Metoda niezmienników – zadania

Metoda niezmienników – zadania
Andrzej Sendlewski
1. Na pokratkowanej kartce zamalowujemy pojedyncze kwadraciki. Rozstrzygnij, czy
można zamalować 25 kwadracików w ten sposób, aby każdy zamalowany kwadracik
sąsiadował z nieparzystą liczbą zamalowanych kwadracików (dwa kwadraciki sąsiadują
ze sobą jeśli mają wspólny bok).
2. Pola szachownicy 8 × 8 przemalowujemy (białe na czarne, a czarne na białe) według
następującej procedury: wybieramy wiersz szachownicy i przemalowujemy wszystkie pola
tego wiersza, albo wybieramy kolumnę szachownicy i przemalowujemy wszystkie pola
tej kolumny. Czy w wyniku powtarzania tej procedury można otrzymać szachownicę o
dokładnie jednym czarnym polu?
3. Pola szachownicy 8 × 8 przemalowujemy (białe na czarne, a czarne na białe) według
następującej procedury: wybieramy 4 pola szachownicy tworzące kwadrat 2 × 2 i przemalowujemy wszystkie pola tego kwadratu. Czy w wyniku powtarzania tej procedury
można otrzymać szachownicę o dokładnie jednym czarnym polu?
4. Trójkąt równoboczny został podzielony liniami równoległymi do jego boków na mniejsze przystające trójkąciki równoboczne. Jeden z powstałych trójkącików pomalowano na
czarno, pozostałe zaś na biało. Możemy przemalować na przeciwny kolor wszystkie trójkąciki przecięte linią równoległa do któregoś z boków (różną od linii już narysowanych).
Rozstrzygnij, czy przy wielokrotnym stosowaniu tej operacji można uzyskać biały kolor
całego trójkąta początkowego.
5. Na każdym polu szachownicy 11 × 11 siedzi mrówka. W pewnym momencie każda z
mrówek przechodzi na sąsiednie pole szachownicy (pola są sąsiednie, gdy mają wspólną
krawędź). Wykaż, że co najmniej jedno pole szachownicy pozostanie puste.
6. Z szachownicy 8 × 8 usuwamy 2 przeciwlegle narożne pola. Czy tak zmodyfikowaną
szachownicę można ułożyć z kostek domina 2 × 1 o jednym czarnym i jednym białym
polu?
7. Dla jakich naturalnych n kwadrat o boku 2n można podzielić na prostokąty o wymiarach 4 × 1?
8. Wykazać, że żadnego prostokąta o boku 2n dla n nieparzystych, nie można podzielić
na figury w kształcie litery T utworzonej z czterech kwadratów jednostkowych.
9. Dno prostokątnej skrzynki wyłożono płytkami o rozmiarach 2 × 2 i 1 × 4. Płytki
wysypały się ze skrzynki i zgubiła się jedna płytka o rozmiarach 2 × 2. Brakującą płytkę
zastąpiono płytką o wymiarach 1 × 4. Czy uda się teraz wyłożyć płytkami dno skrzynki?
10. Wykaż, że jeśli prosta ma punkt wspólny z każdym bokiem niewypukłego siedmiokąta (ogólnie (2n + 1)-kąta), to musi przechodzić przez jeden z jego wierzchołków.
11. Prosta a przecina łamaną zwyczajną zamkniętą w 2009 punktach. Wykaż, że istnieje
prosta przecinająca tę łamaną w więcej niż 2009 punktach.
12. Na okręgu wybrano punkty, które podzieliły go na 3k łuków: k łuków długości 1,
k łuków długości 2 i k łuków długości 3. Wykaż, że wśród wybranych punktów istnieją
dwa, które są końcami średnicy tego okręgu.
13. Wierzchołki 2012–kata foremnego pogrupowano w pary, a następnie punkty każdej
pary połączono odcinkiem otrzymując 1006 różnych odcinków. Wykaż, że wśród tych
odcinków istnieją dwa odcinki równej długości.
14. W wierzchołku A1 dwunastokąta foremnego A1 A2 . . . A12 postawiono znak (+), w
pozostałych zaś wierzchołkach znak (-). Możemy zmieniać znaki na przeciwne jednocześnie w dowolnych sześciu kolejnych wierzchołkach dwunastokąta. Pokaż, ze za pomocą
wielokrotnego stosowania tej operacji nie można doprowadzić do tego, by przy wierzchołku A2 był znak (+), a przy pozostałych wierzchołkach znak (-).
15. Trzy krążki hokejowe tworzą na lodowisku trójkąt. Hokeista uderza kolejno jeden
z krążków w taki sposób, że przechodzi on pomiędzy dwoma pozostałymi krążkami i
zatrzymuje się po drugiej stronie linii wyznaczonej przez te dwa krążki. Czy po 17
uderzeniach krążki mogą znaleźć sie w pozycji wyjściowej (takiej jak na początku)?
16. W tabeli złożonej z 2009 liczb (-1) możemy wielokrotnie wykonywać operacje zmiany
znaku dokładnie dwóch liczb. Rozstrzygnij, czy możemy w ten sposób otrzymać tabelę
złożona z samych liczb (+1).
17. W tabeli zawierającej 2009 liczb (-1) możemy zamienić jednocześnie znak trzech
liczb. Rozstrzygnij, czy stosując te operacje parzystą liczbę razy, można otrzymać tabele
złożona z samych liczb (+1).
18. Z danego ciągu liczb 1, 2, ..., 1968, 1969 możemy usunąć dwie liczby, dopisując
jednocześnie na końcu ciągu wartość bezwzględną ich różnicy. Czy przez wielokrotne
zastosowanie tej operacji można otrzymać ciąg złożony z samych zer?
19. Na pewnej wyspie żyje 17 kameleonów czerwonych, 15 zielonych i 13 niebieskich.
Jeśli spotkają sie dwa różnie zabarwione kameleony, oba zmieniają kolor na trzeci. Czy
może sie zdarzyć, ze po pewnym czasie wszystkie kameleony na wyspie będą tego samego
koloru?
20. Na bardzo długim drucie siedzą trzy koniki polne: Adek, Badek, Czadek. Raz na
minutę jeden przeskakuje przez siedzącego obok. Czy po parzystej liczbie skoków koniki
mogą być ustawione w kolejności: Czadek, Badek, Adek?
21. W ciągu 1, 0, 1, 0, 1, 0, 3, ... każdy wyraz począwszy od siódmego jest równy
ostatniej cyfrze liczby, będącej sumą sześciu poprzednich wyrazów. Udowodnij, że w
tym ciągu nie może wystąpić następujący blok liczb: 0, 1, 0, 1, 0, 1.