moment zastępczy silników trakcyjnych

Józef ZAMOJSKI
MOMENT ZASTĘPCZY
SILNIKÓW TRAKCYJNYCH
STRESZCZENIE
W artykule autor przedstawił tezę, że moment wewnętrzny maszyn elektrycznych jest równoważny energii
przeniesionej przez maszynę przy obrocie o kąt jednego radiana.
Autor nazwał moment na określonym odcinku „momentem zastępczym”.
W artykule są przedstawione rezultaty obliczeń momentu zastępczego
i mocy, które potwierdzają tezę, silników 26-ciu pojazdów trakcyjnych:
tramwajów, trolejbusów, metra, elektrycznych zespołów trakcyjnych
i lokomotyw.
Słowa kluczowe: pojazdy trakcyjne, silniki trakcyjne, energia, moc,
moment, moment zastępczy
1. WSTĘP
Znane jest stwierdzenie Archimedesa (ok. 287  212 p.n.e.), wynalazcy
dźwigni, najwybitniejszego fizyka i matematyka starożytności: "Dajcie mi punkt
podparcia, a sam jeden poruszę z posad Ziemię". Archimedes wskazał,
że określoną masę można przesunąć na określoną odległość, stosując różne
długości ramienia dźwigni i przykładając do nich takie wartości siły, że iloczyny
wartości działającej siły i długości ramienia są wartością stałą. Tę wartość nazywamy momentem siły.
Oznacza to jednocześnie, że praca wykonana dla różnych długości
dźwigni jest wartością stałą równą iloczynowi siły i drogi jaką zakreśla
punkt przyłożenia siły.
dr inż. Józef ZAMOJSKI
e-mail: [email protected]
Zakład Trakcji Elektrycznej,
Instytut Elektrotechniki
PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 260, 2012
94
J. Zamojski
2. MOMENT SIŁY A PRACA
Nawiązując do treści wstępu (pkt. 1) można stwierdzić, że praca wykonana przy pomocy dźwigni równa się iloczynowi siły przyłożonej do dźwigni
i długości drogi jaką wykonuje punkt przyłożenia siły na dźwigni. Powyższe
można wyrazić zależnością podaną niżej przy obrocie ramienia o kąt pełny
równy 2 radianów:
W2 = F 2  r
(2.1)
Ponieważ jeden obrót ramienia o długości r odpowiada kątowi 2 radianów, praca wykonana przez siłę F przy obrocie o jeden radian wynosi:
(2.2)
W1rad = F r
Uzyskana zależność (2.2) wyraża zgodnie z definicją wartość momentu
T siły F przyłożonej do ramienia o długości r. Oznacza to, że wartość liczbowa
momentu siły równa się wartości pracy wykonanej przez siłę na drodze odpowiadającej kątowi jednego radiana.
O tym, że równość momentu z wykonaną pracą lub z energią przeniesioną przy obrocie o kąt jednego radiana dotyczy także maszyn elektrycznych, można dowieść w sposób następujący.
Wyrażenie na moment wewnętrzny maszyny elektrycznej ma postać:
Tw = Cm  I
(2.3)
gdzie:
I [A]
– prąd uzwojenia wirnika,
 [Wb] – strumień jednego bieguna,
Cm =
pN
– stała momentu.
2a
Natomiast pracę jaką wykonuje jeden pręt maszyny obracając się o jeden
obrót przy stałej wartości indukcji B można wyrazić zależnością:
W1pr = F 2  r = B I l 2  r
[Nm]
(2.4)
95
Moment zastępczy silników trakcyjnych
gdzie:
F [N]
– siła,
R [m]
– promień wirnika,
B [Wb] – indukcja pod biegunem,
l [m]
– długość pręta uzwojenia.
