The 3rd Gdańsk Workshop on Stochastic Modelling in Biology

The 3rd Gdańsk Workshop on Stochastic Modelling in Biology,
Economics, Medicine and Technology
Department of Probability Theory and Biomathematics
Faculty of Applied Physics and Mathematics
Gdańsk University of Technology
June 4-5, 2012
ABSTRAKTY
Krzysztof Bartoszek, Chalmers University of Technology and the University of Gothenburg, Szwecja
Conditioned Yule process and phylogenetic comparative methods
The majority of phylogenetic comparative methods assume that the underlying phylogeny is known without
error. Despite the increasing quantity and quality of molecular data this is still a simplification as there are
many possible sources of error. Therefore we need somehow to connect models of tree growth with models
of phenotype evolution. The framework of conditioned (on the number of contemporary species) branching
processes which has evolved in the past decade offers possibilities in this direction. In the talk we will
concentrate on the conditioned Yule process, characterize a Brownian motion process evolving on it and
discuss how this allows us to construct second order phylogenetic confidence intervals for the ancestral
state.
Wojciech Bartoszek, Politechnika Gdańska
Nieliniowe procesy Markowa: teoria, zastosowania i otwarte problemy
W referacie zdefiniowane zostaną nieliniowe procesy Markowa jako uogólnienie niejednorodnych procesów
(łańcuchów) Markowa. Podamy kilka przykładów teoretycznych oraz omówimy niektóre zastosowania w
finansach i biologii. Dokładnie zostanie omówiony szczególny przypadek tzw. kwadratowych procesów
stochastycznych, do którego podamy interpretację biologiczną i serię otwartych pytań.
Anita Dąbrowska, Przemysław Staszewski, Katedra Podstaw Teoretycznych Nauk Biomedycznych i
Informatyki Medycznej, Collegium Medicum, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Model ciągłej nieniszczącej obserwacji w optyce kwantowej
Stochastic Schrödinger equation (poster)
We present the basic concepts of the quantum filtering theory based on the quantum stochastic calculus of
the Ito type [1-3]. The quantum filtering theory [4, 5] developed by Belavkin makes it possible to describe
the dynamics of a quantum system continuously observed in time. The problem of the continuous
measurements in quantum systems is one of the most challenging fundamental issues of modern theoretical
physics. We assume that the role of a measuring apparatus is played by the Bose fields. The quantum
filtering theory allows us to derive stochastic Schrödinger equation describing the posterior evolution of the
indirectly observed quantum system. We show two versions of the stochastic Schrödinger equation
corresponding to the diffusion and to the counting measurements [6, 7]. The theory of continuous
measurement has already found applications in quantum feedback control, quantum information and
quantum computing [8].
References
[1] R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy, Commun. Math. Phys. 93, 301-323 (1984).
[2] K. R. Parthasarathy An Introduction to Quantum Stochastic Calculus, Birkhäuser Verlag,Basel, 1992
[3] C. W. Gardiner, P. Zoller, Quantum Noise, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000
[4] V. P. Belavkin, J. Phys. A 22, L1109-L1114 (1989).
[5] V. P. Belavkin, J. Math. Phys. 31, 2930-2934 (1990).
[6] V. P. Belavkin and P. Staszewski, Phys. Rev. A., 45 1347-1356 (1992).
[7] A. Dąbrowska and P. Staszewski, J. Opt. Soc. Am. B, 28, 1238-1244 (2011).
[8] H. Wiseman, G. Milburn, Quantum measurement and control, Cambridge University Press, New York, 2010
Joachim Domsta, Politechnika Gdańska
Procesy semimarkowskie aproksymujące złożone procesy Markowa
Procesy semimarkowskie są bardzo wygodnym narzędziem modelowania procesów przebiegających
skokowo z odstępami istotnie różniącymi się od zmiennych losowych wykładniczych. Próby posługiwania
się zmiennymi o rozkładzie wykładniczym na ogół prowadzą do istotnego zwiększenia potrzebnej ilości
stanów, interpretowanych jako stany pośrednie między stanami obserwowanymi. Celem referatu jest
- przedstawienie propozycji zastąpienia pewnego bardzo złożonego procesu Markowa o przeliczalnej liczbie
stanów procesem semimarkowskim o ciągłej przestrzeni stanów
- opisanie problemu dokładności takiego przybliżenia
- dyskusja metod szukania wzorów na prawdopodobieństwa osiągnięcia tzw. zbioru krytycznego w zadanym
przedziale czasu.
Ostatnie zagadnienie w praktycznych problemach jest pytaniem o funkcję przeżycia (biologia, fizyka,
długość życia ubezpieczonego) lub o funkcję ryzyka ruiny (inwestycje, szkody żywiołowe, bankowość).
