GRANIASTOSŁUPY

GRANIASTOSŁUPY
Euklides (365-300 p.n.e.) – słynny grecki matematyk
i fizyk. Jego najwybitniejsze dzieło „Elementy” składało
się z trzynastu ksiąg, z czego trzy ostatnie księgi dotyczą
geometrii przestrzennej: kątów w przestrzeni, objętości
prostopadłościanów, graniastosłupów i ostrosłupów. Do
XIX wieku było ono podstawowym podręcznikiem do nauki
geometrii.
Okres działalności naukowej tego wielkiego matematyka
przypada prawdopodobnie na czasy panowania Ptolemeusza I.
Ponoć Król ten miał jakoby zapytać Euklidesa, czy nie ma
krótszego dostępu do geometrii niż przestudiowanie napisanych przez uczonego „Elementów”, na co ten odrzekł:
„W geometrii nie ma dróg królewskich”.
Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe
do podstaw, w pochyłych – nie są.
207
graniastosłupy
1. Przypomnienie wiadomości o graniastosłupach
Graniastosłup jest to taka bryła, której dwie podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi, a ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne graniastosłupa mają tę samą
długość i są równoległe.
Wysokością graniastosłupa jest każdy odcinek prostopadły do obu
podstaw zawarty między tymi podstawami.
Przekątna graniastosłupa jest to odcinek łączący dwa wierzchołki
nieleżące na jednej ścianie (np.: BD1).
208
graniastosłupy
Zadanie 1
Nazwij przedstawione na poniższym rysunku graniastosłupy i zaznacz ich
wysokości.
a)
b)
c)
a)
a)
Rozwiązanie
a)
Graniastosłup prosty o podstawie czworokątnej (jego podstawą jest czworokąt,
krawędzie boczne są prostopadłe do obu
podstaw, wysokość graniastosłupa jest równa długości krawędzi bocznej).
b)
b)
b)
c)
c)
c)
Graniastosłup prosty o podstawie trójkątnej (jego podstawą jest trójkąt, krawędzie boczne są prostopadłe do obu podstaw,
wysokość graniastosłupa jest równa długości krawędzi bocznej).
Graniastosłup pochyły o podstawie
czworokątnej (jego krawędzie boczne
nie są prostopadłe do podstaw, wysokość
graniastosłupa jest krótsza od długości
krawędzi bocznej).
209
graniastosłupy
Zadanie 2
Narysuj graniastosłup prosty, który w podstawie ma:
a) prostokąt,
b) kwadrat.
Jak nazywamy taki graniastosłup? Podaj jego własności.
Rozwiązanie
a)
Graniastosłup prosty, który w podstawie ma prostokąt, nazywa się
prostopadłościanem. Wszystkie ściany boczne prostopadłościanu są
prostokątami. Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystające.
b)
Graniastosłup prosty, który w podstawie ma kwadrat, nazywa się
graniastosłupem prawidłowym czworokątnym. Wszystkie ściany
boczne tego graniastosłupa są prostokątami przystającymi.
Nazwa graniastosłupa ściśle wiążę się z jego podstawą. W zależności
od tego, jaki wielokąt jest w podstawie, graniastosłup nazywamy
odpowiednio trójkątnym, czworokątnym, pięciokątnym itd.
210
graniastosłupy
1.1. Przerysuj graniastosłupy i pod każdym z nich napisz jego nazwę.
1.2. Wymień 3 przedmioty codziennego użytku, które mają kształt
graniastosłupów.
1.3. Ile ścian, ile krawędzi i ile wierzchołków ma graniastosłup:
a) trójkątny,
b) czworokątny,
c) sześciokątny?
1.4. Jak nazywa się graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami?
1.5. Jak nazywa się graniastosłup, którego:
a) wysokość jest równa długości krawędzi bocznej,
b) wysokość jest krótsza od długości krawędzi bocznej?
1.6. Narysuj siatkę sześcianu, jeżeli wiesz, że suma długości jego
wszystkich krawędzi jest równa 48 cm.
1.7. Narysuj siatkę graniastosłupa, który w podstawie ma trójkąt
prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm, a wysokość graniastosłupa jest równa 5 cm.
1.8. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym obwód podstawy
jest równy 24 cm, a krawędź podstawy jest dwa razy krótsza
od krawędzi bocznej. Oblicz długość krawędzi bocznej tego
graniastosłupa.
211
graniastosłupy
1.9. Narysuj w naturalnej wielkości zaznaczony przekrój prostopadłościanu, którego wymiary podano na poniższym rysunku.
1.10. Narysuj graniastosłup prosty, który w podstawie ma równoległobok i zaznacz w nim czworokąt, który jest przekrojem przechodzącym przez przeciwległe krawędzie jego podstaw. Na jakie
dwie bryły podzielony został ten graniastosłup?
