Teoria wartości ekstremalnych - zastosowanie do sektora surowców

Transkrypt

STUDIA OECONOMICA POSNANIENSIA
2013, vol. 1, no. 10 (259)
Karolina Siemaszkiewicz
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informatyki i Gospodarki
Elektronicznej, Katedra Matematyki Stosowanej
[email protected]
TEORIA WARTOŚCI EKSTREMALNYCH –
ZASTOSOWANIE DO SEKTORA
SUROWCÓW ENERGETYCZNYCH
Streszczenie: Rynek surowców energetycznych jest bardzo ważną gałęzią gospodarki.
Podstawowym źródłem energii dla transportu oraz elektrowni jest ropa naftowa, natomiast gaz ziemny wykorzystywany jest w przemyśle, produkcji energii elektrycznej
i w gospodarstwach domowych. Ponieważ są to bardzo istotne surowce w gospodarce, więc
ważnym zadaniem jest zarządzanie ryzykiem niekorzystnych wahań cen wspomnianych
paliw energetycznych. Jednym z często stosowanych narzędzi usprawniających proces
zarządzania ryzykiem przed wystąpieniem niekorzystnych zmian jest wartość zagrożona
(VaR – Value at Risk). Wartość zagrożona jest powszechnie stosowaną miarą ryzyka na
rynkach finansowych. Niedoszacowanie i przeszacowanie wartości zagrożonej jest bardzo
niekorzystne. Jeżeli niedoszacujemy tę miarę, to możemy narazić się na utratę płynności. Przeszacowanie zaś uniemożliwia wykorzystanie w optymalny sposób całkowitych
środków przeznaczonych na inwestycje. Dlatego istotnym zadaniem jest prawidłowe
oszacowanie wartości zagrożonej. Jedną z teorii, która może służyć oszacowaniu wartości
zagrożonej jest teoria wartości ekstremalnych.
Słowa kluczowe: Extreme Value Theory, zarządzanie ryzykiem, wartość zagrożona, warunkowa wartość zagrożona, surowce energetyczne.
Klasyfikacja JEL: C13, C51.
EXTREME VALUE THEORY – ITS APPLICATION TO ENERGY
MARKETS
Abstract: The energy market is a very important sector of the economy. Oil is the primary source
of energy for transportation and power, with natural gas being used in industry, electricity
production and in households. Since this is a very important raw material in the economy it is
therefore an important task to manage the risk of adverse fluctuations in the prices of these fuels.
108
One of the frequently used tools for safeguarding the risk management process against adverse
changes is value at risk (VaR). Due the volatility of energy markets, implementing an effective
risk management system becomes an urgent necessity. The VaR methodology as a measure of
market risk has gained rapid acceptance and popularity by both institutions and regulators.
Moreover, Extreme Value Theory has been successfully applied in many fields where extreme
values may appear. In this paper Extreme Value Theory models are compared to conventional
models such as Historical Simulation. Our results indicate that Extreme Value Theory offers
a better estimation of Value at Risk than traditional methods.
Keywords: Extreme Value Theory, risk management, value at risk, conditional value at risk,
energy resources.
Wstęp
Rynek surowców energetycznych jest bardzo istotny dla gospodarki. Ropa
naftowa to podstawowe źródło energii dla transportu, elektrowni. Gaz ziemny
natomiast ma zastosowanie w przemyśle, produkcji energii elektrycznej jak
i w gospodarstwach domowych. Zmiany cen ropy naftowej i gazu ziemnego
mają istotny wpływ nie tylko na podaż i popyt tych surowców, ale też na
inne gałęzie gospodarki. Silne wahania cen ropy mogą być spowodowane
przez wiele czynników. Na cenę ropy naftowej mogą mieć wpływ: polityka
prowadzona przez OPEC (Organization of Petroleum Exporting Countries –
Organizacja Krajów Eksportujących Ropę), wojny i konflikty polityczne na
Środkowym Wschodzie, zakłócenia w dostawach spowodowane katastrofami
naturalnymi, jej dostępność oraz rezerwy. Również wzrost gospodarczy może
się przyczyniać do zwiększenia popytu na ropę, a w konsekwencji do wzrostu
cen ropy. Ceny gazu są kształtowane przez poziom rezerw i wielkość produkcji
krajowej [Schofield 2007].
