Analiza 1 sem 2005_6..

ANALIZA MATEMATYCZNA
2005/06, semestr 1.
Tadeusz Rzeżuchowski
1
Spis treści
1 Zbiory liczbowe
5
1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5
1.1.1 Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Liczby całkowite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Liczby wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych przy pomocy przekrojów Dedekinda 7
1.2.1 Definicja przekrojów Dedekinda i podstawowe własności . . . 7
1.2.2 Definicja zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Własność ciągłości zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . . . 9
1.2.4 Własności działań w zbiorze liczb rzeczywistych . . . . . . . . 10
1.3 Kresy podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Zbiory ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Kres górny i kres dolny zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Ciągi liczbowe
2.1 Definicja ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ciągi zbieżne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Dodawanie, mnożenie i dzielenie ciągów . . . . . . .
2.2.2 Ciągi monotoniczne i ich zbieżność . . . . . . . . .
2.3 Warunek Cauchy’ego, zupełność zbioru liczb rzeczywistych
2.4 Ciągi zbieżne do nieskończoności – granice niewłaściwe . .
2.4.1 Własności ciągów zbieżnych do nieskończoności . .
2.5 Podciągi (ciągi częściowe) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Istnienie podciągów zbieżnych . . . . . . . . . . . .
2.6 Granica górna i dolna ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Liczba e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Porównywanie ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Ciągi równoważne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
14
14
16
18
19
20
20
21
23
23
26
29
30
3 Szeregi liczbowe
32
3.1 Szeregi liczbowe zbieżne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.1.1 Warunek konieczny zbieżności szeregu . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Dodawanie szeregów i mnożenie przez liczbę . . . . . . . . . .
3.1.3 Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów . . . . . . . . . .
Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych . . . . . . . . .
3.2.1 Kryteria wynikające bezpośrednio z kryterium porównawczego
3.2.2 Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego – opierające się na porównaniu z szeregami geometrycznymi . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Kryterium Raabego – opierające się na porównaniu z szeregiem harmonicznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Niezależność sumy szeregu o wyrazach nieujemnych od kolejności
sumowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Szeregi o dowolnych wyrazach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Szeregi bezwzględnie zbieżne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych . . . . . . . . . .
3.4.1 Kryterium Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Kryteria Dirichleta i Abela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Szeregi warunkowo zbieżne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Twierdzenie Riemanna o zmianie kolejności sumowania dla
szeregu warunkowo zbieżnego . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Iloczyn Cauchy’ego szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uogólnienie ciągu średnich arytmetycznych – twierdzenie Toeplitza .
4 Granice funkcji i ciągłość
4.1 Granica funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Granice jednostronne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Granica górna i dolna funkcji . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Granice w nieskończoności . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Granice nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Granica sumy, iloczynu oraz ilorazu funkcji . . . . . . .
4.2 Ciągłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji . . . . . . . .
4.2.2 Warunek ciągłości funkcji odwrotnej do funkcji ciągłej
4.3 Własność Darboux dla funkcji ciągłych. . . . . . . . . . . . . .
5 Pochodna funkcji i jej zastosowania
5.1 Określenie pochodnej i jej własności . . .
5.1.1 Styczna do wykresu funkcji . . .
5.1.2 Funkcja pochodna . . . . . . . .
5.1.3 Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu
3
. . . . .
. . . . .
. . . . .
funkcji .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
34
34
34
35
35
36
38
41
42
42
44
44
45
46
47
48
50
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
52
52
53
56
57
57
58
59
59
60
.
.
.
.
61
61
62
62
62
5.2
5.3
5.1.4 Pochodna funkcji złożonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.5 Pochodna funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.6 Różniczka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zasada Fermat i jej konsekwencje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Zasada Darboux dla pochodnych . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a i Cauchy’ego . . . . . . . . .
Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Wzór Taylora z resztą w postaci Peano . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Wzór Taylora z resztą w postaci ogólnej, Lagrange’a, Cauchy’ego
5.3.3 Wzór MacLaurina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
64
65
65
66
67
68
69
71
73
6 Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe
76
6.1 Ciągi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.1.1 Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągów odwzorowań.
76
6.1.2 Warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej. . . . . . . . . . 78
6.1.3 Ciągłość granicy jednostajnej ciągu odwzorowań ciągłych. . . 78
6.2 Różniczkowalność granicy ciągu funkcyjnego. . . . . . . . . . . . . . 79
6.3 Szeregi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1 Warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej . . . . . . . . . 83
6.3.2 Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych.
83
6.3.3 Różniczkowalność sumy szeregu funkcyjnego. . . . . . . . . . 83
6.4 Szeregi potęgowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4.1 Przedział zbieżności szeregu potęgowego. . . . . . . . . . . . . 84
6.4.2 Znajdowanie promienia zbieżności szeregu potęgowego. . . . . 85
6.4.3 Własności sumy szeregu potęgowego. . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Zbiory i funkcje wypukłe
7.1 Zbiory wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Funkcje wypukłe i wklęsłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Charakteryzacja funkcji wypukłej przez wypukłość epigrafu . .
7.3 Funkcje wypukłe zmiennej rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Charakteryzacja funkcji wypukłej przez ilorazy różnicowe . . .
7.3.2 Różniczkowalność funkcji wypukłych . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Warunki wypukłości funkcji różniczkowalnej . . . . . . . . . .
7.3.4 Położenie wykresu funkcji wypukłej i różniczkowalnej względem
stycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Punkty przegięcia wykresu funkcji . . . . . . . . . . . . . . . .
4
88
88
88
89
90
90
90
92
92
93
Rozdział 1
Zbiory liczbowe
1.1
Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych,
całkowitych i wymiernych
1.1.1
Liczby naturalne
Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N.
Liczby naturalne wprowadza się w sposób aksjomatyczny (aksjomatyka Peano).
Pojęciami pierwotnymi są: 1, „m jest następnikiem n” oraz N.
Aksjomat I. 1 jest liczbą naturalną, czyli 1 ∈ N.
Aksjomat II. 1 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.
Aksjomat III. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jednaliczba naturalna
m będąca następnikiem n.
Aksjomat IV. Jeżeli liczba naturalna m jest następnikiem liczby naturalnej n i
liczby naturalnej k, to n = k.
Aksjomat V - Zasada indukcji zupełnej. Jeżeli A jest podzbiorem zbioru liczb
naturalnych takim, że
1. 1 ∈ A;
2. dla każdego n ∈ (N ), jeżeli n ∈ A oraz m jest następnikiem n, to m ∈ A.
wtedy A = N.
1
1
Szczegóły w książce H. Rasiowej - Wstęp do matematyki współczesnej.
5
1.1.2
Liczby całkowite
W iloczynie kartezjańskim N × N określa się relację:
(n, m) ∼ (k, l) ⇐⇒ n + l = m + k
Jest to relacja równoważności (zwrotna, symetryczna, przechodnia).
Zbiór klas abstrakcji tej relacji nazywamy zbiorem liczb całkowitych i oznaczamy
przez Z. Przez [(n, m)] oznaczamy klasę abstrakcji pary (n, m).
W zbiorze liczb całkowitych wprowadza się działanie dodawania:
[(n, m)] + [(k, l)] = [(n + k, m + l)]
Dowodzi się, że tak określone działanie nie zależy od wyboru reprezentantów klas, to
znaczy jeśli zmienimy pary na inne, ale równoważne wyjściowym, to wynik działania
będzie taki sam.
Klasę [(1, 1)] nazywamy zerem. (Pary równoważne z (1, 1) są postaci (n, n), czyli
dla n ∈ N zachodzi równość [(1, 1)] = [(n, n)]).
Zero jest elementem neutralnym dodawania, a dla każdej liczby całkowitej istnieje
liczba całkowita (dokładnie jedna), która dodana do tej liczby daje zero.
1.1.3
Liczby wymierne
W iloczynie kartezjańskim Z × (N \ {0}) określa się relację:
(u, v) ∼ (x, y) ⇐⇒ uy = vx
Jest to relacja równoważności. Zbiór klas abstrakcji tej relacji nazywa się zbiorem
liczb wymiernych i oznacza przez Q, klasę abstrakcji pary (u, v) oznaczamy przez
[(u, v)].
W zbiorze liczb wymiernych wprowadza się działanie dodawania
[(u, v)] + [(x, y)] = [(uy + vx, vy)]
i mnożenia
[(u, v)] · [(x, y)] = [(ux, vy)]
Dowodzi się, że te określenia nie zależą od wyboru reprezentantów klas.
Jedynkę ze zbioru liczb całkowitych utożsamia się z parą [(1, 1)]. Jest to element
neutralny mnożenia. Dla każdej, różnej od zera liczby wymiernej (czyli różnej od
[(0, 1)]) istnieje liczba wymierna, która pomnożona przez nią daje jeden.
Twierdzenie 1.1.1 Pomiędzy dowolnymi dwoma różnymi liczbami wymiernymi istnieje
liczba wymierna różna od każdej z nich.
DOWÓD: Wystarczy wziąć średnią arytmetyczną tych liczb.
6
Twierdzenie 1.1.2 Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.
DOWÓD:
Żeby dowieść przeliczalności zbioru Q wystarczy pokazać, że da się je ustawić w
nieskończony ciąg. Taki ciąg możemy zbudować w następujący sposób:
1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3
0, , − , , , − , − , , , , − , − , − , . . .
1} |3 2 1 {z3 2 1}
|1 {z 1} |2 1 {z2
Wyróżnione fragmenty ciągu składają się z wszystkich możliwych ułamków, których
suma licznika i mianownika jest taka sama, przy czym możemy nie uwzględniać
tych liczb wymiernych, które pojawiły się już wcześniej. Dowolnie wybrana liczba
wymierna znajdzie się w tym ciągu, więc zawiera on wszystkie liczby wymierne.
1.2
1.2.1
Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych przy
pomocy przekrojów Dedekinda
Definicja przekrojów Dedekinda i podstawowe własności
Definicja 1.2.1 Przekrojem Dedekinda zbioru liczb wymiernych nazywa się każdą
parę uporządkowaną [A, B] złożoną z dwóch niepustych podzbiorów zbioru Q, spełniającą
następujące warunki:
1. A ∪ B = Q
2. ∀a ∈ A, ∀b ∈ B; a < b
A nazywa się klasą dolną, B klasą górną. Jeśli klasa dolna zawiera największy
element, to nazywa się domknięta, a jeśli nie, to otwarta. Podobnie dla klasy górnej
i najmniejszego elementu.
Możliwe są następujące przekroje Dedekinda:
Przekrój wymierny: dokładnie jedna z klas jest domknięta.
• Dolna klasa domknięta, górna otwarta.
• Górna klasa domknięta, dolna otwarta.
Przekrój niewymierny: obydwie klasy są otwarte.
Twierdzenie 1.2.1 Nie istnieją przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych z
obydwoma klasami domkniętymi.
7
DOWÓD:
Przypuśćmy, że [A, B] jest przekrojem Dedekinda zbioru liczb wymiernych i niech
a będzie największym elementem klasy dolnej A, b najmniejszym elementem klasy
górnej B.
Z 2) wynika, że a < b, a z własności gęstości zbioru liczb wymiernych, że istnieje
c ∈ (a, b). Liczba c jest większa od a (największej w klasie A), zatem c ∈
/ A. Liczba
c jest mniejsza od b (najmniejszej w klasie B), zatem c ∈
/ B. Z tego, że c ∈
/ A, B i
c ∈ Q wynika, że A ∪ B 6= Q co jest sprzeczne z 1).
Przykład 1.2.1 (Przekrój Dedekinda z dwoma klasami otwartymi) Niech A
będzie zbiorem wszystkich liczb wymiernych niedodatnich i takich dodatnich ω, że
ω 2 < 2, natomiast B = Q \ A. Przekrój [A, B] jest przekrojem niewymiernym.
1.2.2
Definicja zbioru liczb rzeczywistych
Definicja 1.2.2 Zbiór wszystkich przekrojów Dedekinda zbioru liczb wymiernych
nazywa się zbiorem liczb rzeczywistych. Oznaczamy go przez R.
Przekroje Dedekinda, w których jedna z klas jest domknięta identyfikujemy z liczbami
wymiernymi. Przekroje, w których obydwie klasy są otwarte, nazywamy liczbami
niewymiernymi.
Umawiamy się, że jeśli liczba rzeczywista x jest wymierna, to reprezentujemy ją
przekrojem Dedekinda z lewą klasą domkniętą. Przy tej konwencji wprowadzamy w
zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych relację porządku.
Definicja 1.2.3 Niech x = [A, B], y = [C, D] będą dwoma dowolnymi liczbami
rzeczywistymi. Mówimy, że liczba x jest mniejsza lub równa liczbie y, co oznaczamy
x ¬ y, jeśli A ⊂ C.
Ta relacja ma następujące własności:
1. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x jest x ¬ x (zwrotność).
2. Jeśli x ¬ y i y ¬ x, to x = y (antysymetria).
3. Jeśli x ¬ y i y ¬ z, to x ¬ z (przechodniość).
4. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y jest x ¬ y lub y ¬ x (spójność).
Nierówność x < y oznacza, że x ¬ y i x 6= y.
Twierdzenie 1.2.2 Pomiędzy dwoma, różnymi liczbami rzeczywistymi znajduje się,
zawsze, różna od nich liczba wymierna.
DOWÓD:
Niech x, y będą dwoma różnymi liczbami rzeczywistymi. Rozważmy trzy przypadki:
8
1. x, y wymierne. Wynika bezpośrednio z własności zbioru liczb wymiernych.
2. Jedna z liczb wymierna, druga niewymierna. Niech x = [A, B] będzie liczbą
niewymierną, y wymierną i niech x < y , czyli y ∈ B (sposób postępowania
dla y < x byłby analogiczny).
Klasa B nie ma elementu najmniejszego, zatem istnieje taka liczba wymierna
q ∈ B, że q < y. Ponieważ q ∈ B zatem x < q.
3. Obydwie liczby niewymierne. Niech x = [A, B], y = [C, D] niewymierne, x < y.
Wtedy B ∩ C 6= ∅.
Każda liczba q ∈ B ∩ C jest wymierna i spełnia nierówności x < q < y.
1.2.3
Własność ciągłości zbioru liczb rzeczywistych
Przekrój Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych R określa się analogicznie jak przekrój
Dedekinda zbioru liczb wymiernych, to znaczy jako parę niepustych podzbiorów
A, B ⊂ R takich, że A ∪ B = R oraz ∀a ∈ A, ∀b ∈ B; a < b.
Twierdzenie 1.2.3 Dla każdego przekroju Dedekinda [A, B] zbioru liczb rzeczywistych
jedna z klas jest domknięta. (Oczywiście tylko jedna z klas.)
DOWÓD:
Niech [A, B] będzie dowolnym przekrojem Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych,
czyli:
1) A ∪ B = R
2) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B; a < b
Należy udowodnić, że nie istnieje przekrój z dwoma klasami domkniętymi ani przekrój
z dwoma klasami otwartymi:
a) Przypuśćmy, że obie klasy są domknięte: Niech a będzie największym elementem
w A, b najmniejszym elementem w B. Wtedy a < b i z twierdzenia 1.2.2
wynika, że istnieje c ∈ (a, b) ∩ Q. Zarazem c ∈
/ A ∪ B = Q, bo a < c < b, co
stanowi sprzeczność.
b) Przypuśćmy, że obydwie klasy A i B są otwarte i przyjmijmy
Ae = A ∩ Q, Be = B ∩ Q
e B]
e należy do R = A ∪ B.
Liczba rzeczywista x := [A,
Rozważmy przypadek, gdy x ∈ A (analogiczne postępowanie byłoby dla x ∈
B).
Klasa A nie ma elementu największego, więc istnieje y ∈ A takie, że y > x –
9
ustalmy je. Na podstawie twierdzenia 1.2.2 istnieje takie q ∈ Q, że x < q < y.
e Z drugiej strony q < y, a z faktu, że
Ponieważ x < q i q ∈ Q, więc q ∈ B.
e
y ∈ A wynika, że q ∈ A, więc q ∈ A.
e a to jest niemożliwe, bo A
e∩B
e = ∅. Sprzeczność
Dostaliśmy, że q ∈ Ae ∩ B,
ta pokazuje, że przypuszczenie iż obydwie klasy A i B są otwarte musiało być
fałszywe.
1.2.4
Własności działań w zbiorze liczb rzeczywistych
Definicja 1.2.4 (Dodawanie) Niech przekroje Dedekinda [A, B] i [C, D] zbioru
liczb wymiernych określają dwie dowolne liczby rzeczywiste x i y. Sumą x+y nazywamy
liczbę rzeczywistą określoną przekrojem Dedekinda [U, V ], gdzie
V = {b + d : b ∈ B, d ∈ D},
U =Q\V
Zbiór V występujący w definicji składający się z sum elementów zbiorów B i D
oznacza się na ogół symbolem B + D.
Definicja 1.2.5 Niech przekroje Dedekinda [A, B] i [C, D] zbioru liczb wymiernych
określają dwie nieujemne liczby rzeczywiste x i y. Iloczynem x · y nazywamy liczbę
rzeczywistą określoną przekrojem Dedekinda [U, V ], gdzie
V = {b · d : b ∈ B, d ∈ D},
U =Q\V
W celu zdefiniowania iloczynu dowolnych liczb rzeczywistych wykorzystamy fakt,
że jeśli x jest liczbą rzeczywistą ujemną, to liczba do niej przeciwna jest dodatnia.
Skorzystamy z tego za pośrednictwem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej
(
|x| =
x jeśli x ­ 0
−x jeśli x < 0
Definicja 1.2.6 Iloczynem dwóch dowolnych liczb rzeczywistych x, y nazywamy liczbę
|x| · |y|, jeśli obydwie są nieujemne lub obydwie niedodatnie oraz liczbę −(|x| · |y|),
jeśli jedna z nich jest dodatnia, a druga ujemna.
Twierdzenie 1.2.4 Zbiór liczb rzeczywistych z działaniem dodawania i mnożenia
spełnia warunki:
1. ∀x, y, z ∈ R; (x + y) + z = x + (y + z)
2. ∃e0 ∈ R, ∀x ∈ R; x + e0 = x
3. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R; x + y = e0
4. ∀x, y ∈ R; x + y = y + x
10
5. ∀x, y, z ∈ R; (xy)z = x(yz))
6. ∃e1 ∈ R, ∀x ∈ R; e1 x = x
7. ∀x ∈ R, x 6= e0 , ∃y ∈ R; xy = e1
8. ∀x, y ∈ R; xy = yx
9. ∀x, y, z ∈ R; x(y + z) = xy + xz
Element e0 tradycyjnie oznaczamy przez 0, a e1 przez 1.
Zbiór z dwoma działaniami spełniającymi warunki podane w twierdzeniu nazywa
się ciałem.
1.3
1.3.1
Kresy podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych
Zbiory ograniczone
Definicja 1.3.1 (Ograniczenia zbiorów liczb) Niech U ⊂ R. Każdą liczbę b ∈ R
spełniającą warunek
∀u ∈ U ; u ¬ b
nazywa się ograniczeniem górnym zbioru U .
Jeśli istnieje chociaż jedno ograniczenie górne zbioru, to zbiór taki nazywa się
ograniczonym z góry.
Analogicznie definiuje się ograniczenia dolne i zbiory ograniczone z dołu. Zbiór
ograniczony z góry i z dołu nazywa się ograniczonym.
Jeśli liczba u jest ograniczeniem górnym zbioru U , to każda liczba większa od niej
też jest jego ograniczeniem górnym. Podobnie każda liczba mniejsza od ograniczenia
dolnego zbioru U jest też jego ograniczeniem dolnym.
1.3.2
Kres górny i kres dolny zbiorów
Twierdzenie 1.3.1 Jeśli niepusty zbiór liczb jest ograniczony z góry, to istnieje
jego najmniejsze ograniczenie górne.
DOWÓD: Niech zbiór U ⊂ R spełnia założenia. Oznaczmy przez B zbiór jego
ograniczeń górnych oraz A := R \ B.
Para [A, B] jest przekrojem Dedekinda zbioru R, czyli dokładnie jedna z klas jest
domknięta. Jeśli domknięta jest klasa B, to jej najmniejszy element jest szukanym
najmniejszym ograniczeniem górnym.
Przypuśćmy, że domknięta jest klasa A i a jest jej największym elementem.
Z faktu, że a ∈
/ B, czyli a nie jest ograniczeniem górnym zbioru U , wynika istnienie
x ∈ U takiego, że a < x. a jest największym elementem w A, więc x ∈ B. W klasie
B nie ma elementu najmniejszego, więc istnieje takie b ∈ B, że b < x.
11
b jest ograniczeniem górnym U , a z drugiej strony jest mniejsze od jednego z elementów
tego zbioru. Sprzeczność ta pokazuje, że przypuszczenie iż klasa A zawierała największy
element nie może być prawdziwe a wobec tego B zawiera element najmniejszy.
Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla zbiorów ograniczonych z dołu.
Kres górny i dolny nazywa się też odpowiednio supremum i infimum zbioru oraz
oznacza sup U, inf U .
Jeśli zbiór U nie jest ograniczony z góry, to przyjmujemy sup U = +∞, jeśli nie
jest ograniczony z dołu, to inf U = −∞.
Dodatkowo przyjmuje się następującą konwencję:
sup ∅ = −∞ ,
inf ∅ = +∞
Definicja 1.3.2 (Maksimum i minimum zbioru)
Jeśli sup U ∈ U , to liczbę sup U nazywamy maksimum zbioru U i oznaczamy max U .
Jeśli inf U ∈ U , to liczbę inf U nazywamy minimum zbioru U i oznaczamy min U .
Maksimum zbioru, o ile istnieje, jest jego największym elementem, a minimum
najmniejszym.
Twierdzenie 1.3.2 Jeśli U ⊂ R jest niepustym zbiorem ograniczonym z góry, to
następujące trzy warunki są równoważne:
1. s = sup U
2. (a) ∀p ∈ U ; p ¬ s
(b) ∀x < s, ∃p ∈ U ; x < p
3. (c) Jeśli ciąg {pn } elementów zbioru U jest zbieżny, to lim pn ¬ s
(d) Istnieje ciąg elementów zbioru U zbieżny do s.
DOWÓD:
1. ⇒ 2.
sup U jest ograniczeniem górnym zbioru U , więc warunek (a) jest spełniony.
Gdyby nie było elementu p ∈ U takiego, że x < p, to x byłby ograniczeniem górnym
zbioru U wbrew temu, że s jest najmniejszym ograniczeniem górnym.
1. ⇐ 2.
Z (a) wynika, że s jest ograniczeniem górnym.
Z (b) wynika, że dla każdej liczby x < s istnieje p ∈ U takie, że x < p, czyli x nie
może być ograniczeniem górnym, a więc s jest najmniejszym ograniczeniem górnym.
2. ⇒ 3.
Warunek (c) wynika z tego, że nierówność zachowuje się przy przejściu do granicy.