Karol Dziedziul, Politechnika Gdańska, Bogdan Ćmiel, Barbara Wolnik, Uniwersytet Gdański
Najnowsze trendy w estymacji parametrów gładkości gęstości
Wykład rozpocznie elementarne wprowadzenie do teorii falek. Pokażemy na przykładzie falek, dlaczego
komputery są niezbędne we współczesnej analizie. Następnie korzystając z teorii falek, wprowadzimy klasy
funkcji o gładkości s > 0. Nastepnie powiemy, dlaczego analiza gładkości funkcji gęstości lub dystrybuanty
jest najbardziej elementarnym narzędziem do rozpoznawania, dyskryminacji rozkładów losowych. Podamy
rownież na przykładzie ułamkowego ruchu Browna, jak można stosować to narzędzie do procesów
stochastycznych. Podamy estymator parametru gęstości i wskażemy klasę funkcji, dla których estymator ten
jest zgodny. Następnie pokażemy, jak metoda wzbogacania próbki danych moze byc użyteczna do
poprawienia jakości estymacji.
Franciszek Grabski, Katedra Matematyki i Fizyki, Akademia Marynarki Wojennej
Semimarkowskie modele niezawodności
W referacie będą podane pojęcia i twierdzenia wchodzące w zakres teorii procesów semimarkowskich,
niezbędne w dalszych rozważaniach. Zostanie
przedstawiony
sposób
konstruowania
niezawodnościowego semimarkowskiego modelu funkcjonowania systemu z rezerwą zimną i
przełącznikiem. Zbudowany model umożliwia obliczenie funkcji niezawodności i podstawowych
parametrów niezawodności systemu.
Proces semimarkowski jako losowa intensywność uszkodzeń to drugie zagadnienie poruszane w referacie.
Zostanie przedstawione twierdzenie dotyczące układu markowskich równań odnowy dla semimarkowskiej intensywności uszkodzeń. Równania będą wykorzystane do obliczenia funkcji niezawodności
dla procesu alternującego, dla semimarkowskiego błądzenia przypadkowego, dla procesu Poissona i procesu
Furry’ego-Yule’a.
Michał Janiak, Politechnika Gdańska
Osiąganie bariery przez spacer losowy a procesy ryzyka
We will discuss the problem of hitting a moving barrier by discrete one-dimensional semi random walks
$S_n = \sum_{j=1}^{B_n}\xi_j $ on $ \mathbb{Z}$ and the corresponding dual ruin model. We draw a
parallel between these two notions a show possible applications in modeling of a company ruin. We give a
theorem (based on functional analysis arguments) that regardless of the distribution of $\xi_j $, the
probability of hitting the barrier decays exponentially with the value of the coordinate of an initial position.
In the end we shall extend this model taking into account possible (i.e. with positive probability) losses. We
solve this problem in some particular cases, providing the function of non-ruin probability in its compact
analytical form.
Natalia Jarzębkowska, Magdalena Meller, Politechnika Gdańska
Estimation of smoothness parameter of histogram by the Strömberg wavelet
We consider the smoothness parameter of function that is determined in terms of Besov spaces Bs2,∞, i.e.
there exists a parameter s* such that for all s<s*, f ε Bs2,∞, and for all s>s*, f ¢ Bs2,∞. The existing results
on estimation of smoothness employ the Haar basis and are limited to the case 0<s*< 2. Using r-regular
(r≤1) wavelets with exponential decay we extended them on estimations of smoothness to functions with
smoothness parameter 0<s*<r. Applying the Strömberg wavelet, we prove that s* for histogram is equal
2. Furthermore, we present a numerical method of detection of the jump discontinuity in histograms.
Michał Krzemiński, Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk; Politechnika Gdańska
O modelach rozwoju chorób
W referacie zaproponuję kilka różnych stochastycznych modeli rozwoju (przebiegu) chorób, dla
których będziemy określać funkcję czasu przeżycia (survival function). Zacznę od przedstawienia
dość prostych modeli opartych o łańcuchy Markowa. Odpowiemy sobie na pytanie, co kryje się pod
założeniem markowskości i jakiego typu zagadnienia dobrze wpisują się w ten charakter.