W zawiązku z licznymi, nieprzewidywalnymi czynnikami znaczne mogą
być wahania cen ropy, gazu oraz paliwa. Bardzo ważnym zadaniem jest więc
modelowanie zmian cen ropy, energii elektrycznej, gazu oraz poszukiwanie
bardziej efektywnych narzędzi do skutecznego zarządzania niekorzystnymi
wahaniami cen surowców energetycznych.
Jedną z powszechnie stosowanych miar wspomagającą zarządzanie ryzykiem przed wystąpieniem niekorzystnych warunków jest wartość zagrożona
(VaR – Value at Risk). Wartość zagrożona jest najbardziej popularną miarą
ryzyka na rynkach finansowych. Najprościej ujmując, odpowiada na pytanie,
ile możemy stracić z określonym prawdopodobieństwem w danym okresie
[Jorion 1997].
Teoria wartości ekstremalnych – zastosowanie do sektora surowców energetycznych
109
Istniejące podejścia do wyznaczania wartości zagrożonej możemy podzielić
na trzy grupy. Pierwsza to metody nieparametryczne, takie jak historyczna
symulacja. W niniejszym artykule będziemy ją nazywać podejściem klasycznym. Druga grupa to metody opierające się na modelach ekonometrycznych
zmienności. Trzecia, na której skupia się niniejsza praca, to teoria wartości
ekstremalnych (extreme value theory – EVT) modelująca ogony rozkładów.
Teoria wartości ekstremalnych ma ogromne zastosowanie wówczas, gdy
pojawiają się wartości ekstremalne, czyli w takich obszarach jak: hydrologia,
która jest badana w pracach: [Davison i Smith 1990; Katz, Parlagne i Naveau
2002]; ubezpieczenia [McNeil 1999] oraz finanse [Danielsson i de Vries 1997;
McNeil 1998; Embrechts, Resnick i Samorodnitsky 1999; Gencay i Selcuk
2004].
W odniesieniu do rynku surowców energetycznych badania dotyczące szacowania wartości zagrożonej były rozważane w pracy Cabedo i Moya [2003],
w której autorzy analizowali jakość prognoz VaR dla kursu gotówkowego ropy
naftowej Brent od 1992 do 1998 roku. Fan i współautorzy [2008] wykorzystali
model GARCH z uogólnionym rozkładem dla błędu (GED). Hung, Lee i Liu
[2008] użyli prognoz zmienności z modelu GARCH do szacowania wartości
zagrożonej kursu natychmiastowego ropy WTI oraz Brent, oleju opałowego,
propanu oraz benzyny.
W przeciwieństwie do powyższych modeli, które odnoszą się do całkowitego rozkładu, teoria wartości ekstremalnych skupia się na „ogonach” rozkładu,
które są zaledwie małą częścią całego rozkładu. W związku z tym wykorzystanie EVT jest lepsze aniżeli inne podejścia. Na przykład Krehbiel i Adkins
[2005] rozważali teorię wartości ekstremalnych. Analizowali ceny ryzyka
rynku NYMEX z wykorzystaniem teorii wartości ekstremalnych. Marimoutou,
Raggad i Trabelsi [2009] prowadzili podobne badania – z zastosowania EVT.
Szacowali VaR kursu natychmiastowego ropy naftowej WTI i ropy Brent.
Celem niniejszego artykułu jest zastosowanie teorii wartości ekstremalnych
do wyznaczenia wartości zagrożonej oraz warunkowej wartości zagrożonej
(CVaR) dla rynku surowców energetycznych. Wyliczono VaR i CVaR przy
użyciu uogólnionego rozkładu Pareto oraz porównano je z wynikami otrzymanymi z zastosowaniem historycznej symulacji.
1. Teoria wartości ekstremalnych
Istnieją dwa typy metod służących do modelowania wartości ekstremalnych. Pierwszy z nich oparty jest na modelu „bloków maksymalnych” (block
110
maxima). Jest to model odpowiedni dla dużej liczby obserwacji wybranych
z dużej próby. Obserwacje pochodzą z niepokrywających się, równych bloków
[McNeil 1999].