Ponieważ w maszynie elektrycznej na obwodzie występuje 2p biegunów
o podziałce  =  2 r / 2p, strumień jednego bieguna  = B l , natomiast praca
jednego pręta przy jednym obrocie maszyny wynosi:
W1pr =  I 2p
(2.5)
[Nm]
W przypadku uzwojenia o liczbie prętów N ułożonych równomiernie na
obwodzie twornika i liczbie gałęzi 2a praca wykonana przez uzwojenie podczas
jednego obrotu wynosi:
W 
pN
2 pN
I 
I
a
2a
[Nm]
(2.6)
Przechodząc z pełnego obrotu o kącie 2 radianów na jeden radian, uzyskamy wyrażenie na pracę W1r wykonaną przy obrocie o jeden radian równe
momentowi elektromagnetycznemu (wewnętrznemu) – Tw:
W1r 
W
pN

 I = Cm  I = Tw
2 2a
(2.7)
Przedstawione wyżej rozważania, a szczególnie definicja o równości
wartości momentu obrotowego i energii przeniesionej przy obrocie o kąt jednego radiana została wykorzystana przez autora do powiązania równania ruchu obrotowego wyrażonego zależnością momentu napędowego silnika:
Tn = Td + Topr
gdzie:
Td
Topr
– moment dynamiczny,
– moment oporowy,
(2.8)
96
J. Zamojski
z równaniem energetycznym ruchu liniowego pojazdu określonym sumą energii
kinetycznej i energii oporów ruchu:
(2.9)
En = Ed + Eopr
gdzie:
Ed – energia kinetyczna,
Eopr – energia oporów ruchu.
3. MOMENT ZASTĘPCZY SILNIKÓW TRAKCYJNYCH
W przypadku ruchu liniowego obiektu np. pojazdu o znanej masie m i znanych parametrach takich jak: prędkość maksymalna Vmax, droga S, siły mechanicznych oporów ruchu W, istnieje możliwość określenia sumy wykonanej
pracy i energii kinetycznej pojazdu:
  E  A 
S
mVmax 2
  W dS
2
0
(3.1)
Przy znanej wartości średnicy kół pojazdu Dkol i wartości przełożenia kół
zębatych i, istnieje jednoznaczna zależność między drogą S przebytą przez pojazd,
a liczbą (lobr) wykonanych obrotów w tym czasie przez silnik czy silniki.
 liczba wykonanych obrotów przez koła pojazdów na trasie o długości S
wynosi:
l obrkol 
S
Dkol
 liczba pełnych obrotów silnika (silników) trakcyjnego podczas przejazdu
pojazdu na drodze S wynosi:
l obrsil  l obrkol i 
Si
Dkol
 liczba kątów o wartości jeden radian przy pełnej liczbie obrotów silników podczas przejazdu pojazdu na trasie o długości S wynosi:
l rad  l obrsil 2 
Si 2
Si 2

Dkol Dkol
97
Moment zastępczy silników trakcyjnych
Korzystając z przedstawionej wyżej tezy, że moment maszyny elektrycznej równa się energii przeniesionej przy obrocie o kąt jednego radiana, autor proponuje utworzenie pojęcia momentu zastępczego silnika trakcyjnego Tz obliczonego z poniższej zależności:
Tz 
gdzie:
E  W   A  W Dkol

l rad i l sil
2Si i l sil
[Ws] lub [Nm]
(3.2)
i – sprawność przekładni pojazdu,
lsil – liczba silników w pojeździe.
W ramach klasycznych obliczeń trakcyjnych ustalany jest prąd zastępczy Iz
jednostek napędowych, który określa skutki cieplne pracy silników trakcyjnych
i jest przyjmowany jako wartość odpowiadająca znamionowemu prądowi ciągłemu
Ic = Iz, co daje możliwość obliczenia wymaganej mocy ciągłej silników:
Pc = U  Iz 
gdzie:
(3.3)
 – sprawność silnika.
Prąd i moc ciągła są ważnymi parametrami silnika jednak nie wystarczają do zaprojektowania jego obwodu elektromagnetycznego. Natomiast dodatkowe obliczenie momentu zastępczego silnika (Tz), który odpowiada momentowi znamionowemu zapewnia określenie prędkości znamionowej (wzór 3.4), wymiarów obwodu elektromagnetycznego, masy silnika i charakterystyk mechanicznych.
nn  974
Pc
Tz
[obr/min]
(3.4)
Dysponowanie więc wartościami mocy, prądu, momentu i prędkości obrotowej pozwala zaprojektować silnik o właściwych parametrach elektromagnetycznych,
cieplnych, wymiarach gabarytowych i masie. W przypadku aktualnie stosowanych
w pojazdach trakcyjnych silnikach asynchronicznych prędkość znamionowa
wskazuje także na liczbę biegunów silnika i znamionową częstotliwość falowników.
