FinEng 3_ceny obligacji - E-SGH

Transkrypt

Inżynieria Finansowa:
3. Ceny obligacji i stopy procentowe
Piotr Bańbuła
Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE
Październik 2014 r.
Warszawa, Szkoła Główna Handlowa
Stopy procentowe
Co to jest stopa procentowa?
𝑭𝑽
𝑷𝑽 𝒕, 𝑻 =
(𝟏 + 𝒓)𝒏
Podzielmy obydwie strony równania (Present Value, Future
Value) przez FV i załóżmy, że instrument wypłaca tylko i
wyłącznie w terminie zapadalności.
𝑩 𝒕, 𝑻 =
𝟏
(𝟏 + 𝒓)𝒏
B(t,T) – obligacja zerokuponowa wypłacająca 1 w terminie
zapadalności
Stopy procentowe
Co to jest stopa procentowa? – c.d.
𝟏
𝑩 𝒕, 𝑻 =
(𝟏 + 𝒓)𝒏
Cena wykupu B(T,T)=1
Różnica określająca
stopę zwrotu
Cena bieżąca
B(t,T)
t
T
Stopy procentowe
Ile dziś warte jest 1 PLN otrzymane na pewno za rok?
𝟏
𝑷𝑽 𝒕, 𝑻 = 𝑩 𝒕, 𝑻 =
(𝟏 + 𝒓)𝒏
Ile jest warte 3 PLN otrzymane za rok?
𝟑
𝑷𝑽 𝒕, 𝑻 =
(𝟏 + 𝒓)𝒏
lub inaczej
𝟏
∙ 𝟑 = 𝑩(𝒕, 𝑻) ∙ 𝟑
(𝟏 + 𝒓)𝒏
Dlatego cena obligacji B(t,T) jest zarazem czynnikiem
dyskontującym na okres (t,T)
Stopy procentowe
Co to jest stopa procentowa?
B(t,T)=DF(t,T)=1/(1+r)^n
B – obligacja zerokuponowa (wypłaca jedynie w terminie
zapadalności)
DF – czynnik dyskontowy (PV=FV*DF)
Cena wykupu B(T,T)=1
Różnica określająca
stopę zwrotu
1
𝐵 𝑡, 𝑇 =
1 + 𝑓( 𝑇 − 𝑡 , 𝑟(𝑇))
Cena bieżąca
B(t,T)
Jeśli 𝑇1 <𝑇2
t
T
𝐵 𝑡, 𝑇1 < 𝐵 𝑡, 𝑇2
Stopy procentowe a czynnik dyskontowy
𝐵 𝑡, 𝑇 = 1 + 𝑓( 𝑇 − 𝑡 , 𝑟(𝑇))
zwykle
𝐵 𝑡, 𝑇 = (1 + 𝑟(𝑇))−(𝑇−𝑡)
Stopy procentowe – krzywa dochodowości
Krzywa dochodowości: funkcja określająca poziom stóp
procentowych (czynników dyskontowych) zależnie od horyzontu
czasowego
Krzywa dochodowości
Rentowność
Premia terminowa
Stopy oczekiwane
Termin do zapadalności
1Y
5Y
10Y
15Y
20Y
25Y
30Y
Hipoteza oczekiwań
długie stopy jako średnia oczekiwanych stóp krótkich
Hipoteza segmentacji rynku/preferowanych habitatów
(Modigliani i Sutch (1966), Vayanos i Vila (2009))
Poszczególni inwestorzy preferują określone segmenty krzywej:
podaż papierów współdeterminuje rentowności
Krzywa dochodowości a sytuacja makroekonomiczna
Rentowność
Normalna nachylenie
Płaska
Odwrócona
1Y
5Y
10Y
15Y
20Y
25Y
30Y
Termin do zapadalności
Płaska i zwłaszcza odwrócona
