Zestaw 6 Zad.1 Suma cyfr pewnejlosowo wybranej liczby

Zestaw 6 Zad.1 Suma cyfr pewnejlosowo wybranej liczby

Zestaw 6
Zad.1 Suma cyfr pewnejlosowo wybranej liczby pięciocyfrowej jest równa 12. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że suma jej pierwszych dwóch cyfr wynosi 5?
Zad.2 Pewien egzamin składa się z czterech kolejnych testów. Prawdopodobieństwo, że
pan Brown zda pierwszy test wynosi p (0 < p < 1), zaś że zda kolejny test wynosi p lub p2
w zależności od tego, czy zdał poprzedni, czy też nie. Pan Brown zda egzamin, jeśli zda co
najmniej trzy testy; zda na ocenę A, jeżeli zda co najmniej trzy testy pod rząd. Wiemy już, że
pan Brown zdał egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymał ocenę A?
Zad.3 Dwie podgórskie miejscowości Pokopane i Zaprad ubiegają się o organizację jesiennych Igrzysk Olimpijskich. Decyzję o przyznaniu igrzysk jednemu z dwóch miejscowości ma
podjąć większością głosów całkowicie skorumpowany trzyosobowy komitet wykonawczy. Obie
miejscowości przeznaczają na przekupienie członków komitetu 6 mln euro. Pokopane ma zamiar
wręczyć każdemu z członków komitetu po 2 mln euro. Zaprad wysyła do członków komitetu
sześciu emisariuszy powierzając każdemu z nich po 1 mln euro. Każdy z emisariuszy, którzy
działają w sposób niezalezny od siebie, wręcza całą sumę jaką dysponuje losowo wybranemu
członkowi komitetu. Każdy z członków komitetu głosuje na to miasto, od ktorego dostanie
więcej pieniędzy, gdy zas otrzyma od obu miejscowości tyle samo, wstrzymuje się od głosu.
Gdyby pierwsze głosowanie nie przynioslo rozstrzygnięcia, to miesiąc później odbędzie się drugie
głosowanie i oba kurorty wyasygnują ponownie sumę 6 mln euro na przekupienie członków
komitetu. Tym razem jednak Pokopane przejmie taktyke Zapradu i wyśle emisariuszy, natomiast
Zaprad rozdzieli pieniądze po równo. Gdy i tym razem głosowanie nie przyniesie rozstrzygnięcia,
to igrzyska zostana odwołane. Które z miast ma większą szansę na przeprowadzenie igrzysk?
Zad.4 Komandos ląduje na wyspie na bagnach. Wiadomo ponad wszelką wątpliwość, ze
dokładnie jedna z dwóch dróg prowadzących z wyspy jest zaminowana. Wywiad doniósl, że
to lewa droga jest zaminowana. Wywiad jednakże myli się średnio 2 na 3 razy. W przypadku
przechodzenia zaminowaną drogą prawdopodobieństwo, że uda się jednak przejść bez szwanku
wynosi 12 . Po wylądowaniu komandos zastaje na wyspie pasącą się tam kozę. Postanawia
wykorzystać jej obecność, aby zoptymalizować szanse swego przeżycia. Rozważa on cztery możliwości:
a) posłać kozę w lewo, jak wybuchnie, to sam rusza w prawo, jeśli nie, to sam za nią,
b) posłać kozę w prawo, jak wybuchnie, to sam rusza w lewo, jeśli nie, to sam za nią,
c) posłać kozę w prawo, jak wybuchnie, to sam rusza w lewo, jeśli nie, to sam też w lewo,
d) posłać kozę w lewo, jak wybuchnie, to sam rusza w prawo, jeśli nie, to sam też w prawo.
Która ze strategii jest najlepsza?
Zad.5 Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono 20 helikopterów. Każdy z nich
można skierować do jednego z dwóch rejonów, w których może, z prawdopodobieństwem odpowiednio 13 i 16 , znajdować się poszukiwany rozbitek. każdy helikopter wykrywa znajdującego się w
√
rejonie poszukiwania rozbitka z prawdopodobieństwem q = 1− 10 0, 5 i dokonuje tego niezależnie
od pozostałych helikopterów. Rozstrzygnij, jak nalezy rozdzielić helikoptery pomiędzy rejony
poszkukiwań, zeby prawdopodobieństwo znalezienia rozbitka było jak największe.
Zad.6 W urnie są cztery kule. Każda z nich, z równym prawdopodobieństwem może mić
kolor czerwony lub zielony. Losując n razy (ze zwracaniem) wylosza kazdym razem czerwoną/
Niech pk (n) znacza prawdopodobieństwo (a posteriori), że w urnie jest k kul czerwonych (k =
0, 1, 2, 3). Znajdź granice ciągu pk (n) przy n → ∞. (Laplace, 1783).
Zad.7 Jedna urna zawiera dwie kule czarne i trzy czerwone, druga zaś trzy czarne i dwie
czerwone. Rzut symetryczną monetą decyduje o rozpoczęciu losowania ze zwracaniem kul z
jednej z urn, ale nie wiemy, która z nich jest która. Oznaczmy przez pn prawodpodobieństwo
wylosowania kuli czarnej pod warunkiem, że n uprzednio wylosowanych kul było czarnych.
Oblicz limn→∞ pn .
Zad.8 Dzień przed meczem ostatyniej decydującej kolejki I ligi piłkarskiej Lazienki Warszawa - Dłubnia Kraków odbył się bankiet w hotelu Sheraton z okazji 10lecia prezesury Michała
L. Ponieważ atmosfera w przeciwieństwie do serwowanych napojów byla gorąco, można było
dowiedzieć się tego i owego. Tak więc wieloletni trener Dłubni, Werner L., tuż nad ranem
podłuchał, jak trener Lazienek chwalił się, że przekupił jednego z dwóch czołowych napastników
Dłubni. I chociaż podał jego nazwisko, Werner L., gdy sie przebudził, z przerażeniem wiekszym
niż jego ból głowy stwierdził, że nie pamięta, którego z jego napastników przekupiono. Mógł więc
w równym stopniu podejrzewać zarówno Macieja Brusznicę, jak i Franciszka Tomaszewskiego.
Dłubnia, aby zdobyć mistrzowsto Polski, musiała wygrać.
Pięć minut przed końcem meczu, przy stanie 0 : 0 sędzia podyktował rzut karny dla Dłubni.
Wyznaczony do jego wykonania Brusznica nie zdobył bramki. Chwilę póxniej sedzia podyktował
drugi rzut karny dla Dłubni. Kogo powienien był wyznaczyc jako egzekutora drugiego rzutu
karnego Werner L., Macieja Brusznicę, czy Franciszka Tomaszewskiego, jeżeli wiadomo, że
skuteczność egzekwowania rzutów karnych (w normalnych warunkach) wynosi odpowiednio 0, 8
dla Brusznicy i 0, 4 dla Tomaszewskiego, zaś prawdopodobieństwo, że przekupiony pilkarz chybi
jest równe 0, 8 ?
2