andrzeja mostowskiego filozofia matematyki i logiki1

andrzeja mostowskiego filozofia matematyki i logiki1

Antiquitates Mathematicae
Vol. 6 (2012), p. 85–94
doi: 10.14708/am.v6i0.556
Roman Murawski (Poznań)
ANDRZEJA MOSTOWSKIEGO
FILOZOFIA MATEMATYKI I LOGIKI1
Profesor Andrzej Mostowski (1913-1975) był jednym z najwybitniejszych polskich
logików i specjalistów w zakresie teorii mnogości. Zaliczany jest do drugiego poko­
lenia Szkoły Lwowsko-Warszawskiej, dokładniej do Warszawskiej Szkoły Logicz­
nej.2 Celem tej pracy jest analiza poglądów filozoficznych Mostowskiego związa­
nych z matematyką i logiką.
Mostowski przejął od swego nauczyciela, Alfreda Tarskiego, pewne ogólne po­
glądy filozoficzne, w szczególności pewną skłonność ku empiryzmowi i wyraźny
szacunek, jakim darzył nominalizm. Sympatyzował też z reizmem Kotarbińskiego,
czyli z poglądem, że istnieją tylko indywidualne rzeczy cielesne.
W swoich badaniach naukowych Mostowski wiemy był zasadom, którym hołdo­
wali polscy matematycy. Głosiły one, że:
(1) wszelkie powszechnie akceptowane metody matematyczne winny być stoso­
wane w badaniach metamatematycznych,
(2) badania metamatematyczne nie powinny być ograniczane przez żadne przyję­
te a priori założenia filozoficzne.
W związku z tym Mostowski swobodnie stosował na przykład metody infinitystyczne. Prowadziło to do pewnego napięcia. Czując się - jak się wydaje - bardziej
zobligowanym do obszerniejszego i bardziej systematycznego zajęcia się proble­
mami filozoficznymi związanymi z matematyką i logiką niż jego nauczyciel Tarski, Mostowski świadomie unikał jednak w swoich tekstach logicznych i matema­
tycznych wyraźnych deklaracji filozoficznych zdając sobie przy tym sprawę z wagi
i znaczenia pytań filozoficznych. We wstępie do napisanej razem z Kazimierzem
Kuratowskim monografii Teoria mnogości (por. Kuratowski-Mostowski 1952), roz­
ważając rozwój teorii mnogości autorzy piszą, że jedną z podstawowych kwestii,
które muszą zostać rozważone w podstawach tej teorii jest problem, na jakich ak­
sjomatach powinna być oparta teoria zbiorów. Powinno się wybrać takie aksjomaty,
które gwarantują, że oparta na nich teoria będzie miała
istotną wartość naukową, tj. żeby mogła służyć do poznania świata materialnego, czy
to bezpośrednio, czy też za pośrednictwem innych działów matematyki, dla których
jest narzędziem (1952, s. V).
1
2
Praca powstała w ramach projektu badawczego Narodowego Centrum Nauki, grant No N N101 136940.
Na temat Szkoły Lwowsko-Warszawskiej zob. Woleński (1985) i (1989). Por. także Murawski (2011). Na temat
Mostowskiego zob. Murawski-Woleński (2008).
Pierwotna wersja pracy ukazała sie w Wiesław, Witold (ed.) History of Polish Mathematics II. (Dzieje matematyki polskiej II.) (in Polish),
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 2013, 326 pp. (ISBN 978-83-910055-8-3). ZBL1281.01005.
86
I dochodzą do wniosku (tamże, s. VI):
Nie jest też dotychczas przeprowadzona wszechstronna dyskusja filozoficzna pod­
stawowych założeń teorii mnogości. Zagadnienie czy i do jakiego stopnia bliski jest
związek pojęć abstrakcyjnej teorii mnogości (a zwłaszcza tych jej działów, w których
jest mowa o zbiorach bardzo wysokiej mocy) z podstawowymi pojęciami matema­
tycznymi bezpośrednio związanymi z praktyką, nie jest dotąd wyjaśnione. Potrzeba
takiej analizy jest tym większa, że u twórcy teorii mnogości - Cantora - podstawowe
pojęcia tej teorii były owiane duchem mistycyzmu.
Z drugiej strony autorzy są przekonani, że znaczenie teorii mnogości dla podstaw
matematyki ujawniło się także w związku z pewnymi problemami związanymi z fi­
lozofią matematyki. Piszą (por. 1952, s. VII):
W tej dziedzinie wpływ teorii mnogości daje się szczególnie silnie odczuć. Tak na
przykład, dzięki zdefiniowaniu zbioru skończonego i wprowadzeniu liczb kardynal­
nych ugruntowano na mocnych podstawach arytmetykę liczb naturalnych. Równo­
cześnie powstała nowa należycie sprecyzowana problematyka matematyczna związa­
na z ogólnym pojęciem zbiom nieskończonego. Pojęcie to nie ma dziś już nic w sobie
z charaktem mistycznego, którym przez stulecia było obarczone.
