Publiczne Gimnazjum
Transkrypt
Publiczne Gimnazjum
10. Planimetria Ciekawsze twierdzenia i definicje. O trójkątach: - Niech a, b ,c będą długościami boków trójkąta i c to najdłuższy bok. Wtedy : 10 jeśli c2 < a2 + b2 , to trójkąt jest ostrokątny, 20 jeśli c2 = a2 + b2 , to trójkąt jest prostokątny, 30 jeśli c2 > a2 + b2 , to trójkąt jest rozwartokątny. - Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie(środku ciężkości trójkąta). Punkt ten dzieli każdą środkową w stosunku 1 : 2 ( licząc od wierzchołka). a - Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok tak ,że zachodzi równość : ba dc c - W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej a c prawdziwe są następujące wzory : 10 c2 = a2 + b2 20 h2 = xy= ab c - wzory na pole powierzchni trójkąta P 12 ah ; P 12 ab sin ; P P b abc 4R ; d x h c y b P pr ; p( p a)( p b)( p c) gdzie : a , b , c- długości boków trójkąta h- wysokość opuszczona na bok a -kąt zawarty między bokami a i b R- promień okręgu opisanego na r – promień okręgu wpisanego w p = ( a + b + c) : 2 - z trzech danych odcinków a , b , c można zbudować trójkąt jeśli np. : a b < c < a + b ( jeśli a > b można pominąć wartość bezwzględną) O okręgach : - Jeśli na okręgu opisany jest czworokąt , o długościach kolejnych boków : a , b , c , d to : a + c = b + d. - Jeśli na czworokącie opisany jest okrąg to suma przeciwległych kątów tego czworokąta jest taka sama I wynosi 1800. - styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. - Jeśli kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku to kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego. - Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. - Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. - Wzajemne położenie okręgów o promieniach r 1 i r2 takich , że r1 > r2: d – odległość środków d d okręgi rozłączne zewnętrznie d > r 1 + r2 okręgi styczne zewnętrznie d = r 1 + r2 d d okręgi przecinające się r1 - r 2 < d < r 1 + r2 okręgi styczne wewnętrznie d= r1 - r2 d okręgi rozłączne wewnętrznie okręgi współśrodkowe 0 < d < r1 - r2 d= 0 ( jeżeli nie wiadomo , który promień jest większy , należy tam gdzie we wzorach jest różnica nałożyć wartość bezwzględną) - Wielokąty - wzór na ilość przekątnych d w dowolnym n – kącie: n n 3 2 d= - wzór na sumę S kątów w n –kącie : S= n 2 180 0 - wzór na kąt wewnętrzny n n n – kąta foremnego : n 2 1800 n 2 Zad.34 Odcinek łączący środki ramion trapezu rozcina go na dwie figury. Pole jednej z nich jest równe 4 cm2 , a drugiej 6 cm2. Oblicz pola figur , na które przekątna rozcina ten trapez. Zad.35 W trójkącie o bokach 12, 16 , 20 cm poprowadzono dwie proste równoległe do najmniejszego boku tak , że te równoległe odcinają na najdłuższym boku po obu jego końcach odcinki o długościach 5 cm . Otrzymujemy podział danego trójkąta na dwa trapezy i trójkąt o rozłącznych polach . Oblicz obwód i pole każdej z tych figur. Zad.36 W trapezie jedno z ramion ma długość 5 cm i tworzy z podstawą kąt 450. Odcinek łączący środki ramion wynosi 10 cm . Oblicz pole trapezu. Zad.37 Bok rombu a i jego przekątne p i q spełniają warunek pq = a 2. Jaki jest kąt ostry tego rombu ? Zad.38 Promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ma 8 cm . Kąt między ramionami trójkąta ma miarę 45 0 . Oblicz pole i obwód . Zad.39 Oblicz pole trapezu o podstawach 2 cm i 3 cm oraz przekątnych 3 i 4 cm . Zad.40 Boki czworokąta nie wypukłego są parami równe. Dwa kąty tego czworokąta są równe 600 i 2700. Krótszy bok ma długość 2 cm . Oblicz pole tego czworokąta. Zad.41 W okręgu o promieniu 24 cm poprowadzono cięciwę AB o długości 36 cm, Oblicz odległość punktu A od stycznej do okręgu poprowadzonej przez B. Zad.42 W prostokącie ABCD o bokach 5 cm i 12 cm poprowadzono przekątną AC. Wyznacz odległość wierzchołka B od tej przekątnej. Zad.43 W trapezie trzy boki są równe a, czwarty bok trapezu ma długość 2a . Oblicz długość przekątnej trapezu. Zad.44 Wysokość trójkąta równobocznego jest krótsza od jego boku o 1. Wyznacz bok tego trójkąta . (Uwolnij wynik od niewymierności) Zad.45 Każdy bok kwadratu jest średnicą koła. Wspólna część tych kół tworzy wewnątrz kwadratu rozetę czterolistną . Oblicz pole listków tej rozety, jeżeli bok kwadratu równa się a. Zad.46 Wszystkie kąty ośmiokąta są równe , a boki mają na przemian długość 1 i 2. Oblicz pole , obwód, długość przekątnych i sumę kątów ośmiokąta . Zad.47 Pole pierścienia kołowego jest równe 16 cm 2 , a długość jego brzegu 16 cm . Oblicz szerokość pierścienia. Zad.48 W trójkącie równoramiennym równe boki mają długość 2b , a długość trzeciego boku to 2a. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad.49 Środki boków trapezu łączymy kolejno odcinkami. Jaką część pola trapezu stanowi pole otrzymanego czworokąta? Zad.50 W trójkącie równoramiennym ABC AC BC środek okręgu wpisanego jest punktem O, a opisanego S. Kąt ACB=400 . Oblicz miarę kąta SAO. 3