propozycja rozwiązania

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
…………………………………………………………….……………..
Imię i Nazwisko
………………....
Klasa
…………………………………………...
Nauczyciel
……………….......................
.... Liczba punktów
PRÓBNY
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
……………….......................
....Wynik procentowy
POZIOM PODSTAWOWY
Informacje dla ucznia
1. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera 12 stron.
PRZED MATURĄ
Ewentualny brak stron lub inne usterki zgłoś nauczycielowi.
2.
marzec 2016
Na tej stronie wpisz swoje nazwisko i imię, oraz klasę i nazwisko
nauczyciela uczącego.
3.
Przeczytaj uważnie wszystkie zadania.
4.
Rozwiązania zadań zapisz czarnym długopisem lub piórem.
Nie używaj korektora.
5.
Wybrane odpowiedzi do zadań zamkniętych wyraźnie przekreśl
6.
krzyżykiem. Błędne zaznaczenie otocz kołkiem i zaznacz właściwe.
Rozwiązania zadań, w których należy samodzielnie sformułować
Czas pracy:
170 minut
odpowiedź, zapisz czytelnie i starannie w wyznaczonych miejscach.
Pomyłki przekreśl.
7.
Możesz wykorzystać brudnopis.
Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.
8.
Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki
50 pkt.
oraz kalkulatora prostego.
9.
10.
Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 170 minut.
Za poprawne rozwiązanie wszystkich zadań możesz uzyskać
50 punktów.
Powodzenia!
str. 1
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
Zbiór
jest zbiorem liczb całkowitych należących do przedziału
w zbiorze
jest równy
A. –
B.
Zadanie 2. (1 pkt)
Wartość wyrażenia
. Iloczyn najmniejszej i największej liczby
XC.
D.
C.
D.
X
C.
D.
jest równa
A.
B.
Zadanie 3. (1 pkt)
Wyrażenie
jest równe
XA.
B.
Zadanie 4. (1 pkt)
Reszta z dzielenia liczby postaci
A.
, gdzie n jest liczbą naturalną, przez liczbę
C.
X
B.
Zadanie 5. (1 pkt)
Wykres funkcji liniowej
Funkcja
przechodzi przez punkt
wynosi
D.
i jest nachylony do osi odciętych pod kątem
określona jest wzorem
A.
XB.
C.
D.
Zadanie 6. (1 pkt)
Punkt
A.
należy do wykresu funkcji
–
Zadanie 7. (1 pkt)
B.
X
Proste o równaniach:
A.
. Wynika stąd, że
i
C.
przecinają się w punkcie
C.
X
B.
Zadanie 8. (1 pkt)
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej
w przedziale
A.
jest przedział
. Wierzchołkiem wykresu funkcji
XB.
D.
D.
. Funkcja ta przyjmuje wartości ujemne
jest punkt o współrzędnych
C.
str. 2
D.
.
Zadanie 9. (1 pkt)
Osią symetrii wykresu funkcji danej wzorem
A.
jest prosta o równaniu
XC.
B.
Zadanie 10. (1 pkt)
D.
Równanie
A. nie ma pierwiastków.
B. ma jeden pierwiastek.
C. ma dwa rożne pierwiastki.
X
D. ma trzy rożne pierwiastki.
Zadanie 11. (1 pkt)
Pierwiastkami równania
A. –
B. –
X
–
Zadanie 12. (1 pkt)
Liczba
są liczby
C. –
nie jest szóstym wyrazem ciągu
A.
D.
określonego wzorem ogólnym
XC.
B.
D
Zadanie 13. (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym
A.
dane są wyrazy:
B.
Zadanie 14. (1 pkt)
i
XC.
. Dziesiąty wyraz ciągu
jest równy
D.
Ciągiem arytmetycznym jest ciąg, którego wyraz ogólny jest dany wzorem
A.
XC.
B.
Zadanie 15. (1 pkt)
Dany jest ciąg geometryczny
ciągu
o wyrazie ogólnym
. Suma sześciu początkowych wyrazów
jest równa
A.
C.
X
B.
Zadanie 16. (1 pkt)
Jeżeli
A.
X
D.
i
, to wartość wyrażenia
B.
D.
jest równa
C.
D.
Zadanie 17. (1 pkt)
Pole trójkąta ostrokątnego równoramiennego o ramionach długości
wynosi
A.
B.
C.
str. 3
jest równe . Miara kąta przy podstawie
D.
X
Zadanie 18. (1 pkt)
Pole trójkąta
trójkąta
jest równe
, a długość jego najkrótszego boku wynosi
i jego pole jest równe
A.
XC.
Zadanie 19. (1 pkt)
Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym wynosi
XC.
Zadanie 20. (1 pkt)
A.
i
XC.
Zadanie 21. (1 pkt)
Pole trapezu prostokątnego o podstawach długości
i
jest równe
trapezu, który nie jest kątem prostym, wynosi
Punkt A’ jest obrazem punktu
A.
i
D.
.
jest równa
XC.
B.