Oczekiwane spadki stóp krótkoterminowych
Stopy krótkoterminowe determinowane przez bank centralny
Obniżki stóp – oczekiwania na spadek presji
inflacyjnej/spowolnienie/recesję
Stopy procentowe - obligacje
Obligacja wypłacająca kupony jest złożeniem obligacji
zerokuponowych
𝑃 𝑡, 𝑇 =
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1 + 𝑁
+
+
⋯
+
(1 + 𝑖)1 (1 + 𝑖)2
(1 + 𝑖)𝑇
i – wewnętrzna stopa zwrotu, yield-to-maturity
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1 + 𝑁
𝑃 𝑡, 𝑇 =
+
+ ⋯+
(1 + 𝑟(1))1 (1 + 𝑟(2))2
(1 + 𝑟(𝑇)𝑇
r(T)-stopa zerokuponowa dla odpowiedniego tenoru (powyżej
t=0)
Rodzaje stóp procentowych
Skarbowe < repo < międzybankowe (LIBOR, WIBOR)
Yield to maturity
i: Yield to
maturity
1Y
1Y bond
2,00%
103
2Y bond
2,95%
10
110
3Y bond
3,45%
6
6
106
4Y bond
3,92%
6
6
6
100
5Y bond
4,32%
10
10
10
10
2Y
3Y
4Y
5Y
Cena
100,9804
113,4895
107,1439
102,43
110
125,067
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1 + 𝑁
𝐶𝑒𝑛𝑎 𝑡, 𝑇 =
+
+ ⋯+
(1 + 𝑖)1 (1 + 𝑖)2
(1 + 𝑖)𝑇
Obserwując cenę na rynku możemy z powyższego wzoru
określić YTM
Yield to maturity
i: Yield to
maturity
1Y
1Y bond
2,00%
103
2Y bond
2,95%
10
110
3Y bond
3,45%
6
6
106
4Y bond
3,92%
6
6
6
100
5Y bond
4,32%
10
10
10
10
2Y
3Y
4Y
5Y
Cena
100,9804
113,4895
107,1439
10
110
𝐶𝑒𝑛𝑎 0,2 = 113,4895 =
+
(1 + 𝑖)1 (1 + 𝑖)2
𝑖 = 𝑌𝑇𝑀 = 2,95%
102,43
110
125,067
Stopy zerokuponowe vs. yield to maturity
Ile powinna kosztować obligacja 3Y wypłacająca co roku 10 i 100 po
trzech latach?
Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy stworzyć krzywą
dochodowości, która pozwoli nam określić bieżącą wartość dowolnego
przepływu pieniężnego.
Krzywa YTM tego nie umożliwia, gdyż opisuje ona bieżącą wartość
jedynie konkretnych obligacji.
Stworzymy krzywą zerokuponową, daną wzorem:
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1 + 𝑁
𝑃 𝑡, 𝑇 =
+
+ ⋯+
(1 + 𝑟(0,1))1 (1 + 𝑟(0,2))2
(1 + 𝑟(0, 𝑇)𝑇
Odpowiada ona hipotetycznym obligacjom, które nie dają żadnych
płatności kuponowych, ale wypłacają jedynie na koniec.
Wycena polega na zdyskontowaniu dowolnej struktury przepływów
odpowiednią strukturą stóp dyskonta (zerokuponowymi).
