Pokaż treść!

Transkrypt

Pokaż treść!

Stanisław Żukowski
Ocena bezpieczeństwa płaskich
konstrukcji prętowych
w aspekcie teorii przystosowania
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej
Wrocław 2006
2
Recenzenci
Nina JUZWA
Wanda ŚLIWIŃSKA-ŁADZIŃSKA
Opracowanie redakcyjne
Maria IZBICKA
Korekta
Alina KACZAK
© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2006
OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ
Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław
ISBN 83-7085-917-8
Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wrocławskiej. Zam. nr
/2006.
Nr 54
Prace Naukowe Instytutu Inżynierii Lądowej
Politechniki Wrocławskiej
Monografie
Nr 22
3
Nr 54
2006
płaskie układy prętowe,
teoria przystosowania,
bezpieczeństwo konstrukcji
Stanisław ŻUKOWSKI*
Ocena bezpieczeństwa płaskich konstrukcji prętowych
w aspekcie teorii przystosowania
W pracy przedstawiono algorytm probabilistycznej oceny bezpieczeństwa płaskich konstrukcji prętowych wykonanych z materiałów sprężysto idealnie plastycznych. Algorytm obejmuje dwa zasadnicze
zagadnienia: określanie warunków granicznych na podstawie teorii przystosowania i ocenę bezpieczeństwa konstrukcji z wykorzystaniem teorii niezawodności. Algorytm uwzględnia obciążenia statyczne stałe i zmienne, w tym zmiany temperatury w granicach, w których można przyjąć, że nie powodują zmian właściwości fizycznych materiału. Przedstawione związki zachowują swą ważność także
w przypadku działania obciążeń dynamicznych.
Na podstawie najistotniejszych pozycji literatury przedstawiono rys historyczny teorii przystosowania
oraz wyniki badań doświadczalnych uzasadniające wybór tej teorii jako podstawy oceny bezpieczeństwa konstrukcji wykonanych z materiałów sprężysto idealnie plastycznych. Przedstawiono też podstawowe założenia i twierdzenia tej teorii. Wskazano na niespójności klasycznych sformułowań kinematycznych ze sformułowaniami statycznymi teorii przystosowania i zaproponowano sposób ich
eliminacji. Zaproponowano algorytm formułowania warunków granicznych wykorzystujący analogie
między sformułowaniami pierwotnymi i dualnymi programowania liniowego oraz między sformułowaniami statycznymi i kinematycznymi teorii przystosowania. Algorytm ten obejmuje formułowanie
liniowych statycznych warunków przystosowania konstrukcji, formułowanie liniowych układów równań z ograniczeń pierwotnych i dualnych układów równań, których rozwiązania pozwalają na wyznaczanie warunków granicznych jako funkcji zmiennych wyjściowych określających konstrukcję i jej
obciążenia. Otrzymywane tak warunki graniczne mogą być traktowane jak ograniczenia kinematyczne
generujące, wraz z odpowiadającymi im sformułowaniami statycznymi (pierwotnymi), rozwiązania zupełne. Przedstawiono liniowe warunki przystosowania wyrażone poprzez siły przekrojowe, dla przekrojów bisymetrycznych w przypadku zginania, w przypadku zginania z udziałem siły podłużnej oraz
w przypadku zginania z udziałem siły podłużnej i poprzecznej. Wskazano na nieścisłość istniejącego
twierdzenia statycznego dla zginanych elementów o przekroju monosymetrycznym i wyprowadzono,
wyrażone poprzez siły przekrojowe, zlinearyzowane warunki przystosowania w przypadku zginania
oraz zginania z udziałem siły podłużnej.
Podobnie jak w przypadku teorii przystosowania, na podstawie literatury przedstawiono rys historyczny
rozwoju teorii niezawodności. Uwzględniono istniejące prace z zakresu oceny niezawodności w aspekcie
teorii przystosowania. Scharakteryzowano podstawowe miary i metody ich określania stosowane w teorii
niezawodności. Zaproponowano iteracyjny algorytm wyznaczania wskaźnika niezawodności Hasofe* Instytut Inżynierii Lądowej Politechniki Wrocławskiej, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław.
4
Podstawowe oznaczenia
ra–Linda. Omówiono podstawowe systemy niezawodnościowe i przedstawiono modelowanie nimi
konstrukcji w kontekście oceny bezpieczeństwa na podstawie teorii przystosowania.
Przedstawiono szczegółowe związki umożliwiające ocenę bezpieczeństwa płaskich konstrukcji prętowych o przekrojach jednorodnych i hybrydowych wykonanych z materiałów sprężysto idealnie plastycznych. Proponowany algorytm może też być łatwo adaptowany do oceny bezpieczeństwa także
innych konstrukcji, na przykład żelbetowych i uwzględniania także innych stanów konstrukcji uznawanych za awaryjne, na przykład utraty stateczności.
Zilustrowano zastosowanie proponowanej koncepcji oceny bezpieczeństwa konstrukcji dwoma przykładami. Przedstawiono wyniki kilku rozwiązań tych przykładów ilustrujące różne elementy proponowanego algorytmu.
Przyjmując oznaczenia, kierowano się następującymi zasadami:
1) litera o normalnej grubości czcionki oznacza stałą, zmienną lub funkcję,
2) litera pogrubiona oznacza wektor lub macierz,
3) w oznaczeniach dwuliterowych druga litera doprecyzowuje oznaczenie zasadnicze,
jakim jest pierwsza litera (wyjątek stanowi symbol ∆, który oznacza przyrost lub amplitudę wielkości oznaczonej drugą literą),
4) indeks górny określa przyczynę, której skutkiem jest dana wielkość lub stan układu
(wyjątek stanowi tu indeks T, który może oznaczać wpływ temperatury lub transpozycję wektora lub macierzy),
5) indeks dolny pierwszy oznacza miejsce występowania danej wielkości lub jej numer,
6) indeks dolny drugi doprecyzowuje to miejsce.
A
A
Av
A
–
–
–
–
Aα
–
AY
–
A*α
–
A*Y
–
B
–
Duże litery łacińskie
pole przekroju pręta,
zbiór zdarzeń określających stan niebezpieczny (awaryjny) systemu,
pole części przekroju czynnej przy ścinaniu,
macierz współczynników reprezentujących pola naprężeń resztkowych
samozrównoważonych w przekrojach,
macierz współczynników reprezentujących pola naprężeń resztkowych
macierz współczynników reprezentujących pole resztkowych sił przekrojowych pozostających w równowadze z obciążeniem zerowym,
macierz Aα zredukowana do współczynników występujących w ograniczeniach aktywnych,
macierz AY zredukowana do współczynników występujących w ograniczeniach aktywnych,
zbiór zdarzeń określających bezpieczeństwo systemu,
B
C
CX
D
Eijkl
E
E[X]
F
FX[X]
G(Y)
K
K0
∆K = K – K0
I
I
L
Me
Mr
Mo
Me
Ms
M*
j
Mi
∆Me
Ne
Nr
No
Ne
j
Ni
5
– macierz współczynników reprezentujących pole naprężeń resztkowych,
– macierz współczynników reprezentujących pole naprężeń resztkowych,
– macierz kowariancji zmiennych X,
– macierz podatności,
– współczynniki sprężystości materiału,
– moduł sprężystości Younga,
– wartość oczekiwana zmiennej losowej X,
– obciążenie,
– dystrybuanta zmiennej losowej X,
– funkcja graniczna w przestrzeni standaryzowanych normalnych zmiennych losowych,
– macierz sztywności,
– macierz deterministyczna, której elementami są wartości oczekiwane poszczególnych elementów tej macierzy,
– macierz losowych fluktuacji macierzy K, których wartości oczekiwane
są równe zeru,
– moment bezwładności przekroju pręta,
– macierz jednostkowa,
– długość, rozpiętość,
– moment zginający w przekroju pręta w układzie sprężystym,
– moment resztkowy w przekroju pręta,
– graniczny moment plastyczny przekroju pręta.
– graniczny moment sprężysty przekroju pręta.
– maksymalny moment, przy którym możliwe jest obciążenie w zakresie sprężystym momentem z przeciwnym zwrotem o wartości 2Me,
– moment odpowiadający osiągnięciu przez strefę uplastycznioną osi
geometrycznej przekroju przy obciążaniu od zera do M*,
– moment zginający w i-tym przekroju wywołany jednostkową siłą hiperstatyczną Yj = 1,
– wektor amplitud sprężystych zmian momentów w przekrojach,
– siła osiowa w przekroju pręta w układzie sprężystym,
– siła osiowa resztkowa w przekroju pręta,
– graniczna plastyczna siła osiowa w przekroju pręta.
– graniczna sprężysta siła osiowa w przekroju pręta.
– siła osiowa w i-tym przekroju wywołana jednostkową siłą hiperstatyczną Yj = 1,
6
P[Z]
Q
Q
Q*
R
S
U
Ve
Vr
Ve
Vo
VX
– prawdopodobieństwo zdarzenia Z,
– dowolna siła przekrojowa,
– wektor współczynników układu ograniczeń statycznych na przystosowanie reprezentujących obciążenie,
– wektor Q zredukowany do współczynników występujących w ograniczeniach czynnych,
– moc dyssypacji układu,
– moc obciążenia,
– wektor przemieszczeń,
– siła tnąca w przekroju pręta w układzie sprężystym,
– siła tnąca resztkowa w przekroju pręta,
– graniczna sprężysta siła tnąca w przekroju pręta,
– graniczna plastyczna siła tnąca w przekroju pręta,
– współczynnik zmienności zmiennej X,
j
– siła tnąca w i-tym przekroju wywołana jednostkową siłą hiperstatyczną
Yj = 1,
We
– sprężysty wskaźnik zginania przekroju pręta,
Wo
– plastyczny wskaźnik zginania przekroju pręta,
Ws
– wskaźnik zginania przekroju pręta na przystosowanie (dla przekroju
bisymetrycznego Ws = Wo),
T
X = ( X 1 ,..., X n )
– wektor bazowych zmiennych losowych, to jest zmiennych
wyjściowych stanowiących parametry geometryczne i fizyczne konstrukcji oraz parametry obciążenia,
XR = (XR1,..., XRr)T ∈ X – wektor zmiennych losowych określających nośność konstrukcji,
XS = (XS1,..., XSs)T ∈ X – wektor zmiennych losowych określający obciążenie,
Y
– wektor standaryzowanych zmiennych losowych,
– wektor zmiennych niezależnych określających pola resztkoYr = (Y1r,..., Ynhr)T
wych sił przekrojowych,
Z(X)
– zapas bezpieczeństwa (funkcja bazowych zmiennych losowych).
Vi
b
fX(X)
h
nh
nk
pf
–
–
–
–
–
–
Małe litery łacińskie
szerokość przekroju,
funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,
wysokość przekroju,
stopień statycznej niewyznaczalności układu,
liczba przekrojów krytycznych,
prawdopodobieństwo awarii,
pr = 1 – pf
tf
tw
x
sijr(x)
y*
7
–
–
–
–
niezawodność (prawdopodobieństwo niewystąpienia awarii),
grubość stopki przekroju dwuteowego i teowego,
grubość środnika przekroju dwuteowego i teowego,
wektor współrzędnych geometrycznych poszczególnych punktów ciała,
– pole naprężeń resztkowych samozrównoważonych w przekroju pręta,
– punkt obliczeniowy w przestrzeni standaryzowanych zmiennych losowych.
∆β ( X i )
–
∆K = K – K0
–
∆φ
∆Me
Φ (σij)
Φ [X]
Φ 0[X]
–
–
–
–
–
Φ –1[X]
–
α
α, β
–
–
β
–
βHL
βC
βFORM
βSORM
βRE
∆β ( X i )
–
–
–
–
–
–
δij
γ (X)
γ
–
–
–
Duże litery greckie
przyrost (ujemny) wskaźnika β wynikający z uwzględnienia losowego charakteru zmiennej X i ,
macierz losowych fluktuacji macierzy K, których wartości oczekiwane
są równe zeru,
wektor prędkości odkształceń naprzemiennych,
wektor amplitud sprężystych zmian momentów w przekrojach,
funkcja plastyczności,
dystrybuanta rozkładu normalnego zmiennej losowej X,
dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego zmiennej losowej
X,
funkcja odwrotna do dystrybuanty rozkładu normalnego.
Małe litery greckie
wektor kosinusów kierunkowych,
macierze współczynników określających pola naprężeń resztkowych
wskaźnik (indeks) niezawodności Hasofera–Linda przy zmiennych
normalnych standaryzowanych,
wskaźnik niezawodności Hasofera–Linda,
wskaźnik niezawodności Cornella,
wskaźnik niezawodności wyznaczony metodą FORM,
wskaźnik niezawodności wyznaczony metodą SORM,
wskaźnik niezawodności Roseblutha–Estevy,
przyrost (ujemny) wskaźnika β wynikający z uwzględnienia losowego charakteru zmiennej Xi,
delta Diraca,
współczynnik bezpieczeństwa,
odkształcenie,
8
εe
εp
εT
ε
ε*
κi
µ
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
ν
ξ
ρ[R,S]
σ
σ0
σij
σZ
σx, σy, σz
–
–
–
–
–
–
–
–
τxy, τyz, τzx
ϕ i+ i ϕ i−
ϕ
ϕn
–
–
–
–
∆ϕ
ϕ
–
εT
ε·
ε ij
odkształcenie sprężyste,
odkształcenie plastyczne,
odkształcenie termiczne,
wektor odkształceń transponowany,
prędkość odkształcenia,
składowa tensora odkształceń,
wektor zmiennych dualnych (prędkości odkształceń plastycznych),
wektor zmiennych dualnych bez składowych zerowych,
krzywizny główne powierzchni aproksymującej,
współczynnik intensywności obciążenia (mnożnik granic zmienności
obciążeń),
współczynnik Poissona,
współrzędna przekroju krytycznego w przęśle pręta,
współczynnik korelacji zmiennych R oraz S,
naprężenie normalne w jednoosiowym stanie naprężenia,
granica plastyczności materiału,
składowa tensora naprężeń,
odchylenie standardowe zmiennej losowej Z,
składowe normalne tensora naprężenia w układzie współrzędnych x,
y, z,
składowe styczne tensora naprężeń,
prędkości zmian kątów w przegubach plastycznych zginanych,
funkcja gęstości prawdopodobieństwa,
n-wymiarowa normalna gęstość prawdopodobieństwa standaryzowanych zmiennych losowych,
wektor prędkości odkształceń naprzemiennych.
9
1. Cel i zakres pracy
1.1. Cel pracy
Celem pracy jest opracowanie algorytmu probabilistycznej oceny bezpieczeństwa płaskich konstrukcji prętowych wykonanych z materiałów, dla których dopuszczalne jest
przyjęcie modelu sprężysto idealnie plastycznego. Algorytm uwzględnia obciążenia statyczne stałe i zmienne, w tym zmiany temperatury w granicach, w których można przyjąć, że nie powodują zmian właściwości fizycznych materiału. Przedstawione związki
zachowują swą ważność także w przypadku działania obciążeń dynamicznych.
Podstawę oceny bezpieczeństwa stanowią warunki graniczne, których spełnienie oznacza osiągnięcie przez obciążenie, o określonym programie działania, poziomu uznawanego za zagrażający bezpieczeństwu. Przy przyjętych założeniach (konstrukcja sprężysto idealnie plastyczna poddana działaniu obciążeń stałych i zmiennych) podstawowymi zagrożeniami bezpieczeństwa są: możliwość przekształcenia się konstrukcji w mechanizm w wyniku uplastycznienia materiału, występowanie odkształceń plastycznych
przeciwnych znaków, mogące prowadzić do zmęczenia niskocyklowego, lub możliwości utraty stateczności.
Ocena bezpieczeństwa konstrukcji, w ujęciu probabilistycznym, obejmuje dwa zasadnicze zagadnienia: formułowanie warunków granicznych i obliczanie, na ich podstawie, wartości współczynników stanowiących miary bezpieczeństwa. Warunki graniczne określane są z wykorzystaniem metod analizy konstrukcji przyjmowanych stosownie do typu konstrukcji, działających obciążeń i rodzaju materiału, z którego wykonana
jest konstrukcja. Oceną bezpieczeństwa konstrukcji, gdy znane są jej teoretyczne modele z określonymi warunkami granicznymi, zajmuje się teoria niezawodności wykorzystująca metody rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. Aktualnie zastosowanie teorii niezawodności w praktyce inżynierskiej ogranicza się do tworzenia wzorów normowych i kalibrowania ich współczynników, oceny niezawodności
konstrukcji specjalnych, takich jak wieże wiertnicze oraz w działalności eksperckiej.
W pracy przedstawione zostaną szczegółowe związki umożliwiające ocenę bezpieczeństwa płaskich konstrukcji prętowych o przekrojach jednorodnych i hybrydowych
wykonanych z materiałów sprężysto idealnie plastycznych. Mogą to być na przykład
konstrukcje stalowe lub ze stopów aluminiowych. Proponowany algorytm może też być
10
1. Cel i zakres pracy
łatwo adaptowany do oceny bezpieczeństwa także innych konstrukcji, na przykład żelbetowych i uwzględniania innych stanów konstrukcji uznawanych za awaryjne, na przykład utraty stateczności.
Uwzględniając, że do podstawowych obciążeń konstrukcji budowlanych należą obciążenia zmienne, warunki graniczne będą określane na podstawie teorii przystosowania, która, jak wykazują badania doświadczalne, dostarcza bezpiecznych warunków granicznych w przypadku działania takich obciążeń. Szczególnym przypadkiem takich obciążeń są obciążenia stałe, które mogą być traktowane jak obciążenia zmienne o dolnej
i górnej granicy ich zmienności równych sobie. W rozważaniach zostanie pominięta teoria nośności granicznej jako oddzielna metoda, która dostarcza bezpiecznych warunków granicznych tylko w przypadku działania obciążeń stałych, które po ewentualnym
narastaniu w jednym cyklu do wartości końcowych nie ulegają zmianie. W przypadku
obciążeń zmiennych nośność graniczna określona według teorii nośności granicznej może
znacznie przewyższać rzeczywistą nośność konstrukcji. Teoria nośności granicznej jest
szczególnym przypadkiem teorii przystosowania odpowiadającym obciążeniom stałym,
jej pominięcie w rozważaniach jako oddzielnej metody nie zawęża zakresu rozważanych zagadnień.
1.2. Zakres pracy
Na treść pracy składa się siedem rozdziałów. W rozdziale pierwszym sformułowano
cel i omówiono zakres pracy, który obejmuje dwa zasadnicze zagadnienia: określanie
warunków granicznych na podstawie teorii przystosowania i ocenę bezpieczeństwa konstrukcji z wykorzystaniem teorii niezawodności.
W rozdziale drugim przedstawiono rys historyczny rozwoju teorii przystosowania
z uwzględnieniem najistotniejszych pozycji literatury dotyczących tej teorii i jej zastosowań w zakresie odpowiadającym niniejszej pracy. Przedstawiono wyniki badań doświadczalnych uzasadniające wybór teorii przystosowania jako najlepiej określającej
nośność konstrukcji wykonanych z materiału sprężysto idealnie plastycznego. Przedstawiono też podstawowe założenia i twierdzenia tej teorii.
W rozdziale trzecim wskazano na niespójności klasycznych sformułowań kinematycznych ze sformułowaniami statycznymi teorii przystosowania i zaproponowano sposób ich eliminacji. Wykorzystując znane analogie między sformułowaniami pierwotnymi i dualnymi programowania liniowego oraz między sformułowaniami statycznymi
i kinematycznymi teorii przystosowania, zaproponowano algorytm przedstawiania warunków granicznych dla konstrukcji jako funkcji parametrów określających konstrukcję i obciążenie. Algorytm ten obejmuje formułowanie liniowych (zlinearyzowanych)
statycznych warunków przystosowania konstrukcji, formułowanie liniowych układów
równań z ograniczeń pierwotnych i dualnych układów równań, których rozwiązaniami
są zmienne dualne jako funkcje zmiennych bazowych rozumianych tu jako parametry
1.2. Zakres pracy
11
wyjściowe określające bezpośrednio konstrukcję i obciążenia. To pozwala na wyznaczanie warunków granicznych i zapasów bezpieczeństwa jako funkcji zmiennych bazowych. Otrzymywane tak warunki graniczne mogą być traktowane jak ograniczenia kinematyczne generujące, wraz z odpowiadającymi im sformułowaniami statycznymi (pierwotnymi), rozwiązania zupełne. Wyprowadzono też, wyrażone poprzez siły przekrojowe, zlinearyzowane warunki przystosowania dla przekrojów bisymetrycznych w przypadku zginania z udziałem siły podłużnej oraz podłużnej i poprzecznej. Wskazano na
nieścisłość istniejącego twierdzenia statycznego dla zginanych elementów o przekroju
monosymetrycznym i wyprowadzono, wyrażone poprzez siły przekrojowe, zlinearyzowane warunki przystosowania w przypadku zginania oraz zginania z udziałem siły podłużnej.
W rozdziale czwartym przedstawiono rys historyczny rozwoju teorii niezawodności
z uwzględnieniem najważniejszych pozycji literatury. Uwzględniono też prace z zakresu oceny niezawodności w aspekcie teorii przystosowania, w tym istotniejsze prace autora niniejszej pracy. Scharakteryzowano podstawowe miary i metody ich określania stosowane w teorii niezawodności. Zaproponowano iteracyjny algorytm wyznaczania wskaźnika niezawodności Hasofera–Linda.
W rozdziale piątym omówiono podstawowe propozycje oszacowań niezawodności
konstrukcji jako systemów niezawodnościowych. Proponowana w rozdziale trzecim koncepcja wyznaczania warunków granicznych pozwala na określanie szeregowego modelu systemu niezawodnościowego konstrukcji.
W rozdziale szóstym zilustrowano zastosowanie proponowanej koncepcji oceny bezpieczeństwa konstrukcji dwoma przykładami. Przedstawiono wyniki kilku rozwiązań tych
przykładów ilustrujące różne elementy proponowanego algorytmu.
W rozdziale siódmym przedstawiono posumowanie rozważań zawartych w pracy.
12
2. Podstawy teorii przystosowania uk³adów prêtowych
2.1. Wstêp
Za prekursora teorii przystosowania uwa¿a siê Grüninga [56], który na przyk³adzie
kratownicy wykaza³ niebezpieczeñstwo zniszczenia konstrukcji sprê¿ysto-plastycznej
w wyniku uplastycznienia materia³u pod dzia³aniem obci¹¿eñ zmiennych.
Warunki przystosowania belek o przekroju idealnie dwuteowym wyra¿one poprzez
momenty zginaj¹ce przedstawi³ Bleich [14]. Analizowa³ on te¿ przystosowanie kratownic.
Ogólne twierdzenia dotycz¹ce przystosowania kontinuum sprê¿ysto idealnie plastycznego i sprê¿ysto-plastycznego ze wzmocnieniem przedstawi³ Melan [107, 108, 109, 110].
Problemy przystosowania kratownic rozwa¿ali te¿ Prager [141] i Neal [123], którzy
zwrócili uwagê, ¿e w tym przypadku nale¿y siê liczyæ z mo¿liwoci¹ utraty statecznoci prêtów ciskanych przed ich uplastycznieniem.
Rozró¿nienia plastycznoci przyrostowej i naprzemiennej dokonali Horne [70] oraz
Neal i Symonds [124], którzy wyprowadzili warunek zmêczeniowy dla przypadku zginania wykazuj¹c, ¿e dla zginanych przekrojów innych ni¿ dwuteowe bez rodnika do
przystosowania siê potrzebne jest spe³nienie warunków przedstawionych przez Bleicha
i warunków chroni¹cych przed plastycznoci¹ naprzemienn¹. Warunki te ³¹cznie stanowi¹ podstawê twierdzenia zwanego twierdzeniem BleichaMelana.
Wychodz¹c z warunków Bleicha traktowanych jako warunki przyrostowe dla przekrojów dwuteowych, Neal [121, 122] sformu³owa³ twierdzenia kinematyczne dotycz¹ce przystosowania i nieprzystosowania przyrostowego belek i ram, wyra¿one poprzez
momenty zginaj¹ce.
Koiter [80] pokaza³, ¿e warunki na przystosowanie wyra¿one poprzez momenty zginaj¹ce s¹ prawdziwe tylko dla przekrojów bisymerycznych. Nie zapewniaj¹ natomiast
przystosowania przekrojów monosymetrycznych i ewentualne ich stosowanie na przyk³ad w przypadku przekrojów teowych prowadzi do oszacowañ przybli¿onych od góry.
W tym zakresie Konieczny [82] przedstawi³ ogólne warunki na przystosowanie belek,
obejmuj¹ce tak¿e przystosowanie belek o przekrojach monosymetrycznych.
Ogólne twierdzenie kinematyczne o przystosowaniu i nieprzystosowaniu kontinuum
materialnego sformu³owa³ Koiter [79, 80]. Uogólnienie tego twierdzenia na obci¹¿enia
termiczne przedstawi³ Rozenblum [150]. Gokhfeld [54] i Sawczuk [156] zapocz¹tko-
2.1.Wstêp
13
wali stosowanie twierdzenia Koitera w analizie przystosowania dla odcinkowo liniowych warunków granicznych. Pham [135], Pham i Stumpf [137] zaproponowali zredukowan¹ postaæ twierdzenia Koitera, która nie wymaga wykonywania ca³kowania cykli
obci¹¿eñ wzglêdem czasu. Wersjê szczególn¹ tego podejcia dla kratownic i ram wyra¿on¹ poprzez naprê¿enia przedstawi³ Pham [136].
Ogólne twierdzenia o przystosowaniu (wyprowadzone z twierdzenia Melana)
i nieprzystosowaniu (wyprowadzone z twierdzenia Koitera) wyra¿one poprzez si³y przekrojowe przedstawi³ König [87, 89, 90]. Tam te¿ u¿y³ on pojêcia powierzchni sprê¿ystej jako obszaru w przestrzeni si³ przekrojowych, w obrêbie którego zmiany tych si³
nie powoduj¹ uplastycznienia w ¿adnym punkcie przekroju. Wykaza³ te¿ w³asnoci tych
powierzchni u³atwiaj¹ce ich dobieranie.
Problemy przystosowania dla materia³ów ze wzmocnieniem rozpatrywali Templin
i Sturm [184], Maier [102], König [89] i inni.
Zagadnienie przystosowania w przypadku obci¹¿eñ termicznych rozwa¿ali: Parkes
[133, 134], który pokaza³, ¿e zmiany temperatury mog¹ powodowaæ zniszczenie przyrostowe lub naprzemienne, na przyk³adzie skrzyde³ samolotów, Prager [142] i Rozenblum
[151], którzy wykazali, ¿e wspomniane powy¿ej warunki na przystosowanie s¹ prawdziwe tak¿e w przypadku termicznych obci¹¿eñ zmiennych dla zmian temperatury
w granicach niepowoduj¹cych zmian w³aciwoci materia³u. König [88] rozpatrywa³
twierdzenie Melana, w przypadku gdy warunek graniczny i modu³ sprê¿ystoci materia³u zale¿¹ od temperatury.
Ceradini [22, 23], Hwa Shan Ho [72], Corradi i Maier [32], Capurso [21], wykazali,
¿e twierdzenie Melana jest prawdziwe tak¿e w przypadku obci¹¿eñ dynamicznych.
Opis zagadnienia przystosowania w ujêciu programowania liniowego stosowali Hodge
[66], Heyman [62], Gavarini [53], Cyras [34], Corradi i Zavelani [33] oraz inni. Ogólnie problem przystosowania w ujêciu programowania matematycznego zosta³ sformu³owany przez Maiera [102, 103], Kamenjarzha i Weicherta [75] oraz innych. Warto wspomnieæ, ¿e programowanie matematyczne nale¿y do podstawowych metod optymalizacji, która jest wa¿nym zagadnieniem w analizie konstrukcji, cile zwi¹zanym z ocen¹
ich niezawodnoci. W tym zakresie przyk³adowo mo¿na wymieniæ pracê Jendy i Putreszy [73].
Wiele prac dotyczy algorytmizacji numerycznej analizy przystosowania. Mo¿na tu
przyk³adowo wymieniæ pracê Borkowskiego i Kleibera [18], w której autorzy zastosowali przyrostow¹ analizê numeryczn¹, prace Orkisza i wspó³autorów [128132],
w których rozpatrywano problem wyznaczania naprê¿eñ resztkowych, proponuj¹c ró¿ne algorytmy numeryczne oparte na nierównoci Martina [105], dotycz¹cej ca³kowitej
pracy uzupe³niaj¹cej. Wielu autorów proponuje algorytmy wykorzystuj¹ce metodê elementów skoñczonych (MES). Przyk³adowo wymieniæ mo¿na pracê Zwoliñskiego i Bielawskiego [200], w której przedstawiono algorytm doboru naprê¿eñ resztkowych w analizie przystosowania i nonoci granicznej, Cichonia i Waszczyszyna [25, 26] oraz Cichonia [27], w których przedstawiono algorytmy MES do analizy przystosowania ³u-
14
ków oraz prace Nguyen Dang Hunga i Königa [126], Weicherta i Gross-Weegea [188],
Yana i Nguyen Dang Hunga [195], Hachemi i Weicherta [57], Heitzera i Staata [61].
Pycko i Mróz [145] zaproponowali metodê iteracyjn¹ analizy przystosowania konstrukcji, opart¹ na warunkach statycznych, a polegaj¹c¹ na wyznaczaniu mno¿nika okrelaj¹cego modu³ plastyczny materia³u niezbêdny do przeniesienia obci¹¿eñ o okrelonym
programie. W ca³oci metodom numerycznym powiêcony zosta³ europejski temat badawczy LISA FEM-Based Limit and Shakedown Analysis for Design and Integrity Assessment in European Industry, z którego sprawozdanie pt. Numerical Methods for Limit
and Shakedown Analysis przedstawili w internecie Staat i Heitzer w 2003 roku. Poza
szerokim wykazem literatury przedstawiono tam propozycje postêpowania w przypadku
projektowania na przystosowanie. Przedstawiono te¿ podstawowe za³o¿enia normy europejskiej (Basic Pressure Vessel Design in New European Code prEN 13445-3:1999)
projektowania zbiorników, opartego na teorii przystosowania.
Literatura dotycz¹ca zagadnieñ przystosowania zawiera te¿ prace przedstawiaj¹ce
wyniki badañ dowiadczalnych. Massonet [106] przedstawi³ wyniki badañ belek dwuprzês³owych obci¹¿onych dwiema si³ami w rodkach rozpiêtoci przêse³ jedn¹ sta³¹
i jedn¹ zmienn¹. Nonoci wyznaczone dowiadczalnie przewy¿szaj¹ nonoci okrelone
na podstawie obliczeñ w granicach do 5%, a nonoæ graniczna przewy¿sza nonoæ na
przystosowanie o oko³o 19%. Bertero i Popov poddali badaniu na zmêczenie niskocyklowe belki wspornikowe wykonane z dwuteowników stalowych normalnych o wysokoci 120 mm. Badania [20] wykonano na serii belek, dobieraj¹c naprzemienne obci¹¿enie koñca wspornika tak, by w w³óknach skrajnych w przekroju przypodporowym
w ka¿dym cyklu powstawa³y te same odkszta³cenia naprzemienne wynosz¹ce od ±1%
do ±2,5%. Obserwowano zniszczenie w wyniku zmêczenia niskocyklowego po kilkudziesiêciu cyklach zmian obci¹¿enia. Fukumoto [50] przedstawi³ wyniki badañ belek
stalowych o przekroju dwuteowym lub prostok¹tnym jednoprzês³owych, jednym koñcem utwierdzonych, a drugim przegubowo podpartych. Badano belki pod obci¹¿eniem
ruchomym oraz pod dzia³aniem si³ o zmiennych wartociach o ustalonym po³o¿eniu.
Uzyskano wyniki zgodne z teoretycznymi w zakresie nonoci i przemieszczeñ obliczanych wed³ug przedstawionej tam procedury. Przytoczone w pracy [91] wyniki badañ
Derbyego, dotycz¹ce dwuteowych belek ci¹g³ych od dwu do piêcioprzês³owych obci¹¿onych przetaczanym wielokrotnie walcem po górnym pasie wykazuj¹ du¿¹ zgodnoæ
z wynikami obliczeñ w zakresie nonoci i nieco mniejsz¹ w zakresie przemieszczeñ.
Biegus i wspó³autorzy [12, 40] badali belki stalowe o przekroju prostok¹tnym 20×10 mm,
dwuprzês³owe, obci¹¿one dwiema si³ami w rodkach rozpiêtoci przêse³ jedn¹ sta³¹
i jedn¹ zmienn¹. Uzyskano nonoæ mniejsz¹ od teoretycznej o oko³o 3%. Neal i Symonds
[125] przedstawili wyniki badañ modelowych ramy parterowej jednonawowej wykonanej z prêtów stalowych o przekroju kwadratowym (1/4×1/4 cala) obci¹¿onej dwiema
si³ami zmienianymi zgodnie z za³o¿onym programem. Z badañ otrzymano nieznacznie
wiêksz¹ nonoæ ni¿ z obliczeñ i mniejsze przemieszczenia trwa³e ni¿ obliczone. Popov
i McCarthy [140] badali ramy parterowe jednonawowe o jednakowej wysokoci s³u-
2.1.Wstêp
15
pów i o ró¿nej wysokoci s³upów, wykonane z prêtów stalowych o przekroju dwuteowym z u¿ebrowanymi wêz³ami obci¹¿onymi dwiema si³ami zmienianymi zgodnie z za³o¿onym programem. Wykonano badania nonoci granicznej na przystosowanie przyrostowe i na zmêczenie niskocyklowe. Z badañ otrzymano nonoci wiêksze o kilka procent ni¿ z obliczeñ. Gdy w obliczeniach uwzglêdniono fakt, ¿e uplastycznienie nastêpowa³o nie w przekrojach na przeciêciu osi rygli i s³upów, lecz w przekrojach na przeciêciu osi rygli i krawêdzi s³upów, uzyskano wyniki obliczeñ znacznie bli¿sze wynikom
uzyskanym z badañ. W pracy [63] przedstawiono wyniki badañ otrzymane przez Goodella i Minera dla ram piêtrowych wykonanych z aluminiowych prêtów kwadratowych
o przekroju 1/4×1/4 cala o s³upach zamocowanych w fundamentach sztywno lub przegubowo. Ramy by³y obci¹¿one sta³¹ si³¹ pionow¹ w rodku rygla dolnego i dwiema poziomymi si³ami zmiennymi w linii rygli. Nonoci z pomiarów nieznacznie przewy¿sza³y nonoci teoretyczne zarówno dla nonoci granicznej, jak i na przystosowanie.
Publikowane s¹ te¿ prace przedstawiaj¹ce wyniki badañ, które wykazuj¹ znaczne
rozbie¿noci z wynikami obliczeñ teoretycznych. Na przyk³ad: Eyre i Galambos [46]
przedstawili wyniki badañ belek stalowych dwuprzês³owych o przekroju prostok¹tnym
lub dwuteowym poddanych dzia³aniu jednej lub dwu si³ ruchomych. Nonoci uzyskane z badañ znacznie przewy¿szaj¹ nonoci teoretyczne. Analogiczne badania dotycz¹ce belek dwu- i trójprzês³owych przedstawi³ Grundy [55]. Badane belki o przekroju dwuteowym obci¹¿one by³y dwiema si³ami poruszaj¹cymi siê po pasie dolnym na rolkach.
Otrzymano nonoci o ponad 10% mniejsze ni¿ z obliczeñ. Wyniki te w porównaniu
z innymi i z sob¹ nawzajem wskazuj¹ na pominiêcie jakich istotnych elementów w badaniach lub w obliczeniach teoretycznych, na przyk³ad pominiêcie w obliczeniach wp³ywu
zginania stopki dwuteownika w p³aszczynie poprzecznej.
Generalnie nonoci okrelane na podstawie badañ dowiadczalnych raczej przekraczaj¹ nonoci okrelone na podstawie obliczeñ wed³ug teorii przystosowania do kilku
procent, przemieszczenia pomierzone s¹ zwykle nieco mniejsze ni¿ obliczone, czego
podstawow¹ przyczyn¹ wydaje siê byæ pomijanie w obliczeniach wzmocnienia materia³u. Ró¿nice miêdzy nonoci¹ dla obci¹¿eñ sta³ych i zmiennych uzyskiwane z badañ
(nawet tych budz¹cych w¹tpliwoci) s¹ bardzo bliskie analogicznym ró¿nicom uzyskiwanym z obliczeñ wed³ug teorii nonoci granicznej i wed³ug teorii przystosowania.
Zale¿nie od z³o¿onoci uk³adu i programu obci¹¿eñ zmiennych ró¿nice te wynosz¹ od
kilkunastu nawet do kilkudziesiêciu procent. Oznacza to, ¿e teoria przystosowania pozwala na bezpieczne szacowanie nonoci konstrukcji, a zastosowanie teorii nonoci
granicznej w przypadku obci¹¿eñ zmiennych mo¿e prowadziæ do znacznego przeszacowania rzeczywistej nonoci konstrukcji. Jako przyk³ad mo¿na tu przytoczyæ opisan¹
przez Heymana i innych [63] konstrukcjê stycznikowni na wybrze¿u morskim Walii
nara¿onej miêdzy innymi na znaczne zmienne obci¹¿enia wiatrem. Konstrukcja w pierwszej wersji zosta³a zaprojektowana na podstawie teorii nonoci granicznej przy za³o¿eniu wspó³czynnika bezpieczeñstwa o wartoci 1,525. Po wykonaniu obliczeñ wed³ug
teorii przystosowania okaza³o siê, ¿e wspó³czynnik bezpieczeñstwa wynosi tylko 1,04.
16
Konstrukcjê przeprojektowano tak, ¿e wspó³czynnik bezpieczeñstwa wed³ug teorii przystosowania wyniós³ 1,3, co wed³ug teorii nonoci granicznej da³o wspó³czynnik bezpieczeñstwa równy 1,76.
Zasadnicza ró¿nica miêdzy wynikami badañ dowiadczalnych a wynikami obliczeñ
polega na tym, ¿e teoretycznie przystosowanie powinno nastêpowaæ zwykle po jednym,
ewentualnie dwóch cyklach zmian obci¹¿eñ, a w praktyce potrzeba na to kilku cykli.
W praktyce projektowej teoria przystosowania znajduje jeszcze ma³e zastosowanie,
mimo ¿e w Polsce od 1976 roku dopuszczalne jest wykorzystanie rezerwy plastycznej
materia³u w projektowaniu konstrukcji stalowych. Norma PN-76/B-03200 Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie oraz jej edycja z 1980 r. dopuszcza³y wykorzystanie w projektowaniu rezerwy plastycznej materia³u dla obci¹¿eñ statycznych pod warunkiem zapewnienia przystosowania do pracy sprê¿ystej. W edycji tej normy
z 1990 roku dopuszczono wykorzystanie rezerwy plastycznej materia³u wed³ug teorii
nonoci granicznej dla belek i ram p³askich obci¹¿onych przewa¿aj¹co statycznie, jednak zamieszczono tam tablice do projektowania belek opracowane na podstawie teorii
przystosowania (£ubiñski i wspó³autorzy [99]).
2.2. Za³o¿enia podstawowe
Przyjmuje siê izotropowy, sprê¿ysto idealnie plastyczny model materia³u wed³ug
Prandtla [143], przy za³o¿eniu ma³ych odkszta³ceñ. Odkszta³cenia εij i prêdkoci odkszta³ceñ ε·ij oraz naprê¿enia σij mog¹ byæ przedstawione w postaci sum czêci sprê¿ystej
i czêci plastycznej [92]:
ε ij = ε ije + ε ijp ,
(2.2.1)
εij = εije + εijp ,
(2.2.2)
σ ij = σ ije + σ ijp .
(2.2.3)
W przypadku wystêpowania zmian temperatury po prawej stronie wzorów (2.2.1)
do (2.2.3) nale¿y dodaæ, odpowiednio, sk³adniki εijT, ε·ijT, σijT uwzglêdniaj¹ce wp³yw tych
zmian [92].
W zakresie sprê¿ystym zwi¹zki miêdzy odkszta³ceniami i naprê¿eniami okrela prawo Hookea [92]
σ ije = Eijkl ε kle ,
(2.2.4)
−1
ε ije = Eijkl
σ kle ,
(2.2.5)
gdzie Eijkl sta³e wspó³czynniki charakteryzuj¹ce w³aciwoci sprê¿yste materia³u.
17
2.2. Za³o¿enia podstawowe
Dla materia³u izotropowego parametry te okrelone s¹ przez modu³ sprê¿ystoci
pod³u¿nej Younga E i wspó³czynnik odkszta³calnoci poprzecznej Poissona v zwi¹zkami
Eijkl =
E
1 +ν
−1
=
Eijkl
ν