Kuratowski i Mostowski deklarują też, że najistotniejszą cechą teorii mnogości jest
fakt, że dostarcza ona narzędzia innym działom matematyki bezpośrednio związa­
nym z zastosowaniami.
Tyle uwag natury filozoficznej zawarli autorzy we wstępie. We właściwej części
książki, gdzie mamy wykład teorii mnogości, nie znajdziemy już żadnych uwag filo­
zoficznych! Co więcej, mając świadomość kontrowersyjnego charakteru niektórych
aksjomatów teoriomnogościowych - w szczególności aksjomatu wyboru - z jednej
strony, a ich wagi i znaczenia dla matematyki z drugiej, autorzy przyjmują aksjomat
wyboru, ale za każdym razem, kiedy go stosują w dowodzie jakiegoś twierdzenia,
wyraźnie zaznaczają ten fakt opatrując odnośne twierdzeniem małym kółeczkiem °.
W ten sposób Kuratowski i Mostowski podążają drogą charakterystyczną dla ma­
tematyków polskich. Zgodnie z nią należy wyraźnie oddzielić filozofię aksjomatu
wyboru (i innych aksjomatów o podobnym charakterze) od jego roli w matematyce.
Sierpiński scharakteryzował tę drogę w (1965, s. 95) następująco:
Niezależnie od naszych osobistych poglądów na temat aksjomatu wyboru należy
uwzględnić rolę, jaką odgrywa on w teorii mnogości i w analizie. Z drugiej strony, po­
nieważ aksjomat wyboru jest podważany przez niektórych matematyków, ważne jest, by
wiedzieć, których twierdzeń dowodzi się z jego pomocą i w którym dokładnie miejscu
dowodu jest on stosowany; często się bowiem zdarza, że rozmaici autorzy stosują ten
aksjomat nie zdając sobie z tego sprawy. Nawet gdyby nikt nie kwestionował aksjomatu
wyboru, byłoby interesujące zbadać, które dowody są na nim oparte, a które twierdzenia
można udowodnić bez niego - to samo odnosi się zresztą i do innych aksjomatów.3
3
Still, apart from our personal inclination to accept the axiom o f choice, w e must take into consideration, in any
case, its role in the set theory and in the calculus. On the other hand, sińce the axiom o f choice has been ąuestioned by some mathematicians, it is important to know which theorems are proved with its aid and to realize the
exact point at which the proof has been based on the axiom o f ehoice; for it has freąuently happened that various
authors have made use o f the axiom o f choice in their proofs without being aware o f it. And after all, even if no-
87
Ta sama metoda, czyli zaznaczanie kółeczkiem twierdzeń zależnych od aksjomatu
wyboru (w celu zilustrowania jego roli), została zastosowana także w angielskim
przekładzie monografii Kuratowskiego i Mostowskiego (1969). Zauważmy przy
okazji, że w przekładzie tym prawie zupełnie pominięto uwagi filozoficzne na te­
mat teorii mnogości i jej aksjomatyki, które znajdowały się w wersji polskiej i któ­
re wyżej omówiliśmy. Żadnych uwag natury filozoficznej nie ma też w monografii
Mostowskiego (1969) poświęconej zbiorom konstruowalnym i ich zastosowaniom.
Znaleźć tam można jedynie następujące zdania (por. 1969, s. v):
Ścisłe związki pomiędzy teorią mnogości a filozofią matematyki datują się od czasu
dyskusji dotyczących natury antynomii i aksjornatyzacji teorii mnogości.,Fundamen­
talne problemy filozofii matematyki takie, jak sens [pojęcia] istnienia w matematyce,
aksj ornatyka a opis rzeczywistości, potrzeba dowodów niesprzeczności i środki do­
puszczalne w takich dowodach nie zostały nigdy lepiej zilustrowane niż właśnie w
tych dyskusjach.4
Mostowski powracał do problemów filozoficznych teorii mnogości także później,
w szczególności gdy komentował wyniki Cohena dotyczące niezależności aksjoma­
tu wyboru i hipotezy kontinuum od aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla
ZF. W pracach (1964) i (1968) do najważniejszych problemów filozofii matematyki
zalicza Mostowski następujące pytania: (1) czym są zbiory i w jaki sposób może­
my odkryć ich własności, (2) czym są w szczególności zbiory liczb rzeczywistych,
(3) czy każdy zbiór można określić podając własność jego elementów (i czy w kon­
sekwencji można zbiór utożsamiać z tą własnością) czy też jest on jakimś obiektem
abstrakcyjnym istniejącym niezależnie od naszych konstrukcji myślowych? Docho­
dzi do następującego wniosku (por. 1968, s. 177):
Niestety problem prawdy w matematyce nie jest prosty. Powtórzmy jeszcze raz: Jeśli
zbiory istniałyby w tym samym sensie jak obiekty fizyczne, moglibyśmy oczekiwać,
że prawdziwość lub fałszywość hipotezy continuum zostanie w końcu odkryta. Jeśli
jednak zbiory są tylko naszą własną konstrukcją myślową, odpowiedź na pytanie, czy
hipoteza continuum jest prawdziwa, czy fałszywa może zależeć od tego, jakie kon­
strukcje przyjmiemy za dozwolone.
