Cyfrowe przetwarzanie sygnału

Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza w Rzeszowie
Wydział: Elektryczny, Kierunek: Informatyka
Projekt zaliczeniowy
Przedmiot: Systemy akwizycji i przesyłania informacji
Przetwarzanie sygnału cyfrowego
(LabVIEW)
Opracowanie:
Grzegorz Hołub
Mieczysław Kory
Wiesław Kuszaj
ZUMFL
Rzeszów 2002
Przetwarzanie Sygnału Cyfrowego
Ten rozdział opisuje podstawowe zasady Szybkiej Transformacji Fouriera
i Przerywanej Transformacji Fouriera, oraz jak są one używane w widmowej analizie. Odnosi się do przykładów w examples\analysis\dspxmpl.lib, do przykładów użycia sygnału
cyfrowego przetwarzającwego VIs, dostępnych w Functions>>Analyze>>Signal Processing>>Frequency Domain.
Szybka Transformacja Fouriera (FFT)
Próbki sygnału otrzymane od urządzenia DAQ tworzą reprezentacje sygnału
w przedziale czasu. Ta reprezentacja daje amplitudę sygnału w czasie podczas którego
próbki były brane. Jakkolwiek w wielu przypadkach chcemy znać raczej częstotliwość sygnału niż amplitudę poszczególnych próbek. Reprezentacja sygnału w warunkach jego indywidualnej częstotliwości jest znana jako reprezentacja przedziału częstotliwości sygnału.
Ta reprezentacja może dawać więcej wiadomości o sygnale i systemie skąd została wygenerowana.
Algorytm zwykł przekształcać próbki danych z przedziału czasu do przedziału częstotliwości jest znany jako Przerywana Transformacja Fouriera (DFT). DFT ustala stosunek
pomiędzy próbkami sygnału w przedziale czasu i jego reprezentację w przedziale częstotliwości. DFT jest szeroko stosowany w polach analizy widmowej, mechanice stosowanej,
akustyce, medycynie, analizie liczbowej i telekomunikacji.
Rys. 2-1 Szybka Transformacja Fouriera (FFT)
2
Na przykład, mamy N próbek sygnału od urządzenia DAQ. Jeżeli stosuje się DFT do N
próbek reprezentacji sygnału w przedziale czasu, wynik też jest długości N, ale informacja
ta zawiera reprezentacje przedziału częstotliwości. Stosunek między N próbkami
w przedziale czasu a N próbkami w przedziale częstotliwości jest przedstawiony poniżej.
Jeżeli sygnał jest próbkowany w stosunku fs Hz, wtedy czas odstępu między próbkami
jest ∆t, gdzie
1
∆t =
fs
Próbka sygnału oznaczona jest przez x[i], 0<=i<=N-1 (jeżeli mamy N próbek). Kiedy
DFT dany jako
N −1
X k = ∑ xi e − j 2πik / N
i =0
dla:
k = 0,1,2, ..., N – 1
jest stosowany do N próbek, wynik (x[k], 0<=k<=n-1) jest reprezentacją przedziału
częstotliwości dla x[i]. Zauważmy, że oba przedziały czasu x i częstotliwości x mają
w sumie N próbek. Analogicznie do odstępów czasy od ∆t pomiędzy próbkami x
w przdziale czasu, mamy częstotliwość odstępów
∆f=
fs
1
=
N N∆t
pomiędzy składnikami x w przedziale częstotliwości. ∆f znana jest jako rozkład częstotliwości. Powiększenie rozkładów częstotliwości (mniejsze ∆f) musi powiększyć ilość
próbek N (z fs stałym) lub zmniejszyć częstotliwość próbek (ze stałym N).
W następującym przykładzie przejdziemy przez matematyczna równania obliczając
DFT dla sygnały D.C.
Przykład obliczeń DFT
W tej sekcji zobaczymy ścisłe częstotliwości z którymi N próbki DFT się zgadzają. Na
wstępie, przyjmijmy że x[0] odpowiada D.C., albo średniej wartości sygnału. Żeby zobaczyć wynik obliczeń kształtu fali DFT z użyciem Równania 2-1, rozważmy sygnał D.C.
mający stałą amplitudę +1V. Cztery próbki tego sygnału są pobrane, jak na rys 2-2.