δ ij δ kl  ,
 δ ik δ jl −
1 − 2ν


(
)
1
(1 + ν ) δ ik δ jl − ν δ ij δ kl ,
E
(2.2.6)
(2.2.7)
1 dla i = j
gdzie δ ij = 
delta Diraca.
0 dla i ≠ j
W zakresie plastycznego p³yniêcia materia³ jest idealnie plastyczny i spe³nia warunki neutralnej statecznoci wed³ug Drückera [41, 168]
(σ
)
(2.2.8)
dσ ij ⋅ dε ijp = 0 .
(2.2.9)
ij
− σ ijo ⋅ dε ijp ≥ 0 ,
Z warunków (2.2.8) i (2.2.9) wynika, ¿e powierzchnia neutralna w statecznym materiale plastycznym nie jest wklês³a, a wektor prêdkoci odkszta³cenia plastycznego jest
do niej prostopad³y i zwrócony na zewn¹trz. Przyjmuje siê, ¿e istnieje w przestrzeni
naprê¿eñ funkcja plastycznoci Φ (σ ij ) = 0 identyczna z funkcj¹ potencja³u plastycznego Misesa [115]. Wynika st¹d, stowarzyszone z funkcj¹ plastycznoci Φ (σ ij ) = 0 , prawo plastycznego p³yniêcia [157, 168]
∂Φ (σ ij )
εijp = λ
.
∂σ ij
(2.2.10)
Dla idealnej plastycznoci cz¹stka materia³u mo¿e znajdowaæ siê w stanie plastycznego p³yniêcia (stan czynny) lub w jednym z dwu stanów, gdy plastyczne p³yniêcie nie
wystêpuje, to jest w stanie neutralnym lub w stanie biernym zaliczanym do stanu sprê¿ystego
> 0

λ = 0
= 0

i
∂Φ (σ ij )
∂σ ij
= 0 stan czynny (obci¹¿enie),

σ ij = 0 stan neutralny,
< 0 stan bierny (odci¹¿enie).

(2.2.11)
Przyjmuje siê te¿, ¿e istnieje taka funkcja ϕ (σ ij ) i taki parametr k charakteryzuj¹cy materia³, ¿e zachodzi zwi¹zek Φ (σ ij ) = ϕ (σ ij ) − k . Równoæ ϕ (σ ij ) = k stanowi
warunek idealnej plastycznoci. Jako warunki plastycznoci przyjmowane s¹ hipotezy
18
wytê¿enia. Przyk³ad mo¿e stanowiæ, dobrze odpowiadaj¹ca stanowi rzeczywistemu
w konstrukcjach metalowych [10, 99], hipoteza HuberaMisesaHenckyego [71, 115]
(
)
2
2
+ τ 2yz + τ zx
= σ 02 ,
σ x2 + σ 2y + σ z2 − σ x σ y − σ y σ z − σ z σ x + 3 τ xy
(2.2.12)
gdzie: σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx sk³adowe tensora naprê¿eñ w uk³adzie wspó³rzêdnych x, y, z,
σ 0 granica plastycznoci materia³u.
W szczególnych przypadkach warunek ten ma postaæ:
p³aski stan naprê¿enia w uk³adzie wspó³rzêdnych x, y
2
= σ 02 ,
σ x2 + σ 2y + σ z2 − σ x σ y + 3τ xy
(2.2.13)
p³aski stan naprê¿enia w punkcie przekroju prêta (σ x = σ , τ xy = τ )
σ 2 + 3τ 2 = σ 02 ,
(2.2.14)
σ 2 = σ 02 ,
(2.2.15)
3τ 2 = σ 02 .
(2.2.16)
jednoosiowy stan naprê¿enia
czyste cinanie na p³aszczynie
2.3. Istota i kryteria teorii przystosowania
Do podstawowych obci¹¿eñ konstrukcji budowlanych nale¿¹ obci¹¿enia sta³e
i zmienne. Zale¿nie od intensywnoci ekstremalnych wartoci obci¹¿eñ mo¿na wyró¿niæ
piêæ zasadniczych sytuacji [92]:
1. Naprê¿enia w ¿adnym punkcie nie osi¹gaj¹ wartoci powoduj¹cych uplastycznienie
zmiany odkszta³ceñ nastêpuj¹ w zakresie sprê¿ystym (rys. 2.3.1a).
2. Obci¹¿enie w jednym cyklu osi¹ga konfiguracjê i intensywnoæ graniczn¹ wed³ug
Pragera [143], co przekszta³ca uk³ad w mechanizm i prowadzi do teoretycznie nieograniczonego narastania odkszta³ceñ plastycznych (nieograniczonego narastania energii dyssypowanej w wyniku odkszta³ceñ plastycznych) bez zmiany obci¹¿enia konstrukcja ulega zniszczeniu w wyniku osi¹gniêcia nonoci granicznej w jednym cyklu narastania obci¹¿enia (rys. 2.3.1b, 2.3.2 poziom µ ng , 2.3.3 krzywa zewnêtrzna, 2.3.4 linia ng).
3. Obci¹¿enie w ró¿nych cyklach jego zmian osi¹ga konfiguracjê i intensywnoæ powoduj¹c¹ wystêpowanie odkszta³ceñ plastycznych, które po kilku (niekoniecznie kolejnych) cyklach takich zmian zanikaj¹ we wszystkich punktach (energia dyssypowana w wyniku odkszta³ceñ plastycznych w czasie t → ∞ jest skoñczona): kon-
19
strukcja przystosowa³a siê, co oznacza, ¿e wszelkie dalsze zmiany obci¹¿enia (zgodne z programem do, którego nast¹pi³o przystosowanie) nie bêd¹ powodowa³y odkszta³ceñ plastycznych (rys. 2.3.1e, 2.3.3 obszary ograniczone liniami przerywanymi, 2.3.4 linie pn i pp).
4. Obci¹¿enie w ró¿nych cyklach osi¹ga konfiguracjê i intensywnoæ powoduj¹c¹ wystêpowanie odkszta³ceñ plastycznych takich, ¿e prowadzi do (teoretycznie nieograniczonego) narastania odkszta³ceñ i przemieszczeñ (energia dyssypowana w wyniku
odkszta³ceñ plastycznych w czasie t → ∞ ronie nieograniczenie) konstrukcji grozi zniszczenie w wyniku narastania odkszta³ceñ plastycznych w ró¿nych cyklach, co
okrela siê jako zniszczenie przyrostowe (rys. 2.3.1d, 2.3.2 poziom µ p , 2.3.4
linie np).
5. Obci¹¿enie w ró¿nych cyklach osi¹ga konfiguracjê i intensywnoæ powoduj¹c¹ wystêpowanie w niektórych punktach odkszta³ceñ plastycznych przeciwnych znaków
(plastycznoæ naprzemienna), co mo¿e prowadziæ po stosunkowo nie du¿ej liczbie
cykli do utraty ci¹g³oci materia³u, mimo ¿e odkszta³cenia mog¹ pozostawaæ ma³e
konstrukcji grozi zniszczenie w wyniku zmêczenia niskocyklowego (rys. 2.3.1c,
2.3.4 linia nn).
Nale¿y podkreliæ, ¿e zachowania konstrukcji po osi¹gniêciu stanu granicznego
w jednym cyklu (nonoæ graniczna wed³ug teorii nonoci granicznej) i w wyniku narastania odkszta³ceñ plastycznych w ró¿nych cyklach (nonoæ graniczna przyrostowa
wed³ug teorii przystosowania) s¹ analogiczne w tym sensie, ¿e charakteryzuj¹ siê narastaniem odkszta³ceñ plastycznych bez zmiany ekstremalnej intensywnoci obci¹¿eñ. Ró¿nica polega jednak na tym, ¿e w pierwszym przypadku to narastanie odkszta³ceñ odbywa siê w sposób ci¹g³y w jednym cyklu, a w drugim przypadku sk³ada siê ze skoñczonych przyrostów nastêpuj¹cych w ró¿nych, nie koniecznie kolejnych, cyklach (rys. 2.3.2).
Intensywnoæ graniczna wed³ug teorii przystosowania jest nie mniejsza ni¿ intensywnoæ graniczna ze wzglêdu na nonoæ sprê¿yst¹ i nie wiêksza ni¿ nonoæ graniczna
wed³ug teorii nonoci granicznej. Obszary dopuszczalnych zmian obci¹¿eñ ze wzglêdu na przystosowanie zale¿¹ od programu obci¹¿eñ i w ogólnoci s¹ obszarami powstaj¹cymi w wyniku przesuniêcia i ewentualnie zawê¿enia obszaru nonoci sprê¿ystej, co
ilustruje rys. 2.3.3.
Kryterium przystosowania przyjmuje siê w postaci warunku skoñczonoci energii
dyssypowanej Wp w wyniku odkszta³ceñ plastycznych. König [86] zaproponowa³ to kryterium w postaci warunku (2.3.1), który musi byæ spe³niony dla ka¿dego punktu cia³a
t
∫
W p = σ ij (x, t ) ⋅ εijp (x, t ) ⋅ dt < ∞ ,
0
gdzie: σ ij (x, t ) sk³adowe tensora naprê¿eñ,
εijp (x, t ) sk³adowe tensora prêdkoci odkszta³ceñ plastycznych,
(2.3.1)
20
a)
b)
µ
max µ
c)
µ
max µ
max µ
δ
δ
d)
δ
min µ
min µ
min µ
µ
e)
µ
max µ
µ
max µ
δ
min µ
δ
min µ
Rys. 2.3.1. Przyk³adowe zale¿noci przemieszczeñ δ od intensywnoci µ obci¹¿eñ zmiennych:
a) zakres sprê¿ysty, b)nonoæ graniczna, c) plastycznoæ naprzemienna,
d) nieprzystosowanie przyrostowe, e) przystosowanie
Fig. 2.3.1. Example relations of the displacements δ versus live loads intensity µ
a) elastic range, b) limit analysis, c) alternating plasticity,
d) incremental collapse, e) shakedown
µ
µng
µp
µe
δ
Rys. 2.3.2. Schematyczne porównanie granicznych intensywnoci obci¹¿eñ: µe sprê¿ysta nonoæ
graniczna, µp nonoæ graniczna przystosowania, µng nonoæ graniczna jednocyklowa
Fig. 2.3.2. Schematical compare of the limit loads intensities: µe elastic limit load capacity,
µp shakedown limit load capacity, µng instantaneous limit load capacity
21
F1
Krzywa nonoci granicznej
jednocyklowej
F2
Przyk³adowe obszary
przystosowania
Przyk³adowe obszary
przystosowania
Krzywa graniczna nonoci
sprê¿ystej
Rys. 2.3.3. Przyk³adowe obszary dopuszczalnych zmian obci¹¿eñ
wed³ug teorii nonoci sprê¿ystej, granicznej i przystosowania
Fig. 2.3.3. Example admissible range of the load changes
with respect to the elastic theory, limit analysis and shakedown
δ pl
ng
np
np
δ gr
nn
pn
pp
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
Rys. 2.3.4. Przyk³adowe wykresy zale¿noci przemieszczeñ plastycznych od liczby cykli zmian obci¹¿eñ:
ng przekroczenie odkszta³calnoci materia³u w jednym cyklu, np przyrostowe przekroczenie
odkszta³calnoci materia³u, nn niezanikaj¹ca plastycznoæ naprzemienna, pn zanikaj¹ca plastycznoæ
naprzemienna (przystosowanie), pp zanikaj¹ca plastycznoæ przyrostowa (przystosowanie)
Fig. 2.3.4. Example diagrams of the plastic displacements relation versus the number of load change cycles:
ng instantaneous upcrossing of the material deformability, np incremental upcrossing of the material
deformability, nn unvanished alternating plasticity, pn vanished alternating plasticity (shakedown),
pp vanished incremental plasticity (shakedown)
22
t → ∞ czas,
x wektor wspó³rzêdnych geometrycznych poszczególnych punktów cia³a.
Rychlewski zaproponowa³ to kryterium (na konferencji, z której nie publikowano
materia³ów) w postaci [92]
1
Wp =
VV
t
∫ ∫ σ ij (x, t ) εij (x, t ) dt dV < ∞ ,
p
(2.3.2)
0
gdzie V objêtoæ cia³a.
Maier [103] zaproponowa³ kryterium równowa¿ne do (2.3.1) w postaci
max max lim ε ijp ( x, t ) = ε ∞p ( x) < ∞ ,
x
i , j t →∞
(2.3.3)
gdzie ε ∞p – ekstremalne odkszta³cenie plastyczne.
Fizycznie przystosowanie siê konstrukcji, zwane te¿ przystosowaniem sprê¿ystym,
zwi¹zane jest z istnieniem sta³ego pola naprê¿eñ resztkowych (σijr = const), powsta³ego
w wyniku odkszta³ceñ plastycznych wywo³ywanych przez zmieniaj¹ce siê obci¹¿enie
w okresie przystosowywania siê konstrukcji. Po okresie przystosowywania siê konstrukcji
zmianom obci¹¿eñ nie towarzyszy wystêpowanie odkszta³ceñ plastycznych w ¿adnym
punkcie.
Jedyna merytoryczna ró¿nica miêdzy teori¹ przystosowania a teori¹ nonoci granicznej tkwi w wymogu stawianym przez tê pierwsz¹, by pole naprê¿eñ resztkowych
powstaj¹ce w wyniku odkszta³ceñ plastycznych by³o niezmienne. Za³o¿enie to nie jest
istotne w przypadku dzia³ania tylko obci¹¿eñ sta³ych, gdy¿ ¿adne naprê¿enia nie ulegaj¹ wtedy zmianie i obydwie teorie, przy identycznej dok³adnoci analizy, prowadz¹ do
identycznych wyników.
Teoria nonoci granicznej jest szczególnym przypadkiem teorii przystosowania, gdy¿
obci¹¿enie sta³e jest szczególnym przypadkiem obci¹¿enia zmiennego, którego dolna
i górna granica zmiennoci jest identyczna. W teorii nonoci granicznej przyjmuje siê
wprawdzie, ¿e obci¹¿enia narastaj¹ w jednym cyklu do poziomu granicznego, jednak
teoria ta nie uwzglêdnia ewentualnych zmian obci¹¿enia po osi¹gniêciu tego poziomu,
co oznacza, ¿e nonoæ graniczna wyznaczona wed³ug teorii nonoci granicznej dotyczy w istocie obci¹¿enia sta³ego. Wed³ug teorii przystosowania cykl dochodzenia poziomu obci¹¿enia sta³ego do poziomu granicznego jest cyklem przystosowywania siê
konstrukcji do przenoszenia takiego obci¹¿enia bez wystêpowania odkszta³ceñ plastycznych w okresie, w którym obci¹¿enie to nie ulegnie zmianie. W przypadku obci¹¿eñ
zmiennych mo¿na wyznaczaæ, na podstawie tej teorii, poziom graniczny ró¿nych konfiguracji tych obci¹¿eñ traktowanych niezale¿nie od innych mo¿liwych konfiguracji tych
obci¹¿eñ, jednak takie rozwi¹zania nie uwzglêdniaj¹ skutków wystêpowania odkszta³ceñ plastycznych podczas przechodzenia od jednej konfiguracji obci¹¿enia do innej.
2.4. Twierdzenia statyczne o przystosowaniu
23
Teoria przystosowania dostarcza za narzêdzi umo¿liwiaj¹cych okrelanie poziomu
granicznego obci¹¿eñ zarówno o jednoznacznie sprecyzowanym programie zmian, jak
i o dowolnej zmiennoci w okrelonych granicach, którego nieprzekroczenie zapewnia
sprê¿yst¹ pracê konstrukcji poza cyklami, w których nastêpuje przystosowanie (powstanie
odpowiedniego pola naprê¿eñ resztkowych). W przypadku powierzchni granicznych
wypuk³ych na wyniki rozwi¹zania nie wp³ywa sposób zmiany obci¹¿enia, lecz tylko granice jego zmiennoci [87].
2.4.1. Twierdzenie Melana dla kontinuum materialnego
Statyczne kryterium przystosowania kontinuum materialnego pierwszy sformu³owa³
Melan [107, 108]. Twierdzenie to mo¿na sformu³owaæ nastêpuj¹co:
Konstrukcja sprê¿ysto-plastyczna przystosuje siê do okrelonego programu obci¹¿eñ (lub znajdzie siê w stanie granicznym ze wzglêdu na przystosowanie), jeli istnieje
samozrównowa¿one, niezale¿ne od czasu pole naprê¿eñ resztkowych σ ijr (x) takie, ¿e
suma tych naprê¿eñ i pozostaj¹cych w równowadze z obci¹¿eniem naprê¿eñ sprê¿ystych σ ije (x, t ) spe³nia w ka¿dym punkcie warunek
ϕ (σ ijr (x) + σ ije (x, t )) ≤ k (x) ,
(2.4.1)
przy czym warunek ϕ (σ ijr (x) + σ ije (x, t )) = k (x) jest warunkiem plastycznoci.
Wykazano [86], ¿e przyjêcie warunku (2.4.1) w postaci
k ( x)
,
(2.4.2)
s
gdzie s > 1, zapewnia przystosowanie siê konstrukcji w sensie kryterium (2.3.2). Dla
s → 1 , W p → ∞ , co oznacza, ¿e spe³nienie warunku (2.4.1) równociowo w okrelonej
liczbie punktów mo¿e oznaczaæ nieograniczon¹ dyssypacjê energii w wyniku odkszta³ceñ plastycznych, czyli nieprzystosowanie. Wynika st¹d, w kontekcie analizy bezpieczeñstwa konstrukcji, ¿e stan graniczny okrelony na podstawie warunków (2.4.1) nale¿y zaliczyæ do obszaru niebezpiecznego. Nale¿y te¿ podkreliæ, ¿e dla wypuk³ych
warunków plastycznoci za σ ije (x, t ) w zwi¹zku (2.4.1) lub (2.4.2) wystarczy braæ pod uwagê
ϕ (σ ijr (x) + σ ije (x, t )) ≤
wartoci ekstremalne max σ ije (x, t ) i min σ ije (x, t ) [87]. Twierdzenie Melana (2.4.1) dot
t
starcza dolnego oszacowania nonoci ze wzglêdu na przystosowanie i stanowi uogólnienie statycznego twierdzenia teorii nonoci granicznej na przypadek obci¹¿eñ zmiennych.
W przypadku gdy wszystkie sk³adowe obci¹¿enia mog¹ byæ przedstawione w postaci
F j = µ ⋅ F jo ,
(2.4.3)
24
problem wyznaczania granicznego poziomu obci¹¿enia ze wzglêdu na przystosowanie
mo¿e byæ przedstawiony w ujêciu programowania matematycznego [92]
znaleæ max µ
przy ograniczeniach
ϕ (σ ij (x) + µ ⋅ σ ijoe (x, t )) ≤ k (x) ,
r
(2.4.4)
które musz¹ byæ spe³nione w ka¿dym punkcie,
gdzie σ ijoe (x, t )) sk³adowe tensora naprê¿eñ wywo³anych w uk³adzie sprê¿ystym obci¹¿eniami F jo .
2.4.2. Twierdzenie o przystosowaniu wyra¿one poprzez si³y przekrojowe
W uk³adach prêtowych, a tak¿e powierzchniowych wygodnie i efektywnie (ze wzglêdu
na znaczn¹ redukcjê liczby ograniczeñ) jest pos³ugiwaæ siê si³ami przekrojowymi. Ogólne
twierdzenie o przystosowaniu wyra¿one poprzez si³y przekrojowe sformu³owa³ König
[87, 89]. Przedstawiaj¹c naprê¿enia resztkowe w przekroju σ ijr (x) w postaci sumy naprê¿eñ samozrównowa¿onych w przekroju s ijr (x) i naprê¿eñ o rozk³adzie sprê¿ystym
w przekroju s ije = ∑ Qnr (x) ⋅ α ijn (x) , pozostaj¹cych w równowadze z samozrównowa¿on
nymi resztkowymi si³ami przekrojowymi Qnr (x)
σ ijr (x) = sijr (x) +
∑ Qnr (x) ⋅αijn (x),
(2.4.5)
n
twierdzenie to mo¿na przedstawiæ w postaci:
Konstrukcja sprê¿ysto-plastyczna przystosuje siê do okrelonego programu obci¹¿eñ (lub znajdzie siê w stanie granicznym), jeli istnieje samozrównowa¿one, niezale¿ne od czasu pole si³ przekrojowych Qnr (x) i niezale¿ne od czasu samozrównowa¿one
w ka¿dym przekroju pole naprê¿eñ resztkowych s ijr (x) takie, ¿e wyra¿enie
sijr (x) +
noci
∑ (Qnr (x) + Qne (x, t ) )αijn (x) nie narusza w ¿adnym przekroju warunku plastyczn
sijr (x) +
∑ (Qnr (x) + Qne (x, t ) ) ⋅ αijn (x) ≤ k (x) ,
(2.4.6)
n
gdzie: Qne (x, t ) si³y przekrojowe bêd¹ce wynikiem rozwi¹zania uk³adu od danego obci¹¿enia przy za³o¿eniu, ¿e jest on wykonany z materia³u sprê¿ystego,
α ijn (x) wyra¿enie definiuj¹ce sk³adow¹ naprê¿enia wywo³anego przez si³ê
przekrojow¹ Qne (x) w punkcie przekroju.
Na postawie warunków (2.4.6) mo¿na w przestrzeni si³ przekrojowych wyznaczyæ
odpowiadaj¹cy danemu przekrojowi obszar okrelaj¹cy granice dopuszczalnych zmian
si³ przekrojowych zwany powierzchni¹ sprê¿yst¹ [89].
25
Przedstawione twierdzenie daje podstawê do formu³owania warunków na przystosowanie wyra¿onych poprzez si³y przekrojowe. Jednak problem stanowi tu dobór pól
naprê¿eñ resztkowych w przekrojach okrelaj¹cych powierzchnie sprê¿yste tak, by otrzymane warunki na przystosowanie by³y dostatecznie dok³adne i pozwala³y na efektywn¹
analizê rozpatrywanego zagadnienia. König [92] przedstawi³ propozycjê rozk³adów
naprê¿eñ resztkowych dla przypadku równoczesnego dzia³ania momentów zginaj¹cych
i si³ osiowych w przekrojach prostok¹tnych. Przyjmuj¹c dwa rozk³ady samozrównowa¿onych w przekroju naprê¿eñ resztkowych, jak na rys. 2.4.1 b i c, otrzyma³ dwie
odcinkowo liniowe rodziny powierzchni sprê¿ystych.
a)
c)
b)
σ0 ⋅β
0.5 ⋅ σ 0 ⋅ α
−
σ 0 ⋅α
σ 0 ⋅α
σ0 ⋅β
0 .5 ⋅ σ 0 ⋅ α
σ0 ⋅β
Rys. 2.4.1. Proponowane przez Königa [92] rozk³ady naprê¿eñ
resztkowych (b i c) w przekroju prostok¹tnym (a)
Fig. 2.4.1. Distributions of the residual stresses
in the rectangular cross section proposed by König [92]
2.4.3. Twierdzenie Bleicha i BleichaMelana
Bleich [14] sformu³owa³ warunki przystosowania belek o przekroju idealnie dwuteowym.
Konstrukcja sprê¿ysto-plastyczna przystosuje siê do okrelonego programu obci¹¿eñ reprezentowanych przez pozostaj¹ce w równowadze z tymi obci¹¿eniami ekstremalne momenty sprê¿yste max M ie , min M ie (lub znajdzie siê w stanie granicznym ze
wzglêdu na przystosowanie), jeli istnieje samozrównowa¿one, niezale¿ne od czasu pole
momentów resztkowych M ir takie, ¿e w ka¿dym przekroju spe³nione s¹ ograniczenia
M ir + max M ie ≤ Moi ,
− M ir − min M ie ≤ Moi ,
(2.4.7)
gdzie: min M ie , max M ie ekstremalne momenty zginaj¹ce w przekrojach krytycznych
wyznaczone przy za³o¿eniu, ¿e materia³ jest sprê¿ysty,
26
Mir momenty resztkowe w przekrojach krytycznych wywo³ane odkszta³ceniami plastycznymi pozostaj¹ce w równowadze z obci¹¿eniem zerowym (samozrównowa¿one),
Moi graniczna nonoæ plastyczna przekroju na zginanie.
Uwzglêdniaj¹c warunki Melana (2.4.1) dla uk³adów zginanych, z³o¿onych z elementów o przekroju bisymetrycznym, Horne [70] oraz Neal i Symonds [124] wykazali, ¿e
przystosowanie tych uk³adów zapewnia spe³nienie warunków Bleicha (2.4.7) i warunku zmêczeniowego. Twierdzenie zwane twierdzeniem BleichaMelana dotycz¹ce uk³adów o przekrojach bisymetrycznych mo¿e byæ sformu³owane nastêpuj¹co:
Konstrukcja sprê¿ysto-plastyczna przystosuje siê do okrelonego programu obci¹¿eñ reprezentowanych przez pozostaj¹ce w równowadze z tymi obci¹¿eniami ekstremalne momenty sprê¿yste max M ie , min M ie (lub znajdzie siê w stanie granicznym ze
wzglêdu na przystosowanie), jeli istnieje samozrównowa¿one, niezale¿ne od czasu pole
momentów resztkowych M ir takie, ¿e w ka¿dym przekroju spe³nione s¹ ograniczenia
(2.4.8)
max M ie − min M ie ≤ 2Mei ,
gdzie Mei graniczna nonoæ sprê¿ysta przekroju na zginanie.
Twierdzenie BleichaMelana dostarcza dolnego oszacowania nonoci ze wzglêdu
na przystosowanie. Dwa pierwsze warunki, czyli warunki wed³ug twierdzenia Bleicha,
uwa¿ane s¹ [92, 125] nie w pe³ni s³usznie (co zostanie pokazane w punkcie 3.1) za warunki przystosowania przyrostowego, a warunek trzeci za chroni¹cy przed odkszta³ceniami plastycznymi przeciwnych znaków, czyli przed zniszczeniem w wyniku zmêczenia
niskocyklowego.
2.4.4. Przystosowanie uk³adów prêtowych
o przekrojach monosymetrycznych
Konieczny [82] przedstawi³ dowód (nie w pe³ni przekonuj¹cy), ¿e twierdzenie
o przystosowaniu BleichaMelana jest, po modyfikacji warunku zmêczeniowego, s³uszne dla uk³adów o przekrojach monosymetrycznych. Zaproponowany przez niego warunek zmêczeniowy ma postaæ
max M ie − min M ie ≤ α K i Mei ,
(2.4.9)
 Moi − M i* 
gdzie: α K i = 2  1 −
 ,
Mei