Bardziej efektywnym podejściem do modelowania ekstremalnych wydarzeń jest tak zwany model przekroczeń (peak over threshold model – POT),
który pozwala na estymację ogona rozkładu zwrotów przekraczających przyjęty próg. Model POT ma większe zastosowanie w praktyce, gdyż lepiej dopasowuje się do często nielicznych danych wartości ekstremalnych [McNeil
1999]. Niniejsza praca skupia się właśnie na modelu POT.
Dla danej zmiennej losowej oraz wartości progowej u rozkład przekroczeń
powyżej wartości progowej zdefiniujemy jako [McNeil, Frey i Embrechts
2005]:
Fu (x ) P ( X u d x | X ! u)
F (x u) F (u)
,
1 F (u)
(1)
gdzie F jest nieznaną dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X.
Jeżeli jest wystarczająco dużą wartością, to według twierdzenia Gnedenko–Pickandsa–Balkema–de Haana [Balkema i de Haana 1974], dystrybuanta
warunkowa Fu(y) ma rozkład graniczny, który jest uogólnionym rozkładem
Pareto GPD (generalized Pareto distribution) z dystrybuantą postaci [Dowd
2002]:
§ ξ x ·1/ξ
°1 ¨ 1 dla ξ z 0,
¸
° ©
β ¹
Gξ , β (x ) ®
(2)
§x·
°
¨ ¸
°1 e © β ¹
dla ξ 0,
¯
gdzie β > 0 oraz x ≥ 0.
W rozkładzie tym wyróżniamy dwa parametry: β, czyli tak zwany parametr skali, oraz ξ tzw. parametr kształtu, który odpowiada za grubość ogona
rozkładu. Chcąc oszacować dystrybuantę rozkładu Pareto, musimy wybrać
rozsądną wielkość wartości progowej u, która jest zależna od ilości obserwacji
n oraz wartości Nu, czyli ilości wartości przekroczeń progu u. Wybór wartości
u ma wpływ na otrzymane wartości estymatorów.
Dystrybuanta rozkładu Pareto jest postaci [Dowd 2002]:
F (x )
gdzie x > u.
1 F (u) Gξ , β (x u) F (u),
(3)
111
Jeżeli wyestymujemy wartość F(u), która jest ilorazem ilości wartości nien Nu
przekraczających próg u, do liczby wszystkich obserwacji, czyli F (u)
,
n
to równanie (3) przyjmuje postać [Dowd 2002]:
1/ξ
ª
x uº
(4)
«1 ξ
» .
β ¼
¬
Pierwszy etap badania polega na wyestymowaniu parametrów uogólnionego rozkładu Pareto. W tym celu korzystamy z metody największej
wiarygodności. Dla wystarczająco dużego progu u mamy Fu(x) = Gξ, β(x),
gdzie 0 ≤ x ≤ xF – u i ξ  , β > 0. Ponadto dane mamy zmienne X1, …, Xn
oraz losową liczbę Nu osiągającą próg u. Oznaczymy dla uproszczenia dane
zmienne losowe jako X 1 , }, X N u. Dla każdej z tych zmiennych, przekraczającej próg, obliczamy resztę Y j X j u dla funkcji przekraczającej stratę.
Następnie chcemy wyestymować parametry rozkładu GPD w taki sposób,
aby dopasować ten rozkład dla Nu funkcji przekraczającej stratę [McNeil,
Frey i Embrechts 2005].
Oznaczmy przez gξ, β funkcję gęstości rozkładu GPD, wtedy [McNeil, Frey
i Embrechts 2005]:
F (x ) 1 Nu
n
Nu
ln L(ξ , β, Y1 , }, YN u )
¦ ln g ξ, β (Yj ) j 1
N
Yj ·
§ 1· u §
N u ln β ¨ 1 ¸ ln ¨¨ 1 ξ ¸¸ .
β¹
© ξ¹ j 1 ©
¦
(5)
Yj
Funkcję tę maksymalizujemy pod warunkiem, że β > 0 oraz 1 ξ ! 0
β
dla każdego j.
