Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki

§0
1
Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A:
z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki
2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie
matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do tych drugich zaliczyć
symbol ,,=” oraz słowo ,,jednakowo”):
(a) dla dowolnych liczb x i y, jeśli x > 0 i y < 0, to istnieje taka
liczba z, że z < 0 i x = y · z;
(b) dla dowolnych punktów A i B istnieje punkt C, który leży
między A i B i jest jednakowo odległy od A i B.
3. Utworzyć koniunkcję negacji następujących funkcji zdaniowych:
x<3
i x > 3.
Jaka liczba spełnia tę koniunkcję?
4. Określić, w którym z dwu opisanych znaczeń wyraz ,,lub” występuje w następujących zdaniach:
(a) miał dwie drogi do wyboru: zdradzić ojczyznę lub umrzeć;
(b) gdy zarobię dużo pieniędzy lub wygram na loterii, wyjadę w
długą podróż.
Podać inne przykłady użycia słowa ,,lub” w obu znaczeniach.
*5. Rozważyć następujące zdania warunkowe:
(a) jeśli dziś jest poniedziałek, to jutro jest wtorek;
(b) jeśli dziś jest poniedziałek, to jutro jest sobota;
(c) jeśli dziś jest poniedziałek, to 25 grudnia jest Boże Narodzenie;
(d) jeśli życzenia byłyby końmi, to żebracy jeździliby wierzchem;
(e) jeśli liczba jest podzielna przez 2 i przez 6, to jest ona podzielna
przez 12;
(f) jeśli 18 jest podzielne przez 3 i przez 4, to 18 jest podzielne przez
6.
2
Rozdział .
Które z powyższych implikacji są prawdziwe, a które fałszywe z punktu widzenia logiki matematycznej? W których z tych przypadków
pytanie o sensowność, prawdziwość, czy fałszywość budzi wątpliwości
z punktu widzenia zwykłego języka? Zwrócić szczególną uwagę na
zdanie (b) i zbadać, jak jego prawdziwość zależy od dnia tygodnia, w
którym zdanie to było wypowiadane.
6. Sformułować następujące twierdzenia w postaci zwykłych zdań
warunkowych:
(a) na to, by trójkąt był równoboczny, wystarcza, by wszystkie kąty
przystawały do siebie;
(b) warunek, że x jest podzielne przez 3, jest konieczny, by x było
podzielne przez 6.
Podać inne równoznaczne sformułowania obu powyższych zdań.
7. Czy warunek:
x·y >4
jest wystarczający, czy konieczny, by:
x > 2 i y > 2?
8. Podać inne równoznaczne sformułowania następujących zdań:
(a) x jest podzielne przez 10 wtedy i tylko wtedy, gdy x jest podzielne
zarówno przez 2, jak przez 5;
(b) na to, by czworokąt był równoległobokiem potrzeba i wystarcza,
by punkt przecięcia jego przekątnych był równocześnie środkiem
tych przekątnych.
Podać inne przykłady twierdzeń z zakresu arytmetyki i geometrii,
które posiadają postać równoważności.
9. Które z następujących zdań są prawdziwe?
(a) trójkąt jest równoramienny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
wysokości trójkąta przystają do siebie;
(b) warunek, że x 6= 0 jest konieczny i wystarczający na to, by x2
było liczbą dodatnią;
§0
3
(c) z tego, że czworokąt jest kwadratem wynika, że wszystkie kąty
czworokąta są proste i odwrotnie;
(d) na to, by x było podzielne przez 8 potrzeba i wystarcza, by x
było podzielne przez 4 i przez 2.
10. Założywszy, że terminy ,,liczba naturalna”† i ,,iloczyn” (bądź
,,iloraz ”) są nam już znane, zbudować definicję terminu ,,podzielny”,
nadając jej formę równoważności:
mówimy, że x jest podzielne przez y wtedy i tylko wtedy, gdy . . .
W analogicznej postaci sformułować definicję terminu ,,prosta równoległa”; jakie terminy (z dziedziny geometrii) należy w tym celu
przyjąć za znane?
11. Następujące wyrażenia symboliczne (a) odczytać w języku potocznym, (b) zbadać, które z nich są tautologiami:
(a) (∼ p → p) → p,
(b) (∼ p ∨ q) ↔ (p → q),
(c) ∼ (p ∨ q) ↔ (p → q),
(d) ∼ p ∨ [q ↔ (p → q)].