Dzięki (a) i (b) istnieje ciąg pn ∈ U taki, że
s−
1
< pn ¬ s
n
12
i z twierdzenia o trzech ciągach lim pn = s.
2. ⇐ 3.
Przypuśćmy, że warunek (a) nie jest spełniony, tzn. istnieje element p ∈ U taki, że
p > s. Ciąg stały pn = p jest zbieżny i lim pn = p > s, co przeczy założeniu (c).
Niech pn będzie ciągiem elementów zbioru U zbieżnym do s. Jeśli x < s, to począwszy
od pewnego wskaźnika wyrazy ciągu są większe od x. Wynika stąd (b).
13
Rozdział 2
Ciągi liczbowe
2.1
Definicja ciągu
Definicja 2.1.1 Ciągiem nazywamy każde odwzorowanie zbioru liczb naturalnych
N w pewien ustalony zbiór X.
Sposoby oznaczenia ciągów: {an }∞
n=1 , bądź {an } , często po prostu an , czasem
wymienia się kilka pierwszych wyrazów ciągu i kończy kropkami a1 , a2 , a3 , . . .
Wartości tego odwzorowania, to znaczy punkty a1 , a2 , . . . ∈ X nazywa się wyrazami
ciągu. Czasami numeruje się wyrazy ciągu inaczej niż kolejnymi liczbami naturalnymi
począwszy od 1. Na przykład a0 , a1 , a2 , . . . lub jeszcze inaczej. Zawsze jednak można
tak je przenumerować, żeby indeksy były takie jak w definicji.
Jeśli X = R, to mówimy o ciągach liczbowych.
2.2
Ciągi zbieżne
Definicja 2.2.1 Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu liczbowego an , jeśli spełniony
jest warunek
∀ε > 0, ∃nε ∈ R, ∀n ­ nε ; |an − g| < ε
Piszemy wtedy:
lim an = g
n→∞
Ciąg mający granicę nazywa się zbieżnym.
Lemat 2.2.1 Ciąg może mieć co najwyżej jedną granicę.
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją dwie różne granice g1 < g2 ciągu an .
1
.
Ustalmy ε = g2 −g
3
Dzięki zbieżności ciągu an do g1 istnieje n̄, że dla n ­ n̄ jest |an − g1 | < ε.
¯ , że dla n ­ n̄
¯ jest |an − g2 | < ε.
Podobnie dzięki zbieżności ciągu an do g2 istnieje n̄
¯ } mamy
Dla n ­ max{n̄, n̄
an < g1 + ε oraz g2 − ε < an
14
co jest niemożliwe, bo g1 + ε < g2 − ε.
Przypuszczenie, że istnieją dwie różne granice tego samego ciągu, musiało więc
być fałszywe.
Uwaga 2.2.1 Dla każdego ciągu an mamy
lim an = g ⇔ lim(an − g) = 0 ⇔ lim |an − g| = 0
Lemat 2.2.2 Ciąg zbieżny jest ograniczony, to znaczy
∃M ­ 0, ∀n ∈ N ; |an | ¬ M.
(Ograniczoność ciągu oznacza, że zbiór jego wyrazów jest ograniczony.)
DOWÓD:
Ustalmy ε = 1.
Ciąg jest zbieżny do g, więc dla wszystkich n począwszy od pewnego n1 spełniona
jest nierówność |an − g| < 1, a zatem
g − ε < an < g + ε
Skończony zbiór {a1 , . . . , an1 −1 } jest też ograniczony.
Zbiór wszystkich wyrazów ciągu jest więc ograniczony jako suma dwóch zbiorów
ograniczonych.
Twierdzenie 2.2.1 Jeśli ciągi {an } i {bn } są zbieżne oraz ∀n ∈ N ; an ¬ bn , to
lim an ¬ lim bn .
DOWÓD:
Przypuśćmy, że teza twierdzenia nie jest spełniona, czyli a = lim an > lim bn = b.
Ustalmy ε = a−b
.
3
Istnieje n1 takie, że dla n ­ n1 jest |an − a| < ε.
Podobnie istnieje n2 takie, że dla n ­ n2 jest |bn − b| < ε.
Dla n ­ max{n1 , n2 } zachodzą nierówności
b n ¬ b + ε < a − ε ¬ an
co jest sprzeczne z założeniem, że an ¬ bn . Tak więc nierówność a > b nie jest
możliwa.
UWAGA: Silna nierówność pomiędzy wyrazami ciągów nie implikuje silnej nierówności
między granicami, a jedynie słabą.
15
Twierdzenie 2.2.2 (Twierdzenie o trzech ciągach) Jeśli lim an = lim bn = g
oraz dla prawie wszystkich n ∈ N zachodzą nierówności
an ¬ u n ¬ b n
to lim un = g.
DOWÓD:
Ustalmy ε > 0.
Istnieje n̄, że dla n ­ n̄ jest g − ε ¬ an ¬ g + ε.
¯ , że dla n ­ n̄
¯ jest g − ε ¬ bn ¬ g + ε.
Istnieje n̄
¯
Dla n ­ max{n̄, n̄} mamy
g − ε ¬ an ¬ u n ¬ b n ¬ g + ε
Twierdzenie 2.2.3 Jeśli limn→∞ un = g, to limn→∞ |un | = |g|.
Dowód wynika z nierówności
||a| − |b|| ¬ |a − b|
oraz własności zawartej w Uwadze 2.2.1.
2.2.1
Dodawanie, mnożenie i dzielenie ciągów
Sumą ciągów {an } i {bn } nazywa się ciąg {an +bn }. Podobnie iloczyn liczby s i ciągu
{an } to ciąg {san }, iloczyn ciągów {an } i {bn } to ciąg {an bn }, a iloraz to { abnn } – w
tym ostatnim przypadku wyrazy ciągu {bn } muszą być różne od zera.
Twierdzenie 2.2.4 Załóżmy, że ciągi {an } i {bn } są zbieżne. Wtedy
1. Ciąg {an + bn } jest zbieżny i lim(an + bn ) = lim an + lim bn .
2. (∀s ∈ R) ciąg {san } jest zbieżny i lim san = s lim an .
3. Ciąg {an bn } jest zbieżny i lim(an bn ) = lim an · lim bn .
4. Jeśli lim bn 6= 0, to ciąg { abnn } jest zbieżny i
lim
an
lim an
=
bn
lim bn
DOWÓD:
Wprowadźmy oznaczenia lim an = a i lim bn = b.
1. Ustalmy ε > 0.
Istnieje n̄, że dla n ­ n̄: |an − a| < 2ε .
¯ , że dla n ­ n̄
¯ : |bn − b| < 2ε .
Istnieje n̄
¯}
Dla n ­ nε = max{n̄, n̄
|(an + bn ) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ¬ |an − a| + |bn − b| < ε
16
2. Dla s = 0 twierdzenie jest oczywiste.
Rozpatrzmy przypadek s 6= 0.
Ustalmy ε > 0
Istnieje nε , że dla wszystkich n ­ nε zachodzą nierówności
ε
|an − a| <
|s|
Mnożąc stronami przez |s| dostajemy |san − sa| < ε.
3. Ustalmy ε > 0.
|an bn − ab| = |an bn − abn + abn − ab| ¬
|an bn − abn | + |abn − ab| = |bn | · |an − a| + |a| · |bn − b|
Istnieje M ­ 0 takie, że dla wszystkich n ∈ N zachodzi nierówność |bn | ¬ M .
Mamy więc dla wszystkich n
|an bn − ab| ¬ M |an − a| + |a| · |bn − b|
ε
. Jeśli M = 0,
Jeśli M > 0, to ustalamy n̄ takie, że dla n ­ n̄ jest |an − a| < 2M
to n̄ = 1.
ε
¯ takie, że dla n ­ n̄
¯ jest |bn − b| < 2|a|
Jeśli a 6= 0, to ustalamy n̄
. Jeśli a = 0,
¯ = 1.
to przyjmujemy n̄
¯ } mamy:
Dla n ­ nε = max{n̄, n̄
ε
ε
|an bn − ab| ¬ M
+ |a|
=ε
2M
2|a|
4. Ustalmy ε > 0.
an
a an b − abn |an b − abn |
− =
=
bn
b
bn b |bn | · |b|
Istnieje ñ, że dla n ­ ñ jest |bn | − |b| < 12 |b|, a stąd |bn | > 12 |b|.
Dla n ­ ñ mamy
1
|bn |
<
2
,
|b|
dzięki czemu
an
a 2
2
−
¬ 2 · |an b − abn | ¬ 2 · (|an − a)| · |b| + |b − bn | · |a|)
bn
b
b
b
Istnieje n̄, że dla n ­ n̄ jest |an − a| < |b|
ε.
4
Jeśli a = 0, to dla n ­ nε = max{ñ, n̄}
an
a 2 |b|
ε
− ¬ 2 ·
ε=
bn
b
b
4
2
¯ , że dla n ­ n̄
¯ jest |bn − b| <
Rozważmy przypadek a 6= 0. Istnieje n̄
¯ } będzie
Wtedy dla n ­ nε = max{ñ, n̄, n̄
an
a 2
−
¬ 2 ·
bn
b
b
b2
4|a|
ε.
!
|b|
b2
ε · |b| +
ε · |a| = ε
4
4|a|
17
2.2.2
Ciągi monotoniczne i ich zbieżność
Definicja 2.2.2 (Ciągi rosnące i silnie rosnące)
Ciąg {an } nazywa się rosnącym, jeśli spełniony jest warunek
∀n ∈ N ; an ¬ an+1
Jeśli nierówność powyżej jest silna, to mówimy o ciągu silnie rosnącym.
Zmieniając kierunek nierówności dostajemy określenie ciągu malejącego.
Ciągi rosnące i malejące nazywa się łącznie ciągami monotonicznymi.
Twierdzenie 2.2.5 Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
DOWÓD: Niech ciąg {an } będzie niemalejący i ograniczony z góry.
Przyjmijmy g = sup{an : n ∈ N }. Wykażemy, że ciąg {an } jest zbieżny do g.
Ustalmy dowolne ε > 0.
Istnieje wyraz ciągu – oznaczmy go przez ak – który spełnia nierówność g − ε < ak .
Ze względu na monotoniczność mamy (∀n ­ k) g − ε < ak ¬ an .
Oprócz tego (∀n) an ¬ g, więc ostatecznie
∀n ­ k; g − ε < an ¬ g < g + ε
czyli |an − g| < ε.
Wnioskiem z tego twierdzenia jest następujące:
Twierdzenie 2.2.6 (O zstępującym ciągu przedziałów domkniętych) Niech
[an , bn ] będzie zstępującym ciągiem przedziałów domkniętych, przy czym ciąg ich
długości jest zbieżny do zera, czyli
∀m, n ∈ N ; (m ¬ n) ⇒ (am ¬ an ¬ bn ¬ bm )
oraz
lim(bn − an ) = 0.
Wtedy część wspólna tych wszystkich przedziałów jest zbiorem jednopunktowym {g}
oraz lim an = lim bn = g.
DOWÓD: ∀k ∈ N liczba bk jest ograniczeniem górnym ciągu {an }, a liczba ak jest
ograniczeniem górnym ciągu {bn }. Ciągi te są monotoniczne, a więc mają granice.
Dzięki założeniu i Tw. 2.2.4 mamy
lim bn − lim an = lim(bn − an ) = 0
Zbiór jednopunktowy {g} zawierający wspólną granicę tych ciągów jest częścią
wspólną wszystkich przedziałów [an , bn ].
Twierdzenie 2.2.7 Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.
18
DOWÓD:
Przypuśćmy, że zbiór liczb rzeczywistych R jest przeliczalny, a więc istnieje ciąg {xn }
zawierający wszystkie liczby rzeczywiste. Korzystając z Zasady Indukcji definiujemy
zstępujący ciąg przedziałów [an , bn ] taki, że
(∀n ∈ N, ∀k ¬ n) xk ∈
/ [an , bn ] i lim (bn − an ) = 0
n→∞
1. Jako [a1 , b1 ] bierzemy dowolny przedział nie zawierający liczby x1 .
2. Jeśli wybrane są przedziały [a1 , b1 ], [a2 , b2 ], . . . , [an , bn ], to jako przedział [an+1 , bn+1 ]
wybieramy przedział zawarty w [an , bn ], nie zawierający xn+1 oraz o długości
n
.
równej bn −a
3
Ciągi {an } i {bn } spełniają założenia twierdzenia o zstępującym ciągu przedziałów,
a ich wspólna granica g, jako należąca do części wspólnej tych przedziałów, nie może
być żadnym z wyrazów ciągu {xn }.
2.3
Warunek Cauchy’ego, zupełność zbioru liczb
rzeczywistych
Definicja 2.3.1 Mówimy, że ciąg {an } spełnia warunek Cauchy’ego, jeśli
∀ε > 0, ∃nε , ∀m, n ­ nε ; |am − an | ¬ ε
Ciąg spełniający warunek Cauchy’ego nazywa się ciągiem Cauchy’ego lub ciągiem
podstawowym.
Lemat 2.3.1 Ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego.
DOWÓD: Niech lim an = g i ustalmy dowolne ε > 0.
Istnieje nε , że dla k ­ nε jest |ak − g| < 2ε .
Biorąc n ­ nε i m ­ nε mamy
|an − am | = |an − g + g − am | ¬ |an − g| + |am − g| <
ε ε
+ =ε
2 2
Lemat 2.3.2 Ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.
DOWÓD:
Weźmy ε = 1. Istnieje n1 , że ∀m, n ­ n1 jest |am − an | < 1.
W szczególności dla n ­ n1 zachodzą nierówności |an − an1 | < 1 czyli an ∈ (an1 −
1, an1 + 1).
Skończony zbiór wyrazów {a1 , a2 , . . . , an1 −1 } jest ograniczony, a zatem zbiór wszystkich
wyrazów ciągu {an } jest ograniczony jako suma dwóch zbiorów ograniczonych.
Dla ciągów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych zachodzi twierdzenie
odwrotne.
19
Twierdzenie 2.3.1 Ciąg liczbowy {an } spełniający warunek Cauchy’ego jest zbieżny.
(Tę własność zbioru liczb rzeczywistych nazywamy jego zupełnością.)
DOWÓD:
Niech {an } będzie ciągiem Cauchy’ego.
Przyjmijmy αn = inf{ak ; k ­ n} oraz βn = sup{ak ; k ­ n}
Ciąg Cauchy’ego jest ograniczony, więc wyrazy αn i βn są skończone.
Dla każdego n ∈ N zachodzą nierówności αn ¬ αn+1 ¬ βn+1 ¬ βn .
Ustalmy ε > 0 i niech nε będzie takie, że ∀k, l ­ nε ; |ak − al | < 2ε .
Niech n ­ nε .
Dla l ­ n mamy al < anε + 2ε i stąd βn = sup{al : l ­ n} ¬ anε + 2ε .
Z drugiej strony dla l ­ n mamy al > amε − ε i stąd αn = inf{al : l ­ n} ­ anε − 2ε .
Mamy więc nierówności
anε −
ε
ε
¬ αn ¬ βn ¬ anε +
2
2
skąd βn − αn ¬ ε. Wynika stąd, że lim(βn − αn ) = 0.
Dzięki twierdzeniu o zstępującym ciągu przedziałów lim αn = lim βn , a nierówności
αn ¬ an ¬ βn oraz twierdzenie o trzech ciągach implikują zbieżność ciągu {an }.
2.4
Ciągi zbieżne do nieskończoności – granice
niewłaściwe
Definicja 2.4.1 Mówimy, że ciąg {an } jest zbieżny do +∞, jeśli spełnia następujący
warunek:
∀L ∈ R, ∃nL , ∀n ­ nL ; an > L
Ciąg jest zbieżny do −∞, jeśli:
∀l ∈ R, ∃nl , ∀n ­ nl ; an ¬ l
Zapisujemy to lim an = +∞, lim an = −∞ i mówimy, że granice są niewłaściwe.
Często też w takiej sytuacji mówi się o ciągach rozbieżnych do +∞ bądź do −∞.
2.4.1
Własności ciągów zbieżnych do nieskończoności
Lemat 2.4.1 Jeśli ciąg {an } jest zbieżny do +∞, a ciąg {bn } jest ograniczony z
dołu, to ciąg {an + bn } jest zbieżny do +∞.
(Analogiczne twierdzenie dla ciągów zbieżnych do −∞.)
DOWÓD:
Ustalmy dowolne L ∈ R. Ciąg {bn } jest ograniczony z dołu, więc istnieje m ∈ R
takie, że (∀n ∈ N) bn > m, ustalmy takie m.
Istnieje nε takie, że (∀n ­ nε ) an > L − m. Czyli (∀n ­ nε ) an + bn > L.
20
O różnicy nic nie można ogólnie powiedzieć.
Lemat 2.4.2 Jeśli ciąg {an } jest zbieżny do +∞, a ciąg {bn } począwszy od pewnego
wskaźnika ograniczony z dołu przez liczbę dodatnią (z góry przez liczbę ujemną), to
iloczyn {an bn } jest ciągiem zbieżnym do +∞ (do −∞).
DOWÓD:
Ustalmy dowolne L ∈ R.
Istnieje m > 0, że począwszy od pewnego wskaźnika n1 ∈ N zachodzi nierówność:
L
. Niech nε = max{n1 , n2 }.
(∀n ­ n1 ) bn > m. Istnieje n2 ∈ N, że (∀n ­ n2 ) an > m
Wtedy (∀n ­ nε ) an bn > L.
Jeśli ciąg {bn } nie spełnia założenia tego lematu, to nic z góry nie można powiedzieć
o zachowaniu się iloczynu.
Przykład 2.4.1 Weźmy pod uwagę ciągi o następujących wyrazach ogólnych
an = n,
bn = n +
1
,
n
cn = n 2 ,
dn = n + (−1)n
Wszystkie one są zbieżne do +∞. Mamy
lim(an + bn ) = +∞,
lim(an − bn ) = 0,
lim(an − cn ) = −∞
Granica ciągu {an − dn } nie istnieje, ani nie jest on zbieżny do + lub −∞.
Przykład 2.4.2 Rozważmy ciągi
an = n,
1
dn = √ ,
n
bn =
1
,
n
en = (1 + (−1)n )
cn =
1
n2
1
1
+ (1 − (−1)n ) √
2
n
n
oraz iloczyny ciągu {an } z każdym z pozostałych.
2.5
Podciągi (ciągi częściowe)
Definicja 2.5.1 Dany jest ciąg {an }. Jeśli {nk }∞
k=1 jest dowolnym silnie rosnącym
ciągiem liczb naturalnych, to ciąg {bk } określony równością bk = ank , dla k ∈ N ,
nazywamy podciągiem lub ciągiem częściowym ciągu {an }.
Można sobie wyobrażać, że podciąg powstaje przez opuszczenie części wyrazów
wyjściowego ciągu - skończenie lub nieskończenie wielu.
Ważne są relacje pomiędzy zbieżnością ciągu i zbieżnością jego podciągów.
21
Lemat 2.5.1 Jeśli ciąg jest zbieżny, to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej
granicy.
DOWÓD:
Spróbujmy wykazać, że (∀k ∈ N) nk ­ k.
Istotnie n1 ­ 1, bo n1 ∈ N. Załóżmy prawdziwość tego wzoru dla pewnego k.
Ponieważ nk+1 ∈ N i nk ∈ N oraz nk+1 > nk , więc nk+1 ­ nk + 1 ­ k + 1.
Słuszność tego wzoru dla ∀k ∈ N wynika z zasady indukcji.
Ustalmy ε > 0.
Jeśli lim an = a, to istnieje nε ∈ N takie, że |an − a| < ε dla n ­ nε .
Jak zauważyliśmy: nk ­ nε dla k ­ nε , więc |ank − a| < ε dla k ­ nε .
Wobec dowolności liczby dodatniej ε dowodzi to, że lim ank = a.
Lemat 2.5.2 Jeśli każdy podciąg danego ciągu ma podciąg zbieżny do tej samej
liczby g, to wyjściowy ciąg jest zbieżny do tej liczby.
DOWÓD:
Przypuśćmy, że każdy podciąg danego ciągu ma podciąg zbieżny do tej samej liczby
g, ale ciąg wyjściowy nie jest do niej zbieżny, a zatem spełniony jest następujacy
warunek:
∃ε > 0, ∀nε ∈ N, ∃n ­ nε ; |an − g| ­ ε
Ustalmy takie ε.
1. Jeśli wybierzemy nε = 1 to z def. istnieje n1 ­ nε takie, że |an1 − g| ­ ε.
2. Teraz za nε wybierzmy poprzednio znaleziony wskaźnik i dodajmy do niego 1,
tzn. nε = n1 + 1; z definicji istnieje n2 ­ nε takie, że |an2 − g| ­ ε.
W k-krotnym kroku ustalając nε = nk−1 + 1 znajdujemy n2 ­ nε
Na mocy indukcji dowiedliśmy istnienia podciągu rozbieżnego tego ciągu, który nie
może mieć podciągu zbieżnego do g (granicy skończonej), a zatem otrzymaliśmy
sprzeczność z założeniem.
Przykład 2.5.1 Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, to znaczy,
że można je ustawić w ciąg. Niech {qn } będzie takim ciągiem. Wiadomo również,
że każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić jako granicę ciągu liczb wymiernych,
przy czym można to zrobić tak, żeby taki przybliżający ciąg był podciągiem ustalonego
przez nas ciągu {qn }. Tak więc ciąg {qn }, który nie jest zbieżny, ma co najmniej tyle
podciągów zbieżnych, ile jest liczb rzeczywistych.
22
2.5.1
Istnienie podciągów zbieżnych
Istnieją ciągi, które nie mają żadnego podciągu zbieżnego (chodzi tu o zbieżność do
granicy skończonej). Na przykład każdy ciąg zbieżny do +∞.
Twierdzenie 2.5.1 (Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa)
Każdy ograniczony ciąg liczbowy ma podciąg zbieżny.
DOWÓD:
Niech an będzie ciągiem ograniczonym z dołu przez liczbę A i z góry przez liczbę B.
Utwórzmy zstępujący ciąg przedziałów domkniętych [um , vm ] mający następujące
własności:
(i) vm − um =
B−A
2m
(ii) ∀m przedział [um , vm ] zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu an
(iii) um ¬ um+1 ¬ vm+1 ¬ vm
Zróbmy to indukcyjnie w następujący sposób:
1. Przyjmujemy u0 = A, v0 = B.
2. Załóżmy, że dla pewnego m mamy um i vm spełniające warunki (i), (ii).
m
.
Niech z = vm −u
2
Jeśli przedział [um , z] zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu an ,
to przyjmujemy um+1 = um , vm+1 = z.
W przeciwnym przypadku przyjmujemy um+1 = z, vm+1 = vm .
Korzystając z ciągów um i vm znajdujemy, również używając Zasady Indukcji, podciąg
anm ciągu an spełniający warunek um ¬ anm ¬ vm :
1. Jako an0 przyjmujemy dowolny wyraz ciągu an .
2. Załóżmy, że określony został wyraz anm spełniający wymagany warunek.
Przedział [um+1 , vm+1 ] zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu an , więc
istnieje pośród nich wyraz o wskaźniku większym od nm . Wybieramy dowolny
z nich i przyjmujemy jako anm+1 .