3
Rys. 2-2. Próbki DFT
Każda z próbek ma wartość +1, dając sekwencję czasu
x[0]=x[1]=x[3]=x[4]=1
Używamy Równania 2-1 do obliczeń sekwencji DFT i robimy użytek z identyczności
Euler`a
exp(-i0)=cos(0)-jsin(0)
mamy
N −1
X [0] = ∑ x i e − j 2 Πi 0 / N = x[0] + x[1] + x[2] + x[3] = 4
i =0
 π 
 π 
X [1] = x[0] + x[1] cos  − j sin    + x[2](cos(π ) − j sin(π )) +
 2 
 2
  3π 
 3π  
x[3] cos  − j sin    = (1 − j − 1 + j ) = 0
 2 
  2 
X [2] = x[0] + x[1](cos(π ) − j sin(π )) + x[2](cos(2π ) − j sin(2π )) +
x[3](cos(3π ) − j sin(3π )) = 1 − 1 + 1 − 1 = 0
  3π 
 3π
X [3] = x[0] + x[1] cos  − j sin 
 2
  2 
  9π 
 9π
x[3] cos  − j sin 
 2
  2 

  + x[2]( sos (3π ) − j sin(3π ))


  = 1 − j − 1 − j = 0

Dlatego poza składnikami DC, x[0], wszystkie inne wartości są zerowe jak tego oczekiwano. Jakkolwiek, obliczenie wartości x[0] zależy od wartości N (ilości próbek). Ponieważ mieliśmy N=4, x[0]=4. Gdyby N=10, wtedy obliczano by x[0]=10. Ta zależność x[ ]
od N zdarza się również dla innych składników częstotliwości. Zwykle dzieli się wyjście
DFT przez N, tak by otrzymać poprawną wielkość składnika częstotliwości.
4
Informacja o Wielkości i Fazie
Zobaczyliśmy, że N próbek sygnału wejściowego kończy się N próbkami DFT. To jest,
liczba próbek w obu przypadkach, czasie i częstotliwości reprezentowana jest tak samo. Z
Równania 2-1 wynika że sygnał wejściowy x[i] jest prawdziwy lub złożony, x[k] zawsze
złożony (chociaż urojona część może być zerowa). Ponieważ DFT jest złożone, to zawiera
dwie części informacji - amplitudę i fazę. Wynika z tego, że dla sygnałów prawdziwych
(x[i] real) tak jak i te otrzymane na wyjściu z jednego urządzenia DAQ, DFT jest symetryczne z następującymi własnościami:
|X[k]|=|X[N-k]|
oraz
phase (X[k])=-phase (X[N-k})
Warunki które zwykle opisują tą symetrie są takie że wielkość bezwzględna X[k] jest
symetryczna.
Pojęcia te są symetryczne i faza (X[k]) jest nieparzysta wobec symetrycznych. Nawet
jeden równy symetryczny sygnał, jest symetryczny względem osi y , podczas gdy nieparzysty symetryczny sygnał jest symetryczny względem początkowego.
Są to następujące figury:
Rys. 2-3. Symetria sygnału względem osi y
Skutek tej symetrii jest taki, że tam jest powtarzanie informacji zawartej w N próbkach
DFT. Z powodu tego powtarzania informacji , tylko co pół próbki z DFT co powoduje że
wynik musi być obliczany i wyświetlony, oraz jaki jest wynik tego powtarzania od połowy
poprzedniego. Jeżeli wejście sygnału jest złożone , DFT będzie niesymetryczne i wówczas
nie należy tego używać.
5
Przerwy Częstotliwości pomiędzy Próbkami DFT/FFT
Jeżeli weźmiemy przedział próbek ∆t sekundy i pierwsze próbki (k = 0) dane są przy 0
sekundy , wtedy k th ( k > 0 , k całkowite ) dana próbka jest przy k∆ t sekundy. Podobnie
jeżeli częstość rozkładu jest ∆f Hz .
f
( ∆f = s ) wtedy k k th próbki DFT zdarzy się przy częstotliwości k∆f Hz .
N
(Rzeczywiście jest to ważne tylko dla pierwszej połówki częstotliwości składników,
druga połówka przedstawia odwrotną częstotliwość składników). W zależności od tego czy
liczba próbek N, są równe albo nieparzyste, można mieć różną interpretację częstotliwości odpowiadającej k th próbek DFT.
N
Na przykład , przypuszczając że N jest równa i pozwala aby p = . Tabela 2-1 poka2
zuje częstość do której każdy format elementu pierwiastek złożonego odpowiada następne
X. Należy zwrócić uwagę, że p th element pierwiastka, X[p] , odpowiada Nyquist częstości. Przeczące wejścia w drugiej kolumnie poza Nyquist częstotliwość przedstawiają przeczące częstotliwość.
Na przykład jeśli N=8, p=N/2= 4, wtedy ∆f jest pokazana w Tabela 2-1 dla X[p] i dla
N = 8.
