t - WEMiF

Laboratorium Nowoczesna Diagnostyka Materiałowa
Spektroskopia impedancyjna: pomiar i analiza widm
impedancyjnych materiałów i przyrządów
I. Zagadnienia do przygotowania:
1. Znajomość pojęć: impedancja, admitancja, rezystancja,
reaktancja, konduktancja, susceptancja.
2. Liczby zespolone: podstawowa algebra i sposoby zapisu.
3. Metody pomiaru widm impedancyjnych:
- mostek samorównoważący się
- analiza odpowiedzi częstotliwościowej
- dopasowanie sinusów
4. Charakterystyki częstotliwościowe elementów RLC (diagramy
Nyquista, Bodego):
pojedynczych elementów R, L, C
podstawowych układów równoległych i szeregowych
5. Elektryczne modele równoważne
- zastosowanie w analizie widm impedancji
II. Program ćwiczenia:
1. Pomiar widm impedancji
2. Analiza widm impedancyjnych metodą dopasowania
elektrycznych modeli równoważnych
III. Literatura:
1. Materiały z wykładu
2. Program Ziew Demo dostępny na stronie internetowej
http://www.scribner.com
3. Instrukcja do programu ZView.
4. Nitsch K., Zastosowanie spektroskopii impedancyjnej
w badaniach materiałów elektronicznych, Oficyna Wydawnicza
PWr, 1999
5. Bogusz W., Krok F., Elektrolity stałe, właściwości elektrycznej i
sposoby ich pomiaru, WNT Warszawa, 1995
W czasie wykonywania ćwiczeń przestrzegaj przepisów BHP!
1
Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki
1. Wstęp
1.1. Wiadomości wstępne
W spektroskopii impedancyjnej bada się odpowiedź elektryczną badanego obiektu
na pobudzenie niewielkim sygnałem elektromagnetycznym w szerokim zakresie
częstotliwości. Wynik takiego pomiaru nazywamy widmem impedancyjnym.
Impedancja jest wielkością zespoloną i stosuje się typowe dla takich wielkości
sposoby graficznej prezentacji wyników, czyli trajektoria na płaszczyźnie zespolonej oraz
wykres Bodego.
Niekiedy do określenia interesujących nas wielkości wystarczy graficzna analiza
widma wykreślonego we właściwym układzie współrzędnych. Jeśli jednak chcemy wynik
pomiaru wyrazić za pomocą liczb, widmo takie należy sparametryzować stosując
elektryczne modele równoważne.
AI
I, U
AU
1.2. Pomiar impedancji
W analizatorach impedancji używanych na laboratorium PDM jako pobudzenie
stosuje się sygnał sinusoidalny o parametrach takich jak częstotliwość, amplituda i wartość
średnia ustalanych w trakcie pomiaru.
Przy pobudzeniu obiektu liniowego sygnałem sinusoidalnym o pulsacji ω, wartości
chwilowe prądów i napięć na badanym obiekcie również zmieniają się sinusoidalnie
w dziedzinie czasu:
U
U (t ) = AU sin(ωt + φU ) (1)
I
I (t ) = AI sin (ωt + φ I ) (2)
φI φU0
Czas
zapis w metodzie
symbolicznej:
U = AU e jφU (3)
I = AI e jφI (4)
Rysunek 1. Przebiegi wartości chwilowych napięcia i prądu przy pobudzeniu sinusoidalnym.
Jak wiadomo, impedancję można wyrazić jako stosunek napięcia do prądu,
wyrażonych w postaci liczb zespolonych:
U A
(5)
Z = = U e j (φU −φI )
I
AI
zatem:
A
(6)
Z = U , arg (Z ) = φU − φ I
AI
Do wyznaczenia impedancji potrzebna jest więc znajomość amplitud i faz prądu
i napięcia na badanym obiekcie. Pomiaru wartości chwilowych napięcia i prądu oraz
wyznaczenia na ich podstawie amplitud i faz można dokonać na wiele sposobów. Napięcie
można mierzyć wprost. Jako metoda pomiaru prądu omówiona zostanie metoda mostka
samorównoważącego się, a jako metody wyznaczenia parametrów sygnału sinusoidalnego:
analiza odpowiedzi częstotliwościowej oraz dopasowanie sinusów.
