałym w grafie G nazywamy niezaleŜny zbiór krawędzi liczności
| V (G ) |
.
2
Twierdzenie. (O maksymalnym skojarzeniu w grafie dwudzielnym, Koenig, 1931).
G jest grafem dwudzielnym. Wówczas maksymalna liczność niezaleŜnego zbioru krawędzi jest równa
minimalnej liczności pokrywającego zbioru wierzchołków.
Dowód.
Oznaczmy przez k maksymalną liczność niezaleŜnego zbioru krawędzi, a przez m minimalną liczność
pokrywającego zbioru wierzchołków.
Z oczywistych powodów m≥k.
Niech W i U będą klasami dwudzielności G. Dodajmy do G dwa nowe wierzchołki, w – sąsiadujący z
wszystkimi wierzchołkami z W i u – sąsiadujący z wszystkimi wierzchołkami zbioru U. Otrzymany
graf nazwijmy G*. Jasne jest, Ŝe kaŜdy zbiór wierzchołków pokrywający G jest u-w oddzielającym
zbiorem w G* więc, na mocy tw. Mengera, w G* istnieje m wewnętrznie rozłącznych u-w dróg
prostych. Wybierając z kaŜdej z nich jedną krawędź rozłączną z {u,v} otrzymujemy niezaleŜny zbiór
krawędzi liczności m, stąd k≥m.
Niech M będzie macierzą nad Z2. Dwie jedynki macierzy M nazywamy niezaleŜnymi gdy leŜą w
róŜnych wierszach i kolumnach, zbiór linii (czyli wierszy i kolumn) macierzy nazywamy
pokrywającym gdy kaŜda jedynka macierzy naleŜy do którejś z linii tego zbioru.
Twierdzenie (O pokryciu jedynek w macierzy zerojedynkowej)
Minimalna liczba linii pokrywających wszystkie jedynki macierzy zerojedynkowej M jest równa
maksymalnej liczbie niezaleŜnych jedynek w M.
Dowód
Tworzymy graf dwudzielny G, którego wierzchołkami są wiersze i kolumny macierzy M, wiersz i-ty
sąsiaduje z kolumną j-tą gdy M(i,j)=1. Łatwo widać, Ŝe pokrywające zbiory linii w M to pokrywające
zbiory wierzchołków w G a zbiory niezaleŜnych jedynek w M odpowiadają niezaleŜnym zbiorom
krawędzi w G. Twierdzenie Koeniga daje Ŝądany wynik.
Udowodnimy teraz słynne twierdzenie małŜeńskie Philippa Hall’a z 1935 roku. Jest to jedno z
najczęściej cytowanych twierdzeń teorii grafów. Rozpoczniemy od udowodnienia jego wersji
zrównowaŜonej, udowodnionej implicite przez Frobeniusa w 1917 roku w pracy na temat
wyznaczników.
Twierdzenie (ZrównowaŜone twierdzenie małŜeńskie, Frobenius 1917)
G jest grafem dwudzielnym z klasami dwudzielności X i Y, przy czym |X|=|Y|. Wówczas:
G ma skojarzenie doskonałe wtedy i tylko wtedy, gdy
(*) dla kaŜdego podzbioru S⊆X mamy |S|≤|N(S)| (warunek Hall’a).
Dowód (Współczesny, powołuje się na późniejsze twierdzenie Koeniga a więc pośrednio na
twierdzenie Mengera)
(⇒) Oczywiste.
(⇐) Dowód przez zaprzeczenie. Przypuśćmy, Ŝe G nie ma skojarzenia doskonałego.
Istnieje zbiór pokrywający Bo:
W, taki Ŝe |W|<|X|.
Oznaczmy WX=W∩X i
WY=W∩Y.
|N(X-WX)|≤|WY|
Bo:
|WY|<|X|-|WX|
Bo:
|X|-|WX|=|X-WX|
Bo:
Koniec dowodu
Bo:
ZauwaŜmy, Ŝe tak naprawdę nigdzie w dowodzie twierdzenia Frobeniusa nie korzystaliśmy z faktu, Ŝe
|X|=|Y|. ZałoŜenie to było potrzebne jedynie do tego aby móc uŜyć terminu skojarzenie doskonałe.
MoŜemy więc podać twierdzenie ogólniejsze
Twierdzenie (Twierdzenie małŜeńskie, P. Hall, 1935)
G jest grafem dwudzielnym z klasami dwudzielności X i Y, przy czym |X|≤|Y|. Wówczas:
G ma niezaleŜny zbiór krawędzi liczności |X| wtedy i tylko wtedy, gdy
(*) dla kaŜdego podzbioru S⊆X mamy |S|≤|N(S)|
(warunek Hall’a).
Malownicza nazwa „twierdzenie małŜeńskie” pochodzi z następującego sformułowania twierdzenia
Hall’a:
Twierdzenie (Twierdzenie Halla o małŜeństwach).
Mamy zbiór panien na wydaniu X i zbiór kawalerów Y, kaŜda panna x ma zbiór upatrzonych
kandydatów na męŜa N(x).Panny ze zbioru X moŜna wydać za mąŜ za kawalerów ze zbioru Y tak, aby
kaŜda dostała upatrzonego męŜa wtedy i tylko wtedy gdy dla kaŜdego zbioru panien S liczba
kawalerów upatrzonych przez panny z S jest nie mniejsza niŜ |S|.
Twierdzenie Hall’a moŜemy teŜ zapisać następująco
Twierdzenie (Twierdzenie Hall’a o transwersali)
Niech X i Y będą zbiorami skończonymi i niech F będzie funkcją F:X→2X.
RóŜnowartościowa funkcja f:X→Y taka, Ŝe dla kaŜdego x, f(x)∈F(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
dla kaŜdego S⊆X mamy |S|≤
U F ( x) .
x∈S