X[p]
X[0]
X[1]
X[2]
X[3]
X[4]
X[5]
X[6]
X[7]
∆f
DC
∆f
2∆f
3∆f
4∆f (częstotliwość Nyquista)
-3∆f
-2∆f
-∆f
Tutaj, X[1] i X[7] będzie mieć tę sam wielkość i X[2] i X[6] będzie mieć też tą sam
wielkość , oraz X[3] i X[5] też będzie mieć tę sam wielkość . Różnica jest taka że podczas
gdy X[1] , X[2] , i X[3] odpowiada dodatnim częstotliwościom składowym, X [5], X[6], i
X [7] będą odpowiednio odrzucać dodatnie częstotliwości składowe. Należy zauważyć że
X[4] jest przy częstotliwości Nyquista.
6
Rys. 2-4 . Złożone Następstwo dla N = 8
Taka reprezentacja, gdzie widać obydwie częstotliwości, są znane kiedy razem były po
stronie przekształceń. Należy zauważyć kiedy N są nieparzyste, tam niema składnik przy
częstotliwości Nyquista. Na przykład, jeżeli N = 7, p = ( N -1 )/2 = ( 7-1 )/2 = 3, wtedy ∆f
jest pokazywany w Tabeli 2-2 dla X [p] równego N = 7.
X[p]
X[0]
X[1]
X[2]
X[3]
X[4]
X[5]
X[6]
∆f
DC
∆f
2∆f
3∆f
-3∆f
-2∆f
-∆f
Teraz X[1] i X[6] ma tę sam wielkość, X[2] i X[5] ma też tą sam wielkość tak jak
X[3] i X[4]. Kiedy podczas gdy X[1], X[2], i X[3] odpowiadają dodatnim częstotliwościom, X[4] , X[5], i X[6] należy odrzucić ich częstotliwość. Ponieważ N są nieparzyste ,
tam nie ma żadnych składników przy częstotliwości Nyquista. Rysunek 2-5 ilustruje Tabelę 2-2 dla N = 7.
7
Rys. 2-5 . X [ p ] dla N = 7
Są to dwie strony przekształcenia, ponieważ są to dwa rodzaje częstotliwości.
Szybkie przekształcenia Fouriera
Bezpośrednie wykonanie DFT na N próbkach wymaga w przybliżeniu N 2 złożoności
działania, co jest czasochłonnym procesem. Jeśli, kiedy rozmiar następstwa jest potęga z 2,
N = 2 m dla m = 1 , 2 , 3 ,....
wtedy można wykonywać obliczenie DFT dla działania w przybliżeniu N log 2 (N). To
wykonuje obliczenie DFT dużo bardziej szybciej , i DSP w literaturze odnosi się do tych
algorytmów jako szybkie przekształcenia Fourier ( FFTs ). FFT jest nic innego jak tylko
szybki algorytm dla obliczania DFT kiedy liczba próbek (N) jest potęgą z 2.
Przewagą FFT jest szybkość. I skuteczność pamięci, ponieważ VI może obliczać FFT
na miejscu, co powoduje że, do obliczeń nie potrzeba żadnych dodatkowych buforów pamięć. Rozmiar wejściowych sekwencji, chociaż muszą wynosić potęga z 2. DFT może
skutecznie przetwarzać różne rozmiaru sekwencji, chociaż DFT są wolniejsze niż FFT i
potrzebują więcej pamięci, ponieważ muszą umieszczać dodatkowe bufory dla przechowywania pośrednich wyników podczas przetwarzania.
Dopełnianie zerami
Techniką, dzięki której rozmiar sekwencji wejściowej będzie równy potędze liczby 2,
jest uzupełnianie sekwencji na końcu zerami, tak aby łączna liczba próbek była równa następnej potędze dwójki. Jeśli więc mamy 10 próbek sygnału, można dodać sześć zer, aby
łączna liczba próbek była równa 16 (=24 – potęga liczby 2), tak jak na rysunku 2-6.
8
Rys. 2-6. Dopełnianie zerami
Wprowadzanie zer na końcu kształtu fali w dziedzinie czasu nie zaburza widma sygnału. Dopełnianie zerami nie tylko polega na nadaniu łącznej liczbie próbek wartości będącej
potęgą dwójki, co przyspiesza obliczenia przez zastosowanie szybkiego przekształcenia
Fouriera. Pozwala także podnieść rozdzielczość częstotliwości (należy pamiętać, że
[wzór]), zwiększając liczbę próbek N.
Wirtualne przyrządy szybkiego przekształcenia Fouriera
Paleta Functions»Analyze»Signal Processing»Frequency Domain zawiera dwa
przyrządy wirtualne obliczające szybkie przekształcenie Fouriera danego sygnału. Są to
Real FFT VI i Complex FFT VI.
Różnica między oboma przyrządami polega na tym, że Real FFT VI oblicza szybkie
przekształcenie Fouriera sygnału o wartościach rzeczywistych, natomiast przyrząd Complex FFT VI oblicza szybkie przekształcenie Fouriera sygnału o wartościach zespolonych.