Na podstawie twierdzenia o zstępującym ciągu przedziałów domkniętych i twierdzenia
o trzech ciągach podciąg anm jest zbieżny.
2.6
Granica górna i dolna ciągu
Niech {an } będzie dowolnym ciągiem liczbowym.
Definicja 2.6.1 (Granica górna ciągu)
23
1. Jeśli ciąg jest ograniczony z góry, to jego granicą górną nazywa się kres górny
zbioru wszystkich granic zbieżnych podciągów tego ciągu.
2. Jeśli ciąg nie jest ograniczony z góry, to jako granicę górną przyjmujemy +∞.
Jeśli ciąg ograniczony z góry (czyli w pierwszym przypadku) nie ma żadnego zbieżnego
podciągu, to zgodnie z konwencją sup ∅ = −∞ jego granicą górną jest −∞. Analogicznie
definiuje się granicę dolną.
Granicę górną nazywa się też limes superior i oznacza lim sup an .
Granicę dolną nazywa się limes inferior i oznacza lim inf an .
Twierdzenie 2.6.1 (Charakteryzacja granicy górnej i dolnej)
lim sup an = inf
sup{ak : k ­ n}
n
n→∞
lim
inf an = sup inf{ak : k ­ n}
n→∞
n
DOWÓD (dla granicy górnej):
Rozważymy trzy przypadki:
1. lim sup an ∈ R.
Wykażemy dwie nierówności, z czego będzie wynikała potrzebna równość:
„lim sup an ¬ inf n sup{ak : k ­ n}”
Niech g będzie dowolną granicą częściową ciągu an .
∀n; g ¬ sup{ak : k ­ n}.
g ¬ inf n sup{ak : k ­ n}.
lim sup an ¬ inf n sup{ak ; k ­ n}.
„lim sup an ­ inf n sup{ak : k ­ n}”
Weźmy dowolne α > lim sup an .
Skończenie wiele wyrazów an może być większych od α, czyli.
∃nα , ∀n ­ nα ; sup{ak : k ­ n} < α.
inf n sup{ak : k ­ n} < α.
Biorąc pod uwagę wszystkie możliwe α > lim sup an możemy napisać
inf n sup{ak : k ­ n} ¬ inf{α; α > lim sup an } = lim sup an .
2. lim sup an = +∞
Wtedy ciąg an nie jest ograniczony z góry, skąd
∀n; sup{ak : k ­ n} = +∞.
inf n sup{ak : k ­ n} = +∞.
3. lim sup an = −∞
W tym przypadku lim an = −∞.
∀z ∈ R, ∃nz , ∀n ­ nz ; sup{ak : k ­ n} ¬ z.
inf n sup{ak ; k ­ n} = −∞.
24
Korzystając z wprowadzonych wcześniej oznaczeń (przy okazji badania ciągów
spełniających warunek Cauchy’ego)
αn = inf {ak ; k ­ n} ,
βn = sup{ak ; k ­ n}
udowodnione wzory można zapisać
lim inf an = lim αn , lim sup an = lim βn
przy czym dla każdego n ∈ N zachodzą nierówności
αn ¬ αn+1 ¬ βn+1 ¬ βn
Z tego wynika, że zawsze zachodzi nierówność
lim inf an ¬ lim sup an
Lemat 2.6.1 Ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, jeśli jego granica dolna jest
równa granicy górnej.
DOWÓD:
1. Załóżmy, że lim an = g i ustalmy ε > 0. Istnieje nε > 0 takie, że dla k ­ nε
g − ε < ak < g + ε
a stąd wynika, że dla n ­ nε
g − ε < αn ¬ βn < g + ε
a więc lim αn = lim βn na podstawie twierdzenia o zstępującym ciągu przedziałów.
2. Załóżmy, że lim αn = lim βn . Istnienie granicy lim an wynika wtedy z nierówności
αn ¬ an ¬ βn
i twierdzenia o trzech ciągach.
Lemat 2.6.2 Istnieje podciąg zbieżny do granicy górnej ciągu i podciąg zbieżny do
jego granicy dolnej.
DOWÓD: Dla granicy górnej.
Rozważymy trzy przypadki w zależności od postaci granicy górnej lim sup an = β.
25
1. β ∈ R.
Zauważmy, że dla dowolnej liczby ε > 0 i dowolnego n ∈ N
sup{ak ; k ­ n} > g − ε
Z drugiej strony istnieje nε takie, że dla n ­ nε jest
an < β + ε
Korzystając z tych dwóch faktów można, stosując zasadę indukcji, udowodnić
istnienie podciągu ank takiego, że dla każdego k ∈ N
g−
1
1
< ank < g +
k
k
2. β = +∞
Dla każdej liczby L ∈ R i n ∈ N istnieje k ­ n takie, że ak ­ L. Stosując
tę własność dla liczb L = 1, 2, . . . można, przy pomocy indukcji, udowodnić
istnienie podciągu ank takiego, że ank ­ k, a więc limk→∞ ank = +∞.
3. β = −∞
W tym przypadku lim an = −∞, a więc sam ciąg an spełnia żądany warunek.
2.7
Liczba e
Liczba e, podstawa logarytmów naturalnych, gra dużą rolę w analizie. Wprowadzimy
ją jako granicę pewnego ciągu.
Twierdzenie 2.7.1 Ciąg
xn = 1 +
1
n
n
jest zbieżny.
(Granicę tego ciągu nazywamy stałą Eulera i oznaczamy przez e. Początkowe wyrazy
jej rozwinięcia dziesiętnego to 2, 718 . . .)
DOWÓD: Wykażemy, że ciąg xn jest rosnący i ograniczony.
n(n − 1) . . . (n − n + 1) 1
1 n(n − 1) 1
+ ... +
+
· n
2
n
1 · 2 n
1 · 2 · . . . · n n
1
1
1
1
n−1
= 2+
1−
+ ... +
1−
... 1 −
2!
n
n!
n
n
xn = 1 + n
1
1
1
1
n−1
= 2+
1−
+ ... +
1−
... 1 −
2!
n+1
n!
n+1
n+1
1
1
n−1
n
+
1−
... 1 −
1−
(n + 1)!
n+1
n+1
n+1
xn+1
26
Porównując składniki w tych wyrażeniach widzimy, że xn < xn+1 .
Ponadto
xn < 2 +
1
1
1
1
1
1
+ + ...
< 2 + + 2 + . . . n−1 < 3
2! 3!
n!
2 2
2
♥
Lemat 2.7.1 Prawdziwa jest równość
n
X
1
e = lim
n→∞
a ponadto dla każdego n
n
X
1
0<e−
k=0
k!
(2.1)
k!
k=0
<
1
n! · n
(2.2)
DOWÓD: Zastosujmy wzór na wyraz ciągu xn dla n > k i odrzućmy wszystkie
składniki, które występują po wyrażeniu zawierającym k!1 . Dostaniemy prawdziwą
dla wszystkich n > k nierówność
xn > 2 +
1
2!
1−
1
n
+ k!1 1 −
1
n
+
1
3!
1−
1−
2
n
1
n
1−
... 1 −
2
n
+ ...
k−1
n
Przechodząc z n do nieskończoności, przy ustalonym k , dostajemy nierówność
e­2+
1
1
+ ... +
2!
k!
Oznaczmy prawą stronę tej nierówności przez yk . Mamy więc nierówności
xk < y k ¬ e
prawdziwe dla każdego k – w istocie prawa nierówność jest też ostra ze względu na
silną monotoniczność ciągu yk . Z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy równość
(2.1).
Teraz udowodnimy oszacowanie (2.2). Dla dowolnych n, m ∈ N mamy
yn+m − yn =
"
#
1
1
1
1
1+
+
+ ... +
<
(n + 1)!
n + 2 (n + 2)(n + 3)
(n + 2) · . . . · (n + m)
"
#
1
1
1
1
1+
+
.
.
.
+
<
+
(n + 1)!
n + 2 (n + 2)2
(n + 2)m−1
1
1
1
n+2
·
·
1 =
(n + 1)! 1 − n+2
(n + 1)! n + 1
Przechodząc z m do +∞ dostaniemy
e − yn ¬
1
n+2
1
n+2
1
·
=
·
<
2
(n + 1)! n + 1
n! (n + 1)
n!n
27
bo
n+2
(n+1)2
< n1 .
♥
Równość (2.1) z lematu 2.7.1 będziemy po wprowadzeniu pojęcia szeregu liczbowego
i sumy szeregu liczbowego zapisywali w następujący sposób
e=
∞
X
1
n=0
n!
Oszacowanie (2.2) pozwala obliczać liczbę e z dowolną ustaloną dokładnością,
jak również udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.7.2 Liczba e jest niewymierna.
DOWÓD: Przypuśćmy, że liczba e jest wymierna i e =
Zastosujmy oszacowanie (2.2) dla n = q .
p
1
1
1
0 < − 2 + + + ... +
q
2! 3!
q!
p
q
, gdzie p , q ∈ N .
!
<
1
q!q
Możemy napisać
1
1
1
θ
p
= 2 + + + ... + +
q
2! 3!
q! q!q
gdzie 0 < θ < 1 .
Mnożąc obydwie strony tej równości przez q!q dostaniemy
1
1
1
θ = pq! − qq! 2 + + + . . . +
2! 3!
q!
!
Po lewej stronie jest liczba z przedziału (0, 1), a po prawej liczba całkowita –
sprzeczność.
Liczba e musi więc być niewymierna.
♥
Uwaga. Można też wykazać, że liczba e jest niealgebraiczna (przestępna), to znaczy,
że nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Ciągowi, który posłużył do określenia e, można nadać ogólniejszą postać.
Lemat 2.7.2 Jeśli lim |xn | = +∞ to
lim
n→∞
1
1+
xn
xn
=e
DOWÓD: Niech [a] oznacza część całkowitą liczby a.
Rozważamy trzy przypadki:
1. lim xn = +∞
Bierzemy pod uwagę tylko xn ­ 1. Korzystając z nierówności [xn ] ¬ xn <
[xn ] + 1 można napisać serię nierówności:
1+
1
1
1
<1+
¬1+
[xn ] + 1
xn
[xn ]
28
1
1+
[xn ] + 1
1+
1
[xn ]+1
1
[xn ]+1
+ [xn1]+1
![xn ]
xn
1
< 1+
xn
1
< 1+
xn
xn
1
¬ 1+
[xn ]
1
¬ 1+
[xn ]
![xn ]
![xn ]+1
1
1+
[xn ]
!
2. lim xn = −∞
Najpierw wykażemy, że
lim
n→∞
1+
1
−n
−n
=
n
n−1
n
1
1+
−n
= 1+
−n
=e
1
n−1
n−1 1
→e
n−1
1+
Bierzemy pod uwagę tylko xn < −2. Korzystając z nierówności [xn ] ¬ xn <
[xn ] + 1 można napisać serię nierówności:
1+
1
1+
[xn ]
1+
1
[xn ]
1
1
1
<1+
¬1+
[xn ] + 1
xn
[xn ]
![xn ]+1
![xn ]
1+
1
¬ 1+
xn
1
[xn ]
!
x n
¬ 1+
1
< 1+
[xn ] + 1
1
xn
x n
1+
< ![xn ]
1
[xn ]+1
1+
[xn ]+1
1
[xn ]+1
−1
(Trzeba brać pod uwagę, że wykładniki są ujemne, a podstawy potęg z przedziału
(0, 1). )
3. lim |xn | = +∞, ale żaden z poprzednich przypadków.
Ciąg xn zawiera podciąg rozbieżny do +∞ i podciąg rozbieżny do −∞. Można
go wtedy rozbić na dwa takie podciągi i zastosować do nich poprzednie punkty.
Jeśli ciąg jest rozbity na dwa podciągi, z których każdy jest zbieżny do tej
samej granicy, to sam ciąg też jest zbieżny do tej granicy.
♥
2.8
Porównywanie ciągów
Definicja 2.8.1 Ciąg {un } jest zdominowany przez ciąg {vn }, jeśli spełniony jest
warunek
∃L ­ 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ­ n0 ; |un | ¬ L|vn |
Zapisuje się to symbolicznie un = O(vn ) i tradycyjnie określa, że ciąg un jest „O
duże” ciągu vn .
29
Definicja 2.8.2 Ciąg {un } jest nieskończenie mały w porównaniu z ciągiem {vn },
jeśli
∀ε > 0, ∃nε , ∀n ­ nε ; |un | ¬ ε|vn |
Zapisuje się to symbolem un = o(vn ) i określa, że ciąg un jest „o małe” ciągu vn .
Jeśli ciąg vn jest zbieżny do zera, to mówi się, że ciąg un jest nieskończenie małą
wyższego rzędu niż vn .
Lemat 2.8.1 Jeśli wyrazy ciągu {vn } są różne od zera, to
1. un = O(vn ) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg
un
vn
jest ograniczony.
2. un = o(vn ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim uvnn = 0 .
2.8.1
Ciągi równoważne
Definicja 2.8.3 Ciągi {un } i {vn } są równoważne, jeśli
un − vn = o(vn )
Zapisuje się to tak un ∼ vn .
Uwaga. Jeśli dwa ciągi są równoważne, to począwszy od pewnego miejsca jeśli
wyraz jednego z nich jest równy 0, to drugiego też.
(Dla dowodu tej uwagi można rozważyć warunek z definicji dla ε = 12 .)
Lemat 2.8.2 Ciągi un i vn są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg αn
taki, że lim αn = 0 oraz począwszy od pewnego n zachodzi równość un = (1 + αn )vn .
DOWÓD: Wykażemy implikacje w dwie strony.
, , ⇒00
Zakładamy, że un ∼ vn .
Rozważamy n tak duże, że un = 0 ⇔ vn = 0.
Niech
(
un
− 1 gdy vn 6= 0
αn = vn
0
gdy vn = 0
Jeśli vn 6= 0 i |un − vn | ¬ ε|vn |, to |αn | ¬ ε.
Udowodniliśmy, że lim αn = 0.
, , ⇐00
Zakładamy, że lim αn = 0.
Z równości un = (1 + αn )vn wynika |un − vn | = |αn ||vn |.
Przy dowolnym ustalonym ε > 0 istnieje nε , że dla n ­ nε jest |αn | < ε.
Wtedy |un − vn | ¬ ε|vn |
30
♥
Twierdzenie 2.8.1 Relacja ∼ jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich ciągów
liczbowych.
DOWÓD: Wykazujemy spełnienie trzech warunków relacji równoważności.
zwrotność
Przyjmując αn = 0 mamy un = (1 + αn )un .
symetria
Jeśli un = (1 + αn )vn , to vn = 1 −
αn
1+αn
un .
przechodniość
Niech un = (1 + αn )vn oraz vn = (1 + βn )wn .
Wtedy un = (1 + αn + βn + αn βn )wn .
Przykłady.
1. Jeśli α < β , to nα = o(nβ ),
1
nβ
= o( n1α ) .
2. Jeśli |a| < |b| , to an = o(bn ).
3. an = o(n!)
31
♥
Rozdział 3
Szeregi liczbowe
∞
Definicja 3.0.4 Szeregiem liczbowym nazywamy parę ciągów ( {un }∞
n=1 , {Sk }k=1 ) ,
gdzie {un } jest dowolnym ciągiem liczbowym, a ciąg {Sk } jest zdefiniowany wzorem
Sk =
k
X
un
n=1
Ciąg un nazywa się ciągiem wyrazów tego szeregu, a ciąg Sk ciągiem sum częściowych.
Na ogół szereg oznacza się skrótowo jednym z następujących symboli:
∞
X
X
un ,
un
n=1
Sumowanie sum częściowych może się odbywać począwszy od innego wskaźnika,
niekoniecznie od jedynki, to znaczy możemy rozważać też szeregi
∞
X
un
n=p
3.1
Szeregi liczbowe zbieżne
P
Definicja 3.1.1 Szereg un nazywamy zbieżnym, jeśli zbieżny jest jego ciąg sum
częściowych. Granicę tego ciągu nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem
∞
X
un
n=1
Jeśli szereg nie jest zbieżny, to mówimy, że jest rozbieżny.
Jeśli ciąg sum częściowych szeregu jest zbieżny do granicy niewłaściwej +∞ lub
−∞ , to mówimy, że suma tego szeregu jest odpowiednio równa +∞ bądź −∞ .
Uwaga: Dany jest ciąg {un }∞
k ¬ l. Szereg
n=k i niech
P
tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg ∞
n=l un .
32
P∞
n=k
un jest zbieżny wtedy i
Przykłady
1. Szereg geometryczny. Niech a0 6= 0 .
k
X
u n = a0 · q n ,
a0 q n = a0
n=0
1 − q k+1
1−q
Jeśli |q| < 1 , to szereg geometryczny jest zbieżny i
∞
X
a0 q n =
n=0
a0
1−q
Dla |q| ­ 1 szereg geometryczny jest rozbieżny.
2. Wzór z lematu 2.1 możemy teraz zapisać w postaci
∞
X
1
n=0
3.1.1
n!
=e
Warunek konieczny zbieżności szeregu
Twierdzenie 3.1.1 Jeśli szereg liczbowy jest zbieżny, to ciąg jego wyrazów jest
zbieżny do zera.
DOWÓD: Dla n > 1
un =
n
X
uk −
k=1
n−1
X
uk →
∞
X
uk −
k=1
k=1
∞
X
uk = 0
k=1
♥
To nie oznacza, że jeśli ciąg wyrazów szeregu jest zbieżny do zera, to szereg jest
zbieżny!!!
Przykład szeregu rozbieżnego spełniającego warunek konieczny zbieżności
szeregu
Tak zwany szereg harmoniczny
X1
n
jest rozbieżny, a oczywiście spełnia warunek konieczny zbieżności.
Ustalmy k ∈ N . Mamy
S2k+1 − S2k =
2k
1
1
1
1
1
+ . . . + k+1 > k+1 + . . . + k+1 =
+1
2
2
2
2
Stąd wynika, że dla wzystkich k ∈ N zachodzi nierówność S2k > k2 .
Ciąg sum częściowych Sn jest rosnący i zawiera podciąg zbieżny do nieskończoności,
więc sam też jest zbieżny do nieskończoności, czyli
∞
X
1
n=1
n
= +∞
♥
33
3.1.2
Dodawanie szeregów i mnożenie przez liczbę
Twierdzenie 3.1.2
1. Jeśli zbieżne są szeregi
P
un i
∞
X
P
vn , to zbieżny jest szereg
n=1
2. Jeśli zbieżny jest szereg
P
αun i
P
∞
X
(un + vn ) =
un +
n=1
∞
X
P
(un + vn ) i
vn
n=1
un , a α jest dowolną liczbą, to zbieżny jest też szereg
∞
X
αun = α
n=1
∞
X
un
n=1
P
Uwaga: Może się zdarzyć, że szereg (un + vn ) jest zbieżny, a szeregi
P
vn są rozbieżne. Na przykład dla un = n , vn = −n.
3.1.3
P
un ,
Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów
Twierdzenie 3.1.3 Szereg
P
un jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek
m+k X
un < ε
∀ε > 0, ∃nε , ∀m ­ nε , ∀k ∈ N ; n=m
Dowód polega na zastosowaniu warunku Cauchy’ego zbieżności ciągów do ciągu sum
częściowych szeregu.
3.1.4
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów
Twierdzenie 3.1.4
1. Jeśli szereg un o wyrazach nieujemnych jest zbieżny i dla n ∈ N zachodzą
P
nierówności |xn | ¬ un , to szereg xn jest zbieżny.
P
2. Jeśli szereg un jest rozbieżny i dla n ∈ N zachodzą nierówności 0 ¬ un ¬ xn ,
P
to szereg xn jest rozbieżny.
P
DOWÓD:
P
1. Ustalmy ε > 0. Szereg uk jest zbieżny, więc na mocy warunku Cauchy’ego
istnieje nε , że dla wszystkich n ­ m ­ nε
n
X
uk < ε
k=m
Dzięki nierównościom
n
n
n
X
X
X
xk ¬
|xk | ¬
uk
k=m
k=m
34
k=m
możemy stwierdzić, że dla wszystkich n ­ m ­ nε
n
X
xk < ε
k=m
Szereg
P
xk spełnia więc warunek Cauchy’ego, czyli jest zbieżny.
2.
n
X
xk ­
k=1
n
X
uk → ∞ gdy n → ∞
k=1
♥
Przykłady:
1. Szereg
P
2. Szereg
P
3.2
1
2n +1
1
ns
jest zbieżny, bo zbieżny jest szereg
P
1
2n
.
jest rozbieżny dla s ¬ 1 , bo rozbieżny jest szereg
P
1
n
.
Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych
Jeśli dla wszystkich n ∈ N jest un ­ 0, to ciąg sum częściowych szeregu
un
jest niemalejący, a więc albo zbieżny do liczby skończonej, albo zbieżny do granicy
niewłaściwej +∞.
P
3.2.1
Kryteria wynikające bezpośrednio z kryterium porównawczego
Twierdzenie 3.2.1 Niech ∀n ∈ N : un ­ 0 , vn > 0 . Wtedy
1. Jeśli ciąg uvnn jest ograniczony z góry, to ze zbieżności szeregu
P
zbieżność szeregu un .
P
vn wynika
2. Jeśli ciąg uvnn jest ograniczony z dołu przez liczbę dodatnią, to z rozbieżności
P
P
szeregu vn wynika rozbieżność szeregu un .
DOWÓD:
1. Istnieje stała L ­ 0 taka, że dla wszystkich n jest
kryterium porównawczego dzięki nierównościom
un
vn
¬ L. Teza wynika z
0 ¬ un ¬ Lvn
i zbieżności szeregu
P
vn .
2. Istnieje stała α > 0 taka, że dla wszystkich n jest α ¬
wynika z kryterium porównawczego dzięki nierównościom
un
.
vn
Tutaj też teza
αun ¬ vn
i rozbieżności szeregu
P
♥
un .
35
Wniosek: Jeśli istnieje granica lim uvnn różna od zera, to szereg
P
wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg vn .
Przykłady:
1. Szereg
P
1
2n −n
jest zbieżny, bo zbieżny jest szereg
2. Szereg
P
√1
n+5
jest rozbieżny, bo rozbieżny jest szereg
P
1
2n
P
un jest zbieżny
.
P
√1
n
.
Twierdzenie 3.2.2 Jeśli ∀n ∈ N ; un > 0, vn > 0 oraz
un+1
vn+1
¬
un
vn
to
1. Ze zbieżności szeregu
P
2. Z rozbieżności szeregu
vn wynika zbieżność szeregu
P
P
un wynika rozbieżność szeregu
un .
P
vn .
DOWÓD: Skracając ułamki po obydwóch stronach nierówności
un un−1
u3 u2
vn vn−1
v3 v2
·
· ... ·
·
¬
·
· ... ·
·
un−1 un−2
u2 u1
vn−1 vn−2
v2 v1
dostajemy un v1 ¬ vn u1 . Teza w obydwóch przypadkach wynika z kryterium porównawczego.