M * moment zginaj¹cy, któremu odpowiada taki rozk³ad naprê¿eñ w przekroju,
¿e granica strefy uplastycznienia styka siê ze rodkow¹ osi¹ geometryczn¹ przekroju (rys. 3.3.3 c).
27
2.5. Twierdzenia kinematyczne o nieprzystosowaniu
Wyra¿enie αK i ⋅ Mei w zwi¹zku (2.4.9) przyjmuje dla okrelonego przekroju wartoæ sta³¹ z przedzia³u (0, 2Mei ) , co pokazano na rys 2.4.2. Na rysunku tym lini¹ ci¹g³¹
oznaczono poziom 2 Me a lini¹ przerywan¹ poziom αK ⋅ Me wed³ug Koniecznego. Wartoæ ta nie zale¿y od wartoci ekstremalnych momentów obci¹¿aj¹cych przekrój, co budzi w¹tpliwoci. Wiadomo bowiem, ¿e dla obci¹¿eñ niewychodz¹cych poza zakres sprê¿ysty dopuszczalna amplituda zmian momentów w przekroju wynosi 2Me, a dla obci¹¿eñ o poziomie Mo nie jest mo¿liwa ¿adna zmiana obci¹¿enia bez wywo³ywania odkszta³ceñ plastycznych, co wiadczy, ¿e warunki wed³ug Koniecznego s¹ zbyt ostre
w zakresie obci¹¿eñ sprê¿ystych i nie zapewniaj¹ przystosowania dla poziomów obci¹¿eñ bliskich granicznym.
αK ⋅ Me
2 Me
αK ⋅ Me
M
− Mo
− Me
Me
Mo
Rys. 2.4.2. Dopuszczalny przedzia³ zmian wartoci momentu obci¹¿aj¹cego przekrój monosymetryczny
wg Koniecznego [82] w zale¿noci od ekstremalnej wartoci tego momentu
Fig. 2.4.2. Admissible range of the value changes of a moment loaded the monosymmetrical cross section
with respect to the extremal value of such a moment proposed by Konieczny [82]
2.5. Twierdzenia kinematyczne o nieprzystosowaniu
2.5.1. Twierdzenie kinematyczne dla kontinuum materialnego
Kinematyczne kryterium nieprzystosowania dla kontinuum materialnego sformu³owa³ Koiter [79, 80, 81].
Konstrukcja sprê¿ysto-plastyczna mo¿e ulec zniszczeniu w wyniku nieprzystosowania, jeli istnieje taki kinematycznie dopuszczalny cykl prêdkoci odkszta³ceñ i przemieszczeñ plastycznych εij ( x, t ) , u j ( x, t ) i taki cykl zmian obci¹¿eñ p j ( x, t ) , ¿e moc rozpraszana w czasie t ∈ (t1 , t 2 ) w uk³adzie nie przewy¿sza mocy obci¹¿eñ zewnêtrznych
t2
∫∫
t2
p j ( x, t ) u j ( x, t ) dAdt ≥
t1 A
gdzie: A powierzchnia obci¹¿enia,
V objêtoæ cia³a.
∫ ∫ σ ij ( x, t ) εij ( x, t ) dV dt ,
p
t1 V
(2.5.1)
28
Bezporednie wykorzystanie tego twierdzenia jest k³opotliwe ze wzglêdu na koniecznoæ obliczania ca³ek wzglêdem wspó³rzêdnych geometrycznych po obszarach, w których
nastêpuje uplastycznienie i wzglêdem czasu odpowiadaj¹cego cyklom obci¹¿eñ.
2.5.2. Twierdzenie kinematyczne o nieprzystosowaniu
wyra¿one przez si³y przekrojowe
Kinematyczne kryterium nieprzystosowania wyra¿one przez si³y przekrojowe sformu³owa³ König [89].
Konstrukcja sprê¿ysto-plastyczna mo¿e ulec zniszczeniu w wyniku nieprzystosowania, jeli istnieje taki kinematycznie dopuszczalny cykl prêdkoci uogólnionych odkszta³ceñ plastycznych q jp (x, t ) i taki cykl obci¹¿eñ, ¿e zachodzi nierównoæ
∫∫ ∑j Q j (x, t ) q j (x, t ) dA dt ≥ ∫ ∑j Q j (x) ∆q j (x) dA,
e
•
p
t A
p
(2.5.2)
A
gdzie: Q ej (x, t ) si³y przekrojowe wyznaczone przy za³o¿eniu materia³u sprê¿ystego,
Q •j (x) si³y przekrojowe takie, ¿e w ka¿dym przekroju krytycznym spe³niaj¹ warunek plastycznoci φ (Q •j (x) = k ,
A
pole wszystkich przekrojów krytycznych konstrukcji,
∆q jp (x) = λ
∂φ (Q•j ( x))
∂Q•j (x)
.
2.5.3. Twierdzenie kinematyczne Neala
Wychodz¹c z warunków Bleicha, traktowanych jako warunki przyrostowe, Neal [121,
122] przedstawi³ kinematyczne twierdzenie o nieprzystosowaniu przyrostowym dla p³askich, zginanych uk³adów prêtowych.
Konstrukcja sprê¿ysto-plastyczna mo¿e ulec zniszczeniu w wyniku nieprzystosowania
w sensie przyrostowym, jeli istnieje taki kinematycznie dopuszczalny mechanizm, ¿e odpowiadaj¹cy mu cykl prêdkoci odkszta³ceñ plastycznych okrelony przez prêdkoci odkszta³ceñ w przegubach plastycznych ϕ i+ ϕ i− oraz taki cykl obci¹¿eñ, ¿e moc rozpraszana w uk³adzie nie przewy¿sza mocy obci¹¿eñ zewnêtrznych
∑ (max M ie ⋅ ϕ i+ − min M ie ⋅ ϕ i− ) ≥ ∑ (Moi ⋅ (ϕ i+ + ϕ i− )),
nk
nk
i =1
i =1
(2.5.3)
gdzie: ϕ i+ i ϕ i− odpowiadaj¹ mechanizmom ( ϕ i = ϕ i+ ϕ i− , ϕ i+ = ϕ i i ϕ i− = 0, gdy
ϕ i ≥ 0 , ϕ i+ = 0 i ϕ i− = ϕ i = ϕ i , gdy ϕ i ≤ 0 ),
nk liczba przekrojów krytycznych.
3. Wyznaczanie warunków granicznych dla konstrukcji
3.1. Wstêp
W teorii przystosowania mo¿liwe jest stosowanie metod (oszacowañ) statycznych
i kinematycznych.
Metody statyczne bazuj¹ na warunkach dla punktów (elementów, przekrojów), a ich
stosowanie nie stanowi istotnego problemu, gdy chodzi o wyznaczenie rozwi¹zania deterministycznie ekstremalnego, natomiast stwarza problem w zakresie generowania zbioru
warunków granicznych okrelaj¹cych system niezawodnociowy konstrukcji umo¿liwiaj¹cy ocenê jej bezpieczeñstwa bez odwo³ywania siê do kinematycznie dopuszczalnych
postaci awarii.
Metody kinematyczne bazuj¹ na warunkach dla konstrukcji odpowiadaj¹cych okrelonym formom zniszczenia konstrukcji, jednak wymagaj¹ przewidywania kinematycznie dopuszczalnych pól prêdkoci odkszta³ceñ, co nie nastrêcza trudnoci jedynie w przypadku uwzglêdniania tylko zginania lub tylko si³ osiowych w kratownicach. Istotne jest
tu te¿ to, co zostanie pokazane poni¿ej, ¿e kresy dolne rozwi¹zañ kinematycznych nie
musz¹ byæ styczne do obszarów bezpiecznych okrelanych przez kresy górne rozwi¹zañ statycznych.
Jak wynika z twierdzeñ statycznych, kres górny oszacowañ statycznych okrela brzeg
obszaru oszacowañ bezpiecznych, przy czym brzeg ten nale¿y ju¿ do obszaru oszacowañ niebezpiecznych. Ze wzglêdu na to, ¿e powierzchnie graniczne s¹ powierzchniami
ograniczaj¹cymi obszar bezpieczny ze wszystkich stron, sformu³owania statyczne s¹ ograniczeniami zabezpieczaj¹cymi zarówno przed narastaniem odkszta³ceñ (ograniczenia
OSZACOWANIA KINEMATYCZNE
NIEBEZPIECZNE
OSZACOWANIA STATYCZNE
BEZPIECZNE
Rys. 3.1.1. Kresy oszacowañ statycznych i kinematycznych
Fig. 3.1.1. Limits of the static and kinematic estimations
30
przyrostowe), jak i przed plastycznoci¹ naprzemienn¹ (zabezpieczenie przed zmêczeniem niskocyklowym).
Kres dolny oszacowañ kinematycznych ograniczonych do prêdkoci odkszta³ceñ plastycznych odpowiadaj¹cych mechanizmom stanowi brzeg obszaru oszacowañ niebezpiecznych, ale tylko ze wzglêdu na zagro¿enie zniszczenia przyrostowego. Oszacowania te nie stanowi¹, w ogólnoci, z odpowiednimi oszacowaniami statycznymi par oszacowañ ekstremalnych, okrelaj¹cych rozwi¹zania zupe³ne, co ilustruje rysunek 3.1.1 oraz
przedstawiony poni¿ej przyk³ad (rys. 3.1.2).
Wemy uk³ad jak na rys. 3.1.2a. Niech program obci¹¿eñ bêdzie okrelony ograniczeniami (3.1.1)
−α ⋅
Mo
Mo
⋅ µ ≤ F1 ≤
⋅ µ,
L
L
− 3α ⋅
Mo
Mo
⋅ µ ≤ F2 ≤
⋅µ .
L
L
(3.1.1)
Jak widaæ na wykresie (rys. 3.1.2b), dla wartoci parametru α > 0,2, kres dolny mno¿nika µ granic zmiennoci obci¹¿enia wyznaczonego na podstawie twierdzenia Neala
(2.5.3) ró¿ni siê od kresu górnego tego mno¿nika wyznaczonego na podstawie twierdzenia Bleicha (2.4.7), co oznacza sytuacjê zilustrowan¹ na rys. 3.1.1 i wskazuje, ¿e
warunki Bleicha nies³usznie uwa¿ane s¹ za warunki przyrostowe [92, 125]. Oznacza to
a)
1
L/2
b)
µ
5
F1
2
4
L/4
3
wg tw. Neala
2
3
wg tw. Bleicha
1
L/4
F2
4
-1
- 0.5
0
0.2
0.5
1 α
Rys. 3.1.2. a) schemat statyczny i oznaczenia przekrojów krytycznych, b) zale¿noæ granicznego
mno¿nika obci¹¿enia µ od parametru α okrelaj¹cego program zmiennoci obci¹¿eñ
Fig. 3.1.2. a) static scheme and designations of the critical cross sections, b) dependence of the limit load
multiplier µ on the parameter α which determines the domain of load variations
31
3.1. Wstêp
te¿, ¿e w ogólnoci twierdzenia odwrotne do twierdzeñ kinematycznych nie musz¹ okrelaæ warunków zapewniaj¹cych bezpieczeñstwo ze wzglêdu na przystosowanie.
Aby twierdzenia kinematyczne pozwala³y na generowanie warunków granicznych
okrelaj¹cych brzeg obszaru bezpiecznego, musz¹ byæ tak sformu³owane, by wraz
z odpowiadaj¹cymi im twierdzeniami statycznymi tworzy³y pary twierdzeñ ekstremalnych, okrelaj¹cych w swoich kresach rozwi¹zania zupe³ne (rys. 3.1.3).
OSZACOWANIA KINEMATYCZNE
NIEBEZPIECZNE
OSZACOWANIA STATYCZNE
BEZPIECZNE
Rys. 3.1.3. Kresy oszacowañ statycznych i kinematycznych okrelaj¹cych rozwi¹zania zupe³ne
Fig. 3.1.3. Limits of the static and kinematic estimations determining complete solution
Dla cis³oci nale¿y dodaæ, ¿e mo¿liwe jest formu³owanie warunków statycznych przyrostowych, które tworzy³yby pary z odpowiednimi przyrostowymi twierdzeniami kinematycznymi, jednak musia³yby to byæ warunki jednostronne. Na przyk³ad, jeli
w przedstawionym powy¿ej przyk³adzie dla α ≤ 1 / 3 pozostawiæ tylko ograniczenia dla
maksimów w przekrojach 2 i 3, a dla minimów w przekrojach 1 i 4, za dla α ≥ 1 / 3
pozostawiæ tylko ograniczenia dla maksimów w przekrojach 1 i 4, a dla minimów
w przekrojach 2 i 3, to otrzyma siê rozwi¹zanie statyczne przyrostowe identyczne z rozwi¹zaniem wed³ug ograniczeñ Neala.
W dalszych rozwa¿aniach pominiêto zagadnienie formu³owania przyrostowych warunków statycznych i ograniczono zainteresowanie do warunków zapewniaj¹cych przystosowanie zarówno przyrostowe, jak i naprzemienne, gdy¿ tylko takie warunki mog¹
byæ podstaw¹ oceny bezpieczeñstwa.
Podstawê oceny bezpieczeñstwa z wykorzystaniem metod teorii niezawodnoci stanowi¹ warunki graniczne postaci
Z(X) = 0,
(3.1.2)
gdzie Z(X)
zapas (margines) bezpieczeñstwa (safety margin),
X = ( X 1 ,..., X n ) T wektor bazowych zmiennych losowych, to jest zmiennych
wyjciowych stanowi¹cych parametry geometryczne
i fizyczne konstrukcji oraz parametry obci¹¿enia,
indeks górny T w symbolu (...)T oznacza operacjê transpozycji.
Nale¿y jednak uwzglêdniaæ, ¿e zapas bezpieczeñstwa definiowany jest tak, ¿e:
Z(X) ≤ 0 oznacza stany niebezpieczne,
(3.1.3)
Z(X) > 0 oznacza stany bezpieczne.
(3.1.4)
32
Oznacza to, ¿e okrelanie zapasu bezpieczeñstwa na podstawie warunków granicznych wed³ug teorii plastycznoci wi¹¿e siê ze zmian¹ znaku tych ostatnich.
3.2. Wykorzystanie programowania liniowego do okrelania
warunków granicznych dla konstrukcji
Programowanie liniowe [52] by³o wykorzystywane w analizie przystosowania w wielu
pracach [34, 53, 62, 66]. W punktach 3.3, 3.4 i 3.5 zostan¹ przedstawione liniowe statyczne i wynikaj¹ce z nich kinematyczne warunki teorii przystosowania dla p³askich
konstrukcji prêtowych. Warunki statyczne mog¹ byæ przedstawione w ujêciu programowania liniowego w postaci:
sformu³owanie pierwotne (statyczne)
znaleæ
µ = max  0T ,
á 
 
0T , 1  Y r 
µ 
 
á 
 Aá , A Y , Qmax   r   R 
przy ograniczeniach 
 Y  ≤   , µ ≥ 0 ,
 − Aá , − A Y , − Qmin   µ   R 
 
(3.2.1)
macierz reprezentuj¹ca samozrównowa¿one w przekrojach pola
naprê¿eñ resztkowych,
AY
macierz reprezentuj¹ca samozrównowa¿one w uk³adzie resztkowe
si³y przekrojowe,
Qmax, Qmin wektory reprezentuj¹cy ekstremalne kombinacje obci¹¿eñ w przekrojach krytycznych,
R
wektor nonoci przekrojów krytycznych,
wektor niezale¿nych szukanych wspó³czynników okrelaj¹cych pola
α
samozrównowa¿one w przekrojach naprê¿eñ resztkowych,,
Yr
wektor zmiennych niezale¿nych okrelaj¹cych samozrównowa¿one w uk³adzie pola si³ resztkowych,
µ
wspó³czynnik (mno¿nik granic zmiennoci obci¹¿enia) okrelaj¹cy intensywnoæ obci¹¿enia,
sformu³owanie dualne (kinematyczne) ma postaæ
gdzie: Aα
znaleæ
å + 
µ = min  RT , RT   
å − 
3.2. Wykorzystanie programowania liniowego do okrelania warunków granicznych dla konstrukcji
przy ograniczeniach
 ATá ,
 T
 A Y ,
− ATá  å + 
   = 0,
− ATY  å − 
33
(3.2.2)
å + 
QTmax , − QTmin    ≥ 1, å + ≥ 0 , å − ≥ 0 ,

 å−
 
gdzie poszczególne macierze wspó³czynników przy niewiadomych s¹ macierzami transponowanymi do odpowiednich macierzy sformu³owania (3.2.1),
å + , å − s¹ wektorami zmiennych dualnych, które mog¹ byæ interpretowane jako
prêdkoci odkszta³ceñ plastycznych.
Na mocy twierdzenia o rozwi¹zaniach dualnych sformu³owanie (3.2.2) daje identyczn¹ wartoæ funkcji celu jak sformu³owanie (3.2.1).
Zauwa¿my, ¿e w rozwi¹zaniu zadania dualnego minimalizowane jest wyra¿enie
å + 
µ =  RT , RT    ,
−
å 
(3.2.3)
przy takim unormowaniu zmiennych dualnych å + i å − , ¿e zachodzi równoæ
å + 
QTmax , − QTmin    = 1 ,

 å−
 
(3.2.4)
która odpowiada minimalnej wartoci funkcji celu, co jest równowa¿ne minimalizacji
wyra¿enia
å + 
RT , RT   

 −
å 
µ=
.
å + 
QTmax , − QTmin   

 −
å 
(3.2.5)
Zwi¹zek (3.2.5) mo¿e byæ zapisany w postaci
å + 
å + 
QTmax , − QTmin    µ =  RT , RT    ,

 å−

 å−
 
 
(3.2.6)
gdzie lewa strona równoci reprezentuje obci¹¿enie i mo¿e byæ interpretowana jako moc
å + 
obci¹¿enia S = QTmax , − QTmin    pomno¿ona przez wspó³czynnik bezpieczeñ
 å−
 
34
stwa µ, a prawa strona reprezentuje nonoæ i mo¿e byæ interpretowana jako moc dyså + 
sypacji uk³adu R =  R T , R T   

 å− .
 
St¹d zapas bezpieczeñstwa uk³adu wzglêdem postaci awarii okrelonej przez zmienne dualne å + i å − mo¿e byæ przedstawiony w postaci
å + 
å + 
Z = R − S =  RT , RT    − QTmax , − QTmin    .
å − 
å − 
(3.2.7)
Warto zwróciæ uwagê, ¿e moc obci¹¿eñ S, ze wzglêdu na liniow¹ zale¿noæ si³ przekrojowych od obci¹¿eñ, mo¿e byæ przedstawiona w postaci sumy sk³adników pochodz¹cych od obci¹¿eñ sk³adowych S = ∑ S p . Jeli postaci¹ awarii jest mechanizm i wszyp
stkie rzêdne si³ przekrojowych od okrelonego obci¹¿enia Fp wchodz¹ce w sk³ad wyra¿enia Sp pochodz¹ od jednej konfiguracji tego obci¹¿enia (co zawsze ma miejsce w przypadku obci¹¿eñ sta³ych), to na mocy zasady prac wirtualnych zachodzi równoæ
Sp =
∑  QTeks  jp ⋅ å j ⋅ δ j = ∑ F jp ⋅ δ j ,
j
(3.2.8)
j
gdzie: Fjp sk³adowa o numerze j obci¹¿enia Fp,
δj sk³adowa prêdkoci przemieszczenia w miejscu i kierunku odci¹¿enia Fjp.
Wynika z tego istotny wniosek, ¿e w tych przypadkach sk³adniki Sp nie zale¿¹ od
elementów macierzy sztywnoci czy podatnoci, a tym bardziej od ich losowego charakteru, i mog¹ byæ wyznaczane przy numerycznych macierzach sztywnoci lub podatnoci. W tych przypadkach jedynie wyrazy wolne uk³adu równañ musz¹ byæ przedstawione w postaci funkcji parametrów obci¹¿enia i d³ugoci elementów, co zdecydowanie upraszcza przekszta³cenia. Sk³adniki te mog¹ te¿ byæ okrelone bezporednio na
podstawie zwi¹zku (3.2.8), co sprowadza je do postaci takiej samej jak wed³ug teorii
nonoci granicznej. Przedstawione spostrze¿enie zilustrowano na przyk³adzie belki
pokazanej na rys. 3.2.1
Moment maksymalny w przekroju 1 max M 1e = M 1 ( F1g ) + M 1 ( F2 d ) .
Moment minimalny w przekroju 2 min M 2e = M 2 ( F1g ) + M 2 ( F2 g ) .
Moc obci¹¿enia
S = max M1e ⋅ ϕ1+ − min M 2e ⋅ ϕ 2−
(
) (
= M1 ( F1g ) ⋅ ϕ1+ − M 2 ( F1g ) ⋅ ϕ 2− + M1 ( F2 d ) ⋅ ϕ1+ − M 2 ( F2 g ) ⋅ ϕ 2−
(
)
= F1g ⋅ δ1 + M1 ( F2 d ) ⋅ ϕ1+ − M 2 ( F2 g ) ⋅ ϕ 2− = S1 + S2 .
)
(3.2.9)
0 < F1d ≤ F1 ≤ F1g
35
0 < F2 d ≤ F2 ≤ F2 g
a)
2
1
3
0 < F1d ≤ F1 ≤ F1g
b)
M 1 ( F1d )
M 2 ( F1g )
M 2 ( F1d )
+
M 1 ( F1g )
c)
M 1 ( F2 g )
M 1 ( F2 d )
M 2 ( F2 g )
0 < F2 d ≤ F2 ≤ F2 g
M 2 ( F2 d )
+
ϕ 2− = −ϕ 2 = ϕ 2
d)
δ1
δ2 = 0
+
1
ϕ = ϕ1
Rys. 3.2.1. Przyk³ad ilustruj¹cy mo¿liwoci wykorzystania zwi¹zku (3.2.8): a) belka z obci¹¿eniem,
b) obwiednia momentów zginaj¹cych dla obci¹¿enia F1, c) obwiednia momentów zginaj¹cych
dla obci¹¿enia F2, d) wykres prêdkoci przemieszczeñ dla przyk³adowo przyjêtego mechanizmu.
Fig. 3.2.1. An example illustrating the possibilities of using expression (3.2.8): a) beam with load,
b) bending moments envelope due to the load F1, c) banding moments envelope due to the load F2,
d) diagram of displacement velocity for some chosen mechanism
Sk³adnik S1 = M 1 ( F1g ) ⋅ ϕ 1+ − M 2 ( F1g ) ⋅ ϕ 2− = F1g ⋅ δ 1 okrelony jest przez konfiguracjê obci¹¿enia F1 = F1g i F2 = 0 , z któr¹ pozostaj¹ w równowadze momenty M 1 ( F1g )
i M 2 ( F1g ) , za sk³adnik S 2 = M 1 ( F2 d ) ⋅ ϕ 1+ − M 2 ( F2 g ) ⋅ ϕ 2− okrelony jest przez dwie
konfiguracje obci¹¿eñ. W tym sk³adniku moment maksymalny w przekroju 1 pochodzi
od konfiguracji obci¹¿eñ F1 = 0 i F2 = F2 d , a moment minimalny w przekroju 2 pochodzi od konfiguracji obci¹¿eñ F1 = 0 , F2 = F2 g , co oznacza, ¿e momenty te razem
nie znajduj¹ siê w równowadze z ¿adn¹ z tych konfiguracji obci¹¿eñ i nie zachodzi tu
zwi¹zek (3.2.8).
Istot¹ proponowanego sposobu okrelania zapasów bezpieczeñstwa (3.2.7) wzglêdem mo¿liwych postaci utraty zdolnoci konstrukcji do przenoszenia obci¹¿eñ jest zastosowanie sformu³owañ dualnych (3.2.2). Procedury rozwi¹zywania zadañ programowania liniowego s¹ jednak procedurami numerycznymi i pozwalaj¹ na numeryczne wyznaczanie wartoci zmiennych dualnych. W celu uproszczenia okrelania zapasów bezpieczeñstwa dla ró¿nych postaci awarii wykorzystamy, ¿e rozwi¹zaniu zadania (3.2.1)
odpowiada czêæ ograniczeñ spe³nionych równociowo (ograniczenia czynne, aktyw-
36
ne) i czêæ ograniczeñ spe³nionych nierównociowo (ograniczenia bierne, nieaktywne),
które nie wp³ywaj¹ na rozwi¹zanie i mog¹ byæ pominiête, gdy¿ ograniczeniom nieaktywnym odpowiadaj¹ zerowe wartoci zmiennych dualnych. Ograniczenia aktywne tworz¹ uk³ad równañ, który mo¿e byæ przedstawiony w postaci
*
 *
 Aα , AY ,
á 
 
Q*eks   Y r  = R* .
µ 
 
(3.2.10)
Uk³adowi równañ (3.2.10) odpowiada dualny uk³ad równañ
A * T 
 á T  ⋅ å* = 0 ,
A *Y 
Q*eksT ⋅ å* = 1
(3.2.11)
identyczny z uk³adem równañ wynikaj¹cym z ograniczeñ (3.2.2) przez usuniêcie kolumn, którym odpowiadaj¹ zerowe wartoci zmiennych dualnych.
St¹d zapas bezpieczeñstwa przyjmuje postaæ
T
Z = R *T ⋅ å* − Q *eks
⋅ å* ,
(3.2.12)
która wynika te¿ z (3.2.8) po wyeliminowaniu sk³adników zerowych.
Jeli uwzglêdniæ, ¿e ograniczenia aktywne tworz¹ uk³ad równañ, procedurê numeryczn¹ rozwi¹zania zadania (3.2.1) dla wartoci rednich parametrów mo¿na wykorzystaæ tylko do wybrania ograniczeñ aktywnych odpowiadaj¹cych okrelonym postaciom
awarii. To pozwala na sformu³owanie analityczne uk³adów równañ (3.2.10) i (3.2.11).
Z rozwi¹zania uk³adu (3.2.11) mo¿na otrzymaæ zmienne dualne jako funkcje zmiennych
bazowych å * ( X) , a na podstawie zwi¹zku (3.2.12) mo¿na otrzymaæ zapasy bezpieczeñstwa jako funkcje zmiennych bazowych Z(X). Analogicznie mo¿na wyznaczaæ inne postaci osi¹gniêcia stanu granicznego uk³adu.
Uwzglêdniaj¹c, ¿e do przekszta³cenia uk³adu w mechanizm w wyniku uplastycznienia wystarczy powstanie nh + 1 przegubów plastycznych, uk³ady równañ odpowiadaj¹ce wszystkim mechanizmom mo¿na otrzymaæ automatycznie, rozwi¹zuj¹c kolejno uk³ady
ograniczeñ z³o¿one z ograniczeñ dla nh + 1 przekrojów we wszystkich kombinacjach.
Liczba takich kombinacji wynosi
 nk 
nk !
,

=
 nh + 1 (nh + 1)!(nk − nh − 1)!
gdzie: nh stopieñ statycznej niewyznaczalnoci,
nk liczba przekrojów krytycznych.
(3.2.13)
37
Niektóre otrzymane uk³ady równañ mog¹ odpowiadaæ tym samym mechanizmom,
gdy wystêpuj¹ mechanizmy lokalne (o mniejszej liczbie przegubów ni¿ nh + 1), co oznacza, ¿e liczba przyrostowych postaci awarii jest nie wiêksza ni¿ liczba kombinacji okrelona zwi¹zkiem (3.2.13). Nale¿y tu wspomnieæ, ¿e ze wzglêdu na zmiennoæ obci¹¿eñ
moc obci¹¿enia mo¿e byæ dodatnia dla mechanizmów o przegubach plastycznych w tych
samych przekrojach a ró¿ni¹cych siê tylko znakami prêdkoci odkszta³ceñ plastycznych.
Jednak takie pary mechanizmów s¹ zdarzeniami wykluczaj¹cymi siê wzajemnie, co oznacza, ¿e w analizie nale¿y uwzglêdniaæ tylko niekorzystniejszy z nich. W przyjêtym algorytmie wybór ten dokonywany jest automatycznie.
Ograniczenia (3.2.1) charakteryzuj¹ siê specyfik¹ polegaj¹c¹ na tym, ¿e ograniczenia dotycz¹ce poszczególnych przekrojów zawieraj¹ parami identyczne cz³ony, lecz
z przeciwnym znakiem. Po zsumowaniu tych ograniczeñ parami otrzymuje siê ograniczenia dotycz¹ce plastycznoci naprzemiennej
[Qmax Qmin]·µ ≤ 2R.
(3.2.14)
Wynika st¹d, ¿e dopuszczalnymi rozwi¹zaniami ograniczeñ (3.2.1) s¹ te¿ rozwi¹zania, którym odpowiadaj¹ tylko dwa ograniczenia aktywne dotycz¹ce jednego przekroju. Rozwi¹zania te i odpowiadaj¹ce im równania (aktywne ograniczenia) mo¿na otrzymaæ rozwi¹zuj¹c uk³ady ograniczeñ (3.2.1) lub (3.2.14) dotycz¹ce kolejno pojedynczych
przekrojów. Prowadzi to do nk zapasów bezpieczeñstwa wzglêdem wyst¹pienia naprzemiennych odkszta³ceñ plastycznych
Z = 2 Ri − (Qi ,max − Qi ,min ) .
(3.2.15)
£¹czn¹ liczbê postaci awarii uk³adów prêtowych w aspekcie teorii przystosowania
oszacowuje zale¿noæ
 nk 
nk !
+ nk .
na ≤ 
 + nk =
(nh + 1)!(nk − nh − 1)!
 nh + 1
(3.2.16)
Zapasy bezpieczeñstwa odpowiadaj¹ce wszystkim tym postaciom mo¿na wyznaczyæ
na podstawie sformu³owañ statycznych teorii przystosowania w ujêciu programowania
liniowego w sposób omówiony powy¿ej. W praktycznej ocenie bezpieczeñstwa konstrukcji wystarczy uwzglêdnianie tylko postaci awarii, których prawdopodobieñstwo wyst¹pienia nie jest mniejsze od najwiêkszego o dwa do trzech rzêdów, zale¿nie od ich
liczby.
Oddzielny problem stanowi okrelanie po³o¿enia przekrojów krytycznych w przês³ach,
gdy dzia³aj¹ obci¹¿enia roz³o¿one lub skupione zmieniaj¹ce po³o¿enie. W tym przypadku
macierze wystêpuj¹ce w sformu³owaniach (3.2.1) do (3.2.12) oraz (3.2.14) i (3.2.15) s¹
funkcjami wspó³rzêdnych geometrycznych î , które okrelaj¹ po³o¿enia przekrojów krytycznych w przês³ach i które jako funkcje zmiennych bazowych î (X) , s¹ zmiennymi
38
losowymi zale¿nymi od nich. Wspó³rzêdne te s¹ zmiennymi, które minimalizuj¹ ró¿nice miêdzy prawymi i lewymi stronami sformu³owañ statycznych (3.2.1), a formalnie
okrelone s¹ przez warunek
min (max µ (î)) .
î
(3.2.17)
Zadanie takie nie jest mo¿liwe do rozwi¹zania analitycznego, natomiast jest stosunkowo ³atwe do rozwi¹zania numerycznego na drodze iteracyjnej. Okrelenie ograniczeñ
aktywnych odpowiadaj¹cych ka¿dej postaci awarii mo¿e wiêc byæ wykonane iteracyjnie, a w dalszych przekszta³ceniach parametry î mog¹ byæ traktowane jak pozosta³e
zmienne. Prowadzi to do zapasu bezpieczeñstwa Z ( X, î) jako funkcji zmiennych bazowych X i wspó³rzêdnych geometrycznych î , które okrelaj¹ po³o¿enia przekrojów krytycznych w przês³ach. W takim sformu³owaniu wskanik niezawodnoci jest funkcj¹
parametrów î , a jego miarodajna wartoæ mo¿e byæ wyznaczona iteracyjnie jako
β = min β (î ) .
î
(3.2.18)
Obliczenia numeryczne wskazuj¹, ¿e wartoæ ta jest bliska wartoci wskanika niezawodnoci wyznaczonej po przyjêciu parametrów î jako sta³ych obliczonych na podstawie zwi¹zku (3.2.17) i stanowi jego oszacowanie od do³u.
Nale¿y tu podkreliæ, ¿e wyznaczanie wspó³rzêdnych î na podstawie sformu³owañ
statycznych z wykorzystaniem warunku (3.2.17) nie mo¿e byæ zast¹pione wyznaczaniem
tych wspó³rzêdnych na podstawie sformu³owañ dualnych (kinematycznych) z wykorzystaniem warunku min (min µ (î )) . Wynika to z faktu, ¿e w sformu³owaniach statycznych
î
wystêpuj¹ sumy kombinacji ekstremalnych sprê¿ystych si³ przekrojowych i si³ resztkowych, a w sformu³owaniach kinematycznych takie sumy nie wystêpuj¹. Obliczenia numeryczne wskazuj¹, ¿e wyznaczanie parametrów î na podstawie sformu³owañ dualnych mo¿e prowadziæ do znacznych b³êdów.
Wykorzystanie przedstawionych powy¿ej zwi¹zków w algorytmie oceny bezpieczeñstwa wymaga sformu³owania warunków statycznych teorii przystosowania w ujêciu programowania liniowego, co sprawia, ¿e w ogólnoci bêd¹ to warunki przybli¿one. Nale¿y jednak braæ pod uwagê, ¿e w analizie niezawodnoci prêtowych konstrukcji budowlanych, gdy uwzglêdniany jest losowy charakter parametrów konstrukcji i z³o¿ony stan
naprê¿enia, z³o¿onoæ zadañ jest tak du¿a, ¿e uzyskanie rozwi¹zañ dok³adnych nie jest
mo¿liwe. Stosowane s¹ ró¿ne uproszczenia b¹d procedury numeryczne, które prowadz¹ do oszacowañ trudnych do oceny nawet jakociowej w sensie czy s¹ to oszacowania bezpieczne czy niebezpieczne. Natomiast linearyzacja statycznych warunków przystosowania mo¿e byæ tak dokonana, by prowadzi³a do oszacowañ bezpiecznych. Zlinearyzowane statyczne warunki przystosowania przedstawiono w punktach 3.3, 3.4 i 3.5.
3.3. Warunki przystosowania w ujêciu programowania liniowego w przypadku uwzglêdniania zginania
39
3.3. Warunki przystosowania w ujêciu programowania
liniowego w przypadku uwzglêdniania zginania
3.3.1. Uk³ady prêtowe o przekrojach idealnie dwuteowych
Warunki statyczne wed³ug twierdzenia Bleicha [14] mog¹ byæ przedstawione w ujêciu programowania liniowego nastêpuj¹co:
Y r 
µ = max  0T , 1  
µ 
znaleæ
przy ograniczeniach
 M, max M e   Y r  Mo 


