tutaj
Transkrypt
tutaj
Zagadnienia na egzamin z przedmiotu Matematyka po I semestrze zaocznych studiów doktoranckich w Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH 1. Zbiór liczb wymiernych i rzeczywistych a) Relacja porządku w zbiorze liczb wymiernych i rzeczywistych. b) Aksjomat ciągłości (Archimedesa). c) Zupełność zbioru liczb rzeczywistych. d) Ciągi liczb rzeczywistych i ich granice - działania na granicach. e) Liczba e. 2. Szeregi liczb rzeczywistych a) Ciąg i szereg arytmetyczny, ciąg i szereg geometryczny, zastosowanie szeregu geometrycznego w schematach spłat kredytu. b) Szereg harmoniczny. 3. Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej a) Pojęcie funkcji - dziedzina, przeciwdziedzina, obraz, przeciwobraz, zbiór wartości. b) Złożenie funkcji, funkcja odwrotna. c) Własności funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej - monotoniczność, ciągłość. d) Wypukłość, nierówność Jensena. e) Funkcja eksponencjalna. 4. Różniczkowanie funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej a) Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie, pojęcie funkcji pochodnej. b) Pochodne funkcji elementarnych, pochodna funkcji uwikłanej i odwrotnej. c) Twierdzenie Lagrange’a. d) Zastosowanie pochodnych do badania monotonicznosci i wypukłości. 5. Wzór Taylora, szeregi potęgowe a) Pojęcie rzędu funkcji. b) Wielomiany Maclaurina i Taylora, przybliżanie funkcji w otoczeniu ustalonego punktu za pomocą wielomianów. c) Zastosowanie wielomianu Taylora w obliczeniach dotyczących rentowności obligacji. d) Wzór Taylora z resztą Lagrange’a. Szereg Taylora. e) Szeregi potegowe - promien zbieżności, różniczkowanie. 6. Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych rzeczywistych a) Wektory i działania na wektorach. Iloczyn skalarny i norma wektora. b) Metryka w przestrzeni R n . Zbieżność ciągów wektorowych w przestrzeni R n . c) Ciągłość i lipschitzowskość funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych. d) Zbiory otwarte i domknięte w przestrzeni R n . Zbiory zwarte. e) Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych. 7. Różniczkowanie funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych a) Definicja różniczkowalności funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych. b) Pochodne cząstkowe i gradient. c) Istnienie pochodnych cząstkowych i gradientu a różniczkowalność. 8. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji rzeczywistych wielu zmiennych rzeczywistych a) Lokalne przybliżanie funkcji wielu zmiennych za pomocą form liniowych i kwadratowych. Wzór Taylora. b) Warunek konieczny i wystarczajacy na istnienie ekstremum lokalnego. c) Badanie wypukłości. d) Kierunek największego i najmniejszego wzrostu funkcji. Poziomice. e) Ekstrema globalne i ekstrema warunkowe funkcji rzeczywistych wielu zmiennych rzeczywistych. 9. Całkowanie funkcji rzeczywistej o wartościach rzeczywistych i wektorowych a) Funkcja pierwotna, całka oznaczona o wartościach wektorowych. b) Całka Lebesgue’a, własności całki Lebesgue’a, związek z całką oznaczoną. c) Całka podwójna, zamiana zmiennych w całce podwójnej.