Jeżeli wybierzemy zbyt dużą wartość progu, może to spowodować zmniejszenie liczby obserwacji niezbędnych do wyznaczenia wartości estymatorów,
co w konsekwencji zwiększa wariancję. Wybranie zbyt niskiego progu skutkuje
obciążeniem estymatora, gdyż do opisu „ogona” rozkładu użyto by zbyt dużo
centralnych obserwacji [Trzpiot 2010].
Najczęściej używaną metodą wyboru progu jest metoda graficzna, w której wykorzystywany jest wykres funkcji wartości oczekiwanej przekroczenia
(mean excess). Funkcja gęstości przekroczenia Fu opisuje rozkład strat przekroczeń ponad próg u, pod warunkiem że u jest osiągalne. Funkcja wartości
oczekiwanej przekroczeń opisuje wartość oczekiwaną Fu i dana jest wzorem
[McNeil, Frey i Embrechts 2005]:
e(u) = E(X – u | X > u).
(6)
112
Dla zmiennej losowej X oraz funkcji gęstości F = Gξ, β, funkcję gęstości
przekroczeń można obliczyć ze wzoru:
Fu(x) = Gξ, β(u)(x),
(7)
gdzie β(u) = β + ξu.
Wtedy funkcja wartości oczekiwanej przekroczenia dana jest równaniem:
e(u)
β ξu
.
1 ξ
(8)
Funkcja e(u) powinna być funkcją liniową, co stanowi kryterium wyboru
wartości u [Trzpiot 2010].
Czasami wybiera się jako próg wartość 5 lub 10% obserwacji w zależności
od liczebności próby. W niniejszym artykule zastosowano tę metodę wyboru
progu.
2. Wyznaczenie wartości zagrożonej oraz warunkowej
wartości zagrożonej
Wartość zagrożona jest jedną z powszechnie używanych miar ryzyka. Najprościej odpowiada ona na pytanie: ile możemy maksymalnie stracić w danym
czasie, z określonym prawdopodobieństwem [Jorion 1997]. Ze statystycznego
punktu widzenia VaR jest kwantylem rozkładu stóp zwrotu. W niniejszej
pracy do szacowania wartości zagrożonej wykorzystujemy teorię wartości
ekstremalnych oraz historyczną symulację.
Model POT
Model POT jest łatwiejszy do zastosowania, ze względu na ograniczoną liczbę
danych z ogona rozkładu. W celu wyznaczenia wartości zagrożonej stosujemy
wzór (4). Wtedy [Dowd 2002]:
·
β ª§ n
VaR u «¨
(1 α) ¸
ξ «© N u
¹
¬
ξ
º
1»,
»
¼
gdzie α jest współczynnikiem ufności (bliskim 1) dla VaR.
(9)
113
Warunkową wartość zagrożoną (expected shortfall – CVaR) możemy najprościej zdefiniować jako wartość oczekiwaną straty pod warunkiem, że strata
ta przekroczy wartość zagrożoną dla danego poziomu ufności [Rockafellar
i Uryasev 2000].
Stosując uogólniony rozkład Pareto, wyznaczamy warunkową wartość
zagrożoną ze wzoru:
CVaR
VaRα β ξu
.
1 ξ
1 ξ
(10)
Historyczna symulacja
Pierwszą, powszechnie używaną metodą oszacowania wartości zagrożonej jest
historyczna symulacja. Jest to najprostsza i najbardziej zrozumiała metoda
obliczania wartości zagrożonej. Polega ona na wykorzystaniu danych historycznych, czyli historycznych stóp zwrotu danego instrumentu finansowego,
które umożliwiają określenie empirycznego rozkładu stóp zwrotu. Pozwala
to na określenie wartości zagrożonej poprzez wyznaczenie kwantyla tego
rozkładu [Jajuga 2007].
3. Dane
W niniejszym artykule wyznaczono wartość zagrożoną i warunkową wartość
zagrożoną, wykorzystując uogólniony rozkład Pareto. Wyniki tych obliczeń
porównano z wynikami wyznaczenia VaR przy użyciu klasycznego podejścia
(wyznaczenie odpowiedniego kwantyla). Analizowano szeregi rt dziennych
logarytmicznych stóp zwrotu, które obliczono na podstawie wzoru:
rt = 100(ln Pt – ln Pt–1).