♥
3.2.2
Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego – opierające się na
porównaniu z szeregami geometrycznymi
Cechą wspólną tych kryteriów jest to, że przy dowodzie ich prawdziwości w części
dotyczącej zbieżności konstruuje się pewne zbieżne szeregi geometryczne ograniczające
z góry badane szeregi. Wynika z tego, że nie da się ich zastosować do stwierdzenia
zbieżności szeregów, które nie są ograniczone przez żaden szereg geometryczny.
Kryterium d’Alemberta
Twierdzenie 3.2.3 Niech ∀n ∈ N ; un > 0 .
< 1 , to szereg
1. Jeśli lim sup uun+1
n
2. Jeśli lim inf
un+1
un
> 1 , to szereg
P
P
un jest zbieżny.
un jest rozbieżny.
DOWÓD:
1. Istnieje liczba q ∈ (0, 1) i wskaźnik ñ, że
∀n ­ ñ;
36
un+1
<q
un
Zbieżność szeregu nie zależy od skończonej liczby wyrazów, można więc odrzucić
wyrazy o wskaźnikach mniejszych niż ñ i przenumerować tak, by zaczynały się
od 1.
Mnożymy i dzielimy prawą stronę nierówności przez q n
un+1
q n+1
< n
un
q
Szereg
P
q n jest zbieżny, więc szereg
P
un również.
2. Dowód przebiega analogicznie – należy skorzystać z tego, że istnieje q > 1
takie, że od pewnego ñ zachodzi nierówność
un+1
>q
un
♥
= a.
Wniosek: Niech lim uun+1
n
1. Jeśli a < 1 , to szereg
P
un jest zbieżny.
2. Jeśli a > 1 , to szereg
P
un jest rozbieżny.
3. Jeśli a = 1 , to na podstawie kryterium d’Alemberta nie można stwierdzić, czy
ten szereg jest zbieżny, czy rozbieżny.
Przykłady:
1. Szereg
P
n
2n
jest zbieżny, bo lim uun+1
= 21 .
n
2. Szereg
P
1
n
=1.
jest rozbieżny, a lim uun+1
n
3. Szereg
P
1
n2
jest zbieżny, a lim uun+1
=1.
n
Kryterium Cauchy’ego
Twierdzenie 3.2.4 Niech ∀n ∈ N ; un ­ 0. Wtedy
1. Jeśli lim sup
√
n
un < 1 , to szereg
P
un jest zbieżny.
2. Jeśli lim sup
√
n
un > 1 , to szereg
P
un jest rozbieżny.
DOWÓD:
√
1. ∃q ∈ (0, 1), ∃ñ ∈ N, ∀n ­ ñ; n un < q.
P
Dla n ­ ñ mamy un < q n , szereg q n jest zbieżny, więc na mocy kryterium
P
porównawczego szereg un również jest zbieżny.
P
√
2. Istnieje nieskończenie wyrazów szeregu un , dla których n un > 1, czyli un >
1, a więc nie spełnia on warunku koniecznego zbieżności szeregów.
♥
37
Wniosek: Niech lim
√
n
un = a.
1. Jeśli a < 1 , to szereg
P
un jest zbieżny.
2. Jeśli a > 1 , to szereg
P
un jest rozbieżny.
3. Jeśli a = 1 kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć problemu zbieżności.
Przykład: Niech τ (n) oznacza liczbę dzielników liczby naturalnej n . Na podstawie
P
kryterium Caychy’ego można stwierdzić, że szereg τ (n) xn jest zbieżny dla 0 ¬
x < 1 , a dla x ­ 1 jest rozbieżny. Kryterium d’Alemberta nie da się zastosować.
Porównanie kryterium d’Alemberta z kryterium Cauchy’ego
Jeśli o zbieżności szeregu rozstrzyga kryterium d’Alemberta, to rozstrzyga również
kryterium Cauchy’ego. Uzasadnimy to stwierdzenie.
Jeśli kryterium d’Alemberta rozstrzyga, to istnieje q ∈ (0, 1) takie, że dla n ­ k
zachodzi nierówność
un+1
<q
un
Dla n > k jest un < q n−k uk , skąd
√
n
un < q
√
n−k
n
n
uk → q , gdy n → ∞
Począwszy od pewnego ñ prawdziwa jest nierówność
√
n
a ponieważ
3.2.3
q+1
2
un <
q+1
2
√
< 1, więc limsup n un < 1
♥
Kryterium Raabego – opierające się na porównaniu z
szeregiem harmonicznym
Przed sformułowaniem i udowodnieniem kryterium Raabego omówimy zbieżnośc
P
szeregów harmonicznych, to znaczy postaci n1s dla różnych wartości parametru s.
Lemat 3.2.1 Szereg
P
1
ns
jest zbieżny dla s > 1 i rozbieżny dla s ¬ 1.
DOWÓD:
Przypadek s ¬ 1
Poprzednio było pokazane, że dla s = 1 szereg jest rozbieżny. Dzięki kryterium
porównawczemu wynika stąd, że jest również rozbieżny dla s < 1 (dla s ¬ 0
nie spełnia nawet warunku koniecznego zbieżności szeregów).
38
Przypadek s > 1
Ustalmy dowolną liczbę k = 0, 1, 2, . . . i rozważmy sumę wyrazów szeregu
począwszy od wskaźnika 2k do 2k+1 − 1. Jest ich (2k+1 − 1) − (2k − 1) = 2k .
1
1
1
1
+ k
+ . . . + k+1
¬ 2k · k s = (21−s )k
k
s
s
s
(2 )
(2 + 1)
(2
− 1)
(2 )
Niech q będzie dowolną liczbą naturalną i weźmy liczbę p taką, żeby było
2p+1 > q.
p
q
X
X
1
1
¬
2(1−s)k <
s
1 − 21−s
n=1 n
k=0
Prawa strona nierówności nie zależy od q, czyli ciąg sum częściowych szeregu
jest ograniczony z góry, a ponieważ jest też monotoniczny, więc jest zbieżny.
♥
Zauważmy jeszcze, że żaden szereg geometryczny o ilorazie mniejszym niż 1 nie
P
może być majorantą szeregu n1s dla s > 1. Wynika to z następującego pomocniczego
lematu.
Lemat 3.2.2 Dla dowolnego s > 1 i α ∈ (0, 1)
lim αn ns = 0
n→∞
DOWÓD: Oznaczmy xn = αn ns . Wtedy
n+1
=α
n
xn+1
s
xn
s
= 1, więc istnieje p, że dla n ­ p mamy α
Ponieważ limn→∞ n+1
n
1
(α + 1) i stąd xn+1 < βxn . Dla dowolnej liczby naturalnej k
2
n+1
n
s
<β=
xp+k < β k xp
i stąd na mocy twierdzenia o trzech ciągach lim xn = 0.
Twierdzenie 3.2.5 (Kryterium Raabego) Niech ∀n ∈ N ; un > 0.
1. Jeśli
!
un
lim inf n
−1 >1
n→∞
un+1
to szereg
P
un jest zbieżny.
2. Jeśli istnieje takie m ∈ N , że dla n ­ m zachodzi nierówność
!
un
−1 ¬1
n
un+1
to szereg
P
un jest rozbieżny.
39
♥
DOWÓD:
1. Niech r > 1 i nr będą takie, że dla n ­ nr
!
un
1
un
− 1 > r , czyli
>1+r
n
un+1
un+1
n
Ustalamy s ∈ (1, r) i rozważamy pomocnicze funkcje
φ(x) = (1 + x)s ,
ψ(x) = 1 + rx
Dzięki nierówności
φ0 (0) = s < r = ψ 0 (0)
istnieje δ > 0 takie, że jeśli 0 < x < δ, to
(1 + x)s < 1 + rx
Biorąc n >
1
δ
dostaniemy
r
un
1
>1+ > 1+
un+1
n
n
s
=
(n + 1)s
ns
skąd
un+1
<
un
Dzięki zbieżności szeregu
P
2. Dla n ­ m
1
ns
szereg
P
1
(n+1)s
1
ns
un też jest zbieżny.
n+1
1
un
¬1+ =
un+1
n
n
skąd
un+1
­
un
Z rozbieżności szeregu
P
1
n
1
n+1
1
n
wynika rozbieżność szeregu
P
un .
♥
Wniosek 3.2.1 Jeśli istnieje granica
!
un
lim n
−1 =α
n→∞
un+1
to gdy α > 1 szereg
P
un jest zbieżny, gdy α < 1 jest rozbieżny.
n
Uwaga: Jeśli lim n uun+1
− 1 = 1, ale ciąg nie jest z góry ograniczony od jakiegoś
miejsca przez 1, to kryterium Raabego nie rozstrzyga problemu zbieżności tego
szeregu.
40
Porównanie kryteriów d’Alemberta i Raabego
Twierdzenie 3.2.6 Jeśli kryterium d’Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu, to
kryterium Raabego również rozstrzyga.
DOWÓD:
1. Załóżmy, że na podstawie kryterium d’Alemberta można stwierdzić zbieżność
P
szeregu un .
Istnieją wtedy α ∈ (0, 1) i nα , że dla n ­ nα jest uun+1
< α.
n
!
1
un
n
−1 >n
− 1 → +∞ , gdy n → ∞
un+1
α
2. Załóżmy, że na podstawie kryterium d’Alemberta można stwierdzić rozbieżność
P
szeregu un .
> β.
Istnieją β > 1 i nβ , że dla n ­ nβ jest uun+1
n
!
!
un
1
n
−1 <n
− 1 → −∞ , gdy n → ∞
un+1
β
♥
Przykład: Rozważamy następujący szereg z dowolnym parametrem x > 0
∞
X
n!
n=1 (x + 1)(x + 2) · . . . · (x + n)
Jest on na mocy kryterium Raabego zbieżny dla x > 1, rozbieżny dla 0 < x < 1.
Dla x = 1 jest on rozbieżny, ale nie wynika to z kryterium Raabego. Do tego szeregu
nie da się zastosować kryterium d’Alemberta.
3.2.4
Niezależność sumy szeregu o wyrazach nieujemnych
od kolejności sumowania
Własność przemienności dodawania taka jak w arytmetyce niekoniecznie zachodzi
dla dowolnych sum nieskończonych (to znaczy sum szeregów o wyrazach dowolnych).
Jest prawdziwa przy pewnych założeniach. Tutaj wykażemy, że wystarczy do tego
nieujemność wyrazów szeregu. Później będzie podany ogólniejszy warunek.
Zmiana kolejności sumowania w szeregu liczbowym
Na początku ustalimy co rozumiemy przez zmianę kolejności sumowania w szeregu.
P
Weźmy pod uwagę dowolny szereg un .
Definicja 3.2.1 Niech γ : N → N będzie bijekcją zbioru liczb naturalnych na siebie
P
P
i przyjmijmy u0n = uγ(n) . Mówimy, że szereg u0n powstaje z szeregu un poprzez
zmianę kolejności sumowania.
Wykonując zmianę kolejności sumowania w szeregu
P
odwrotnej do γ dostaje się z powrotem szereg un .
41
P
u0n przy pomocy bijekcji γ −1
Zmiana kolejności sumowania w szeregu o wyrazach nieujemnych
Twierdzenie 3.2.7 Jeśli szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny, to po zmianie
kolejności sumowania będzie on zbieżny do tej samej sumy.
DOWÓD: Niech φ(p) = max{γ(1), γ(2), . . . , γ(p)} dla każdego p ∈ N .
p
X
n=1
u0n =
p
X
φ(p)
uγ(n) ¬
n=1
X
un ¬
n=1
∞
X
un
n=1
czyli ciąg sum częściowych szeregu u0n jest ograniczony z góry, a ponieważ jest też
monotoniczny, więc jest zbieżny, a ponadto zachodzi nierówność
P
∞
X
u0n ¬
n=1
∞
X
un
n=1
Nierówność przeciwna wynika przez zastosowanie już udowodnionej, przy czym trzeba
P
P
traktować szereg u0n jako wyjściowy, a szereg un jako utworzony z niego przez
zmianę kolejności sumowania.
♥
3.3
Szeregi o dowolnych wyrazach
W dalszym ciągu omawiane są szeregi, których wyrazy mogą być dowolnymi liczbami
rzeczywistymi.
3.3.1
Szeregi bezwzględnie zbieżne
P
Definicja 3.3.1 Szereg un nazywa się bezwzględnie zbieżny, jeśli zbieżny jest szereg,
P
którego wyrazami są wartości bezwzględne wyrazów tego szeregu, to znaczy |un |.
Twierdzenie 3.3.1 Szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.
DOWÓD: Skorzystamy z warunku Cauchy’ego zbieżności szeregów.
Ustalmy ε > 0.
P
Szereg |un | jest zbieżny, czyli spełnia warunek Cauchy’ego, więc istnieje takie nε ,
że dla wszystkich m ­ nε i k ∈ N
m+k
X
|un | < ε
n=m
Dzięki nierówności
m+k
m+k
X
X
un ¬
|un |
n=m n=m
możemy stwierdzić, że dla m ­ nε i k ∈ N zachodzi nierówność
m+k
X
un < ε
n=m 42
Oznacza to, że szereg un spełnia warunek Cauchy’ego, a więc jest zbieżny.
♥
Istnieją szeregi zbieżne, które nie są bezwzględnie zbieżne. Przykładem takiego
szeregu jest
X (−1)n
n
Jego zbieżność można stwierdzić na podstawie podanego dalej kryterium Leibniza.
P
Przy badaniu bezwzględnej zbieżności szeregów można stosować do szeregu |un |
wszystkie kryteria dla szeregów o wyrazach nieujemnych.
P
Szereg części dodatnich i szereg części ujemnych wyrazów danego szeregu
Dla dowolnej liczby a przyjmijmy oznaczenia
a− = max{−a , 0}
a+ = max{a , 0}
a+ i a− można interpretować jako dwie funkcjie określone na zbiorze liczb rzeczywistych.
Zachodzą równości
a = a+ − a− , |a| = a+ + a−
P
Twierdzenie 3.3.2 Szereg un jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
P −
P
um .
zbieżne są szeregi u+
n i
Dla bezwzględnie zbieżnych szeregów zachodzi równość
∞
X
un =
∞
X
u+
n −
u−
n
n=1
n=1
n=1
∞
X
DOWÓD: Najpierw udowodnimy równoważność zbieżności, to znaczy pierwszą część
twierdzenia.
P
„⇒” (Zakładamy, że un jest bezwzględnie zbieżny.) Zbieżność szeregów
P
i u−
n wynika z nierówności
0 ¬ u+
n ¬ |un |
P
u+
n
0 ¬ u−
n ¬ |un |
,
oraz z kryterium porównawczego.
„⇐” (Zakładamy, że szeregi
równość
P+
p
X
n=1
n
i
P−
n
|un | =
są zbieżne.) Dla sum częściowych mamy
p
X
n=1
u+
n
+
p
X
u−
n
n=1
Dzięki twierdzeniu o sumie szeregów zbieżnych dostajemy zbieżność szeregu
P
|un |.
Z ostatniej równości pomiędzy sumami częściowymi wynika też równość z tezy twierdzenia.
♥
43
Niezależność szumy szeregu bezwzględnie zbieżnego od kolejności sumowania
P
Twierdzenie 3.3.3 Jeśli szereg
un jest bezwzględnie zbieżny, to każdy szereg,
który powstaje z niego przez zmianę kolejności sumowania jest również bezwzględnie
zbieżny i sumy tych szeregów są takie same.
DOWÓD: Niech bijekcja γ zbioru liczb naturalnych na siebie opisuje zmianę kolejności
sumowania w szeregu. Na podstawie twierdzeń 3.3.2 i 3.2.7 dostajemy równości
∞
X
n=1
un =
∞
X
u+
n −
∞
X
u−
n =
u+
γ(n) −
n=1
n=1
n=1
∞
X
∞
X
u−
γ(n) =
n=1
∞
X
uγ(n)
n=1
♥
3.4
Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych
Podane tu kryteria pozwalają stwierdzać zbieżność szeregów, ale nie ich bezwzględną
zbieżność.
3.4.1
Kryterium Leibniza
To kryterium pozwala stwierdzać zbieżność tak zwanych szeregów naprzemiennych,
to znaczy takich, których wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne.
Twierdzenie 3.4.1 Jeśli ciąg an jest nierosnący i zbieżny do zera, to następujące
szeregi są zbieżne
X
X
(−1)n an ,
(−1)n+1 an
Jeśli przez Sn oznaczyć sumy częściowe takiego szeregu, a przez S jego sumę, to dla
każdego n ∈ N zachodzi nierówność
|Sn − S| ¬ an+1
Dowód przeprowadzimy dla szeregu postaci
DOWÓD:
„Zbieżność”
(−1)n+1 an .
P
S2n = (a1 − a2 ) + . . . + (a2n−1 − a2n ) ¬
¬ (a1 − a3 ) + . . . + (a2n−1 − a2n ) + (a2n+1 − a2n+2 ) = S2(n+1)
{z
|
}
­0
– ciąg sum częściowych o wskaźnikach parzystych jest więc niemalejący. Z nierówności
S2n = a1 + (−a2 + a2 ) + . . . + (−a2n−2 + a2n−1 ) −a2n ¬ a1
|
{z
¬0
}
|
{z
¬0
wynika, że jest też ograniczony z góry, czyli zbieżny.
44
}
Ze względu na zależność
|S2n−1 − S2n | = a2n → 0
możemy stwierdzić, że ciąg S2n−1 jest zbieżny do tej samej granicy co ciąg S2n , więc
cały ciąg sum częściowych Sn jest zbieżny.
„Szacowanie błędu”
Z pierwszej części dowodu wiemy już, że S2n ¬ a1 , a ponadto
S2n = a1 − a2 + . . . + a2n−1 − a2n ­ 0
| {z }
|
­0
{z
­0
}
Dla sum częściowych o wskaźnikach nieparzystych
S2n+1 = a1 + (−a2 + a3 ) + . . . + (−a2n + a2n+1 ) ¬ a1
{z
|
}
¬0
|
{z
}
¬0
S2n+1 = (a1 − a2 ) + . . . + (a2n−1 − a2n ) +a2n+1 ­ 0
|
{z
­0
}
|
{z
­0
}
Na podstawie tych wszystkich nierówności
0¬
∞
X
(−1)n+1 an ¬ a1
n=1
Dla dowolnego n ∈ N wynika stąd, że
X
∞
k+1 |S − Sn | = (−1) ak ¬ an+1
k=n+1
♥
bo reszta szeregu też jest szeregiem naprzemiennym.
3.4.2
Kryteria Dirichleta i Abela
Twierdzenie 3.4.2 (Kryterium Dirichleta) Załóżmy, że ciąg {vn } jest malejący,
P
zbieżny do zera, a ciąg {un } taki, że ciąg sum Un = nk=1 uk jest ograniczony. Wtedy
P
szereg un vn jest zbieżny.
P
DOWÓD: Wykażemy, że szereg un vn spełnia warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów.
W tym celu ustalmy ε > 0.
Dążymy do znalezienie takiego nε , by dla nε ¬ p ¬ q
q
X
un v n < ε
n=p
(3.1)
Niech p ¬ q.
q
X
n=p
un v n =
q
X
(Un − Un−1 )vn =
n=p
q
X
n=p
45
Un vn −
q−1
X
n=p−1
Un vn+1 =
=
q−1
X
Un (vn − vn+1 ) + Uq vq − Up−1 vp
n=p
Korzystając z tego, że vn − vn+1 ­ 0 i że dla pewnej stałej M dla wszystkich n jest
|Un | ¬ M dostajemy
q
q−1
X
X
un v n ¬
|Un |(vn − vn+1 ) + |Uq |vq + |Up−1 |vp ¬
n=p
n=p
¬M
q−1
X
(vn − vn+1 ) + M vq + M vq = 2M vp
n=p
ε
, dostajemy (3.1).
♥
Biorąc nε takie, by dla n ­ nε było vn < 2M
Kryterium Leibniza jest szczególnym przypadkiem kryterium Dirichleta – wystarczy
przyjąć un = (−1)n i vn = an .
Przykład: Jeśli an & 0 , to szeregi
∞
X
∞
X
an sin nx ,
n=1
an cos nx
n=1
są zbieżne. Wynika to z kryterium Dirichleta dzięki równościom
n
X
sin ix =
cos 21 x − cos n +
2 sin
i=1
n
X
cos ix =
sin n +
1
2
1
2
x
1
x
2
x − sin 21 x
2 sin 12 x
i=1
Na podstawie kryterium Dirichleta można wykazać następujące kryterium.
P
Twierdzenie 3.4.3 (Kryterium Abela) Jeśli szereg un jest zbieżny, a ciąg vn
P
jest monotoniczny i ograniczony, to szereg un vn jest zbieżny.
DOWÓD: Rozważamy przypadek ciągu vn nierosnącego. Ma on granicę – oznaczamy
ją przez v.
p
X
n=1
un v n =
p
X
p
X
un (vn − v) + v
n=1
un
n=1
Szereg un (vn −v) jest zbieżny dzięki kryterium Dirichleta, a szereg un z założenia.
Przypadek ciągu vn niemalejącego można sprowadzić do poprzedniego biorąc
−vn .
♥
P
3.5
P
Szeregi warunkowo zbieżne
Definicja 3.5.1 Szereg nazywa się warunkowo zbieżny, jeśli jest zbieżny, ale nie
jest zbieżny szereg jego wartości bezwzględnych.
46
Inaczej mówiąc szereg jest warunkowo zbieżny, jeśli jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie
P
zbieżny. Przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg (−1)n n1 .
Lemat 3.5.1 Jeśli szereg
P
un jest warunkowo zbieżny, to
∞
X
u+
n =
n=1
DOWÓD: Przypuśćmy, że szereg
p
X
∞
X
u−
n = +∞
n=1
P
u+
n ma sumę skończoną. Korzystając z równości
p
X
u−
n =
n=1
u+
n −
p
X
un
n=1
n=1
można wtedy wywnioskować, że również szereg u−
n ma sumę skończoną. Z twierdzenia
P
3.3.2 wynikałoby wtedy, że szereg un jest bezwzględnie zbieżny, co jest sprzeczne
z założeniem.
P
Analogicznie przebiega dowód jeśli by założyć, że szereg u−
n ma sumę skończoną.
♥
P
3.5.1
Twierdzenie Riemanna o zmianie kolejności sumowania
dla szeregu warunkowo zbieżnego
P
Twierdzenie 3.5.1 Załóżmy, że szereg un jest warunkowo zbieżny i ustalmy dwie
wartości α , β , spełniające nierówności −∞ ¬ α ¬ β ¬ +∞.