≤
, µ ≥ 0 ,
e 
 −M, − min M   µ  Mo 
(3.3.1)
gdzie: 0T zerowy wiersz o nh elementach,
max M e = [max M1e ,L, max M ke ]T , min M e = [min M1e ,L,min M ke ]T wektory
ekstremalnych momentów sprê¿ystych w przekrojach
krytycznych,
Y r = [Y1r ,L, Ynrh ]T
wektor niewiadomych resztkowych si³ hiperstatycznych,
 M 1 , L , M nh 
1
 1
 macierz momentów wywo³anych w przekrojach kryM= M O M

tycznych jednostkowymi si³ami hiperstatycznymi,
 M 1 , L , M nh 
n
w izostatycznym uk³adzie podstawowym,
n
k
k 

Mo = [Mo1,..., Mok]T wektor momentów granicznych w przekrojach krytycznych,
nh stopieñ statycznej niewyznaczalnoci,
nk liczba przekrojów krytycznych,
µ mno¿nik granic zmiennoci parametrów obci¹¿enia.
Sformu³owanie dualne do sformu³owania (3.3.1) ma postaæ:
znaleæ
przy ograniczeniach
ö + 
µ = min MoT , MoT   
ö − 
MT ,

ö + 
− MT    = 0 ,
−
ö 
(3.3.2)
40
ö + 
(max M e )T , − (min M e )T    ≥ 1,

 ö−
 
ϕ+ ≥ 0, ϕ− ≥ 0,
µ ≥ 0,
gdzie: poszczególne macierze wspó³czynników przy niewiadomych s¹ macierzami transponowanymi do odpowiednich macierzy sformu³owania (3.3.1),
ϕ+ = [ϕ1+ ,..., ϕ k+ ]T i ϕ− = [ϕ1− ,..., ϕ k− ]T s¹ wektorami zmiennych dualnych.
St¹d zapas bezpieczeñstwa ma postaæ
 +
 +
T
T ϕ
e T
e T ϕ


,
(max
)
,
(min
)
=
Mo
Mo
−
M
−
M
Z 
  − 
  −,
ϕ 
ϕ 
(3.3.3)
a warunek nieprzystosowania ma postaæ tak¹ sam¹ jak wed³ug twierdzenia Neala (2.5.3).
Ró¿nica miêdzy rozwi¹zaniem dualnym a rozwi¹zaniem przyrostowym wed³ug twierdzenia Neala wystêpuje wtedy, gdy rozwi¹zanie statyczne determinowane jest przez ograniczenie wynikaj¹ce ze zsumowania warunków dla przekroju wed³ug Bleicha
( max M ie − min M ie ≤ 2Moi ), które ogranicza amplitudy zmian obci¹¿eñ. Zmienne dualne przyjmuj¹ wtedy, dla tego przekroju, wartoci ϕ i+ = ϕ i− > 0 , a dla pozosta³ych
ϕ i+ = ϕ i− = 0 , co zilustrowano na rysunku 3.3.1.
Takie prêdkoci nie odpowiadaj¹ mechanizmom, lecz oznaczaj¹ wystêpowanie odkszta³ceñ plastycznych przeciwnych znaków w przekroju. Aby kres dolny rozwi¹zañ
wed³ug twierdzenia Neala by³ zawsze identyczny z kresem górnym rozwi¹zañ wed³ug
twierdzenia Bleicha (2.4.7) wystarczy zatem uwzglêdniaæ, w sformu³owaniach kinema-
ϕ i−
∆ϕ i = ϕ i+ + ϕ i−
ϕ i+
ϕ i−
∆ϕ i = ϕ i+ + ϕ i−
Rys. 3.3.1. Naprzemienne prêdkoci odkszta³ceñ plastycznych
Fig. 3.3.1. Alternating velocities of plastic deformations
ϕ i+
41
tycznych, poza prêdkociami odpowiadaj¹cymi mechanizmom równie¿ prêdkoci odkszta³ceñ przeciwnych znaków w kolejnych przekrojach ϕ i+ = ϕ i− > 0 (naprzemienne). Nale¿y podkreliæ, ¿e rozwi¹zania dualne daj¹ automatycznie zarówno rozwi¹zania odpowiadaj¹ce mechanizmom, jak i odkszta³ceniom naprzemiennym.
3.3.2. Uk³ady prêtowe o przekrojach bisymetrycznych
Warunki przystosowania wed³ug twierdzenia BleichaMelana [121] mog¹ byæ wyprowadzone po przyjêciu naprê¿eñ w przekroju bisymetrycznym w postaci sumy naprê¿eñ pokazanych na rysunku 3.3.2 i za³o¿eniu spe³nienia warunków wed³ug twierdzenia
Melana (2.4.1) w punktach 1, 2, 3 i 4 (rys. 3.3.2).
a)
2
3
4
1
 Mo

− 
− 1 ⋅ σ 0 ⋅ α
 Me

−
r
b)
M
We
−
−
M ir
− σ 0i ⋅ α i +
− σ 0 ⋅α
h i
z
c)
M (t )
We
e
+
 Mo


− 1 ⋅ σ 0 ⋅ α
 Me

M e (t )
+
+
Mr
We
M e (t )
We
Rys. 3.3.2. Naprê¿enia w bisymetrycznym przekroju zginanym: a) naprê¿enia resztkowe
samozrównowa¿one w przekroju, b) naprê¿enia od momentów resztkowych pozostaj¹cych
w równowadze z obci¹¿eniem zerowym, c) naprê¿enia od obci¹¿enia
Fig. 3.3.2. Stresses in the bisymmetrical bending a cross section: a) self-equilibrated residual
stresses in the cross section, b) stresses due to residual moments being in the equilibrium
with the zero load, c) stresses due to the load
Warunki wed³ug twierdzenia BleichaMelana, które nie ma odpowiednika kinematycznego mog¹ byæ przedstawione w ujêciu programowania liniowego w postaci
znaleæ
Y r 
µ = max  0T , 1  
µ 
 M,
max M e 
 Mo 

 r
e Y  
przy ograniczeniach  −M , − min M    ≤  Mo  , µ ≥ 0.

 µ  
∆M e 
 2Me 
 0,
(3.3.4)
42
Sformu³owanie dualne
ϕ + 
 
µ = min[MoT , MoT , 2MeT ]  ϕ − 
 
∆ϕ
 
znaleæ
przy ograniczeniach
ϕ+ 
[M T , − M T ]   = 0 ,
−
 ϕ 
(3.3.5)
ϕ+ 
 
 (max M e )T , − (min M e )T , ∆M e   ϕ −  ≥ 1,


 
 ∆ϕ 
ϕ+ ≥ 0, ϕ− ≥ 0, ∆ϕ ≥ 0, µ ≥ 0 ,
gdzie: Me = [Me1,..., Mek]T wektor sprê¿ystych momentów granicznych,
T
∆ϕ = [∆ϕ1 ,..., ∆ϕ k ] wektor zmiennych dualnych odpowiadaj¹cych prêdkociom naprzemiennym,
e
e
e
ÄM = maxM − minM ,
pozosta³e oznaczenia jak we wzorach w punkcie 3.3.1.
St¹d wynika warunek nieprzystosowania (uogólnienie twierdzenia Neala na przypadek uwzglêdniaj¹cy plastycznoæ naprzemienn¹)
ϕ+ 
ϕ+ 
 
 
 MoT , MoT , 2Me   ϕ −  ≤  (maxM e )T , − (minM e )T , ( ∆M e )T   ϕ −  . (3.3.6)




 
 
∆
ϕ
∆ϕ
 
 
Zapas bezpieczeñstwa w tym przypadku ma postaæ
ϕ + 
ϕ + 


 
Z =  MoT , MoT , 2Me   ϕ −  −  (maxM e )T , − (minM e )T , ( ∆M e )T   ϕ −  .
 
 
 ∆ϕ 
 ∆ϕ 
(3.3.7)
43
3.3.3. Uk³ady prêtowe o przekrojach monosymetrycznych
Jak ju¿ wspomniano, warunki przystosowania zaproponowane przez Koniecznego
[82] nie zapewniaj¹ spe³nienia za³o¿enia o niezmiennoci w czasie naprê¿eñ resztkowych. Mog¹ byæ traktowane jako warunki przybli¿one, jednak w niektórych obszarach
niezapewniaj¹ce przystosowania. W celu sformu³owania warunków zapewniaj¹cych przystosowanie dla dowolnych programów obci¹¿eñ wykorzystane zostanie twierdzenie
Melana (2.4.1). Na rysunku 3.3.3 przedstawiono naprê¿enia w przekroju monosymetrycznym zginanym w zakresie sprê¿ysto-plastycznym wzglêdem osi nie bêd¹cej osi¹
symetrii:
a) naprê¿enia odpowiadaj¹ce plastycznemu momentowi granicznemu Mo,
b) naprê¿enia odpowiadaj¹ce maksymalnemu momentowi Ms, przy którym mo¿liwe jest
obci¹¿enie w zakresie sprê¿ystym momentem z przeciwnym znakiem o wartoci 2 Me,
c) naprê¿enia odpowiadaj¹ce momentowi M* powoduj¹cemu uplastycznienie we wszystkich punktach po jednej stronie osi geometrycznej,
d) naprê¿enia odpowiadaj¹ce granicznemu momentowi sprê¿ystemu Me,
e) naprê¿enia odpowiadaj¹ce dowolnemu momentowi M przy nieograniczonym zakresie sprê¿ystym,
f) naprê¿enia resztkowe samozrównowa¿one w przekroju pozostaj¹ce po obci¹¿eniu
momentem Ms i odci¹¿eniu, to jest obci¹¿eniu momentem M ze zwrotem przeciwnym o wartoci Ms.
Najogólniejszym rozk³adem naprê¿eñ sporód przedstawionych jest rozk³ad odpowiadaj¹cy momentowi Ms, gdy¿ pozosta³e s¹ jego szczególnymi przypadkami.
a)
−σ 0
2
σ0
c)
d)
σ0
e)
−
σ0
−
h1
−
h
3
4
5
1
b)
−
Mo
s
h2
+
z
σ0
o obojêtna dla Mo
σ1
Ms
+
σ0
f)
Ms
−σ 0
We
+
M
We
−
−
Me
M*
M
σ2
+
+
+
σ0
h2
⋅σ 0
h1
M ⋅ h2
We ⋅ h1
o obojêtna dla Ms
σo
Ms - M
− dla M = Ms
−
σ 0−
+
Ms ⋅ h2
We ⋅ h1
o geometryczna
Rys. 3.3.3. Naprê¿enia w monosymetrycznym przekroju zginanym wzglêdem osi niebêd¹cej osi¹ symetrii
Fig. 3.3.3. Stresses in the mono-symmetrical bending cross section about an axis which is not a symmetry axis
44
Jeli obci¹¿yæ przekrój momentem Ms o rozk³adzie naprê¿eñ pokazanym na rys. 3.3.3b,
a nastêpnie przy³o¿yæ sprê¿ysty moment M (rys. 3.3.3e) z przeciwnym zwrotem, to naprê¿enia nie narusz¹ warunku plastycznoci w ¿adnym punkcie przekroju, gdy nie narusz¹ go w punktach 1, 2 i 4, co prowadzi do uk³adu warunków

M h2 
1 −
⋅  ⋅ σ 0 ≤ σ 0 ,
 Me h1 
M

− 1 ⋅ σ 0 ≤ σ 0 ,

 Me 
(3.3.8)


M s
⋅ ⋅ σ 0  ≤ σ 0 .
σ 1 + σ 2 ≤  σ 1 +
Me h1


Z pierwszego warunku (3.3.8) wynika M ≥ 0 , z drugiego M ≤ 2Me , a z trzeciego
σ 

h 
M s
⋅  ⋅ σ 0 i M ≤ 1 ⋅ 1 − 1  ⋅ Me . Z drugiego warunku wynika wiêc,
σ 1 ≤ 1 −
s  σ 0 
 Me h1 
¿e niemo¿liwa jest sprê¿ysta zmiana momentu w zakresie wiêkszym ni¿ 2Me.
Z trzeciego warunku wynika, ¿e aby taka zmiana by³a mo¿liwa w zakresie 2Me, to

s 
σ 1 ≤ 1 − 2 ⋅  ⋅ σ 0 . Jeli ten warunek nie jest spe³niony, to M zale¿y od σ 1 , a σ 1
h1 

zale¿y od Ms, czyli M zale¿y od Ms. Jeli na przyk³ad Ms = Mo, to σ 1 = σ 0 i M = 0.
Oznaczaj¹c symbolem Ms graniczn¹ wartoæ momentu obci¹¿aj¹cego o rozk³adzie
naprê¿eñ jak na rys 3.3.3b, przy której mo¿na przy³o¿yæ moment ze zwrotem przeciwnym o wartoci 2Me bez naruszania warunku plastycznoci w ¿adnym punkcie przekroju otrzymujemy, ¿e dla momentów obci¹¿aj¹cych przekrój z przedzia³ów (Me, Ms)
oraz (Ms, Me) mo¿liwe jest sprê¿yste obci¹¿enie z przeciwnym zwrotem momentem
2Me. Dla momentów obci¹¿aj¹cych z przedzia³ów (Ms, Mo) oraz (Mo, Ms) zakres
sprê¿ystego obci¹¿enia z przeciwnym zwrotem zale¿y od momentu obci¹¿aj¹cego i wynosi 2Me dla ekstremalnej wartoci obci¹¿enia Ms i Ms oraz zero dla ekstremalnej wartoci obci¹¿enia Mo i Mo.
Przyk³adowo dla przekroju jak na rys. 3.3.4 charakterystyki odpowiednio wynosz¹:
pole przekroju
A = h ⋅ t w + (b − t w ) ⋅ t f ,
(3.3.9)
moment bezw³adnoci wzglêdem osi geometrycznej
h3 tw (b − tw ) t f
h

+
+ htw  − e  + (b − tw ) t f
12
12
2

3
I=
2
2
tf 

e −  ,
2

(3.3.10)
tw
σo
45
σo
h-e
h
o
geometryczna
Mo
Ms
e
tf
eo
b
es
σo
σo
e−tf
−es
e
2⋅
⋅σ
h−e o 2⋅ h−e ⋅σo
Rys. 3.3.4. Przekrój teowy i naprê¿enia odpowiadaj¹ce momentowi Mo i Ms
Fig. 3.3.4. T-bar and the stresses corresponding to the moments Mo and Ms
sprê¿ysty wskanik wytrzyma³oci na zginanie
We =
I ,
h−e
(3.3.11)
plastyczny wskanik zginania
tf 
 h2


Wo = tw  − h e01 + e012  + t f (b − tw )  e01 −  ,
2

 2

gdy
e0 = e01 ≥ t f ,
(
)
2
+ (t f − e02 )2 (b − tw ) ,
Wo = 0,5 tw ( h − e02 ) 2 + b e02
gdy
(3.3.12)
(3.3.13)
e0 = e02 ≤ t f ,
wskanik wytrzyma³oci na zginanie na podstawie warunku przystosowania

tf 

(e − eS 1 )3 
Ws = 0,5 tw  ( h − eS1 ) 2 + (eS1 − t f ) 2 −
 + bt f  eS −  ,
2
h−e 


gdy
e0 = e01 ≥ t f ,
(3.3.14)
46
(
Ws = 0,5 (h − eS 2 ) 2 tw + (t f − eS 2 ) 2 (b − tw ) + b eS 2 2
(e − eS 2 )3
−
gdy
)
tf e 

tw
+ (b − tw ) (t f − eS 2 )2  e − 2 − S 2 
3
3
3 

h−e
(3.3.15)
,
e S = eS 2 ≤ t f ,
S
h 2 ⋅ t w (b − t w ) ⋅ t f
, e= ,
+
2
2
A
2
S=
gdzie:
e01 =
(h + t f )
2
−
b ⋅t f
2 ⋅ tw
, e02 =
(h − t f ) ⋅ t w
2⋅b
+
tf
2
,
e S 1 = 2 ⋅ h 2 − 5 ⋅ h ⋅ e + 3 ⋅ e 2 − t f ⋅ (h − e)(b / t w − 1) − h + 2 ⋅ e ,
eS 2 =
((h − e) ⋅ (h − t
f
)
) − (e − t f ) 2 ⋅ t w
b
+ ( h + t f − 3 ⋅ e) ⋅ t f + ( h − 2 ⋅ e) 2 − h + 2 ⋅ e .
Przedstawiaj¹c dopuszczalny zakres sprê¿ystego odci¹¿ania (dopuszczaln¹ amplitudê sprê¿ystych zmian momentu w przekroju) w postaci takiej jak w zwi¹zkach Koniecznego ( α ⋅ Me ) mo¿na numerycznie wyznaczyæ zale¿noæ parametru α od momentu obci¹¿aj¹cego. Poni¿ej zilustrowano wyniki obliczeñ dla przekroju jak na rys. 3.3.4 dla
danych tw = tf =0,1b, h = b + tf. Dla tych danych Me/Mo = 0,5523, Ms/Mo = 0,9908. Na
 M 
rysunku 3.3.5 przedstawiono zale¿noæ α 
 dla obci¹¿enia przekroju momentem
 Mo 
M ∈ (Ms, Mo). Maksymalna odchy³ka wzglêdna tego wykresu od linii prostej opisanej
M  
Ms 

zwi¹zkiem α (M ) = 2 ⋅ 1 −
 1 −
 wynosi 0,000081, co wskazuje, ¿e zale¿noæ
Mo  
Mo 

liniowa bardzo dobrze aproksymuje tu zale¿noæ dok³adn¹.
Po uwzglêdnieniu, ¿e α(M) = α(M) oraz ¿e dla M ∈ (− Ms , Ms ) α = 2, otrzymuje
siê zale¿noæ parametru α dla dowolnego poziomu obci¹¿enia przedstawion¹ wykresem na rys. 3.3.6 (linia ci¹g³a). Wed³ug Koniecznego dla rozpatrywanego przypadku
α = 1,88 (linia przerywana na rys. 3.3.6).
Z obliczeñ wykonanych dla walcowanych przekrojów teowych i po³ówek dwuteowników wynika, ¿e dla tych przekrojów ró¿nica Mo Ms nie przekracza 1% wartoci
Mo, a zale¿noæ wspó³czynnika α(M) dla M ∈ (Ms, Mo) i M ∈ (Ms, Mo) jest prawie
47
M/Mo
Rys. 3.3.5. Zale¿noæ wspó³czynnika przedzia³u sprê¿ystego odci¹¿ania (o pionowa)
od wzglêdnych wartoci M/Mo momentu obci¹¿aj¹cego M z przedzia³u (Ms, Mo)
Fig. 3.3.5. Dependence of the elastic relief interval coefficient (vertical axis)
on the relative values of the M/Mo loading moment M within the interval (Ms, Mo)
α ⋅ Me
2 Me
α ( M ) ⋅ Me
αK ⋅ Me
M
− Mo
− Ms
− Me
Me
Ms Mo
Rys. 3.3.6. Zale¿noæ przedzia³u sprê¿ystego odci¹¿ania Me od poziomu obci¹¿enia M
Fig. 3.3.6. Dependence of the elastic relief interval on the level of the load
liniowa (z dok³adnoci¹ do tysiêcznych czêci procenta). Dla niesymetrycznych dwuteowników ró¿nice te s¹ jeszcze mniejsze.
Z tego wynika, ¿e warunki na przystosowanie i-tego przekroju monosymetrycznego
mo¿na przedstawiæ w postaci
max M ie − min M ie ≤ α i ⋅ Mei ,
1

gdzie α i = 2 
M i   Msi 
1 − Mo  1 − Mo 
i  
i 

gdy M i ≤ Msi ,
gdy Msi < M i ≤ Moi ,
M i = max[( M ir + max M ie ), ( − M ir − min M ie )] .
(3.3.16)
48
Jeli uwzglêdni siê, ¿e dla przekrojów stosowanych w praktyce ró¿nica Mo Ms nie
przekracza 1% wartoci Mo, to warunki te z nieznaczn¹ rezerw¹ mog¹ byæ przyjête dla
praktycznych zastosowañ w postaci analogicznej do postaci jak dla przekrojów bisymetrycznych (uogólnienie twierdzenia BleichaMelana)
M ir + max M ie ≤ Msi ,
− M ir − min M ie ≤ Msi ,
(3.3.17)
max M ie − min M ie ≤ 2 Mei ,
W tym przypadku sformu³owania w ujêciu programowania liniowego oraz zapas bezpieczeñstwa s¹ takie same jak dla przekrojów bisymetrycznych (jedynie Moi nale¿y zast¹piæ przez Msi).
3.3.4. Uk³ady prêtowe o przekrojach hybrydowych
Na rysunku 3.3.7 przedstawiono naprê¿enia w hybrydowym przekroju symetrycznym obci¹¿onym momentem zginaj¹cym o ró¿nych wartociach:
a) naprê¿enia odpowiadaj¹ce plastycznemu momentowi granicznemu Mo,
b) naprê¿enia odpowiadaj¹ce sprê¿ystemu momentowi granicznemu Me ( σ 1 = σ 0 f lub
σ 2 = σ 0 w ),
c) pole naprê¿eñ resztkowych pozostaj¹ce po obci¹¿eniu przekroju momentem Mo (rys.
3.3.7 a) i odci¹¿eniu go to jest dodaniu momentu Mo o liniowym rozk³adzie naprê¿eñ,
d) naprê¿enia odpowiadaj¹ce momentowi Mo 2Me.
a)
σ0f
hw
h
Mo
−σ 0 f
We
σ2
σ 0w
+
z
Mo hw
⋅
−σ 0 f
We h
σ1
−
σ 0w
c)
b)
Mo
−
Me
σ1
− σ 0 w Mo-Mo
σ 0w +
− σ 0w
σ 0w +
−
−
Mo hw
⋅
− σ 0w
We h
2 Me
−σ 0 f
We
+
+
+
σ2
σ0f
d)
Mo hw
⋅
−σ 0 f
We h
Mo hw
⋅
− σ 0w
We h
Rys. 3.3.7. Naprê¿enia w hybrydowym przekroju zginanym
Fig. 3.3.7. Stresses in the hybrid bending cross section
Mo-2Me
x
49
Naprê¿enia σ1 i σ2 (rys. 3.3.7b) wynosz¹
 h
 ⋅ σ 0 w
σ 1 =  hw
σ
 0 f

σ 0 w
σ2 = 
 hw ⋅ σ
0f
 h
h
⋅ σ 0w ,
hw
h
≤
⋅ σ 0w ,
hw
gdy σ 0 f ≥
gdy σ 0 f
(3.3.18)
gdy σ 0 f
gdy σ 0 f
h
≥
⋅ σ 0w ,
hw
h
≤
⋅ σ 0w ,
hw
przy czym przynajmniej jedna z tych wartoci musi byæ równa odpowiedniej granicy
plastycznoci ( σ 1 = σ 0 f lub σ 2 = σ 0 w ),
gdzie: σ 0 w
σ0f
h
hw
granica plastycznoci materia³u rodnika,
granica plastycznoci materia³u pó³ek,
wysokoæ przekroju,
wysokoæ rodnika.
Sprê¿ysty moment graniczny
Me = min(Mew, Mef),
(3.3.19)
2Iσ 0 f
2 Iσ 0 w
h
2I
,
=
⋅ We ⋅ σ 0 w , Me f =
= We ⋅ σ 0 f , We =
hw
hw
h
h
I moment bezw³adnoci przekroju wzglêdem osi geometrycznej.
Naprê¿enia ekstremalne w stopce i w rodniku dla obci¹¿enia Mo − 2Me odpowiednio wynosz¹
gdzie: Mew =
 2Me
−σ0 f

 We
 h
 2 σ 0w − σ 0 f
  hw
=
 
σ
 0 f

 ≤ σ0 f


σ 0w
 2Me hw
 
⋅
− σ 0w  = 

 We h
  2 hw ⋅ σ − σ  ≤ σ
0f
0w 
0w


 h
h
⋅σ 0w ,
hw
h
≤
⋅ σ 0w ,
hw
gdy σ 0 f ≥
gdy σ 0 f
h
⋅ σ 0w ,
hw
h
≤
⋅ σ 0w .
hw
gdy
σ0 f ≥
gdy
σ0 f
(3.3.20)
50
Z faktu, ¿e przynajmniej jedno z nich równe jest odpowiedniej granicy plastycznoci i ¿adne z nich nie przekracza odpowiedniej granicy plastycznoci wynika, ¿e po obci¹¿eniu momentem Mo mo¿liwe jest obci¹¿enie sprê¿yste z przeciwnym znakiem, momentem z przedzia³u (0, 2Me). Oznacza to, ¿e dla przekrojów hybrydowych warunki na
przystosowanie s¹ takie same jak dla przekrojów bisymetrycznych. Jednak, gdy uwzglêdnia siê losowy charakter parametrów nale¿y braæ pod uwagê, ¿e w rozpatrywanym przypadku rodniki i stopki wykonane s¹ z ró¿nych elementów, co oznacza, ¿e ich charakterystyki geometryczne i fizyczne s¹ zmiennymi losowymi wzajemnie niezale¿nymi,
a w szczególnoci σ 0 f jest zmienna losow¹ niezale¿n¹ od σ 0 w . Nie mo¿na wiêc w tym
przypadku wyznaczyæ momentu Me na podstawie zwi¹zku (3.3.19) i aby uwzglêdniæ
zarówno realizacje zmiennych losowych, dla których zachodzi przypadek Mew > Mef
jak i przypadek Mef > Mew warunek nie wystêpowania odkszta³ceñ plastycznych naprzemiennych w przekroju przyjmie postaæ ograniczeñ
max M ie − min M ie ≤ 2Mewi ,
(3.3.21)
max M ie − min M ie ≤ 2Me fi .
W tym przypadku sformu³owanie warunków statycznych w ujêciu programowania
liniowego ma postaæ
Y r 
µ = max[0T , 1]  
µ 
znaleæ
 M,

 −M,
 0,

 0,
max M e 
 Mo 



e
r
− min M   Y   Mo 
, µ ≥ 0.
 ≤
∆M e   µ   2Me w 



 2Me f 
∆M e 
(3.3.22)
Sformu³owanie dualne
znaleæ
ϕ + 
 − 
ϕ 
T
T
T
T
µ = min  Mo , Mo , 2Me w , 2Me f  

 ∆ϕ w 
 ∆ϕ f 


przy ograniczeniach
[M T ,
ϕ + 
− MT ]   = 0 ,
−
ϕ 
(3.3.23)
3.4. Warunki przystosowania w ujêciu programowania liniowego w przypadku uwzglêdniania...
51
ϕ + 
 − 
e
T
e
T
e
T
e
T
(max M ) , − (min M ) , (∆M ) , (∆M )  ϕ  ≥ 1,
 ∆ϕ 
 w
 ∆ϕ f 


ϕ+ ≥ 0, ϕ− ≥ 0, ∆ϕ w ≥ 0, ∆ϕ f ≥ 0, µ ≥ 0 ,
gdzie ∆ϕw, ∆ϕ f plastyczne odkszta³cenia naprzemienne odpowiednio w rodniku lub
w stopkach.
Zapas bezpieczeñstwa ma w tym przypadku ma postaæ
ϕ + 
 − 
ϕ 
T
T
T
T
Z =  Mo , Mo , 2Me w , 2Me f  ⋅ 

 ∆ϕ w 
 ∆ϕ f 


ϕ+ 


T
T
T
T  ϕ− 

e
e
e
e
− ( max M ) , − ( min M ) , ( ∆M ) , ( ∆M )  ⋅ 
.
∆
ϕ
w


 ∆ϕ f 


(3.3.24)
liniowego w przypadku uwzglêdniania zginania
z udzia³em si³ pod³u¿nych
3.4.1. Uk³ady prêtowe o przekrojach bisymetrycznych
Proponowane przez Königa [92] podejcie oparte na wykorzystaniu powierzchni sprê¿ystych generowanych na podstawie za³o¿onych rozk³adów naprê¿eñ resztkowych nie
jest zbyt wygodne, gdy¿ wymaga dwuetapowego rozpatrywania zagadnienia (formu³owanie odcinkowo liniowych powierzchni sprê¿ystych, a nastêpnie warunków przystosowania).
W celu sformu³owania warunków na przystosowanie wyra¿onych poprzez si³y przekrojowe wykorzystano tu bezporednio twierdzenie Melana (2.4.1) i za³o¿one pola naprê¿eñ resztkowych. Przyjêto dwuparametrowe pole samozrównowa¿onych w przekroju
52
naprê¿eñ resztkowych w postaci sumy zmodyfikowanych pól proponowanych przez
Königa naprê¿eñ resztkowych dla przekrojów prostok¹tnych.
Na rysunku 3.4.1 przedstawiono naprê¿enia w bisymetrycznym przekroju prêta zginanego i rozci¹ganego w stanie sprê¿ysto-plastycznym odpowiadaj¹ce ró¿nym sk³adowym przypadkom obci¹¿enia:
a) naprê¿enia samozrównowa¿one w przekroju odpowiadaj¹ce obci¹¿eniu momentem
Moi i odci¹¿eniu,
b) symetryczne pole naprê¿eñ samozrównowa¿onych w przekroju,
c) naprê¿enia odpowiadaj¹ce momentowi resztkowemu Mir,
d) naprê¿enia odpowiadaj¹ce resztkowej sile osiowej Nir,
e) naprê¿enia odpowiadaj¹ce momentowi od obci¹¿enia Mie(t),
f) naprê¿enia odpowiadaj¹ce sile osiowej od obci¹¿enia Nie(t).
Pola resztkowych si³ przekrojowych (momentów Mir, si³ osiowych Nir, a tak¿e si³
tn¹cych Vir) s¹ ³¹cznie samozrównowa¿one (pozostaj¹ w równowadze z obci¹¿eniem
zerowym).
Przyjmuj¹c naprê¿enia resztkowe (rys. 3.4.1 a, b, c, d) w przekroju w postaci sumy
σ ir ( z ) = s ir ( z ) +
gdzie: sir (z )
 Mo i

− 
− 1 ⋅ σ 0i ⋅ α i
 Me i

−
i
z
b)
hz i
σ 0 ⋅ βi
hsi i
+
hz i
3 − σ 0i ⋅ α i +
− σ 0 ⋅α
4 h
1
(3.4.1)
naprê¿enia resztkowe samozrównowa¿one w przekroju (suma naprê¿eñ, rys. 3.4.1 a i b),
a)
2
M ir ⋅ z N ir
,
+
Iy i
Ai
+
 Moi


− 1 ⋅ σ 0i ⋅ α i
Me
i


hsi
hsi
hz i
c)
e)
d)
M ir
Wei
−
−
M ir
− σ 0i ⋅ β i
hzi
σ 0 ⋅ βi
hsi i
N ie (t )
Ai
Wei
Ai
−
+
f)
M ie (t )
N ir
N ir
M ie (t )
+
+
+
+
M ie (t )
N ir
Wei
Ai
o geometryczna
geometryczna po³ówki przekroju
M ir
Wei
N ie (t )
N ie (t )
Ai
Rys. 3.4.1. Naprê¿enia w przekroju bisymetrycznym prêta zginanego i rozci¹ganego
Fig. 3.4.1. Stresses in the bisymmetrical cross section of the bending and tensioning bar
x
53
M ir , N ir si³y przekrojowe resztkowe samozrównowa¿one w uk³adzie,
Wei , Ai wskanik zginania i pole przekroju,
i uwzglêdniaj¹c naprê¿enia sprê¿yste od obci¹¿eñ (rys. 3.4.1e, f)
σ ie ( z, t ) =
M ir (t ) ⋅ z N ir (t )
+
Iy i
Ai
(3.4.2)
mo¿na warunek Melana na przystosowanie w dowolnym punkcie przekroju przedstawiæ w postaci
sir ( z ) +
 M r (t ) ⋅ z N ir (t ) 
M ir ⋅ z N ir
 ≤ σ 0i ,
+
+ max i
+

t 
Iyi
Ai
Iy
A
i
i 

(3.4.3)

 M r (t ) ⋅ z N ir (t ) 
M r ⋅ z N ir 
 ≤ σ 0i ,
−  sir ( z ) + i
+
− min  i
+

t 
Iyi
Ai 
Ai 

 Iyi
przy czym warunki te musz¹ byæ spe³nione w ka¿dym punkcie ka¿dego przekroju.
Ze wzglêdu na odcinkowo liniowe rozk³ady naprê¿eñ dla spe³nienia twierdzenia Melana w ka¿dym punkcie wystarczy, by by³o ono spe³nione w punktach 1, 2, 3, 4.
Wynikaj¹ st¹d warunki na przystosowanie, które mog¹ byæ przedstawione w postaci
 A,