Ponieważ - jak uważa Mostowski - nic nie da się powiedzieć na temat dopusz­
czalności platonizmu w teorii mnogości, nie wiadomo więc czy pytanie o prawdzi­
wość względnie fałszywość hipotezy kontinuum ma w ogóle sens. Z drugiej strony
problemy formalne dotyczące jej niesprzeczności czy niezależności od aksjomatów
teorii mnogości są w najwyższym stopniu interesujące. Wyniki na temat niesprzecz­
ności i niezależności aksjomatu wyboru i hipotezy kontinuum od ZF uzyskane przez
Gódla i Cohena nie rozwiązują problemu prawdy w teorii mnogości. Co więcej, sko­
4
one ąuestioned the axiom o f choice, it would not be without interest to investigate which proofs are based on it
and which theorems are proved without its aid - this, as we know, is also done with regards to other axioms.
Close ties between set theory and philosophy o f mathematics date back to discussions conceming the naturę o f
antinomies and the axiomatization o f set theory. The fundamental problems o f philosophy o f mathematics such
as the meaning o f existence in mathematics, axiomatics versus description o f reality, the need o f consistency
proofs and means admissible in such proofs were never better illustrated than in these discussions.
88
ro aksjomat wyboru i hipoteza kontinuum nie mogą być rozstrzygnięte na bazie ak­
ceptowanych aksjomatów teorii mnogości, można - zdaniem Mostowskiego - trak­
tować ten fakt jako jeden z najważniejszych argumentów przeciwko matematyczne­
mu platonizmowi (1968, s. 176). Po wynikach Cohena możliwe jest konstruowanie
różnych wewnętrznie niesprzecznych, ale wzajemnie sprzecznych teorii mnogości.
Jeśli teorie takie zostaną skonstruowane, to będziemy musieli stwierdzić, że w meczu
między platonizmem a formalizmem ten ostatni zdobył znowu jeden punkt (1968,
s. 182). Inne źródło problemów dostrzega Mostowski także w doborze i akceptacji
aksjomatów nieskończoności.
W artykule Recent Results in Set Theory (1967a) Mostowski dochodzi do mocniej­
szych wniosków. Mówi tam, że złożona i nie do końca jasna natura pojęcia zbioru i w
konsekwencji możliwość różnych aksjomatyzacji teorii mnogości powoduje, iż nie ma
właściwie szans na to, by stała się ona centralną dyscypliną matematyczną. Z jednej
strony większość (jeśli nie wszystkie) pojęć matematycznych można interpretować
i definiować w teorii mnogości, z drugiej zaś „istnieje wiele istotnie różnych pojęć
zbioru, które są równie dopuszczalne jako baza intuicyjna dla teorii mnogości” (1967a,
s. 82). Mostowski dochodzi do następującego wniosku (por. 1967a, s. 94-95):
Jeśli istnieje wiele teorii mnogości, to oczywiście żadna z nich nie może domagać się
centralnego miejsca w matematyce. Jedynie ich części wspólnej mogłaby przysługi­
wać taka pozycja; jest jednak dyskusyjne, czy taka część wspólna zawierać będzie
wszystkie aksjomaty potrzebne do redukcji matematyki do teorii mnogości.5
Mostowski rozważał kwestie filozoficzne także w związku z twierdzeniami Gódla
o niezupełności. Podobnie jak w przypadku teorii mnogości, wskazywał tylko na
problemy filozoficzne związane z tymi twierdzeniami i pokazywał możliwe rozwią­
zania, ale unikał jakichkolwiek definitywnych deklaracji. Co więcej, te uwagi filozo­
ficzne były zredukowane do minimum. Można je znaleźć w dwu jego pracach: w ar­
tykule O zdaniach nierozstrzygalnych w sformalizowanych systemach matematyki
(1946) i we wstępie do książki Sentences Undecidable in Formalized Arithmetic.
An Exposition o f the Theory ofK urt Gódel (1957).