Mostek samorównoważący się
Mostek samorównoważący się jest rodzajem przetwornika prąd-napięcie. Jego
najprostsza wersja jest zbudowana przy użyciu wzmacniacza operacyjnego. Uproszczony
schemat takiego mostka w układzie pomiaru impedancji przedstawiono na rysunku 2.
Wzmacniacz operacyjny w układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym, pod
1.3.
2
warunkiem pracy w reżimie liniowym 1, poprzez zmiany swojego napięcia wyjściowego
dzięki istnieniu sprzężenia zwrotnego wymusza utrzymanie zerowej różnicy potencjałów
pomiędzy swoimi wejściami. Ponieważ wejście „+” jest dołączone do masy układu, na
wejściu „-” również będzie utrzymywany potencjał masy, tzw. „masa pozorna”.
Utrzymywanie potencjału masy w tym węźle układu nazywane jest właśnie
równoważeniem mostka.
UV
RI
I
Z
gen.
pozorna
masa
+
UI
Rysunek 2. Schemat mostka samorównoważącego się.
Jednocześnie przyjmuje się, że impedancja wejściowa wzmacniacza jest tak duża,
że prądy wejściowe wzmacniacza można zaniedbać. Zatem całość prądu I, płynącego
przez badany obiekt Z przepływa również przez rezystor o znanej wartości RI, wywołując
na nim spadek napięcia proporcjonalny do I. Ponieważ jeden koniec rezystora jest na
potencjale masy (pozorna masa!) to na wyjściu UI będzie utrzymywane napięcie
równe -RI∙I. Pomiar tego napięcia pozwala zatem określić wartość chwilową prądu
płynącego przez badany obiekt.
Wartość chwilową napięcia na badanej próbce można zmierzyć bezpośrednio na
wyjściu UI, znów z powodu istnienia pozornej masy w układzie.
Zaletami mostka samorównoważącego opartego na wzmacniaczu operacyjnym są:
• prosta konstrukcja
• napięcia wyjściowe mostka odniesione są do potencjału masy
• przy stałej amplitudzie sygnału pobudzającego utrzymywana jest stała amplituda
napięcia na badanym obiekcie (znów dzięki pozornej masie)
Wady wynikają wyłącznie z ograniczeń częstotliwościowych wzmacniaczy
operacyjnych. Typową granicą stosowalności mostka samorównoważącego w tej postaci
jest częstotliwość około 100 kHz – 1 MHz.
Metody wyznaczania parametrów sygnału sinusoidalnego
Dla obliczenia impedancji konieczne jest określenie amplitud i faz napięcia i prądu
na badanym obiekcie bazując na chwilowych wartościach tych wielkości. Opisane zostaną
metoda analizatora odpowiedzi częstotliwościowej oraz metoda dopasowania sinusoid.
1.4.
1.4.1. Analizator odpowiedzi częstotliwościowej
Z układem służącym do pomiaru chwilowych wartości napięć i prądów może
współpracować analizator odpowiedzi częstotliwościowej, który będzie odpowiedzialny za
wyliczenie składowych rzeczywistej i urojonej prądu i napięcia. Niezależnie od tego, którą
część odpowiedzi elektrycznej badanego obiektu analizujemy, zasada działania jest
podobna. Przedstawiono ją na rysunku 4.
Reżim liniowy oznacza, że nie są przekroczone maksymalne wartości napięcia wyjściowego wzmacniacza
przez co napięcie wyjściowe jest wprost wyrażone prostą zależnością Uwy=K(U+-U-).
