Ćwiczenia 5 - ESTYMACJA Zadanie 1. Oszacować - E-SGH

Ćwiczenia 5 - ESTYMACJA
Zadanie 1.
Oszacować punktowo i przedziałowo przeciętną miesięczną wielkość wydatków 3-os. gospodarstw domowych
na proszki do prania. W próbie 121 gospodarstw średnie wydatki na ten cel wynosiły 5,20 zł, a odchylenie
standardowe 3,30 zł. Do estymacji przedziałowej przyjąć poziom ufności 0,95.
a. Ile wynosi błąd standardowy?
b. Ile wynosi maksymalny błąd szacunku?
Zadanie 2.
Zbadano wydajność pewnej odmiany pomidorów na 16 poletkach doświadczalnych. W wyniku obliczeń
otrzymano przeciętną wydajność 25 t/ha z odchyleniem standardowym 2,5. Rozkład plonów jest normalny.
Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,95 należy wyznaczyć przedział ufności średnich plonów
pomidorów.
Zadanie 3.
Oszacować punktowo i przedziałowo frakcję wyrobów wadliwych na podstawie wyników z 500-elementowej
próby tych wyrobów, wśród których kontrola jakości znalazła 6 wyrobów wadliwych. Do estymacji
przedziałowej należy przyjąć poziom ufności 0,95.
Zadanie 4.
Dokonać estymacji przedziałowej dla wartości oczekiwanej wydatków na pewne dobro, jeżeli średnie wydatki w
grupie 225 rodzin wynosiły 55 zł, a odchylenie standardowe 5,5 zł. Przedziały wyznaczyć:
a. Dla poziomu ufności 0,99
b. Dla poziomu ufności 0,95.
c. Który przedział jest bardziej precyzyjny? Co oznacza pojęcie precyzji?
d. Jak można zwiększyć precyzję oszacowania przy utrzymaniu stałego poziomu ufności?
Zadanie5.
Dokonać estymacji przedziałowej dla częstości występowania wyrobu wadliwego, jeśli wiadomo,
wylosowanej 200-elementowej próbie stwierdzono 9 braków. Przedziały wyznaczyć:
a. Dla poziomu ufności 0,99
b. Dla poziomu ufności 0,95.
c. Zinterpretować jeden z przedziałów.
d. Podać maksymalny błąd szacunku.
e. Które oszacowanie jest bardziej wiarygodne? Co oznacza pojęcie wiarygodności oszacowania?
f. Czy zwiększenie liczebności próby poprawi wiarygodność oszacowania?
że w
Zadanie 6.
Oceniając skuteczność działania pewnego preparatu farmaceutycznego ustalono, że testując ten preparat na
144 losowo wybranych pacjentach odnotowano 12 przypadków jego nieskuteczności. Należy określić
maksymalny błąd szacunku, przy którym ufność oszacowania wynosi co najmniej 95%.
Zadanie 7.
Ile osób należy wylosować do próby, aby oszacować frakcję osób zainteresowanych procesem prywatyzacji, z
bezwzględną precyzją szacunku 0,1 oraz z ufnością 0,95? Jakie efekty spowoduje wzrost poziomu ufności do
0,99 w podjętej estymacji?
Zadanie 8.
Ile konsumentek należy wylosować do badania przeciętnych wydatków na kosmetyki, aby maksymalny błąd
szacunku nie przekraczał 5%? Z wcześniej prowadzonych badań wiadomo, że szacunkowe zróżnicowanie
wydatków na ten cel wynosi 0,8. Przyjąć poziom ufności 0,95.
Zadanie 9.
Jaka powinna być minimalna wielkość próby do oszacowania odsetka mężczyzn palących papierosy z
absolutnym błędem szacunku 2% przy poziomie ufności 0,95? Brak jest informacji o rzędzie wielkości
szacowanego parametru.
Zadanie 10.
Kontrola jakości wylosowała próbę wyrobów, z której 25 sztuk okazało się wadliwych. Jak liczna musiała być ta
próba, jeżeli ustalono, że przy pewnym ustalonym poziomie ufności przedział o końcach 0,03; 0,07 pokrywa
nieznaną wartość prawdopodobieństwa wylosowania wyrobu wadliwego.