 − A,
B,
C,
− B,
− C,
á 
 
Q max   â   R 
,
≤

− Q min   Y r   R 
 
 1 
(3.4.4)
Y1r 
C1 
 β1 
α1 
 
 
gdzie: A = diag[Ari ] , B = diag [B i ] , α =  M  , β =  M  , C =  M  , Y =  M  ,
 
 r
C k 
 β k 
α k 
Ynh 
Q max
 (Woi − Wei ) ⋅ σ 0i 
Q1,max 
Q1,min 


R1 
Woi − Wei ) ⋅ σ 0i 
(







= M
 , Q min =  M
 , R =  M  , Ari = 
,
Ne
i
Q k ,max 
Q k ,min 


R k 






− Nei
54




Bi = 




1 Wei
 1
hzi

,
M
i + Ni ⋅

⋅ Wei ⋅ σ 0i 
A
i
hsi


1 Wei
 1

hzi
⋅ Wei ⋅ σ 0i  , Ci =  M i − N i ⋅ A ,
i

hsi

1

−Wei ⋅ σ 0i 
Ni,


1

−Wei ⋅ σ 0i 
Ni,

Qi ,max

 e
e Wei
 max  M i + N i ⋅
Ai



 e
e Wei
=  max  M i − N i ⋅

Ai



max N ie

max N ie

nh
Wei 
Ai 

nh Wei 
− Ni ⋅

Ai  ,
nh

Ni


nh
Ni

nh
L, M i + N i ⋅
nh
L, M i
L,
L,

 e
 
e Wei
 min  M i + Ni ⋅
 
Ai

 


 e
 
e Wei

  , Qi ,min =  min  M i − Ni ⋅
Ai

 



min Nie



min Nie





 
 ,





 Mei 


Me
Ri =  i  ,
 Nei 


 Nei 
Woi =
Moi
σ 0i
Wei
Ai
σ 0i
Mei = Wei ⋅ σ 0i
Nei = Noi = Ai ⋅ σ 0i
αi , βi
j
j
M i , Ni
nh
k
plastyczny wskanik zginania przekroju,

sprê¿ysty wskanik zginania przekroju,
pole przekroju,
granica plastycznoci materia³u,
graniczny moment sprê¿ysty przekroju,
graniczna sprê¿ysta i plastyczna si³a pod³u¿na przekroju,
parametry pola naprê¿eñ resztkowych samozrównowa¿onych w przekroju,
moment zginaj¹cy i si³a osiowa w przekroju wywo³ane
jednostkow¹ si³¹ hiperstatyczn¹ Yjr = 1 w izostatycznym
uk³adzie podstawowym,
stopieñ statycznej niewyznaczalnoci uk³adu,
liczba przekrojów krytycznych.
55
W zwi¹zkach (3.4.4) wykorzystano, ¿e momenty resztkowe Mir i si³y osiowe resztkowe Nir mog¹ byæ wyra¿one przez hiperstatyczne si³y resztkowe Y jr ( j = 1, 2,..., n h )
nh
nh
M ir = ∑ M i ⋅ Y jr , N ir = ∑ N i ⋅ Y jr .
j
j =1
j
j =1
(3.4.5)
W ujêciu programowania liniowego:
á 
â 
µ = max 0T , 0T , 0T , 1  r 
Y 
 
 µ 
znaleæ
 A,
 − A,
B,
C,
− B,
− C,
á 
 
Q max  â   R 
≤
, µ ≥0,

− Q min   Y r   R 
 
 µ 
(3.4.6)
sformu³owanie dualne
znaleæ
przy ograniczeniach
ε + 
µ = min  R T , R T   
−
 ε 
AT ,
 T
B ,
 T
 C ,
− AT 
 ε + 
− BT    = 0 ,
 ε − 
T  
− C 
 +
(Q )T , − (Q )T  ε  ≥ 1 ,
min
 max
 −
ε 
ε + ≥ 0, ε − ≥ 0,
µ ≥ 0,
(3.4.7)
56
T
gdzie poszczególne macierze maj¹ znaczenie jak w warunkach (3.4.4), ε + = ε1+ ,..., ε k+ 
T
i ε − = ε1− ,..., ε k−  wektory zmiennych dualnych, które mog¹ byæ interpretowane jako
prêdkoci odkszta³ceñ plastycznych i wyznaczone jako rozwi¹zanie zadania (3.4.7).
Zapas bezpieczeñstwa ma wiêc postaæ
ε + 
T
T
Z =  R T , R T    −  (Q max ) , − (Q min ) 
−
 ε 
ε + 
 −.
 ε 
(3.4.8)
3.4.2. Uk³ady prêtowe o przekrojach monosymetrycznych
Na rysunku 3.4.2 przedstawiono naprê¿enia w monosymetrycznym przekroju prêta
zginanego i rozci¹ganego w stanie sprê¿ysto-plastycznym odpowiadaj¹ce ró¿nym sk³adowym przypadkom obci¹¿enia. Wykorzystano tu omówione w punkcie 3.3.3 pole samozrównowa¿onych w przekroju naprê¿eñ resztkowych (rys. 3.4.2 a). Sens pozosta³ych
naprê¿eñ przedstawionych na rys. 3.4.2 jest analogiczny do naprê¿eñ przedstawionych
na rys. 3.4.1.
h
σ 0i ⋅ α i
o geometryczna
h1
o obojêtna dla Ms
2
c)
d)
M ir
N ir
M ie (t )
e)
N ie (t )
Ai
Wei
Ai
Wei
−
−
M ir
3
s +
4 h
−
σ 0i ⋅ α i
5 2
+
+
1
z
M ir ⋅ h2i
 Msi ⋅ h2i

 Msi ⋅ si



− σ 0i  ⋅ α i

− σ 0i  ⋅ α i 
Wei ⋅ h1i
 Wei ⋅ h1i

 Wei ⋅ h1i

+
 Ms

−  i − σ 0i  ⋅ α i
 Wei

−
b)
M ie (t )
N ir
+
a)
N ie (t )
x
+
Nir
Ai
M ie (t ) ⋅ h2i
Wei ⋅ h1i
N ie (t )
Ai
Rys. 3.4.2. Naprê¿enia w monosymetrycznym przekroju prêta zginanego i rozci¹ganego
Fig. 3.4.2. Stresses in the mono-symmetrical cross section of the bending and tensioning bar
Uwzglêdniaj¹c, ¿e spe³nienie warunków Melana (2.4.1) w ka¿dym punkcie przekroju
jest zapewnione przez ich spe³nienie w punktach 1, 2, 3, 4 i 5 i postêpuj¹c analogicznie
jak dla przekrojów bisymetrycznych, otrzymano warunki na przystosowanie w postaci
 A,
−
 A,
C,
− C,
á 
Q max   r   R 
Y ≤
,
− Q min     R 
1 
C1 
α1 
 


gdzie A = diag [Ari ] , α =  M  , C =  M  ,
α k 
C k 
Q max
Q1,max 


= M
 , Q min
Q k ,max 


1
1 Wei
 h2i
 h ⋅ M i + Ni ⋅ A ,
i
 1i
1
1 Wei
 si
,
 ⋅ M i + Ni ⋅
Ai
 h1i
 s
1
1 We
Ci =  i ⋅ M i + N i ⋅ i ,
Ai
 h1i

1
1 We
 M i − Ni ⋅ i ,
Ai


1
Ni ,


 Mei 



 Mei 
 
X =  M  , R i =  Mei  ,


 r
 Mei 
Ynh 
 Ne 
 i
Y1r
 h2 i


⋅ Wsi − Wei  ⋅ σ 0 i 


 h1i



Q1,min 
  si ⋅ Ws − We  ⋅ σ 


i
i
0i
= M
,
 , Ari =   h1i



Q k ,min 
Wei ⋅ σ 0 i




 − (Ws − We ) ⋅ σ

i
i
0i


Nei


L,
L,
L,
L,
L,
nh
nh We 
h2i
⋅ M i + Ni ⋅ i 
h1i
Ai

nh
nh Wei 
si
⋅ M i + Ni ⋅

h1i
Ai 
R1 
nh
nh Wei 
si
 
⋅ M i + Ni ⋅
 , R= M ,
h1i
Ai 
R k 

nh
nh Wei
M i − Ni ⋅

Ai


nh
Ni


57
(3.4.9)
58
Qi ,max

 h2i

 h2i
We  
We  
⋅ M ie + Nie ⋅ i  
⋅ M ie + Nie ⋅ i  
 min 
 max 
Ai  
Ai  
 h1i

 h1i





 min  si ⋅ M e + N e ⋅ Wei  
 max  si ⋅ M e + N e ⋅ Wei  
i
i
i
i


Ai  
Ai  
 h1i
 h1i




 si

 si

e
e Wei  
e
e Wei  
=  max  ⋅ M i + Ni ⋅
 ,
  , Qi ,min =  min  ⋅ M i + Ni ⋅
h
A
h
A
i
i
1


i
i
1












We
 e

We
 min  M ie − Nie ⋅ i  
 max  M i − Nie ⋅ i  
Ai  

Ai  







min Nie
max Nie












odleg³oæ osi obojêtnej odpowiadaj¹cej obci¹¿eniu przekroju momentem Msi od osi geometrycznej,
h1i , h2i odleg³oci w³ókien skrajnych przekroju od osi geometrycznej przekroju
( h1i ≥ h2i ),
pozosta³e oznaczenia przyjêto podobnie jak dla przekroju symetrycznego.
W ujêciu programowania liniowego:
si
znaleæ
 A,
 − A,
á 
 
µ = max 0T , 0T , 1  Y r 
µ 
 
C,
− C,
α 
Q max   r   R 
, µ ≥0,
 Y  ≤
− Q min     R 
µ 
sformu³owanie dualne
znaleæ
ε + 
µ = min  R T , R T   
−
 ε 
(3.4.10)
59
przy ograniczeniach
 AT ,
 T
C ,
− AT  ε + 
   = 0,
− CT   ε − 
(3.4.11)
 +
(Q )T , − (Q )T   ε  ≥ 1,
min
 max
 −
 ε 
ε + ≥ 0, ε − ≥ 0,
µ ≥ 0.
Zapas bezpieczeñstwa ma postaæ (3.4.8).
liniowego w przypadku uwzglêdniania
naprê¿eñ normalnych i tn¹cych
3.5.1. Wprowadzenie
Przyjêto warunek graniczny w punkcie przekroju prêta na podstawie hipotezy HuberaMisesaHenckyego [71]
σ 2 + 3 ⋅τ 2 = σ 0 ,
(3.5.1)
gdzie: σ naprê¿enia normalne,
τ naprê¿enia styczne,
σ0 granica plastycznoci.
Aby móc wykorzystywaæ w analizie narzêdzia i twierdzenia programowania liniowego, lew¹ stronê zwi¹zku (3.5.1) przedstawiono w postaci quasi-liniowej



2
2
σ + 3 ⋅τ = σ + η ⋅ τ = 


2
σ + η ⋅τ ,
−σ − η ⋅ τ ,
σ − η ⋅τ ,
−σ + η ⋅ τ ,
gdy σ ≥ 0 i τ ≥ 0,
gdy σ ≤ 0 i τ ≤ 0,
gdy σ ≥ 0 i τ ≤ 0,
(3.5.2)
gdy σ ≤ 0 i τ ≥ 0,
σ
σ 
≥0.
gdzie η =   + 3 −
τ
τ
 
Wartoci wspó³czynnika η w zale¿noci od stosunku σ/τ zestawiono w tabeli 3.5.1.
60
Tabela 3.5.1. Wartoci wspó³czynnika η w zale¿noci od stosunku σ/τ
Table. 3.5.1.Values of the coefficient η versus the proportion σ/τ
σ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
τ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
σ/τ
∞
10
5
3,33333
2,5
2
1,66667
1,42857
1,25
1,11111
1
η
0
0,14889
0,2915
0,42314
0,54138
0,64575
0,73703
0,8166
0,886
0,9467
1
σ
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
τ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
σ/τ
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
η
1
1,05192
1,10788
1,16815
1,23303
1,30278
1,37764
1,45784
1,54356
1,63494
1,73205
Warunki na przystosowanie wed³ug twierdzenia Melana (2.4.1) po wykorzystaniu
zwi¹zków (3.5.1) i (3.5.2) mog¹ byæ dla punktu przedstawione w postaci
σ r + η ⋅ τ r + σ e (t ) + η ⋅ τ e (t ) ≤ σ 0 ,
− σ r − η ⋅ τ r − σ e (t ) − η ⋅ τ e (t ) ≤ σ 0 ,
σ r − η ⋅ τ r + σ e (t ) − η ⋅ τ e (t ) ≤ σ 0 ,
(3.5.3)
− σ r + η ⋅ τ r − σ e (t ) + η ⋅ τ e (t ) ≤ σ 0 .
W rozwa¿aniach teoretycznych proponowane s¹ ró¿ne uproszczone rozk³ady naprê¿eñ tn¹cych w przekroju, prowadz¹ce czêsto do zbli¿onych wyników [10, 116]. W celu
sformu³owania mo¿liwie prostych i jednoczenie bezpiecznych warunków na przystosowanie przyjêto prostok¹tny rozk³ad naprê¿eñ tn¹cych w przekroju przy za³o¿eniu, ¿e
elementy przekroju usytuowane poprzecznie w stosunku do kierunku dzia³ania obci¹¿eñ nie uczestnicz¹ w przenoszeniu cinania [10]. Dalsze rozwa¿ania ograniczymy do
dwóch typów przekrojów: przekrojów typu prostok¹tnego nie posiadaj¹cych elementów poprzecznych na krawêdziach górnej i dolnej i przekrojów typu dwuteowego posiadaj¹cych takie elementy. Na rysunkach 3.5.1 i 3.5.2 przedstawiono przyk³adowo przekroje obydwu typów. Zacieniowano czêci czynnie uczestnicz¹ce w przenoszeniu cinania.
Naprê¿enia tn¹ce w czêci czynnej przekroju na cinanie okrela zale¿noæ
τ (t ) = τ r + τ e (t ) =
V r V e (t )
,
+
Av
Av
(3.5.4)
61
w której: Av czêæ pola przekroju czynna przy cinaniu,
Vr resztkowa si³a tn¹ca w przekroju,
V e(t) sprê¿ysta si³a tn¹ca w przekroju wywo³ana obci¹¿eniem.
Rys. 3.5.1. Przekroje typu prostok¹tnego
Fig. 3.5.1. Cross sections of rectangular type
Rys. 3.5.2. Przekroje typu dwuteowego
Fig. 3.5.2. Cross sections of the I-section type
3.5.2. Przekroje typu prostok¹tnego
3.5.2.1. Zginanie i cinanie
Na rysunku 3.5.3 przedstawiono naprê¿enia w przekroju typu prostok¹tnego (rys.
3.5.1) prêta zginanego i cinanego w stanie sprê¿ysto-plastycznym odpowiadaj¹ce ró¿nym sk³adowym przypadkom obci¹¿enia.
Naprê¿enia resztkowe w przekroju okrelaj¹ zwi¹zki
σ ir ( z ) = s ir ( z ) +
w których: sir(z)
M ir ⋅ z
Vr
, τ ir ( z ) = i ,
Iy i
Av i
(3.5.5)
naprê¿enia resztkowe normalne samozrównowa¿one w przekroju,
Mir, Vir si³y przekrojowe resztkowe samozrównowa¿one w uk³adzie,
Iyi
moment bezw³adnoci przekroju.
62
a)
b)
c)
d)
e)
 Moi


− σ 0i  ⋅ α i
 Wei

−
2
M ir
Wei
Vi r
Avi
M ie (t )
Wei
Vi e (t )
Avi
−
−
M ir
3 σ 0i ⋅ α i +
− σ 0i ⋅ α i
4
h
z
2
x
Vi e (t )
+
M ir
Wei
 Moi


− σ 0i  ⋅ α i
 Wei

+
V ir
+
+
1
M ie (t )
+
M ie (t )
Wei
Rys. 3.5.3. Naprê¿enia w przekroju typu prostok¹tnego (rys. 3.5.1) prêta zginanego i cinanego
Fig. 3.5.3. Stresses in the rectangular cross sections (Fig. 3.5.1) of the bending and shearing bars
Naprê¿enia sprê¿yste w przekroju pozostaj¹ce w równowadze z obci¹¿eniem okrelaj¹ zwi¹zki
σ ie ( z ) =
M ie (t ) ⋅ z
V e (t )
e
, τi = i
.
Iy i
Avi
(3.5.6)
Po uwzglêdnieniu zwi¹zków (3.5.5) i (3.5.6), warunki (3.5.3) przyjmuj¹ postaæ
sir ( z ) +
 M ir (t ) ⋅ z
Vi e (t ) 
M ir ⋅ z
Vi r
 ≤ σ 0i ,

+ ηi ( z ) ⋅
+ max
+ ηi ( z ) ⋅

t
Iyi
Avi
Iy
Av
i
i


− sir ( z ) −
sir ( z ) +
 M r (t ) ⋅ z
M ir ⋅ z
Vr
V e (t ) 
 ≤ σ 0i ,
− η i ( z ) ⋅ i − min i
+ ηi ( z) ⋅ i
t
Iyi
Avi
Avi 
 Iyi
M ir
− sir ( z ) −
⋅z
Iyi
− ηi ( z ) ⋅

Vi
+ max
t
Avi

r
M ir (t ) ⋅ z
Iyi
− ηi ( z ) ⋅
Vi (t ) 
 ≤ σ 0i ,
Avi 
e
 M r (t ) ⋅ z
M ir ⋅ z
Vr
V e (t ) 
 ≤ σ 0i .
+ ηi ( z ) ⋅ i − min i
− ηi ( z ) ⋅ i
t
Avi
Avi 
Iyi
 Iyi
(3.5.7)
63
Jeli uwzglêdni siê, ¿e dla spe³nienia warunków (3.5.7) w ka¿dym punkcie przekroju wystarczy ich spe³nienie w punktach 1, 2, 3 i 4 (rys. 3.5.3), warunki Melana na przystosowanie uk³adu o przekrojach typu prostok¹tnego mo¿na przedstawiæ w postaci
á 
 A, C, Qmax   r   R 

 Y  ≤   ,
 − A, − C, − Q min   1   R 
 
Y1r 
Q1,max 
α1 
C1 




gdzie: A = diag[Ari ] , á =  M  , C =  M  , Y =  M  , Q max =  M
,
 




r
Q
α k 
C k 
 k ,max 
Ynh 
Q min
 Mei 
(Moi − Mei )
Q1,min 
R1 


(

Mei 


Moi − Mei )




= M
=
R
,
 , R =  M  , i Vo  , Ari = 

Voi
i
Q k ,min 
 R k 






 − Voi 
Voi 
1 Wei
nh
nh Wei 
 1
 M i + η1i ⋅ V i ⋅ Av , L, M i + η1i ⋅ V i ⋅ Av 
i
i

1 Wei
nh
nh We 
 1
, L, M i − η1i ⋅ V i ⋅ i 
 M i − η1i ⋅ V i ⋅
Avi
Avi 
Ci = 


η3i 1
η3i nh
L,
⋅V i ,
⋅V i

,
3
3




η3i 1
η3i nh
L,
⋅V i ,
⋅V i


3
3


(3.5.8)
64
Q i ,max

 e
e Wei 
 max  M i + η1i ⋅ Vi ⋅

Avi 



 max  M e − η ⋅ V e ⋅ Wei 
1i
i
i

Avi 

=
η


max  3i ⋅ Vie 

 3



η

max  3i ⋅ Vie 

 3


Moi
Mei
Avi
αi
Mir, Vir


 e
e Wei
 min  M i + η1i ⋅ Vi ⋅

Avi





 min  M ie − η1i ⋅ Vie ⋅ Wei



Avi

 , Qi ,min = 
η



min  3i ⋅ Vie 


 3





η

min  3i ⋅ Vie 


 3






 


.







plastyczny moment graniczny przekroju,
sprê¿ysty moment graniczny przekroju,
pole czynne przekroju przy cinaniu,
parametr pola naprê¿eñ resztkowych samozrównowa¿onych w przekroju,
moment resztkowy i si³a tn¹ca resztkowa pozostaj¹ce w równowadze z obci¹¿eniem zerowym,
σ
η1i =  1i
 τi
2

σ
 + 3 − 1i ≥ 0 ,
τi

η 3i
σ
=  3i
 τi
2

σ
 + 3 − 3i ≥ 0 ,
τi

σ 1i (Moi − Mei ) ⋅ α i + M ir + M ie (t ) Avi σ 3i Voi ⋅ 3 ⋅ α i
=
⋅
,
,
= r
Wei τ i
τi
Vir + Vie (t )
Vi + Vie (t )
i = 1, 2, ..., k.
W zwi¹zkach (3.5.8) wykorzystano, ¿e momenty resztkowe i si³y tn¹ce resztkowe
mog¹ byæ wyra¿one przez resztkowe si³y hiperstatyczne Yjr (j = 1, 2,..., nh)
nh
nh
M ir = ∑ M i ⋅ Y jr , Vi r = ∑ V i ⋅ Y jr ,
j =1
j
j =1
j
(3.5.9)
gdzie: Yjr
si³y hiperstatyczne okrelaj¹ce pola resztkowych si³ przekrojowych,
j
j
M i , V i moment zginaj¹cy i si³a tn¹ca w przekroju wywo³ane jednostkow¹
si³¹ hiperstatyczn¹ Yjr = 1 w izostatycznym uk³adzie podstawowym,
nh
stopieñ statycznej niewyznaczalnoci uk³adu.
Sformu³owania ograniczeñ (3.5.8) w ujêciu programowania liniowego maj¹ postaæ
(3.4.10) i (3.4.11), a zapas bezpieczeñstwa postaæ (3.4.8).
65
3.5.2.2. Zginanie, rozci¹ganie i cinanie
Na rysunku 3.5.4 przedstawiono sk³adowe naprê¿enia w przekroju prêta zginanego,
rozci¹ganego i cinanego w stanie sprê¿ysto-plastycznym.
a)
b)
 Moi


− σ 0i  ⋅ α i
 Wei

2
−
3
4
1
σ 0i ⋅ α i +
− σ
c)
M ir
Wei
e)
d)
N ir
Ai
Vi r
Avi
f)
M ie (t )
Wei
g)
N ie (t )
Ai
Vi e (t )
Avi
−
−
M ir
0i ⋅ α i
N ir
M ie(t )
+
+
r
V ir
N ie (t )
+
x
+
Vi e (t )
+
+
+

z  Moi
 We − σ 0i  ⋅ α i
 i

M ir
N ir
Wei
Ai
Vi
Avi
M ie (t )
Wei
N ie (t )
Ai
Vi e (t )
Avi
Rys. 3.5.4. Naprê¿enia w przekroju typu prostok¹tnego prêta zginanego, rozci¹ganego i cinanego
Fig. 3.5.4. Stresses in the rectangular cross section of the bending, tensioning and shearing barr
Naprê¿enia resztkowe w przekroju (rys. 3.5.4a, b, c, d) okrelone s¹ zwi¹zkami
σ ir ( z ) = sir ( z ) +
M ir ⋅ z N ir
Vr
, τ ir = i ,
+
Iyi
Ai
Avi
(3.5.10)
gdzie: sir(z) naprê¿enia resztkowe samozrównowa¿one w przekroju,
Mir, Nir si³y przekrojowe resztkowe samozrównowa¿one w uk³adzie,
Ii, Ai moment bezw³adnoci i pole przekroju
Naprê¿enia sprê¿yste (rys. 3.5.4e, f, g) pozostaj¹ce w równowadze z obci¹¿eniem
okrelone s¹ zwi¹zkami
M ie (t ) ⋅ z N ie (t )
V e (t )
(3.5.11)
, τ ie = i
.
+
Ii
Ai
Avi
St¹d warunek Melana na przystosowanie punktu przekroju przyjmuje postaæ
σ ie ( z , t ) =
s ir
 M ie (t ) ⋅ z N ie (t )
M ir ⋅ z N ir
Vi r
Vi e (t ) 

 ≤ σ 0i ,
+
+ ηi ⋅
+ max
+
+ ηi ⋅
( z) +

t
Ii
Ai
Avi
I
A
Av
i
i
i


66
− s ir ( z ) −
s ir ( z ) +
 M r (t ) ⋅ z N ie (t )
M ir ⋅ z N ir
Vr
V e (t ) 
 ≤ σ 0i ,
−
− η i ⋅ i − min i
+
+ ηi ⋅ i

t
Ii
Ai
Avi
I
A
Av
i
i
i 

 M r (t ) ⋅ z N ie (t )
M ir ⋅ z N ir
Vr
V e (t ) 
 ≤ σ 0i ,
+
− η i ⋅ i + max i
+
− ηi ⋅ i

t
Ii
Ai
Avi
I
A
Av
i
i
i 

− s ir ( z ) −
 M r (t ) ⋅ z N ie (t )
M ir ⋅ z N ir
Vr
V e (t ) 
 ≤ σ 0i .
−
+ η i ⋅ i − min i
+
− ηi ⋅ i

t
Ii
Ai
Avi
I
A
Av
i
i
i 

(3.5.12)
Jak widaæ na rysunku 3.5.4 spe³nienie tych warunków w ka¿dym punkcie przekroju
jest zapewnione przez ich spe³nienie w punktach 1, 2, 3 i 4. St¹d warunki na przystosowanie uk³adu mog¹ byæ przedstawione w postaci
á 
 A, C, Q max   r  R 

 ⋅ Y  ≤   ,
− A, − C, − Q min   1  R 
 
Y1r 
Q1,max 
α1 
C1 




gdzie: A = diag[Ari ] , α =  M  , C =  M  , Y r =  M  , Q max =  M
,
 


r


α k 
C k 
Q k ,max 
Ynh 
Q min
Q1,min 


= M
,
Q k ,min 


 Moi − Mei 
 Mei 




 Moi − Mei 
 Mei 
 Moi − Mei 
 Mei 
R 1 




Moi − Mei 
Mei 




R =  M  , Ari = 
 , R i =  No  ,
Noi
R k 


 i

 Noi
 Noi 




 − Noi 
 Noi 
 − Noi 
 Noi 
(3.5.13)
1 Wei
1 Wei
 1
 M i + N i ⋅ A + η1i ⋅ V i ⋅ Av ,
i
i

1 Wei
1 Wei
 1
− η1i ⋅ V i ⋅
,
 M i + Ni ⋅
A
Av
i
i

 1
1 Wei
1 We
+ η2 i ⋅ V i ⋅ i ,
M i − N i ⋅
Ai
Avi

 1
1 We
1 We
 M i − N i ⋅ i − η2 i ⋅ V i ⋅ i ,
Ai
Avi

Ci = 
1
1 A

N i + η3i ⋅ V i ⋅ i ,
Avi


1
1 A

N i − η3i ⋅ V i ⋅ i ,

Avi

1
1 A

N i + η4 i ⋅ V i ⋅ i ,

Avi

1
1 Ai

,
N
i − η4 i ⋅ V i ⋅

Avi

Q i ,max
nh
nh We 
Wei
+ η1i ⋅ V i ⋅ i 
Ai
Avi

nh Wei
nh Wei 
+ Ni ⋅
− η1i ⋅ V i ⋅

Ai
Avi 
nh We
nh We 
− N i ⋅ i + η2 i ⋅ V i ⋅ i 
Ai
Avi 
nh We
nh We 
− N i ⋅ i − η2 i ⋅ V i ⋅ i 
Ai
Avi  ,

nh
nh
A

N i + η3i ⋅ V i ⋅ i
Avi


nh
nh
A

N i − η3i ⋅ V i ⋅ i

Avi

nh
nh
A

N i + η4 i ⋅ V i ⋅ i

Avi

nh
nh
Ai

η
−
⋅
⋅
Ni
4i V i

Avi

nh
L, M i + N i ⋅
nh
L, M i
nh
L, M i
nh
L, M i
L,
L,
L,
L,

 e
Wei  
e Wei
+ η1i ⋅ Vi e ⋅
 max  M i + N i ⋅

Ai
Avi  




 max  M e + N e ⋅ Wei − η ⋅ V e ⋅ Wei  
i
i
i
1i

Ai
Avi  



 e

e Wei
e Wei  
+ η 2i ⋅ Vi ⋅

 max  M i − N i ⋅
Ai
Avi  




We
We  
 max  M ie − N ie ⋅ i − η 2 i ⋅ Vi e ⋅ i  
Ai
Avi  


=
,
 e Wei


e Wei 
+ η3i ⋅ Vi ⋅
max  N i ⋅
 

A
Av
i
i 





 e Wei
e Wei 
− η 3i ⋅ Vi ⋅
 max  N i ⋅
 
Ai
Avi  




 max  N e ⋅ Wei + η ⋅ V e ⋅ Wei  
 i

i
4i

Ai
Avi  





 e Wei

We
− η 4 i ⋅ Vi e ⋅ i  
 max  N i ⋅
Ai
Avi  


67
68
Q i ,min

 e
Wei
e Wei
+ η1i ⋅ Vi e ⋅
 min  M i + N i ⋅
Ai
Avi



 min  M e + N e ⋅ Wei − η ⋅ V e ⋅ Wei
i
i
i
1i

Ai
Avi


 e

Wei
e Wei
+ η1i ⋅ Vi e ⋅
 min  M i − N i ⋅
A
Avi
i




Wei
Wei
 min  M ie − N ie ⋅
− η1i ⋅ Vi e ⋅
Ai
Avi


=

Wei
Wei 

+ η 3 i ⋅ Vi e ⋅
min  N ie ⋅


Ai
Avi 




We
We 
 min  N ie ⋅ i − η 3i ⋅ Vi e ⋅ i 
Ai
Avi 



 min  N e ⋅ Wei + η ⋅ V e ⋅ Wei 
 i

i
4i

Ai
Avi 



 e Wei
We 
− η 4 i ⋅ Vi e ⋅ i 
 min  N i ⋅
A
Avi 

i

Moi
Mei
Nei
Avi
Ai
σ0i
αi

 σ ji
η ji = 
 τi
σ

 + 3 − ji ,
τi




 









,













graniczna sprê¿ysta si³a pod³u¿na przekroju,
pole przekroju,
granica plastycznoci materia³u,
parametr pola naprê¿eñ resztkowych samozrównowa¿onych
w przekroju,
Mir, Nir, Vir moment resztkowy, si³a osiowa resztkowa i si³a tn¹ca resztkowa
pozostaj¹ce w równowadze z obci¹¿eniem zerowym,
σ 1i
=
τi
2
(Moi − Mei )⋅ α i + M ir + N ir ⋅ Wei
Ai
Vi + Vi (t )
r
e
+ M ie (t ) + N ie (t ) ⋅
Wei
Ai
⋅
Avi
,
Wei
σ 2i
=
τi
69
− (Moi − Mei )⋅ α i − M ir + N ir ⋅
Wei
We
− M ie (t ) + N ie (t ) ⋅ i
Ai Avi ,
Ai
⋅
r
e
Wei
Vi + Vi (t )
σ 3i Noi ⋅ α i + ⋅ N ir + N ie (t ) Avi σ 4i − Noi ⋅ α i + ⋅ N ir + N ie (t ) Avi
⋅
=
⋅
=
,
,
τi
τi
Ai
Ai
Vi r + Vi e (t )
Vi r + Vi e (t )
i = 1, 2, ..., k.
W zwi¹zkach (3.5.13) wykorzystano, ¿e momenty resztkowe, si³y tn¹ce resztkowe
i si³y osiowe resztkowe mog¹ byæ wyra¿one przez resztkowe si³y hiperstatyczne Yjr (j =
1, 2,..., nh)
nh
nh
nh
M ir = ∑ M i ⋅ Y jr , N ir = ∑ N i ⋅ Y jr , Vi r = ∑ V i ⋅ Y jr ,
j =1
j
j =1
j
j =1
j
(3.5.14)
gdzie: Yjr
si³y hiperstatyczne okrelaj¹ce pola resztkowych si³ przekrojowych,
j
j
j
M i , V i , N i moment zginaj¹cy, si³a tn¹ca i si³a osiowa w przekroju wywo³ane jednostkow¹ si³¹ hiperstatyczn¹ Yjr = 1 w izostatycznym
uk³adzie podstawowym,
nh
stopieñ statycznej niewyznaczalnoci uk³adu.
3.5.3. Przekroje typu dwuteowego
3.5.3.1. Zginanie i cinanie
Uwzglêdniaj¹c w stanie granicznym przekroju typu dwuteowego prêta zginanego
i cinanego naprê¿enia przedstawione na rys. 3.5.5 (w ka¿dym punkcie przekroju
σ 2 ( z ) + 3 ⋅ τ 2 ( z ) = σ 02 ), okrelono dwuparametrowe pole naprê¿eñ resztkowych samozrównowa¿onych w przekroju pokazane na rys. 3.5.6 a, b.
Naprê¿enia sk³adowe w przekroju typu dwuteowego prêta zginanego i cinanego
w stanie sprê¿ysto-plastycznym przedstawiono na rys. 3.5.6.
Jeli uwzglêdni siê, ¿e dla spe³nienia warunków w postaci (3.5.7) w ka¿dym punkcie przekroju wystarczy ich spe³nienie w punktach 1, 2, 3, 4, 5 i 6 (rys. 3.5.6), warunki
Melana na przystosowanie uk³adu o przekrojach typu dwuteowego mo¿na przedstawiæ
w postaci
α 
 
C, Q max   β   R 
 A, B,

 r ≤  ,
 − A, − B, − C, − Q min   Y   R 
 
 1 
(3.5.15)
70
a)
b)
σ (z )
τ (z )
−
h
⋅
M
hw
x
+
V
+
σ0
z
Rys. 3.5.5. Naprê¿enia w stanie granicznym ( σ 2 ( z ) + 3 ⋅ τ 2 ( z ) = σ 02 ) w przekroju
typu dwuteowego (rys. 3.5.2) prêta zginanego i cinanego
Fig. 3.5.5. Stresses in the limit state ( σ 2 ( z ) + 3 ⋅τ 2 ( z ) = σ 02 )
in the I-section (Fig. 3.5.2) of the bending and shearing bar
a)
 Mei hwi


−
⋅ σ 0i  ⋅ β i
Ww
h
i
i


 Moi


− σ 0i  ⋅ α i
σ 0i ⋅ β i
 Wei

2
−
−
h
4
σ 0i ⋅ wi β i +
hi
h
hwi
d)
M ir
Wei
+
 Moi


− σ 0i  ⋅ α i
We
 i

e)
f)
M ie (t )
Wei
Vi r
Avi
−
Vie (t )
Avi
−
M ir
σ 0i ⋅ α i +
− σ 0i ⋅ α i
5
6
3
1
z
c)
b)
M ie (t )
+
+
V ir
h
− σ 0i ⋅ wi β i
hi
+
σ 0i ⋅ β i
+
M ir
Wei
x
e
Vi (t )
+
r
Vi
Avi
M ie (t )
We
i
Vi e (t )
Avi
Rys. 3.5.6. Naprê¿enia w przekroju typu dwuteowego prêta zginanego i cinanego
Fig. 3.5.6. Stresses in the I-section of the bending and shearing bar
Y1r 
α1 
 β1 
C1 
 
gdzie: A = diag[Ari ] , B = diag[Bi], α =  M  , β =  M  , C =  M  , Y r =  M  ,
 
 r
α k 
 β k 
C k 
Ynh 
Q max
Q1,max 
Q1,min 




= M
 , Q min =  M
,
Q k ,max 
Q k ,min 




 Mei 


R 1 
 Mei 
R =  M  , R i =  Mei  ,


R k 
 Voi 
 Vo 
 i
Mei
 Moi − Mei 



  We
hwi
hw
i
− Mei 
 Moi ⋅
− 
− i

h
hi
i


  Wwi
hwi
 , B =   We
Ari = 
hw
i
i
 Moi ⋅ h − Mei 
− 
− i

i


hi
  Wwi
Voi



0



Voi


0



 1 hwi
M i ⋅ h
i

 1 hwi
⋅
Ci =  M i h
i







Qi,max
1
nh hw
nh
Wei
, L, M i ⋅ i + η3i ⋅ V i
Avi
hi
1
nh hw
nh
Wei
, L, M i ⋅ i − η3i ⋅ V i
Avi
hi
− η3i ⋅ V i ⋅
3
η5i
3
nh
Mi
1
+ η3i ⋅ V i ⋅
η5i