(11)
Notowania stóp zwrotu rozważanych surowców energetycznych pochodzą
z okresu od 2 stycznia 2007 do 28 marca 2013 roku, co daje 1595 stóp zwrotu.
Wybrano tak długi okres, aby umożliwić estymację parametrów rozkładu
Pareto.
W tabeli 1 umieszczono statystyki opisowe rozważanych logarytmicznych
stóp zwrotu z surowców energetycznych. Stopy zwrotu rozważanych paliw
energetycznych mają dodatnią średnią wartość stóp zwrotu. Tylko jeden surowiec, olej napędowy, ma prawostronną skośność, natomiast pozostałe mają
114
Tabela 1. Statystyki opisowe rozważanych stóp zwrotu
Statystyki
–12,96
18,59
0,01
2,4937670
Olej
napędowy
–9,64
11,26
0,00
2,0024554
–11,50
13,00
0,02
2,4688567
Olej
grzewczy
–9,49
8,39
0,02
2,0383759
–0,0351469
7,5330782
0,0925420
6,0589629
–0,2560778
6,4081596
–0,2037483
4,9185841
Ropa Brent
Ropa WTI
Minimum
–12,59
Maksimum
11,79
Średnia
0,02
Odchylenie
2,2858471
standardowe
Skośność
–0,2800958
Kurtoza
6,6786983
Benzyna
lewostronną skośność. Kurtoza dla danych stóp zwrotu jest większa aniżeli 3,
więc badane rozkłady nie są rozkładami normalnymi. Należy również zwrócić
uwagę na to, że zarówno najmniejszą minimalną, jak i największą maksymalną
dodatnią stopę zwrotu osiągnęła ropa WTI.
Rysunek 1 przestawia zachowanie się cen ropy Brent i ropy WTI. Można
zauważyć przybliżony ruch cen obu surowców energetycznych. Pierwszy
gwałtowny wzrost ceny ropy nastąpił w lipcu 2008 z około 50 dolarów za
baryłkę – z początku okresu badania – aż do 150 dolarów za baryłkę. Bezpośrednimi przyczynami gwałtownego wzrostu, po pierwsze, były obawy
o zakłócenia w dostawach surowca z Iranu spowodowane manewrami wojennymi przeprowadzanymi przez izraelską armię nad Irakiem, które mogły
sugerować atak na Iran. Po drugie, w Nigerii organizacja Ruch Wyzwolenia
Delty Nigru (MEND) zapowiedziała wznowienie ataków na instalacje produkcyjne i przesyłowe ropy naftowej.
We wrześniu 2008 roku upadł bank inwestycyjny Lehman Brothers. Dzień
jego upadku uznaje się za początek światowego kryzysu finansowego. Spowolnienie gospodarcze przyczyniło się do tego, że na początku 2009 roku cena
baryłki ropy Brent spadła do poziomu 40–45 dolarów. Na początku 2010 roku
cena wzrosła do poziomu 75–80 dolarów.
Protesty niezadowolenia społecznego, jakie wybuchły na początku 2011
roku w krajach Afryki i Bliskiego Wschodu, spowodowały, że cena ropy naftowej poszybowała w górę. W styczniu 2011 roku baryłka Brent kosztowała
średnio ponad 96 dolarów. W Libii 17 lutego 2011 roku wybuchły masowe
protesty przeciw długoletniemu panowaniu pułkownika Kadafiego. Doszło do
starć zbrojnych, co natychmiast przyczyniło się do tego, że już 24 lutego cena
ropy naftowej wzrosła do 120 dolarów; 2 marca 2011 roku cena nieznacznie
spadła do 116 dolarów za baryłkę.
115
Irański serwis informacyjny 1 marca 2012 roku podał, że wybuchł rurociąg
w Arabii Saudyjskiej. Informacja ta, jak się później okazało nieprawdziwa,
spowodowała skok ceny ropy Brent do 128 dolarów. Cena baryłki ropy Brent
w tamtym okresie wyniosła około 120 dolarów, o 20% więcej niż na początku
roku.