Czy zwiększenie liczebności próby wpłynie na wiarygodność oszacowania?
Zadania sprawdzające na podst. M. Wieczorek, Statystyka. Lubię to! Zbiór zadań, Oficyna Wydawnicza SGH,
Warszawa 2013.
Każdą odpowiedź jako: T – prawdziwą lub N – nieprawdziwą.
Zadanie 1.1
Zmniejszenie 1− :
a. poprawia precyzję (przedział jest węższy),
b. zmniejsza wiarygodność (ufność) tzn. zwiększa się ryzyko, że przedział nie obejmie parametru,
c. wpływa na liczebność próby.
Zadanie 1.2
Precyzja oszacowania parametru, przy danym współczynniku ufności, jest tym większa, im:
a. Mniejsze jest oszacowanie odchylenia standardowego estymatora tego parametru,
b. Większa jest liczebność próbym na podstawie której estymator został oszacowany,
c. Bardziej efektywny jest estymator.
Zadanie 1.3
Parametr populacji:
a. Jest zmienną losową,
b. Jest wielkością stałą,
c. Ma rozkład zależny od wielkości próby.
Zadanie 1.4
W teorii statystyki estymatory:
a. służą do szacowania parametrów populacji i obliczone są na podstawie realizacji próby losowej zawsze
są równe tym parametrom,
b. są funkcjami zmiennych losowych stanowiących próbę losową,
c. są statystykami z próby, których rozkład zależy od parametru populacji.
Zadanie 1.5
Estymatory uzyskane metodą największej wiarygodności (MNW) są zawsze:
a. zgodne i nieobciążone,
b. tożsame z estymatorami uzyskanymi metodą momentów,
c. zgodne, co najmniej asymptotycznie nieobciążone i co najmniej asymptotycznie najefektywniejsze.
Wzory – Estymacja
Parametry
Estymatory
(z populacji generalnej)
m = EX
(z próby)
δ =D X
δ = DX
S2x
P
ω
2
x,
2
Sx
Estymacja punktowa
Sx
n
wartość oczekiwana
m:
x±
frakcja
p:
wi ±
wi (1 − wi )
n
Estymacja przedziałowa
P ( U > uα ) = α
P ( U ≤ uα ) = 1 − α
P(−uα <U < uα ) = 1 − α
P ( −u α <
xn − m
δ/ n
< uα ) = 1 − α
Estymacja przedziałowa dla nieznanej wartości oczekiwanej m
a. w przypadku znanego parametru δ (odchylenie standardowe)
P( x − uα
δ
n
< m < x + uα
δ
n
) = 1−α
np.1 − α = 0,95
b. w przypadku, gdy δ nie jest znane (dysponujemy wyłącznie estymatorem z próby) – mała
próba
rozkład t-Studenta
P ( x − tα , s
Sx
S
< m < x + tα , s x ) = 1 − α
n
n
c. w przypadku, gdy δ nie jest znane (dysponujemy wyłącznie estymatorem z próby) – duża
próba ( ≥
)
rozkład normalny
P ( x − uα
Sx
S
< m < x + uα x ) = 1 − α
n
n
Błędy określane w estymacji przedziałowej:
Sx
1. Błąd standardowy
n
2. Maksymalny błąd szacunku (błąd absolutny)
uα
Sx
n
(duża próba – w przybliżeniu można używać uα )
Sx
tα , s
3. Błąd względny (max. bł. szacunku / średnia)
uα
(mała próba)
n
Sx
/x
n
Sx
tα , s
n
/x
Estymacja przedziałowa dla nieznanej frakcji p
P( wi − uα
wi (1 − wi )
wi (1 − wi )
< p < wi + uα
) = 1−α
n
n
wi (1 − wi )
n
Błąd standardowy
Maksymalny błąd szacunku (błąd absolutny)
uα
wi (1 − wi )
n
Błąd względny
uα
wi (1 − wi )
/ wi
n
Maksymalny błąd szacunku
d = uα
Sx
n
, d = ozn. połowę przedziału ufności
Minimalna liczebność próby
a. w przypadku estymacji wartości oczekiwanej
b. w przypadku estymacji frakcji w populacji
√
(
≤
)
→
≤
≥
→
≥
(
)