1.11. Jakie może mieć wymiary graniastosłup prawidłowy trójkątny,
jeżeli długości jego wszystkich krawędzi wyrażają się liczbami
naturalnymi, a ich suma jest równa 36 cm? Podaj wszystkie
możliwości.
2. Obliczanie pól powierzchni graniastosłupów
Zadanie 1
Narysuj w skali 1 : 2 siatkę graniastosłupa trójkątnego, który w podstawie
ma trójkąt równoramienny o bokach 6 cm, 5 cm i 5 cm, a wysokość tej
bryły jest równa 8 cm. Zmierz wysokość podstawy i oblicz:
a) pole podstawy,
b) pole powierzchni bocznej,
c) pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
212
graniastosłupy
Rozwiązanie
Rysujemy siatkę w skali 1 : 2.
a) Obliczamy pole podstawy:
– rysujemy podstawę graniastosłupa
w naturalnej wielkości i mierzymy
jej wysokość.
Trójkąt, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi (3, 4, 5)
jest trójkątem prostokątnym, zwanym
trójkątem egipskim. Był on używany
przez Egipcjan do wyznaczania kąta
prostego. W słynnej piramidzie Cheopsa w Gizie nieopodal Kairu, znajduje
się komnata królewska o wymiarach:
3, 4, 5.
3
5
4
1
⋅6⋅ 4
2
Pp = 12 cm 2
Pp =
213
graniastosłupy
b) Obliczamy pole powierzchni bocznej graniastosłupa:
Pb = 8 ⋅ (5 + 5 + 6)
Pb = 8 ⋅16
Pb = 128 cm 2
c) Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
Pc = 2 Pp + Pb
Pc = 2 ⋅12 + 128
Pc = 152 cm 2
Odp.: Pole podstawy jest równe 12 cm2, pole powierzchni bocznej 128 cm2,
pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 152 cm2.
Zadanie 2
Narysuj siatkę graniastosłupa prostego przedstawionego na poniższym rysunku, którego podstawą jest trapez równoramienny. Oblicz pole powierzchni
całkowitej tego graniastosłupa.
214
graniastosłupy
Rozwiązanie
Rysujemy siatkę tego graniastosłupa.
a) Obliczamy pole podstawy (trapezu)
1
Pp = (1 + 4) ⋅ 2 = 5 cm 2
2
b) Obliczamy pole powierzchni bocznej
Pb  5(4 1 2, 5  2, 5)
Pb  510
Pb  50 cm 2
c) Obliczamy pole powierzchni całkowitej:
Pc  2 Pp  Pb
Pc  25  50  60 cm 2
Odp.: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 60 cm2.
215
graniastosłupy
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe sumie pól
dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej.
Pc = 2Pp + Pb
2.1. Oblicz pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej
graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź
podstawy ma długość 3 cm, a wysokość bryły jest równa 7 cm.
2.2. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, jeżeli wiesz,
że suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa 60 cm.
2.3. Oblicz, jaką powierzchnię boczną ma plastikowe pudełko, którego
podstawą jest prostokąt o wymiarach 12 cm i 8 cm, a wysokość
pudełka jest równa 9 cm.
2.4. Oblicz wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
o krawędzi podstawy równej 3 cm, jeżeli jego pole powierzchni
bocznej jest równe 144 cm2.
2.5. Podaj wymiary graniastosłupa prawidłowego czworokątnego,
którego powierzchnia całkowita jest równa 256 cm 2, a pole
powierzchni dwóch jego podstaw jest równe polu jego powierzchni
bocznej.
2.6. Ile metrów kwadratowych szkła zużyto na akwarium w kształcie
prostopadłościanu o podstawie 1,5 m × 0,8 m i wysokości 60 cm?
2.7. Wieża w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego
ma wysokość 12 m. Oblicz pole powierzchni bocznej tej wieży,
jeżeli obwód jej podstawy jest o 6 m dłuższy od wysokości wieży.
2.8. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa mającego w podstawie
romb jest równe 208 cm2. Oblicz wysokość tego graniastosłupa,
jeżeli bok rombu ma 0,5 dm, a przekątne rombu mają długość 0,8 dm
i 0,6 dm.
216
graniastosłupy
2.9. Budowla składa się z dwóch graniastosłupów: prawidłowego
czworokątnego o krawędzi podstawy równej 4 m i prawidłowego
trójkątnego o krawędzi podstawy równej 4 m złączonych jedną
ścianą boczną. Oblicz pole powierzchni bocznej tej budowli,
jeżeli jej wysokość ma 9 m (patrz rysunek).