Mostowski deklaruje, że nie zamierza podejmować dyskusji nad kwestią filozo­
ficzną, czy zdania, które są dziś nierozstrzygalne są istotnie nierozstrzygalne czy też
nie. Dostrzega tu zasadniczą trudność mającą swe źródło w fakcie, że nie dysponuje­
my precyzyjnym pojęciem poprawnego dowodu matematycznego. Pojęcie dowodu
formalnego, które wprowadziła i bada logika matematyczna, umożliwiło konstruk­
cję i badanie systemów sformalizowanych. Żywimy przekonanie, iż systemy takie
obejmują całą matematykę, tzn. że każde intuicyjnie poprawne wnioskowanie mate­
matyczne można sformalizować w takim systemie. Ponieważ jednak nie można do­
wieść, że dany system sformalizowany pokrywa się z matematyką intuicyjną, więc
5
O f course if there are a multitude o f set theories then none o f them can claim the central place in mathematics.
Only their common part could Clair such a position; but it is debatable whether this common part will contain
all the axioms needed for a reduction o f mathematics to set theory.
89
nie istnieje żaden bezpośredni związek między problemem zupełności danego zapro­
ponowanego systemu sformalizowanego a problemem istnienia istotnie nierozstrzy­
galnych problemów matematycznych6 (1957, s. 3).
Ani w przytoczonym artykule, ani w cytowanej książce nie znajdziemy żadnych dal­
szych dyskusji na temat konsekwencji twierdzeń Gódla o niezupełności dla episte­
mologii matematyki - przynoszą one jedynie techniczny wykład twierdzeń Gódla.
Twierdzenia Gódla o niezupełności i twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności
pojęcia prawdy były też źródłem pewnych ważnych - także filozoficznie - uwag
Mostowskiego na temat związków między syntaksą i semantyką. Mostowski był
właściwie pierwszym, który jasno stwierdził, iż semantyka wymaga metod infinitystycznych, podczas gdy metody finitame są wystarczające dla syntaksy.
Pewne uwagi natury filozoficznej - a nawet wyraźną deklarację - na temat związ­
ków pomiędzy praktyką badawczą matematyków a systemami sformalizowanymi
znaleźć można w artykule Mostowskiego Matematyka a logika (1972a) będącym
właściwie obszerną recenzją książki A. Grzegorczyka Zarys arytmetyki teoretycz­
nej. Mostowski stwierdza tam, że „pełna formalizacja matematyki jest w tej chwili
hasłem już przebrzmiałym. Antynomie teorii mnogości nikogo już nie straszą. Mate­
matyka, której przeważna część w ogóle nie ucierpiała z powodu ‘kryzysu podstaw’,
rozwija się dalej nie bardzo dbając o to, co dzieje się w jej podstawach.” (1972a,
s. 82). Dodaje, że dążenie do mechanizacji rozumowań matematycznych wydaje mi
się czynnością wysoce zdehumanizowaną: ja k napisał kiedyś E.L. Post, istotą mate­
matyki są pojęcia prawdy i znaczenia (s. 84). Podkreśla, że (por. 1972a, s. 83-84):
Dowód matematyczny jest czymś o wiele bardziej skomplikowanym niż proste na­
stępstwo elementarnych prawideł zawartych w tzw. regułach wnioskowania [...].
Dlatego niezbędny jest umiar w podkreślaniu roli praw logicznych w dowodach: jeśli
będziemy zbyt usilnie tę rolę podkreślali, zamienimy wykład matematyczny na coś
zbliżonego do systemu sformalizowanego, a systemy takie [...] nie mają już dziś zna­
czenia i tylko odstraszają większość słuchaczy od matematyki.
Z drugiej strony, mimo że program formalizacji całej matematyki został praktycz­
nie porzucony, to - zdaniem Mostowskiego - współpraca logiki i matematyki była
owocna i zapewne nadal będzie przynosić ważne rezultaty (1972a, s. 83).
Uwagi filozoficzne były punktem wyjścia serii wykładów, które Mostowski wygłosił
podczas Szkoły Letniej w Vaasa w Finlandii w roku 1964 - zostały one opublikowa­
ne w formie książki Thirty Years o f Foundational Studies (1965). Zaczął on swoje
wykłady od przypomnienia trzech prądów współczesnej filozofii matematyki, które
dominowały w latach 20-tych i 30-tych ubiegłego wieku, a mianowicie logicyzmu,
intuicjonizmu i formalizmu. Podkreśla, że przyczyniły się one do ukształtowania
się trzech kierunków w badaniach logiczno-matematycznych: konstruktywizmu,
6
[... ] there is no immediate connection between the problem o f completeness o f any proposed formal system and
the problem o f existence o f essentially undecidable mathematical problems.
90
kierunku metamatematycznego i kierunku teoriomnogościowego. Tyle na począt­
ku cyklu wykładów. W dalszych wykładach nie podejmuje już Mostowski żadnych
dyskusji natury filozoficznej - czyni co najwyżej pewne uwagi, raczej sceptyczne.
