Akademik Anatolij T. Fomienko, profesor matematyki

Akademik Anatolij T. Fomienko, profesor matematyki, Rosja, Moskwa, Uniwersytet Moskiewski,
grafika przedstawia ciąg liczb losowych, gdzie każda z nich
jest umownie zakodowana swoim geometrycznym obrazem
Rozmowa dwunasta
Co wspólnego
ma kalafior
z matematyką?
231
– Rozmawiamy już trochę o różnych dziedzinach matematyki, obiektach,
twierdzeniach. Cały czas mam wrażenie, że matematyka zajmuje się
tworami mocno wyidealizowanymi. Trójkąty, koła, krzywe, wielościany,
bardzo pięknie, ale dokoła przecież tego nie ma. Wokół nas są drzewa,
chmury, dym z komina, błyskawice, sałata na talerzu albo kalafior,
cała masa nieregularnych kształtów. Czy matematycy jakoś sobie radzą
z takimi kształtami? Mimo wszystko, matematyka ma pomóc w opisie
rzeczywistości.
– Zanim zajmiemy się twoimi pytaniami, najpierw ja zapytam: czy kalafior
może mieć coś wspólnego z matematyką?
– No wiesz, można stwarzać różne problemy. Pytać o wagę, objętość,
kaloryczność. Unia może nakazać, że kalafior nie może przekraczać
jakiejś tam wagi i musi mieć odpowiednią barwę. Tu będzie pole
do popisu z zadaniami…
– Nie, mnie nie chodzi o zadania typu, ile kalafiorów unijnych mieści się
na ciężarówce, tylko o nieco głębszą matematykę.
– Nie wiem, co dla ciebie jest głębszą matematyką, jeśli jednak zadajesz
takie pytanie, to coś wiesz, ale ja nie mam pojęcia.
– Poniekąd masz rację, chodzi mi o kształt.
– Właśnie mówiłem, kalafior ma kształt, jakby to określić, niematematyczny.
Bo co to jest? Ani kula, ani walec, nie wiadomo co.
– Ma jednak pewną ciekawą cechę. Zobacz, jeśli od kalafiora oderwiemy
kawałek i popatrzymy na niego z bliska, to co widzimy?
232
Kalafior
Kalafior – odmiana Romanesco.
Rozmowa dwunasta
233
– Kawałek kalafiora.
– Odpowiadasz jak rasowy anegdotyczny matematyk, ale co on,
ten kawałek, przypomina?
– Noo... jakby cały kalafior.
– I o to chodzi. Kawałek kalafiora przypomina cały kalafior. A kawałek
tego kawałka też. To jest ważna cecha i w matematyce nazywa się samopodobieństwem.
– Czyli kalafior jest figurą samopodobną? To taka też jest prosta i płaszczyzna.
– Kalafior z pewnym przybliżeniem, a co do prostej i płaszczyzny masz
rację.
– No dobrze, ciekawa cecha, ale co z tego?
– Jest to jeden z elementów prowadzących do zrozumienia, jak to powiedziałeś, niematematycznych kształtów. Kluczowym terminem jest tutaj
fraktal...
– Oj, coś słyszałem o tym... Zaraz, zaraz. Jakiś czas temu, wszystkie
portale internetowe donosiły o śmierci pewnego matematyka.
Jak on się nazywał...?
– Benoit Mandelbrot.
– Może, wyleciało mi z głowy. Pisano też, że pokazał piękno matematyki
i właśnie wspominano o fraktalach. Były kolorowe obrazki. Zdziwiło mnie
to, bo gdy umiera matematyk, nawet wielki, to media milczą. Mówiłeś,
że niedawno zmarł William Thurston. Z tego co mówiłeś, wynika, że wybitny
matematyk. Gdzie o tym napisano?
– No tak, rzeczywiście, matematycy to nie celebryci. Chyba że jak Theodore
Kaczynski, podkładają bomby.
– Kto?
