Materiały pomocnicze do zajęć pt. „Analiza MES zagadnień - L-5

Materiały pomocnicze do zajęć pt.
„Analiza MES zagadnień sprężystoplastycznych – program ABAQUS”
Piotr Mika
Maj 2011
1
1. Program ABAQUS – typy analizy
W ABAQUS są dostępne dwa rodzaje analizy – liniowa i nieliniowa. Podstawowe różnice pomiędzy
tymi analizami opisano poniżej.
1.1.
Analiza liniowa
Zakłada liniową relację pomiędzy przyłożonym
obciążeniem a odpowiedzią układu, np. przemieszczeniem. Oznacza to, że obliczenia (agregacja
macierzy sztywności i policzenie macierzy odwrotnej)
muszą być wykonane tylko raz. Liniowa odpowiedź
konstrukcji dla innego przypadku obciążenia może być
znaleziona przez pomnożenie wektora obciążeń przez
odwróconą macierz sztywności. Ponadto odpowiedź
konstrukcji na kombinację obciążeń jest sumą uzyskanych
rozwiązań dla prostych przypadków obciążenia
z ewentualnym uwzględnieniem mnożników skalujących.
Zakłada się tutaj, że warunki brzegowe są takie same dla
wszystkich przypadków obciążenia.
1.2.
Rysunek 1 Analiza liniowa – sztywność jest stała
Analiza nieliniowa
Analiza nieliniowa uwzględnia zmianę sztywności
konstrukcji podczas jej deformacji, co charakteryzuje
praktycznie wszystkie rzeczywiste konstrukcje. Analiza
liniowa jest wygodnym uproszczeniem, które jest
nieadekwatne do modelowania takich procesów jak
walcowanie, symulacja zderzeń, analiza elementów
gumowych (np. opon).
Sztywność
konstrukcji
jest
zależna
od
Rysunek 2 Analiza nieliniowa – sztywność nie jest
przemieszczenia, więc początkowa odpowiedź
stała
konstrukcji nie może być wykorzystana do określenia
odwiedzi konstrukcji dla innego obciążenia.
Agregacja macierzy sztywności i policzenie macierzy odwrotnej muszą być wykonywane wielokrotnie
podczas analizy nieliniowej, czyniąc ją znacznie bardziej złożoną i czasochłonną w porównaniu do
obliczeń liniowych. Odpowiedź konstrukcji na kombinację obciążeń nie jest sumą uzyskanych
rozwiązań dla prostych przypadków obciążenia i nie jest możliwe znalezienie rozwiązania przez
dokonanie superpozycji wyników dla prostych stanów. Każdy przypadek obciążenia musi być
zdefiniowany i rozwiązany jako osobne zadanie.
1.1.1. Źródła nieliniowości
Wskazuje się na trzy rodzaje nieliniowości:



Nieliniowość materiałową
Nieliniowość brzegową
Nieliniowość geometryczną
2
Zależność
pomiędzy
naprężeniem
a
odkształceniem dla materiałów nieliniowych metali zilustrowano na sąsiednim rysunku
(Rysunek 3).
Materiały
gumopodobne
mogą
być
modelowane przez nieliniową, odwracalną
zależność (Rysunek 4).
Miarą nieliniowości materiału może być inna
wielkość niż odkształcenie. Formą nieliniowości
materiałowych są stałe zależne od prędkości
odkształceń czy uszkodzenie materiału.
Właściwości materiałowe mogą być również
zależne
od
temperatury
lub
innych
predefiniowanych pól.
W ABAQUSie znajduje się większość modeli
konstytutywnych materiałów inżynierskich,
takich jak metale, tworzywa sztuczne,
materiały gumowe, pianki, kompozyty, beton
sprężony, grunty.
Nieliniowość brzegowa jest spowodowana
zmiennymi w trakcie procesu obciążania
warunkami brzegowymi, co ilustruje Rysunek 5.
Belka wspornikowa ugina się swobodnie pod
wpływem działającej siły do momentu kontaktu
z podporą. W zakresie małych przemieszczeń
odpowiedź konstrukcji jest liniowa do
momentu kontaktu z podporą, później
następuje gwałtowna zmiana warunków
brzegowych na końcu belki, blokująca dalsze
swobodne ugięcie. Od tej chwili obserwujemy
nieliniową odpowiedź konstrukcji
Rysunek 3
Rysunek 4
Rysunek 5
Trzeci typ nieliniowości wynika ze zmiany
kształtu modelu w czasie analizy. Nieliniowości
geometryczne występują, jeśli wielkość
przemieszczeń
wpływa
na
odpowiedź
konstrukcji, co może być spowodowane przez:
 duże ugięcia lub obroty
 przeskok (snap through)
 początkowe naprężenia lub zmianę
sztywności konstrukcji spowodowaną
Rysunek 6
obciążeniem (load stiffening)
 duże odkształcenia
Rysunek 6 ilustruje belkę wspornikową obciążoną siłą skupioną przyłożoną na swobodnym końcu
belki. Dla małych ugięć można przeprowadzić analizę liniową. Jeśli ugięcia konstrukcji są duże, jej
kształt (i sztywność) się zmienia, a jeśli dodatkowo obciążenie nie pozostaje prostopadłe do osi belki,
zmienia się znacząco wpływ tego obciążenia na konstrukcję. W takim przypadku obciążenie jest sumą
składowej prostopadłej i stycznej do osi belki, a oba składniki wpływają na nieliniową odpowiedź tej
konstrukcji (tzn. zmianę sztywności belki).
