ANL1 1. Narysować wykres funkcji F (a) F(x) = (|t| + |t − 2
Transkrypt
ANL1 1. Narysować wykres funkcji F (a) F(x) = (|t| + |t − 2
ANL1 Z9−10 1. Narysować wykres funkcji F Z x (a) F (x) = 1 Zx (b) F (x) = (|t| + |t − 2|) dt , x ∈ (−4 ; 4) (cos t) · (sgn t)dt π/4 Z x (c) F (x) = ||t − 1| − 1|dt , x > 0 0 2. Wyznaczyć pochodną pierwszego rzędu funkcji Zln x Z2x Zx sin t sin t sin t a) F (x) = dt , x > 0 , b) G(x) = dt , x > 0 , c) H(x) = dt. 2 2 t t +1 t +1 2 1 1 3. Funkcja F (x) = Zx −1 0 x +x t · arctg f (t)dt, gdzie gdy f (t) = 0, 1 , t 6= 0 . Obliczyć, jeśli istnieją, t2 t=0 00 F (0) oraz F (0). 4. Nie obliczając całki zbadać monotoniczność funkcji F (x) = Z2x x t2 t dt . Obliczyć naj+ 2t + 2 większą wartość funkcji F w przedziale h−2; −1i. 5. Obliczyć, jeśli istnieją, granice x−1 Z 2 t sin 4/t a) lim x→+∞ dt 1 ln(2x2 + 3) Z x2 arctg tdt 1 , c) (E) lim , b) lim 0 √t + 2 x→∞ x + x→+∞ x +1 Z3x 1 23/t + 33/t 2 !t 2x + 1 6. Niech f : h−a, ai → R (a > 0) będzie funkcją ciągłą w h−a, ai. Wykazać, że Za (a) jeśli f jest funkcją parzystą, to f (x)dx = 2 −a (b) Jeśli f jest funkcją nieparzystą, to Za f (x)dx; 0 Za f (x)dx = 0. −a 7. Wykazać, że jeśli funkcja f : R → R jest ciągła w R i okresowa o okresie T > 0, to a+T Z a 8. (E) Wykazać, że π/4 Z 0 f (x)dx = ZT f (x)dx dla każdego a ∈ R. 0 π/4 15 Z sin (2x) dx = · sin14 (2x) dx. 16 16 0 dt . 9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego (a) krzywą y = ln x, styczną do niej w punkcie (1, 0) i prostą x = e (b) (E) krzywymi y = ln x, y = ln(e2 x), y = 0 oraz x = e. (c) krzywymi y = ln x , y = ln2 x; (d) okręgiem x2 +y 2 = 3 i parabolą y 2 = 2x i zawierającego punkt(1, 0) w swoim wnętrzu; (e) jednym łukiem cykloidy i osią OX x = a(t − sin t) , y = a(1 − cos t) , t ∈ h0; 2πi , a > 0. 10. Obliczyć objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wokół osi 0X (a) jednego łuku cykloidy; 1 , x ∈ h−3; −2i; (b) krzywej y = √ 2 x + 6x + 10 (c) okręgu x2 + (y − 2)2 = 1. 11. Obliczyć długość łuku wykresu funkcji f (x) = ln sin x , π/6 ¬ x ¬ π/2.