1
3
układy
mnożące
układy
całkujące
∫
u(t)=A∙sin(ωt+φ)
Re(u(t))
AG∙sin(ωt)
∫
Im(u(t))
AG∙cos(ωt)
Rysunek 3. Analizator odpowiedzi częstotliwościowej.
Sygnał sinusoidalny:
u (t ) = A sin (ωt + φ )
(7)
w zapisie symbolicznym
(8)
u = Ae jφ = A cos φ + jA sin φ
jest poddawany operacji mnożenia przez sygnał sinusoidalny i cosinusoidalny, pochodzący
z generatora, o tej samej pulsacji co sygnał wejściowy i zerowych przesunięciach
fazowych. Nazywamy je sygnałami odniesienia.
Rozważmy tor, w którym sygnałem odniesienia jest sygnał sinusoidalny. Wartości
chwilowe napięcia na wyjściu układu mnożącego można wyrazić funkcją:
(9)
A sin(ωt + φ ) AG sin(ωt )
Korzystając z tożsamości trygonometrycznych można dokonać przekształcenia tego
wyrażenia na:
A ⋅ AG
(10)
[cos(φ ) − cos(2ωt + φ )]
2
A⋅ AG
Wyrażenie to zawiera składową stałą, niezależną od czasu
cos(φ ) oraz
2
A ⋅ AG
składową cosinusoidalną −
cos(2ωt − φ ) , zmienną w czasie, o pulsacji dwukrotnie
2
większej od pulsacji sygnałów pomiarowego i odniesienia.
Taki sygnał dociera na wejście układu całkującego, który uśrednia go dokonując
następującego przekształcenia:
T
1
u (t ) = ∫ u (t )dt
(11)
T 0
Dokonując operacji całkowania wyrażenia (10) w przedziale czasu równym
czasowi trwania całkowitej liczby okresów przebiegu wejściowego uzyskujemy całkowite
wyeliminowanie składowych zależnych od czasu. Przebieg, którego wartości chwilowe
złożone są ze stałej i członu cosinusoidalnego, ma wartość średnią równą członowi
stałemu.
Całkowanie da się przeprowadzić o wiele prościej po podstawieniu x = 2ωt + φ i
całkując w granicach [0, 2πn], gdzie n to liczba okresów.
4
2 πn
2 πn


(
)
dx
−
cos
1
cos( x )dx  =
φ

∫0
∫
∫
0
0


A ⋅ AG
(12)
[cos(φ )(2πn − 0) − sin(2πn ) + sin(0)] = A cos(φ ) ⋅ AG =
=
4πn
2
= A cos(φ ) ⋅ k
W otrzymanym wyniku A cos(φ ) odpowiada składowej rzeczywistej sygnału
wejściowego. Wartość ta jest pomnożona przez stałą k, której wartość jest znana, wynika
ona z amplitudy sygnału referencyjnego.
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla drugiego toru mnożącego
i całkującego można udowodnić, że w torze tym otrzymujemy bezpośrednio wartość
zależną od A sin(φ ) , co odpowiada składowej urojonej analizowanego sygnału. Tak
przeprowadzona analiza sygnału z matematycznego punktu widzenia odpowiada
wykonaniu dyskretnej transformaty Fouriera.
1
2πn
2 πn
A ⋅ AG
[cos(φ ) − cos(x )]dx = A ⋅ AG
2
4πn
1.4.2. Metoda dopasowania sinusoid
Mając określone wartości chwilowe napięć i prądów można, korzystając z cyfrowej
obróbki danych pomiarowych, dopasować do nich opisane matematycznie krzywe.
Parametry krzywych pozwolą określić wartość impedancji.