– Nie słyszałeś o Unabomberze? Był całkiem niezłym matematykiem,
napisał kilkanaście poważnych artykułów naukowych, ale po pewnym
czasie zrezygnował z matematyki, wyniósł się z miasta, zamieszkał
w chacie pozbawionej prądu i wody. Głośno się o nim zrobiło niespełna
30 lat później, pod koniec XX wieku, gdy okazało się, że to on wysyła
w paczkach do amerykańskich polityków, naukowców i biznesmenów
bomby, a do prasy manifesty protestujące przeciwko nowoczesnej
technice. Wyobraź sobie, że szukano go przez 17 lat, a nagroda za jego
zdemaskowanie wynosiła milion dolarów! Wtedy dopiero stał się sławny,
ale mało kto wiedział, że jest matematykiem z wykształcenia.
– A Mandelbrot?
– Rzeczywiście, gdy w październiku 2010 roku zmarł Benoit Mandelbrot,
to niemal natychmiast portale społecznościowe i radio podały tę informację
234
przypominając, że był on twórcą teorii fraktali, obiektów ukazujących
piękno matematyki. Bo rzeczywiście fraktale wyglądają bardzo ładnie.
Są kolorowe i nieco tajemnicze.
– Co to takiego te fraktale? A Mandelbrot musiał być chyba wyjątkowym
matematykiem.
– Najpierw może o Mandelbrocie. Benoit Mandelbrot urodził się
w Warszawie w 1924 roku. W latach trzydziestych XX wieku rodzina
wyemigrowała do Francji. Tam Mandelbrot ukończył studia i potem
pracował nie tylko na uniwersytetach. W 1957 roku wyjechał do USA,
gdzie rozpoczął pracę dla IBM. Interesował się przeróżnymi zastosowaniami matematyki. Studiując prace dwóch matematyków francuskich
Gastona Julii i Pierre’a Fatou poświęcone iteracjom pewnych funkcji
zespolonych i wykorzystując komputery otrzymał dziwnie złożone
zbiory, które ze względu na kształt nazwał fraktalami. Nazwa pochodzi
z łaciny: „fractus” oznacza „złamany” albo „ułamkowy”.
– A jak się je definiuje precyzyjnie?
– I z tym jest problem. W zasadzie nie ma jednej uniwersalnej, dobrej
definicji.
– Jak to możliwe? Sam mówiłeś, że w matematyce wszystko musi być
precyzyjnie zdefiniowane. A tu nie ma definicji?
– Naturalnie są rozmaite określenia, lecz różnorodność zbiorów, które
można by zaliczyć do fraktali jest tak ogromna, że często lepiej powiedzieć,
jakie cechy powinien mieć fraktal. Jedną z nich jest samopodobieństwo,
czyli że część jest podobna – lub ogólniej: przypomina – całość.
– Jak kalafior...
– Właśnie, lecz sam widzisz, warunek ten spełnia też prosta, a nikt jej
nie nazwie fraktalem. Tak samo płaszczyzny.
– A inna cecha?
– Ma nietrywialną strukturę w dowolnej skali.
– ???
– Wiem, że to brzmi niejasno. Z grubsza oznacza, że przy powiększaniu
pojawiają się coraz to nowe szczegóły.
– Przypominające całość? I jeszcze coś?
– Wymiar fraktalny nie jest liczbą całkowitą...
– No tak, teraz już wiem wszystko .
– Nie denerwuj się, już tłumaczę. Tak naprawdę, to powinienem powiedzieć, że wymiar Hausdorffa zbioru jest większy od jego wymiaru
topologicznego, ale wtedy długo musiałbym się tłumaczyć.
– Oj, chyba tak. To pierwsze określenie brzmi bardziej strawnie.
235
Fraktale na znaczkach
pocztowych
Rozmowa dwunasta
Fraktale
– Zacznijmy od takiego przykładu. Wyobraź sobie kwadrat podzielony
na cztery równe kwadraty. One są dwukrotnie mniejsze od wyjściowego,
zgoda?
– Oczywiście.
– Czyli 4=22. I zanim zaczniesz robić złośliwe uwagi, ta dwójka w wykładniku oznacza, że kwadrat ma wymiar 2. Podobnie sześcian mogę podzielić
na 8 jednakowych sześcianów dwa razy mniejszych od wyjściowego.
Tu 8=23. Sześcian ma więc wymiar 3.
– Jakby się zgadza.
– No to teraz ogólniej. Rozważmy figurę samopodobną, to znaczy taką,
którą można przedstawić jako sumę mniejszych jednakowych kawałków
podobnych do niej w skali s. Jeśli kawałków jest n, to szukamy takiej
liczby d, żeby n=sd albo wykorzystując logarytmy
236
d=
log n
= log s n
log s
Tę liczbę d nazywamy wymiarem samopodobieństwa albo wymiarem
fraktalnym zbioru.