3
Duże ugięcia i obroty w porównaniu do rozmiarów konstrukcji nie są jedyną przyczyną stosowania
analiz nieliniowych. Ilustruje to zjawisko snap-through – Rysunek 7.
Rysunek 7
W przypadku „snap through”, dotyczącego mało wyniosłych powłok, wielkość przemieszczeń jest
nieznaczna w stosunku do wymiarów panela. Występuje natomiast znacząca zmiana sztywności w
trakcie symulacji, co musi zostać uwzględnione w obliczeniach.
1.3.
Rozwiązanie problemów nieliniowych
ABAQUS/Standard stosuje metodę Newtona-Raphsona do otrzymania rozwiązania problemów
nieliniowych. Rozwiązanie jest znajdowane w wyniku zastosowania analizy przyrostowej – obciążenie
jest przykładane stopniowo, w kolejnych przyrostach, w których prowadzone są obliczenia dla
pewnego poziomu obciążenia, aż do osiągnięcia całej zadanej wartości. ABAQUS dzieli cały proces na
pewną liczbę przyrostów obciążenia i znajduje przybliżoną – z zadaną dokładnością - konfigurację
równowagi na końcu każdego z przyrostów. Często, aby otrzymać akceptowalne rozwiązanie w
danym przyroście, należy przeprowadzić wiele iteracji.
2. Kroki, przyrosty i iteracje (do zdefiniowania zadania – patrz przykład)
W programie ABAQUS historia obciążenia jest podzielona na jeden lub więcej kroków. Użytkownik
definiuje krok (step), który zawiera typ analizy, obciążenie, warunki brzegowe i wymagania dotyczące
wyników, które użytkownik chce analizować.
Przyrost (increment) jest częścią kroku. W analizie nieliniowej obciążenie przyłożone w kroku jest
podzielone na mniejsze przyrosty tak, aby można było odtworzyć ścieżkę równowagi. W programie
należy zadać wielkość pierwszego przyrostu, natomiast dalsze przyrosty mogą być dobierane
automatycznie przez program. Na końcu każdego z przyrostów są zapisywane wyniki, które są
dostępne w postprocesingu.
Iteracja (iteration) oznacza próbę zalezienia rozwiązania równowagi w danym przyroście. Jeśli model
nie jest w równowadze na końcu iteracji, ABAQUS próbuje innej, poprawionej iteracji. Z każdą
iteracją rozwiązanie otrzymane przez ABAQUS powinno być bliżej położenia równowagi. Po
osiągnięciu położenia równowagi iteracja jest zakończona.
Szczegóły doboru automatycznego przyrostu obciążenia w ABAQUS są dostępne w oknie Job
Diagnostis.
4
2. Przykład – płaska wyżłobiona płyta obciążona ciśnieniem
2.1.
Budowa modelu
Wykonamy obliczenia dla płyty o wymiarach 16x15x3 cm, wykonanej ze stali o E=2.0E7 N/cm2 oraz
=0.33. Konstrukcja jest obciążona nierównomiernym, zależnym od odległości od krawędzi karbu,
ciśnieniem p o rozkładzie px2/100 oraz wartości p =383 N/cm2 (jest to zmodyfikowany przykład
zaczerpnięty z podręcznika [2])
1. Definicja geometrii
Zaczynamy w module PART – Create Part
i podajemy następujące dane:
Name: plyta, Modeling space: 3D, Type:
Deformable, Shape: Solid, Typ: Extrusion
(generowanie modelu przez rozciągnięcie),
Approximate size: 80.
W szkicowniku rysujemy prostokąt (Create Lines:
Rectangle) pomiędzy punktami o współrzędnych
(0,0) i (16,3). Następnie rysujemy koło (Create Circle)
o środku w punkcie (6,3) zawierające punkt (7.5, 3).
Ikoną Auto-Trim
usuwamy niepotrzebne
fragmenty rysunku – górny półokrąg i fragment
prostokąta – średnicę.
