Matematyka Dyskretna – Elektronika
Transkrypt
Matematyka Dyskretna – Elektronika
Matematyka Dyskretna – Elektronika 13.05.2016 Lista 9. Drzewa. 1. Drzewo o 12 wierzchołkach ma wyłącznie wierzchołki stopnia 1 oraz 3. Ile wierzchołków wiszących ma to drzewo? Ile jest nieizomorficznych takich drzew? 2. Narysuj wszystkie drzewa spinające grafów K3 oraz K2,3 . 3. Ile drzew spinających ma graf K2,n ? Rozwiąż ten problem na dwa sposoby i wywnioskuj stąd jedną z tożsamości z Listy 4. 4. Ile drzew spinających ma cykl Cn , graf czworościanu oraz poniższy graf? r r r @ r @ r @r r r r 5. Dwa cykle Cn i Cm sklejamy: a) wspólną krawędzią; b) wspólnym wierzchołkiem. Ile drzew spinających ma otrzymany graf? 6. Do dwóch rozłącznych grafów Km i Kn dodajemy krawędź łączącą jeden z wierzchołków pierwszego z którymś z wierzchołków drugiego. Ile drzew spinających ma otrzymany w ten sposób graf? 7. Pokaż, że każde drzewo jest grafem dwudzielnym. Jaką największą liczbę krawędzi można dodać do poniższego drzewa, aby otrzymany w ten sposób graf prosty o tym samym zbiorze wierzchołków był nadal dwudzielny? r r r r r r r r r r @ @r 8. Znajdź kod Prüfera dla podanych drzew etykietowanych: r8 3r 7r r1 r4 r5 r2 r2 r6 9r 8r r6 r3 r5 r4 r 1@ @r10 r7 9. Znajdź drzewo o podanym kodzie Prüfera: a) 123; b) 123. . . n; c) n. . . 321; e) 2222; f) 2222. . . 2 (n razy); g) 1212. . . 12 (n razy); d) 433153; h) 123454321. 10. Rozważmy wszystkie drzewa etykietowane o wierzchołkach 1, 2, . . . , n. Ile spośród nich: a) ma wierzchołek stopnia n − 1; b) ma wierzchołek stopnia n − 2; c) ma wyłącznie wierzchołki stopnia 1 i 2; d) ma stopień wierzchołka 1 równy 1; e*) zawiera krawędź {1,2}?