– Poproszę o przykład.
– Proszę bardzo. Oto najstarszy historycznie przykład zbioru fraktalnego,
zbiór Cantora. Dany odcinek, na przykład jednostkowy, dzielimy na trzy
równe części. Wyrzucamy środkową. Każdą z pozostałych części dzielimy
znów na trzy równe części, wyrzucamy środkowe i tak w nieskończoność.
Na końcu...
– Po nieskończenie wielu krokach.
– Tak, po nieskończenie wielu krokach dostajemy zbiór nazwany nazwiskiem Georga Cantora, twórcy teorii mnogości. Z każdej części otrzymujemy dwie nowe, trzy razy mniejsze od wyjściowej. Wymiar fraktalny
to d=log32, w przybliżeniu 0,6309... Zgodnie z opisanymi cechami zbiór
Cantora spełnia warunki wymagane od fraktali.
– To Cantor wymyślił ten przykład?
– Tak i, jak powiedziałem, był to pierwszy historycznie fraktal, choć nikt
wtedy nie używał tego określenia. Inny, tu polski akcent, to dywan Sierpińskiego. Kwadrat dzielimy na dziewięć jednakowych kwadratów. Usuwamy
środkowy. Każdy z ośmiu pozostałych znów dzielimy na dziewięć części
log 8
i tak dalej. Jego wymiar fraktalny jest więc równy log 3 , czyli około 1,8928...
Na początku XX wieku pojawiło się więcej takich przykładów. Sierpiński
opisał jeszcze inny obiekt nazywany dziś trójkątem Sierpińskiego, za
granicą częściej piszą o uszczelce Sierpińskiego. Tym razem w trójkącie
równobocznym wybieramy środki boków, łączymy je i w ten sposób
dostajemy podział trójkąta na cztery jednakowe trójkąty. Wyrzucamy
środkowy i... dalej wiesz, co będzie. Jest jeszcze krzywa von Kocha, płatek
śniegowy i wiele innych. Wiesz już na czym to polega?
237
Zbiór Cantora na znaczku pocztowym
Rozmowa dwunasta
Pierwsze etapy konstrukcji zbioru Cantora
Pierwsze etapy konstrukcji dywanu Sierpińskiego
Pierwsze etapy konstrukcji krzywej
trójkątowej Sierpińskiego
Pierwsze etapy konstrukcji krzywej
von Kocha
Krzywa trójkątowa Sierpińskiego
na znaczku pocztowym
238
Krzywa trójkątowa Sierpińskiego
na znaczku pocztowym
Płatek von Kocha na znaczku pocztowym
Krzywa von Kocha na znaczku
pocztowym
Rozmowa dwunasta
239
– Tak. W ten sposób można konstruować mnóstwo innych przykładów.
W przestrzeni też?
– Jak najbardziej. Odpowiednikiem dywanu Sierpińskiego jest kostka
Mengera. Istnieje też wersja przestrzenna krzywej trójkątowej.
– Ładne obrazki. Figury skomplikowane, lecz jednak bardzo regularne.
Jak to się ma do nieregularnych kształtów chmur, fal morskich itp.?
– Zaraz, zaraz. To są przykłady niejako wprowadzające, ilustrujące ideę
fraktali. Mandelbrot wykonał dzięki komputerom wizualizację pewnych
specjalnych zbiorów pojawiających się w teorii funkcji zmiennej
zespolonej. Zaskoczył go stopień ich złożoności i zachwyciło piękno.
Zaskoczyło go jeszcze jedno i to też często uważa się za cechę charakterystyczną fraktali.
– Co takiego?
– Ma stosunkowo prostą definicję rekurencyjną.
– ???
– Chodzi o to, że wzór opisujący taki zbiór jest względnie prosty.
– To „względnie” to chyba bardzo umownie, bo jak taki skomplikowany
dziwoląg może być opisany prostym wzorem?
– Wyobraź sobie, że może. I to jest właśnie niezwykłe przy fraktalach.
Wszystko zaczęło się, może niewinnie, od iteracji.
– Wspomniałeś przed chwilą coś o tym, kojarzy się z przybliżaniem.