 ⋅ Mei 


,

 ⋅ Mei 





L,
Mi,
1
71
⋅V i ,
L,
1
⋅V i ,
L,
η5i
3
η5i
3
nh
⋅V i
nh
⋅V i


Wei 
⋅
Avi 
We 
⋅ i ,
Avi 










max M ie
min M ie




 e hwi
 e hwi


e Wei  
e Wei  
max  M i ⋅ h + η3i ⋅Vi ⋅ Av 
min  M i ⋅ h + η3i ⋅ Vi ⋅ Av 
i
i
i
i 











hw
We 
hw
We 
max  M ie ⋅ i − η3i ⋅ Vie ⋅ i 
 min  M ie ⋅ i − η3i ⋅ Vie ⋅ i 
=
hi
Avi  , Qi,min = 
hi
Avi  ,






 η5i e 
 η5i e 




⋅ Vi 
⋅ Vi 
max 
min 




3
3












 η5i e 
 η5i e 
⋅ Vi 
⋅ Vi 
max 
min 




 3

 3





72
Moi
Mei
Wwi
Avi
αi , β i

wskanik wytrzyma³oci na zginanie rodnika,
parametry pól naprê¿eñ resztkowych samozrównowa¿onych w przekroju,
r
r
Mi , Vi moment resztkowy i si³a tn¹ca resztkowa pozostaj¹ce w równowadze
z obci¹¿eniem zerowym,
 σ ji
η ji = 
 τi
2
σ

 + 3 − ji ,

τi

σ 5i Voi ⋅ 3 ⋅ α i
= r
,
τi
Vi + Vi e (t )


 We hw 
hw
hw
hw
 Moi ⋅ i − Mei  ⋅ α i +  i − i  ⋅ Mei ⋅ β i + M ir ⋅ i + M ie (t) ⋅ i

hi
hi
hi Avi
σ 3i 

 Wwi hi 
,
=
⋅
τi
Wei
Vir + Vie (t)
i = 1, 2,..., k.
3.5.3.2. Zginanie, rozci¹ganie i cinanie
Naprê¿enia sk³adowe w przekroju typu dwuteowego prêta zginanego, rozci¹ganego
i cinanego w stanie sprê¿ysto-plastycznym przedstawiono na rys. 3.5.7.
Jeli uwzglêdni siê, ¿e dla spe³nienia warunków postaci (3.5.12) w ka¿dym punkcie
przekroju wystarczy ich spe³nienie w punktach 1, 2, 3, 4, 5 i 6 (rys. 3.5.6), to warunki
a)
b)
 Moi


− σ 0i  ⋅ α i
We
σ 0i ⋅ β i
 i

2
−
−
4
+
h
hwi
1
z
d)
M ir
N ir
e)
r
Vi
Avi
Ai
Wei
−
σ 0i ⋅
+
hwi
βi
hi
g)
h)
N ie (t )
Vi e (t )
Avi
Ai
−
+
M ie (t ) +
+
N ir
+
f)
M ie (t )
Wei
−
M ir
σ 0i ⋅ α i +
5
6
−
3
c)
+
+
N ie (t )
V ir
x
e
Vi (t )
+
 Mei hwi


−
⋅ σ 0i  ⋅ β i
 Wwi hi

Rys. 3.5.7. Naprê¿eñ w przekroju typu dwuteowego prêta zginanego, rozci¹ganego i cinanego
Fig. 3.5.7. Stresses in the I-section of the bending, tensioning and shearing bar
73
Melana na przystosowanie uk³adu o przekrojach typu dwuteowego mo¿na przedstawiæ
w postaci
α 
 
 A, B, C, Q max   β   R 

 r ≤  ,
 − A, − B, − C, − Q min   Y   R 
 
 1 
(3.5.16)
Y1r 
α1 
 β1 
C1 
 
gdzie: A = diag[Ari ] , B = diag[Bi], α =  M  , β =  M  , C =  M  , Y r =  M  ,
 
 r
α k 
 β k 
C k 
Ynh 
Q1,max 
Q1,min 
R1 
R 1 






 
R =  M  , Q max =  M
 , Q min =  M
, R =  M ,
Q k ,max 
Q k ,min 
 R k 
 R k 





 Moi − Mei 

 Mo − Me


i
i
Mei 


  Wei


Mo ⋅ hwi − Me 
−  Ww
Me
i
 i
 i h
i
 
i
Mei 




We
i


Moi ⋅ hwi − Mei 
− 
Mei 
Ww


hi
i
 
Me 


  Wei
hw
i
i
 , Ar = Moi ⋅
Ri = 
− Mei  , B i = − 
i
Mei 
hi


  Wwi




hw
  Wei
i
− Mei 
 Noi 
Moi ⋅
− 
h
 Noi 
i


  Wwi


Noi



 Noi 



No
i
 No 



 i


− Noi




− Noi



Mei
Mei
hw
− i
hi
hw
− i
hi
hw
− i
hi
hw
− i
hi
0
0
0
0





 ⋅ Mei 




 ⋅ Mei 




 ⋅ Mei  ,




 ⋅ Mei 








74






 1
M i

 1
M i

 1
M i

Ci = 
 M 1i














1
W ei
, L, M
Ai
nh
i
+ Ni ⋅
1
W ei
, L, M
Ai
nh
i
− Ni ⋅
M
1
i
+ Ni ⋅
M
1
i
− Ni ⋅
nh
W ei
Ai
nh
W ei
Ai
⋅
1 W ei
1 W ei
hw i
+ Ni ⋅
+ η 3i ⋅ V i ⋅
, L, M
hi
Ai
Av i
nh
i
⋅
n h W ei
n h W ei
h wi
+ Ni ⋅
+ η 3i ⋅ V i ⋅
hi
Ai
Av i
⋅
1 W ei
1 W ei
hw i
+ Ni ⋅
− η 3i ⋅ V i ⋅
, L, M
hi
Ai
A vi
nh
i
⋅
n h W ei
n h W ei
hw i
+ Ni ⋅
− η 3i ⋅ V i ⋅
hi
Ai
Av i
⋅
1 W ei
1 W ei
hw i
− Ni ⋅
+ η 4i ⋅ V i ⋅
, L, M
hi
Ai
Av i
nh
i
⋅
n h W ei
n h W ei
hw i
− Ni ⋅
+ η 4i ⋅ V i ⋅
hi
Ai
Av i
⋅
1 W ei
1 W ei
hw i
− Ni ⋅
− η 4i ⋅ V i ⋅
, L, M
hi
Ai
A vi
nh
i
⋅
n h W ei
n h W ei
hw i
− Ni ⋅
− η 4i ⋅ V i ⋅
hi
Ai
Av i
Q i ,max
1
1
Ai
,
Av i
L,
Ni
1
1
Ai
,
Av i
L,
Ni
1
1
Ai
,
Av i
L,
Ni
1
1
Ai
,
Av i
L,
Ni
N i + η 5i ⋅ V i ⋅
N i − η 5i ⋅ V i ⋅
N i + η 6i ⋅ V i ⋅
N i − η 6i ⋅ V i ⋅
nh
Ai
A vi
nh
Ai
Av i
nh
Ai
Av i
nh
Ai
Av i
nh
+ η5i ⋅ V i ⋅
nh
− η 5i ⋅ V i ⋅
nh
+ η 6i ⋅ V i ⋅
nh
− η 6i ⋅ V i ⋅


Wei 
max  M ie + N ie ⋅


Ai 




Wei 

max  M ie − N ie ⋅


Ai 


 e hwi

e Wei
e Wei
 max  M i ⋅ h + N i ⋅ A + η3 i ⋅ Vi ⋅ Av
i
i
i




hw
Wei
Wei
 max  M ie ⋅ i + N ie ⋅
− η3i ⋅ Vi e ⋅
h
A
Avi


i
i

 e hwi

e Wei
e Wei
 max  M i ⋅ h − N i ⋅ A + η 4 i ⋅ Vi ⋅ Av
i
i
i

=


hw
Wei
Wei
− η 4 i ⋅ Vi e ⋅
 max  M ie ⋅ i − N ie ⋅
h
A
Avi

i
i



Wei
Wei 

+ η 5 i ⋅ Vi e ⋅
max  N ie ⋅


A
Avi 
i




Wei
Wei 
− η5 i ⋅ Vi e ⋅
max  N ie ⋅


Ai
Avi 




Wei
Wei 

+ η 6 i ⋅ Vi e ⋅
max  N ie ⋅


A
Avi 
i



Wei
Wei 

− η 6 i ⋅ Vi e ⋅
max  N ie ⋅


Ai
Avi 



















,

































,















Q i ,min


Wei 
min  M ie + N ie ⋅


Ai 




Wei 

min  M ie − N ie ⋅


Ai 


 e hwi

e Wei
e Wei
 min  M i ⋅ h + N i ⋅ A + η 3i ⋅ Vi ⋅ Av
i
i
i




hwi
Wei
Wei
 min  M ie ⋅
+ N ie ⋅
− η 3i ⋅ Vi e ⋅
hi
Ai
Avi



 e hwi

e Wei
e Wei
 min  M i ⋅ h − N i ⋅ A + η 4 i ⋅ Vi ⋅ Av
i
i
i

=

 e hwi
We
We
i
i
− η 4 i ⋅ Vi e ⋅
− N ie ⋅
 min  M i ⋅
h
A
Av

i
i
i



Wei
Wei 

+ η 5 i ⋅ Vi e ⋅
min  N ie ⋅


A
Avi 
i




Wei
Wei 
− η 5 i ⋅ Vi e ⋅
min  N ie ⋅


Ai
Avi 




Wei
Wei 

+ η 6 i ⋅ Vi e ⋅
min  N ie ⋅


Ai
Avi 



Wei
Wei 

− η 6 i ⋅ Vi e ⋅
min  N ie ⋅


Ai
Avi 


Moi
Mei
Wwi
Avi
αi , βi

75

















,

















wskanik wytrzyma³oci na zginanie rodnika,
parametry pól naprê¿eñ resztkowych samozrównowa¿onych w przekroju,
Mir, Vir moment resztkowy i si³a tn¹ca resztkowa pozostaj¹ce w równowadze
z obci¹¿eniem zerowym,
 σ ji
η ji = 
 τi
2
σ

 + 3 − ji ,

τi

σ 5i Noi ⋅ α i + N ir + N ie (t ) Avi
=
⋅
,
τi
Ai
Vi r + Vi e (t )
σ 6i − Noi ⋅ α i + N ir + N ie (t ) Avi
=
⋅
,
τi
Ai
Vi r + Vi e (t )
76


 We hw 
hw
hw
hw
 Moi ⋅ i − Mei  ⋅α i −  i − i  ⋅ Mei ⋅ β i + M ir ⋅ i + M ie (t) ⋅ i
hi Avi
hi
hi
σ 3i 

 Wwi hi 
=
⋅
,
τi
Wei
Vir + Vie (t)
Nir + Nie (t ) Avi
,
+ r
⋅
Vi + Vie (t) Ai


 We hw 
hw
hw
hw
−  Moi ⋅ i − Mei  ⋅ αi +  i − i  ⋅ Mei ⋅ βi − Mir ⋅ i − Mie (t ) ⋅ i
hi
hi
hi Avi
σ 4i

 Wwi hi 
= 
⋅
τi
Wei
Vir + Vie (t)
+
Nir + Nie (t) Avi
,
⋅
Vir + Vie (t ) Ai
i = 1, 2,..., k.
3.5.4. Quasi-linearyzacja warunku plastycznoci na poziomie przekroju
Zdecydowanie prostsze warunki na przystosowanie przekrojów zginanych z uwzglêdnieniem wp³ywu cinania, jednak mniej dok³adne, mo¿na otrzymaæ dokonuj¹c quasi-linearyzacji na poziomie przekroju. Warunek graniczny dla przekroju mo¿e byæ przedstawiony w postaci [116]
 Mi

 Moi
2
2

V 
 +  i  − λi

 Voi 
M
⋅  i
 Moi
2
2
  Vi 
 ⋅ 
 = 1 ,
  Voi 
(3.5.17)
gdzie: M i = M ie + M ir aktualny moment zginaj¹cy w przekroju,
Vi = Vie + Vir aktualna si³a tn¹ca w przekroju,
Moi
graniczny moment plastyczny przekroju w przypadku czystego zginania,
Voi
graniczna plastyczna si³a tn¹ca w przypadku czystego cinania,
λi
wspó³czynnik zale¿ny od kszta³tu przekroju.
77
Dla przekroju prostok¹tnego λi = 0, dla przekroju dwuteowego
λi =
2,9 − 2,7 β i
 β 
31 − i 
3

2
, βi =
1
Af 
tf 

1+ 4⋅
⋅ 1 +
Aw  hw 
,
(3.5.18)
gdzie: Af pole przekroju stopki,
Aw pole przekroju rodnika,
tw rednia gruboæ rodnika,
hw wysokoæ rodnika.
Warunek (3.5.17) mo¿e byæ przedstawiony w dwóch postaciach równowa¿nych
 M 
1 −  i 
 Moi 
M i2 =
 M
1 − λi ⋅  i
 Moi
2



2
V 
1 −  i 
 Voi 
⋅ (Moi )2 , Vi2 =
V
1 − λi ⋅  i
 Voi
2



2
⋅ (Voi )2 ,
(3.5.19)
sk¹d wynika zredukowana wp³ywem cinania wartoæ granicznego momentu plastycznego oraz zredukowana wp³ywem zginania wartoæ granicznej plastycznej si³y poprzecznej dla przekroju
Movi = vi (t ) ⋅ Moi , Vomi = mi (t ) ⋅ Voi ,
(3.5.20)
2
gdzie
2
 V r + Vie (t ) 
 M r + M ie (t ) 


1−  i
1−  i




Vo
Mo
i
i




=
,
.
(
)
vi (t ) =
m
t
i
2
2
 Vir + Vie (t ) 
 M ir + M ie (t ) 


1 − λi ⋅ 
1 − λi ⋅ 




Vo
Mo
i
i




Wykorzystuj¹c zwi¹zki (3.4.20), mo¿na warunki na przystosowanie przekroju przedstawiæ w postaci quasi-liniowej:
dla przekrojów o przewa¿aj¹cym wp³ywie zginania
M ir + max M ie ≤ v i (max M ie ) ⋅ Moi ,
− M ir − min M ie ≤ v i (min M ie ) ⋅ Moi ,
(
)
max M ie − min M ie ≤ vi (max M ie ) + vi (min M ie ) ⋅ Mei ,
(3.5.21)
78
dla przekrojów o przewa¿aj¹cym wp³ywie cinania
Vi r + max Vi e ≤ mi (max Vi e ) ⋅ Voi ,
− Vi r − min Vi e ≤ mi (min Vi e ) ⋅ Voi ,
(
)
(3.5.22)
max Vi − min Vi ≤ mi (max Vi ) + mi (min Vi ) ⋅ Vei ,
e
e
e
e
gdzie: vi (max M ie ) , vi (min M ie ) wspó³czynniki obliczone dla wartoci Vie sprzê¿onych odpowiednio z max M ie lub min M ie ,
e
e
mi (max Vi ) , mi (min Vi ) wspó³czynniki obliczone dla wartoci M ie sprzê¿onych odpowiednio z max Vie lub min Vie ,
Vei =
Avi ⋅ σ 0
,
3
Avi czêæ pola przekroju przenosz¹ca naprê¿enia tn¹ce.
Sformu³owania ograniczeñ (3.5.21) wzglêdnie (3.5.22) w ujêciu programowania liniowego mog¹ byæ przedstawione w postaci (3.4.10) i (3.4.11), a zapas bezpieczeñstwa
w postaci (3.4.8).
3.6. Algorytm okrelania zapasu bezpieczeñstwa
W punktach 3.3, 3.4 i 3.5 przedstawiono bezpieczne linearyzacje statycznych warunków przystosowania oraz sformu³owania tych warunków w ujêciu programowania
liniowego. Wszystkie przedstawione sformu³owania mog¹ byæ zapisane w postaci (3.2.1).
Wykorzystuj¹c te sformu³owania mo¿na, jak pokazano w punkcie 3.2, wyznaczaæ zapasy bezpieczeñstwa wzglêdem okrelonych postaci utraty zdolnoci konstrukcji do przenoszenia obci¹¿eñ umo¿liwiaj¹ce oszacowania bezpieczeñstwa konstrukcji. Sformu³owania te zawieraj¹ macierze reprezentuj¹ce cztery grupy sk³adników: naprê¿enia resztkowe samozrównowa¿one w przekrojach A á , resztkowe si³y przekrojowe pozostaj¹ce
w równowadze z obci¹¿eniem zerowym AY, obci¹¿enie Qmax, Qmin i nonoæ R. Elementy tych macierzy okrelane s¹ na podstawie odpowiednich wzorów przedstawionych
w punktach 3.3, 3.4 lub 3.5, zale¿nych od rozpatrywanego przypadku. Gdy nie jest uwzglêdniany wp³yw naprê¿eñ tn¹cych, wspó³czynniki ograniczeñ okrelane s¹ bezporednio
lub iteracyjnie wzglêdem wspó³rzêdnych okrelaj¹cych po³o¿enia przekrojów krytycznych w przês³ach prêtów. Gdy uwzglêdniany jest wp³yw naprê¿eñ tn¹cych, wspó³czynniki ograniczeñ okrelane s¹ iteracyjnie wzglêdem stosunków naprê¿eñ normalnych do
statycznych. W praktyce wp³yw naprê¿eñ tn¹cych mo¿e byæ istotny w konstrukcjach
szczególnych, na przyk³ad. w przypadku du¿ych si³ skupionych dzia³aj¹cych w pobli¿u
podpór, w przypadku belek wysokich (o stosunku wysokoci do rozpiêtoci wiêkszej od
1/10) itp.
79
Elementy macierzy A á i R okrelane s¹ bezporednio przez zmienne wyjciowe.
W celu wyznaczenia elementów macierzy AY (w punktach 3.4 i 3.5 oznaczono je symbolem C) niezbêdne jest wyra¿enie resztkowych si³ przekrojowych w przekrojach krytycznych przez zmienne niezale¿ne, co mo¿na wykonaæ na podstawie rozwi¹zañ statycznie wyznaczalnego modelu uk³adu od jednostkowych si³ hiperstatycznych Yj = 1.
Najbardziej pracoch³onne jest okrelanie wektorów Qmax, Qmin. Niezbêdne jest wykonanie symbolicznych rozwi¹zañ uk³adu od jednostkowych sk³adowych obci¹¿eñ i nastêpnie, w drodze odpowiednich superpozycji tych rozwi¹zañ, okrelenie wspó³czynników tych wektorów jako funkcji parametrów charakteryzuj¹cych konstrukcjê i obci¹¿enie. Mo¿na tu zastosowaæ dowoln¹ metodê rozwi¹zywania uk³adów hiperstatycznych
jak metodê si³, metodê przemieszczeñ, metodê mieszana, metodê elementów skoñczonych i inne. Jest to zadanie wykonalne dla du¿ej klasy praktycznie wa¿nych p³askich
konstrukcji prêtowych takich jak belki ci¹g³e, kratownice i ramy przy u¿yciu narzêdzi
komputerowych umo¿liwiaj¹cych obliczenia symboliczne.
Stosuj¹c na przyk³ad metodê si³ do okrelania wektorów Qmax, Qmin jako funkcji
zmiennych bazowych X = (k1 ,..., k n , F1 ,..., Fm ) nale¿y si³y przekrojowe w statycznie
wyznaczalnym modelu uk³adu od jednostkowych si³ hiperstatycznych Yj = 1 i od jednostkowych obci¹¿eñ zewnêtrznych Fj = 1 przedstawiæ w postaci funkcji parametrów okrelaj¹cych konstrukcjê ki. Uk³ad równañ metody si³ przyjmuje postaæ
D(k1 ,..., kn ) ⋅  Y1 (k1 ,..., kn ) ⋅ F1 ,..., Y m (k1 ,..., k n ) ⋅ Fm 
+  D1 ( k1 ,..., kn ) ⋅ F1 ,..., Dm ( k1 ,..., kn ) ⋅ Fm  = 0,
(3.6.1)
gdzie: D(k1 ,..., k n ) macierz podatnoci,
[Y1 (k1 ,..., kn ),..., Y m ( k1 ,..., kn )] macierz niewiadomych z³o¿ona z wektorów odpowiadaj¹cych poszczególnym parametrom obci¹¿enia Fp = 1,
[D1 (k1 ,..., kn ),..., Dm (k1 ,..., kn )] macierz wyrazów wolnych z³o¿ona z wektorów
odpowiadaj¹cych poszczególnym parametrom obci¹¿enia Fp = 1.
Korzystaj¹c ze wzorów Kramera si³y hiperstatyczne mo¿na przedstawiæ w postaci
[Y1 (k1 ,..., kn ),..., Y m (k1 ,..., kn )] = −
[ W1 (k1 ,..., kn ),..., W m (k1 ,..., kn )]
⋅
W (k1 ,..., kn )
gdzie: W ( k1 ,..., k n ) = det[ D( k1 ,..., k n )] wyznacznik macierzy podatnoci,
W p (k ,..., k ) 
n 
 1 1
p
W (k1 ,..., kn ) = 
M
,
 p