Należy jednak pamiętać, że wyniki generowane przez oba przyrządy są zespolone.
Większość sygnałów w praktyce ma wartości rzeczywiste, a więc w większości wypadków można używać przyrządu Real FFT VI. Oczywiście, można też użyć przyrządu
Complex FFT VI, nadając części urojonej sygnału wartość zerową.
Przykładem zastosowania przyrządu Complex FFT VI jest analiza sygnału złożonego
zarówno z części rzeczywistej, jak i urojonej. Taki typ sygnału występuje często w telekomunikacji, gdzie kształt fali moduluje się przy użyciu wykładnika zespolonego. Modulacja przy użyciu wykładnika zespolonego daje sygnał zespolony, co widać na rysunku 27.
9
Rys. 2-7. Modulacja przy użyciu wykładnika zespolonego
Spektrum mocy
Wiemy, że dyskretne (oraz szybkie) przekształcenie Fouriera dla sygnału rzeczywistego jest liczbą zespoloną mającą część rzeczywistą i część urojoną. Moc w każdym elemencie częstotliwości reprezentowanym przez przekształcenie dyskretne/szybkie można uzyskać, podnosząc do kwadratu wartość bezwzględną danego elementu częstotliwości. Dlatego też moc k-tego elementu częstotliwości (k-ty element dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera) jest dana wzorem |X[k]|2. Wykres przedstawiający moc w każdym
elemencie częstotliwości jest znany jako spektrum mocy. Ponieważ dyskretne/szybkie
przekształcenie Fouriera dla sygnału rzeczywistego jest symetryczne, moc przy dodatniej
częstotliwości k∆f jest identyczna, jak moc przy odpowiedniej częstotliwości ujemnej –
k∆f (nie licząc elementów DV i Nyquista). Łączna moc elementów DC i Nyquista wynosi
odpowiednio [wzór] i [wzór].
Utrata informacji o fazie
Ponieważ moc uzyskuje się przez podniesienie do kwadratu wartości bezwzględnej
dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera, spektrum mocy jest zawsze rzeczywiste.
Wada tego rozwiązania polega na tym, że tracona jest informacja o fazie. Jeśli potrzebne są
informacje o fazie, należy korzystać z dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera, dającego wartości zespolone.
Spektrum mocy można wykorzystać w zastosowaniach, gdzie informacje o fazie nie są
potrzebne (np. do oblizenia mocy harmonicznej w sygnale). Można zastosować wejście sinusoidalne do systemu liniowego, a na wyjściu systemu zaobserwować moc w części harmonicznej.
Odstęp częstotliwości między próbkami
Przyrząd Power Spectrum VI, znajdujący się w palecie Functions»Analyze»Signal
Processing»Frequency Domain, służy do obliczania spektrum mocy próbek danych w
dziedzinie czasu. Tak jak w wypadku dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera,
liczba próbek z wyjścia przyrządu Power Spectrum VI jest identyczna jak liczba próbek
danych wprowadzonych na wejściu. Tak więc odstęp częstotliwości między próbkami częstotliwości wynosi [wzór].
10
Podsumowanie
Reprezentacja w dziedzinie czasu (wartości próbek) sygnału może zostać przekształcona w reprezentację w dziedzinie częstotliwości za pomocą algorytmu określanego jako
dyskretne przekształcenie Fouriera. Do szybkiego obliczania dyskretnego przekształcenia
Fouriera służy algorytm znany jako szybkie przekształcenie Fouriera. Można go użyć, gdy
liczba próbek sygnału jest równa potędze liczby dwa.
Wyjście zwykłego dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera jest dwustronne,
ponieważ zawiera informacje zarówno o dodatnich, jak i ujemnych częstotliwościach. Ten
wynik można przekształcić na jednostronne dyskretne/szybkie przekształcenie Fouriera,
używając tylko części punktów wyjściowych przekształcenia. Odstęp częstotliwości między próbkami dyskretnego/szybkiego przekształcenia Fouriera wynosi [wzór].
Spektrum mocy można uzyskać z przekształcenia Fouriera, podnosząc do kwadratu
wartość bezwzględną poszczególnych elementów częstotliwości. Przyrząd Power Spectrum VI w bibliotece analiz zaawansowanych wykonuje to automatycznie. Jednostkami
wyjściowymi przyrządu Power Spectrum VI są Vrms2. Jednak spektrum mocy nie zawiera
żadnych informacji o fazie.
Dyskretne i szybkie przekształcenie Fouriera oraz spektrum mocy służą do pomiaru
częstotliwościowej zawartości sygnałów ustalonych lub nieustalonych. Szybkie przekształcenie Fouriera daje średnią zawartość częstotliwościową sygnału po całym czasie mierzenia sygnału.
11