Najprostszą pojęciowo jest metoda dopasowania sinusoid, wartości napięć i prądów
mają przecież przebieg sinusoidalny. Analizę tego typu można przeprowadzać np. przy
użyciu programu Origin. W programie tym, korzystając z narzędzia Nonlinear Curve Fit,
wybierając dopasowanie typu Sine, można do zmierzonego przebiegu dopasować krzywą
sinusoidalną opisaną równaniem:
 x − xc 
y = y 0 + A sin π

(13)
w 

A>0
Wartość y0 można zaniedbać, w prawidłowo zestawionym układzie wynika ona
wyłącznie z niedokładności pomiaru. Amplituda sygnału określona jest parametrem A
natomiast do wyznaczenia przesunięcia fazowego można to równanie przekształcić do
postaci:
xc 
 x
(14)
y = y 0 + A sin π − π 
w
 w
W tej postaci przesunięcie fazowe przebiegu równe jest:
xc
φ = −π
w
1.5. Modelowanie z wykorzystaniem układów równoważnych
Modelowanie z wykorzystaniem układów równoważnych stosuje się w celu
sparametryzowania widma impedancyjnego, będącego wynikiem pomiaru. Elektryczny
układ równoważny to sieć odpowiednio połączonych elementów, takich jak np. rezystor,
induktor, kondensator (ale nie tylko). Strukturę tego układu jak i wartości elementów
dobiera się tak, aby układ ten był modelem zmierzonego obiektu a widmo impedancji
modelu zgadzało się z widmem zmierzonym.
Aby sprawnie posługiwać się tą metodą analizy widm należy mieć świadomość
tego, jak wyglądają widma impedancji podstawowych elementów używanych w takiej
analizie, oraz ich podstawowych połączeń.
5
1.5.1. Podstawowe elementy składowe układów równoważnych
W tym rozdziale przyjęto, że czytelnikowi znane są następujące pojęcia:
• z zakresu liczb zespolonych: liczba zespolona, postać algebraiczna oraz wykładnicza
liczby zespolonej, moduł i argument liczby zespolonej,
• z zakresu elektrotechniki: pojęcie impedancji Z (oraz rezystancji R i reaktancji X),
admitancji Y (oraz konduktancji B i susceptancji G).
Przy analizie widm impedancyjnych oraz przy konstruowaniu modeli
równoważnych niezbędna jest wiedza na temat widm impedancji i admitancji
podstawowych elementów, z których modele równoważne się składają, czyli idealnego
rezystora, kondensatora oraz induktora. Kształt widm bezpośrednio wynika z równań,
które matematycznie opisują te wielkości:
Tabela 1. Wartości impedancji i admitancji podstawowych elementów składowych elektrycznych modeli
równoważnych, oraz ich moduły i argumenty w funkcji częstotliwości kołowej (pulsacji) 𝜔 = 2𝜋𝜋.
element
impedancja
admitancja
R
L
𝑍
𝑹
𝒋𝒋𝒋 = 𝜔𝜔 ⋅ 𝑒 𝑗 2
arg(𝑍)
0
|𝑍|
𝑌
|𝑌|
arg(𝑌)
𝑅
𝟏
𝑹
1
𝑅
C
𝜋
𝜔𝜔
𝜋
= 90°
2
𝟏
1 −𝑗𝜋
−𝒋
=
𝑒 2
𝝎𝝎 𝜔𝜔
1
𝜔𝐿
𝜋
− = −90°
2
−𝒋
𝟏
1 −𝑗𝜋
=
𝑒 2
𝝎𝝎 𝜔𝜔
1
𝜔𝜔
𝜋
− = −90°
2
𝜋
𝒋𝒋𝒋 = 𝜔𝜔 ⋅ 𝑒 𝑗 2
𝜔𝜔
𝜋
= 90°
2
Wystarczy zapamiętać podstawowe wzory na impedancję, wytłuszczone
w powyższej tabeli. Całą resztę można sobie obliczyć wiedząc co to jest moduł i argument
oraz wiedząc, że admitancja jest odwrotnością impedancji.
Przy modelowaniu z użyciem modeli równoważnych korzysta się z szeregowych
lub równoległych połączeń podstawowych elementów. Impedancja szeregowego
połączenia jest równa sumie impedancji połączonych elementów, natomiast
admitancja elementów połączonych równolegle jest równa sumie ich admitancji.