– To także. Pewnie bawiłeś się czasem kalkulatorem, powtarzając
wielokrotnie tę samą operację.
Kostka Mengera
Piramida Sierpińskiego
240
– Tak. Wybierałem liczbę i przyciskałem na przykład klawisz podnoszenia
do kwadratu albo pierwiastka kwadratowego.
– Pamiętasz, co się wtedy działo?
– Jak wziąłem dwójkę, to rosło nieograniczenie.
– Dla podnoszenia do kwadratu.
– Tak, tak. Ciekawiło mnie jak długo kalkulator wytrzyma.
– Zawsze tak rosło?
– A nie. Dla jedynki nic się nie działo, wiadomo. Na przykład dla 0,5 maleje
do zera.
– Pamiętasz, co się działo z pierwiastkowaniem?
– Tak, bo mnie zaskoczyło. Jeśli tylko nie zaczynałem od zera, to zawsze
dochodziłem do jedynki.
– Przyjrzyjmy się odwzorowaniu danemu wzorem ƒ(z)=z2+c .
– O, funkcja kwadratowa, to proste. Nie miałem z nią kłopotu w szkole.
– Poczekaj, poczekaj. Cieszę się, że tak uważasz, ale nie wiesz, co chcę
zrobić. Zrobimy tak, jak na kalkulatorze, tylko jeszcze dla uproszczenia
niech c=0, lecz rozważajmy nie liczby rzeczywiste, a zespolone.
– Oj, to gorzej.
– Ależ nie, po prostu liczby interpretujemy jako punkty na płaszczyźnie.
Reguły dodawania i mnożenia punktów na płaszczyźnie są proste.
Liczymy ƒ(z), ƒ(ƒ(z)), ƒ(ƒ(ƒ(z))),... i tak dalej. To są właśnie iteracje.
Patrzymy, co się dzieje z tym ciągiem, który nazywamy orbitą punktu z.
– No, ciekawe.
– Prawie sam to powiedziałeś. Tylko teraz mamy sytuację na płaszczyźnie.
Ważne jest koło jednostkowe o środku w punkcie (0,0). Jeśli z leży
na zewnątrz koła, to obrazy punktu uciekają do nieskończoności.
Gdy z leży wewnątrz tego koła, to punkty orbity zmierzają do środka,
gdy zaś z leży na okręgu jednostkowym, to punkty jego orbity biegają
Jeśli liczby zespolone traktujemy jako punkty płaszczyzny, to działania na nich wyglądają
następująco
(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
(a,b)·(c,d)=(ac–bd+bc)
Nietrudno sprawdza się, że działania tak określone mają wszystkie „porządne” własności,
to znaczy zachowują się jak działania na liczbach rzeczywistych. Liczby rzeczywiste interpretujemy jako pary (a,0). Jednostka urojona i to (0,1). Natychmiast wylicza się, że i2= (–1,0).
po okręgu w sposób, można powiedzieć, nieprzewidywalny. Zbiór takich
punktów, w tym przypadku ten okrąg, nazywany jest zbiorem Julii
odwzorowania ƒ.
Zbiór Julii dla odwzorowania
ƒ(z)=z2+c
241
Rozmowa dwunasta
dla c = –0,73 + 0,19i
Zbiór Julii dla odwzorowania
ƒ(z)=z2+c
dla c = –0,1+ 0,651i
Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota – fragmenty (żółte ramki wskazują kolejne powiększenia)
Zbiór Mandelbrota można też zdefiniować na wiele innych sposobów. Oto jeszcze jeden
z nich. Rozważamy ciąg punktów płaszczyzny zespolonej określony wzorami z0=0
i zn+1=zn2+ c, gdzie c jest dowolną, ustaloną liczbą zespoloną. Zbiór Mandelbrota składa się
ze wszystkich takich parametrów c, dla których opisany ciąg nie dąży do nieskończoności.
242
Zbiór Mandelbrota
na znaczku pocztowym
Zbiór Mandelbrota
Rozmowa dwunasta
243
– Okrąg to bardzo porządny zbiór…
– Jeśli teraz weźmiemy ƒ(z)=z2+c i c będzie różne od zera, to już sprawa
wygląda inaczej. Też są punkty uciekające do nieskończoności i zbiegające
do zera. Naturalne pytanie brzmi: gdzie jest zbiór Julii odwzorowania ƒ?