Jeśli rozważyć przypadek jazdy charakterystycznej dla pojazdów w ruchu
miejskim, podczas której pojazd osiąga prędkość maksymalną, a następnie od-
98
J. Zamojski
bywa się wybieg i hamowanie, wzór na moment zastępczy można przekształcić
do postaci:
4kmVmax Dkol 10 3
Si i l s
2
Tz 
(3.5)
[dNm]
gdzie:
k
m
Vma
– współczynnik mas wirujących
[mg] – masa pojazdu
[km/h] – prędkość maksymalna
x
Dkol
S
i
i
ls
[m] – średnica koła pojazdu
[m] – droga
– wartość przełożenia przekładni
– sprawność przekładni
[szt.] – liczba silników
Tramwaj 105 N
1.15
26
60
0.64
500
7.17
0.93
4
Przykład obliczenia momentu zastępczego silnika LTa-220:
Tz 
4  1.15  26  60 2  0.64  10 3
 20.66
0.5  7.17  0.93  4
[dNm]
Biorąc pod uwagę zależność między mocą a momentem oraz prędkością
obrotową i prędkością pojazdu (V):
P
Tn
956
(3.6)
n
60Vi
3.6Dkol
(3.7)
uzyskamy także moc silnika napędowego z poniższego wzoru:
4  60 kmVmax Vn 10 3 0.022kmVmax Vn 10 3

S i l s
S i l s
3.6 956
2
P
2
[kW]
(3.8)
gdzie:
Vn [km/h] – prędkość pojazdu odpowiadająca prędkości znamionowej
silnika [obr/min].
99
Moment zastępczy silników trakcyjnych
Przykład obliczenia mocy silnika LTa-220:
P
0.022 1.15  26  602  31103
 39.9
0.5  0.93  4
[kW]
Stosowany w tramwaju 105 N silnik LTa-220 ma parametry znamionowe
podane poniżej w pierwszej kolumnie, natomiast w kolumnie drugiej zestawiono
wartości obliczone ze wzorów: 3.5 i 3.8, a w trzeciej – różnice wartości znamionowych i obliczonych
moc 40
moment 21
kW
dNm
obliczona
obliczony
39.90 kW
20.66 dNm
różnica
różnica
-0.25
-1.6
%
%
Uzyskane z obliczeń wartości momentu i mocy w przypadku silnika prądu
stałego typu Lta-220 są praktycznie równe parametrom znamionowym.
W celu sprawdzenia zgodności wartości obliczanych wg wzorów: 3.2, 3.5
i 3.8 z wartościami znamionowymi silników o większych wartościach momentu
i mocy, w tym także silników asynchronicznych, wykonano obliczenia i analizę
dla układów napędowych: nowoczesnych wozów tramwajowych, trolejbusów, taboru
metra oraz pojazdów kolejowych (EZT i lokomotyw).
Dane przyjęte do obliczeń i ich rezultaty przedstawiono w dziewiętnastu
kolumnach tabeli 3.1 i 3.2.
Wśród kolumn zawierających wyniki obliczeń występują kolumny oznaczone: T [%], P [%] i n [%], które wykazują różnice między wartościami znamionowymi silników a wartościami obliczonymi wg ww. wzorów.
4. WNIOSKI
1. Wykazano równość pracy wykonanej przy obrocie o kąt jednego radiana
przez uzwojenie wirnika maszyny elektrycznej z wyrażaniem na moment
elektromagnetyczny (wewnętrzny) maszyn elektrycznych.
2. Zaproponowane w pracy pojęcie momentu zastępczego silnika trakcyjnego
jako wynik ilorazu sumy energii kinetycznej i wykonanej pracy przez pojazd
na drodze S i liczby obrotów silników napędowych podczas przejazdu pojazdu
na drodze S potwierdzono porównaniem wartości momentów zastępczych
100
J. Zamojski
z momentami znamionowymi silników trakcyjnych stosowanych w dwudziestu
sześciu pojazdach.