Skupmy się na połączeniu szeregowym rezystora 𝑅𝑠 i kondensatora 𝐶𝑠 . Na
podstawie tabeli 1 i powyższego stwierdzenia wiemy, że jego impedancja będzie równa
1
𝑍𝑅𝑠 𝐶𝑠 = 𝑅𝑠 − 𝑗
𝜔𝐶𝑠
Wykresy obrazujące zależność tej wartości od częstotliwości kołowej 𝜔 da się
prosto przedstawić na płaszczyźnie zespolonej oraz wykresie Bodego.
Składowa rzeczywista, czyli wartość na poziomej osi płaszczyzny zespolonej, jest
stała, zatem wykres na płaszczyźnie zespolonej będzie pionową linią. Składowa urojona
impedancji jest zmienna, zależna od częstotliwości kołowej 𝜔, ale zawsze ujemna, zatem
na osi urojonej będą wyłącznie wartości ujemne. Widać to na odpowiednim wykresie
(rys. 1). Kształt przebiegu admitancji na płaszczyźnie zespolonej już nie jest tak oczywisty.
Należy obliczyć odwrotność 𝑍𝑅𝑠 𝐶𝑠 a następnie wyodrębnić z niej część rzeczywistą i
urojoną. Przeprowadź te obliczenia samodzielnie. Uzyska się parametryczne równanie
6
opisujące półokrąg, który również pokazano na rysunku 4. Na tym wykresie ważne są
położenie końców półokręgu oraz 𝜔𝑚𝑚𝑚 , dla której swoje ekstremum ma susceptancja.
Rs
Cs
płaszczyzna zespolona
wykres Bodego
R (Ω)
1/Rs
ωC
log (ω)
ω
1/Rs
s
log (ω)
90°
0
G [S]
)
Rs
ωmax=1/(RsCs)
0
(ω
Cs
90°
arg (Y)
ω
1/
log (|Y|)
log (|Z|)
Rs
arg (Z)
0
B [S]
X (Ω)
0
0°
-90°
0°
-90°
log (ω)
log (ω)
Rysunek 4. Widma impedancji i admitancji szeregowego połączenia rezystora i kondensatora na płaszczyźnie
zespolonej i wykresie Bodego.
Wykres Bodego impedancji szeregowego połączenia rezystora i kondensatora
wynika wprost z wartości 𝑍𝑅𝑠 𝐶𝑠 . Na wykresie widać wyraźnie dwa zakresy częstotliwości.
Dlaczego? Moduł na wykresie Bodego przedstawia się w logarytmicznym układzie
współrzędnychlog|𝑍| = 𝑓(log 𝜔). Dla małych wartości 𝝎 w 𝑍𝑅𝑠 𝐶𝑠 dominuje składowa
1
urojona − 𝜔𝐶 , bo 𝜔 jest w mianowniku a dla dużych 𝝎 składowa rzeczywista.
𝑠
Logarytm modułu składowej urojonej jest równy:
1
1
1
log ��−
�� = log + log = − log 𝜔 − log 𝐶𝑠
𝜔𝐶𝑠
𝜔
𝐶𝑠
co przekłada się na wykresie logarytmicznym na zależność opadającą liniowo
wraz z log 𝜔, przesuniętą w pionie o stałą wynikającą z pojemności (patrz wykres Bodego
impedancji na rysunku 1). W tym przedziale częstotliwości argument przyjmuje wartość
−90°, ponieważ dominująca składowa urojona jest w tym wypadku ujemna.
Z kolei dla dużych 𝜔 dominuje niezależna od częstotliwości składowa rzeczywista
impedancji 𝑍𝑅𝑠 𝐶𝑠 , stąd płaski przebieg i argument równy 0°.