Okazuje się, że jest to brzeg zbioru tych punktów, które podczas iteracji
uciekają do nieskończoności.
– Czyli to są te punkty, których iteracje nie uciekają do nieskończoności
ani nie zbiegają do zera.
– Można tak przyjąć. Nie będziemy wchodzić w szczegóły. Teraz jednak
zbiór Julii wygląda zaskakująco dziwacznie.
– Dlaczego tak się dzieje?
– Tego właśnie nie wiemy. Jedno jest faktem: proste zależności prowadzą
do skomplikowanych sytuacji, wręcz chaosu.
– Chaos opisany prostymi zależnościami, to niezwykłe.
– To właśnie fascynuje badających fraktale, bo zbiory Julii są typowymi
fraktalami. I teraz już blisko do zbioru Mandelbrota, chyba najsłynniejszego fraktala. Jest to naprawdę zbiór niezwykły.
– Czy możesz choć pobieżnie powiedzieć, jak otrzymać ten zbiór?
– Nie ma sprawy. Zbiór Mandelbrota tworzą te parametry c funkcji
ƒ(z)=z2+c, dla których zbiory Julii są w jednym kawałku. Jak mówiłem,
niewielkie zmiany parametru c powodują ogromne zmiany zbiorów Julii.
Gdy c jest bliskie zeru, to co prawda zbiór Julii absolutnie nie przypomina okręgu, lecz jest w jednym kawałku. Później wszystko tylko się
komplikuje, a efektem tego jest właśnie zbiór Mandelbrota.
– Co takiego, poza kształtem oczywiście, jest w zbiorze Mandelbrota,
że budzi on takie zainteresowanie?
– Kształt zbioru Mandelbrota rzeczywiście fascynuje niemal wszystkich,
którzy go choć raz zobaczyli. Nietrudno można znaleźć w Internecie
filmiki pokazujące powiększanie tego zbioru i ukazujące bogactwo jego
struktury. Jest to zbiór w pewnym sensie uniwersalny, stanowi katalog
wszystkich zbiorów Julii. Poznanie natury zbioru Mandelbrota rzuciłoby
światło na wiele problemów dotyczących zbiorów Julii, iteracji i chaosu.
A natura ta nie jest w pełni poznana, jest cała masa ważnych pytań.
O zbiorze Mandelbrota mówi się czasem, że jest to odcisk palca Pana
Boga.
– Niezmiennie zapytam o znaczenie praktyczne.
– Przewidziałem to. Najpierw jednak powiem coś o ideologii związanej
z fraktalami, bo miała ona wpływ na zastosowania.
– Ideologia, trochę niebezpieczne.
244
– Mam tego świadomość, lecz teoria fraktali to ideologia pomieszana
z konkretną matematyką. W 1982 roku ukazała się, jak to się często
obecnie mówi, kultowa książka Mandelbrota „The Fractal Geometry
of Nature” czyli „Fraktalna geometria natury” albo rzeczywistości.
Nie potrafię opisać mojego zachwytu z chwili, w której po raz miałem
w ręce tę książkę. Ileż tam było pięknych obrazków rozmaitych
dziwnych zbiorów! Podziwiałem urok tych fraktali.
Zbiór Mandelbrota – fragmenty
Rozmowa dwunasta
245
– Kolejny przykład piękna w matematyce?
– A co, czyżby nie? Popatrz sobie na te obrazki ☺. Książka Mandelbrota
to nie był klasyczny podręcznik matematyczny. Na próżno szukać w nim
definicji, wyróżnionych twierdzeń, dowodów. Gdy później mogłem
spokojnie ją przeczytać, to zrozumiałem, że jest to swoisty manifest
Mandelbrota. Nawiązuje do twojego pytania zadanego na początku.
– Czy chodzi o opis przyrody, sądząc po tytule?
– Dokładnie. Dotychczas matematyka opisywała twory idealne, wielościany,
koła, kule itp. Nie zajmowała się tworami ulotnymi takimi, jak dym,
chmury, łańcuchy górskie, korony drzew itp. Pojawienie się fraktali
pozwoliło wreszcie na matematyczne uchwycenie tych kształtów.
Bo otaczająca nas przyroda pełna jest fraktalnych kształtów. Począwszy
od kalafiora i innych warzyw, aż po galaktyki i mgławice gwiezdne.