W Sudanie wystąpił konflikt, który również się przyczynił w dużej mierze do
światowego spadku podaży ropy i tym samym wpłynął na wzrost cen surowca.
Kolejne zakłócenia w światowych dostawach ropy naftowej są skutkiem
trwającego konfliktu w Syrii i nałożonego na ten kraj embarga, strajku pracowników sektora naftowego w Jemenie i modernizacji platform wiertniczych
na Morzu Północnym.
170
150
130
110
90
70
50
ropa WTI
ropa Brent
12.11.2012
25.06.2012
3.02.2012
14.09.2011
27.04.2011
6.12.2010
19.07.2010
26.02.2010
7.10.2009
18.05.2009
19.12.2008
31.07.2008
7.03.2008
16.10.2007
25.05.2007
2.01.2007
30
Rysunek 1. Dzienne ceny ropy Brent i ropy WTI (cena w dolarach amerykańskich za
baryłkę)
Tabela 2. Parametry uogólnionego rozkładu Pareto dla lewych i prawych „ogonów” rozkładu dla progu u = 10%
Surowce
energetyczne
Ropa Brent
Ropa WTI
Olej napędowy
Benzyna
Olej grzewczy
Źródło: Obliczenia własne.
Lewy ogon
β
ξ
2,411315
0,3
2,434506
0,3
1,603324
1,1
2,460540
0,3
1,603092
1,1
Prawy ogon
β
ξ
2,377689 –0,3
2,363828 –0,3
2,300342 –0,3
2,424361 –0,3
1,423678 –1,1
116
Z analizy danych zawartych w tabeli 2, w której umieszczono wyniki estymacji parametrów rozkładu GPD dla progu u = 10%, wynika, że wartości
parametru kształtu dla lewego „ogona” są dodatnie, natomiast dla prawego są
ujemne. Najwyższe wartości indeksu lewego „ogona” należą do surowców: olej
napędowy i olej grzewczy, co wiąże się z wyższym ryzykiem związanym z tymi
surowcami. Co więcej, wartości indeksu lewego „ogona” każdego z rozważanych instrumentów są cięższe od prawych, co oznacza, że wysokie ujemne
stopy zwrotu są bardziej prawdopodobne niż dodatnie.
Podobne wyniki można zaobserwować dla danych zawartych w tabeli 3,
w której znajdują się wyniki estymacji parametrów rozkładu GPD dla progu
u = 5%. Wartości parametru kształtu dla lewego „ogona” są dodatnie, natomiast dla prawego są ujemne. Podobne są wartości wyestymowanych parametrów dla ropy WTI, oleju napędowego oraz oleju grzewczego bez względu
na wybór progu. Może to być spowodowane tym, że wartości oszacowań
ustabilizowały się już dla progów wyższych aniżeli 5%. Zatem w przypadku
tych surowców energetycznych wybór progu pomiędzy 5 a 10% nie miał znaczenia. Można również przeprowadzić badanie, ukazujące przy jakim progu
wartości wyestymowanych parametrów się stabilizują, jednakże to nie było
głównym celem niniejszego badania.
Tabela 3. Parametry uogólnionego rozkładu Pareto dla
lewych i prawych „ogonów” rozkładu dla progu u = 5%
Surowce
energetyczne
Ropa Brent
Ropa WTI
Olej napędowy
Benzyna
Olej grzewczy
Lewy ogon
β
ξ
1,369552
1,1
2,414293
0,3
1,340253
1,1
1,894925
1,1
1,510520
1,1
Prawy ogon
β
ξ
2,331123 –0,3
2,380679 –0,3
2,332855 –0,3
2,410998 –0,3
1,451648 –1,1
Kolejny etap badania polegał na wyznaczeniu wartości zagrożonej (VaR)
oraz warunkowej wartości zagrożonej (CVaR) przy użyciu teorii wartości
ekstremalnych. Wartości te wyznaczono, korzystając ze wzorów (9) i (10).
Wyniki tych obliczeń porównano z wynikiem wartości zagrożonej otrzymanej
z historycznej symulacji (podejście klasyczne). Obliczenia wykonano dla poziomu α = 0,05 – prawy ogon rozkładu (tabela 4) oraz dla α = 0,95 (tabela 5).
