geometria analityczna w przestrzeni

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Współrzędne prostokątne
Dane są trzy osie OX, OY, OZ wzajemnie prostopadłe,
przecinające się w punkcie O. Obieramy pewien odcinek jako
jednostkowy i oznaczamy przez x, y, z współrzędne punktów na
odpowiednich osiach.
DEFINICJA 1
Prostokątnym układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy
wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie każdemu punktowi P tej
przestrzeni trójki liczb rzeczywistych x, y, z takie, że
- x jest współrzędną punktu przecięcia z osią OX płaszczczyzny
przechodzącej przez punkt P i równoległej do płaszczyzny OYZ
- y jest współrzędną punktu przecięcia z osią OY płaszczczyzny
przechodzącej przez punkt P i równoległej do płaszczyzny OXZ
- z jest współrzędną punktu przecięcia z osią OZ płaszczczyzny
przechodzącej przez punkt P i równoległej do płaszczyzny OXY.
Będziemy pisać P(x,y,z) lub P=(x,y,z).
Punkt O(0,0,0) nazywamy początkiem układu (współrzędnych).
DEFINICJA
→ 2
Wektor OP = [ x, y, z ] nazywamy wektorem wodzącym punktu P.
WNIOSEK
→
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość wektora OP = [ x, y, z ]
→
jest równa
2
2
2
OP = x + y + z
DEFINICJA 3
Osie OX, OY, OZ nazywamy osiami układu (współrzędnych).
Płaszczyzny OXY, OXZ, OYZ nazywamy płaszczyznami
układu (współrzędnych).
DEFINICJA 4
Odległość punktów A = ( x1, y1, z1 ), B = ( x2 , y2 , z2 )
jest równa
→
AB = AB =
gdzie
→
→
→
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) = OB − OA
2
→
→
2
2
AB = OB − OA = [( x2 − x1 ), ( y2 − y1 ), ( z2 − z1 )]
Uwaga
Wektory w przestrzeni można utożsamiać z macierzami
wymiaru 1x3.
Dodawanie i mnożenie wektorów przez liczbę definiujemy jak
dodawanie i mnożenie macierzy przez liczbę.
Przyjmijmy oznaczenia:
r
r
r
i = [1,0,0], j = [0,1,0], k = [0,0,1]
WNIOSEK 2
Jeżeli A = ( x1 , y1 , z1 ), B = ( x2 , y2 , z2 ), to
→
AB = [( x2 − x1 ), ( y2 − y1 ), ( z2 − z1 )] =
r
r
r
= ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z2 − z1 )k
DEFINICJA 5
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów nazywamy liczbę równą
iloczynowi długości tych wektorów przez cosinus kąta między nimi
r r r r
r r
tzn.
a ⋅ b = a ⋅ b cos∠(a , b )
WNIOSEK 3
Jeżeli
r r
r r
r r r r
a ≠ 0, b ≠ 0, to a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0
WNIOSEK 4
r
r
a ⋅b
r r
cos ∠(a , b ) = r r
a ⋅b
r
r
a na oś wektora b
rr r
r r
ab = a ⋅ cos∠(a , b )
Wniosek 5
Długość rzutu wektora
ma miarę równą
WNIOSEK 6 (własności iloczynu skalarnego)
1.
2.
3.
4.
r r r r
a ⋅b = b ⋅a
r r
r r
λ (a ⋅ b ) = (λa ) ⋅ b
r r r r r r r
(a + b )⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
r r r2
a⋅a = a
WNIOSEK 7
Jeżeli
r
r
a = [a x , a y , a z ], b = [bx , by , bz ]
to
r r
a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz = [a x , a y , a z ] ⋅ [bx , b y , bz ]T
Dowód: (…)
DEFINICJA 6
r
r
Iloczynem wektorowym wektora a przez wektor b
r r r
nazywamy wektor w = axb, spełniający warunki:
1.
r r r
r r
w = a ⋅ b sin ∠(a , b )
r r r r
w⊥a ∧w⊥b
r
r r r