Istnieje taka zmiana kolejności sumowania, że jeśli powstały w ten sposób szereg
P
P
oznaczymy przez u0n , a Sn0 = nk=1 uk są jego sumami częściowymi, to
lim
inf Sn0 = α ,
n→∞
lim sup Sn0 = β
(3.2)
n→∞
DOWÓD: Rozbijamy ciąg wszystkich liczb naturalnych na dwa rosnące podciągi:
p1 , p2 , . . . taki, że upi ­ 0
q1 , q2 , . . . taki, że uqi < 0
Na mocy lematu 3.5.1 mamy
∞
X
upi = +∞ ,
i=1
a ponadto, dzięki zbieżności szeregu
∞
X
uqi = −∞
(3.3)
i=1
P
un
upi , uqi → 0, gdy i → ∞
(3.4)
Przypadek −∞ < α ¬ β < +∞.
Tworzymy ciąg kn zawierający każdą liczbę naturalną dokładnie raz dołączając
na przemian kolejne segmenty ciągów pi oraz qi .
47
Zaczynamy biorąc po kolei początkowe wyrazy ciągu pi . Zatrzymujemy się, gdy
suma wyrazów up1 + . . . + upr stanie się większa bądź równa β.
Następnie bierzemy kolejne wyrazy ciągu qi . Zatrzymujemy się, gdy suma up1 +
. . . + upr + uq1 + . . . + uqs stanie się mniejsza bądź równa α.
Następnie kontynuujemy wybieranie kolejnych wyrazów ciągu pi , aż suma poprzednia
up1 + . . . + upr + uq1 + . . . + uqs i nowych upi stanie się większa bądź równa β. I tak
dalej.
Możliwość osiągania liczb β i α przy tym postępowaniu wynika z (3.3), a równość
(3.2) z własności (3.4).
Przypadek −∞ ¬ α ¬ β ¬ +∞, ale α i β nie są równocześnie równe +∞,
bądź równocześnie −∞.
Jeśli −∞ < α < β = +∞, to bierzemy ciąg rosnący liczb całkowitych zm =
[α] + m i m-tego przełączenia z ciągu pi na ciąg qi dokonujemy, gdy suma wszystkich
dotychczas wybranych wyrazów przekroczy zm . Przełączeń z ciągu qi na pi dokonujemy
jak w poprzednim przypadku.
Przypadek α = −∞, jak również α = −∞ i β = +∞ rozważa się analogicznie.
Przypadek α = β = +∞.
m-tego przełączenia z pi na qi należy dokonywać, gdy suma wyrazów przekroczy
m, a z qi na pi po wzięciu jednego wyrazu.
Przypadek α = β = −∞. Analogicznie.
♥
3.6
Iloczyn Cauchy’ego szeregów
Definicja 3.6.1 Iloczynem Cauchy’ego szeregów
∞
X
∞
X
un ,
nazywa się szereg
∞
P
n=0
vn
n=0
n=0
cn , którego wyrazy dane są wzorem
cn =
n
X
uk vn−k
k=0
Jako uzasadnienie tej definicji może posłużyć to, że jeśli traktowalibyśmy szeregi
postaci
∞
X
an x n ,
n=0
∞
X
bn x n
n=0
jako wielomiany, to mnożąc ich wyrazy i grupując według potęg x dostaniemy
a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + . . . +
n
X
!
ak bn−k xn + . . .
k=0
Ponadto każdy iloczyn postaci um un występuje dokładnie jeden raz w jednym z
wyrazów szeregu Cauchy’ego. Można więc powiedzieć, że iloczyn Cauchy’ego jest
48
próbą uogólnienia na sumy nieskończone zasady mnożenia skończonych sum mówiącej,
że trzeba uwzględnić iloczyny wszystkich składników z pierwszej sumy przez każdy
składnik drugiej sumy – co wynika z rozdzielności dodawania.
P
P
Twierdzenie 3.6.1 Jeśli szeregi un i vn są zbieżne i przynajmniej jeden z nich
jest bezwzględnie zbieżny, to iloczyn Cauchy’ego tych szeregów jest zbieżny i jego suma
jest równa iloczynowi sum tych szeregów.
DOWÓD: Zakładamy, że
P
un jest bezwzględnie zbieżny i przyjmujemy oznaczenia
a=
∞
X
|un |
n=0
n
X
Un =
uk ,
Vn =
k=0
U=
∞
X
k=0
uk ,
n
X
vk ,
k=0
V =
∞
X
vk ,
ωn = Vn − V
k=0
Wtedy
Pn
k=0 ck =
u0 v0 + (u0 v1 + u1 v0 ) + . . . + (u0 vn + u1 vn−1 + · · · + un v0 ) =
u0 (v0 + v1 + · · · + vn ) + u1 (v0 + v1 + · · · + vn−1 ) + . . . + un v0 =
u0 Vn + u1 Vn−1 + . . . + unV0 =
u0 (V + ωn ) + u1 (V + ωn−1 ) + . . . + un (V + ω0 ) =
Un V + u0 ωn + u1 ωn−1 + . . . + un ω0
Ponieważ limn→∞ Un V = U V , więc dla dowodu wystarczy wykazać, że
lim (u0 ωn + u1 ωn−1 + . . . + un ω0 ) = 0
n→∞
Ustalmy ε > 0 i niech dla n ­ ñ zachodzi nierówność
|ωn | ¬
ε
2a
Rozważamy n ­ ñ.
|u0 ωn + u1 ωn−1 + . . . + un ω0 | ¬
(|u0 ||ωn | + . . . + |un−ñ ||ωñ |) + (|un−ñ+1 ||ωñ−1 | + . . . + |un ||ω0 |) ¬
ε
a + (|un−ñ+1 ||ωñ−1 | + . . . + |un ||ω0 |)
2a
W ostatnim nawiasie jest suma ñ składników, z których każdy zbiega do zera, gdy
n → ∞. Suma też jest zbieżna do zera, więc począwszy od pewnego n̄ jest mniejsza
od 2ε .
Dla n ­ nε = max{ñ, n̄}
|u0 ωn + u1 ωn−1 + . . . + un ω0 | ¬
ε ε
+ =ε
2 2
♥
49
3.7
Uogólnienie ciągu średnich arytmetycznych –
twierdzenie Toeplitza
Rozważamy dla każdego n ∈ N skończony ciąg {pn m }nm=1 złożony z n wyrazów. Przy
każdej ustalonej liczbie m ∈ N powstaje w ten sposób nieskończony ciąg {pn m }∞
n=m .
Ten nieskończony ciąg skończonych ciągów można przedstawić w nieograniczonej
trójkątnej tablicy. Będziemy przyjmowali, że wszystkie jej elementy są nieujemne,
suma każdego wiersza jest równa jeden, a ciąg z każdej kolumny jest zbieżny do zera.
p11
p21
p31
..
.
p11 = 1
p21 + p22 = 1
p31 + p32 + p33 = 1
p22
p32
..
.
p33
..
.
pn1
..
.
pn2
..
.
pn3 . . .
..
.
pnn
..
.
↓
0
↓
0
↓
0
↓
0
Pn
m=1
pnm = 1
...
Twierdzenie 3.7.1 Załóżmy, że
∀n ∈ N, ∀m ¬ n; pn m ­ 0
∀n ∈ N ;
n
X
pn m = 1
m=1
∀m ∈ N ; n→∞
lim pn m = 0
Wtedy jeśli limm→∞ um = u , to
lim
n→∞
n
X
p n m um = u
m=1
DOWÓD: Przeprowadzimy uzasadnienie tylko w przypadku granicy właściwej u.
Ustalmy ε > 0 i niech K będzie takie, że dla k ­ K jest |uk − u| ¬ ε.
Dla każdego ustalonego m jest limn→∞ |pnm (um − u)| = 0. Istnieje więc km , że
dla k ­ km zachodzi nierówność
|pkm (um − u)| ¬
ε
2K
Dla n ­ nε = max{K, k1 , . . . , kK } mamy
n
n
X
X
u −
pnm um = pnm (u − um ) ¬
m=1
¬
K
X
m=1
m=1
n
X
|pnm (u − um )| +
m=K+1
50
pnm |(u − um )| ¬
K
n
ε
ε X
ε ε
+
pnm ¬ + = ε
2K 2 m=K+1
2 2
♥
Szczególnym przypadkiem twierdzenia jest sytuacja gdy pn m = . Mówi ono
wtedy, że ciąg średnich arytmetycznych początkowych n wyrazów ciągu zbieżnego
jest zbieżny do granicy tego ciągu, gdy n → ∞.
Uwaga: Może się zdarzyć, że ciąg średnich arytmetycznych początkowych wyrazów
ciągu jest zbieżny, a sam ciąg nie jest zbieżny. Na przykład dla um = (−1)m .
1
n
51
Rozdział 4
Granice funkcji i ciągłość
Rozważamy funkcje określone na podzbiorach zbioru liczb rzeczywistych i o wartościach
również w zbiorze liczb rzeczywistych. Stosują się do nich wszystkie ogólne rozważania
z teorii odwzorowań w przestrzeniach metrycznych, na przykład dotyczące granic,
ciągłości. Ze względu na charakter zbioru R występują też specyficzne własności.
4.1
Granica funkcji w punkcie
Definicja 4.1.1 (Punkt skupienia zbioru) Mówimy że x0 jest punktem skupienia
zbioru E ⊂ R, jeśli dla każdego ε > 0 przedział (x0 − ε, x0 + ε) zawiera co najmniej
jeden punkt zbioru E różny od x0 . (x0 może nie należeć do E.)
Analogicznie definiuje się lewostronny i prawostronny punkt skupienia zbioru –
odpowiednio przez niepustość przekrojów (x0 − ε, x0 ) ∩ E oraz (x0 , x0 + ε) ∩ E
dla każdego ε > 0.
Definicja 4.1.2 (Granica funkcji w punkcie – wariant Cauchy’ego) Liczba g
jest granicą funkcji f w punkcie x0 , jeśli
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ E; 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − g| < ε
Piszemy wtedy
lim f (x) = g
x→x0
Lemat 4.1.1 (Granica funkcji w punkcie – wariant Heinego) Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczb xn ,
różnych od x0 , zachodzi implikacja
lim xn = x0 ⇒ n→∞
lim f (xn ) = g
n→∞
4.1.1
Granice jednostronne
Definicja 4.1.3 Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 , jeśli
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ E; 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − g| < ε
52
Piszemy wtedy
lim f (x) = g
x→x0 −
Definicja 4.1.4 Liczba g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 , jeśli
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ E; 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − g| < ε
Piszemy wtedy
lim f (x) = g
x→x0 +
Analogicznie jak poprzednio można wykazać równoważność pojęcia granic jednostronnych
z warunkiem w postaci Heinego wyrażonym poprzez ciągi.
Lemat 4.1.2 Granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją
obydwie granice jednostronne i są sobie równe.
Granice funkcji monotonicznej
Twierdzenie 4.1.1 Niech funkcja f : [a, b] → R będzie monotoniczna. W każdym
punkcie x ∈ (a, b) istnieją granice jednostronne oraz
lim f (u) ¬ f (x) ¬ lim f (u)
u→x−
u→x+
W punkcie a istnieje granica prawostronna, w punkcie b lewostronna oraz
f (a) ¬ lim f (u)
u→a−
4.1.2
lim f (u) ¬ f (b)
,
u→b+
Granica górna i dolna funkcji
Definicja 4.1.5 Granicą górną funkcji f : E → R w punkcie x0 , będącym punktem
skupienia dziedziny, nazywa się wartość
inf sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α}
α>0
a granicą dolną wartość
sup inf{f (x); 0 < |x − x0 | < α}
α>0
Oznacza się je odpowiednio
lim sup f (x)
i
x→x0
(Mogą one być równe −∞ lub +∞ ).
53
lim inf f (x)
x→x0
Funkcja
φ(α) = sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α}
jest niemalejąca, funkcja
ψ(α) inf{f (x); 0 < |x − x0 | < α}
jest nierosnąca, więc obydwie mają w zerze granicę prawostronną. Możemy napisać
lim sup f (x) = lim φ(α) ,
x→x0
α→0+
lim
inf f (x) = lim ψ(α)
x→x
0
α→0+
Lemat 4.1.3 Liczba h ∈ R jest granicą górną funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy, gdy spełnione są dwa następujące warunki
(i) ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ E; 0 < |x − x0 | < α ⇒ f (x) < h + ε
(ii) ∀ε > 0, ∀α > 0, ∃x ∈ E; 0 < |x − x0 | < α i f (x) > h − ε
DOWÓD:
„⇒”
(i)
Ustalmy ε > 0.
∃αε ; sup{f (x); 0 < |x−x0 | < αε } < h+ε, bo jeśli nie, to inf α>0 sup{f (x); 0 <
|x − x0 | < α} ­ h + ε.
Stąd wynika (i).
(ii)
∀α > 0; sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} ­ h.
Przy ustalonym α > 0 musi dla dowolnego ε > 0 istnieć x, że
0 < |x − x0 | < α i f (x) > h − ε
bo jeśli dla jakiegoś ε nie byłoby takiego x, to
sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} ¬ h − ε
.
„⇐”
a) Przy ustalonym ε z (i) wynika, że dla pewnego α
sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} ¬ h + ε
Stąd
inf sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} ¬ h + ε
α>0
Dzięki dowolności ε > 0
inf sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} ¬ h
α>0
54
b) Ustalmy ε > 0.
Z (ii) wynika, że dla każdego α
sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} > h − ε
czyli
inf sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} ­ h − ε
α>0
Dzięki dowolności ε > 0
inf sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} ­ h
α>0
♥
łącznie z a) i b) mamy potrzebną równość.
Twierdzenie 4.1.2 Niech x0 będzie punktem skupienia dziedziny E funkcji f .
lim sup f (x) = sup{ lim f (xn ); xn → x0 , xn 6= x0 }
n→∞
x→x0
lim
inf f (x) = inf{n→∞
lim f (xn ); xn → x0 , xn 6= x0 }
x→x
0
(Po prawej stronie rozważa się oczywiście takie ciągi xn , że ciąg f (xn ) jest zbieżny
do granicy skończonej lub nieskończonej.)
DOWÓD: Rozważamy trzy przypadki.
1. −∞ < h = lim supx→x0 f (x) < +∞
„­”
Niech xn → x0 , f (xn ) → u.
Dzięki (i) przy dowolnym ε > 0 jest u ¬ h + ε.
Ze względu na dowolność ε > 0 mamy u ¬ h.
Stąd
lim sup f (x) ­ sup{n→∞
lim f (xn ); xn → x0 , xn 6= x0 }
x→x0
„¬”
Na mocy (ii) można wziąć ciąg xn taki, że
1
1
, f (xn ) > h −
n
n
Dzięki (ii) począwszy od pewnego n jest f (xn ) < h + 1.
Ciąg f (xn ) zawiera podciąg zbieżny f (xnk ).
lim f (xnk ) ­ h, skąd
0 < |xn − x0 | <
lim sup f (x) ¬ sup{ lim f (xn ); xn → x0 , xn 6= x0 }
x→x0
n→∞
2. lim supx→x0 f (x) = +∞
∀n ∈ N ; sup{f (x); 0 < |x − x0 | < n1 } = +∞.
Można wybrać ciąg xn spełniający warunki
0 < |xn − x0 | <
1
,
n
f (xn ) > n
Dzięki temu
sup{n→∞
lim f (xn ); xn → x0 , xn 6= x0 } = +∞
55
3. lim supx→x0 f (x) = −∞
Funkcja α → sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} jest nierosnąca, więc
lim sup{f (x); 0 < |x − x0 | < α} = −∞
α→0+
Stąd, jeśli xn → x0 , xn 6= x0 , to limn→∞ f (xn ) = −∞, dzięki czemu
sup{ lim f (xn ); xn → x0 , xn 6= x0 } = −∞
n→∞
♥
Twierdzenie 4.1.3 Granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją skończone granice górna i dolna i są sobie równe.
4.1.3
Granice w nieskończoności
Podane wyżej określenia i rozważania można przenieść na przypadek granic w +∞
i w −∞.
Definicja 4.1.6 Mówimy że +∞ jest punktem skupienia zbioru E ⊂ R, jeśli dla
każdego b ∈ R półprosta (b, +∞) zawiera co najmniej jeden punkt zbioru E. Analogicznie
dla −∞.
Zakładamy, że +∞ jest punktem skupienia zbioru E będącego dziedziną funkcji
f.
Definicja 4.1.7 (Granica funkcji w +∞ – wariant Cauchy’ego) Liczba g jest
granicą funkcji f w +∞, jeśli
∀ε > 0, ∃b ∈ R, ∀x ∈ E; x > b ⇒ |f (x) − g| < ε
Piszemy wtedy
lim f (x) = g
x→+∞
Lemat 4.1.4 (Granica funkcji w +∞ – wariant Heinego) Liczba g jest granicą funkcji f w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczb xn ∈ E zachodzi
implikacja
lim xn = +∞ ⇒ n→∞
lim f (xn ) = g
n→∞
Analogicznie definiuje się granicę funkcji w −∞. Ponadto wprowadza się pojęcie
granicy górnej i dolnej.
56
4.1.4
Granice nieskończone
Definicja 4.1.8 (Granica nieskończona funkcji w punkcie – wariant Cauchy’ego)
Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w punkcie x0 , jeśli
∀B ∈ R, ∃δ > 0, ∀x ∈ E; 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > B
Mówimy, że −∞ jest granicą funkcji f w punkcie x0 , jeśli
∀A ∈ R, ∃δ > 0, ∀x ∈ E; 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < A
Piszemy wtedy odpowiednio
lim f (x) = +∞ ,
x→x0
lim f (x) = −∞
x→x0
Definiuje się też granice nieskończone w +∞ i w −∞. Podamy jeden przypadek,
to znaczy granicę równą +∞ przy x zbieżnym do +∞.
Definicja 4.1.9 Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w +∞, jeśli
∀B ∈ R, ∃b ∈ R, ∀x ∈ E; x > b ⇒ f (x) > B
Dla granic wprowadzonych w tym punkcie też można sformułować wariant Heinego.
4.1.5
Granica sumy, iloczynu oraz ilorazu funkcji
Twierdzenie 4.1.4 Jeśli istnieją granice występujące po lewej stronie poniższych
równości, to istnieją granice po prawej stronie i równości są prawdziwe.
lim f (x) + lim g(x) = lim (f (x) + g(x))
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) − lim g(x) = lim (f (x) − g(x))
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) · x→x
lim g(x) = x→x
lim (f (x) · g(x))
x→x0
0
0
Jeśli limx→x0 g(x) 6= 0, to również
limx→x0 f (x)
f (x)
= x→x
lim
0
limx→x0 g(x)
g(x)
DOWÓD: W dowodach można używać bądź wariantu Cauchy’ego, bądź wariantu
Heinego określenia granicy. Dla sumy skorzystamy z pierwszej możliwości, a dla
iloczynu i ilorazu z drugiej.
Oznaczmy limx→x0 f (x) = u , limx→x0 g(x) = v.
57
Suma
Ustalmy ε > 0.
Istnieją δ1 , δ2 takie, że
ε
2
ε
⇒ |g(x) − v| <
2
0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − u| <
0 < |x − x0 | < δ2
Stąd, jeśli |x − x0 | < δ = min{δ1 , δ2 }, to
|(f (x) + g(x)) − (u + v)| ¬ |f (x) − u| + |g(x) − v| <
ε ε
+ =ε
2 2
Iloczyn i iloraz Niech xn → x0 , xn 6= x0 .
Dzięki założeniu lim f (xn ) = u, lim g(xn ) = v, skąd
lim f (xn )g(xn ) = uv ,
lim
u
f (xn )
=
g(xn )
v
♥
4.2
Ciągłość
Niech f : E → R, gdzie E ⊂ R.
Definicja 4.2.1 (Ciągłość w punkcie) Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie
x0 ∈ E, jeśli ma w tym punkcie granicę równą f (x0 ), w przypadku gdy x0 jest
punktem skupienia E, bądź gdy x0 jest punktem izolowanym zbioru E.
Warunek ciągłości funkcji w punkcie można przedstawić wykorzystując definicje
granicy w wariancie Cauchy’ego i Heinego w następujący sposób.
Lemat 4.2.1 Następujące warunki są równoważne:
1. Funkcja f : E → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ E.
2. ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ E; |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
3. Dla każdego ciągu xn elementów zbioru E zbieżnego do x0 zachodzi równość
lim f (xn ) = f (x0 )
n→∞
Twierdzenie 4.2.1 Suma, różnica oraz iloczyn funkcji f, g : E → R ciągłych w
punkcie x0 ∈ E jest w tym punkcie ciągła. Jeśli g(x0 ) 6= 0, to również iloraz jest
ciągły.
Definicja 4.2.2 Funkcja f : E → R (E ⊂ R) nazywa się ciągłą, jeśli jest ciągła w
każdym punkcie dziedziny.
58
Korzystając z określeń granicy prawostronnej i lewostronnej można analogicznie
określić pojęcia prawostronnej i lewostronnej ciągłości funkcji w punkcie x0 ∈ E, jak
również twierdzenie o ciągłości sumy, iloczynu i ilorazu funkcji.
Związek ciągłości lewostronnej i prawostronnej z ciągłością w punkcie podaje
twierdzenie.
Twierdzenie 4.2.2 Funkcja f : E → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ E wtedy i tylko
wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie i prawostronnie ciągła.
4.2.1
Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji
Nieciągłość usuwalna
Jeśli istnieje granica limx→x0 f (x), ale jest różna od f (x0 ), to nieciągłość nazywamy
usuwalną.
Nieciągłość nieusuwalna
Jeśli nie istnieje granica limx→x0 f (x), to nieciągłość nazywamy nieusuwalną.
Można wtedy rozróżnić dwa przypadki:
• Istnieją granice jednostronne w punkcie x0 ale są różne.
• Przynajmniej jedna z granic jednostronnych nie istnieje.
4.2.2
Warunek ciągłości funkcji odwrotnej do funkcji ciągłej
Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej nie musi być ciągła.
Przykład 4.2.1 Funkcja f : [−2 , −1) ∪ [0 , 1] → [−1 , 1] określona następująco
(
f (x) =
x + 1 dla x ∈ [−2, −1)
x
dla x ∈ [0, 1]
jest ciągła, a funkcja do niej odwrotna nie jest ciągła w punkcie 0.
Dla stwierdzenia ciągłości funkcji odwrotnej potrzebne jest dodatkowe założenie.
Z ogólnych rozważań o odwzorowaniach ciągłych w przestrzeniach metrycznych
wynika następujące twierdzenie.
Twierdzenie 4.2.3 Jeśli dziedzina E ⊂ R funkcji ciągłej jest zbiorem zwartym i
funkcja ta jest odwracalna, to funkcja odwrotna jest ciągła.
Zwartym podzbiorami prostej są zbiory domknięte i ograniczone, a więc w szczególności
przedziały domknięte [a, b].
Wniosek 4.2.1 Funkcja ciągła i silnie monotoniczna na przedziale [a, b] jest odwracalna,
a funkcja do niej odwrotna jest silnie monotoniczna i ciągła.
Można też wykazać, że funkcja ciągła i odwracalna na przedziale [a, b] musi być
silnie monotoniczna.