Z pewnych opinii, które formułuje na marginesie głównych rozważań wynika, że
jego zdaniem zasadniczym problemem, który czeka na rozwiązanie w filozofii ma­
tematyki jest problem podstaw teorii mnogości i problem genezy pojęć matematycz­
nych oraz problem praw rządzących rozwojem matematyki.
Te dwa ostatnie problemy były rozważane przez Mostowskiego już we wcze­
śniejszych pracach: Współczesny stan badań nad podstawami matematyki oraz
The Present State o f Imestigations o f the Foundations o f Mathematics (por. 1955a
i 1955b) - są to polska i angielska wersja tego samego tekstu. Wygłosił go Mostow­
ski (w formie skróconej) na VIII Kongresie Matematyków Polskich, który odbywał
się w Warszawie w dniach 6-12 września 1953 roku. Już we wstępie autor deklaruje,
że ogranicza się do problematyki czysto matematycznej, tj. takiej, któraje st związana
z pojęciami lub metodami specyficznymi dla matematyki (1955a, s. 13). Mimo to
znaleźć można w tej pracy wiele uwag filozoficznych.
Niestety czas powstania rozważanego tekstu rodzi problemy i pytania interpreta­
cyjne. Otóż powstał on w połowie lat 50-tych i atmosfera ideologiczna tego okresu
mogła mieć wpływ na pewne użyte w nim sformułowania i głoszone tezy. Nie da się
teraz rozstrzygnąć, w jakim stopniu czynniki pozamerytoryczne wpłynęły na autora.
Z drugiej strony wydaje się, że autor mógł ograniczyć się do spraw czysto mate­
matycznych i w ten sposób uniknąć konieczności formułowania tez filozoficznych.
Skoro tego nie uczynił, mamy prawo traktować jego słowa i uwagi jako wyraz au­
tentycznych przekonań.
Mostowski zaczyna od sformułowania następujących dwóch ogólnych proble­
mów dotyczących całej matematyki, do postawienia których doprowadziły dyskusje
nad podstawami teorii zbiorów związane przede wszystkim z faktem odkrycia anty­
nomii (por. 1955a, s. 13):
A. Jaka jest natura pojęć rozpatrywanych w matematyce? W jakim stopniu są one
konstruowane przez człowieka, a w jakim narzucone z zewnątrz i skąd czerpiemy
wiedzę o ich własnościach?
B. Jaka jest natura dowodów matematycznych i jakie są kryteria pozwalające odróż­
niać dowody poprawne od błędnych.
Zaznacza przy tym od razu, że (por. 1955a, s. 13):
Zagadnienia te mają charakter filozoficzny i nie należy przypuszczać, żeby dały się
one rozwiązać w obrębie samej matematyki i przy użyciu tylko metod matematycz­
nych. Na tle tych ogólnych zagadnień rozwinęły się jednak bardziej specjalne proble­
my, dostępne już badaniu matematycznemu [...].
Wśród tych ostatnich wymienia Mostowski:
(1) metodę aksjornatyczną, jej rolę i granice jej stosowalności; (2) prądy konstruktyw­
ne w matematyce, (3) aksj ornatyzację logiki i wreszcie (4) problemy rozstrzygalności.
91
Rozważając - na przykładzie liczb naturalnych - ogólne pytanie, czy można trakto­
wać przedmioty matematyki jako obiekty w pełni określone przez stosowne układy
aksjomatów, Mostowski stwierdza przede wszystkim, że decyzja należy tu nie do
matematyki a do filozofii i dochodzi do następującego wniosku (1955a, s. 25):
Jedynym konsekwentnym stanowiskiem zgodnym zarówno ze zdrowym rozsądkiem
jak i z tradycją matematyczną jest przyjęcie, że źródłem i ostatecznym raison d ’etre
pojęcia liczby zarówno naturalnej jak i rzeczywistej jest doświadczenie i stosowal­
ność praktyczna. To samo odnosi się do pojęć teorii mnogości, o ile rozpatrujemy je
w dość wąskim zakresie - takim, w jakim są one potrzebne w klasycznych działach
matematyki.
Przyjmując to stanowisko musimy wyciągnąć konsekwencję, że jest tylko jedna
arytmetyka liczb naturalnych, jedna arytmetyka liczb rzeczywistych i jedna teoria
mnogości, a wobec tego definiowanie tych działów matematyki przez aksjomaty,
które mają raz na zawsze ustalić ich zakres i ich treść, nie jest możliwe.