Jak wykazano, łatwo jest przedstawić na wykresie Bodego impedancję
szeregowego połączenia elementów. Wiemy, że admitancja jest odwrotnością impedancji.
Do sporządzenia wykresu Bodego admitancji trzeba zatem wiedzieć ile wynosi moduł i
argument liczby zespolonej będącą odwrotnością liczby danej. Do tych wniosków dojdź
samodzielnie. Pomocna jest tu wiedza z zakresu liczb zespolonych oraz tego, jak wygląda
logarytm odwrotności.
W analogiczny sposób można sobie obliczyć przebiegi dla pozostałych połączeń
elementów. Zawsze na wykresie Bodego będą przedziały częstotliwości, w których
dominuje składowa rzeczywista lub urojona. Mówimy wtedy o tym, że impedancja w
danym zakresie ma charakter rezystancyjny, reaktancyjny pojemnościowy lub
reaktancyjny indukcyjny. Na widmach impedancji i admitancji będą przedziały stałej,
rosnącej bądź malejącej wartości modułu, w zależności od charakteru impedancji czy
admitancji. Da się je wywnioskować na podstawie wzorów z tabeli 1 w podobny sposób,
jak pokazany powyżej.
Widma dla pozostałych połączeń elementów modelu przedstawiono na rysunku 5.
7
Rs
Ls
płaszczyzna zespolona
wykres Bodego
G [S]
log (|Y|)
s
Rs
1/
(ω
Ls
log (ω)
ωmax=Rs/Ls
90°
0°
-90°
Rs
)
log (ω)
90°
0
0
ωL
arg (Y)
ω
arg (Z)
ω
1/Rs
1/Rs
log (|Z|)
0
B [S]
X [Ω]
0
0°
-90°
R [Ω]
log (ω)
log (ω)
Rp
Cp
płaszczyzna zespolona
wykres Bodego
R (Ω)
Rp
Rp
ω
1/Rp
90°
0°
-90°
1/Rp
p
log (ω)
90°
0
0
ωC
log (ω)
arg (Z)
ωmax=1/(RpCp)
p)
arg (Y)
B [S]
X (Ω)
ω
1/
(ω
C
log (|Y|)
0
log (|Z|)
0
0°
-90°
G [S]
log (ω)
log (ω)
Rp
Lp
płaszczyzna zespolona
wykres Bodego
G [S]
ωmax=Rp/Lp
0
0
Rp
R [Ω]
log (|Z|)
ωL
log (|Y|)
Rp
1/Rp
p
1/
(ω
Lp
)
1/Rp
log (f)
ω
log (ω)
90°
arg (Z)
ω
0
90°
arg (Y)
B [S]
X [Ω]
0
0°
-90°
0°
-90°
log (f)
log (ω)
Rysunek 5. Widma impedancji i admitancji pozostałych podstawowych połączeń elementów składowych
modeli równoważnych.
Dla obwodów zawierających jednocześnie trzy elementy: rezystor, kondensator
oraz induktor postępuje się zasadniczo podobnie. Obwody takie nazywamy szeregowym
bądź równoległym obwodem rezonansowym. W nich jednak kształt przebiegu na
płaszczyźnie zespolonej to prosta bądź pełny okrąg, a na wykresie Bodego kształt zależy
od dobroci 𝑄 obwodu rezonansowego. Wykresy przedstawiono na rysunku 3. Dla nich
charakterystyczną jest częstotliwość rezonansowa 𝜔𝑟 , zaznaczona na płaszczyznach
zespolonych. Na wykresach położenie ekstremum modułu zależy od wartości rezystora
przy czym dla obwodów o dużych wartościach 𝑄 nie jest widoczny płaski odcinek, przy
którym impedancja ma charakter rezystancyjny. Obwody rezonansowe o dużej dobroci
gwałtownie zmieniają swoją impedancję z pojemnościowej na indukcyjną przy
przekraczaniu częstotliwości rezonansowej.