59
4.3
Własność Darboux dla funkcji ciągłych.
Twierdzenie 4.3.1 Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła i f (a) 6= f (b), to dla
każdej liczby c leżącej pomiędzy f (a) i f (b) istnieje x ∈ (a, b), że f (x) = c.
DOWÓD: Przymijmy, że f (a) < f (b) i niech c ∈ (f (a), f (b)). Wykażemy, że dla
x = sup{u ∈ [a, b]; dla t ∈ [a, u) jest f (t) < c}
zachodzi równość f (x) = c.
Dzięki ciągłości na pewno jest f (x) ¬ c. Gdyby zachodziła nierówność ostra
f (x) < c, to ze względu na ciągłość funkcja f w pewnym przedziale (x, x + δ)
również miałaby wartości mniejsze niż c, a to byłoby w sprzeczności z określeniem
liczby x.
♥
Liczb spełniających warunek z tezy twierdzenia Darboux może być więcej niż
jedna – może to nawet być zbiór nieskończony. Liczba x podana w dowodzie jest
najmniejszą z nich.
60
Rozdział 5
Pochodna funkcji i jej
zastosowania
5.1
Określenie pochodnej i jej własności
Rozważamy funkcję f : E → R, przy czym E ⊂ R oraz punkt x0 ∈ Int E.
Definicja 5.1.1 (Pochodna w punkcie) Jeśli istnieje granica
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
to nazywa się ją pochodną funkcji f w x0 i oznacza f 0 (x0 ).
Występujący w definicji pochodnej ułamek nazywa się ilorazem różnicowym funkcji
f w punkcie x0 dla przyrostu zmiennej niezależnej równego x − x0 . Oznaczając
∆x = x − x0 można go zapisać w postaci
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆x
O ile pochodna istnieje, to przyjmując
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
− f 0 (x0 ) = (∆x)
∆x
możemy napisać
f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · ∆x + (∆x) · ∆x
Oznaczając ω(∆x) = (∆x) · ∆x dostajemy wzór
f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · ∆x + ω(∆x)
(5.1)
ω(∆x)
=0
∆x→0 ∆x
(5.2)
gdzie
lim
Z (5.1) wynika następująca własność:
61
Lemat 5.1.1 Jeśli funkcja ma w punkcie x0 pochodną, to jest w tym punkcie ciągła.
O pochodnych jednostronnych (prawostronnej i lewostronnej) w punkcie mówimy
wtedy, gdy istnieją granice jednostronne ilorazu różnicowego.
f (x) − f (x0 )
,
x→x0 +
x − x0
f+0 (x0 ) = lim
5.1.1
f (x) − f (x0 )
x→x0 −
x − x0
f−0 (x0 ) = lim
Styczna do wykresu funkcji
Definicja 5.1.2 Jeśli funkcja f ma w punkcie x0 pochodną, to prostą o równaniu
y − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · (x − x0 )
nazywa się styczną do wykresu w punkcie o współrzędnych (x0 , f (x0 )).
Pochodna f 0 (x0 ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej a wektor (f 0 (x0 ), −1)
jest normalny (prostopadły) do stycznej.
Długość pionowego odcinka łączącego punkt na stycznej o pierwszej współrzędnej
równej x z punktem wykresu funkcji o tej samej pierwszej współrzędnej podzielona
przez x − x0 jest zbieżna do zera, gdy x → x0 . Jest to dokładnie warunek z definicji
pochodnej.
Można powiedzieć, że styczna do wykresu to graniczne położenie siecznych wykresu
poprowadzonych przez punkty (x0 , f (x0 )) oraz (x, f (x)), gdy x → x0 . Trzeba jednak
pamiętać, że nie zdefiniowaliśmy pojęcia zbieżności w zbiorze prostych, więc jest to
tylko interpretacja.
5.1.2
Funkcja pochodna
Definicja 5.1.3 Jeśli w punktach pewnego podzbioru dziedziny D ⊂ E określona
jest pochodna, to odwzorowanie x → f 0 (x) nazywamy funkcją pochodną funkcji f .
(Analogiczne określenie stosuje się do pochodnych jednostronnych.)
W praktyce zarówno pochodną w punkcie, jaki i funkcję pochodną określa się
jako pochodną uściślając o co konkretnie chodzi w razie możliwości wystąpienia
nieporozumienia.
Rodzinę funkcji ciągłych na zbiorze E będziemy oznaczać przez C(E), rodzinę
funkcji mających w każdym punkcie zbioru E pochodną przez D1 (E), a mających
pochodną będącą funkcją ciągłą w E przez C 1 (E).
5.1.3
Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji
Dodawanie, możenie czy dzielenie funkcji określonych na takiej samej dziedzinie
polega na przyporządkowaniu parze funkcji nowej funkcji zgodnie z następującymi
wzorami podającymi jakie wartości te nowe funkcje przyjmują dla każdego argumentu
z tej samej dziedziny:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) , (f · g)(x) = f (x)g(x) ,
62
f
g
!
(x) =
f (x)
g(x)
– często zamiast pisać (f + g)(x) pisze się f (x) + g(x) i podobnie dla pozostałych.
Iloraz jest oczywiście określony tylko wtedy, gdy funkcja g nie zeruje się w
dziedzinie – można ewentualnie rozważać obcięcia funkcji do podzbioru dziedziny,
gdzie ten warunek jest spełniony.
Iloczyn funkcji f przez liczbę c to funkcja określona wzorem
(c · f )(x) = c · f (x)
Twierdzenie 5.1.1 Jeśli istnieją w punkcie x pochodne
f 0 (x) i g 0 (x) , to istnieją
0
pochodne (f + g)0 (x), (cf )0 (x), (f · g)0 (x) oraz fg (x) i prawdziwe są wzory
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
(cf )0 (x) = cf 0 (x)
(f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
!0
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
f
(x) =
g
g(x)2
(c jest dowolną stałą rzeczywistą, a ostatni wzór jest prawdziwy gdy g(x) 6= 0.)
DOWÓD:
Suma:
(f (x + u) + g(x + u)) − (f (x) + g(x))
=
u
f (x + u) − f (x) g(x + u) − g(x)
+
→ f 0 (x) + g 0 (x), gdy u → 0
u
u
Iloczyn:
f (x + u)g(x + u) − f (x)g(x)
=
u
f (x + u)g(x + u) − f (x)g(x + u) f (x)g(x + u) − f (x)g(x)
+
=
u
u
g(x + u) − g(x)
f (x + u) − f (x)
g(x + u) + f (x)
→
u
u
→ f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x), gdy u → 0
Iloraz: Korzystając z ciągłości g w punkcie x możemy stwierdzić, że jeśli przyrost
u jest dostatecznie mały, to g(x + u) 6= 0.
1
f (x + u) f (x)
·
−
u
g(x + u)
g(x)
!
=
f (x + u)g(x) − f (x)g(x + u)
=
ug(x + u)g(x)
f (x + u)g(x) − f (x)g(x) + f (x)g(x) − f (x)g(x + u)
=
ug(x + u)g(x)
!
1
f (x + u) − f (x)
g(x + u) − g(x)
=
g(x)
− f (x)
g(x + u)g(x)
u
u
0
0
f (x)g(x) − f (x)g (x)
→
, gdy u → 0
g(x)2
=
♥
63
5.1.4
Pochodna funkcji złożonej
Twierdzenie 5.1.2 Jeśli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x i istnieje pochodna
funkcji g w punkcie f (x), to istnieje pochodna złożenia g ◦ f w punkcie x i zachodzi
wzór
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x)
DOWÓD: Rozpatrzymy dwa przypadki:
1. Istnieje przedział wokół x, w którym f (y) 6= f (x).
Dla u dostatecznie małych możemy napisać
g(f (x + u)) − g(f (x))
=
u
g(f (x + u)) − g(f (x)) f (x + u) − f (x)
·
→ g 0 (f (x))f 0 (x) ,
f (x + u) − f (x)
u
gdy u → 0. (Skorzystaliśmy z tego, że dzięki istnieniu pochodnej funkcji f w
punkcie x jest ona w tym punkcie ciągła, więc limu→0 f (x + u) = f (x).)
2. Dowolnie blisko x są y 6= x, dla których f (y) = f (x).
Z założenia istnienia pochodnej wynika, że w tym przypadku f 0 (x) = 0, bo
istnieje ciąg yn → x taki, że
f (yn ) − f (x)
=0
yn − x
Weźmy dowolny ciąg un → 0, un 6= 0.
Można go rozdzielić na dwa podciągi unk i umk takie, że
∀k; f (unk ) 6= f (x), f (umk ) = f (x)
(może się zdarzyć, że któryś z nich jest skończony).
Dla ciągu unk , korzystając z przekształcenia w poprzednim punkcie, stwierdzamy,
że
g(f (x + unk )) − g(f (x))
→ g 0 (f (x))f 0 (x) , gdy k → ∞
unk
Dla ciągu umk mamy
∀k;
g(f (x + umk )) − g(f (x))
=0
umk
a ponieważ f 0 (x) = 0, więc też mamy zbieżność do g 0 (f (x))f 0 (x).
5.1.5
♥
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie 5.1.3 Jeśli funkcja f , określona na przedziale, jest ciągła, odwracalna
i ma w punkcie x0 pochodną różną od zera, to funkcja odwrotna ma w punkcie y =
f (x) pochodną i zachodzi wzór
(f −1 )0 (y) =
64
1
f 0 (x)
DOWÓD: Dla dostatecznie małych v liczba y + v należy do dziedziny f −1 – wynika
to z własności Darboux dzięki temu, że dla u w pobliżu x na lewo i na prawo różnica
f (u) − f (x) ma przeciwne znaki.
Dzięki ciągłości f −1 (Tw. 4.2.3)
f −1 (y + v) → f −1 (y) = x , gdy v → 0
Oznaczmy ξ = f −1 (y + v). Wtedy y + v = f (ξ) oraz v = f (ξ) − y = f (ξ) − f (x) i
mamy
f −1 (y + v) − f −1 (y)
1
1
v→0
= f (ξ)−f (x) −→ 0
v
f (x)
ξ−x
♥
5.1.6
Różniczka
Niech punkt x będzie punktem wewnętrznym dziedziny funkcji f : E → R, E ⊂ R.
Definicja 5.1.4 Jeśli istnieje stała A oraz funkcja ω określona na pewnym otoczeniu
zera, że
f (x + ∆x) = f (x) + A · ∆x + ω(∆x)
oraz zachodzi warunek
ω(∆x)
=0
∆x→0 ∆x
to odwzorowanie liniowe ∆x → A · ∆x nazywa się różniczką funkcji f w punkcie x.
lim
Twierdzenie 5.1.4 Funkcja f ma w punkcie x pochodną wtedy i tylko wtedy, gdy
w tym punkcie istnieje różniczka. Wówczas współczynnik A różniczki jest równy
pochodnej funkcji w tym punkcie.
Dzięki tej równoważności stwierdzenie, że funkcja jest różniczkowalna w jakimś
punkcie jest równoważne stwierdzeniu, że ma w tym punkcie pochodną.
5.2
Zasada Fermat i jej konsekwencje
Definicja 5.2.1 (Ekstrema lokalne) Funkcja ma w punkcie x swojej dziedziny
E ⊂ R maksimum lokalne, jeśli istnieje δ > 0 takie, że
∀u ∈ (x − δ, x + δ) ∩ E; f (u) ¬ f (x)
Minimum lokalne definiuje się biorąc przeciwną nierówność.
Minimum i maksimum lokalne nazywa się ekstremami lokalnymi.
Jeśli w definicji dla punktów u różnych od x zastąpi się nierówność słabą nierównością
silną, to dostaje się określenie silnego maksimum lokalnego (i silnego minimum
lokalnego).
65
Twierdzenie 5.2.1 (Zasada Fermat) Jeśli funkcja ma w wewnętrznym punkcie
swojej dziedziny ekstremum lokalne i ma w tym punkcie pochodną, to ta pochodna
jest równa zero.
DOWÓD: Rozważmy przypadek maksimum lokalnego w punkcie x i niech w przedziale
(x − δ, x + δ) zachodzi nierówność f (u) ¬ f (x).
Dla u < x
f (u) − f (x)
­ 0 ⇒ f 0 (x) ­ 0
u−x
Dla u > x
f (u) − f (x)
¬ 0 ⇒ f 0 (x) ¬ 0
u−x
Z obydwóch nierówności wynika równość f 0 (x) = 0.
♥
Jeśli ekstremum występuje w jednym z końców przedziału domkniętego będącego
dziedziną funkcji oraz istnieje w tym punkcie pochodna jednostronna funkcji, to nie
musi ona oczywiście być równa zero. Odpowiedni fragment rozumowania przeprowadzonego
w dowodzie Zasady Fermat pozwala uzasadnić twierdzenie.
Twierdzenie 5.2.2 Jeśli funkcja f : [a, b] → R ma w punkcie a minimum lokalne
oraz istnieje w tym punkcie pochodna prawostronna, to f+0 (a) ­ 0. Jeśli w a funkcja
f ma maksimum lokalne, to f+0 (a) ¬ 0. Jeśli w prawym końcu dziedziny będzie
minimum lub maksimum lokalne oraz istnieje pochodna lewostronna, to będzie odpowiednio
f−0 (b) ¬ 0 lub f−0 (b) ­ 0.
5.2.1
Zasada Darboux dla pochodnych
Istnieją funkcje różniczkowalne w każdym punkcie dziedziny, których pochodna nie
jest funkcją ciągłą. Nie można w takim przypadku stosować do pochodnej twierdzenia
Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich udowodnionego dla funkcji ciągłych.
Okazuje się jednak, że w tym szczególnym przypadku zasada Darboux jednak obowiązuje.
Twierdzenie 5.2.3 Jeśli we wszystkich punktach dziedziny funkcji f : [a, b] → R
istnieje pochodna (na końcach przedziału jednostronne), oraz f 0 (a) < λ < f 0 (b), bądź
f 0 (a) > λ > f 0 (b), to istnieje u ∈ (a, b) takie, że f 0 (u) = λ.
DOWÓD: Dowód przeprowadzimy w przypadku f 0 (a) < λ < f 0 (b).
Rozważamy pomocniczą funkcję g(x) = f (x) − λx. Jest ona ciągła, więc osiąga
w [a, b] wartość najmniejszą w pewnym punkcie x̄.
Mamy
• g 0 (a) = f 0 (a) − λ < 0, więc g(u) < g(a) w pewnym przedziale [a, a + δ);
• g 0 (b) = f 0 (b) − λ > 0, więc g(u) < g(b) w pewnym przedziale (b − δ, b].
66
Stąd wnioskujemy, że wartość najmniejsza nie może być przyjęta na żadnym z
końców przedziału, czyli x̄ 6= a oraz x̄ 6= b. Z Zasady Fermat wynika, że
f 0 (x̄) − λ = g 0 (x̄) = 0
♥
Przykład 5.2.1 Określamy funkcję f : [−1, +1] → R w następujący sposób
(
f (x) =
x2 sin x1 dla x 6= 0
0
dla x = 0.
Ma ona w całej dziedzinie pochodną, ale pochodna nie jest ciągła w punkcie 0.
(Sprawdzenia istnienia pochodnej w zerze najlepiej dokonać korzystając z definicji
pochodnej.)
5.2.2
Twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a i Cauchy’ego
Twierdzenie 5.2.4 (Rolle’a) Jeśli f ∈ C([a, b]) ∩ D1 ((a, b)) oraz f (a) = f (b), to
istnieje c ∈ (a, b) takie, że f 0 (c) = 0.
DOWÓD: Rozważamy dwa przypadki:
Jeśli f jest stała,
to jako c można wziąć dowolny punkt z (a, b).
Jeśli f nie jest stała,
to wewnątrz [a, b] istnieje co najmniej jedno ekstremum lokalne i w tym punkcie
pochodna się zeruje.
♥
Twierdzenie 5.2.5 (Lagrange’a) Jeśli f ∈ C([a, b]) ∩ D1 ((a, b)), to istnieje c ∈
(a, b) takie, że
f (b) − f (a)
= f 0 (c)
b−a
Twierdzenie Lagrange’a jest wnioskiem z podanego dalej twierdzenia Cauchy’ego.
Przyjmując a = x, a b = x+h, można tezę twierdzenia Lagrange’a zinterpretować
w następujący sposób: istnieje θ ∈ (0, 1), że
f (x + h) = f (x) + f 0 (x + θh) h
Wnioski:
1. Jeśli f ∈ D1 ((a , b)) oraz ∀x ∈ (a , b) zachodzi równość f 0 (x) = 0 , to funkcja
f jest stała na (a , b) .
2. Jeśli f ∈ D1 ((a , b)) oraz ∀x ∈ (a , b) zachodzi nierówność f 0 (x) > 0 , to
funkcja f jest silnie rosnąca w (a , b) . (Jeśli f 0 (x) ­ 0 , to f jest niemalejąca.)
67
3. Własność analogiczna do poprzedniej, z pochodną mniejszą od zera i funkcją
malejącą.
Twierdzenie 5.2.6 (Twierdzenie Cauchy’ego) Jeśli f, g ∈ C([a , b])∩D1 ((a , b)) ,
to istnieje c ∈ (a , b) takie, że
(g(b) − g(a)) · f 0 (c) = (f (b) − f (a)) · g 0 (c)
(5.3)
DOWÓD: Rozważymy dwa przypadki.
1. g(a) = g(b)
Dzięki Tw. Rolle’a i istnieje c ∈ (a, b), że g 0 (c) = 0, skąd wynika teza.
2. g(a) 6= g(b)
Tworzymy pomocniczą funkcję
φ(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
· (g(x) − g(a))
g(b) − g(a)
Spełnia ona założenia Tw. Rolle’a, więc istnieje c ∈ (a, b), że
0 = φ0 (c) = f 0 (c) −
f (b) − f (a) 0
· g (c)
g(b) − g(a)
skąd f 0 (c)(g(b) − g(a)) = (f (b) − f (a))g 0 (c).
♥
Jeśli g 0 (c) 6= 0 i g(b) − g(a) 6= 0 , to równość w tezie twierdzenia Cauchy’ego
można zapisać w następujący sposób
f 0 (c)
f (b) − f (a)
= 0
g(b) − g(a)
g (c)
5.3
Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora
Pochodne wyższych rzędów definiuje się w sposób indukcyjny.
Definicja 5.3.1
1. Pochodna pierwszego rzędu w punkcie to granica ilorazu różnicowego (zgodnie
z poprzednią definicją).
2. Jeśli w otoczeniu punktu x istnieje pochodna rzędu n − 1 funkcji f , oznaczana
przez f (n−1) , oraz ta funkcja f (n−1) ma w punkcie x pochodną, to nazywamy ją
pochodną rzędu n funkcji f w punkcie x i oznaczamy przez f (n) (x).
Przez Dn (E) oznaczamy rodzinę funkcji określonych na zbiorze E , które mają
w E wszystkie pochodne do rzędu n włącznie.
Przez C n (E) oznaczamy podzbiór rodziny Dn (E) złożony z funkcji, których n-ta
pochodna jest funkcją ciągłą w E .
Znajdowanie pochodnych wyższych rzędów polega na kolejnym obliczaniu funkcji
pochodnych coraz wyższych rzędów. Pomocne mogą być następujące twierdzenia.
68
Twierdzenie 5.3.1 Jeśli w punkcie x istnieją pochodne f (n) (x) oraz g (n) (x), to
istnieje pochodna (f + g)(n) (x) oraz
(f + g)(n) (x) = f (n) (x) + g (n) (x)
a dla dowolnej stałej c istnieje pochodna (c · f )(n) (x) oraz
(c · f )(n) (x) = c · f (n) (x)
Twierdzenie 5.3.2 (Wzór Leibniza) Jeśli funkcje f i g mają w pewnym otoczeniu
punktu x pochodne do rzędu n − 1 włącznie, a w punkcie x pochodną rzędu n, to ich
iloczyn ma w punkcie x pochodną rzędu n oraz zachodzi wzór
n
(f g) =
n
X
k=0
!
n (n−k) (k)
f
g
k
(5.4)
(Dowód indukcyjny.)
5.3.1
Wzór Taylora z resztą w postaci Peano
Wzór Taylora pozwala przybliżać funkcje wielomianami, pod warunkiem istnienia
pochodnych tej funkcji do pewnego rzędu włącznie – odpowiadającemu stopniowi
aproksymującego wielomianu.
Do sformułowania twierdzenia będzie potrzebne pojęcie funkcji nieskończenie
małej w porównaniu z inną funkcją w otoczeniu ustalonego punktu - przypomnimy
je.
Porównywanie „nieskończenie małych”
Definicja 5.3.2 Niech funkcje φ i ψ mają wspólną dziedzinę E ⊂ R i zakładamy, że
punkt x0 jest punktem skupienia zbioru E. Mówimy, że funkcja φ jest nieskończenie
mała w otoczeniu punktu x0 w porównaniu z funkcją φ, gdy
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ E; 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |φ(x)| ¬ ε|ψ(x)|
Mówi się też wtedy, że funkcja φ jest „o małe” funkcji ψ w otoczeniu x0 i zapisuje
tak: φ(x) = o(ψ(x)) w otoczeniu x0 .
Jeśli dodatkowo limx→x0 ψ(x) = 0 , to mówi się, że φ jest w otoczeniu x0 nieskończenie
małą rzędu wyższego niż ψ .
Gdy w otoczeniu punktu x0 funkcja ψ nie zeruje się, poza ewentualne punktem
x0 , to φ(x) = o(ψ(x)) w otoczeniu punktu x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
x→x0
φ(x)
=0
ψ(x)
Jeśli nie jest określone o otoczenie jakiego punktu chodzi, to rozumiemy, że x0 = 0.
69
Sformułowanie i dowód twierdzenia
Twierdzenie 5.3.3 (Wzór Taylora z resztą w postaci Peano) Jeśli w pewnym
przedziale wokół punktu x0 istnieją pochodne f 0 , . . . , f (n−1) oraz istnieje pochodna
f (n) (x0 ) , to
f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + . . .
1!
2!
f (n−1) (x0 )
f (n) (x0 )
n−1
... +
(x − x0 )
+
(x − x0 )n + o((x − x0 )n ) =
(n − 1)!
n!
=
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k + o((x − x0 )n )
Najpierw udowodnimy lemat.
Lemat 5.3.1 Jeśli pochodne φ0 (x), . . . , φ(n−1) (x) funkcji φ istnieją dla x z pewnego
otoczenia punktu x0 , istnieje pochodna φ(n) (x0 ) oraz
φ(x0 ) = φ0 (x0 ) = . . . = φ(n) (x0 ) = 0
to φ(x) = o((x − x0 )n ) w otoczeniu punktu x0 .
DOWÓD:
Dowód indukcyjny ze względu na rząd pochodnej.
Dla n = 1
Wynika z określenia pochodnej f 0 (x0 ).
Zakładamy, że własność jest prawdziwa dla n − 1.