3. Zwrot wektora w jest taki, aby wektory a , b , w
2.
tworzyły układ zorientowany zgodnie z układem
współrzędnych
WNIOSEK 8
rr
r r r
Jeżeli a b , to a xb = 0
WNIOSEK 9 (własności iloczynu wektorowego)
r r
r r
axb = −b xa
r
r
r
2. λ (arxb ) = (λar )xb = arx (λb )
3. r r r r r r r
r r r r r r r
(a + b )x c = axc + b xc oraz ax(b + c ) = axb + axc
r
4. r r
(axa ) = 0
1.
WNIOSEK 10
r
r
Jeżeli a = [a x , a y , a z ], b = [bx , by , bz ], to
r
i
r
r
axb = ax
bx
Dowód : (…)
r
j
ay
by
r
k
az
bz
WNIOSEK 11 (interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego)
Pole S powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach
r
a
i
tzn.
r
b
jest równe długości iloczynu wektorowego tych wektorów
r r
s = axb
DEFINICJA 7
Iloczynem mieszanym wektorów
r r r
a, b , c
r r r
a ⋅ (b xc )
nazywamy iloczyn
WNIOSEK 12
r
r
r
Jeżeli a = [ a x , a y , a z ], b = [bx , by , bz ], c = [c x , c y , c z ], to
ax
r r r
a ⋅ (b xc ) = bx
cx
ay
az
by
bz
cy
cz
WNIOSEK 13 (Własności iloczynu mieszanego)
1.
2.
3.
r r r
r r r
a ⋅ (b xc ) = (axb )⋅ c
r r r
r r r
a ⋅ (b xc ) = −a ⋅ (c xb )
r r r
r r r
a ⋅ (b xc ) = (b xc )⋅ a
WNIOSEK 14
Trzy wektory są współpłaszczyznowe (komplanarne) wtedy i
tylko wtedy, gdy
r r r
a ⋅ b xc = 0
( )
WNIOSEK 15 (interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego)
Objętość
równoległościanu wyznaczonego przez wektory
r
r
r
a , b , c jest równa
r r r
V = a ⋅ (b xc )
Przykład
Obliczyć objętość ostrosłupa o wierzchołkach
A(1,1,1), B(3,1,1), C(2,3,1), D(2,2,5)
Rozwiązanie:
2 0 0
1 → → →
1
16 8
V = AB⋅ ( AC X AD) = 1 2 0 = =
6
6
6 3
1 1 4
RÓWNANIA PŁASZCZYZNY W PRZESTRZENI
I. Równanie ogólne
Płaszczyzna
π
P0 = [ x0 , y0 , z0 ]
zawierająca punkt
i prostopadła do wektora
r
n = [ A, B, C ]
π : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
gdzie P(x,y,z) jest dowolnym punktem płaszczyzny
(
Przyjmując D = − Ax0 + By0 + Cz0
otrzymujemy
)
π : Ax + By + Cz + D = 0
π
Wnioski
1. Równania płaszczyzn prostopadłych do osi OX, OY lub OZ
układu odpowiednio:
Ax + D = 0, By + D = 0, Cz + D = 0
2. Równania płaszczyzn równoległych do osi OX, OY lub OZ
układu odpowiednio:
By + Cz + D = 0,
Ax + Cz + D = 0,
Ax + By + D = 0
3. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (0,0,0):
Ax + By + Cz = 0
RÓWNANIA PŁASZCZYZNY W PRZESTRZENI
II. Równanie odcinkowe płaszczyzny
Jeżeli A, B, C , D ≠ 0, to przekształcając równanie ogólne
Ax + By + Cz + D = 0
x
−D
A
oznaczając
y
z
B
C
+ −D + −D = 1
D
D
D
− = a , − = b, − = c
A
B
C
otrzymujemy równanie odcinkowe
x y z
π : + + =1
a b c
Punkty (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) są punktami przecięcia
płaszczyzny
z osiami układu.
π
RÓWNANIA LINII PROSTEJ W PRZESTRZENI
I. Prosta l przechodząca przez punkt P0 = [ x0 , y0 , z0 ]
r
i równoległa do niezerowego wektora k = [k x , k y , k z ]
1) Postać kierunkowa (proporcji) l :
x − x 0 y − y0 z − z0
=
=
kx
ky
kz
Wniosek
Równanie prostej l przechodzącej przez punkty
P0 = [ x0 , y0 , z0 ] i P1 = [ x1, y1, z1 ] :
x − x0
y − y0 z − z 0
l:
=
=
2) Postać parametryczna
x1 − x 0
y1 − y 0
z1 − z 0
 x = x0 + k xt