Zwrócić szczególną uwagę na trudności w odróżnieniu od siebie trzech
ostatnich wyrażeń, gdy się je sformułuje w zwykłym języku.
12. Sformułować następujące wyrażenia za pomocą symboli logicznych:
(a) jeśli nie p lub nie q, to nie zachodzi, że p lub q;
(b) jeśli p pociąga za sobą, że q pociąga za sobą r, to p i q razem
pociągają za sobą r;
(c) jeśli r wynika z p i r wynika z q, to r wynika z p lub q.
†
Przypominamy, że liczba naturalna to dodatnia liczba całkowita lub zero, czyli
jedna z następujących liczb: 0, 1, 2, etc.
4
Rozdział .
13. Zbudować tabelki prawdziwościowe dla wszystkich funkcji zdaniowych podanych w ćwiczeniach 11 i 12. Przyjąć, że funkcje te
interpretujemy jako zdania (co to znaczy?) i określić, które ze zdań
otrzymanych w ten sposób są prawdziwe, a które fałszywe.
14. Metodą tabelek prawdziwościowych potwierdzić prawdziwość
następujących zdań:
(a) ∼∼ p ↔ p,
(b) ∼ (p ∧ q) ↔ (∼ p∨ ∼ q),
∼ (p ∨ q) ↔ (∼ p∧ ∼ q),
(c) [p ∧ (q ∨ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)],
[p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)].
Zdanie (a) jest prawem podwójnego przeczenia, zdania (b) nazywamy prawami De Morgana,6 zaś zdania (c) są prawami rozdzielności (mnożenia logicznego względem dodawania i dodawania
logicznego względem mnożenia).
15. Dla każdego z następujących zdań utworzyć zdania sprzężone
(zdanie odwrotne, przeciwne i przeciwstawne):
(a) założenie, że x jest liczbą dodatnią pociąga za sobą, że −x jest
liczbą ujemną;
(b) jeśli czworokąt jest prostokątem, to można opisać na nim okrąg.
Które ze zdań sprzeżonych są prawdziwe?
Dlaczego nie da się podać przykładu czterech zdań sprzężonych, z
których wszystkie byłyby fałszywe?
16. Wytłumaczyć następujący fakt w oparciu o tabelkę prawdziwościową dla funkcji ,,p ↔ q”: jeśli w jakimkolwiek zdaniu niektóre z jego części będące też zdaniami zostaną zastąpione przez zdania równoważne, to całe nowe zdanie, otrzymane w ten sposób, jest
równoważne zdaniu wyjściowemu (zauważmy, że wniosek ten obejmuje również funkcje zdaniowe). Pewne z naszych stwierdzeń i uwag
w § 11 zasadzały się na tym fakcie; wskazać które.
17. Rozważyć następujące dwa zdania:
6
Prawa te zostały podane przez A. De Morgana (1806–1878), wybitnego
logika angielskiego.
§0
5
(a) z tego, że: jeśli p, to q, wynika, że: jeśli q, to p;
(b) z tego, że: jeśli p, to q, wynika, że: jeśli nie p, to nie q.
Przypuśćmy, że zdania te są prawami logiki; czy byłoby możliwe zastosować je do dowodów matematycznych, jak w przypadku prawa
kontrapozycji w § 14? Które ze zdań sprzężonych można by wyprowadzić z danej dowiedzionej implikacji? Czy możemy zatem podtrzymać nasze przypuszczenie, że zdania (a) i (b) są prawdziwe?
18. Potwierdzić wniosek wyciągnięty w ćwiczeniu 17, stosując
metodę tabelek prawdziwościowych do zdań (a) i (b).
19. Rozważyć następujące dwa stwierdzenia:
z założenia, że wczoraj był poniedziałek, wynika, że dziś jest wtorek;
z założenia, że dziś jest wtorek, wynika, że jutro będzie środa.
Jakie zdanie można wyprowadzić z powyższych zdań zgodnie z prawem sylogizmu warunkowego (por. § 12)?
*20. Przeprowadzić dowód zupełny zdania otrzymanego w poprzednim ćwiczeniu; użyć podanych tam stwierdzeń i prawa sylogizmu
hipotetycznego (lub, warunkowego), stosując przy tym – obok reguł
podstawiania i odrywania – następującą regułę dowodzenia: jeśli uznajemy za prawdziwe jakiekolwiek dwa zdania, to wolno również uznać za prawdziwą koniunkcję tych zdań.