Fraktale są w mikro- i makroświecie. Fraktale zastąpią w badaniach
figury idealne studiowane od czasów starożytnych. To miała być rewolucja
na miarę odkrycia niewymierności, czy geometrii nieeuklidesowych.
– I była?
– Chyba jeszcze za wcześnie, by jednoznacznie to stwierdzić. Są wielcy
zwolennicy i propagatorzy, lecz nie brakuje też sceptyków. Piękne
obrazki, zgoda, ale gdzie tu przełomowa teoria zmieniająca oblicze
matematyki?
– A zastosowania?
– Właśnie. Fraktale znalazły przeróżne i często zaskakujące zastosowania.
Masz komórkę?
– Oczywiście.
– Antena w komórce ma kształt fraktalny, zwiększa to możliwości anteny.
Zapewne masz też w komórce aparat fotograficzny, być może z tak
zwanym cyfrowym zoomem. Cyfrowe powiększenie, to także wykorzystanie fraktali związane z kompresją obrazów. Dzięki metodom fraktalnym można odtworzyć obraz z niewielkiej ilości danych. Ma to ogromne
znaczenie właśnie przy przesyłaniu obrazów i w ogóle danych. Zauważ,
że cieniutkim kablem można przesyłać nie tylko sygnał telefoniczny,
ale także Internet i setki kanałów telewizyjnych – to również efekt
wykorzystania między innymi technik fraktalnych.
– Rzeczywiście; można mieć na linii telefonicznej Internet i telewizję.
Nigdy się nad tym nie zastanawiałem, jak to jest. Podobnie jak z cyfrowym zoomem.
– A to jeszcze nie wszystko. Zauważono, że obiekty natury takie, jak góry,
fale morskie, ten już przysłowiowy kalafior, paprocie itd. można generować
246
graficznie za pomocą obiektów fraktalnych wykorzystując metody
iteracyjne i całkiem nieskomplikowane przekształcenia. W prosty sposób
można uzyskać bajkowe krajobrazy. Znalazło to zastosowanie przy
efektach specjalnych w filmach. Oglądając znane filmy z fantastycznymi
sceneriami nawet nie zdajemy sobie sprawy, jak wiele tam jest technik
fraktalnych i matematyki w ogóle.
– No, to rzeczywiście zastosowania są niezwykłe.
– Nie wspomniałem jeszcze o możliwych zastosowaniach w medycynie
i biologii. Artyści też zainteresowali się fraktalami.
– Wspomniałeś parę razy o chaosie. Czyżby matematyka i temu dała radę?
– Są różne określenia chaosu. W matematyce często związane jest to
z sytuacją, w której niewielka zmiana warunków początkowych powoduje
zaskakująco nieprzewidywalne efekty. Fachowo nazywa się to chaosem
deterministycznym, a bardziej poglądowo efektem motyla.
– ???
– Motyl trzepocząc skrzydłami nad naszą łąką może spowodować burzę
piaskową na Saharze.
– Żartujesz, to możliwe?
– Teoretycznie tak. Wiele zjawisk, jak choćby ruchy planet, opisywanych
jest przez konkretne równania matematyczne. Wydawałoby się więc,
że wystarczy te równania rozwiązać i wszystko wiadomo. Ze względu
na komplikacje rozwiązania otrzymuje się w przybliżeniu, numerycznie.
Zauważono, nie bez zdziwienia, że bardzo niewielkie zmiany warunków
początkowych mogą prowadzić do skrajnie różnych rozwiązań.
To powoduje między innymi, że wszelkie prognozy pogody powyżej
48 godzin są obarczone wielkim błędem i mało wiarygodne. Im krótszy
czas, tym prognoza pewniejsza. I nie da się nic zrobić. Tak samo jest
z wieloma innymi zjawiskami w fizyce, chemii...
Przyroda fraktalna
247
Rozmowa dwunasta
– Wiesz, po tym wszystkim, co usłyszałem, nie dziwi mnie, że media
tak licznie odnotowały śmierć Mandelbrota.
– Tak, bo choć może nie stworzył wielkiej teorii matematycznej, to zwrócił
uwagę na pewne sprawy, które dotychczas w matematyce omijano i rzeczywiście pokazał piękne aspekty matematyki.