8
Cs
Ls
Rs
płaszczyzna zespolona
ω
log (|Y|)
Rs
log (|Z|)
s
0
0°
Q>>1
Q=1
Q<<1
-90°
1/Rs
G [S]
R [Ω]
ωL
s)
log (ω)
90°
90°
Rs
1/(
s
ωC
log (ω)
0
arg (Z)
0
ωL
s)
arg (Y)
B [S]
X [Ω]
ω
0
1/(
ωC
1/Rs
wykres Bodego
Q>>1
Q=1
Q<<1
0°
-90°
log (ω)
log (ω)
Rp
Lp
Cp
płaszczyzna zespolona
ω
0
0
Rp
1/(
Q>>1
Q=1
Q<<1
0°
p
ωC
p)
90°
0°
Q>>1
Q=1
Q<<1
-90°
-90°
1/Rp
ωL
log (ω)
log (ω)
G [S]
R [Ω]
p)
1/Rp
1/(
ωC
log (|Y|)
p
90°
arg (Z)
0
ωL
arg (Y)
B [S]
X [Ω]
ω
0
Rp
log (|Z|)
wykres Bodego
log (ω)
log (ω)
Rysunek 6. Widma impedancji i admitancji szeregowego i równoległego obwodu rezonansowego na
płaszczyźnie zespolonej oraz wykresie Bodego.
1.5.2. Przykład analizy widm impedancyjnych z użyciem modeli równoważnych
a)
b)
|Z|
3
pomiar
FitResult
2
R1
1
10-3
10-2
10-1
100
101
102
C2
R2
częstotliwość (Hz)
Element
R1
C2
R2
5
arg (Z)
0
-5
Freedom
Free(+)
Free(+)
Free(+)
Value
2,121
0,49787
2,902
-10
-15
10-3
10-2
10-1
100
101
102
częstotliwość (Hz)
Rysunek 7. Przykład pomiaru i analizy widma impedancyjnego modułu Peltiera: a) widmo zmierzone
(punkty) i widmo modelu (linia), b) elektryczny model równoważny i wartości elementów.
Analizowanym obiektem był moduł termoelektryczny Peltiera. Mierzono jego
9
impedancję w zakresie częstotliwości od 1 mHz do 100 Hz. Wyniki pomiaru
przedstawiono w postaci punktów na wykresie Bodego impedancji (rysunek 7).
Tego rodzaju obiekt, poddany pobudzeniu przemiennym napięciem, oprócz
zwykłego przewodzenia omowego, modelowanego rezystorem R1, wykazuje też
dodatkowe efekty związane ze zjawiskami termoelektrycznymi Peltiera i Seebecka. W
modelu równoważnym odpowiada to elementom C2 i R2. Ich wartości nie mają
bezpośredniego przełożenia na jakąś elektryczną rezystancję ani pojemność. Są one
elektrycznymi analogami zjawisk fizycznych. Na ich podstawie można wyliczyć
pojemność i przewodność cieplną modułu Peltiera.
Taki model nie dość, że przybliża widmo impedancyjne, a jeszcze pozwala
zidentyfikować zjawiska fizyczne. Nazywamy go modelem fizycznym.
Wartości elementów modelu wyznaczono dopasowując model do pomiaru metodą
najmniejszych kwadratów. Wartości wyznaczone z modelowania oraz przebieg impedancji
modelu również są widoczne na rysunku 7.
2. Program ćwiczenia
W trakcie realizacji ćwiczenia realizuje się zadania podane przez prowadzącego. Obejmują
one następujące zagadnienia:
1. Pomiary wybranych obiektów metodą spektroskopii impedancyjnej w funkcji
temperatury.
2. Analiza elektrycznych modeli zastępczych elementów w funkcji częstotliwości
a) określanie struktury modelu równoważnego,
b) aproksymacja
charakterystyk
eksperymentalnych
wybranych
widm
impedancyjnych modelem fizycznym,
c) wyznaczenie zależności parametrów modelu od temperatury.
10