MathCAD cz.1

Narzędzia obliczeniowe
inżyniera
MathCAD cz.1
Opracował: Zbigniew Rudnicki
1
Spis treści wykładu:
1)Narzędzia obliczeniowe inżyniera
2) Mathcad - cechy, struktura dokumentu, kursory, ..
3) Tworzenie regionów tekstowych, polskie litery, ..
4) Liczby, zmienne, wyrażenia i ich wprowadzanie
5) Wstawianie funkcji standardowych i ich opisy
6) Typy regionów matematycznych
7) Wyświetlanie wartości wyrażeń
8) Definicje zmiennych lokalnych i globalnych
9) Wstawianie jednostek miar i ich zmiana w wynikach
10) Zmienne zakresowe i ich dwie role
11) Zmienne indeksowane, wektory, macierze
12) Tworzenie wykresu XY
2
1
Komputerowe narzędzia obliczeniowe
Dla obliczeń niezbędnych przy projektowaniu, inżynier może:
A) zakupić wąsko wyspecjalizowane programy opracowane
specjalnie dla danej tematyki, np.: program do obliczeń wałów,
lub
B) samodzielnie opracować aplikacje (programy) obliczeniowe
przy użyciu jednego lub kilku wybranych narzędzi, którymi są:
• arkusze kalkulacyjne - jak Excel, Calc lub inne
• uniwersalne programy matematyczne - jak na przykład
Mathcad
• języki programowania (np.: Basic, Fortran, Pascal, MATLAB,
C, C++, i in.)
3
Wymagane oraz pożądane cechy
aplikacji obliczeniowych
1) Ułatwienia we wprowadzaniu danych (np. wybór z listy)
2) Kontrola ich poprawności (np.: przez podanie dopuszczalnych zakresów wartości
3) Różne sposoby prezentowania wyników (tabele, wykresy, ...)
4) Możliwości wczytywania danych z plików i różnych urządzeń wejściowych
oraz zapisywania wyników do plików
5) Zapobieganie omyłkom w jednostkach miar oraz dokonywanie ich
konwersji
6) Prezentowanie (bezpośrednie lub na żądanie) informacji dotyczących:
–
–
–
–
–
–
tematyki i zakresu obliczeń
znaczenia poszczególnych zmiennych
dopuszczalnych zakresów zmiennych
metod lub wzorów obliczeniowych
dokładności obliczeń
wersji, daty opracowania i autorów (instytucja, nazwiska)
4
2
Wyrażenia w aplikacjach obliczeniowych
W każdym z narzędzi obliczeniowych występują wyrażenia
składane z takich elementów jak:
• Stałe (literały) oraz zmienne różnych typów:
np.:liczby i zmienne liczbowe
teksty i zmienne tekstowe,
daty i zmienne typu data
ciągi liczb i zmienne wektorowe,
tablice liczb i zmienne tablicowe
• Operatory działań arytmetycznych: +, -, *, /, ...
relacji: >, < , ...
i operacji logicznych: NIE, I, LUB,
• Nawiasy
• Funkcje
• Procedury obliczeniowe
Budując model matematyczny trzeba przede wszystkim zdefiniować zmienne.
5
Zmienne
ZMIENNA - to symboliczna reprezentacja cechy badanego obiektu,
procesu lub samego modelu. W aplikacjach obliczeniowych
zmienna stanowi pojemnik przechowujący wartość.
Każda zmienna musi mieć ściśle określoną rolę oraz:
• Typ zdefiniowany przez:
- rodzaj wartości (liczbowe, tekstowe, logiczne),
- strukturę (skalar, wektor, tablica, lista, drzewo, sieć),
- dopuszczalny zakres wartości
• Nazwę czyli identyfikator
(a w arkuszach kalkulacyjnych: ADRES)
• Wartość, która w każdym momencie może być inna
(lub zbiór wartości jeśli jest zmienną złożoną)
6
3
Zmienne a struktury danych
Oprócz zmiennych prostych - skalarnych stosuje się zmienne
złożone - odpowiadające różnym strukturom danych - a
mianowicie:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
wektory (tablice jednowymiarowe),
tablice wielowymiarowe (macierze i in.),
rekordy (zestawy pól różnych typów),
listy jedno i dwukierunkowe
stosy
kolejki
drzewa
sieci
...