2.10. W prostopadłościennej wnęce łazienki wysokości 3 m i podstawie
będącej kwadratem o boku 90 cm zaplanowano kabinę prysznicową. Na trzech ścianach tej wnęki ułożono glazurę. Oblicz, jaką
powierzchnię pokryto glazurą.
2.11. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 336 cm2. Oblicz wysokość tego graniastosłupa,
jeżeli pole powierzchni bocznej jest równe 2,64 dm2.
2.12. Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości H = 1 dm jest
trójkąt ABC, w którym |AC| = |BC| i |AB| = 8 cm. Oblicz długość
krawędzi AC, jeśli pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest
równe 20 000 mm2.
2.13. Drewniany klocek w kształcie prostopadłościanu rozcięto na dwa
graniastosłupy (patrz rysunek poniżej). Oblicz pole powierzchni
całkowitej każdego z tych graniastosłupów.
217
graniastosłupy
3. Obliczanie objętości graniastosłupów
Zadanie 1
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi
podstawy równej 6 cm i wysokości 10 cm.
Rozwiązanie
V = Pp · H
V = 6 · 6 · 10
V = 360 cm3
Odp.: Objętość tego graniastosłupa jest równa 360 cm3.
Zadanie 2
Oblicz objętość graniastosłupa, który w podstawie ma trójkąt prostokątny
o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm, a wysokość graniastosłupa jest dwa razy
dłuższa od dłuższej przyprostokątnej.
Rozwiązanie
V = Pp · H
1
⋅ 4 ⋅ 3 2
H = 2 · 4 = 8 cm
PpPp==
V = 6 · 8
Pp = 6 cm2
V = 48 cm3
Odp.: Objętość tego graniastosłupa jest równa 48 cm3.
Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola jego podstawy
i wysokości.
V = Pp · H
218
graniastosłupy
W zadaniach praktycznych na obliczanie objętości brył musimy umieć
zamieniać i przeliczać jednostki objętości.
Poniższe tabele ułatwią wykonywanie takich przeliczeń.
Jednostki
długości
Jednostki objętości
Zapis potęgowy
l m = 10 dm
1 m3 = (10 · 10 · 10) dm3 = 1000 dm3
l m3 = 103 dm3
1 m = 100 cm
1 m3 = (100 · 100 · 100) cm3 = 1 000 000 cm3
l m3 = 106 cm3
l m = 1000 mm
1 m3 = (1000 · 1000 · 1000) mm3 =
= 1 000 000 000 mm3
1 m3 = 109 mm3
l dm = 10 cm
1 dm3 = (10 · 10 · 10) cm3 = 1 000 cm3
l dm3 = 103 cm3
l dm = 100 mm
1 dm3 = (100 · 100 · 100) mm3 = 1 000 000 mm3 1 dm3 = 106 mm3
1 cm = 10 mm
1 cm3 = (10 · 10 · 10) mm3 = 1000 mm3
l cm3 = 103 mm3
1 mm = 0,1 cm
1 mm3 = (0,1 · 0,1 · 0,1) cm3 = 0,001 cm3
1 mm3 = (0,1)3 cm3
1 mm = 0,01 dm
1 mm3 = (0,01 · 0,01 · 0,01) dm3 =
= 0,000001 dm3
1 mm3 = (0,1)6 dm3
1 mm = 0,001 m
1 mm3 = (0,001 0,001 0,001) m3 =
= 0,000000001 m3
1 mm3 = (0,1)9 m3
l cm = 0,l dm
1 cm3 = (0,1 · 0,1 · 0,1) dm3 = 0,001 dm3
1 cm3 = (0,1)3 dm3
1 cm = 0,01 m
1 cm3 = (0,01 · 0,01 · 0,01) m3 = 0,000001 m3 1 cm3 = (0,1)6 m3
l dm = 0,l m
1 dm3 = (0,1 · 0,1 · 0,1) m3 = 0,001 m3
1 dm3 = (0,1)3 m3
1 m = 0,001 km
1 m3 = (0,001 · 0,001 · 0,001) km3 =
= 0,000000001 km3
1 m3 = (0,1)9 km3
Jednostki pojemności
1 ml (mililitr) = 1 cm3
1 1 (litr) = 1 dm3
1 hl (hektolitr) = 100 1
1 1 = 1000 ml
1 ml = 0,001 1
1 1 = 0, 01 hl
219
graniastosłupy
Zadanie 3
Do postawienia ogrodzenia użyto 25 metalowych słupków o przekroju prostokątnym 60 mm × 40 mm i długości 2,4 m. Oblicz, ile decymetrów sześciennych metalu zużyto na te słupki.