Krzywa zerokuponowa vs. Yield to maturity
YTM
1Y
2Y
3Y
4Y
1Y bond
2,00%
103
2Y bond
2,95%
10
110
3Y bond
3,45%
6
6
106
4Y bond
3,92%
6
6
6
100
5Y bond
4,32%
10
10
10
10
5Y
100,9804
113,4895
107,1439
102,43
110
Stopy zerokuponowe
𝑃 𝑡, 𝑇 =
Cena
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1 + 𝑁
+
+
⋯
+
(1 + 𝑟(0,1))1 (1 + 𝑟(0,2))2
(1 + 𝑟(0, 𝑇)𝑇
103
𝐶𝑒𝑛𝑎 0,1 = 100,9804 =
→ 𝑟 0,1 = 2%
(1 + 𝑟(0,1))1
125,067
YTM
1Y
1Y bond
2,00%
103
2Y bond
2,95%
10
110
3Y bond
3,45%
6
6
106
4Y bond
3,92%
6
6
6
100
5Y bond
4,32%
10
10
10
10
Stopy zerokuponowe
𝑃 𝑡, 𝑇 =
2Y
3Y
4Y
5Y
Cena
100,9804
113,4895
107,1439
102,43
110
2%
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1 + 𝑁
+
+
⋯
+
(1 + 𝑟(0,1))1 (1 + 𝑟(0,2))2
(1 + 𝑟(0, 𝑇)𝑇
10
110
𝐶𝑒𝑛𝑎 0,2 = 113,9804 =
+
→ 𝑟 0,2 = 3%
(1 + 2%)1 (1 + 𝑟(0,2))2
125,067
YTM
1Y
1Y bond
2,00%
103
2Y bond
2,95%
10
110
3Y bond
3,45%
6
6
106
4Y bond
3,92%
6
6
6
100
5Y bond
4,32%
10
10
10
10
2%
3%
Stopy zerokuponowe
𝑃 𝑡, 𝑇 =
2Y
3Y
4Y
5Y
Cena
100,9804
113,4895
107,1439
102,43
110
125,067
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1 + 𝑁
+
+
⋯
+
(1 + 𝑟(0,1))1 (1 + 𝑟(0,2))2
(1 + 𝑟(0, 𝑇)𝑇
6
6
106
𝐶𝑒𝑛𝑎 0,3 = 107,1439 =
+
+
→ 𝑟 0,3 = 3,5%
(1 + 2%)1 (1 + 3%)2 (1 + 𝑟(0,3))3
YTM
1Y
1Y bond
2,00%
103
2Y bond
2,95%
10
110
3Y bond
3,45%
6
6
106
4Y bond
3,92%
6
6
6
100
5Y bond
4,32%
10
10
10
10
110
2%
3%
3,5%
4%
4,5%
Stopy zerokuponowe
2Y
3Y
4Y
5Y
Cena
100,9804
113,4895
107,1439
102,43
125,067
Stopy procentowe - konwencja
Konwencje liczby dni dla naliczania odsetek
ACT/360, ACT/365, 30/360, ACT/ACT
Sposoby kwotowanie stóp procentowych
Stopa prosta (rynek pieniężny)
1
𝐵 𝑡, 𝑇 =
1 + 𝑇 − 𝑡 𝑟(𝑡, 𝑇)
Stopa złożona m-krotna kapitalizacja w ciągu roku (niektóre
obligacje, instrumenty pochodne)
1
𝐵 𝑡, 𝑇 =
𝑟(𝑡, 𝑇) 𝑚(𝑇−𝑡)
1+
𝑚
Kapitalizacja ciągła (teoretyczna, używana w modelowaniu)
𝐵 𝑡, 𝑇 = 𝑒 −𝑟(𝑡,𝑇)(𝑇−𝑡)
Kapitalizacja i siła procentu składanego
Kapitalizacja ciągła jako graniczny przypadek kapitalizacji
złożonej
𝑟 𝑚𝑡
lim 1 +
= 𝑒 𝑟𝑡
𝑚→∞
𝑚
Stopy procentowe - konwencja
Rodzaje stóp procentowych
Skarbowe < repo < międzybankowe (LIBOR, WIBOR)
Sposoby kwotowanie stóp procentowych
Stopa prosta (rynek pieniężny)
1
𝐵 𝑡, 𝑇 =
1 + 𝑇 − 𝑡 𝑟(𝑡, 𝑇)
Stopa złożona m-krotna kapitalizacja w ciągu roku (niektóre
obligacje, instrumenty pochodne)
1
𝐵 𝑡, 𝑇 =
𝑟(𝑡, 𝑇) 𝑚(𝑇−𝑡)
1+
𝑚
Kapitalizacja ciągła (teoretyczna, używana w modelowaniu)
𝐵 𝑡, 𝑇 = 𝑒 −𝑟(𝑡,𝑇)(𝑇−𝑡)
Konwencje
Potrzebujemy płynności na 1 dzień – 100 mln PLN. Czy
wolimy pożyczkę na 6%, czy pożyczkę na 7% w skali
roku*?