Mostowski przyznaje, że systemy aksjomatyczne pozwalają na systematyzację
pewnych fragmentów teorii, a mianowicie tych fragmentów, które obejmują naszą
aktualną wiedzę. Ułatwiają też czasami wykład danej teorii i stąd posiadają wartość
dydaktyczną. Dodaje jednak (por. 1955a, s. 25-26):
Filozofia materialistyczna od dawna występowała przeciw tym próbom, wykazując
idealistyczny charakter idei Hilberta, polegającej na określaniu treści matematyki
przez podanie jej aksjomatów, jak również koncepcji neopozytywistycznych, polega­
jących na wyjaśnianiu treści matematyki przez analizę języka.
Rozważaną pracę kończy Mostowski pewnymi ogólnymi uwagami dotyczącymi
problemu podstaw matematyki zarówno w sensie matematycznym, jak i filozoficz­
nym. Pisze tam (por. 1955a, s. 50):
Zagadnienie podstaw matematyki nie jest jednym konkretnym zagadnieniem mate­
matycznym, które można raz rozwiązać i potem już o nim zapomnieć. Rozważania
na temat podstaw nauki są równie dawne jak sama nauka a matematyka nie jest od tej
reguły wyjątkiem. Istota i treść matematyki od wielu wieków była przedmiotem roz­
ważań filozofów i pozostanie tak niewątpliwie w przyszłości. Przy tym matematyka
sama zmienia się z biegiem czasu, co pociąga za sobą potrzebę zmiany poglądów na
jej podstawy. [...]
[...] Wyjaśnienie natury matematyki nie należy do matematyki, lecz do filozofii i jest
możliwe tylko w ramach szerokiego poglądu filozoficznego, nie traktującego mate­
matyki w oderwaniu od reszty nauki, lecz uwzględniającego jej przyrodniczą genezę,
zastosowania, związki z innymi naukami i wreszcie jej historię.
Badania nad podstawami matematyki prowadzone za pomocą metod matematycz­
nych wywierają rzecz jasna wpływ na ukształtowanie się takiego szerokiego poglą­
du filozoficznego. Zdaniem Mostowskiego wyniki uzyskane w ramach tych badań
(por. 1955a, s. 51):
potwierdzają [...] tezę filozofii materialistycznej głoszącą, że matematyka jest w osta­
tecznej instancji nauką przyrodniczą, że jej pojęcia i metody mają swe źródło w do­
92
świadczeniu i że próby ugruntowania matematyki, nie uwzględniające jej przyrodni­
czej genezy, są skazane na niepowodzenie.
Widać, że Mostowski reprezentuje tu stanowisko empirystyczne w zakresie filo­
zofii matematyki. Nie jest przy tym do końca jasne, jaki wpływ na jego poglądy
i na przytoczone sformułowania wywarły pozamerytoryczne czynniki związane z
panującą wówczas i narzucaną społeczeństwu ideologią. Specyficzne sformułowa­
nia używające określonych pojęć charakterystycznych dla tamtej ideologii mogą su­
gerować taki wpływ. Być może była to cena, jaką autor musiał zapłacić oficjalnie
lansowanej filozofii. Z drugiej strony warto zauważyć, że prądy empiryczne (czy
ąuasi-empiryczne) są coraz to żywsze w filozofii matematyki poczynając od lat 60tych ubiegłego wieku.
Tezę o empirycznych źródłach pojęć matematycznych powtórzył Mostowski
w popularnej pracy O tzw. konstruktywnych poglądach w dziedzinie podstaw mate­
matyki (1953). Pisał tam (por. s. 231):
Nie ulega żadnej wątpliwości, że wszystkie pojęcia matematyczne powstały przez
abstrakcję z pojęć ukształtowanych na podstawie bezpośredniego doświadczenia.
Mostowski przyznawał, że konstruktywizm - w szczególności jego cel, choć nie­
koniecznie proponowane rozwiązania - były zawsze bardzo atrakcyjne dla niego
(por. 1959, s. 192). Wierzył nawet kiedyś, że to właśnie konstruktywizm zapewni
matematyce w przyszłości ostateczny fundament. W książce Logika matematyczna
pisał (por. 1948, s. VI):
Jestem skłonny mniemać, że zadowalające rozstrzygnięcie zagadnienia podstaw ma­
tematyki nastąpi na drodze wskazanej przez konstruktywizm lub kierunek do niego
zbliżony. Na tej jednak podstawie nie można by już teraz napisać podręcznika logiki.
Mostowski uważał, iż
chce on [tzn. konstruktywizm - uwaga moja, R.M.] wniknąć w naturę obiektów matema­
tycznych i znaleźć uzasadnienie dla ogólnych praw nimi rządzących, podczas gdy platonizm bierze te prawa za dane bez jakichkolwiek dalszych dyskusji7 (por. 1959, s. 192).
Później Mostowski porzucił ideę o wyższości konstruktywizmu nad innymi poglą­
dami, choć dalej dostrzegał i podkreślał jego zalety w konkretnych przypadkach.