Zapoznamy się z metodami symulacji, a następnie osłabiając poszczególne założenia przejdziemy
do ogólniejszych modeli. Zobaczymy jak zwiększa się stopień trudności, czy wręcz staje się
niemożliwym, znalezienie analitycznych rozwiązań takich zagadnień. Jednocześnie zastanowimy się
nad samymi założeniami modelowania – tzn. w jaki sposób matematyczny język takich pojęć jak stany
procesu, prawdopodobieństwa przejścia pomiędzy stanami, intensywność awarii, łańcuchy Markowa,
procesy semi-Markowskie, zdarzenia zależne i niezależne, odpowiada przebiegowi choroby nowotworowej,
AIDS czy zwykłej grypy.
Krzysztof Pietruczuk, Jacek M. Witkowski, Katedra i Zakład Fizjopatologii, Gdański Uniwersytet
Medyczny
Matematyczne modele procesów podziałowych w populacji limfocytów T
W badaniach nad cyklem komórkowym parametry takie jak czas przejścia z fazy G0 do fazy G1 pierwszego
cyklu komórkowego, średnia długość cyklu komórkowego, liczba prekursorów, procent komórek dzielących
się stanowią bardzo istotne dane w uzyskaniu których pomocna jest cytometria przepływowa. Analiza
cytometryczna z użyciem barwnika CFSE stanowi potężne narzędzie, które może być używane w połączeniu
z modelowaniem matematycznym do określenia zachowania się populacji limfocytów. Modele
matematyczne są używane coraz częściej do opisów procesów biologicznych – szczególnie dynamiki
populacyjnej. Zaprezentujemy kilka modeli matematycznych, opisujących pojedynczą populację, które
ewoluowały na przestrzeni lat, począwszy od uproszczonego modelu Malthusa po model Smith-Martina.
Obecnie w naszej Katedrze powstały wzory i program wspomagający obliczanie parametrów, istotnych dla
prawidłowych funkcji układu odpornościowego, a także ich zaburzeń.
Małgorzata Pułka, Politechnika Gdańska
Generic properties in the set of quadratic stochastic operators
Nonlinear mappings appear in many branches of mathematics and its applications. In population genetics
arise the so-called quadratic stochastic operators, which model the evolution of a distribution of genotypes.
We study the asymptotic behaviour of iterates of such operators and their Baire structure.
Justyna Signerska, Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk; Politechnika Gdańska
Interspike-intervals for periodically driven integrate-and-fire models
We consider the so-called integrate-and-fire system, in which a continuous dynamics induced by the
differential equation dx/dt=f(t,x) is interrupted by “the threshold and reset behaviour”: lim{t→s+} x(t) = 0 if x
(s)=1. The question is to describe the sequence of consecutive resets tn as iterations of some map Φn(t0)=tn,
called the firing map, and the sequence of interspike-intervals ηn(t_0)=tn-tn-1 as a sequence of displacements
Φn(t0) - Φn-1(t0) along a trajectory of this map. The problem appears in various applications, for example in
modelling of an action potential (spiking) by a neuron.
We investigate behaviour of the sequence of interspike-intervals when the function f(t,x) is periodic in t. In
this case the problem is covered by analysis of the displacement sequence of trajectories of an orientation
preserving homeomorphism (diffeomorphism) of the circle. If the firing rate, which is the rotation number ρ
(Φ)=p/q of the firing map, is rational then ηn(t) is asymptotically periodic with frequency q. If ρ(Φ) is
irrational, then the values of ηn(t) are dense in a set which depends on the map γ (semi-) conjugating the
firing phase map φ = Φ mod 1 with the rotation by ρ(Φ) and which is the support of the displacements
distribution with respect to the invariant measure. Finally, with the use of topological dynamics, we show
how the recurrent properties of points iterated under φ are reflected in the sequence ηn(t).
Tomasz Szarek, Uniwersytet Gdański
Własności ergodyczne trasera w przepływach zadanych przez rozwiązania dwuwymiarowego układu
równań Naviera-Stokesa z losowym wymuszeniem
Omówię prawo wielkich liczb oraz centralne twierdzenie graniczne dla cząstki znacznika, tzw. Trasera,
unoszonej przez eulerowskie pole prędkości zadane przez rozwiązanie dwuwymiarowego układu równań
Naviera-Stokesa z addytywnym szumem. Dowód przerwy spektralnej, w odpowiednio zdefiniowanej
metryce Wassersteina, dla takiego przepływu przeprowadzony został przez Hairera i Mattingly w pracy z
2008r. Pokażemy, iż podobny wynik zachodzi także dla lagranżowskiego pola prędkości, tj. Określonego
przez obserwację prędkości płynu w punkcie zadanym przez unoszoną cząstkę. Bezpośrednią konsekwencją
tego faktu jest prawo wielkich liczb dla trajektorii trasera. Centralne twierdzenie graniczne jest otrzymane
przez argument z użyciem aproksymacji martyngałowej.