* 28 lutego (środa), pożyczka na 6% kapitalizacja dzienna konwencja 30/360, 7% roczna konwencja ACT/365
Konwencje
Potrzebujemy płynności na 1 dzień – 100 mln PLN. Czy
wolimy pożyczkę na 6%, czy pożyczkę na 7% w skali roku*?
Kwota do zwrotu przy 6%
6%)
𝐵 𝑡, 𝑇 = 1 +
360
3
× 108 ≈ 50 𝑡𝑦𝑠. 𝑃𝐿𝑁
Kwota do zwrotu przy 7%
𝐵 𝑡, 𝑇 = 1 + 7% ×
1
365
× 108 ≈ 19 𝑡𝑦𝑠. 𝑃𝐿𝑁
* 28 lutego (środa), pożyczka na 6% kapitalizacja dzienna konwencja 30/360, 7% roczna konwencja ACT/365
Zakup syntetycznej obligacji
+1 mln PLN: emisja obligacji/krótka sprzedaż/pożyczka
t1
t2
-1,04 mln PLN: zwrot pożyczki
t1
t2
+1,10mln PLN: wykup obligacji
-1mln PLN: zakup obligacji
+1 mln PLN: pożyczka
-1mln PLN: depozyt
t1
+1,04mln PLN: pożyczka
t2
-1,04 mln PLN: pożyczka
+1,10mln PLN: depozyt
-1,097 mln PLN: spłata pożyczki
Stopy terminowe
Stopa terminowa
[depozyt za T, kończący się w S]=[sprzedaż obligacji
zapadającej w S w ilości B(t,T)/B(t,S)]+[kupno obligacji
zapadającej w T]
Stopa terminowa (t<T<S)
1 + (𝑆 − 𝑇)𝐹 𝑡, 𝑇, 𝑆 =
𝐵(𝑡, 𝑇)
𝐵(𝑡, 𝑆)
1 𝐵 𝑡, 𝑇 − 𝐵(𝑡, 𝑆)
𝐹 𝑡, 𝑇, 𝑆 =
𝑆−𝑇
𝐵(𝑡, 𝑆)
Kapitalizacja ciągła:
𝑒 −𝐹(𝑡,𝑇,𝑆)(𝑆−𝑇) =
𝐵(𝑡,𝑇)
;
𝐵(𝑡,𝑆)
𝐹 𝑡, 𝑇, 𝑆 =
1 ln(𝐵 𝑡,𝑆 )−𝑙𝑛(𝐵(𝑡,𝑇)
𝑆−𝑇
𝑆−𝑇
Stopy terminowe - przykład
1Y
2Y
3Y
4Y
5Y
Stopy zerokuponowe
2%
3%
3,5%
4%
4,5%
Czynnik dyskontowy
DF(0,T)=B(0,T)
0,980392 0,942596 0,901943 0,854804 0,802451
Stopy terminowe
2%
𝐵(𝑡, 𝑇)
𝐵(𝑡, 𝑆)
𝐵 𝑡, 𝑇 − 𝐵(𝑡, 𝑆)
𝐹 𝑡, 𝑇, 𝑆 =
𝑆 − 𝑇 ∙ 𝐵(𝑡, 𝑆)
1 + (𝑆 − 𝑇)𝐹 𝑡, 𝑇, 𝑆 =
1 𝐵 0,1 − 𝐵(0,2)
1 0.9804 − 0.9426
𝐹 0,1,2 =
=
= 0.04010
2−1
𝐵(0,2)
2−1
0.9426
1Y
2Y
3Y
4Y
5Y
Stopy zerokuponowe
2%
3%
3,5%
4%
4,5%
Czynnik dyskontowy
DF(0,T)=B(0,T)
0,980392 0,942596 0,901943 0,854804 0,802451
Stopy terminowe
2%
4,01%
4,507%
5,515%
6,524%
𝐵 𝑡, 𝑇
𝐹 𝑡, 𝑇, 𝑆 =
−1
𝑆 − 𝑇 ∙ 𝐵(𝑡, 𝑆)
1
𝑆
𝑇
(1 + 𝑟𝑆 )
(1 + 𝑟𝑇 )
𝐹 𝑡, 𝑇, 𝑆 =
−1=
𝑇
1
(𝑇
−
𝑆)(1
+
𝑟
)
𝑇
𝑆 − 𝑇 ∙ 𝐵 𝑡, 𝑆 =
𝑆
(1 + 𝑟𝑆 )
𝐵 𝑡, 𝑇 =
1 𝐵 𝑡, 𝑇 − 𝐵(𝑡, 𝑆)
1 0.9441 − 0.9153
=
= 0.024866
𝑆−𝑇