W arytmetyce na przykład pozwala on uwolnić się od zakładania nieskończoności
aktualnej lub też stosować rozwiązania, w których wystarcza podejście nominalistyczne. Korzyścią, jaką niesie nominalizm, jest zaś to, iż wiele ważnych teorii ma­
tematycznych zostało w sposób zadowalający zrekonstruowanych na bazie nominalistycznej, a rekonstrukcje te okazały się równoważne teoriom klasycznym.
Mostowski zdawał sobie sprawę z tego, że metody finitame, predykatywne i kon­
struktywne nie wystarczą w matematyce (por. 1972b, s. 29-32). Nie poprzestawał
[...] it wants to inąuire into the naturę o f mathematical entities and to find a justification for the generał laws
which govem them, whereas platonism takes these laws as granted without any further discussion.
93
jednak na konstatacji ograniczeń konstruktywizmu, lecz dokładnie badał głoszone
przezeń zasady. Twierdził, że konstruktywizm jest czasami filozoficznie bardziej sa­
tysfakcjonujący - je s t tak na przykład w przypadku arytmetyki. Także w matematy­
ce stosowanej zdaje się on oferować obiecujące perspektywy. Zatem wyznaczenie
dokładnego zasięgu metod konstruktywnych w matematyce klasycznej jest ważnym
zadaniem zarówno dla matematyki, jak i dla filozofii. Ta idea leżała w tle pomysłu
stopni konstruktywności przypisywanych różnym teoriom matematycznym, który
Mostowski zarysował w pracy (1959) (por. także 1953).
Podsumowując można powiedzieć, że Mostowski patrzy na konstruktywizm
z klasycznego czystego konstruktywizmu Heytinga i intuicjonistów - pewną kombi­
nację konstruktywizmu i programu teoriomnogościowego, która stanowiła dla niego
bazę dla matematycznie rozwijanych podstaw matematyki.
Z powyższych rozważań wynika, że Mostowski był świadom zarówno proble­
mów filozoficznych związanych z matematyką, jak i ich znaczenia. Z jednej strony
unikał (z kilkoma wyjątkami) formułowania jakichkolwiek deklaracji filozoficznych
koncentrując się na stronie czysto matematycznej i technicznej rozważanych zagad­
nień. Kiedy było to konieczne, wtedy czynił - acz raczej niechętnie - pewne ogól­
ne uwagi filozoficzne. Był też świadom znaczenia dla filozofii matematyki wyni­
ków uzyskanych (metodami matematycznymi) w zakresie podstaw matematyki, ale
z drugiej strony był przekonany, że wyniki te nie mogą dać definitywnych rozwiązań
problemów filozoficznych. W związku z tym zamiast czynić jakieś deklaracje, pre­
zentował różne możliwe rozwiązania. Kwestie filozoficzne rozważał i dyskutował
na marginesie właściwych badań metamatematycznych umieszczając te rozważa. nia najczęściej w uwagach wstępnych do pracy i - co ważne - uwagi te nie mia­
ły nigdy wpływu na dalsze rozważania czysto matematyczne i metamatematyczne.
Mostowski zdecydowanie unikał w pracach technicznych wszelkich uwag i komen­
tarzy filozoficznych. Wyraźnie oddzielał perspektywę filozoficzną z jednej strony
i perspektywę (meta)matematyczną z drugiej. Pewne jego wyniki były, jak można
przypuszczać, inspirowane rozważaniami filozoficznymi - wśród nich wymienić
można na przykład niezależność różnych definicji skończoności, konstrukcje, które
prowadziły do tzw. dziś hierarchii Kleene’ego-Mostowskiego, konstrukcje modeli
z automorfizmami - nigdy jednak o tym nie pisał i nie formułował ich koncentru­
jąc się całkowicie na badaniach matematycznych i metamatematycznych. Jesteśmy
więc zdani tu jedynie na domysły i hipotezy, których nie da się rozstrzygnąć.
Choć Mostowski nie stworzył żadnego nowego - izmu w filozofii matematyki, to
jego prace wniosły ważny wkład do tej dziedziny i mogą być właściwie uznane za
paradygmatyczny przykład pewnego rozumienia współoddziaływania matematyki i
idei filozoficznych. Mostowski stanowi doskonały przykład charakterystycznej dla
polskiej szkoły postawy w zakresie podstaw i filozofii matematyki.
94
Literatura cytowana
Kuratowski K., Mostowski A. (1952). Teoria mnogości, Nakładem Polskiego Towa­
rzystwa Matematycznego z subwencji Ministerstwa Szkolnictwa Wyższego, War­
szawa-Wrocław (wydanie I); Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966
(wydanie drugie), Warszawa 1978 (wydanie trzecie).
