Kategoria młodsza - pierwsza seria

ETAP INTERNETOWY
Edycja 2014/15, seria 1.
Kategoria młodsza – rozwiązania
Zadanie 1. W II edycji Borsuczej Trąbki wzięły udział: łasice i borsuki w kategorii młodszej oraz kuny w kategorii starszej. Na konkursie usadzono zwierzaki w dwuzwierzakowych
ławkach tak, by w jednej ławce nie siedziały zwierzaki z tej samej kategorii. Okazało się, że
każda kuna usiadła z borsukiem. Ponadto 10 zwierzaków z młodszej kategorii (borsuków
i łasic) siedziało osobno (po jednym zwierzaku w ławce). Wiedząc, że w Borsuczej Trąbce
wystartowało 30 zwierzaków powiedz, ilu było uczestników w kategorii młodszej?
Odpowiedź. 20.
Rozwiązanie. Oznaczmy liczby uczestników kategorii młodszej i starszej odpowiednio literami a, b. Skoro każda kuna siedziała z borsukiem, a dziesięcioro uczestników siedziało
osobno, to a − b = 10. Skoro wszystkich uczestników było 30, to a + b = 30. Po dodaniu
stronami otrzymujemy 2a = 40, skąd a = 20.
Zadanie 2. Klepsydra borsuka Tomka zawiera tyle ziarenek piasku, ile wynosi największa
liczba siedmiocyfrowa podzielna przez 12, w zapisie której występują tylko cyfry 2 i 4, przy
czym dwójek jest więcej niż czwórek. Jaka to liczba?
Odpowiedź. 4222224.
Rozwiązanie. Cyframi szukanej liczby są wyłącznie dwójki i czwórki. Skoro dwójek jest
więcej niż czwórek, to możliwe są następujące przypadki:
— 4 dwójki i 3 czwórki,
— 5 dwójek i 2 czwórki,
— 6 dwójek i 1 czwórka,
— 7 dwójek.
Liczba dzieli się przez 12, czyli też przez 3, zatem suma jej cyfr musi być podzielna przez
3. Rozważamy po kolei powyższe przypadki i dochodzimy do wniosku, że szukana liczba
musi składać się z pięciu dwójek i dwóch czwórek.
Liczba dzieli się przez 12, czyli też przez 4, zatem liczba utworzona z jej dwóch ostatnich
cyfr dzieli się przez 4. Skoro szukana liczba składa się tylko z dwójek i czwórek, więc
możliwe końcówki to: 22, 24, 42, 44. Wśród tych liczb tylko 24 i 44 dzielą się przez 4.
Powyższe rozumowanie ogranicza rozważania do liczb: 2222424, 2224224, 2242224, 2422224,
4222224, 2222244. Największą z nich jest 4222224 i spełnia ona warunki zadania.
Zadanie 3. Spośród 50 borsuków mieszkających w Borsukowie Trąbkowym każdy uprawia
rolę lub jogę. 30 borsuków uprawia rolę (i być może jogę), a 25 uprawia rolę i jogę. Ilu
borsuczan uprawia jogę?
Odpowiedź. 45.
Rozwiązanie. Niech a oznacza liczbę borsuczan uprawiających tylko rolę, b liczbę borsu-
czan uprawiających tylko jogę, a c liczbę borsuczan uprawiających i rolę i jogę. Z warunków
zadania dostajemy układ równań


a + b + c = 50
.
a + c = 30


c = 25
Z trzeciego i drugiego równania dostajemy a = 5. Podstawiamy otrzymane wartości do
równania pierwszego i obliczamy b = 20. Liczba borsuczan uprawiających jogę wynosi
b + c = 20 + 25 = 45.
Zadanie 4. Łasica Emilka uprawia ogródek, w którym znajduje się
osiem klombów z kwiatkami połączonych jedenastoma ścieżkami,
jak na rysunku obok. Emilka chce zasadzić kwiaty tak, aby każdy
klomb zawierał jeden rodzaj kwiatów. Ponadto łasica chce, by w jej
ogródku każda ścieżka łączyła klomby o kwiatach różnego rodzaju.
Ile co najmniej rodzajów kwiatów potrzebuje w tym celu?
Odpowiedź. 3.
Rozwiązanie. Rysunek obok pokazuje, że trzy rodzaje kwiatów
wystarczają.
Klomby będące wierzchołkami zacieniowanego trójkąta muszą
zawierać różne rodzaje kwiatów. Gdyby któreś dwa z nich zawierały ten sam rodzaj kwiatów, to ścieżka łączące te klomby
przeczyłaby warunkom zadania. To oznacza, że potrzebne są
przynajmniej trzy kolory.
Stąd najmniejsza możliwa liczba rodzajów kwiatów wynosi 3.
Zadanie 5. Borsuk Tymek ma urodziny! Z tej okazji upiekł tort
o promieniu 15cm. Na przyjęciu urodzinowym pojawiło się oprócz
Tymka szesnastu gości. Tymek zjadł środkową (okrągłą) część tortu, a pozostała część została podzielona równo pomiędzy gości.
Wiadomo, że Tymek zjadł 2 razy większy kawałek tortu niż każdy
z gości. Jaki promień miała środkowa część tortu?
Odpowiedź. 5cm.
Rozwiązanie. Niech mała część tortu ma promień x cm. Pole powierzchni małego kółka wynosi πx2 cm2 , a pole pozostałej części
tortu wynosi π(152 − x2 )cm2 . Z treści zadania wynika, że
2·
1
π(152 − x2 )cm2 = πx2 cm2 .
16
1
(225 − x2 ) = x2 ,
8
skąd obliczamy x2 = 25, czyli x = 5 bo x jest liczbą dodatnią.
Po skróceniu obu stron przez πcm2 dostajemy