7
MATHCAD
• Uniwersalny program do obliczeń matematycznych
• Nie wymaga stosowania języka programowania
• Pozwala tworzyć dokumenty w formie publikacji zawierające:
– dowolne teksty
– wzory matematyczne (z wszelkimi symbolami)
– wykresy
• po zmianie danych - automatycznie oblicza nowe wyniki
• umożliwia używanie i przeliczanie fizycznych jednostek miar
• kontroluje zgodność jednostek miar przy dodawaniu i
odejmowaniu:
np można dodać: 3.5m + 54cm
ale nie:
2cm + 5 sec
8
4
MATHCAD - niektóre możliwości
W zakresie matematyki można m.in.:
• prowadzić obliczenia z udziałem zmiennych, funkcji i ciągów
arytmetycznych
i uzyskiwać wyniki w formie tabel i wykresów
• znajdować pierwiastki wielomianów
• rozwiązywać układy równań i nierówności nieliniowych
• prowadzić działania na wektorach, macierzach,
• wyznaczać sumy i iloczyny ciągów oraz całki i pochodne,
• rozwiązywać równania różniczkowe i ich układy,
• wyznaczać regresje, korelacje i różne parametry statystyczne
• generować liczby przypadkowe według róznych rozkładów
• automatyczne przekształcać wzory (wykonywać obliczenia symboliczne)
jak: wyciaganie przed nawias, rozkład na czynniki,
wyznaczanie wzorów całek nieoznaczonych i pochodnych
9
Dokument Mathcad’a zawiera:
1) regiony tekstowe,
2) regiony matematyczne
3) wykresy
10
5
Paski narzędzi i palety symboli matematycznych
11
Nazwy palet symboli matematycznych
Calculator – działania takie jak na kalkulatorze
Evaluation – m.in. symbole przypisywania zmiennym wartości
(podstawiania) oraz rozkazy wyświetlenia obliczonej wartości
Graph – wstawianie różnego rodzaju wykresów
Matrix – operacje wektorowe i macierzowe
Boolean – relacje i operacje logiczne
Calculus – analiza matematyczna (całki, pochodne, sumy, iloczyny,
granice)
Greek – greckie litery
Symbolic – przekształcenia symboliczne (działania na wzorach a nie
liczbach)
Programming – programowanie
12
6
Symbole można także wpisywać z klawiatury
poniżej podano klawisze, symbole i ich znaczenie:
13
Kolejne symbole używane w wyrażeniach
oraz klawisze do ich wstawiania
Zamiast klawiszami można oczywiście wybierać te symbole
14
myszką z palet
7
Kursory
Najważniejsze kursory to:
• czerwony krzyżyk
(cross-hair) - pokazuje punkt wstawiania nowego
regionu (lub usuwania pustych linii), istnieje zawsze w dokumencie i nie
służy do poprawiania istniejącego regionu
• niebieska pionowa kreska lub pół-ramka
- to kursor edycyjny,
pojawia się po kliknięciu danego regionu i służy do wpisywania,
poprawiania, dopisywania, formatowania itp.
Uwaga: Aby poprawiać istniejący region trzeba kliknąć tak aby otrzymać
kursor niebieski bo wpisywanie w miejscu czerwonego krzyżyka nie
zmodyfikuje istniejącego regionu tylko utworzy nowy!
15
Zaznaczanie, przemieszczanie, wymazywanie regionów
W Mathcadzie 6:
• kliknięcie - zaznacza region do edycji (modyfikacji) jego zawartości.
Pojawi się niebieski kursor (lub pół-ramka) klawisze SPACJA oraz
STRZAŁKI w górę i w dół powiększają lub zmniejszają obszar zaznaczony
niebieską pół-ramką.
• zakreślenie z zewnątrz jednego lub kilku regionów przerywanym
prostokątem - zaznacza je do przemieszczania, kopiowania, wymazywania,
...
Aby to zrobić wciśnij lewy przycisk gdy myszka wskazuje pusty obszar
dokumentu i trzymając wciśnięty zakreśl regiony:
W Mathcadzie 2001 oba te sposoby mogą być stosowane z jednakowym
skutkiem to znaczy nie ma dwu typów zaznaczeń tylko jeden.
16
8
Regiony tekstowe
• Dokument Mathcad'a powinien zawierać niezbędne dla jego czytelności teksty
a przynajmniej nagłówki i objaśnienia.
• Regiony tekstowe należy wstawiać klawiszem cudzysłowu ["]. Cudzysłów
nie pojawi się na ekranie lecz utworzy się region (ramka) do wpisywania tekstu.
• UWAGA: Jeśli tekstu nie rozpoczniemy od naciśnięcia cudzysłowu to zostanie
potraktowany jako region matematyczny (każdy wyraz traktowany będzie jako
osobna nazwa zmiennej).