Kuratowski K., Mostowski A. (1969). Set Theory, Państwowe Wydawnictwo Na­
ukowe (Polish Scientific Publishers), Warszawa, and North-Holand Publ. Comp.,
Amsterdam. (2nd edition - 1976).
Mostowski, A. (1946). O zdaniach nierozstrzygalnych w sformalizowanych syste­
mach matematyki, Kwartalnik Filozoficzny 16, 223-277.
Mostowski, A. (1948). Logika matematyczna. Kurs uniwersytecki, Monografie Ma­
tematyczne, Warszawa-Wrocław.
Mostowski, A. (1953). O tzw. konstruktywnych poglądach w dziedzinie podstaw
matematyki, M yśl Filozoficzna 1 (7), 230-241.
Mostowski, A. (1954). Podstawy matematyki na VIII Zjeździe Matematyków Pol­
skich, Myśl Filozoficzna 2 (12), 328-330.
Mostowski, A. (1955a). Współczesny stan badań nad podstawami matematyki, Pra­
ce Matematyczne 1, 13-55.
Mostowski, A. (1955b). The Present State of Investigations of the Foundations of
Mathematics, Rozprawy Matematyczne 9, 1-48 [in collaboration with: A. Grzegor­
czyk, S. Jaśkowski, J. Łoś, S. Mazur, H. Rasiowa and R. Sikorski],
Mostowski, A. (1957). Sentences Undecidable inFormalizedArithmetic. AnExposition o f the Theory ofK urt Godeł, North-Holland Publishing Company, Amsterdam.
Mostowski, A. (1959). On Various Degrees of ęonstructivism, w: Constructmty in
Mathematics. Proceedings o f the Colloąuium held In Amsterdam, 1957, ed. by A.
Heyting, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 178-194. Przedruk w:
Mostowski (1979), vol. II, 359-375.
Mostowski, A. (1964). Widerspruchsfreiheit und Unabhangigkeit der Kontinuumhypothese, Elemente der Mathematik 19,121-125.
Mostowski, A. (1965). Thirty Years o f Foundational Studies. Lectures on theDevelopment o f Mathematical Logic and the Study o f the Foundations o f Mathematics
in 1930-1964, Societas Philosophical Fennica, Helsinki. Przedruk w: Mostowski
(1979), vol. I, 1-76.
Mostowski, A. (1967a). Recent Results in Set Theory, w: Problems in the Philosophy
o f Mathematics, ed. by I. Lakatos, North-Holland Publishing Company, Amsterdam,
82-96,105-108.
Mostowski, A. (1967b). O niektórych nowych wynikach meta-matematycznych do­
tyczących teorii mnogości, Studia Logica 20, 99-116.
i
95
Mostowski, A.(1968). Niesprzeczność i niezależność hipotezy kontinuum, Roczniki
Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria II: Wiadomości Matematyczne 10,
175-182.
Mostowski, A.(1969). Constructible Sets with Applications, PWN-Polish Scientific
Publishers, Warszawa, and North-Holland Publ. Comp., Amsterdam.
Mostowski, A. (1972a). Matematyka a logika. Refleksje przy lekturze książki A.
Grzegorczyka „Zarys arytmetyki teoretyczne” wraz z próbą recenzji, Roczniki
Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria II: Wiadomości Matematyczne 15,
79-89.
Mostowski, A. (1972b). Sets, w: Scientific Thought. Some Underlying Concepts,
Methods andProcedures, Mouton-Unesco, The Hague, 1-34.
Mostowski, A. (1979). Foundational Studies. Selected Works, vols. I-II, North-Hol­
land Publishing Company, Amsterdam.
Murawski, R. (2011). Filozofia matematyki i logiki w Polsce międzywojennej, Mo­
nografie Fundacji na rzecz Nauki Polskiej, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu
Mikołaja Kopernika, Toruń.
Murawski, R., Woleński J. (2008). Andrzej Mostowski on the foundations and phi­
losophy of mathematics, w: A. Ehrenfeucht, V.W. Marek and M. Srebrny (eds.), An­
drzej Mostowski and Foundational Studies, IOS Press, Amsterdam-Berlin-OxfordTokyo-Washington, DC, 324-337. Przedruk w: R. Murawski, Logos andMathema.
Studies in the Philosophy o f Mathematics and History ofLogic, Peter Lang Intemationaler Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main 2011, 243-257.
Sierpiński, W. (1965). Cardinal and Ordinal Numbers, Polish Scientific Publishers,
Warszawa.
Woleński, J. (1985). Filozoficzna szkoła Iwowsko-warszawska, Państwowe Wydaw­
nictwo Naukowe, Warszawa.
Woleński, J. (1989). Logic and Philosophy in the Lvov-Warsaw School, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London.
Roman Murawski
Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
ul. Umultowska 87
61-614 Poznań, Poland
e-mail: [email protected]