Wnh (k1 ,..., kn ) 
(3.6.2)
80
Wi p (k1 ,..., kn ) wyznacznik macierzy podatnoci z zast¹pion¹ i-t¹ kolumn¹ przez
wektor D p (k1 ,..., kn ) .
Si³y w przekrojach krytycznych wywo³ane obci¹¿eniem Fp (p = 1,..., m) mo¿na przedstawiæ w postaci funkcji
(
(−S(k ,..., k ) ⋅ W
=
)
S p (k1 ,..., kn , Fp ) = S (k1 ,..., kn ) ⋅ Y p (k1 ,..., kn ) + S op (k1 ,..., kn ) Fp
1
=
p
n
(k1 ,..., kn ) + S op (k1 ,..., kn ) ⋅ W (k1 ,..., kn )
W (k1 ,..., kn )
U p (k1 ,..., kn )
Fp ,
W (k1 ,..., kn )
)F
p
(3.6.3)
gdzie: S ( k1 ,..., k n )
macierz si³ przekrojowych w przekrojach krytycznych wywo³anych jednostkowymi si³ami hiperstatycznymi,
S op (k1 ,..., kn ) wektor si³ przekrojowych w uk³adzie podstawowym w przekrojach krytycznych wywo³anych obci¹¿eniem Fp = 1.
Zale¿nie od analizowanego przypadku, wykorzystuj¹c zwi¹zki przedstawione
w punktach 3.3, 3.4 lub 3.5 i zwi¹zki przedstawione w punkcie 3.2 otrzymuje siê zapas
bezpieczeñstwa w postaci funkcji zmiennych bazowych
Z=
m
∑ Z j (k1,..., kn ) ⋅ Fp .
(3.6.4)
p =1
Na rysunku 3.6.1 przedstawiono schemat blokowy algorytmu oceny bezpieczeñstwa
konstrukcji. Zasadniczymi elementami tego algorytmu s¹: okrelanie elementów ograniczeñ statycznych teorii przystosowania w ujêciu programowania liniowego, okrelanie zapasów bezpieczeñstwa wzglêdem poszczególnych postaci awarii i okrelanie wskaników bezpieczeñstwa. Jako procedury wydzielono okrelanie elementów macierzy
reprezentuj¹cych obci¹¿enie w ograniczeniach statycznych przystosowania (schemat blokowy na rys. 3.6.2), okrelanie zapasów bezpieczeñstwa wzglêdem poszczególnych postaci awarii (schemat blokowy na rys. 3.6.3) i wyznaczanie wskaników niezawodnoci, które mo¿e byæ wykonane przy u¿yciu algorytmów FORM lub SORM lub te¿
z zastosowaniem algorytmu iteracyjnego zaproponowanego w punkcie 4.9.
Jest oczywiste, ¿e przedstawiony algorytm mo¿e byæ wykorzystywany jako procedura numerycznego generowania zapasu bezpieczeñstwa czy okrelania charakterystyk
probabilistycznych parametrów odpowiedzi konstrukcji z zastosowaniem na przyk³ad
metod symulacyjnych, powierzchni odpowiedzi, czy metod linearyzacyjnych.
Algorytm mo¿e te¿ byæ wykorzystywany w wersjach uproszczonych polegaj¹cych
na pomijaniu losowego charakteru niektórych parametrów na wszystkich etapach obliczeñ lub na niektórych etapach obliczeñ. Na przyk³ad jak wynika z obliczeñ wykona-
81
nych przez autora, wp³yw losowego charakteru zmiennych dualnych mo¿e byæ pominiêty. Istotne uproszczenie analizy mo¿na by uzyskaæ, pomijaj¹c wp³yw losowego charakteru parametrów charakteryzuj¹cych konstrukcjê na etapie wyznaczania sprê¿ystych
si³ przekrojowych od obci¹¿eñ. Wp³yw ten wydaje siê w niektórych przypadkach pomijalny, zw³aszcza wp³yw losowego charakteru parametrów charakteryzuj¹cych przekroje, a w mniejszym stopniu wp³yw d³ugoci elementów. Wp³ywy te zale¿¹ od parametrów rozrzutu zmiennych bazowych i w przypadku ich pomijania musi byæ dokonywana ocena pomijanego wp³ywu, gdy¿ pomijanie losowego charakteru zmiennych prowadzi do oszacowañ niebezpiecznych.
W razie du¿ych trudnoci z uzyskaniem macierzy reprezentuj¹cych obci¹¿enie
w postaci funkcji zmiennych bazowych mo¿e byæ stosowane podejcie iteracyjne,
START
Okrelenie zbioru przekrojów krytycznych
Deklaracja danych, w tym bazowych zmiennych losowych X
Przyjêcie izostatycznego modelu uk³adu
przez zast¹pienie nh wiêzi niewiadomymi si³ami Yj
Wyznaczenie si³ przekrojowych w przekrojach
krytycznych od jednostkowych si³ Yj
Okrelenie, na podstawie odpowiednich wzorów, wspó³czynników
ograniczeñ statycznych reprezentuj¹cych naprê¿enia resztkowe i nonoci
Okrelenie wspó³czynników ograniczeñ statycznych
reprezentuj¹cych obci¹¿enie (rys. 3.6.2)
Analiza ograniczeñ statycznych prowadz¹ca do
sformu³owania zapasów bezpieczeñstwa dla
poszczególnych postaci awarii (rys. 3.6.3)
Wyznaczenie wskanika niezawodnoci
i prawdopodobieñstwa awarii uk³adu
STOP
Rys. 3.6.1. Schemat blokowy algorytmu oceny bezpieczeñstwa
Fig. 3.6.1. Flowchart of the safety estimation algorithm
82
uwzglêdniaj¹ce w ka¿dym cyklu losowy charakter tylko niektórych zmiennych (czêsto bardzo niewielu) w po³¹czeniu z iteracyjnym okrelaniem wskanika niezawodnoci. Propozycja takiego wyznaczania wskanika niezawodnoci zosta³a przedstawiona
w punkcie 4.9.
START
Przedstawienie macierzy podatnoci D(X) lub sztywnoci
K(X) w postaci funkcji zmiennych bazowych
Wyznacznik macierzy podatnoci lub sztywnoci W(X)
p=1
W przypadku stosowania metody si³
wyznaczenie si³ przekrojowwych w modelu
izostatycznym od jednostkowego obci¹¿enia Fp = 1
Przedstawienie wyrazów wolnych uk³adu równañ metody si³ D p (X)
lub metody przemieszczeñ K p (X) w postaci funkcji zmiennych bazowych
Wyznacznik macierzy podatnoci lub sztywnoci
z zast¹pion¹ kolumn¹ wektorem wyrazów wolnych W p (X)
Si³y przekrojowe od jednostkowego
obci¹¿enia Fp = 1; S p = S ⋅ W p / W + S p
p=m?
nie
p=p+1
tak
Ustalenie ekstremalnych kombinacji obci¹¿eñ dla
przekrojów krytycznych i wyznaczenie wspó³czynników
ograniczeñ statycznych reprezentuj¹cych obci¹¿enie
STOP
Rys. 3.6.2. Schemat blokowy algorytmu wyznaczania wspó³czynników
ograniczeñ statycznych reprezentuj¹cych obci¹¿enie
Fig. 3.6.2. Flowchart of the algorithm for determining the coefficients
of static constraints representing load
START
Numeryczne sformu³owanie ograniczeñ statycznych przy za³o¿eniu
rednich wartoci parametrów z ewentualnym pozostawieniem postaci
analitycznej wzglêdem wspó³rzêdnych ξ okrelaj¹cych po³o¿enia
przekrojów krytycznych w przês³ach prêtów
Rozwi¹zanie uk³adu ograniczeñ (ewentualnie iteracyjne wzglêdem ξ)
w celu wyznaczenia determonistycznie dominuj¹cej postaci awarii
Wykonanie rozwi¹zañ uk³adów ograniczeñ dotycz¹cych nh + 1
przekrojów w ka¿dym rozwi¹zaniu w celu wyznaczenia zbioru
uk³adów równañ odpowiadaj¹cych probabilistycznie istotnym
(dominuj¹cym) mechanizmom
Wykonanie rozwi¹zañ uk³adów ograniczeñ dotycz¹cych
poszczególnych przekrojów w ka¿dym rozwi¹zaniu w celu
wyznaczenia zbioru równañ odpowiadaj¹cych probabilistycznie
istotnym warunkom zmêczenia niskocyklowego
Sformu³owanie analityczne uk³adów równañ
odpowiadaj¹cych dominuj¹cym postaciom awarii
Wyznaczenie zmiennych dualnych odpowiadaj¹cych poszczególnym
postaciom awarii w drodze rozwi¹zañ dualnych uk³adów równañ
Sformu³owanie zapasów bezpieczeñstwa odpowiadaj¹cych
poszczególnym postaciom awarii w postaci funkcji zmiennych bazowych
STOP
Rys. 3.6.3. Schemat blokowy okrelania zapasu bezpieczeñstwa na podstawie
sformu³owania ograniczeñ statycznych teorii przystosowania w ujêciu programowania liniowego
Fig. 3.6.3. Flowchart of the safety margin determination based on the formulation
of the static constrains of the shakedown in terms of linear programming
83
84
4. Podstawowe miary i metody oceny bezpieczeñstwa
4.1. Wstêp
Literatura dotycz¹ca oceny niezawodnoci konstrukcji jest bogata. Pierwsze prace
z zakresu bezpieczeñstwa konstrukcji wykorzystuj¹ce rachunek prawdopodobieñstwa pojawi³y siê kilkadziesi¹t lat temu. W Polsce pionierem w tym zakresie by³ Wierzbicki
[189, 190]. Pierwsze propozycje procedur obliczeniowych s³u¿¹cych obliczeniom wspó³czynników bezpieczeñstwa, a w szczególnoci podejcie linearyzacyjne przedstawili
R¿anicyn [153, 154, 155] i Levi [94, 95, 96]. R¿anicyn proponowa³ linearyzacjê zapasu
bezpieczeñstwa poprzez rozwiniêcie tej funkcji w szereg Taylora wokó³ wartoci oczekiwanych, a Levi wokó³ punktu na hiperpowierzchni granicznej.
Miarami niezawodnoci i algorytmami ich obliczania zajmowali siê Freudenthal [51],
który wykorzystywa³ linearyzacje proponowane przez R¿anicyna i Leviego, Cornell [28,
29, 30] oraz Ang i Cornell [2], którzy jako miarê niezawodnoci proponuj¹ wskanik
niezawodnoci obliczany na podstawie wartoci oczekiwanych i wariancji zmiennych
losowych, i przedstawiaj¹ procedury jego obliczania wykorzystuj¹ce linearyzacjê proponowan¹ przez R¿anicyna.
Fundamentalne znaczenie w zakresie rozwoju miar niezawodnoci ma praca Hasofera i Linda [59] oraz prace Linda [97, 98], w których zaproponowano niezmienniczy
wskanik niezawodnoci wykorzystuj¹cy linearyzacjê Leviego i podano sposoby jego
obliczania.
Zastosowanie przez Rackwitza i Fiesslera [147] transformacji Rosenblatta [148] dowolnych zmiennych losowych na normalne standaryzowane zmienne losowe umo¿liwi³o powi¹zanie wskanika niezawodnoci HasoferaLinda z prawdopodobieñstwem awarii.
Prace Ditlevsena [36, 37], Fiesslera, Neumanna i Rackwitza [48], Chena i Linda [24],
Breitunga [19], Hohenbichlera i wspó³autorów [67, 68, 69], Abdo i Rackwitza [1], Sindla i wspó³autorów [167] doprowadzi³y do opracowania metod FORM (First Oder Reliability Method) i SORM (Second Order Reliability Method), które w powi¹zaniu
z transformacj¹ zmiennych losowych na zmienne normalne standaryzowane s¹ obecnie
najpopularniejszymi numerycznymi metodami szacowania wartoci wskanika HasoferaLinda (i prawdopodobieñstwa awarii). Nale¿y podkreliæ, ¿e zastosowanie metod
FORM i SORM wymaga znajomoci warunku (wzglêdnie warunków) granicznego
w postaci funkcji zmiennych bazowych. Metody te realizuj¹ ostatni etap analizy bez-
4.1. Wstêp
85
pieczeñstwa, to jest wyznaczanie wskanika niezawodnoci, gdy znana jest funkcja graniczna.
Oddzielny problem stanowi wyznaczanie funkcji granicznych. Stosowane s¹ ró¿ne
podejcia, na ogó³ numeryczne. Metoda powierzchni odpowiedzi (Myers [119], Myers
i Montgomery [120]) pozwala na aproksymacjê funkcji granicznej funkcj¹ analityczn¹,
gdy znany jest zbiór wartoci powierzchni granicznej. Stosowane tu mog¹ byæ ró¿ne
metody aproksymacyjne, w tym regresja liniowa lub regresja nieliniowa. Metoda powierzchni odpowiedzi z wykorzystaniem statycznych warunków teorii przystosowania
i regresji liniowej zosta³a doæ szczegó³owo przedstawiona w pracy Knabela [78]. Stosowane te¿ s¹ metody oparte na metodzie elementów skoñczonych i wykorzystuj¹ce metody symulacyjne, realizuj¹ce ca³y proces analizy w jednym etapie, daj¹c w wyniku prawdopodobieñstwo awarii. Mo¿e te¿ byæ stosowane podejcie polegaj¹ce na analitycznej
aproksymacji funkcji gêstoci rozk³adu prawdopodobieñstwa zapasu bezpieczeñstwa i na
wyznaczaniu na tej podstawie prawdopodobieñstwa awarii (Pu³a [144]).
Inne podejcie stanowi¹ metody, w których stosuje siê rozwijanie macierzy sztywnoci (podatnoci) i wyrazów wolnych w szeregi pozwalaj¹ce na okrelanie momentów
probabilistycznych odpowiedzi konstrukcji, a nastêpnie na wyznaczanie wskaników niewymagaj¹cych znajomoci rozk³adów zmiennych na przyk³ad wskanik Cornella. Jest
to metoda perturbacyjna (Hisada i Nakagiri [64, 65]) i metoda wykorzystuj¹ca rozwiniêcie macierzy sztywnoci lub podatnoci w szereg Neumanna (Yamazaki i wspó³autorzy [194]).
Z opracowañ monograficznych dotycz¹cych oceny niezawodnoci mo¿na przyk³adowo wymieniæ prace: Ben Haima [9], Biegusa [11], Bo³otina [16, 17], Ditlevsena [37],
Ditlevsena i Madsena [39], Eimera [43], Elishakoffa [44], Madsena, Krenka i Linda [100],
Murzewskiego [117, 118], Melchersa [113], Nowaka i Collinsa [127], Toft-Christensena i Bakera [186], Toft-Christensena i Murotsu [187], niadego [170], Woliñskiego
i Wróbla [191] i pracê zbiorow¹ pod redakcj¹ Sundarajana [169].
Wiêkszoæ z wymienionych prac, poza rozdzia³ami powiêconymi teorii niezawodnoci, zawiera te¿ rozdzia³y dotycz¹ce oceny bezpieczeñstwa konstrukcji w aspekcie teorii
nonoci granicznej. W tym zakresie na uwagê zas³uguj¹ te¿ prace: Kowala i Zubrzyckiego [85], gdzie przedstawiono zwi¹zki pozwalaj¹ce na obliczanie prawdopodobieñstwa awarii dla ró¿nych konstrukcji, jednak przy za³o¿eniu niezale¿noci probabilistycznej
zmiennych opisuj¹cych nonoci graniczne elementów, Kowala [84], Kopyciñskiego
i Kowala [83] oraz Dziubdzieli i wspó³autorów [42] gdzie zak³adaj¹c, ¿e nonoci wszystkich elementów s¹ zmiennymi normalnymi, niezale¿nymi przedstawiono propozycjê
oszacowañ bezpieczeñstwa konstrukcji odpowiednio w przypadku systemu równoleg³ego
oraz gdy dwa lub trzy przeguby plastyczne s¹ wspólne dla ró¿nych mechanizmów.
W przeciwieñstwie do teorii nonoci granicznej, teoria przystosowania nie jest popularnym narzêdziem wykorzystywanym w ocenie bezpieczeñstwa konstrukcji. Pierwszymi pracami na ten temat by³y prace Augustiego i wspó³autorów [3, 4, 5]. Wykorzystanie programowania liniowego oraz symulacji w ocenie niezawodnoci ram rozpatry-
86
wali Corotis i Nafday [31]. Kilka prac Heitzera i Staata [60, 61] dotyczy algorytmów
numerycznych oceny niezawodnoci konstrukcji wykorzystuj¹cych metodê elementów
skoñczonych. Wymieniæ tu te¿ nale¿y pracê Knabela [78], w której zastosowano metodê powierzchni odpowiedzi z wykorzystaniem statycznych warunków teorii przystosowania. Mo¿na te¿ wymieniæ kilkanacie prac [159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166,
171, 172, 174, 175, 178, 180, 181, 182, 193] dotycz¹cych oceny bezpieczeñstwa w aspekcie teorii przystosowania, których jestem wspó³autorem. Przedstawiono w nich algorytmy wyznaczania wskanika niezawodnoci Cornella, wskanika niezawodnoci HasoferaLinda i prawdopodobieñstwa awarii. Stosowano metodê symulacyjn¹ Monte Carlo, metody FORM i SORM oraz wyznaczanie prawdopodobieñstwa awarii w drodze
wyznaczania funkcji gêstoci prawdopodobieñstwa zapasu bezpieczeñstwa i jej ca³kowania. Rozwa¿ania dotyczy³y belek, ram i kratownic obci¹¿onych statycznie oraz belek, rusztów belkowych, kominów z odci¹gami i szyn obci¹¿onych dynamicznie.
4.2. Prawdopodobieñstwo awarii
Czêsto stosowan¹ probabilistyczn¹ miar¹ bezpieczeñstwa jest prawdopodobieñstwo
wyst¹pienia awarii zwane te¿ zawodnoci¹ lub awaryjnoci¹
p f = P[Z (X ) ≤ 0] = 1 − P[Z (X ) > 0] = 1 − p r =
0
∫ f Z (z )⋅ dz ,
(4.2.1)
−∞
gdzie: P[Z(X) ≤0] prawdopodobieñstwo wyst¹pienia stanów niebezpiecznych,
fZ(z)
funkcja gêstoci prawdopodobieñstwa rozk³adu zapasu bezpieczeñstwa.
Bezporednie obliczanie prawdopodobieñstwa awarii na podstawie zwi¹zku (4.2.1)
jest mo¿liwe tylko dla ma³ych zadañ, gdy¿ wymaga wyznaczenia funkcji fZ(z), co analitycznie jest trudne, a numerycznie utrudnione przez fakt, ¿e wymaga stosowania du¿ych dok³adnoci obliczeñ, gdy¿ o prawdopodobieñstwie awarii decyduj¹ tzw. ogony
rozk³adów prawdopodobieñstwa, czyli bardzo ma³e wartoci.
W ocenie niezawodnoci zamiast prawdopodobieñstwa awarii stosowany jest czêsto
jako miara niezawodnoci wskanik niezawodnoci β zwi¹zany z prawdopodobieñstwem
awarii zale¿noci¹ β = Φ0(pf). St¹d prawdopodobieñstwo awarii mo¿e byæ wyznaczone, po obliczeniu wskanika β, na podstawie zale¿noci odwrotnej p f = −Ö0 (− β ) (gdzie
Ö0 (.) dystrybuanta standardowego rozk³adu normalnego). Maksymalne dopuszczalne prawdopodobieñstwa awarii i odpowiadaj¹ce im minimalne wartoci wskaników β
zale¿¹ od skutków ewentualnej awarii obiektu (w tym zagro¿enia ¿ycia ludzi)
i wzglêdnych kosztów zapewnienia niezawodnoci. Norma PN-ISO 2394:2000 Ogólne zasady niezawodnoci konstrukcji budowlanych sugeruje przyjmowanie jako minimalnych nastêpuj¹cych wartoci wskaników β:
87
4.3. Wspó³czynnik bezpieczeñstwa
w stanach granicznych u¿ytkowalnoci β = 0 dla stanów odwracalnych,
β = 1,5 dla stanów nieodwracalnych,
w stanach granicznych zmêczenia
β = 2,3 do 3,1 zale¿nie o mo¿liwoci kontroli,
w stanach granicznych nonoci
β = 3,1 do 4,3 (tabela 4.2.1).
Tabela 4.2.1. Sugerowane przez PN-ISO 2394:2000 minimalne wartoci
wskanika niezawodnoci β dla stanów granicznych nonoci
Table. 4.2.1. Minimal values of the reliability index β for the limit states of the load
capacity suggested by the PN-ISO 2394:2000 standard
Skutki zniszczenia
Relatywny koszt
zapewnienia
bezpieczeñstwa
ma³e
odczuwalne
umiarkowane
wielkie
wysoki
3,1
umiarkowany
niski
3,1
3,1
3,8
3,8
4,3
W tabeli 4.2.2 podano prawdopodobieñstwa awarii odpowiadaj¹ce poszczególnym
wartociom wskaników niezawodnoci.
Tablica 4.2.2. Prawdopodobieñstwa awarii odpowiadaj¹ce okrelonym wskanikom β
Table. 4.2.2. Probability of failure occuring corresponding to the given reliability indices β
β
pf
0
0,5
1,3
0,968·10
1,5
1
2,3
0,668·10
1
3,1
1,071·10
2
0,968·10
3,8
3
0,724·10
4,3
4
0,854·10
5
4.3. Wspó³czynnik bezpieczeñstwa
Jeli zapas bezpieczeñstwa mo¿na przedstawiæ w postaci
Z (X ) = R( XR ) − S ( XS) ,
(4.3.1)
gdzie: XR = (XR1 ,..., XR r )T ∈ X wektor zmiennych losowych okrelaj¹cych nonoæ
konstrukcji,
XS = (XS1 ,..., XS s )T ∈ X wektor zmiennych losowych okrelaj¹cy obci¹¿enie,
s+r≥n, n
³¹czna liczba zmiennych bazowych,
to losowy wspó³czynnik bezpieczeñstwa okrelony jest zale¿noci¹
γ (X ) =
R (XR )
.
S (XS )
(4.3.2)
88
Poniewa¿ jest on zmienn¹ losow¹, wiêc miar¹ bezpieczeñstwa mo¿e byæ prawdopodobieñstwo awarii
p f = P[γ (X ) ≤ 1].
(4.3.3)
W praktyce wspó³czynnik bezpieczeñstwa jest stosowany jako miara bezpieczeñstwa
w metodach deterministycznych i pó³probabilistycznych, gdzie licznik i mianownik zwi¹zku (4.3.2) s¹ liczbami rozumianymi jako okrelone kwantyle.
4.4. Wskaniki niezawodnoci
4.4.1. Wskanik niezawodnoci Cornella
Cornell [29, 30] zaproponowa³ jako miarê niezawodnoci wskanik niezawodnoci
βC równy odwrotnoci wspó³czynnika zmiennoci zapasu bezpieczeñstwa
βC =
1
E [Z ]
,
=
VZ
σZ
(4.4.1)
gdzie: E[Z] wartoæ oczekiwana zapasu bezpieczeñstwa,
σZ odchylenie standardowe zapasu bezpieczeñstwa,
VZ wspó³czynnik zmiennoci.
Przedstawiaj¹c zapas bezpieczeñstwa wed³ug (4.3.1), wskanik Cornella mo¿na przedstawiæ w postaci
βC =
E [R ] − E [S ]
σ R2
+ σ S2
− 2 ρ ( R, S ) ⋅ σ R ⋅ σ S
,
(4.4.2)
gdzie: E[R], E[S] wartoci oczekiwane zmiennych R i S,
σR i σs
odchylenia standardowe tych zmiennych,
σ[R, S]
wspó³czynnik korelacji tych zmiennych.
Stosunkowo prosto mo¿na obliczyæ przedstawiony wskanik w przypadku, gdy
zapas bezpieczeñstwa jest funkcj¹ liniow¹. Gdy funkcja ta nie jest liniowa, wówczas
Cornell proponuje rozwiniêcie w szereg Taylora wokó³ wartoci oczekiwanych
E[ X ] = ( E[ X 1 ],..., E[ X n ]) w przestrzeni bazowych zmiennych losowych z dok³adnoci¹
do wyrazów liniowych (linearyzacja wg R¿anicyna)
∂Z ( X 1 ,..., X n )
∂X i
i =1
n
Z ( X ) = Z ( E[ X ]) + ∑
( X i − E[ X i ]) .
(4.4.3)
E[ Z ( X )] = E[ Z ( X 1 ,..., X n )] = Z ( E[ X 1 ],..., E[ X n ]) = Z ( E[ X ])
(4.4.4)
X i = E[ X i ]
St¹d wartoæ oczekiwana zapasu bezpieczeñstwa
89
4.4. Wskaniki niezawodnoci
oraz wariancja
var[ Z ] =
n
∂Z ( X 1 ,..., X n ) ∂Z ( X 1 ,..., X n )
⋅
∂X i
∂X j
j =1
n
∑∑
i =1
⋅ cov[ X i , X j ]
(4.4.5)
X i = E [ X i ]; X j = E [ X j ]
gdzie cov[Xi, Xj] kowariancja zmiennych Xi oraz Xj.
Okrelania wskanika niezawodnoci Cornella dotycz¹ prace [160, 172, 176, 177,
180, 181], których jestem wspó³autorem.
4.4.2. Wskanik niezawodnoci RosenbluthaEstevy
Jeli wspó³czynnik bezpieczeñstwa przedstawiæ w postaci logarytmicznej
 R ( XR ) 
ln (γ ( X )) = ln 
 S ( XS )  ,


(4.4.6)
to warunek graniczny mo¿e byæ przedstawiony w postaci
 R ( XR ) 
ln (γ ( X )) = ln 
ln R R
ln S S
ln(1 ) = 0 .
 S ( XS )  = ( ( X )) − ( ( X )) =


(4.4.7)
Wskanik niezawodnoci Cornella przyjmuje postaæ zaproponowan¹ przez Rosenblutha i Estevê [149]:
β RE =
  R 
E  ln   
  S 
  R 
var  ln   
  S 
=
E  ln ( R ) − E  ln ( S )
var  ln ( R ) + var  ln ( S ) − 2 cov[ln( R ), ln( S )]
. (4.4.8)
 R ( XR ) 
wokó³ wartoci oczekiwanych E [R (XR )]
Po zlinearyzowaniu funkcji ln 
 S ( XS ) 


i E [S (XS )] i podstawieniu do (4.4.8) wskanik RosenbluthaEstevy przyjmuje postaæ
β RE =
gdzie V R =
ln ( E [ R ]) − ln ( E [S ])
VR2 + VS2
,
σ
σR
i VS = S wspó³czynniki zmiennoci zmiennych R i S .
E[R]
E[S ]
(4.4.9)
90
4.4.3. Wskanik niezawodnoci HasoferaLinda
Do spe³nienia postulatu niezmienniczoci wskanika niezawodnoci potrzeba, aby
punkt, w którym dokonywana jest linearyzacja, znajdowa³ siê na powierzchni stanu granicznego. Linearyzacjê tak¹ zaproponowa³ Levi [94, 95], a twierdzenie to udowodnili
i zaproponowali algorytm wyznaczania wskanika niezawodnoci Hasofer i Lind [59].
Maj¹c macierz Cx kowariancji zmiennych bazowych X
T
C X = cov[ X, X] = E ( X − E[ X]) ⋅ ( X − E[ X])  ,


(4.4.10)
mo¿na wyznaczyæ macierz A transformacji zmiennych bazowych w zmienne nieskorelowane na podstawie zwi¹zku
A ⋅ CX ⋅ AT = I .
(4.4.11)
Y = A ⋅ (X − E[X])
(4.4.12)
Transformacja
przekszta³ca zmienne bazowe X w zmienne nieskorelowane Y o wartoci oczekiwanej
E[Y] = 0 . Transformacja odwrotna do (4.4.12) ma postaæ
X = A −1 ⋅ Y + E [X] .
(4.4.13)
Warunek graniczny Z(X) = 0 po uwzglêdnieniu transformacji zmiennych przyjmuje
postaæ
G (Y) = Z ( X(Y)) = Z ( A −1 ⋅ Y + E[ X]) = 0 .
(4.4.14)
Wskanik HasoferaLinda okrelony jest zale¿noci¹
β HL =
min
y∈(G ( y ) = 0 )
yT ⋅ y .
(4.4.15)
Punkt y* realizuj¹cy minimum w zwi¹zku (4.4.15) nazywany jest punktem projektowym lub obliczeniowym.
Jeli dokonaæ transformacji zmiennych bazowych X w zmienne Y tak, by zmienne
Y by³y standaryzowanymi zmiennymi normalnymi, to wskanik HasoferaLinda jest
równy najmniejszej odleg³oci powierzchni granicznej (odleg³oci punktu projektowego) od pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych. Jeli dodatkowo powierzchnia graniczna jest
hiperp³aszczyzn¹, to prawdopodobieñstwo awarii wyra¿a siê poprzez wskanik niezawodnoci zale¿noci¹

 −β  
p f = Ö0 ( − β ) = 0,5 ⋅  1 + erf 
,
 2 

(4.4.16)
4.5. Metody FORM i SORM
91
w której: Ö0 (.) dystrybuanta standaryzowanego, jednowymiarowego rozk³adu normalnego (funkcja Laplacea),
erf(.) funkcja b³êdu.
St¹d
β = − 2 ⋅ erf −1 ( 2 ⋅ p f − 1) ,
(4.4.17)
gdzie erf1(.) funkcja odwrotna do funkcji b³êdu.
4.5. Metody FORM i SORM
Metody FORM (First Order Reliability Method) i SORM (Second Order Reliability
Method) s¹ metodami numerycznymi wyznaczania wskanika HasoferaLinda
w po³¹czeniu z transformacj¹ zmiennych bazowych w zmienne normalne standaryzowane. Rosenblatt [148] udowodni³ istnienie takiej transformacji i na przyk³adzie zmiennych jednostajnych przedstawi³ algorytm jej dokonywania. Do obliczeñ wskanika niezawodnoci HasoferaLinda adaptowali tê transformacjê Hohenbichler i Rackwitz [68].
Jeli przyj¹æ, ¿e dany jest rozk³ad ³¹czny prawdopodobieñstwa zmiennych bazowych X
mo¿na wyznaczyæ zmienne losowe normalne standaryzowane Y na podstawie zwi¹zków
y1 = Ö0−1 ( FX 1 ( x1 )) ,
y 2 = Ö0−1 ( FX 2
X1
( x 2 x1 )) ,
(4.5.1)
.......................................................
y n = Ö0−1 ( FX n
X 1 ,..., X n −1
( x n x1 ,..., x n −1 )) ,
gdzie: FX X ,..., X ( xn x1 ,..., xn −1 ) warunkowa dystrybuanta zmiennej X n ,
n 1
n −1
Ö0−1 (...) funkcja odwrotna do funkcji Laplacea.
Gdy wspó³rzêdne wektora zmiennych bazowych X s¹ niezale¿nymi zmiennymi losowymi, wówczas transformacjê tê okrela formu³a
y i = Ö 0−1 ( FX i ( xi )),
i = 1, 2, ..., n,
(4.5.2)
gdzie FX i dystrybuanta rozk³adu zmiennej losowej Xi,
Wykonuj¹c transformacjê odwrotn¹ do (4.5.1), otrzymuje siê funkcjê stanu granicznego Z(X) = 0 w postaci funkcji zmiennych normalnych standaryzowanych
Z Y (Y ) = Z (X(Y )) = 0 .
(4.5.3)
92
Podstawowym zagadnieniem w poszukiwaniu wskanika HasoferaLinda β jest
wyznaczenie po³o¿enia punktu projektowego y* realizuj¹cego minimum odleg³oci hiperpowierzchni granicznej od pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych.
W metodzie FORM powierzchnia graniczna ZY(Y) = 0 aproksymowana jest przez
hiperp³aszczyznê, okrelon¹ równaniem
K ( Y ) = β − αT ⋅ Y ,
(4.5.4)
styczn¹ do powierzchni granicznej w punkcie projektowym y*,
gdzie α = [α1,..., αn]T jest wektorem kosinusów kierunkowych wektora prostopad³ego
do powierzchni Z(X) = 0 w punkcie obliczeniowym
−
αi = −
∂Z Y ( y )
∂yi
 ∂Z ( y )
∑  Y
∂yi
i =1

n
y = y*



y = y* 
2
.
(4.5.5)
Aproksymacja (4.5.4) prowadzi do przybli¿onego wzoru (4.4.16) na prawdopodobieñstwo awarii.
Do poszukiwania po³o¿enia punktu projektowego stosowane jest podejcie iteracyjne oparte na zale¿noci zaproponowanej przez Hasofera i Linda [59]
y * = y ( k +1) =
∇Z ( y ( k ) )
∇Z ( y
(k )
)
2
⋅ (∇Z T (y ( k ) ) ⋅ y ( k ) − Z T (y ( k ) ))
(4.5.6)
kontynuowane do spe³nienia warunków
y i( k +1) − y i( k ) ≤ ε dla wszystkich i
oraz
Z (x * ) ≤ ε ,
(4.5.7)
gdzie: ε za³o¿ona dok³adnoæ wyznaczenia punktu projektowego,
x * = A −1 ( y * ) .
Przedstawiony algorytm jest efektywny, gdy powierzchnia graniczna jest niezbyt odleg³a od hiperp³aszczyzny. W przypadku silnej nieliniowoci powierzchni granicznej algorytm jest s³abo zbie¿ny lub mo¿e byæ niezbie¿ny. Tê wadê procedury czêciowo usuwa zaproponowana przez Abdo i Rakwitza [1] redukcja d³ugoci kroku.
Istot¹ metody SORM jest aproksymacja powierzchni granicznej w punkcie projektowym hiperparaboloid¹. Wykorzystuje siê tu punkt projektowy y* wyznaczony wed³ug
FORM. Po dwukrotnej transformacji zmiennych i aproksymacji parabolicznej otrzymuje
siê warunek graniczny w postaci
93
4.6. Metody symulacyjne
Z W (W) = − β +
1 n −1
⋅ ∑ κ i ⋅ wi2 = 0 ,
2 i =1
(4.5.8)
gdzie W wektor zmiennych losowych Y po dwukrotnej transformacji,
κ i krzywizny g³ówne powierzchni aproksymuj¹cej.
Oszacowanie prawdopodobieñstwa awarii dla du¿ych β wynika z udowodnionej przez
Breitunga [19] zale¿noci
n −1
p f = lim Ö0 (− β ) ⋅ ∏ (1 − β ⋅ κ i )
β →∞
−1 / 2
i =1
.
(4.5.9)
Dok³adniejsz¹ formu³ê podali Hochenbichler i Rackwitz [69]
n −1 

ϕ (− β )
⋅ κ i  ,
p f ≈ Ö0 (− β ) ⋅ ∏ 1 − 0
Ö0 (− β )
i =1 

(4.5.10)
βSORM = −Ö0−1 ( p f ) .
(4.5.11)
gdzie Ö0 (− β ) , ϕ 0 (− β ) dystrybuanta i funkcja gêstoci prawdopodobieñstwa standaryzowanego rozk³adu normalnego.
Modyfikacja prawdopodobieñstwa awarii poci¹ga za sob¹ zmianê wskanika niezawodnoci, który wyznacza siê na podstawie wzoru
Oszacowania (4.5.9) i (4.5.10) s¹ zadowalaj¹ce, gdy β jest du¿e (β > 3). Nie stanowi
to istotnego mankamentu w ocenie bezpieczeñstwa, gdy¿ zalecane w tym zakresie wartoci wskaników niezawodnoci nie s¹ mniejsze od 3.1 (tabela 4.2.1).
4.6.1. Metoda Monte Carlo
Podstawê obliczania wartoci miar niezawodnoci metodami symulacyjnymi stanowi metoda Monte Carlo [152, 199], która polega na próbkowaniu przez komputer wektorów z rozk³adu prawdopodobieñstwa wektora losowego X za pomoc¹ numerycznego generatora liczb pseudolosowych i obliczaniu przybli¿onej wartoci prawdopodobieñstwa awarii wed³ug estymatora J1
pf ≈
1
N
N
∑ I ( Z ( x j ) ≤ 0 ) = J1,
(4.6.1)
j =1
gdzie I [Z (X ) < 0] funkcja charakterystyczna dwupunktowa okrelona wzorem
94
1, gdy Z ( X ) ≤ 0,
I  Z ( X ) ≤ 0  = 
(4.6.2)
0, gdy Z ( X ) > 0.
Wariancja estymatora prawdopodobieñstwa awarii okrelona jest zale¿noci¹
var [ J1 ] =
p ⋅ (1 − p f )
1 N
I Z (x j ) ≤ 0  = f
.
⋅
var


N
N 2 i =1
∑
(
)
(4.6.3)
Wskanik niezawodnoci β odpowiadaj¹cy prawdopodobieñstwu awarii pf okrelony jest zale¿noci¹ (4.4.17).
Dok³adnoæ wyniku mo¿na oszacowaæ na podstawie wzoru
P  J1 − p f ≥ ε  < δ ,
(4.6.4)
w którym: ε > 0 , δ > 0 ,
j −1
J1 estymator pf odpowiadaj¹cy N = N 0 = 2 0 [138],
j0 najmniejsza liczba spe³niaj¹ca zale¿noci
ε −2
∞
∑
2j
<δ i
2
j = j0 2 j
∞
2j 81
=  
2
9 4
j = j0 2 j
∑
j0
(3 j0 + 1).
Ogólnie metoda Monte Carlo wymaga bardzo du¿ego nak³adu obliczeniowego i jest
czasoch³onna nawet dla bardzo sprawnych komputerów.
4.6.2. Metoda symulacji wa¿onej
Zwiêkszenie zbie¿noci metody Monte Carlo mo¿na uzyskaæ w drodze jej modyfikacji w taki sposób, by uzyskaæ redukcjê wariancji estymatora J1.
Jednym ze stosowanych podejæ jest symulacja wa¿ona (importance sampling technique). Technika ta zaproponowana przez Kahna i Marshalla [74] polega na wprowadzeniu nowego wektora losowego W o gêstoci prawdopodobieñstwa kW(w) tak dobranego, by wariancja prawdopodobieñstwa awarii uleg³a stosownej redukcji. Estymator
prawdopodobieñstwa awarii okrelony jest tu zale¿noci¹
pf ≈
1
N
N
∑  I ( Z (w j ) ≤ 0 ) ⋅ kWX (w jj ) = J 2 .
f (w )
j =1
(4.6.5)
Wariancjê tego estymatora okrela zale¿noæ

1
var[ J 2 ] =
N

2


f X (w j ) 
2 
 I Z (w j ) ≤ 0 ⋅
 ⋅ k W ( w ) ⋅ dw − p f .


kW (w j ) 


∫ (
)
(4.6.6)
95
Technika ta daje bardzo dobre efekty w po³¹czeniu z metod¹ FORM lub SORM.
Korzystaj¹c z rozwi¹zania uzyskanego t¹ metod¹, przyjmuje siê gêstoæ prawdopodobieñstwa kW(w) w postaci skoncentrowanej wokó³ punktu projektowego y*. Melchers
[111, 112, 113] zauwa¿y³, ¿e dokonuj¹c transformacji zmiennych bazowych w standaryzowane zmienne normalne, wzór (4.6.5) mo¿na przedstawiæ w postaci
pf ≈
1
N
ϕ n (Y j )
∑ I (G (Y j ) ≤ 0 )⋅ k
N
j =1
W (Y j )
= J3 ,
(4.6.7)
gdzie: ϕn n-wymiarowa normalna gêstoæ prawdopodobieñstwa standaryzowanych
zmiennych losowych,
Y wektor standaryzowanych zmiennych losowych nieskorelowanych,
G(Yj) funkcja graniczna w przestrzeni standaryzowanych normalnych
zmiennych losowych.
Proponuje on przyjmowanie jako kW(Yj) n-wymiarowej gêstoci rozk³adu normalnego o wartoci oczekiwanej w punkcie obliczeniowym y*.
Hohenbichler i Rackwitz [69] oraz Fujita i Rackwitz [49] zaproponowali natomiast
wykorzystanie symulacji do wyznaczenia wspó³czynnika (mno¿nika) C poprawiaj¹cego dok³adnoæ wyników uzyskanych metod¹ FORM lub SORM
C=
1
N
N
Ö 0 (−λ (y j )) ⋅ ϕ n −1 (y j )
j =1
p f ⋅ ψ n −1 (y j )
∑
,
(4.6.8)
punkt wygenerowany z rozk³adu o gêstoci ψ n−1,
ψ n−1 (n 1)-wymiarowa gêstoæ rozk³adu normalnego stosowana jako gêstoæ próbkowania,
ϕ n−1 (n 1)-wymiarowa gêstoæ standaryzowanego rozk³adu normalnego,
Ö0 dystrybuanta jednowymiarowego standaryzowanego rozk³adu normalnego,
pf
prawdopodobieñstwo awarii wg FORM lub SORM,
λ(yj) odleg³oæ rzutu punktu yj na powierzchniê stanu granicznego w kierunku prostopad³ym do hiperp³aszczyzny stycznej w punkcie projektowym
y* od hiperp³aszczyzny równoleg³ej do hiperp³aszczyzny stycznej i przechodz¹cej przez pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych.
gdzie: yj
4.6.3. Metoda warunkowej wartoci oczekiwanej
Istotnym elementem metody warunkowej wartoci oczekiwanej jest podzia³ zmiennych bazowych X = (X1, X2,..., Xn) na dwie grupy: zmienne próbkowane w procesie symulacji X' = (X1', X2',..., Xn' ) i zmienne pozosta³e X'' = (X1'', X2'',..., Xn'' ) tak, ¿e X =
(X', X'' ), k + l = n. Podzia³ ten musi byæ dokonany w taki sposób, aby uprociæ oszacowanie prawdopodobieñstwa awarii i jednoczenie istotnie zredukowaæ wymiar zadania.
96
Metodê tê zaadaptowali do obliczeñ niezawodnoci konstrukcji Ayyub i wspó³autorzy
[6, 7]), Karamachandani i Cornell [77].
Prawdopodobieñstwo awarii w tym przypadku mo¿e byæ zapisane w postaci


pf = 
f X′′ X′= x′ ( x′′ ) dx′′  ⋅ f X′ (x′) dx′ ,


 x′′:Z ( x′,x′′)≤ 0

∫
∫
(4.6.9)
gdzie fx'(x') gêstoæ rozk³adu wektora losowego X',
fx'|X' = x' gêstoæ warunkowa rozk³adu wektora losowego X'' pod warunkiem
X' = x'.
Uwzglêdniaj¹c, ¿e
∫
x′′:Z ( x′,x′′)≤0
f X′′ X′=x′ ( x′′)dx′′ = p f
X′= x′
,
(4.6.10)
wzór (4.6.9) mo¿na przedstawiæ w postaci
∫
p f = p f X′=x′ ⋅ f X′ (x′) dx′ .
(4.6.11)
Estymator prawdopodobieñstwa awarii ma postaæ
pf ≈
1
N
N
∑ p f X′ = x ′ = J 4 ,
(4.6.12)
i =1
gdzie wektory x' s¹ generowane z rozk³adu o gêstoci fx'(x'), a prawdopodobieñstwo
warunkowe pf|X' = x' musi byæ oszacowane inn¹ metod¹, na przyk³ad FORM lub SORM.
4.6.4. Metoda adaptowanej warunkowej wartoci oczekiwanej
Metoda adaptowanej warunkowej wartoci oczekiwanej jest po³¹czeniem metody
warunkowej wartoci oczekiwanej i metody symulacji wa¿onej. Karmachandani
i wspó³autorzy [76, 77] zaproponowali metodê redukcji wariancji wychodz¹c ze zwi¹zku

f (x′) 
p f =  p f X′=x′ ⋅ X′
 dx ′ ,
kW (x′) 

∫
(4.6.13)
któremu odpowiada nieobci¹¿ony estymator prawdopodobieñstwa awarii
pf ≈
1
N
N
f ( x′ )
∑ p f X′=x′ ⋅ f WX′′ (xi′i ) .
i =1
(4.6.14)
97
Za gêstoæ próbkowania przyjmuje siê gêstoæ wektora zmiennych generowanych
z rozk³adu fX'(x') przesuniêtego do punktu, w którym wyra¿enie pf|X' = x' · fX'(x') osi¹ga
maksymaln¹ wartoæ. Dobór gêstoci próbkowania kW dokonywany jest iteracyjnie podczas procesu symulacji poprzez dostosowywanie jej, co pewn¹ okrelon¹ liczbê realizacji procesu symulacyjnego. Polega to na wyszukaniu, z uwzglêdnieniem wszystkich
poprzednich realizacji procesu symulacyjnego, punktu, w którym wyra¿enie pf|X' = x' · fX'(x')
osi¹ga maksimum i przesuniêciu pocz¹tkowej gêstoci fX'(x') do tego punktu. W tym
przypadku nieobci¹¿ony estymator prawdopodobieñstwa awarii (4.6.14) mo¿e byæ zapisany w postaci
pf ≈
1
N
M
∑
j = N j −1 +1
pf
X′= x′ij
f X′ (x′ij )
f W′ (x′ij )
= J5 ,
(4.6.15)
gdzie: N liczba realizacji w procesie symulacyjnym,
j numer funkcji gêstoci próbkowania,
M liczba adaptacji gêstoci próbkowania.
Wariancjê estymatora J5 oszacowuje zale¿noæ
M 
M

1

p
v ar [ J 4 ] ≈
N ( N − 1) i =1  j = N j −1 +1  f

∑ ∑
2
X′ = x′ij

f X′ (x′ij ) 
 ,

−
J
5

k Xi ′ (x′ij ) 