Rozwiązanie
Obliczenia w cm
Obliczenia w dm
Obliczamy objętość jednego słupka
60 mm = 6 cm, 40 mm = 4 cm
2,4 m = 240 cm
V = 6 · 4 · 240 = 5760 cm3
60 mm = 0,6 dm,
40 mm = 0,4 dm,
2,4 m = 24 dm
V = 0,6 · 0,4 · 24 = 5,76 dm3
Obliczamy objętość wszystkich słupków
25 · 5760 cm3 = 144 000 cm3
1 cm3 = 0,001 dm3
144 000 cm3 = (144 000 · 0,001) dm3 =
= 144 dm3
25 · 5,76 dm3 = 144 dm3
Odp. Na te słupki zużyto 144 dm3 metalu.
Zadanie 4
Podstawą graniastosłupa pochyłego o wysokości H = 0,6 dm jest równoległobok, w którym jeden bok jest równy 9 cm, a wysokość opuszczona na
2
ten bok stanowi jego długości. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
3
Rozwiązanie
220
graniastosłupy
Obliczamy pole podstawy:
2
Pp = 9 · · 9 = 9 · 6 = 54 cm2
3
Obliczamy objętość:
V = Pp · H
H = 0,6 dm = 6 cm
V = 54 · 6 = 324 cm3.
Odp. Objętość tego graniastosłupa jest równa 324 cm3.
3.1. Wyraź:
a) w centymetrach sześciennych: 30 dm3, 5 mm3, 4 m3;
b) w decymetrach sześciennych: 25 m3, 2500 cm3, 1 km3;
c) w metrach sześciennych: 200 dm3, 4 km3, 2000 cm3.
3.2. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
o wysokości H = 8 cm, którego obwód podstawy jest równy 24 cm.
3.3. Oblicz objętości graniastosłupów o podstawach podanych na
poniższych rysunkach, wiedząc, że wysokość każdego z nich
jest równa 12 cm. Uporządkuj te objętości rosnąco.
3.4. Oblicz objętość sześcianu, którego pole powierzchni całkowitej
jest równe 294 cm2.
221
graniastosłupy
3.5. Objętość sześcianu jest równa 1000 cm3. Oblicz pole powierzchni
bocznej tej bryły.
3.6. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu
o krawędziach 5 cm, 8 cm i 10 cm.
3.7. Oblicz, ile metrów sześciennych ziemi wybrano z prostopadłościennego wykopu długości 1 km, szerokości 6 m i głębokości 2 m.
3.8. Na budowę dostarczono cegły ułożone na paletach w prostopadłościennych stosach. Oblicz objętość stosu na jednej palecie,
jeżeli cegła ma wymiary 250 × 65 × 120 mm, a na palecie jest
15 warstw po 60 cegieł w każdej. Wynik podaj w metrach sześciennych.
3.9. Oblicz, ile litrów wody można wlać do prostopadłościennego
akwarium o wymiarach 1,2 m × 80 cm × 60 cm.
3.10. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego,
którego pole powierzchni bocznej jest równe 9,6 dm2, a jego
wysokość 20 cm.
3.11. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 312 cm2, a pole powierzchni bocznej jest
równe 24 000 mm2. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
3.12. Zapisz za pomocą wyrażeń objętość każdego z przedstawionych
na rysunkach graniastosłupów.
a) graniastosłup prosty, którego podstawą jest równoległobok;
222
graniastosłupy
b) graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb;
c) graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt.
3.13. Jeden centymetr sześcienny miedzi waży 8,9 g. Oblicz w kilogramach masę miedzianej sztabki, która w podstawie ma trapez,
przyjmując wymiary podane na rysunku.
3.14. Jaką objętość ma buda psa przedstawiona na rysunku?
223
graniastosłupy
3.15. Basen w kształcie prostopadłościanu ma 25 m długości i 6 m
szerokości. Ile litrów wody trzeba wlać do tego basenu, aby po3
wierzchnia wody znajdowała się na jego wysokości, jeżeli wiesz,
4
że powierzchnia boczna ścian tego basenu jest równa 148,8 m2?
3.16. Jaką kubaturę ma lokal o wysokości 2,8 m, którego podstawa ma
kształt wielokąta o wymiarach podanych na poniższym rysunku?
Uwaga. Pojęcie kubatura należy rozumieć jako pojemność
lub objętość obiektu.
3.17. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły o wymiarach
podanych na rysunku.
224