𝐵(𝑡, 𝑆)
4−3
0.9153
4
4
(1 + 𝑟4 )
(1 + 0.02237)
𝐹 0,3,4 =
3−1=
3 − 1 = 0.024866
(1 + 𝑟3 )
(1 + 0.019362)
𝐹 0,3,4 =
Stopy terminowe a stopy oczekiwane
Stopy terminowe
Jest stopą zgodną z zasadą braku arbitrażu.
Traktując krzywa dochodowości jako daną liczymy stopy
terminowe.
Odpowiadają one cenie syntetycznych instrumentów, które
możemy stworzyć pożyczając i lokując na krzywej
dochodowości.
Stopy oczekiwane
Jeśli hipoteza oczekiwań jest prawdziwa i nie ma premii za
ryzyko, to stopy oczekiwane równają się terminowym.
Jeśli premia za ryzyko (płynnościowe, inflacyjne, kredytowe)
występuje, to stopy długoterminowe są wyższe niż średnia
oczekiwanych stóp krótkoterminowych.
Cena a rentowność obligacji
Z równości PV=FV/(1+r)^n wiemy, że cena obligacji jest
negatywnie związana z wysokością stopy procentowej.
Jak dokładniej wygląda ta zależność?
Przypomnijmy, że zmianę wartości (różniczkowalnej) funkcji
możemy przedstawić za pomocą wielomianu jej pochodnych,
rozwijając ją w szereg Taylora:
𝑃 𝑟 − 𝑃 𝑟 + ∆𝑟 =
𝑑𝑃
∆𝑟
𝑑𝑟
+
BPV, Duracja
1
𝑑2𝑃
2
(∆𝑟) 2
2!
𝑑𝑟
+
1
𝑑3𝑃
3
(∆𝑟) 3 +…
3!
𝑑𝑟
Wypukłość
Dla małych ∆𝑟 wyższe potęgi (∆𝑟)𝑛 zmierzają do zera i zwykle
dobra aproksymacja wymaga przybliżenia do drugiego rzędu
włącznie (ale nie zawsze).
Cena a rentowność obligacji: przybliżenie
W przypadku ceny obligacji danej jako:
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1
𝐶𝐹1 + 𝑁
𝑃 𝑡, 𝑇 =
+
+
⋯
+
(1 + 𝑟)1 (1 + 𝑟)2
(1 + 𝑟)𝑇
Pierwsza pochodna ceny po rentowności to:
𝑑𝑃
𝑑𝑟
=
𝑡 𝑘 𝐶𝑘
𝑇
𝑘=1 (1+𝑟)𝑡𝑘 +1
Mierzy ona liniową zależność pomiędzy wartością funkcji a jej
argumentem w otoczeniu punktu r. Odpowiadającą jej miarą
jest BPV oraz modyfikowana duracja (modified duration)
Druga pochodna to
𝑑2 𝑃
𝑑𝑟 2
=
𝑡𝑘 (𝑡𝑘 +1)𝐶𝑘
𝑇
𝑘=1 (1+𝑟)𝑡𝑘 +2
Mierzy ona stopień wypukłości funkcji w otoczeniu punktu r, a
więc nieliniowość, która nie została uchwycona poprzez
pierwszą
pochodną.