Podane w tabelach różnice momentów zastępczych i znamionowych zawierają się w granicach: -6.8  7%.
3. Dysponowanie momentem zastępczym i prądem zastępczym silnika trakcyjnego umożliwia jego zaprojektowanie.
4. Wykorzystując równoważność momentu z energią przeniesioną przy obrocie
o kąt jednego radiana, możliwe jest wyznaczenie sprawności energetycznej
jak też sprawności mocy układów napędowych.
5. Zaproponowane pojęcie wartości momentu jako równe energii przeniesionej
przy obrocie maszyn o kąt jednego radiana, ułatwia zrozumienie własności
fizycznej, iż maszyny o tym samym momencie różniące się prędkościami
obrotowymi, różnią się mocami, gdyż ta sama wartość energii przeniesiona jest
w różnej wartości czasu.
TABELA 3.1
Tramwaje, trolejbusy, metro
Typ pojazdu
Silnik
Dk
i
i
m
Siln.
m
-
-
Mg
szt.
1
2
3
4
5
6
7
105 N
LTd-220
0.64
7.17
0.93
26.0
4
116 N
LTb-240
0.64
7.06
0.93
45.3
4
Citadis 100
4LMA1240
0.57
6.50
0.97
53.2
4
116 Nd
0.57
7.06
0.97
39.8
4
114 Na
0.57
7.06
0.97
53.9
8
0.97
48.2
4
NGT8D
4LGA
0.57
7.06
Citadis 302
4LMA-1245 N
0.61
6.50
0.97
59.7
4
Adtraz Pafawag
ELIN EBGM
0.53
7.33
0.97
50.4
4
Tramwaj 118 N
STDa 250 4A
0.59
6.5
0.96
51.5
4
Pesa
DKCBZo211-04 Fa
0.53
6.643
0.97
45 (518)
4
Trolejbusy klasyczne
1.02
10.25
0.95
14.2
1
Trolejbus M 121 MT
0.93
8.2
0.95
17.5
1
Metro
Seria 81
DK-117 WM
0.78
5.33
0.97
209.88
16
Metropolis
4 EXA 21
0.79
6.942
0.98
281
16
101
Moment zastępczy silników trakcyjnych
c. d. Tabeli 3.1
Typ pojazdu
Silnik
1
2
105 N
LTd-220
Vmax
S
Tz
Tn
km/h
km
dNm
dNm
8
9
10
11
60
0.50
20.66
21.0
116 N
LTb-240
60
0.60
30.5
31.5
Citadis 100
4LMA1240
60
0.50
43.3
45.1
116 Nd
70
0.60
32.4
32.2
114 Na
70
0.65
20.3
19.0
NGT8D
4LGA
70
0.60
39.3
39.4
Citadis 302
4LMA-1245 N
70
0.70
45.6
45.6
Adtraz Pafawag
ELIN EBGM
70
0.50
42.3
41.7
Tramwaj 118 N
STDa 250 4A
80
0.60
45.7
47.2
Pesa
DKCBZo211-04 Fa
70
0.60
53.9
56.4
Trolejbusy klasyczne
70
0.50
67.0
67.0
Trolejbus M 121 MT
70
0.60
81.8
80.5
Metro
Seria 81
DK-117 WM
65
0.70
73.6
73
Metropolis
4 EXA 21
80
0.70
87
90
Typ pojazdu
Silnik
T
Vn
Pz
Pn
%
km/h
kW
kW
1
2
12
13
14
15
105 N
LTd-220
-1.6
31
39.9
40
116 N
LTb-240
-3.0
Citadis 100
4LMA1240
c. d. Tabeli 3.1
31.6
50.8
50.3
4.0
35
95.1
100
116 Nd
-0.6
35
80.7
80
114 Na
-6.8
35
41.5
40
NGT8D
4LGA
0.2
35
93.7
95
Citadis 302
4LMA-1245 N
0.0
45
106.7
105
Adtraz Pafawag
ELIN EBGM
1.4
35
98.0
100
Tramwaj 118 N
STDa 250 4A
-3.0
34
92
95
Pesa
DKCBZo211-04 Fa
-4.4
26.7
100.2
105
Trolejbusy klasyczne
0.0
27.9
111
105
Trolejbus M 121 MT
1.6
36.2
143.8
140
Metro
Seria 81
DK-117 WM
0.1
54
110
114
Metropolis
4 EXA 21
-2.2
42
175
180
102
J. Zamojski
c. d. Tabeli 3.1
Typ pojazdu
Silnik
P
nn
nz
%
obr/min
obr/min
%
1
2
16
17
18
19
105 N
LTd-220
-0.25
1855
1881
1.4
n
116 N
LTb-240
1.60
1592
1556
2.3
Citadis 100
4LMA1240
4.90
2118
2208
4.0
116 Nd
-0.80
2378
2300
3.3
114 Na
3.75
1955
2300
15.0
NGT8D
4LGA
1.30
2279
2300
0.9
Citadis 302
4LMA-1245 N
1.60
2236
2201
-1.5
Adtraz Pafawag
ELIN EBGM
-2.00
2194
2260
-2.9
Tramwaj 118 N
STDa 250 4A
-3.1
1924
1826
8.9
Pesa
DKCBZo211-04 Fa
-4.5
1778
Trolejbusy klasyczne
5.7
1500
1584
5.6
Trolejbus M 121 MT
2.7
1693
1680
0.8
Metro
Seria 81
DK-117 WM
-3.5
1500
1429
-4.7
Metropolis
4 EXA 21
-2.7
1834
1922
4.8
TABELA 3.2
Elektryczne Zespoły Trakcyjne, lokomotywy
i
m
Siln.
-
-
Mg
szt.
