Przenoszenie niepewności - Akademia Morska w Szczecinie
Transkrypt
Przenoszenie niepewności - Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: prawo przenoszenia niepewności dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Terminologia: „Niepewność” a „błąd” pomiaru: W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy określenia: Błąd bezwzględny: x x0 (1) Błąd względny: x0 (2) Gdzie x – wartość zmierzona, x0 – wartość rzeczywista. Wielkości określone wzorami (1) i (2) są pojedynczą realizacją zmiennej losowej i nie wchodzą do teorii niepewności. W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych wielkości mierzonych i szacujemy niepewności pomiarowe wynikające ze statystycznych praw rozrzutu pomiarów. Istotny jest również problem niepewności przypisywanej wielkości złożonej (wyliczanej ze wzoru fizycznego): y = f(x1,x2,...xn) -2- Prawo Gaussa przenoszenia niepewności: Błędy obserwacji powodują, że wszelkie funkcje tych obserwacji są również obarczone błędami. W przypadku funkcji liniowych ocena niepewności funkcji obserwacji nie jest skomplikowana. Niepewność standardową (nazywaną też błędem średnim) funkcji nieliniowej F = y = f(x1, x2, x3, ...), może być obliczona dla przybliżonej postaci tej funkcji, przy założeniu, że daje się ona rozwinąć w szereg Taylora. Funkcja F(x1, x2, x3) w postaci szeregu Taylora w otoczeniu punktu P (x01, x02, x03): F x1 , x2 , x3 F x01 dx1 , x02 dx2 , x03 dx3 F F F F x01 , x02 , x03 dx1 dx2 dx3 ... x01 x02 x03 -3- Prawo Gaussa przenoszenia niepewności: Utożsamiając zmiany dx1, dx2, dx3 z błędami: x, y, z : y F x1 , x2 , x3 a X 1 b X 2 c X 3 F0 a dx1 b dx2 c dx3 Pomiędzy błędem funkcji F i błędami zmiennych X, Y, Z zachodzi związek: F a x b y c z -4- Prawo Gaussa przenoszenia niepewności: Wobec czego niepewność standardowa geometryczną różniczek cząstkowych: 2 2 funkcji będzie sumą 2 F 2 F 2 F 2 mx3 ... mx1 mx2 u F mF x1 x2 x3 2 F mF mxi i 1 xi n F x1 , x2 , x3 ,..., xn mxi ; n N xi i 1 2 n A niepewność względna: u Fr uF y -5- Prawo Gaussa przenoszenia niepewności: Przykład: Obliczyć pole prostokątnej działki o bokach a, b; błąd średni oraz względny pola. b a Z pomiaru długości boków figury: a = 300 m, ma= 0,10 m, b = 20 m, mb= 0,01m Pole: P = F(a,b) = a × b = 6000 m2= 60 a Średni błąd funkcji P: P 2 P 2 mP ma mb a b 2 2 Prawo Gaussa przenoszenia niepewności: Pochodne cząstkowe: P b, a mp P a b b ma 2 a mb 2 20 0,12 300 0,012 3,6m2 P = 6000 m2 ± 4 m2 Błąd względny pola figury: 3,6m 2 1 P P 2 6000m 1600 Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej: 10 2 n S 2 yi axi b min 9 i 8 y = 0.9399x + 1.5859 R² = 0.9913 7 6 5 4 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 -8- Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej: Warunek minimum funkcji dwu zmiennych: S 2 0, a S 2 0 b Otrzymuje się układ równań liniowych dla niewiadomych a i b: a xi2 b xi xi yi a xi bn yi Rozwiązując ten układ równań otrzymuje się wyrażenia na a i b: n xi yi xi yi a W 2 x i yi xi xi yi b W Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej: W n x xi 2 i 2 Odchylenia standardowe obu parametrów prostej: n S2 u (a) n2 W 2 x u (b) u (a) i n