Odpowiadającą
jej
miarą
jest
wypukłość obligacji (convexity).
BPV
Basis Point Value (BPV)
𝑑𝑃
𝐵𝑃𝑉 = −
∙ ∆𝑟
𝑑𝑟
gdzie ∆𝑟 to 0.0001 czyli 1 pb.
Ta miara mówi o ile (monetarnie) zmieni się cena obligacji w
reakcji na zmianę st.proc. o 1pb.
Czasem wygodniej
względnych.
jest
jednak
pracować
na
zmianach
BPV - przykład
Zainwestowaliśmy 30 mln PLN w trzy obligacje:
2Y, 10Y, 30Y
Każda wypłaca kupony w wysokości 7%
Bieżąca stopa procentowa to 7%
Kupon
BPV (r=7%, 10^7 PLN)
Przybliżenie ceny
2Y
7%
1 800
10Y
7%
7 023
30Y
7%
12 409
𝐵𝑃𝑉 =
𝑑𝑃
−
∙ ∆𝑟 ∙ N
𝑑𝑟
Wrażliwość pochodnej na wysokość kuponu i stopę bieżącą
Kupon
Stopa bieżąca
BPV
10Y
3%
3%
8 530
10Y
7%
5%
7 338
10Y
11%
2%
7 305
Modyfikowana duracja
Modyfikowaną duracja (modified duration):
1 𝑑𝑃
𝐷=−
=
𝑃 𝑑𝑟
𝑇
𝑘=1 𝑡𝑘 𝐶𝑘
𝑇
𝑘=1 𝐶𝑘
1 + 𝑟 −(𝑡𝑘+1)
1 + 𝑟 −𝑡𝑘
Jak ją wykorzystujemy?
𝑃 𝑟 − 𝑃 𝑟 + ∆𝑟
≈ 𝐷 ∙ ∆𝑟
𝑃(𝑟)
Mówi o ile względnie (w przybliżeniu) zmieni się cena
obligacji w wyniku zmiany stopy procentowej o (zwykle jako
∆𝑟 wstawiamy 0.01 czyli 1 p.p.)
Duracja a BPV
𝑩𝑷𝑽 = 𝑃 ∙ 𝑫/10000
Duracja Macauleya
Duracja Macauleya
(~ średni termin zapadalności zdyskontowanych płatności):
𝑀𝑎𝑐𝐷 = 𝐷(1 + 𝑟)
Obligacje zerokuponowe
zapadalności
mają
MacD
równą
terminowi
Dla kapitalizacji ciągłej obie modyfikowana duracja i duracja
Macauleya są sobie równe
Modufikowana duracja - zależności
Modyfikowana duracja jest tym wyższa im (ceteris
paribus):
Dalszy jest termin do zapadalności
Niższe są kupony
Niższa jest stopa procentowa
Dla obligacji o zmiennej stopie procentowej (Floating Rate
Note) modyfikowana duracja jest bliska zeru: cena obligacji
nie zmienia się wraz ze zmianą stóp procentowych
Jaka w związku z tym jest duracja większości kredytów
hipotecznych w Polsce?
Hipoteczne kredyty walutowe w Polsce
Pierwotna zapadalność zadłużenia
gospodarstw domowych
Przeznaczenie kredytów udzielanych
gospodarstwom domowym
Źródło: NBP, obliczenia własne
Uwagi: Ostatnia obserwacja kwiecień 2012 r. Kredyty Inwestycyjne: kredyty inwestycyjne, dla rolników
i indywidualnych przedsiębiorców. Kredyty „Inwestycyjne” i „Inne” dla lat 1996-2001: dane
szacunkowe z uwagi na zmiany klasyfikacji.