Z tabeli 4 wynika, że jedynie dla surowca olej grzewczy wielkość wartości
zagrożonej jest niższa, jeżeli zastosujemy teorię wartości ekstremalnych dla
117
Tabela 4. Oszacowanie VaR i CVaR dla poziomu 1 – α = 0,95 z wykorzystaniem teorii
wartości ekstremalnych i podejściem klasycznym
GPD
Surowce energetyczne
Ropa Brent
Ropa WTI
Olej napędowy
Benzyna
Olej grzewczy
10%
VaR
3,93
4,21
3,62
4,23
3,18
5%
CVaR
5,41
5,68
5,06
5,74
3,49
VaR
3,44
3,69
3,07
3,73
3,25
CVaR
5,23
5,52
4,85
5,58
3,94
VaR –
podejście
klasyczne
3,44
3,69
3,01
3,73
3,25
progu u = 10%, aniżeli stosując metodę historycznej symulacji. Należy pamiętać o tym, że zarówno niedoszacowanie, jak i przeszacowanie wartości
zagrożonej może się wiązać z poważnymi konsekwencjami dla firm zarządzających ryzykiem. Niedoszacowanie wartości zagrożonej może powodować
brak płynności, natomiast przeszacowanie uniemożliwia wykorzystanie całkowitych środków na inwestycję. Wybór większej liczby obserwacji potrzebnej do oszacowania parametrów rozkładu ma wpływ na wielkość wartości
zagrożonej. Prawie dla każdego z rozpatrywanych surowców (wyjątkiem jest
olej grzewczy), wartość zagrożona osiąga większe wartości dla progu u = 10%
aniżeli dla progu u = 5%. Można również zaobserwować, że dla prawego
„ogona” rozkładu wielkość wartości zagrożonej dla progu u = 5% jest prawie
identyczna z wielkością VaR uzyskaną z podejścia klasycznego.
Wielkości wartości zagrożonej dla każdego rozważanego surowca (tabela 5)
są niższe, jeżeli stosujemy teorię wartości ekstremalnych, niż gdy stosujemy
podejście klasyczne. Zaobserwować można również, że dla ropy Brent i benTabela 5. Oszacowanie VaR i CVaR dla poziomu 1 – α = 0,05 z wykorzystaniem teorii
wartości ekstremalnych i podejściem klasycznym
GPD
Surowce energetyczne
Ropa Brent
Ropa WTI
Olej napędowy
Benzyna
Olej grzewczy
10%
VaR
–6,36
–6,65
–3,53
–6,78
–3,62
5%
CVaR
–4,60
–4,88
–4,86
–4,99
–4,97
VaR
–4,70
–8,69
–4,49
–5,79
–4,70
CVaR
–5,23
–7,26
–5,03
–6,52
–5,29
VaR –
podejście
klasyczne
–3,49
–3,93
–3,33
–4,11
–3,34
118
zyny wielkość wartości zagrożonej jest niższa dla progu u = 10% niż dla progu
u = 5%. Dla pozostałych surowców nie zachodzą podobne prawidłowości.
Ponadto dla ropy WTI spostrzec można, że wielkości VaR są wyższe aniżeli
CVaR. Dodatkowo wielkości VaR dla progu u = 10% i u = 5% są niższe niż
wartości otrzymane poprzez zastosowanie podejścia klasycznego.
Podsumowanie
Głównym celem niniejszego artykułu było zastosowanie teorii wartości ekstremalnych do wyznaczenia wartości zagrożonej i warunkowej wartości zagrożonej dla rynku surowców energetycznych.
Wyznaczono wartość zagrożoną i warunkową wartość zagrożoną, wykorzystując teorię wartości ekstremalnych, a w szczególności użyto uogólniony
rozkład Pareto. Wykorzystanie teorii wartości ekstremalnych jest korzystniejsze, gdyż umożliwia koncentrację na dokładniejszej estymacji jedynie
ogona rozkładu, zamiast modelować cały rozkład. Wyniki tych oszacowań
porównano z wynikami estymacji VaR przy użyciu klasycznego podejścia
(historycznej symulacji).