• W wersji 6 prawidłowo wprowadzone teksty są w kolorze niebieskim a wzory
matematyczne w kolorze czarnym. Zrezygnowano z tego w wersji 2001.
• Uwaga: Naciskanie klawisza ENTER pozwala pisać dalsze linie tekstu a NIE
kończy regionu tekstowego, dlatego aby zakończyć pisanie tekstu należy
kliknięciem na zewnątrz regionu.
17
Polskie litery:
• Gdy w Windows jest ustawiony język polski (PL) i "klawiaturę
programisty" to wpisujemy polskie litery tak jak w edytorach
tekstowych czyli:
z trzymaniem wciśniętego klawisza [prawy ALT].
• Otrzymanie poprawnego widoku tych liter na ekranie i wydruku
bywa nieco kłopotliwe. Można w tym celu przed pisaniem
spróbować ustawić jako domyślną czcionkę dla Centralnej Europy
(CE) np. Times New Roman CE lub Arial CE. W wersji 6 z menu:
Text - Change Defaults – Font.
• Jeśli to się nie uda to:
- po napisaniu trzeba tekst zaznaczyć ("zamalować")
i wybrać czcionkę z polskimi literami (CE).
18
9
Regiony matematyczne
19
Podstawowy element regionów matematycznych
stanowią wyrażenia, które mogą zawierać:
liczby
zmienne różnych typów
nawiasy – tylko okrągłe
funkcje
symbole matematyczne – wstawiane z palet lub przy
pomocy klawiszy
Przykład:
•
•
•
•
•
2
Ψ a := 4.23 ⋅ 2 ⋅α −
x
α 

x
acot
−
(x − α )3
x+ 1
20
10
Liczby dziesiętne
• Mathcad próbuje interpretować jako liczby wszystko to co
zaczyna się od cyfry.
• Przy pisaniu ułamków dziesiętnych należy stosować
kropkę pozycyjną a nie przecinek.
• Nie stosuje się tzw. notacji naukowej (z literą E) bo zamiast tego
można pisać odpowiednią potęgę dziesięciu (np 2.5*10^5).
• Oprócz kropki dziesiętnej nie może być w zapisie liczby żadnych
innych kropek, przecinków, spacji ani liter.
21
Liczby zespolone
Część urojona liczby zespolonej musi mieć na końcu
literę i albo j (bez odstępu) na przykład:
1i,
-3.56j,
5+12.8i
Nie można napisać samej litery i lub j bo byłaby
potraktowana jako tekst dlatego musi być 1i
zamiast i.
22
11
Nazwy zmiennych
• Nazwy zmiennych mogą być wieloliterowe,
• Nazwy mogą zawierać tylko duże i małe litery alfabetu angielskiego oraz
cyfry i podkreślnik (shift minus) ale muszą zaczynać się od litery.
• Mathcad rozróżnia duże i małe litery ! A więc nie dziwmy się kiedy
podstawimy "SILA:=5" że zmienne "sila" oraz "Sila" są nieokreślone.
• Wszystkie znaki w nazwie zmiennej muszą mieć ten sam format (m.in.
rodzaj i wielkość czcionki). Mathcad 2001 rozróżnia zmienne napisane
różnymi czcionkami
• Nazwy zmiennych muszą być różne od nazw funkcji oraz nazw stałych
Mathcad'a i nazw jednostek miar. Lepiej używać nazw wieloliterowych na
przykład "masa1", "masa2" lub nazw z numerkami m1, m2 i.tp.
a nie "m" bo to oznaczenie metra
• Nazwy zmiennych skalarnych (t.zn. nie wektorowych i nie indeksowanych)
mogą mieć u dołu oznaczenie przy wpisywaniu poprzedzane kropką (np.:
H.max da na ekranie Hmax). Takie dolne oznaczenie nie jest indeksem
przyjmującym wartości liczbowe i jeśli miałoby się nam mylić z indeksami
to lepiej go nie stosować (np.: napisać Hmax).
23
Stałe i zmienne wbudowane
24
12
Wpisywanie wyrażeń matematycznych
• W wyrażeniach można używać nawiasów ale tylko okrągłych.
Mathcad dopasuje na ekranie ich wielkość i kształt do danego wyrażenia.
• Można uniknąć pisania nawiasów przez odpowiednie poszerzenie
- klawiszem SPACJA - obszaru zaznaczonego niebieską pół-ramką czyli
kursorem edycji.