Liczba wierzchołków ostrosłupa jest równa
Zadanie 24. (1 pkt)
. Miara tego kąta przy krótszej podstawie
w symetrii środkowej względem punktu
Zadanie 23. (1 pkt)
A.
D.
XC.
B.
Zadanie 22. (1 pkt)
Odległość punktów
D.
sinus kąta między przekątną i krótszym bokiem jest równy
B.
A.
D.
. Długość boku tego trójkąta jest równa
B.
W prostokącie o długościach boków
jest podobny do
. Długość najkrótszego boku trójkąta A’B’C’ wynosi
B.
A.
. Trójkąt
D.
. Liczba jego krawędzi wynosi
XB.
C.
Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi długości
jest równe
D.
. Objętość sześcianu o krawędzi długości
wynosi
A.
B.
Zadanie 25. (1 pkt)
Objętość stożka o wysokości
jest rowna
A.
B.
X
C.
D.
X
. Promień podstawy tego stożka jest równy
C.
D.
str. 4
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
.
(1 pkt.)
(1 pkt.)
Ostatecznie
Odpowiedź:
Zadanie 27. (2 pkt)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
zachodzi nierówność
Daną nierówność przekształcamy na nierówności równoważne:
.
(1 pkt.)
Dla każdego
:
i dla każdego
:
Suma wyrażeń nieujemnych jest nieujemna
Ostatecznie
(1 pkt.)
Odpowiedź: Suma wyrażeń nieujemnych jest nieujemna.
str. 5
Zadanie 28. (2 pkt)
Liczba jest liczbą całkowitą dodatnią. Różnica podwojonego sześcianu liczby
potrojonemu kwadratowi liczby . Wyznacz liczbę .
Zapiszmy równanie:
i kwadratu tej liczby jest równa
i
(1 pkt.)
lub
Ostatecznie
(1 pkt.)
Odpowiedź:
Zadanie 29. (2 pkt)
Naszkicuj wykres funkcji
. Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f.
(1 pkt.)
1
Dziedziną funkcji jest
Zbiorem wartości
1
Odpowiedź
: oraz
str. 6
:
(1 pkt.)
Zadanie 30. (2 pkt)
Na rysunku przedstawiającym okrąg o środku w punkcie
zaznaczono kąty
i .
Wykaż, że jeżeli miara kąta jest
razy większa niż miara kąta , to
°.
Kąt o wierzchołku O, przyległy do jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt , zatem:
.
Ponieważ
(1 pkt.)
otrzymujemy
Ostatecznie
(1 pkt.)
Odpowiedź:
Zadanie 31. (2 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest razy większe od sumy pól jego podstaw.
Zapisz objętość tego graniastosłupa jako funkcję długości krawędzi podstawy.
Suma pól podstaw jest równa:
Pole powierzchni bocznej jest równe
stąd
(1 pkt.)
Objętość
(1 pkt.)
Ostatecznie
Odpowiedź:
str. 7
Zadanie 32. (4 pkt)
W prostokątnym trapezie
, w którym
, dane są wierzchołki:
Wyznacz współrzędne wierzchołka tego trapezu.
Wyznaczamy równanie prostej
:
Prosta
Wyznaczamy równanie prostej
:
(1 pkt.)
i
stąd
.
.
(1 pkt.)
Wyznaczamy równanie prostej
i
Prosta
:
:
,
równoległej do prostej
przechodzącej przez punkt :
Prosta
),
prostopadłej do prostej
stąd
.
.
Punkt przecięcia prostych
i przechodzącej przez punkt :
(1 pkt.)
i
to szukany punkt .
Rozwiązujemy układ równań
i
Ostatecznie
(1 pkt.)
Odpowiedź:
str. 8
_ Zadanie 33. (4 pkt)
Dany jest prostokąt o obwodzie równym
. Przekątna prostokąta dzieli jego kąt na dwa kąty, których stosunek
miar jest równy
Oblicz pole tego prostokąta.
Wyznaczamy miarę kąta :
(1 pkt.)
Obwód prostokąta
Z
mamy
Ponieważ
jest równy
. (1 pkt.)
.
otrzymujemy układ równań:
rozwiązujemy go:
i
(1 pkt.)
Obliczamy pole prostokąta:
Ostatecznie
(1 pkt.)
Odpowiedź:
str. 9
_ Zadanie 34. (5 pkt)
Dany jest nieskończony ciąg arytmetyczny
, w którym dziewiąty wyraz jest równy , a suma czwartego i piątego
wyrazu tego ciągu jest równa . Wyrazy
w podanej kolejności są początkowymi wyrazami nieskończonego
ciągu geometrycznego
. Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu
.
Korzystamy za wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
,
,
,
,
Otrzymujemy układ równań:
czyli
i
Obliczamy pozostałe wyrazy ciągu
Ponieważ
tworzą ciąg geometryczny to
Otrzymujemy
Obliczamy iloraz ciągu
.
.
:
.
Na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
piszemy wzór na ogólny wyraz ciągu
.
Ostatecznie
Odpowiedź:
str. 10
.
BRUDNOPIS
(nie podlega ocenie)
str. 11
str. 12