l :  y = y0 + k y t
z = z +k t

0
z
Otrzymujemy ją przyjmując
x − x 0 y − y0 z − z0
=
=
=t
kx
ky
kz
RÓWNANIA LINII PROSTEJ W PRZESTRZENI
II. Postać krawędziowa
 A x + B1 y + C1z + D1 = 0
1

 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
przy czym
r
[ A1, B1 , C1 ] x [ A2 , B2 , C2 ] ≠ 0
Przykład
Przedstawić w postaci kierunkowej i parametrycznej prostą
2x + 3 y + z + 1 = 0
l: 
3 x − 2 y + z − 3 = 0
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU P1 ( x1, y1 , z1 ) OD PŁASZCZYZNY
π : Ax + By + Cz + D = 0
Metoda I
Wybieramy punkt P0 ( x0 , y0 , z0 ) należący do płaszczyzny π
Wektor normalny płaszczyzny zaczepiamy w punkcie P0
Odległość punktu P1 ( x1, y1, z1 ) od płaszczyzny π jest równa
→
r
długości rzutu wektora P0 P1 na wektor n czyli
r →
n ⋅ P0 P1
d=
r
n
Metoda II
Konstruujemy prostą l przechodzącą przez punkt P1 i prostopadłą
do płaszczyzny π :
 x = x1 + At

l :  y = y1 + Bt
 z = z + Ct

1
Szukamy punktu W wspólnego prostej l i płaszczyzny π
Odległość punktu P1 ( x1, y1, z1 ) od płaszczyzny π
→
jest równa długości wektora P1W
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU P1 ( x1, y1 , z1 ) OD PROSTEJ
 x = x0 + k xt

l :  y = y0 + k y t
z = z +k t

0
z
Metoda I
„Rysujemy” prostą, zaznaczamy na niej punkt P0 ( x0 , y0 , z0 ) i
r
zaczepiamy w nim wektor k = [k x , k y , k z ]
→
Sinus kąta pomiędzy prostą i wektorem P0 P1 możemy wyliczyć
następującego wzoru:
r →
sin α =
Stąd:
d
→
P0 P1
r →
k x P0 P1
r
d=
k
k x P0 P1
=
→
r
k ⋅ P0 P1
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU P1 ( x1, y1 , z1 ) OD PROSTEJ
 x = x0 + k xt

l :  y = y0 + k y t
z = z +k t

0
z
Metoda II
Konstruujemy płaszczyznę prostopadłą do prostej l, przechodzącą
przez punkt
P (x , y , z )
1
1
1 1
π : k x ( x − x1 ) + k y ( y − y1 ) + k z ( z − z1 ) = 0
Szukamy punktu W wspólnego prostej l i płaszczyzny π
Odległość punktu P1 ( x1, y1, z1 ) od prostej l jest równa długości
→
wektora P1W
WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH PŁASZCZYZN
π1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 i π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
r
r
r r
1. π 1 ⊥ π 2 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2
r r
r r r
2. π1 π 2 ⇔ n1 n2 ⇔ n1 x n2 = 0
α między płaszczyznami jest równy kątowi między
r r
wektorami n1 i n2 lub jego dopełnieniu do 180o, jeżeli ten
r r
kąt jest rozwarty
n1 ⋅ n2
cos α = r r
n1 ⋅ n2
3. Kąt
WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH PROSTYCH
 x = x1 + a1t

l1 :  y = y1 + b1t
z = z +c t

1
1
1. Proste l1 i l2
i
 x = x2 + a2 p

l2 :  y = y2 + b2 p
z = z +c p

2
2
mają punkty wspólne (d=0)
α między przecinającymi sięrprostymi
r jest równy kątowi
między wektorami kierunkowymi k1 i k2 tych prostych, lub
(*) Kąt
jego dopełnieniu do 180o, jeżeli ten kąt jest rozwarty
r r
k1 ⋅ k2
cos α = r r
k1 ⋅ k2
2. Proste l1 i l2 nie mają punktów wspólnych
a) l1 l2 - odległość jest równa odległości od prostej l1
dowolnego punktu należącego do prostej l2
b) l1
l2 - proste nazywamy skośnymi
Odległość między prostymi skośnymi
Metoda I
Konstruujemy płaszczyznęπ równoległą do prostej l2 ,
zawierającą prostą l1.
Szukana odległość między prostymi jest równa odległości
dowolnego punktu prostej l2 od płaszczyzny π .
Metoda II (praca własna studenta)
Kąt
między prostą i płaszczyzną to kąt między prostą i jej
rzutem na płaszczyznę.