Przykład: Chcemy napisać
możemy to zrobić albo z użyciem nawiasów: ((x+y)/p)+q albo powiększając
w odpowiednich miejscach obszar zaznaczony niebieskimi liniami edycji:
25
Składnia wyrażeń matematycznych c.d.
Mimo podobieństwa do swobodnego zapisu matematycznego w Mathcadzie
obowiązują pewne reguły (języka formalnego) zapewniające jednoznaczność
zapisu a odbiegające od "niechlujnych" przyzwyczajeń matematyków, a
mianowicie:
• nie wolno pomijać znaku mnożenia
• argumenty funkcji muszą być w nawiasach np.: sin(X) a
nie sinX
• wykładnik potęgi nie może być pisany przy nazwie funkcji posiadającej
argumenty np.: nie wolno pisać sin2(x) a należy pisać:
sin(x)2 lub (sin(x))2
26
13
Wstawianie funkcji z wykazu wywołanego przyciskiem f(x)
lub z menu Insert Function. W oknie pojawi się objaśnienie.
27
Ważniejsze kategorie funkcji Mathcad’a (z HELP’u)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Podstawowe matematyczne
Trygonometryczne
Wykładnicze i logarytmiczne
Zaokrąglania
Wyszukiwania
Statystyczne
Operowania na tekstach
Wektorowe i macierzowe
Przekształceń symbolicznych
Bessel'a
Zmiennej zespolonej
Warunkowe
Transformacji współrzędnych
Dopasowania krzywych
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Analizy danych
Impulsowe
Transformacji dyskretnych
Rozkładów prawdopodobieństwa
Rozwiązywania równań
algebraicznych
Rozwiązywania równań
różniczkowych
Dostępu do plików dyskowych
Finansowe
Optymalizacji
Histogramy
Hiperboliczne
Interpolacji
Operowania na obrazach
28
14
Nazwa funkcji?
czy nazwa zmiennej?
• Po nazwie funkcji zawsze występują nawiasy okrągłe a
w nich: argumenty funkcji
• Liczba i kolejność (oraz znaczenie) argumentów są
takie jak w opisie (funkcji wbudowanej) lub jak w
definicji funkcji (zdefiniowanej przez użytkownika)
Przykład:
moja_funkcja(x,y):= 3*sin(2*x)+log(4*y)
29
Typy regionów matematycznych
Aby Mathcad mógł realizować obliczenia musi rozpoznawać polecenia jakie mu wydajemy.
Dlatego musimy wpisywać tylko dopuszczalne typy regionów matematycznych
przedstawione poniżej, a ich budowa mysi być zgodna z regułami Mathcad’a
30
15
Instrukcja „wyświetl wartość”
zwykły znak =
umieszczony po nazwie zmiennej lub po wyrażeniu
jest dla Mathcad’a rozkazem:
„wyświetl aktualną wartość”
Zmienne występujące po lewej stronie muszą mieć już
nadane wartości. Na przykład gdy poprzednio wpisano:
To po wpisaniu z=
Mathcad wyświetli obliczoną wartość z
31
Nadawanie wartości zmiennym lokalnym
Lokalna definicja zmiennej:
zmienna := wyrażenie
oblicza wartość wyrażenia i podstawia tą wartość do zmiennej a zmienna ta
będzie dostępna dla następnych instrukcji. Wymusza to porządek.
W najprostszych przypadkach wyrażenie może być pojedynczą liczbą lub
zmienną.
Przykłady:
UWAGA: W tego typu definicjach ważna jest kolejność. Mathcad nie zna w
danym miejscu zmiennych które nie określono wcześniej czyli powyżej lub
na lewo od tego miejsca i sygnalizuje to. A więc po zmianie kolejności
mamy:
32
16
Wstawianie jednostek miar:
wartość liczbowa jest mnożona przez jednostkę miary
33
Nadawanie wartości zmiennym globalnym
zmienna ≡ wyrażenie
Znak ≡ nadaje wartość zmiennej globalnej, która będzie
dostępna w całym dokumencie
• Definicje globalne są wykonywane w pierwszym przebiegu to
znaczy przed wszystkimi definicjami lokalnymi (zawierającymi :=)
• W drugim przebiegu wykonywane są wszystkie definicje zarówno
lokalne jak i globalne.