Dzięki Tw. Lagrange’a dla dowolnego x 6= x0 z otoczenia punktu x0 istnieje c
takie, że
φ(x) = φ(x) − φ(x0 ) = φ0 (c) · (x − x0 ) , 0 < |c − x0 | < |x − x0 |
Korzystając z tego mamy
φ0 (c)(x − x ) φ(x) φ0 (c) (c − x0 )n−1 0 =
=
·
¬
(x − x0 )n (c − x0 )n−1 (x − x0 )n−1 (x − x0 )n φ0 (c) → 0 , gdy x → x0 , bo wtedy c → x0
¬
(c − x0 )n−1 – bo funkcja pochodna φ0 spełnia założenie indukcyjne dla n − 1.
♥
DOWÓD WZORU TAYLORA Z RESZTĄ W POSTACIE PEANO: Wystarczy
zastosować lemat do funkcji
φ(x) = f (x) −
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k
♥
70
Jednoznaczność współczynników we wzorze Taylora
Twierdzenie 5.3.4 Jeśli
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + . . . + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n )
i
f (x) = b0 + b1 (x − x0 ) + . . . + bn (x − x0 )n + o((x − x0 )n )
to a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an = bn .
DOWÓD: Indukcja ze względu na numer współczynnika ak .
1. Dla k = 0
Odejmując stronami równości z założenia dostajemy
b0 − a0 = (a1 − b1 )(x − x0 ) + . . . + (an − bn )(x − x0 )n + o ((x − x0 )n )
Prawa strona zmierza do 0, gdy x → x0 , więc a0 = b0 .
2. Zakładamy, że a0 = b0 , . . . , ap−1 = bp−1 (dla p ¬ n)
(ap − bp )(x − x0 )p + . . . + (an − bn )(x − x0 )n + o((x − x0 )n ) = 0
Po podzieleniu stronami przez (x − x0 )p
bp − ap = (ap+1 − bp+1 )(x − x0 ) + . . . + (an − bn )(x − x0 )n−p + o((x − x0 )n−p )
Prawa strona zmierza do 0, gdy x → x0 , więc ap = bp .
5.3.2
♥
Wzór Taylora z resztą w postaci ogólnej, Lagrange’a,
Cauchy’ego
Jeśli istnieje pochodna f (n) (x0 ) funkcji f w punkcie x0 , to możemy zdefiniować
następującą funkcję
Rn+1 (x) = f (x) −
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k
i wtedy oczywiście
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k + Rn+1 (x)
Nadawanie reszcie Rn+1 (x) różnych szczególnych postaci ma na celu przede wszystkim
uzyskiwanie oszacowań tej reszty, czyli błędu jaki popełnia się zastępując wartości
funkcji f przez wartości wielomianu
w(x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
71
(x − x0 )k
Twierdzenie 5.3.5 (Wzór Taylora, reszta w postaci ogólnej) Załóżmy, że
f ∈ C n ([x0 , x]) ∩ Dn+1 ((x0 , x))
albo
f ∈ C n ([x, x0 ]) ∩ Dn+1 ((x, x0 ))
Dla każdego p = 1, . . . , n + 1 istnieje pomiędzy liczbami x0 i x różna od nich liczba
c taka, że
f (n+1) (c)
Rn+1 (x) =
(x − c)n+1−p (x − x0 )p
(5.5)
n! p
Uwaga: Przy ustalonym x0 wartość c we wzorze na Rn+1 (x) zależy od x i od p.
Przy tych samych wartościach x i p może być więcej niż jedno c.
DOWÓD: Ustalamy x0 , x i wprowadzamy funkcję pomocniczą
f 0 (z)
f (n) (z)
φ(z) = f (x) − f (z) +
(x − z) + . . . +
(x − z)n
1!
n!
!
Obliczamy pochodną funkcji φ (względem zmiennej z).
φ0 (z) = −f 0 (z) −
h
000
h
f 00 (z)
(x
1!
2
− z) −
00
f 0 (z)
1!
i
i
− f 2!(z) (x − z) − f 1!(z) (x − z)
− .h . .
i
(n−1)
(n) (z)
(x − z)n−1 − f (n−2)!(z) (x − z)n−2
− f(n−1)!
f (n+1) (z)
(x − z)n
n!
(n+1)
− f n! (z) (x − z)n
−
=
h
−
f (n) (z)
(x
(n−1)!
− z)n−1
i
Dla p > 0 określamy drugą funkcję pomocniczą
ψ(z) = (x − z)p
i stosujemy Twierdzenie Cauchy’ego, dzięki któremu pomiędzy x0 i x istnieje c takie,
że
φ(x) − φ(x0 )
φ0 (c)
= 0
ψ(x) − ψ(x0 )
ψ (c)
Uwzględniając równości
φ(x) = 0 , φ(x0 ) = Rn+1 (x) , ψ(x) = 0 , ψ(x0 ) = (x − x0 )p
φ0 (c) = −
f (n+1) (c)
(x − c)n , ψ 0 (c) = −p(x − c)p−1
n!
dostajemy
Rn+1 (x) =
f (n+1) (c)
(x − c)n+1−p (x − x0 )p
n! p
♥
Przyjmując w reszcie w postaci ogólnej p = n + 1 dostajemy twierdzenie
72
Twierdzenie 5.3.6 (Reszta w postaci Lagrange’a) Załóżmy, że
f ∈ C n ([x0 , x]) ∩ Dn+1 ((x0 , x))
albo
f ∈ C n ([x, x0 ]) ∩ Dn+1 ((x, x0 ))
Pomiędzy liczbami x0 i x istnieje różna od nich liczba c taka, że
Rn+1 (x) =
f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
Wniosek:
Jeśli f ∈ C ∞ ((a, b)) i wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, to
ustalając x0 ∈ (a, b) można dla dowolnego x ∈ (a, b) przedstawić wartość funkcji f
w tym punkcie w postaci sumy szeregu
∞
X
f (n) (x0 )
f (x) =
n!
n=0
(x − x0 )n
DOWÓD:
Niech ∀n ∈ N, ∀x ∈ (a, b); |f (n) (x)| ¬ M .
(b − a)n+1
|x − x0 |n+1
¬M
→ 0 , gdy n → ∞
|Rn+1 (x)| ¬ M
(n + 1)!
(n + 1)!
♥
Przyjmując w reszcie w postaci ogólnej p = 1 dostajemy twierdzenie
Twierdzenie 5.3.7 (Reszta w postaci Cauchy’ego) Załóżmy, że
f ∈ C n ([x0 , x]) ∩ Dn+1 ((x0 , x))
albo
f ∈ C n ([x, x0 ]) ∩ Dn+1 ((x, x0 ))
Pomiędzy liczbami x0 i x istnieje różna od nich liczba c taka, że
Rn+1 (x) =
5.3.3
f (n+1) (c)
(x − c)n (x − x0 )
n!
Wzór MacLaurina
Szczególny przypadek wzoru Taylora dla x0 = 0 nazywa się wzorem Maclaurina.
Może on występować z wszystkimi rodzajami reszt – przy odpowiednich założeniach.
f (x) =
n
X
f (k) (0)
k=0
k!
xk + Rn+1 (x)
Reszta w postaci Peano
Rn+1 (x) = o(xn )
73
Reszta w postaci ogólnej
Rn+1 (x) =
f (n+1) (c)
(x − c)n+1−p xp
n! p
Reszta w postaci Lagrange’a
Rn+1 (x) =
f (n+1) (c) n+1
x
(n + 1)!
Reszta w postaci Cauchy’ego
Rn+1 (x) =
f (n+1) (c)
(x − c)n x
n!
Przykłady rozwinięć Taylora i MacLaurina
ex = 1 +
ln(1 + x) = x −
x
x2
xn
eθx
+
+ ... +
+
xn+1
1!
2!
n! (n + 1)!
x2 x3
xn
xn+1
+
+ . . . + (−1)n−1 + (−1)n
2
4
n
(n + 1)(1 + θx)n+1
x3 x5 x7
+
−
+ ...
3!
5!
7!
x2n−1
cos θx 2n+1
+(−1)n−1
+ (−1)n
x
(2n − 1)!
(2n + 1)!
sin x = x −
x2 x4
+
− ...
2!
4!
cos θx 2n+2
x2n
+ (−1)n+1
x
+(−1)n
(2n)!
(2n + 2)!
cos x = 1 −
Dla m 6= 0
m(m − 1) 2
m(m − 1) . . . (m − n + 1) n
x + ... +
x
2!
n!
m(m − 1) . . . (m − n)
+
(1 + θx)m−(n+1) xn+1
(n + 1)!
(1 + x)m = 1 + mx +
Ostatni wzór w niektórych szczególnych przypadkach przybiera następujące postacie:
dla m = −1
(1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)n xn + (−1)n+1 (1 + θx)−n−2 xn+1
74
dla m =
√
1
2
1
1
11 1
11 1
1+x = 1+ x+
− 1 x2 +
−1
− 2 x3 + . . .
2
2! 2 2
3! 2 2
2
1
1 1 1
− 1 · ... ·
− n + 1 xn + Rn+1 (x)
+ ·
n! 2 2
2
1
1
1·3 3
3
2
= 1 + x + (−1)
x + (−1)4
x + ...
2
2
2! · 2
3! · 23
1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 3) n
x + Rn+1 (x)
+(−1)n+1
n! · 2n
w tym dla n = 3
√
1
1
1
1 + x = 1 + x − x2 + x3 + R4 (x)
2
8
16
dla m = − 21
1
1
1
1
1
1
√
= 1+
− x+
−
− − 1 x2 + . . .
1!
2
2!
2
2
1+x
1
1
1
1
−
− − 1 · . . . · − − (n − 1) xn + Rn+1 (x)
+
2!
2
2
2
1
1
·
3
= 1−
x + (−1)2
x2 + . . .
2
1! · 2
2! · 2
1
·
3
·
5
·
.
.
.
· (2n − 1) n
+(−1)n
x + Rn+1 (x)
n! · 2n
w tym dla n = 3
√
1
3
7
1
= 1 − x + x2 − x3 + R4 (x)
2
8
16
1+x
75
Rozdział 6
Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi
potęgowe
UWAGA: Nie wszystkie dowody twierdzeń są zamieszczone w tym tekście,
ale były podane na wykładzie, więc obowiązują na egzaminie.
6.1
Ciągi funkcyjne
Definicja 6.1.1 Ciąg funkcyjny to ciąg, którego wyrazami są funkcje mające wspólną
dziedzinę i przeciwdziedzinę.
Często też mówi się w tym przypadku o ciągu odwzorowań, nazwę ciągu funkcyjnego
rezerwując dla ciągu odwzorowań, których przeciwdziedziną jest zbiór liczbowy.
6.1.1
Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągów
odwzorowań.
Niech T będzie dowolnym niepustym zbiorem, a (Y, ρ) przestrzenią metryczną.
Rozważamy ciągi odwzorowań fn : T → Y .
Definicja 6.1.2 Obszarem zbieżności punktowej ciągu odwzorowań nazywa się podzbiór
D dziedziny T złożony z punktów t takich, dla których ciąg fn (t) jest zbieżny w
przestrzeni w Y .
Na zbiorze D powstaje nowe odwzorowanie, którego wartościami są granice ciągów
fn (t), to znaczy
f (t) = n→∞
lim fn (t)
Mówimy, że ciąg odwzorowań fn jest na zbiorze D zbieżny punktowo do określonego
w ten sposób odwzorowania f .
W przypadku zbieżności punktowej rozważa się ciągi fn (t) dla każdego t ∈ T
oddzielnie, czyli odwołując się do definicji zbieżności ciągów dobór nε do ε > 0
zależy od punktu t. W przypadku gdy do każdego ε można dobrać nε wspólne dla
wszystkich t mówimy o zbieżności jednostajnej.
76
Definicja 6.1.3 Mówimy, że ciąg odwzorowań fn : T → Y jest zbieżny jednostajnie
na zbiorze E ⊂ T , jeśli zachodzi warunek
∀ε > 0, ∃nε , ∀n ­ nε , ∀t ∈ E : ρ(fn (t), f (t)) ¬ ε
Na ogół nie istnieje największy (w sensie zawierania) podzbiór dziedziny T ,
w którym ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny.
Następujące przykłady ilustrują własności ciągów funkcyjnych, zbieżności punktowej
i jednostajnej oraz granicy.
1. fn (x) = xn
(a) X = R
(b) X = (−1 , 1]
(c) X = [a , b] , −1 < a < b < 1 .
2. fn (x) =
1
1+nx
,
n
o
X = R \ − n1 ; n ∈ N .
3. X = [0 , 1] , wykres funkcji fn składa się z odcinków łączących kolejno punkty:
1
1
, 0) , ( n+1
, n) , ( n1 , 0) , (1 , 0) .
(0 , 0) , ( n+2
Przy badaniu zbieżności jednostajnej ciągu odwzorowań przydatna może być
następująca własność.
Lemat 6.1.1 Jeśli istnieje ciąg liczbowy an taki, że limn→∞ an = 0 oraz
sup{ρ(fn (t), f (t) ; t ∈ E} ¬ an
to ciąg odwzorowań fn jest jednostajnie zbieżny do odwzorowania f na zbiorze E.
Przykład 6.1.1 Ciąg
fn (x) =
x
, x∈R
1 + n2 x2
jest zbieżny jednostajnie.
UZASADNIENIE: Pochodne są postaci
fn0 (x) =
1 − n2 x2
(1 + n2 x2 )2
a więc wartość najmniejsza i największa funkcji fn to
fn
1
1
1
1
−
=−
=
, fn
n
2n
n
2n
Możemy skorzystać z lematu 6.1.1 przyjmując an =
77
1
.
2n
6.1.2
Warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej.
Twierdzenie 6.1.1 Jeśli ciąg odwzorowań fn : E → Y jest zbieżny jednostajnie,
to spełnia następujący warunek
∀ε > 0, ∃nε , ∀k, l ­ nε , ∀t ∈ E : ρ(fk (t), fl (t)) ¬ ε
(6.1)
Przy dodatkowym założeniu zupełności przeciwdziedziny warunek ten jest konieczny
i wystarczający dla zbieżności jednostajnej.
Twierdzenie 6.1.2 (Kryterium Cauchy’ego) Jeśli przestrzeń (Y, ρ) jest zupełna,
to ciąg odwzorowań fn : E → Y jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy
spełnia warunek (6.1).
Przestrzeń odwzorowań ograniczonych.
Odwzorowanie o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywa się ograniczonym,
jeśli zbiór jego wartości jest ograniczony w tej przestrzeni metrycznej, to znaczy
istnieje kula o skończonym promieniu, która go zawiera.
Zbiór odwzorowań ograniczonych ze zbioru T w przestrzeń metryczną (Y, ρ)
będziemy oznaczać symbolem B(T, Y ). W tym zbiorze można wprowadzić następującą
metrykę
∆(f, g) = sup{ρ(f (t), g(t)); t ∈ T }
Twierdzenie 6.1.3 Jeśli przestrzeń metryczna (Y, ρ) jest zupełna, to przestrzeń
metryczna (B(T, Y ), ∆) jest również zupełna.
Uwaga 6.1.1 Metrykę nazywa się metryką zbieżności jednostajnej, ponieważ ciąg
odwzorowań ograniczonych jest zbieżny jednostajnie do odwzorowania ograniczonego
wtedy i tylko wtedy, gdy jest do niego zbieżny w sensie tej metryki.
Można udowodnić, że jeśli ciąg odwzorowań ograniczonych jest zbieżny jednostajnie,
to jego granica jest również odwzorowaniem ograniczonym.
Nie da się znaleźć metryki, która charakteryzowałaby w podobny sposób zbieżność
punktową odzorowań.
6.1.3
Ciągłość granicy jednostajnej ciągu odwzorowań ciągłych.
Chcąc mówić o ciągłości odwzorowań musimy w dziedzinie dysponowań metryką.
Tak więc jako dziedzinę ciągu odwzorowań będziemy rozważali jakąś przestrzeń
metryczną (X, d).
Z podanych wcześniej przykładów wynika, że granica punktowa odwzorowań
ciągłych nie musi być odwzorowaniem ciągłym. Dla zbieżności jednostajnej jest
inaczej.
78
Twierdzenie 6.1.4 Granica jednostajnie zbieżnego ciągu odwzorowań ciągłych fn :
X → Y jest odwzorowaniem ciągłym.
Twierdzenie odwrotne nie jest oczywiście prawdziwe – może się zdarzyć, że ciąg
odwzorowań ciągłych jest zbieżny tylko punktowo, a nie jednostajnie, do odwzorowania
ciągłego. W przypadku ciągów funkcyjnych, przy dodatkowym założeniu o monotoniczności
ciągu zachodzi jednak takie twierdzenie.
Zaczniemy od przypadku szczególnego.
Lemat 6.1.2 Załóżmy, że wyrazy ciągu funkcyjnego ϕn : [a , b] → R są funkcjami
ciągłymi, nieujemnymi oraz dla wszystkich x ∈ [a , b] oraz n ∈ N zachodzi nierówność
ϕn+1 (x) ¬ ϕn (x) . Jeśli w [a , b] zachodzi zbieżność punktowa limn→∞ ϕn (x) = 0 , to
ciąg ϕn jest jednostajnie zbieżny.
DOWÓD: Przypuśćmy, że ciąg ϕn nie jest jednostajnie zbieżny. Istnieje wtedy ε0 > 0
takie, że
∀n ∈ N , ∃k ­ n , ∃x ∈ [a, b] ; ϕk (x) ­ ε0
Korzystając z tego, że jeśli l ¬ k, to dla każdego x ∈ [a, b] zachodzi nierówność
ϕl (x) ­ ϕk (x), można określić ciąg punktów xn ∈ [a, b], dla którego ϕn (xn ) ­ ε0 .
Ciąg xn zawiera podciąg xnk zbieżny do pewnego punktu x0 .
Dzięki założeniu mamy ϕn (x0 ) → 0, a więc możemy ustalić takie p ∈ N, by
ϕnp (x0 ) <
ε0
2
Istnieje δ > 0, że jeśli |x − x0 | < δ, to ϕnp (x) < ε0 .
Weźmy q ­ p takie, by |xnq − x0 | < δ.
Zachodzą nierówności
ε0 ¬ ϕnq (xnq ) ¬ ϕnp (xnq ) < ε0
Ta sprzeczność dowodzi, że ciąg ϕn musi być jednostajnie zbieżny.
Wnioskiem z tego lematu jest następujące twierdzenie.
♥
Twierdzenie 6.1.5 Jeśli monotoniczny ciąg funkcji ciągłych, określonych na przedziale
zwartym, jest zbieżny punktowo do funkcji ciągłej, to zbieżność jest jednostajna.
Dla dowodu (w przypadku ciągu fn malejącego) wystarczy wziąć ciąg ϕn = fn − f ,
gdzie f jest granicą jednostajną ciągu fn i zastosować lemat
6.2
Różniczkowalność granicy ciągu funkcyjnego.
Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji różniczkowalnych nie musi być różniczkowalna,
a nawet jeśli jest, to jej pochodna nie musi być nawet punktową granicą ciągu
pochodnych tych funkcji.
79
Przykład 6.2.1 Dziedziną będzie w obu przykładach R.
1.
fn (x) =
1
n

−x −






 q







−
1
2n2
x−
1
n
dla
1
x < − 2n
1
− x2 dla − 2n
¬x¬
dla
1
1
, 2n
]
Dla x ∈ [− 2n
x>
1
2n
1
2n
√
0
f (x) = √
2nx
1 − 2n2 x2
a więc
1
1
= −1 = (fn )0+ −
2n
2n
1
1
(fn )0−
= 1 = (fn )0+
2n
2n
Funkcje fn są klasy C 1 i jest to ciąg zbieżny jednostajnie do funkcji f (x) = |x|.
Granica nie jest funkcją różniczkowalną.
(fn )0− −
2.
fn (x) =
1
sin nx ,
n
fn0 (x) = cos nx
Ciąg fn jest jednostajnie zbieżny do funkcji f (x) ≡ 0, ale ciąg pochodnych nie
jest zbieżny nawet punktowo.
W celu udowodnienia istnienia pochodnej granicy ciągu funkcyjnego i zbieżności
do niej ciągu pochodnych będą potrzebne dodatkowe założenia.
Twierdzenie 6.2.1 Załóżmy, że funkcje fn : [a, b] → R są różniczkowalne, ciąg
ich pochodnych jest jednostajnie zbieżny, a dla pewnego x0 ∈ [a, b] zbieżny jest ciąg
liczbowy fn (x0 ). Wtedy ciąg fn jest jednostajnie zbieżny, jego granica jest funkcją
różniczkowalną w [a, b] i zachodzi równość
d
d
lim fn (x) = lim
fn (x)
n→∞ dx
dx n→∞
Dowód twierdzenia będzie poprzedzony dowodem pomocniczego lematu.
Lemat 6.2.1 (O zamianie kolejności granic.) Załóżmy, że x jest punktem skupienia
zbioru X , a ciąg funkcyjny φn : X → R jest zbieżny jednostajnie na zbiorze X \{x}
do funkcji φ . Wtedy jeśli istnieją granice
lim φn (u) = αn
u→x
i
lim αn = α
n→∞
to
lim φ(u) = α
u→x
80
Równość z tezy lematu można zapisać bez użycia symbolu funkcji φ w następujący
sposób
lim lim φn (u) = lim lim φn (u)
u→x n→∞
n→∞ u→x
DOWÓD:
Ustalmy ε > 0.
Dla dowolnego n ∈ N oraz u ∈ X mamy
|φ(u) − α| ¬ |φ(u) − φn (u)| + |φn (u) − αn | + |αn − α|
Ustalmy tak duże n, by dla wszystkich u ∈ X
|φ(u) − φn (u)| <
ε
3
oraz |αn − α| < 3ε .
Istnieje δ > 0, że jeśli 0 < |u − x| < δ, to
|φn (u) − αn | <
ε
3
(n jest ustalone).
Wynika stąd, że jeśli 0 < |u − x| < δ, to
|φ(u) − α| < ε
♥
DOWÓD twierdzenia 6.2.1:
Najpierw dowodzimy jednostajnej zbieżności ciągu fn sprawdzając, że spełnia on
warunek Cauchy’ego jednostajnej zbieżości.
fn (x) − fm (x) =
fn (x) − fn (x0 ) + fn (x0 ) − fm (x0 ) + fm (x0 ) − fm (x) =
(fn (x0 ) − fm (x0 )) + [(fn (x) − fm (x)) − (fn (x0 ) − fm (x0 ))]
Korzystając z Twierdzenia Lagrange’a dla funkcji fn − fm mamy dla pewnego
c pomiędzy x i x0
0
fn (x) − fm (x)) − (fn (x0 ) − fm (x0 ) = (fn0 (c) − fm
(c)) · (x − x0 )
Ustalmy teraz ε > 0.