4
5
6
7
4.83
0.98
150
2
3.68
0.95
176
4
Typ pojazdu
Silnik
m
1
2
3
Stadler Flivt
TMF 59-28-4
0.83
EN-57
LKf-450
0.94
EN-58
LKa-435
0.96
3.83
0.95
193
8
EN-60
LKa-435
0.96
4.437
0.95
173
4
Dk
i
E. Z. T.
EW-72
LKa-470
0.94
3.68
0.95
200
8
10 WE
indukcyjny
0.815
6.93
0.97
171
8
10 WE
SXT 315-L4C
0.92
5.176
190
8
EE-541
1.215
4.39
632
4
Lokomotywy
EU 07
0.97
EU 09
LKa-740
1.215
1.92
0.97
632
4
EU 10
indukcyjny
1.215
2.36
0.97
1332
4
ET 22
EE-541
1.215
4.39
0.97
3200
6
E6ACT
STX 500-4A
1.215
4.81
0.97
3120
6
103
Moment zastępczy silników trakcyjnych
c. d. tabeli 3.2
Typ pojazdu
Silnik
1
2
Stadler Flivt
TMF 59-28-4
160
2.2
352
360
EN-57
LKf-450
105
1.51
136
131
EN-58
LKa-435
110
2.1
169
165
EN-60
LKa-435
75
1.5
170
170
Vmax
S
Tz
Tn
km/h
km
dNm
dNm
8
9
10
11
E. Z. T.
EW-72
LKa-470
120
2.2
185
188
10 WE
indukcyjny
100
1
75
70
10 WE
SXT 315-L4C
130
2.2
153
150
6
493
502
Lokomotywy
EU 07
EE-541
125
EU 09
LKa-740
150
10
974
968
EU 10
indukcyjny
140
11
1380
1390
ET 22
EE-541
90
10
518
502
E6ACT
STX 500-4A
100
10
623
611.6
c. d. Tabeli 3.2
Typ pojazdu
Silnik
T
Vn
Pz
Pn
%
km/h
kW
kW
1
2
12
13
14
15
Stadler Flivt
TMF 59-28-4
0.6
50.5
547
548.9
EN-57
LKf-450
3.8
50
144.8
145
EN-58
LKa-435
2.4
55.7
199
205
EN-60
LKa-435
0
48
205
205
E. Z. T.
EW-72
LKa-470
1.5
78
191
195
10 WE
indukcyjny
7.1
55.5
188
185
10 WE
SXT 315-L4C
2
57.7
276
280
EE-541
-1.8
50.4
469
500
EU 09
LKa-740
0.6
85.8
766
730
EU 10
indukcyjny
1
87
1286
1300
ET 22
EE-541
3.2
50.4
494
500
E6ACT
STX 500-4A
1.9
63.5
820
830
Lokomotywy
EU 07
104
J. Zamojski
c. d. Tabeli 3.2
n
Typ pojazdu
Silnik
P
nn
nz
%
obr/min
obr/min
%
1
2
16
17
18
19
Stadler Flivt
TMF 59-28-4
-0.3
1550
1491
2.7
EN-57
LKf-450
-0.1
1045
1018
5.5
EN-58
LKa-435
-2.2
1160
1125
3.0
EN-60
LKa-435
0.7
1160
1152
0.6
E. Z. T.
EW-72
LKa-470
1.5
1000
987
1.3
10 WE
indukcyjny
1.6
2526
2396
5.0
10 WE
SXT 315-L4C
-1.4
1772
1724
2.7
EE-541
-6.2
970
909
6.2
Lokomotywy
EU 07
EU 09
LKa-740
5.0
720
720
0
EU 10
indukcyjny
-1.0
894
891
0.3
ET 22
EE-541
-1.2
970
912
5.9
E6ACT
STX 500-4A
-1.2
1296
1258
-3.0
LITERATURA
1. Gogolewski Z.: Napęd elektryczny, Warszawa, 1961 r., WNT.
2. Gogolewski Z. Kuczewski Z.: Napęd elektryczny, Warszawa. 1971 r., WNT.