• Globalne definicje używane bywają na przykład do definiowania
nowych jednostek miar a także w przypadkach gdy dane chcemy
umieścić nie na początku lecz na końcu dokumentu
34
17
Zmienne zakresowe
- to pomocnicze zmienne, które mogą być używane tylko jako:
a) indeksy (gdy mają wartości całkowite, nieujemne) - w definicjach
zmiennych indeksowanych,
np.: i := 1.. 5
Xi := 2⋅i - 1
b) argumenty funkcji - w definicjach funkcji oraz na wykresach.
Zmienne zakresowe przechowują ciągi typu „postęp arytmetyczny”.
35
Ciągi: definiowanie zmiennych zakresowych
Definicja zm. zakresowej wpisywana z klawiatury ma składnię:
Na ekranie zamiast dwukropka [:] pojawi się [:=] a zamiast
średnika [;] pojawią się dwie kropki [..]
Ten sam symbol [..] można wstawić z palety macierzowej gdzie
oznaczony jest jako[m..n] a NIE wolno klawiszem kropki
Jeśli pominiemy drugi element to domyślnie będzie
przyjęty przyrost równy 1
36
18
Indeksy i zmienne indeksowane (ciągi)
Przykład: zdefiniuj ciąg (wektor) C1, C2, ...
zawierający siedem kolejnych liczb nieparzystych:
Mathcad domyślnie numeruje elementy OD ZERA
bo wbudowana zmienna ORIGIN = 0
37
Wektory i Macierze
Nazwy wektorów i macierzy tworzone są według tych samych
reguł co nazwy innych zmiennych (litery angielskie i cyfry,
rozróżnianie są duże i małe litery)
Wartości elementów wektorów i macierzy można:
• 1) wpisywać bezpośrednio do macierzy
• 2) definiować jako zmienne indeksowane
(po ustaleniu ORIGIN :=1)
– a) wzorem zawierającym indeksy
– b) wpisując wartości oddzielane przecinkami
• 3) wczytywać z plików dyskowych
38
19
Definiowanie wektora jako zmiennej
indeksowanej
Mathcad domyślnie numeruje elementy wektorów i macierzy od ZERA
Aby numerował od 1 należy zmienić wartość zmiennej ORIGIN na 1
39
ORIGIN i zmienne wbudowane
Zmienna ORIGIN określa minimalną wartość indeksu: zero lub jeden
Wartości zmiennych wbudowanych (Buit-in) można zmieniać:
40
20
Zmienna zakresowa jako argument funkcji
(Przy sporządzaniu tabel wartości oraz wykresów)
Przykład:
41
Wykresy typu XY
Zanim wstawisz wykres (z palety), przygotuj:
• dla osi x (poziomej): ciąg wartości zmiennej niezależnej
• dla osi y (pionowej): zdefiniuj funkcję lub możesz zamiast tego
wpisać wyrażenie bezpośrednio przy osi wykresu. Poniżej masz
oba sposoby
• Dla kilku wykresów: oddzielaj przecinkiem ich wzory przy osi y
42
21
Tworzenie wykresu X-Y
Tworzenie dowolnego wykresu typu XY - dla danego wyrażenia
lub funkcji - warto wykonywać według następujących kroków:
• Określić zakres np.: Xmin, Xmax - dla zmiennej niezależnej.
• Wyznaczyć przyrost zmiennej niezależnej np.: Dx, tak aby otrzymać zawsze 100
(lub 200) punktów wykresu, niezależnie od danych: Dx := (Xmax-Xmin)/100
• Zdefiniować, na podstawie Xmin, Xmax, Dx, ciąg wartości zmiennej
niezależnej X - jako zmiennej zakresowej: X=Xmin,Xmin+Dx .. Xmax
• Wstawić szablon wykresu (z palety wykresów Graph) i wpisać w środkowe
znaczniki przy osiach odpowiednio”: zmienną niezależną oraz funkcję lub
wyrażenie. Jeśli konieczne jest poszerzenie lub zawężenie przedziałów na osiach
to można (po kliknięciu wykresu) wpisać ich dolne i górne granice.
• Powiększyć wykres myszką
• Sformatować wykres, po podwójnym kliknięciu (Grid Lines, Axes style Crossed, ...)
Gdy ma być kilka wykresów w jednym układzie to przy każdej z osi można wpisać
kilka wyrażeń oddzielanych przecinkami
43
Argumenty funkcji trygonometrycznych
Jeśli nie podasz jednostek to Mathcad domyślnie przyjmie, że
argumenty te są w RADIANACH. Przykład: oblicz sin 30 stopni
44
22
Wykres funkcji sinus
Należy pamiętać o jednostkach kątów
oraz o formatowaniu wykresów
45
23