Analizowano dzienne logarytmiczne stopy zwrotu pięciu surowców energetycznych: ropy Brent, ropy WTI, oleju napędowego, benzyny oraz oleju
grzewczego. Wyniki przeprowadzonego badania pokazują, że w większości
wypadków wartości VaR otrzymane z wykorzystania teorii wartości ekstremalnych są wyższe dla α = 0,05 niż otrzymane z historycznej symulacji. W związku
z tym korzystniejsze jest wykorzystanie teorii wartości ekstremalnych, gdyż
niedoszacowanie wartości zagrożonej ma wpływ na płynność w przedsiębiorstwie. Ponadto można zaobserwować wyższe wartości CVaR aniżeli VaR, co
wynika z samej definicji warunkowej wartości zagrożonej, gdyż jest to średnia
wielkość wartości przekraczających VaR.
Bibliografia
Balkema, A., Haan, L. de, 1974, Residual Life Time at Great Age, Annals of Probability, vol. 2.
Cabedo, J.D., Moya, I., 2003, Estimating Oil Price Value at Risk Using the Historical Simulation
Approach, Energy Economics 25.
Davison, A.C., Smith, R.L., 1990, Models for Exceedances over High Threshold, Journal of Royal
Statistic Society 52 (3).
119
Danielsson, J., Vries, C.G. de, 1997, Tail Index Estimation with Very High Frequency Data,
Journal of Empirical Finance 4.
Dowd, K., 2002, Measuring Market Risk, John Wiley & Sons, Chichester.
Embrechts, P., Resnick, S., Samorodnitsky, G., 1999, Extreme Value Theory as a Risk Management
Tool, North American Actuary Journal 26.
Fan, Y., Zhang, Y.J., Tsai, H.T., Wei, Y.M., 2008, Estimating Value at Risk of Crude Oil Price and
its Spillover Effect Using the GED-GARCH Approach, Energy Economics 30.
Fisher, R.A., Tippett, H.C., 1928, Limiting Forms of the Frequency Distribution of the Largest and
Smallest Member of a Sample, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 24.
Gencay, R., Selcuk, F., 2004, Extreme Value Theory and Value at Risk: Relative Performance in
Emerging Markets, International Journal of Forecasting 20.
Hung, J.C., Lee, M.C., Liu, H.C., 2008, Estimation of Value at Risk for Energy Commodities Via
Fat-tailed GARCH Models, Energy Economics 30.
Jajuga, K., 2007, Zarządzanie ryzykiem, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
Jorion, P., 1997, Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk, McGraw-Hill,
New York.
Katz, R.W., Parlange, M.B., Naveau, P., 2002, Statistics of Extremes in Hydrology, Advances in
Water Resources 25.
Krehbiel, T., Adkins, L.C., 2005, Price Risk in the NYMEX Energy Complex: An Extreme Value
Approach, Journal of Futures Markets 25 (4).
Marimoutou, V., Raggad, B., Trabelsi, A., 2009, Extreme Value Theory and Value at Risk: Application to Oil Market, Energy Economics 31.
McNeil, A.J., 1998, Calculating Quantile Risk Measures for Financial Time Series Using Extreme
Value Theory, Department of Mathematics.
McNeil, A.J., 1999, Extreme Value Theory for risk managers, Mimeo ETZH Zentrum, Zurich.
McNeil, A.J., Frey, R., Embrechts, P., 2005, Quantitative Risk Management, Princeton University
Press, New Jersey.
Rockafellar, R.T., Uryasev, S., 2000, Optimization of Conditional Value-at-Risk, The Journal of
Risk, vol. 2, no. 3.
Schofield, N.C., 2007, Commodity Derivatives. Markets and Applications, John Wiley & Sons Ltd.
Trzpiot, G., 2010, Wielowymiarowe metody statystyczne w analizie ryzyka inwestycyjnego, Polskie
Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa.

Teoria wartości ekstremalnych - zastosowanie do sektora surowców

Transkrypt

Podobne dokumenty

skarb północy

czarne złoto

Dane makroekonomiczne ze Stanów Zjednoczonych (II)

Ceny ropy na światowych rynkach – czy utrzyma się

X-Trade Brokers - Portal Skarbiec.Biz