3. Grunwald Z. (praca zbiorowa): Napęd elektryczny, Warszawa, 1987 r. WNT.
4. Zamojski J.: Kryteria wyboru właściwego wariantu maszyn trakcyjnych prądu stałego
obliczanego w oparciu o metody numeryczne, rozprawa doktorska, Warszawa, 1972 r.,
Dokumentacja ZTE IEL.
5. Podoski J. (praca zbiorowa): Teoretyczne zagadnienia trakcji elektrycznej.
Zamojski J.: Współczesne metody porównywania parametrów maszyn trakcyjnych i określenie ich
nowoczesności, Warszawa, 1975 r., PWN.
6. Podoski J., Kacprzak J., Mysłek J.: Zasady trakcji elektrycznej, Warszawa, 1980 r., WKŁ.
7. Zamojski J.: Present state of design methods of traction D. C. machines at the Institute
of Electrotechnics, Londyn, 1985 r., Second International Conference on Electrical Machines
– Design and Applications.
8. Szeląg A.: Zagadnienia analizy i projektowania systemu trakcji elektrycznej prądu stałego
z zastosowaniem technik modelowania i symulacji, Warszawa, 2002 r., Prace Naukowe P. W.,
Seria ELEKTRYKA.
9. Szeląg A.: Efektywność energetyczna trakcji elektrycznej, Zakopane, 16 – 18 X 2008 r.,
SEMTRAK’2008, XII Ogólnopolska Konferencja Naukowa Trakcji Elektrycznej, Politechnika
Krakowska.
Moment zastępczy silników trakcyjnych
105
10. Lewandowski M.: Model symulacyjny przetwarzania energii dla szynowego pojazdu
trakcyjnego, Zakopane, 2008 r., XII Konferencja Naukowa Trakcji Elektrycznej,
11. Dębowski A., Lewandowski M.: Napęd trakcyjny o obniżonej częstotliwości przełączeń,
Warszawa, 2012 r., Przegląd Elektrotechniczny, nr 45.
Rękopis dostarczono dnia 05.10.2012 r.
REPLACEMENT TORQUE
OF TRACTION MOTORS
Józef ZAMOJSKI
ABSTRACT
In the paper the author displayed thesis that the
internal electric machines torque is equivalent energy transfer by
machine turns one radian angle.
Author call torque for define distance “replesmental torque”.
There are presented calculation resultants replesmental torque
and power which confirm thesis for motors of 26 traction cars:
tramcars, trolleybuses, metro, multiply units train and locomotives.
Keywords: Traction cars, Traction motors, Energy, Power, Torque,
Replacement torque
106
J. Zamojski