Hipoteczne kredyty walutowe - ryzyko
Zależność między poziomem stopy
procentowej i kursu walutowego
Zmienność rat kredytów walutowych i
złotowych
4,0%
5Y
25Y
3,5%
3,0%
2,5%
2,0%
1,5%
1,0%
0,5%
0,0%
CHF
EUR
PLN
1999-2012
Źródło: Bloomberg, obliczenia własne
Uwagi: Dane miesięczne 1999-2012 obrazujące gęstość
empirycznej kopuli. Wartości bliskie „0” oznaczają
skrajnie niskie realizacje zmiennej, bliskie „1” wysokie.
CHF
EUR
PLN
2003-2012
Dane miesięczne. Założenie: Kredyty spłacane w
równych ratach obejmujących część kapitałową i
odsetkową.
Zmienność= Odch.Standard./Średnia z próby.
Modyfikowana duracja - przykład
Kupon
Mod. duracja (r=7%)
Przybliżenie ceny
2Y
7%
1,80
10Y
7%
7,02
𝑃 𝑟 + ∆𝑟 ≈
(1 + 𝐷 ∙ ∆𝑟)𝑃(𝑟)
30Y
7%
12,40
Wypukłość
Wypukłość (Convexity):
1 𝑑2 𝑃
𝐷=
=
𝑃 𝑑𝑟 2
𝑇
−(𝑡𝑘 +2)
𝑘=1 𝑡𝑘 (𝑡𝑘 + 1)𝐶𝑘 1 + 𝑟
𝑇
−𝑡𝑘
𝑘=1 𝐶𝑘 1 + 𝑟
Jak ją wykorzystujemy?
𝑃 𝑟 − 𝑃 𝑟 + ∆𝑟
≈ 𝐷 ∙ ∆𝑟 + 1/2 ∙ 𝐶 ∙ ∆𝑟 2
𝑃(𝑟)
Wypukłość - przykład
Kupon
Mod. Duracja D
Wypukłość C
2Y
7%
1,80
5,01
10Y
7%
7,02
64,9
30Y
7%
12,40
249,3
Przybliżenie ceny
𝑃 𝑟 + ∆𝑟 ≈
1 + 𝐷 ∙ ∆𝑟 𝑃 𝑟
+1/2 ∙ 𝐶 ∙ ∆𝑟 2 ∙ 𝑃 𝑟
Immunizacja - przykład
Załóżmy, że za dwa i pół roku musimy dokonać płatności w
wysokości 10 mln PLN.
Niestety na krzywej dochodowości jest dziura i są tylko
zerokuponowe obligacje 2Y i 3Y o wartości nominalnej 100 (w
terminie wykupu) stopie r=3%. Krzywa dochodowości jest
płaska.
Co możemy zrobić?
Immunizacja
1. (i) Kupić obligacje 2Y i terminie zapadalności złożyć
depozyt na 6M lub (ii) zainwestować w 3Y i sprzedać pół
roku przed terminem
Problem: wystawiamy się na ryzyko stopy procentowej
2. Zabezpieczmy ryzyko stopy procentowej poprzez budowę
portfela, którego wrażliwość na zmiany stopy procentowej
jest taka sama jak naszego zobowiązania.
Co musi się zgadzać?
Wartość bieżąca
Duracja
Wypukłość
Immunizacja – c.d.
Wartość bieżąca
𝑃𝑉𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑒𝑙 = 𝑋 ∙ 100 ∙ 𝐵 𝑡, 2 + 𝑌 ∙ 100 ∙ 𝐵 𝑡, 3
𝑃𝑉𝑧𝑜𝑏𝑜𝑤𝑖𝑎𝑧𝑎𝑛𝑖𝑎 = 10 000000 ∙ 𝐵 𝑡, 2.5
Duracja
𝐷𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑒𝑙 = 𝑋 ∙ 2 ∙ 1/𝑟 𝑡, 2 + 𝑌 ∙ 3 ∙ 1/𝑟 𝑡, 3
𝐷𝑧𝑜𝑏𝑜𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑎 = 2,5 ∙ 1/𝑟 𝑡, 2.5
Wartość bieżąca
𝑋 ∙ 100 ∙ 𝐵 𝑡, 2 + 𝑌 ∙ 100 ∙ 𝐵 𝑡, 3 = 10 000000 ∙ 𝐵 𝑡, 2.5
Duracja
1
1
1
𝑋∙2∙
+𝑌∙3∙
= 2,5 ∙
𝑟 𝑡, 2
𝑟 𝑡, 3
𝑟 𝑡, 2.5
Przyjęliśmy, że krzywa jest płaska więc stopy 2,5 letnia
r 𝑡, 2.5 jest dana. Tym samym możemy też policzyć 𝐵 𝑡, 2.5 .
