Matematyka Dyskretna – Elektronika

Matematyka Dyskretna – Elektronika
13.05.2016
Lista 9. Drzewa.
1. Drzewo o 12 wierzchołkach ma wyłącznie wierzchołki stopnia 1 oraz 3. Ile wierzchołków
wiszących ma to drzewo? Ile jest nieizomorficznych takich drzew?
2. Narysuj wszystkie drzewa spinające grafów K3 oraz K2,3 .
3. Ile drzew spinających ma graf K2,n ? Rozwiąż ten problem na dwa sposoby i wywnioskuj stąd
jedną z tożsamości z Listy 4.
4. Ile drzew spinających ma cykl Cn , graf czworościanu oraz poniższy graf?
r
r
r
@ r
@
r
@r
r
r
r
5. Dwa cykle Cn i Cm sklejamy: a) wspólną krawędzią; b) wspólnym wierzchołkiem. Ile drzew
spinających ma otrzymany graf?
6. Do dwóch rozłącznych grafów Km i Kn dodajemy krawędź łączącą jeden z wierzchołków
pierwszego z którymś z wierzchołków drugiego. Ile drzew spinających ma otrzymany w ten
sposób graf?
7. Pokaż, że każde drzewo jest grafem dwudzielnym. Jaką największą liczbę krawędzi można
dodać do poniższego drzewa, aby otrzymany w ten sposób graf prosty o tym samym zbiorze
wierzchołków był nadal dwudzielny?
r
r r r
r
r
r
r
r
r
@
@r
8. Znajdź kod Prüfera dla podanych drzew etykietowanych:
r8
3r
7r
r1
r4
r5
r2
r2
r6
9r
8r
r6
r3
r5
r4
r
1@
@r10
r7
9. Znajdź drzewo o podanym kodzie Prüfera:
a) 123;
b) 123. . . n;
c) n. . . 321;
e) 2222;
f) 2222. . . 2 (n razy);
g) 1212. . . 12 (n razy);
d) 433153;
h) 123454321.
10. Rozważmy wszystkie drzewa etykietowane o wierzchołkach 1, 2, . . . , n. Ile spośród nich:
a) ma wierzchołek stopnia n − 1;
b) ma wierzchołek stopnia n − 2;
c) ma wyłącznie wierzchołki stopnia 1 i 2; d) ma stopień wierzchołka 1 równy 1;
e*) zawiera krawędź {1,2}?