Istnieje nε , że dla n, m ­ nε
|fn (x0 ) − fm (x0 )| <
0
sup |fn0 (u) − fm
(u)| <
u∈[a,b]
ε
2
ε
2(b − a)
Dzięki temu dla n, m ­ nε i dowolnego x ∈ [a, b]
ε ε
|fn (x) − fm (x)| < + = ε
2 2
Ciąg fn jest więc jednostajnie zbieżny, jego granica jest funkcją ciągłą - oznaczymy
ją przez f .
81
Ustalamy dowolny punkt x ∈ [a, b]. Tworzymy pomocnicze funkcje
φn (u) =
φ(u) =
fn (u) − fn (x)
u−x
f (u) − f (x)
u−x
określone dla u 6= x z dziedziny.
Zachodzi zbieżność punktowa φn (u) → φ(u), gdy n → ∞.
Wykazujemy, że dzięki założeniu jednostajnej zbieżości ciągu fn0 ciąg φn również
jest jednostajnie zbieżny – korzystamy z warunku Cauchy’ego zbieżności jednostajnej.
φn (u) − φm (u) =
(fn (u) − fn (x)) − (fm (u) − fm (x))
=
u−x
(fn (u) − fm (u)) − (fn (x) − fm (x))
=
u−x
0
(fn0 (c) − fm
(c)) · (u − x)
0
= fn0 (c) − fm
(c)
u−x
dla pewnego c pomiędzy x i u.
Dzięki lematowi 6.2.1 istnieje granica po lewej stronie i zachodzi równość
lim
u→x
f (u) − f (x)
= n→∞
lim fn0 (x)
u−x
♥
6.3
Szeregi funkcyjne
Niech wk : X → R, gdzie X ⊂ R , będzie ustalonym ciągiem funkcyjnym.
Definicja 6.3.1 Szeregiem funkcyjnym nazywa się parę ciągów funkcyjnych ({wk } , {Sn }) ,
przy czym
Sn (x) =
n
X
wk (x)
k=1
Sytuacja jest analogiczna jak dla szeregów liczbowych.
Przy każdym ustalonym x ∈ X para ({wk (x)} {Sn (x)}) jest zwykłym szeregiem
liczbowym.
Obszarem zbieżności szeregu funkcyjnego jest obszar zbieżności ciągu funkcyjnego
Sn .
Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego oznacza jednostajną zbieżność ciągu
funkcyjnego Sn .
82
Podobnie jak w przypadku szeregów liczbowych również szeregi funkcyjne na
ogół oznacza się skrótowo jednym z kilku symboli
X
wn ,
∞
X
X
wn ,
wn (x) ,
n=k
∞
X
wn (x)
n=k
Dwa ostatnie nie są jednoznaczne. Z kontekstu musi wynikać czy chodzi o symbol
szeregu funkcyjnego, czy o szereg liczbowy wartości tych funkjci w konkretnym
punkcie x.
6.3.1
Warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej
Twierdzenie 6.3.1 Szereg funkcyjny
wtedy, gdy spełnia warunek
P
wn jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko
n+p
X
wn (x) ¬ ε
∀ε > 0, ∃nε , ∀m ­ ε, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X; n=m
(6.2)
Warunek (6.2) można zapisać trochę inaczej
n+p
X
∀ε > 0, ∃nε , ∀m ­ ε, ∀p ∈ N, sup wn (x) ¬ ε
x∈X n=m
Wynika stąd, że jeśli wyrazy szeregu funkcyjnego są funkcjami ograniczonymi (a
więc jego sumy częściowe również), to jest to warunek Cauchy’ego w przestrzeni
funkcji ograniczonych z określoną tam metryką.
6.3.2
Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregów
funkcyjnych.
P
Twierdzenie 6.3.2 Jeśli istnieje zbieżny szereg liczbowy cn o wyrazach nieujemnych
taki, że dla każdego n zachodzi nierówność sup{|wn (x)| : x ∈ X} ¬ cn , to szereg
P
funkcyjny wn jest jednostajnie zbieżny.
Przykład 6.3.1 Na podstawie kryterium Weierstrassa można stwierdzić, że szereg
∞
X
sin nx
n2
n=1
jest jednostajnie zbieżny na całej prostej.
6.3.3
Różniczkowalność sumy szeregu funkcyjnego.
Z twierdzenia (6.2.1) wynika następujący wniosek, nazywany twierdzeniem o różniczkowaniu
szeregu funkcyjnego wyraz po wyrazie.
83
Twierdzenie 6.3.3 Jeśli wyrazy wn szeregu funkcyjnego, o dziedzinie [a, b], są funkP 0
cjami różniczkowalnymi, szereg pochodnych
wn jest jednostajnie zbieżny, a dla
P
P
pewnego punktu x0 ∈ [a, b] szereg liczbowy un (x0 ) jest zbieżny, to szereg un jest
jednostajnie zbieżny, jego suma jest funkcją różniczkowalną w [a, b] i prawdziwa jest
równość
∞
∞
X
d X
d
wn (x) =
wn (x)
dx n=1
n=1 dx
6.4
Szeregi potęgowe.
Definicja 6.4.1 Szeregiem potęgowym nazywa się szereg funkcyjny postaci
∞
X
an (u − u0 )n
n=0
Dzięki podstawieniu x = u − u0 można szereg potęgowy sprowadzić do postaci
∞
X
an x n
(6.3)
n=0
Obszar zbieżności ulega przesunięciu o −u0 .
6.4.1
Przedział zbieżności szeregu potęgowego.
Twierdzenie 6.4.1 Jeśli szereg potęgowy (6.3) jest zbieżny w punkcie z 6= 0, to
jest zbieżny bezwzględnie w przedziale (−|z| , |z|) , a jednostajnie zbieżny w każdym
przedziale postaci [−α, α] dla dowolnego α ∈ (0, |z|).
DOWÓD:
P
Szereg liczbowy an z n jest zbieżny, a więc ciąg jego wyrazów jest ograniczony –
istnieje M > 0, że
∀n ∈ N ; |an z n | ¬ M
Ustalmy dowolną liczbę α ∈ (0, |z|).
n n α
¬M
|an α | = an z
n
z
n
α
z
Wynika stąd bezwzględna zbieżność szeregu
an αn , a na podstawie kryterium
P
Weierstrassa jednostajna zbieżność szeregu potęgowego an xn w przedziale [−α, α].
♥
P
Wniosek 6.4.1 Jeśli obszar zbieżności szeregu (6.3) nie składa się tylko z zera, to
jest całą prostą, albo jednym z przedziałów postaci (−r, r) , [−r, r) , (−r, r] , [−r, r].
Liczbę r nazywa się promieniem zbieżności tego szeregu.
84
6.4.2
Znajdowanie promienia zbieżności szeregu potęgowego.
Promień zbieżności można określić przy pomocy następującego twierdzenia.
Twierdzenie 6.4.2 (Cauchy – Hadamarda) Niech
λ = lim sup
q
n
n→∞
Promień zbieżności r szeregu potęgowego
1. r =
1
λ
P
|an |
an xn jest następujący
, gdy 0 < λ < +∞ ;
2. r = 0 , gdy λ = +∞ ;
3. r = +∞ , gdy λ = 0 .
DOWÓD: Twierdzenie wynika z kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów dzięki
zastosowaniu równości
lim sup
n→∞
q
n
|an xn | = |x| lim sup
q
n
n→∞
|an |
♥
Końce przedziału zbieżności mogą należeć do obszaru zbieżności lub nie.
6.4.3
Własności sumy szeregu potęgowego.
Wewnątrz przedziału zbieżności suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą, ponieważ
każdy punkt wewnętrzny można zawrzeć wewnątrz trochę większego przedziału, na
którym szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny.
Sytuację na końcach przedziału zbieżności opisuje następujące twierdzenie:
Twierdzenie 6.4.3 (Abela) Jeśli szereg potęgowy jest zbieżny w którymś z końców
przedziału zbieżności, to jego suma jest w tym punkcie ciągła (jednostronnie).
DOWÓD: Wprowadzając podstawienie x = x0 u dostaniemy szereg potęgowy
X
an (x0 u)n =
X
(an xn0 )un
o promieniu zbieżności równym 1 i zbieżnym w punkcie 1. Można założyć, że wyjściowy
szereg ma tę własność.
Udowodnimy, że szereg jest jednostajnie zbieżny na przedziale [0, 1]. W tym celu
wykażemy, że spełnia warunek Cauchy’ego jednostajnej zbieżności.
Ustalmy ε > 0.
Dla p < q oznaczmy
rp,q = ap+1 + . . . + aq
Dzięki zbieżności szeregu
P
an istnieje nε , że
nε ¬ p < q ⇒ |rp,q | < ε
85
Dostajemy oszacowanie
ap+1 xp+1 + ap+2 xp+2 . . . + aq xq =
rp,p+1 xp+1 + (rp,p+2 − rp,p+1 )xp+2 + . . . + (rp,q − rp,q−1 )xq =
rp,p+1 (xp+1 − xp+2 ) + . . . + rp,q−1 (xq−1 − xq ) + rp,q xq ¬
ε(xp+1 − xp+2 ) + . . . + ε(xq−1 − xq ) + εxq =
εxp+1 ¬ ε
Warunek Cauchy’ego jest więc spełniony.
Suma szeregu jest lewostronnie ciągła w punkcie 1.
♥
Przykłady zastosowania twierdzenia Abela.
Promieniem zbieżności szeregu MacLaurina dla funkcji ln(1 + x) jest 1.
Dla |x| < 1
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n+1
n=1
Szereg
xn
x x2 x3 x4
= −
+
−
+ ...
n
1
2
3
4
∞
X
(−1)n+1
n
n=1
jest zbieżny, więc
lim ln(1 + x) = ln 2 =
x→1−
∞
X
(−1)n+1
n
n=1
=1−
1 1 1
+ − + ...
2 3 4
Podobnie dla |x| < 1
arc tg x = x −
x3 x5 x7
+
−
+ ...
3
5
7
skąd
π
1 1 1
= 1 − + − + ...
4
3 5 7
Pochodna sumy szeregu potęgowego.
Twierdzenie 6.4.4 Funkcja
f (x) =
∞
X
an x n
n=0
określona dla x z obszaru zbieżności tego szeregu, ma wewnątrz przedziału zbieżności
pochodną równą sumie szeregu pochodnego.
86
DOWÓD: Niech r będzie promieniem zbieżności i x ∈ (−r, r).
Weźmy α > 0 takie, że x ∈ (−α, α) , [−α, α] ⊂ (−r, r).
Szereg an xn spełnia na [−α, α] założenia twierdzenia o różniczkowaniu szeregu
wyraz po wyrazie.
P
Funkcja f ma w punkcie x pochodną oraz
∞
X
f 0 (x) =
nan xn−1
n=1
Przykład 6.4.1
∞
X
xn =
n=0
więc
∞
X
1
dla x ∈ (−1, 1)
1−x
nxn−1 =
n=1
w tym samym zbiorze.
87
1
(1 − x)2
Rozdział 7
Zbiory i funkcje wypukłe
7.1
Zbiory wypukłe
Niech X będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.
Definicja 7.1.1 Zbiór A ⊂ X nazywa się wypukły, jeśli dla każdych dwóch punktów
x , y ∈ A odcinek łączący te punkty zawarty jest w zbiorze A .
Odcinek łączący punkty x i y jest równy zbiorowi punktów z, które można przedstawić
w następującej postaci
z = y + λ(x − y) = λx + (1 − λ)y
dla
λ ∈ [0 , 1]
tak więc zbiór A jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy
∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1]; λx + (1 − λ)y ∈ A
Lemat 7.1.1 Jeśli zbiór A ⊂ X jest wypukły, to dla każdego n ∈ N zachodzi
warunek
∀λ1 , . . . , λn ­ 0, ∀x1 , . . . , xn ∈ A;
n
X
λi = 1 ⇒
i=1
n
X
λi x i ∈ A
i=1
Dowód przeprowadza się metodą indukcji względem n.
P
P
Jeśli λ1 , . . . , λn ­ 0 i ni=1 λi = 1, to punkt ni=1 λi xi nazywa się kombinacją
wypukłą punktów x1 , . . . , xn .
7.2
Funkcje wypukłe i wklęsłe
Definicja 7.2.1 Funkcję f : U → R ∪ {+∞} , gdzie U ⊂ X jest zbiorem wypukłym,
nazywa się wypukłą, jeśli spełnia warunek
∀x, y ∈ U, ∀λ ∈ [0, 1]; f (λx + (1 − λ)y) ¬ λf (x) + (1 − λ)f (y)
88
Definicja 7.2.2 Funkcję f : U → R ∪ {−∞}, gdzie U ⊂ X jest zbiorem wypukłym,
nazywa się wklęsłą, jeśli funkcja −f jest wypukła.
Funkcja jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy
∀x, y ∈ U, ∀λ ∈ [0, 1]; f (λx + (1 − λ)y) ­ λf (x) + (1 − λ)f (y)
7.2.1
Charakteryzacja funkcji wypukłej przez wypukłość epigrafu
Definicja 7.2.3 Epigrafem funkcji f : U → R∪{−∞, +∞} nazywa się następujący
zbiór
epi f = {(x, r) ∈ U × R : f (x) ¬ r}
Lemat 7.2.1 Niech U ⊂ X. Funkcja f : U → R ∪ {+∞} jest wypukła wtedy i tylko
wtedy, gdy jej epigraf jest zbiorem wypukłym.
DOWÓD:
„⇒” – zakładamy, że f wypukła.
Niech (x1 , r1 ), (x2 , r2 ) ∈ epi f i λ ∈ [0, 1].
r1 ­ f (x1 ) , r2 ­ f (x2 )
λr1 ­ λf (x1 ) , (1 − λ)r2 ­ (1 − λ)f (x2 )
Dodając stronami i korzystając z wypukłości dostajemy
λr1 + (1 − λ)r2 ­ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) ­ f (λx1 + (1 − λ)x2 )
Stąd kombinacja wypukła punktów epigrafu spełnia
λ(x1 , x2 ) + (1 − λ)(x2 , r2 ) = (λx1 + (1 − λ)x2 , λr1 + (1 − λ)r2 ) ∈ epi f
„⇐” – zakładamy, że epi f wypukły
Niech x1 , x2 ∈ U, λ ∈ [0, 1].
Jeśli f (x1 ) = +∞ lub f (x2 ) = +∞, to nierówność
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ¬ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
jest spełniona.
Przyjmijmy, że f (x1 ), f (x2 ) < +∞ oraz (x1 , f (x1 )), (x2 , f (x2 )) ∈ epi f . Dzięki
wypukłości epi f jest
λ(x1 , f (x1 )) + (1 − λ)(x2 , f (x2 )) =
(λx1 + (1 − λ)x2 , λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )) ∈ epi f
Stąd
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Dom f
gdzie Dom f = {x ∈ U ; f (x) < +∞}. Ostatecznie dostaliśmy
λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) ­ f (λx1 + (1 − λ)x2 )
♥
89
7.3
Funkcje wypukłe zmiennej rzeczywistej
Dziedziną funkcji wypukłej zmiennej rzeczywistej może być odcinek, półprosta, albo
prosta. Zbiór punktów, dla których przyjmuje ona wartości skończone też jest jednej
z tych postaci.
Przyjmujemy, że badana funkcja wypukła f : R ⊃ U → R ma wartości skończone.
7.3.1
Charakteryzacja funkcji wypukłej przez ilorazy różnicowe
Lemat 7.3.1 Funkcja f : U → R , określona na wypukłym zbiorze U ⊂ R , jest
wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej trójki liczb x1 < x2 < x3 należących do
U zachodzi nierówność
f (x2 ) − f (x1 )
f (x3 ) − f (x2 )
¬
x2 − x1
x3 − x2
DOWÓD: Jeśli x1 < x3 i λ ∈ (0, 1), to dla x2 = λx1 + (1 − λ)x3 jest
λ=
x3 − x2
x2 − x1
, 1−λ=
x3 − x1
x3 − x2
Również odwrotnie, jeśli λ jest zdefiniowana przez poprzednią równość, to
x2 = λx1 + (1 − λ)x3
Dla x1 < x2 < x3 następujące nierówności są równoważne:
f (λx1 + (1 − λ)x3 ) ¬ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x3 )
x3 − x1
x2 − x1
f (x1 ) +
f (x3 )
x3 − x2
x3 − x1
x3 − x2
x2 − x1
x3 − x2 + x2 − x1
f (x2 ) ¬
f (x1 ) +
f (x3 )
x3 − x1
x3 − x1
x3 − x1
f (x2 ) ¬
(x3 − x2 )(f (x2 ) − f (x1 )) ¬ (x2 − x1 )(f (x3 ) − f (x2 ))
f (x3 ) − f (x2 )
f (x2 ) − f (x1 )
¬
x2 − x1
x3 − x2
Wynika stąd potrzebna równoważność.
7.3.2
♥
Różniczkowalność funkcji wypukłych
Funkcje wypukłe nie muszą mieć pochodnej – przykładem jest funkcja f (x) = |x|.
Wnioskiem z naszych rozważań będzie między innymi, że punktów, gdzie pochodna
funkcji wypukłej nie istnieje, jest stosunkowo „mało”.
Pochodną lewostronną i prawostronną funkcji f w punkcie x (o ile istnieją)
oznaczamy odpowiednio f−0 (x) i f+0 (x).
90
Twierdzenie 7.3.1 Funkcja wypukła ma obydwie pochodne jednostronne w każdym
punkcie wewnętrznym swojej dziedziny oraz dla x1 < x2 zachodzą nierówności
f−0 (x1 ) ¬ f+0 (x1 ) ¬ f−0 (x2 ) ¬ f+0 (x2 )
Wniosek: Funkcja wypukła o skończonych wartościach ma pochodną poza co
najwyżej przeliczalnym zbiorem punktów dziedziny.
Do udowodnienia twierdzenie potrzebny jest następujący lemat:
Lemat 7.3.2 Jeśli funkcja f : U → R jest wypukła, to dla każdego ustalonego
punktu x ∈ U funkcja α : U \ {x} → R określona wzorem
α(u) =
f (u) − f (x)
u−x
jest niemalejąca.
DOWÓD: W przypadku u1 < x < u2 nierówność α(u1 ) ¬ α(u2 ) wynika z lematu
7.3.1. Rozważymy jeszcze dwa przypadki.
1. x < u1 < u2
u 2 − u1
u1 − x
x+
u2
u2 − x
u2 − x
u2 − u 1
u1 − x
f (u1 ) ¬
f (x) +
f (u2 )
u2 − x
u2 − x
u1 =
u2 − x
(u2 − x) − (u1 − x)
u1 − x
f (u1 ) ¬
f (x) +
f (u2 )
u2 − x
u2 − x
u2 − x
(u2 − x)(f (u1 ) − f (x)) ¬ (u1 − x)(f (u2 ) − f (x))
f (u2 ) − f (x)
f (u1 ) − f (x)
¬
u1 − x
u2 − x
2. u1 < u2 < x
Można dowodzić analogicznie, bądź skorzystać z poprzedniego przypadku dla
funkcji g(u) = f (−u).
α(u1 ) =
−
g(−u1 ) − g(−x)
f (u1 ) − f (x)
=−
¬
u1 − x
−u1 − (−x)
g(−u2 ) − g(−x)
f (u2 ) − f (x)
=
= α(u2 )
−u2 − (−x)
u2 − x
♥
91
7.3.3
Warunki wypukłości funkcji różniczkowalnej
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w calej dziedzinie, to można podać warunek jej
wypukłości wyrażony przy pomocy pochodnej.
Twierdzenie 7.3.2 Funkcja f ∈ D1 (U ) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy
pochodna f 0 jest funkcją niemalejącą.
DOWÓD:
„⇒” – zakładamy, że f wypukła
Niech x < y. Ustalmy dowolne u ∈ (x, y). Na mocy Lematu 7.3.1 możemy
stwierdzić
f (u) − f (y)
f (u) − f (x)
¬
u−x
u−y
0
0
Dzięki lematowi 7.3.2 dostajemy f (x) ¬ f (y)
„⇐” – zakładamy, że f 0 niemalejąca
Niech x1 < x2 < x3 . Istnieją punkty c1 ∈ (x1 , x2 ) i c2 ∈ (x2 , x1 ), że
f (x3 ) − f (x2 )
f (x2 ) − f (x1 )
= f 0 (c1 ) ,
= f 0 (c2 )
x2 − x1
x3 − x2
a więc
f (x2 ) − f (x1 )
f (x3 ) − f (x2 )
¬
x2 − x1
x3 − x2
co na mocy Lematu 7.3.1 dowodzi wypukłości f .
♥
Wniosek 7.3.1 Funkcja f ∈ D2 (U ) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej druga
pochodna jest funkcją nieujemną.
7.3.4
Położenie wykresu funkcji wypukłej i różniczkowalnej
względem stycznej
Twierdzenie 7.3.3 Jeśli funkcja jest wypukła, a wykres ma w jakimś punkcie styczną,
to cały wykres funkcji leży powyżej tej stycznej.
DOWÓD: Zakładamy, że w punkcie x istnieje pochodna f 0 (x).
Dla u > x
f 0 (x) ¬
f (u) − f (x)
u−x
czyli f (u) ­ f (x) + f 0 (x) · (u − x)
Dla u < x
f (u) − f (x)
¬ f 0 (x)
u−x
czyli f (u) ­ f (x) + f 0 (x) · (u − x)
92
♥
Twierdzenie 7.3.4 Jeśli f ∈ D1 (U ) , gdzie U ⊂ R wypukły, a styczna w każdym
punkcie leży poniżej wykresu funkcji f , to jest ona wypukła.
DOWÓD: Przypuśćmy, że funkcja f nie jest wypukła. Istnieją punkty x < y dziedziny
takie, że dla niektórych λ ∈ (0, 1)
f (λx + (1 − λ)y) > λf (x) + (1 − λ)f (y)
Funkcja φ(λ) = f (λx + (1 − λ)y) − (λf (x) + (1 − λ)f (y)) osiąga na [0, 1] maksimum
dodatnie dla pewnego λ0 ∈ (0, 1). Oznaczając u = λ0 x + (1 − λ0 )y mamy
0 = φ0 (λ0 ) = f 0 (u) · (x − y) − (f (x) − f (y))
a więc
f 0 (u) =
f (y) − f (x)
y−x
Wynika stąd, że styczna o równaniu z = f (u) + f 0 (u) · (z − u) leży powyżej punktów
(x, f (x)) , (y, f (y)) wykresu.
♥
7.3.5
Punkty przegięcia wykresu funkcji
Definicja 7.3.1 Jeśli w pewnym otoczeniu jakiegoś punktu na lewo od niego funkcja
jest wypukła, a na prawo wklęsła (lub odwrotnie), to nazywamy go punktem przegięcia
wykresu funkcji.
Twierdzenie 7.3.5 Jeśli w punkcie przegięcia funkcja ma drugą pochodną, to jest
ona równa zeru.
Jeśli w punkcie przegięcia funkcja ma pochodną, czyli istnieje styczna do wykresu,
to w pewnym otoczeniu na lewo od punktu przegięcia wykres znajduje się po jednej
stronie stycznej, a na prawo po drugiej.
93