Po wyjściu ze szkicownika podajemy szerokość
konstrukcji Depth – 15, otrzymując geometryczny
model konstrukcji, zilustrowany obok.
5
2. Definicja materiału
W następnym kroku tworzymy materiał (Create
Material) – nazwa – stal, Mechanical-ElasticityElastic, E=2E7, =0.33.
4e4
Następnie zadajemy granicę plastyczności Mechanical-Plasticity-Plastic równą 4E4 (Yield stress)
i zerową wartość plastic strains.
Kolejnym krokiem jest stworzenie przekroju – Sections/Create Section akceptując ustawienia
domyślne (Solid, homogeneous) i przypisanie przekroju do modelu – polecenie Assign Section
znajduje się pod nazwą zadania plyta. Po wybraniu tego polecenia wskazujemy naszą konstrukcję i
akceptujemy Done.
Kolejnym krokiem jest określenie globalnego układu odniesienia Assembly – Instance Part, wybierając
Instance Type – Indepedent (Mesh on instance).
3. Definicja kroków obliczeniowych
Oprócz domyślnie zdefiniowanego kroku initial musimy zdefiniować krok, w którym zadamy
obciążenia - Step – Create Step, Name-cisnienie, Procedure Type: General, rodzaj analizy: Static,
General. Proszę sprawdzić parametry podane w karcie Incrementation kroku ciśnienie.
4. Definicja warunków brzegowych i obciążenia
W kroku Initial tworzymy warunki
brzegowe - Create Boundary
Conditions, Name: podparcie, Step:
Initial, Category: Mechanical, Types
for
Selected
Step:
Symmetry/Antisymmetry/Encastre.
Następnie wybieramy Continue, po
wskazaniu
bocznej
płaszczyzny
zadajemy u1=u2=u3=0 (pinned).
6
W kroku cisnienie zadajemy obciążenie
Loads, Name: nierownomierne, Step
cisnienie, Category: Mechanical, Types
for Selected Step: Pressure. Po wybraniu
Continue wskazujemy górną płaszczyznę
po prawej stronie karbu i wybieramy
Done. Po prawej stronie okna
wybieramy opcję Create i wpisujemy
wyrażenie pow(X,2)/100, OK. Następnie
w polu Distribution, z rozwijalnej listy
wybieramy opcję (A) AnalyticalField-1,
i w polu Magnitude: wpisujemy wartość
383, na koniec zatwierdzamy OK.
5. Generacja siatki MES
W Module Mesh, w menu Seeds wybieramy
polecenie Instance i wprowadzamy dane:
Approximate global size: 2, maximum deviation
factor 0.2, zatwierdzając OK.
W menu Mesh/Element Type wybieramy Family:
3D Stress, Geometric Order: quadratic, natomiast
w menu Mesh/Controls wybieramy Element Type:
Hex, Technique: Sweep, Algorithm: Medial axis z
zaznaczoną opcją Mesh transition, zatwierdzamy
OK.
Siatkę tworzymy poleceniem Mesh Instance z
menu Mesh. Utworzona siatka składa się z 144
elementów typu C3d20R i 959 węzłów
6. Przeprowadzenie obliczeń
W module Job – Create Job, name: plyta, job type: Full Analysis, zatwierdzamy OK. Uruchamiając
opcję monitor w managerze obliczeń, możemy śledzić ilość iteracji w poszczególnych przyrostach w
obrębie danego kroku obliczeniowego.
Rysunek 8 Monitor obliczeń
7
Pierwsza kolumna wskazuje na numer kroku – w tym wypadku mamy tylko jeden krok; druga
kolumna podaje numer przyrostu. Kolumna 6 Total Iter podaje ilość iteracji potrzebnych do uzyskania
równowagi w każdym z przyrostów. Kolumna przedostatnia podaje całkowity czas, natomiast
kolumna ostatnia przyrost czasu. Widać tutaj, że z powodu niemożności uzyskania rozwiązania w 7
przyroście, ABAQUS automatycznie redukuje przyrost czasu (dwa ostatnie wiersze tabeli).
2.2.
Postprocesing
3. Kontrola zbieżności iteracji
Po zakończeniu obliczeń możemy w module visualisation uruchomić opcję Job Diagnostic z menu
Tools. Po wskazaniu na Attempt, w karcie Summary, otrzymujemy podstawowe informacje o liczbie
iteracji. Dalej rozwijając drzewo z lewej strony okna, przechodzimy do iteracji – w karcie Summary
sprawdzamy, czy iteracja jest zbieżna, a jeśli nie, to w karcie Residuals odczytujemy z jakiego powodu
iteracja nie jest zbieżna (Rysunek 9). Są tu podane wartości największej siły rezydualnej, największego
przyrostu przemieszczenia oraz największego współczynnika korygującego przemieszczenie c.
