Unifikacja w logikach pośrednich z dodatkowymi nowymi spójnikami

Unifikacja w logikach pośrednich z dodatkowymi nowymi spójnikami.
(Unification in intermediate logics with new additional connectives.)
Typ unifikacji zależy istotnie od zestawu spójników. Np. zdaniowa logika
klasyczna ma typ unitarny, a po dodaniu spójnika konieczności z aksjomatem
K otrzymuje się normalną logikę modalną K (typ zerowy, E. Jerabek). Jeżeli
spójnik będzie spełniał aksjomaty T i 4 to dostajemy logikę S4, (typ
finitarny, por. S. Ghilardi), zaś gdy jeszcz euklidesowość - to logika S5 (typ
unitarny). Jeśli rozważać fragmenty (redukty) zdaniowej logiki
intuicjonistycznej INT, to fragmenty: implikacyjny, implikacyjnokoniunkcyjny oraz implikacyjno- koniunkcyjno-negacyjny mają typ unitarny (T.
Prucnal, A. Wroński), zaś fragment implikacyjno- negacyjny nie jest już typu
unitarnego (A. Wroński) lecz finitarnego, podobnie jak pełna logika INT (S.
Ghilardi).
Wielu autorów rozważało nowe dodatkowe spójniki w logice intuicjonistycznej
INT (por. Caicedo i Cignoli oraz L. Esakia). Przyjęto, że dodatkowe spójniki
dodawane do logiki pośredniej L, aby były naturalne i sensowne, powinny
być zgodne, tj. spełniać warunek zgodności (compatibility) ze wszystkimi
kongruencjami algebr z rozmaitości algebr Heytinga dla logiki L; ponadto nie
mogą być definiowalne przez pozostałe spójniki, (por. Caicedo i Cignoli).
Znane i badane przykłady spójników zgodnych to: następnik S, który w
łańcuchach działa jak następnik na liczbach naturalnych, S(x) = x +1,
operator gamma i operator Gabbaya G.
Ghilardi wprowadził, poza czterema typami unifikacji, rodzaj unifikacji
filtrującej (filtering unification). Zachodzi ona wtedy, gdy dla każdych dwóch
unifikatorów istnieje unifikator ogólniejszy od każdego z nich. (typ unifikacji
jest unitarny lub 0). Z (usunięto dla zachowania anonimowości) mamy:
Twierdzenie 1. Dla każdej logiki pośredniej L z dowolnymi dodatkowymi
spójnikami zgodnymi unifikacja jest filtrująca wtedy i tylko wtedy gdy L
zawiera słabe prawo wyłączonego środka, tj. jest rozszerzeniem logiki
Jankova (lub de Morgana);
Twierdzenie 2. Dla każdej logiki pośredniej L z dowolnymi dodatkowymi
spójnikami zgodnymi , jeżeli L zawiera słabe prawo wyłączonego środka, to
unifikacja w L jest unitarna lub zerowa.
Twierdzenie 3. Dla każdej logiki pośredniej L z dowolnymi dodatkowymi
spójnikami zgodnymi , jeżeli unifikacja w L jest unitarna, to L zawiera słabe
prawo wyłączonego środka.
Wniosek. Nie istnieje rozszerzenie logiki INT dodatkowymi spójnikami
zgodnymi, które miałoby unifikację unitarną. Skończone logiki Goedla
rozszerzone spójnikiem S mają unifikacje unitarną.
Literatura
Caicedo, X, Cignoli, R. Algebraic Approach to Intuitionistic Connectives ,
Journal of Symbolic Logic, 66 (2001), 4, 1620–1636
Dzik W., Radeleczki, S., Direct Product of l-algebras and Unification. An
Application to Residuated Lattices , in printing, in Journal of Multiple-valued
Logic and Soft Computing, (2016),
Wroński, A. On factoring by compact congruences in algebras of certain
varieties related to the intuitionistic logic, Bulletin of the Section of Logic, 28
(1986), 48-50.