Gdyby krzywa nie była płaska musielibyśmy je interpolować.
Zatem mamy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi
Przyjmując dla wygody kapitalizację ciągłą otrzymujemy:
𝑋 = 49 260
Y = 1 − 𝑋 = 50 740
Wypukłość a dyspersja terminów zapadalności
𝑑𝐷
𝑑 1 𝑑𝑃
=
=
𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑃 𝑑𝑟
𝑑 1 𝑑𝑃 1 𝑑 𝑑𝑃
+
=
𝑑𝑟 𝑃 𝑑𝑟 𝑃 𝑑𝑟 𝑑𝑟
1 𝑑𝑃 𝑑𝑃 1 𝑑 2 𝑃
− 2
+
=
𝑃 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑃 𝑑𝑟 2
𝐷 2 − 𝐶 = 𝐸𝑤 𝑡𝑘
2
− 𝐸𝑤 𝑡𝑘 2 = −𝑉𝑎𝑟𝑤 𝑡𝑘 2
𝐶 = 𝑉𝑎𝑟𝑤 𝑡𝑘 2 + 𝐷 2
Wniosek: portfele o bardziej „rozstrzelonych” terminach
zapadalność elementów składowych mają wyższą wypukłość
(przy tych samych duracjach)
Chcielibyśmy aby
𝐶𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑒𝑙 > 𝐶𝑧𝑜𝑏𝑜𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑒
Jak jest wariancja terminów zapadalności zobowiązania?
Wynosi 0 – termin jest tylko jeden
−𝑉𝑎𝑟𝑧𝑜𝑏𝑜𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑡𝑘 2 = 0
𝐷𝑧𝑜𝑏𝑜𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑎 2 − 𝐶𝑧𝑜𝑏𝑜𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑎 = 0
𝐷𝑧𝑜𝑏𝑜𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑎 2 = 𝐶𝑧𝑜𝑏𝑜𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑎
Portfel złożony z obligacji 2Y i 3Y ma dodatnią wariancję
terminów zapadalności
−𝑉𝑎𝑟𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑒𝑙 𝑡𝑘 2 < 0
𝐷𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑒𝑙 2 − 𝐶𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑒𝑙 < 0
𝐶𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑒𝑙 > 𝐷𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑒𝑙 2
Zatem 𝐶𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑒𝑙 > 𝐶𝑧𝑜𝑏𝑜𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑒
Ograniczenia miar wrażliwości
Zawodzą przy dużych zmianach stóp procentowych
Mają zastosowanie dla równoległych zmian krzywej
dochodowości – wiele zmian nie ma takiego charakteru
Dla odległych terminów zapadalności konieczne byłoby
dostosowywanie struktury portfela – wrażliwość jego
składowych zmieniałaby się wraz z czasem
Zawodzą przy dużych zmianach stóp procentowych
Mają zastosowanie dla równoległych zmian krzywej
dochodowości – wiele zmian nie ma takiego charakteru
Dla odległych terminów zapadalności konieczne byłoby
dostosowywanie struktury portfela – wrażliwość jego
składowych zmieniałaby się wraz z czasem
Dlaczego długi koniec się obniża?
Pytanie
Krzywa dochodowości jest rosnąca.
Co jest wyższe: rentowność obligacji zerokuponowej
czy rentowność obligacji stałokuponowej? Wyjaśnij
dlaczego.

FinEng 3_ceny obligacji - E-SGH

Transkrypt

Podobne dokumenty

pobierz