Zaznaczając opcję Highlight selection in viewport możemy zobaczyć miejsce w naszym modelu, gdzie
te wartości są osiągnięte (czerwony punkt).
Rysunek 9 Okno Job diagnostics – pierwsza iteracja
Ponieważ w przyroście 1, w żadnej z siedmiu początkowych iteracji, nie zostało uzyskane rozwiązanie
równowagi, ABAQUS zredukował przyrost czasu i przeprowadził kolejną próbę, gdzie rozwiązanie
równowagi zostało znalezione w pierwszej iteracji (spełnienie warunków dotyczących sił
rezydualnych i przemieszczeń):
8
Rysunek 10 Okno Job diagnostics – druga próba
Rysunek 11 ilustruje wartości rezydualne w pierwszej iteracji przyrostu 2, w którym zostało
znalezione rozwiązanie:
Rysunek 11 Job diagnostics - druga iteracja
ABAQUS pozwala również wyświetlić elementy, w których wystąpiły duże przyrosty odkształceń w
punktach całkowania– karta Elements. Za duże przyrosty odkształceń przyjęto te, których wartość
przekracza 50 razy wartość początkowych odkształceń przy uplastycznieniu, Rysunek 12
9
Rysunek 12 Job diagnostics – karta Elements
4. Wyniki kontrolne
Jako wyniki kontrolne wyświetlimy mapy konturowe wartości maksymalnych naprężeń głównych,
(Rysunek 13) oraz wartości naprężeń zastępczych Misesa, (Rysunek 14) (Plot/Contours, wybór
zmiennych – Results/Field Output)
Rysunek 13 Maksymalne naprężenia główne
10
Rysunek 14 Naprężenia zastępcze (Misesa)
5. Obliczenia z uwzględnieniem wzmocnienia plastycznego
W module property zmieniamy wartość granicy plastyczności w pozycji Plastic, w oknie dotyczącym
definicji materiału (Materials/Edit Material) oraz dodajemy dodatkowy wiersz podając wartości 4.5e4
oraz 0.3. W pierwszym wierszu zmieniamy granicę plastyczności na 3.0e3.
0.3
Rysunek 15 Definicja materiału plastycznego ze wzmocnieniem
Następnie ponownie wykonujemy obliczenia. Wyniki kontrolne dla naprężeń zastępczych Misesa dla
materiału plastycznego ze wzmocnieniem są zamieszczone poniżej (Rysunek 16)
11
B
A
Rysunek 16 Wyniki kontrolne dla materiału plastycznego ze wzmocnieniem
6. Rysunki dwuwymiarowe
Korzystając z menu Tools/XY data – create,
można wygenerować rysunki ilustrujące
zmianę podczas analizy wybranych
składowych,
np.
poszczególnych
składowych naprężeń. Można tu wskazać
jako źródło plik opisany jako ODB history
output. Trzeba jednak pamiętać, aby w
module Step, w poleceniu History Output
Request wybrać odpowiednie wielkości,
które mają być zapamiętywane w trakcie
procesu w wybranych węzłach lub
punktach
całkowania.
Najwygodniej
wcześniej zdefiniować zbiór – set – aby nie
pamiętać dużej ilości wyników dla całej
konstrukcji. Robimy to rozwijając nazwę
naszego zadania w oknie z poleceniami i
wybierając polecenie Set – Przykładowy
rysunek znajduje się obok
Rysunek 17 Zmiana przemieszczenia w p. A
Rysunek 18 Zależność  w p. B
12
3. Literatura
1. ABAQUS/STANDARD - podręczniki użytkownika
2. Skrzat A., Modelowanie liniowych i nieliniowych problemów mechaniki ciała odkształcalnego
i przepływów ciepła w programie ABAQUS, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej,
Rzeszów, 2010
Spis treści
1.
Program ABAQUS – typy analizy ..................................................................................................2
1.1.
Analiza liniowa.....................................................................................................................2
1.2.
Analiza nieliniowa................................................................................................................2
1.1.1.
2.
3.
Źródła nieliniowości .....................................................................................................2
1.3.
Rozwiązanie problemów nieliniowych .................................................................................4
2.
Kroki, przyrosty i iteracje (do zdefiniowania zadania – patrz przykład) .................................4
Przykład – płaska wyżłobiona płyta obciążona ciśnieniem............................................................5
2.1.
Budowa modelu ..................................................................................................................5
2.2.
Postprocesing ......................................................................................................................8
3.
Kontrola zbieżności iteracji ..................................................................................................8
4.
Wyniki kontrolne ............................................................................................................... 10
5.
Obliczenia z uwzględnieniem wzmocnienia plastycznego ................................................... 11
6.
Rysunki dwuwymiarowe .................................................................................................... 12
Literatura .................................................................................................................................. 13
13