(4.6.16)
gdzie Nj liczba realizacji w procesie symulacyjnym dla j-tej funkcji gêstoci próbkowania.
4.6.5. Metoda symulacji kierunkowej
Metoda ta oparta jest na próbkowaniu z rozk³adu jednostajnego n-wymiarowego [35]
i na zale¿noci [13, 38, 112]
pf =
∫
Z ( y )≤0
∞
ϕ n (y ) dy =
n
S r
gdzie: y
f χ 2 , Fχ 2
n
Sn
λ (á )
r (á )
∫ ∫ fχ
n
2
n
(r 2 ) ⋅ dr 2 ⋅ d λ (á ) =
2
∫ (1 − Fχ ( r (á) )) d λ (á) ,
S
n
2
n
(4.6.17)
wektor standaryzowanych normalnych niezale¿nych zmiennych losowych,
gêstoæ prawdopodobieñstwa i dystrybuanta rozk³adu chi-kwadrat
o n stopniach swobody,
sfera jednostkowa,
jednostajna miara probabilistyczna,
odleg³oæ od pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych do powierzchni granicznej Z(y) = 0 w kierunku jednostkowego wektora α.
98
Ze zwi¹zków (4.6.17) wynika nieobci¹¿ony estymator prawdopodobieñstwa awarii
pf ≈
1
N
∑ (1 − Fχ
N
i =1
2
n
)
(r 2 (á i )) = J 6 .
(4.6.18)
4.7. Metody aproksymacyjne
4.7.1. Metoda powierzchni odpowiedzi
Metoda ta zosta³a szczegó³owo przedstawiona w monografiach Myersa [119] i Myersa i Montgmeryego [120]. Do analizy niezawodnoci konstrukcji metodê tê adaptowali Rackwitz [146], Wong [192], Faravelli [47] i inni. Ideê wykorzystania metody powierzchni odpowiedzi w analizie niezawodnoci konstrukcji wed³ug teorii przystosowania przedstawili Siemaszko, Bielawski i Knabel [158]. Polega ona na aproksymacji
funkcji okrelonych zmiennych, gdy znany jest zbiór wartoci tej funkcji wyznaczony
na przyk³ad w wyniku obliczeñ. Mo¿liwe jest wykorzystywanie ró¿nych funkcji aproksymuj¹cych. Tu przyk³adowo przedstawiona zostanie aproksymacja zapasu bezpieczeñstwa z wykorzystaniem funkcji regresji
E[ Z ( X)] = h ( X, B ) + ε ,
gdzie: h(X, B)
E[ Z ( X)]
X
B
ε
(4.7.1)

okrelona funkcja, której postaæ przyjmuje siê jako za³o¿enie,
wartoæ oczekiwana odpowiedzi,
wektor zmiennych bazowych o m elementach,
wektor szukanych parametrów funkcji regresji o k elementach,
zmienna losowa opisuj¹ca b³¹d estymacji funkcji Z(X) o zerowej
wartoci oczekiwanej.
Maj¹c zbiór danych (Z i , X il ) , i = 1, 2,..., n, l = 1, 2,..., m, zagadnienie aproksymacji
sprowadza siê do wyznaczenia wartoci sk³adowych wektora parametrów B minimalizuj¹cych sumê kwadratów ró¿nic wartoci danych funkcji Zi i wynikaj¹cych z przyjêtej
v
aproksymacji Z i
2
n
v


Ø = ∑  Zi − Z i  .

i 
(4.7.2)
Odchylenie standardowe zmiennej losowej ε jest równe
σε =
Ø min
.
n−k
(4.7.3)
99
4.7. Metody aproksymacyjne
Najbardziej rozpowszechnionymi metodami wyznaczania minimum funkcji Ψ s¹: metoda linearyzacji oraz metoda najszybszego spadku [104], które jednak wykazuj¹ woln¹
zbie¿noæ. Efektywniejszy jest zaproponowany w pracach [45, 146] sposób polegaj¹cy
na aproksymacji warunku granicznego funkcj¹ h(X, B(X) ) wokó³ punktu obliczeniowego. W tym przypadku dobre wyniki mog¹ byæ uzyskiwane po przyjêciu aproksymacji z wykorzystaniem regresji liniowej, co szczegó³owo zosta³o przedstawione w pracy
[78].
4.7.2. Aproksymacja gêstoci prawdopodobieñstwa
zapasu bezpieczeñstwa wielomianami ortogonalnymi
Aproksymacja funkcji gêstoci prawdopodobieñstwa zapasu bezpieczeñstwa wielomianami ortogonalnymi mo¿e byæ przedstawiona w postaci [144]
n
f 0 ( z) = ∑ ck ⋅ φ k ( z) ,
k =0
(4.7.4)
wspó³czynniki Fouriera,
gdzie: ck
f0(x) funkcja gêstoci prawdopodobieñstwa skoncentrowana w przedziale
[1, 1].
Przyk³adowo w przypadku stosowania wielomianów ortonormalnych Legendrea
φ k ( z ) = k + 0,5 ⋅ Pk ( z ), k = 1, 2,... ,
(4.7.5)
2⋅ k +1
k
⋅ z ⋅ Pk ( z ) −
⋅ Pk −1 ( z ) .
k +1
k +1
Wspó³czynniki Fouriera maj¹ postaæ
gdzie P0 ( z ) = 1, P1 ( z ) = z , Pk +1 ( z ) =
ck = k + 0,5 ⋅
k
1
∑ ∫
i =0
ai ⋅ z i f 0 ( z ) dz ,
(4.7.6)
−1
gdzie ai wspó³czynniki k-tego wielomianu Legendrea okrelane rekurencyjnie
dla k = 0 →
a0 = 1 ,
dla k = 1 →
a 0 = 0 , a1 = 1 ,
dla k = 2 →
a 0 = −1 / 2 ,
dla k = 3 →
a 0 = 0 , a1 = −3 / 2 ,
a1 = 0 , a 2 = 3 / 2 ,
a 2 = 0 , a3 = 5 / 2 .
Czynniki
1
∫z
−1
i
⋅ f 0 (z ) ⋅ dz
(4.7.7)
100
s¹ momentami statystycznymi wzglêdem gêstoci prawdopodobieñstwa f0(z) i mog¹ byæ
oszacowane metodami symulacyjnymi. Mog¹ byæ stosowane aproksymacje tak¿e innymi wielomianami ortogonalnymi na przyk³ad wielomianami Czebyszewa [144].
4.8. Metody numerycznego obliczania momentów
probabilistycznych
Gdy procedura generowania funkcji stanu granicznego jest procedur¹ numeryczn¹
i nie daje mo¿liwoci uzyskania funkcji stanu granicznego w postaci funkcji parametrów bazowych, ocena bezpieczeñstwa konstrukcji siê komplikuje. Do wyznaczania momentów probabilistycznych odpowiedzi konstrukcji mog¹ byæ stosowane metody wykorzystuj¹ce rozwiniêcia funkcji w szereg. Wymieniæ tu mo¿na metodê perturbacyjn¹
i metodê wykorzystuj¹c¹ rozwiniêcie macierzy sztywnoci w szereg Neumanna.
4.8.1. Metoda perturbacyjna
Metoda perturbacyjna do okrelania momentów probabilistycznych w analizie metod¹ elementów skoñczonych zosta³a zaproponowana w pracach [7, 64, 65] i innych.
Wykorzystuje ona rozwiniêcia elementów równañ opisuj¹cych problem w szereg potêgowy wzglêdem fluktuacji jej parametrów. Dany jest uk³ad równañ metody przemieszczeñ
K ⋅U = F ,
(4.8.1)
gdzie: K macierz sztywnoci,
U wektor przemieszczeñ,
F wektor obci¹¿eñ.
Macierz sztywnoci jest funkcj¹ wektora zmiennych losowych X = (X1,..., Xk). Rozwiniêcie macierzy sztywnoci w szereg Taylora w otoczeniu wartoci rednich wzglêdem fluktuacji ∆X = (∆X1,..., ∆Xk) wektora X ma postaæ
K = K0 +
k
∑
K1i ⋅ ∆X i +
i =1
1 k
⋅
2 i =1
k
∑∑ K ij2 ⋅ ∆X i ⋅ ∆X j + ...,
(4.8.2)
j =1
gdzie:
1
K 0 = K ( E[ X 1 ],..., E[ X k ]) , K i =
∂K
∂∆X i
2
, K ij =
ÄX =0
∂2K
∂∆X i ⋅ ∂∆X j
. (4.8.3)
ÄX = 0
Rozwiniêcia wektorów przemieszczeñ U i obci¹¿eñ F, które s¹ dodatkowo funkcjami parametrów obci¹¿eñ X = (Xk+1,..., Xn) maj¹ postaci analogiczne do (4.8.2)
101
4.8. Metody numerycznego obliczania momentów probabilistycznych
F = F0 +
n
1
i =1
U = U0 +
n
n
∑ Fi1 ⋅ ∆X i + 2 ⋅ ∑∑ Fij2 ⋅ ∆X i ⋅ ∆X j + ...,
(4.8.4)
i =1 j =1
n
n
n
∑ U1i ⋅ ∆X i + 2 ⋅ ∑∑ Uij2 ⋅ ∆X i ⋅ ∆X j + ...,
1
i =1
(4.8.5)
i =1 j =1
gdzie:
1
F 0 = F ( E[ X 1 ],..., E[ X n ]) , Fi =
U 0 = U( E[ X 1 ],..., E[ X n ]) , U1i =
∂F
∂∆X i
∂U
∂∆X i
2
, Fij =
∆X =0
∂ 2F
∂∆X i ⋅ ∂∆X j
2
, Uij =
∆X =0
∂2U
∂∆X i ⋅ ∂∆X j
,
(4.8.6)
∆X =0
.
(4.8.7)
∆X = 0
Po podstawieniu tych rozwiniêæ do (4.8.1) i porównaniu odpowiednich wyrazów
rozwiniêcia otrzymuje siê rekurencyjny uk³ad wzorów okrelaj¹cych poszczególne
wspó³czynniki rozwiniêcia wektora przemieszczeñ
U 0 = (K 0 ) −1 ⋅ F 0 ,
U1i = (K 0 ) −1 ⋅ (Fi1 − K1i ⋅ U 0 ),
Uij2 = (K 0 ) −1 ⋅ (Fij2 − K1i ⋅ U1j − K1j ⋅ U1i − K ij2 ⋅ U 0 )
(4.8.8)
.............................................
W przypadku perturbacji pierwszego rzêdu (metoda linearyzacji) zachowuje siê tylko sk³adniki liniowe, co daje wartoæ oczekiwan¹ przemieszczenia w postaci
(4.8.9)
E[U]1 = U 0
i macierz kowariancji w postaci
n
n
cov ( U , U ) = [c Upq ] , c Upq = ∑ ∑ u ip1 ⋅ cijX ⋅ u 1jq ,
1
i =1 j =1
gdzie
[
cijX = E ∆X i ⋅ ∆X j
]
(4.8.10)
(4.8.11)
s¹ danymi wspó³czynnikami macierzy kowariancji Cx = [cijx] zmiennych bazowych X,
u 1ip i u 1jq s¹ elementami wektorów Ui1 i Uj1.
102
W zakresie wykorzystania metody linearyzacji w analizie probabilistycznej konstrukcji
i ocenie bezpieczeñstwa wymieniæ mo¿na kilka prac, których jestem wspó³autorem [160,
172, 176, 177, 180, 181].
W przypadku perturbacji drugiego rzêdu zachowuje siê trzy pierwsze sk³adniki rozwiniêæ, co daje wartoæ oczekiwan¹ przemieszczenia w postaci
E [U ] = U 0 +
2
1 N N 1 X
⋅ ∑ ∑ U ij ⋅ c ij
2 i =1 j =1
(4.8.12)
i macierz kowariancji w postaci
cov ( U , U ) = cov ( U, U ) +
2
1
1 n
⋅
4 i =1
n
n
n
∑∑∑∑ Uij2 ⋅ (U kl2 )T ⋅ (cilX ⋅ c Xjk + cikX ⋅ c Xjl ).
(4.8.13)
j =1 k =1 l =1
Mo¿liwe jest tak¿e oszacowanie wy¿szych momentów statystycznych zmiennych U
(w przedstawionym przypadku przemieszczeñ). Jednak uzyskanie zadowalaj¹cej dok³adnoci ich oszacowania wymaga uwzglêdnienia kolejnych wyrazów rozwiniêcia w szereg.
Zeitoun, Baker, Uzan [198] uwa¿aj¹, ¿e perturbacja pierwszego rzêdu daje zadowalaj¹ce wyniki przy niezbyt du¿ych fluktuacjach, to jest przy wspó³czynniku zmiennoci
nie wiêkszym ni¿ 15%.
4.8.2. Wykorzystanie rozwiniêcia Neumanna
Metoda zaproponowana przez Yamazaki, Shinozuka, Dasgupta [194] ró¿ni siê od
metody perturbacyjnej tym, ¿e rozwiniêciu w szereg podlega macierz odwrotna do macierzy sztywnoci. Po pomno¿eniu lewostronnie równania (4.8.1) przez macierz D = K1
odwrotn¹ do macierzy sztywnoci otrzymuje siê
U = D⋅F .
(4.8.14)
Macierz sztywnoci zostaje przedstawiona w postaci sumy macierzy deterministycznej (okrelonej dla wartoci rednich parametrów) i losowej fluktuacji o zerowych wartociach oczekiwanych
K = K0 + ∆K,
gdzie:
(4.8.15)
K0
macierz deterministyczna, której elementami s¹ wartoci oczekiwane poszczególnych elementów tej macierzy,
0
∆K = K K macierz losowych fluktuacji macierzy K, których wartoci oczekiwane s¹ równe zeru.
Rozwiniêcie macierzy D = K1 odwrotnej do macierzy sztywnoci w szereg Neumanna ma postaæ
−1
D = K −1 = (K 0 + ∆K ) = D0 + ∆D = D0 + (−P + P 2 − P3 + ...) ⋅ D0 ,
(4.8.16)
4.9. Metoda iteracyjna wyznaczania wskanika niezawodnoci HasoferaLinda
103
gdzie: D0 = (K0)1, P = D0·∆K,
indeksy górne przy P oznaczaj¹ kolejne potêgi w sensie iloczynu macierzowego.
Po podstawieniu zwi¹zków (4.8.16) do (4.8.14) otrzymuje siê
U 0 + ∆U = D0 ⋅ F + (P + P 2 + ...) ⋅ D0 ⋅ F .
(4.8.17)
U 0 = D 0 ⋅ F0 ,
(4.8.18)
∆U = (P + P 2 + ...) ⋅ D0 ⋅ F = −∆U1 + ∆U 2 − ∆U3 + ... ,
(4.8.19)
St¹d
gdzie ∆Ui = Pi ⋅ D0 ⋅ F = −P ⋅ ∆Ui−1.
4.9. Metoda iteracyjna wyznaczania
wskanika niezawodnoci HasoferaLinda
Losowy charakter ró¿nych zmiennych ma ró¿ny wp³yw na wartoæ wskanika niezawodnoci i prawdopodobieñstwo awarii. Zwykle losowy charakter parametrów obci¹¿enia ma wiêkszy wp³yw na niezawodnoæ ni¿ parametrów konstrukcji, co wynika ze
zdecydowanie wiêkszych wspó³czynników rozrzutu zmiennych charakteryzuj¹cych obci¹¿enie. Nasuwa to pomys³ (stosowany zreszt¹ w metodzie symulacyjnej wed³ug funkcji wa¿noci) podzia³u zmiennych bazowych na dwie grupy: zmienne dominuj¹ce, których
losowy charakter ma najwiêkszy wp³yw na wartoæ wskanika β, i zmienne pozosta³e o
mniejszym wp³ywie na wartoæ wskanika β. Podzia³ taki umo¿liwia zastosowanie do
wyznaczania wskanika β nastêpuj¹cej formu³y iteracyjnej
n
β ≈ β ( X 1 ,..., X d ) − ∑ ∆β ( X i ) ,
i = d +1
(4.9.1)
∆β ( X i ) = β ( X 1 ,..., X d ) − β ( X 1 ,..., X d , X i ) ,
zmienne bazowe dominuj¹ce,
X 1 ,..., X d
zmienne bazowe pozosta³e,
X d +1 ,..., X n
β ( X 1 ,..., X d )
wskanik niezawodnoci wyznaczony z uwzglêdnieniem losowego charakteru zmiennych dominuj¹cych,
β ( X 1 ,..., X d , X i ) wskanik niezawodnoci wyznaczony z uwzglêdnieniem losowego charakteru zmiennych dominuj¹cych
i zmiennej Xi.
Gdy zmienne pozosta³e s¹ wzajemnie zale¿ne w grupach, wówczas mo¿e byæ stosowana formu³a iteracyjna w postaci
w której:
104
k
β ≈ β ( X 1 ,..., X d ) − ∑ ∆β j ( X ij , X lj ,...) ,
j =1
(4.9.2)
∆β j ( X ij , X lj ,...) = β ( X 1 ,..., X d ) − β ( X 1 ,..., X d , X ij , X lj ,...) ,
Xij, Xlj ,...
zmienne bazowe pozosta³e Xi, Xl,... zaliczone
do j-tej grupy,
k
liczba grup zmiennych pozosta³ych,
β ( X 1 ,..., X d , X ij , X lj ,...) wskanik niezawodnoci wyznaczony z uwzglêdnieniem losowego charakteru zmiennych
dominuj¹cych i zmiennych Xi, Xl,... zaliczonych
do j-tej grupy.
Proponowana formu³a (4.9.1) i (4.9.2) ma tê istotn¹ zaletê, ¿e pozwala redukowaæ
liczbê zmiennych traktowanych w poszczególnych etapach obliczeñ jako zmienne losowe i równoczenie pozwala na uwzglêdnienie losowego charakteru wszystkich zmiennych bazowych. Nale¿y tu podkreliæ, ¿e zmienne, których losowy charakter jest w okrelonym cyklu pomijany, traktowane s¹ na tym etapie jak parametry deterministyczne
o wartociach równych wartociom rednim odpowiednich zmiennych.
Problem badania zbie¿noci proponowanego procesu iteracyjnego ogranicza siê do
oceny, ile zmiennych nale¿y zaliczyæ do grupy zmiennych dominuj¹cych generuj¹cych
punkt startowy iteracji, jeli do tej grupy zaliczyæ wszystkie zmienne, to otrzyma siê
wynik, który jest oczekiwanym punktem zbie¿noci. Przy ocenie czy liczba zmiennych
zaliczona do grupy dominuj¹cych jest wystarczaj¹ca, niezbêdne jest przynajmniej dwukrotne rozwi¹zanie zadania z zaliczeniem do zmiennych dominuj¹cych w drugim rozwi¹zaniu o przynajmniej jedn¹ zmienna wiêcej ni¿ w poprzednim. Jeli wyniki uzyskane z takich dwóch rozwi¹zañ bêd¹ dostatecznie bliskie sobie, to taki wynik mo¿na przyj¹æ jako oszacowanie wskanika niezawodnoci.
Gdy do grupy zmiennych dominuj¹cych zalicza siê ma³¹ ich liczbê, zaproponowana
procedura umo¿liwi rozwi¹zanie zadania stosunkowo prostymi rodkami. Transformacja zmiennych w zmienne normalne standaryzowane i wyznaczenie odleg³oci krzywej
granicznej od rodka uk³adu wspó³rzêdnych mog¹ byæ wykonane z zastosowaniem na
przyk³ad systemu Mathematica, a nawet z zastosowaniem arkusza kalkulacyjnego Excel.
Zaproponowana procedura pozwala te¿ na stosunkowo proste szacowanie wp³ywu
losowego charakteru poszczególnych zmiennych na wskanik niezawodnoci i szacowanie b³êdów pope³nianych w przypadku pomija losowego charakteru niektórych zmiennych. Procedura zostanie zilustrowana na przyk³adach w rozdziale 6.
w której:
5. Niezawodnoæ konstrukcji
5.1. Modele niezawodnociowe konstrukcji
Aby zapewniæ bezpieczeñstwo konstrukcji, nale¿y spe³niæ wiele warunków dotycz¹cych punktów, przekrojów, elementów, zbiorów elementów b¹d ca³ej konstrukcji. Model matematyczny konstrukcji zawieraj¹cy zbiór informacji o elementach, w tym o ich
stanie oraz warunki umo¿liwiaj¹ce okrelenie stan konstrukcji na podstawie stanu elementów nazywany jest systemem [15]. Strukturê systemu mo¿na przedstawiæ za pomoc¹: grafu o dwóch koñcach, tablicy, funkcji logicznej lub funkcji analitycznej.
W analizie bezpieczeñstwa konstrukcji w aspekcie teorii nonoci granicznej system
bywa te¿ rozumiany jako konstrukcja zastêpcza (model fizyczny) obci¹¿ona na koñcach,
której elementami s¹ przekroje krytyczne zwane te¿ elementami sprawczymi [11]. Struktura takiej konstrukcji jest identyczna ze struktur¹ modelu matematycznego okrelon¹
przez odpowiedni graf. Elementom tak rozumianego systemu przypisuje siê nonoci
odpowiednich przekrojów krytycznych skorygowane wspó³czynnikami wagowymi, które
s¹ funkcjami parametrów opisuj¹cych nonoci przekrojów i obci¹¿enie konstrukcji [11,
84]. Przy tych samych za³o¿eniach obydwa podejcia w zakresie prawdopodobieñstw
awarii i niezawodnoci oraz wskanika HasoferaLinda prowadz¹ do identycznych wyników, w zakresie wskaników niezawodnoci, które nie s¹ niezmiennicze jak na przyk³ad wskanik Cornella, mog¹ dawaæ ró¿ne wyniki.
W dalszych rozwa¿aniach jako system niezawodnoci rozumieæ bêdziemy model matematyczny zawieraj¹cy informacje niezbêdne do oceny bezpieczeñstwa konstrukcji.
Struktura systemu mo¿e byæ szeregowa, równoleg³a lub mieszana (kombinacja struktury równoleg³ej i szeregowej). Szczególnymi przypadkami struktury mieszanej s¹: struktura szeregowo-równoleg³a (systemy równoleg³e ³¹czone szeregowo) i struktura równoleg³o-szeregowa (systemy szeregowe ³¹czone równolegle). Stan systemu wynika ze
stanu jego elementów i mo¿e byæ wyra¿ony przez funkcje charakteryzuj¹ce stany elementów, to jest zapasy bezpieczeñstwa elementów.
Warunek bezpieczeñstwa elementu wyra¿ony przez funkcjê okrelaj¹c¹ jego zapas
bezpieczeñstwa ma postaæ
Z j ( X) > 0 .
(5.1.1)
106
Bezpieczeñstwo elementu jest zagro¿one, gdy jego zapas bezpieczeñstwa spe³nia
warunek
Z j ( X) ≤ 0 .
(5.1.2)
System szeregowy charakteryzuje siê tym, ¿e jego bezpieczeñstwo B jest zapewnione wtedy, gdy ka¿dy z jego elementów spe³nia kryterium bezpieczeñstwa (5.1.1), co
okrela koniunkcja (iloczyn) zdarzeñ
n
(
)
B = 1 Z j ( X) > 0 ,
j =1
(5.1.3)
a jako stan awaryjny A traktuje siê niespe³nienie kryterium bezpieczeñstwa, to jest spe³nienie warunku (5.1.2) dla przynajmniej jednego elementu, co okrela alternatywa (suma)
zdarzeñ
n
(
)
A = 7 Z j ( X) ≤ 0 .
j =1
(5.1.4)
System równoleg³y charakteryzuje siê tym, ¿e jego bezpieczeñstwo B jest zapewnione wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego elementów spe³nia kryterium bezpieczeñstwa
(5.1.1), co okrela alternatywa zdarzeñ
n
(
)
B = 7 Z j ( X) > 0 ,
j =1
(5.1.5)
a jako stan awaryjny A traktuje siê niespe³nienie kryterium bezpieczeñstwa, to jest spe³nienie warunku (5.1.2) dla wszystkich jego elementów, co okrela koniunkcja zdarzeñ
n
(
)
A = 1 Z j ( X) ≤ 0 .
j =1
(5.1.6)
Warunek bezpieczeñstwa systemu mieszanego zale¿y od struktury systemy i jest odpowiedni¹ kombinacj¹ warunków dla systemów sk³adowych. Przyk³adowo dla systemu
szeregowo-równoleg³ego bezpieczeñstwo okrelone jest zale¿noci¹
B = 1 7 Z ij (X ) > 0 ,
(
)
(5.1.7)
A = 7 1 (Z ij (X ) ≤ 0 ) ,
(5.1.8)
j
i
a awariê definiuje zale¿noæ
j
i
w której Zij(X) jest zapasem bezpieczeñstwa i-tego elementu j-tego systemu równoleg³ego.
107
5.1. Modele niezawodnociowe konstrukcji
Analogiczne zwi¹zki dla systemu równoleg³o-szeregowego maj¹ postaæ
B = 7 1 Z ij (X ) > 0 ,
(
)
(5.1.9)
A = 1 7 (Z ij (X ) ≤ 0 ) ,
(5.1.10)
j
j
i
i
gdzie Zij(X) jest zapasem bezpieczeñstwa i-tego elementu j-tego systemu szeregowego.
Jeli mo¿na okreliæ zapas bezpieczeñstwa Zj(X) taki, ¿e
(
)
Z j (X ) > 0 = 7 Z ij (X ) > 0 i Z j (X ) ≤ 0 =
i
1 (Z ij (X ) ≤ 0) ,
(5.1.11)
i
to bezpieczeñstwo i awariê systemu szeregowo-równoleg³ego okrelaj¹ zale¿noci
B = 1 7 (Z ij (X ) > 0) = 1 (Z j (X ) > 0) ,
j
i
(
)
(
)
A = 7 1 Z ij (X ) ≤ 0 = 7 Z j (X ) ≤ 0 .
j
(5.1.12)
j
i
(5.1.13)
j
Jeli za okrelony jest zapas bezpieczeñstwa Zj(X) taki, ¿e
(
)
Z j (X ) > 0 = 1 Z ij (X ) > 0 i Z j (X ) ≤ 0 =
i
7 (Z ij (X ) ≤ 0),
(5.1.14)
i
to bezpieczeñstwo i awariê systemu równoleg³o-szeregowego okrelaj¹ zale¿noci
B = 7 1 Z ij (X ) > 0 = 7 Z j (X ) > 0 ,
(
)
(5.1.15)
A = 1 7 (Z ij (X ) ≤ 0) = 1 (Z j (X ) ≤ 0 ).
(5.1.16)
j
j
i
i
)
(
j
j
Zwi¹zki (5.1.11)(5.1.16) ilustruj¹ mo¿liwoci przekszta³cania systemów z³o¿onych
w prostsze i odwrotnie, zale¿nie od potrzeb i mo¿liwoci zdefiniowania funkcji okrelaj¹cych stany systemów sk³adowych.
Struktura systemu niezawodnociowego zale¿y od stopnia niezbêdnej jego identyfikacji dla osi¹gniêcia celu, jakim jest ocena bezpieczeñstwa konstrukcji. Uwzglêdniaj¹c, ¿e proponowany algorytm wykorzystuj¹cy sformu³owania dualne programowania
liniowego warunków teorii przystosowania dostarcza warunków chroni¹cych przed narastaniem odkszta³ceñ plastycznych, które mo¿e byæ interpretowane jako przekszta³cenie uk³adu w mechanizm, i przed wyst¹pieniem odkszta³ceñ plastycznych naprzemiennych, które mog³oby prowadziæ do utraty ci¹g³oci materia³u w wyniku zmêczenia
niskocyklowego, jako funkcje okrelaj¹ce stany konstrukcji przyjêto zapasy bezpieczeñstwa sprzê¿one z tymi formami utraty zdolnoci do przenoszenia obci¹¿eñ. Podejcie
takie stosowane jest w ocenia bezpieczeñstwa wed³ug teorii nonoci granicznej [39,
108
186], która uwzglêdnia tylko mo¿liwoæ zniszczenia w wyniku powstania mechanizmu.
Bezpieczeñstwo konstrukcji jest zapewnione, gdy zapasy bezpieczeñstwa Zj(X) wzglêdem wszystkich mo¿liwych form utraty zdolnoci do przenoszenia obci¹¿eñ spe³niaj¹
warunek (5.1.3), a do uznania stanu za awaryjny wystarczy, by choæ jeden z wymienionych zapasów nie spe³nia³ warunku bezpieczeñstwa, co okrela warunek (5.1.4). Proponowany algorytm prowadzi wiêc do uk³adu warunków, które pozwalaj¹ na identyfikacjê konstrukcji na poziomie globalnym jako systemu szeregowego, którego elementy
i sprzê¿one z nimi zapasy bezpieczeñstwa reprezentuj¹ poszczególne formy zniszczenia w wyniku uplastycznienia.
Mo¿e byæ oczywicie dokonana bardziej szczegó³owa identyfikacja systemu. Jeli
jako poziom dok³adnoci identyfikacji przyj¹æ przekrój krytyczny, to uwzglêdniaj¹c, ¿e
do przekszta³cenia konstrukcji w mechanizm niezbêdne jest uplastycznienie
w n m ≤ n h + 1 (nh stopieñ statycznej niewyznaczalnoci) przekrojach krytycznych, ka¿demu mechanizmowi odpowiada system równoleg³y o nm elementach, którymi s¹ przekroje ze sprzê¿onymi z nimi zapasami bezpieczeñstwa. Jeli poszczególne mechanizmy
zawieraj¹ wspólne przekroje [11], to systemy równoleg³e odpowiadaj¹ce tym mechanizmom maj¹ wspólne elementy odpowiadaj¹ce tym przekrojom. W zakresie plastycznoci naprzemiennej, identyfikacja na poziomie konstrukcji i przekroju jest taka sama, gdy¿
stanem awaryjnym konstrukcji jest wyst¹pienie plastycznoci naprzemiennej w choæ
jednym przekroju. Przy tym poziomie dok³adnoci identyfikacji otrzymuje siê wiêc system szeregowo-równoleg³y. Zagadnienie okrelania systemu niezawodnociowego zilustrowano na przyk³adzie belki przedstawionej na rys. 5.1.1. Na rysunku 5.1.2 przedstawiono prêdkoci przemieszczeñ odpowiadaj¹ce trzem parom wykluczaj¹cych siê mechanizmów (rys. 5.1.2 ab, cd i ef). Na rysunku 5.1.3 przedstawiono prêdkoci przemieszczeñ odpowiadaj¹ce odkszta³ceniom naprzemiennym w kolejnych przekrojach krytycznych. Na rys. 5.1.4 przedstawiono grafy systemu niezawodnociowego odpowiadaj¹ce szczegó³owoci identyfikacji na poziomie przekroju (rys. 5.1.4a) i na poziomie konstrukcji (rys. 5.1.4b).
Mo¿na te¿ jako poziom szczegó³owoci identyfikacji przyj¹æ punkt krytyczny nale¿¹cy do przekroju krytycznego, to jest punkty których zbiór dostarcza wystarczaj¹cej
liczby warunków do okrelenia stanu przekroju krytycznego. Przekrój krytyczny, jako
element mechanizmu, jest systemem równoleg³ym, którego elementami s¹ jego punkty
krytyczne, gdy¿ dla uplastycznienia przekroju musi nast¹piæ uplastycznienie we wszyF2 d ≤ F2 ≤ F2 g
F1d ≤ F1 ≤ F1g
3
1
Mo1
2
Mo2
Mo3
4
Mo4
Rys. 5.1.1. Schemat belki wraz z obci¹¿eniem
Fig. 5.1.1. Scheme of the beam with load
a)
ϕ1− > 0
ϕ 3− > 0
ϕ 2+ > 0
109
ϕ 3+ > 0
b)
ϕ1+ > 0
ϕ 2− > 0
ϕ 3− > 0
c)
ϕ 4+ > 0
ϕ 3+ > 0
d)
ϕ 4− > 0
e)
ϕ 1− > 0
ϕ 2+ > 0
ϕ 4− > 0
f)
ϕ 4+ > 0
f)
ϕ1+ > 0 ϕ 2− > 0
Rys. 5.1.2. Wykresy prêdkoci przemieszczeñ odpowiadaj¹ce mechanizmom
Fig. 5.1.2. Diagrams of the displacement velocities corresponding to the mechanisms
a)
ϕ1− > 0
ϕ1+ > 0
∆ϕ 1 = ϕ 1+ + ϕ 1−
b)
ϕ 2− > 0
∆ϕ 2 = ϕ 2+ + ϕ 2−
ϕ 2+ > 0
ϕ 3− > 0
c)
∆ϕ 3 = ϕ 3+ + ϕ 3−
ϕ 3+ > 0
ϕ 4− > 0
d)
∆ϕ 4 = ϕ 4+ + ϕ 4− > 0
ϕ 4+ > 0
Rys. 5.1.3. Wykresy prêdkoci przemieszczeñ odpowiadaj¹ce plastycznoci naprzemiennej
w przekrojach krytycznych
Fig. 5.1.3. Diagrams of the displacement velocities corresponding to the alternating plasticity
in the critical cross sections
110
a)
Mecha nizm
a lub b
Mecha nizm
c lub d
!
Z1
Plast.
naprzem
w przek.1
Plast.
Plast.
Plast.
naprzem naprzem naprzem
w przek.2 w przek.3 w przek.4
!
!
"
b)
Mecha nizm
e lub f
Z2
"
Z3
"
Z4
Z5
Z6
Z7
Rys. 5.1.4. Graf systemu niezawodnociowego uk³adu jak na rys. 5.1.1
a) identyfikacja na poziomie przekroju, b) identyfikacja na poziomie konstrukcji.
Fig. 5.1.4. Graphs of the reliability system of the structure as shown in Fig. 5.1.1
a) identification on the level of the cross section, b) identification on the level of the structure
stkich jego punktach. Bezpieczeñstwo przekroju wzglêdem plastycznoci naprzemiennej jest zapewnione, gdy takie bezpieczeñstwo jest zapewnione w ka¿dym jego punkcie, co oznacza, ¿e przekrój jest pod tym wzglêdem systemem szeregowym. Przy tym
poziomie dok³adnoci identyfikacji otrzymuje siê wiêc z³o¿ony system szeregowo-równoleg³y, którego elementy wchodz¹ce w sk³ad systemów szeregowych s¹ systemami szeregowymi, a elementy wchodz¹ce w sk³ad systemów równoleg³ych s¹ systemami równoleg³ymi.
Zale¿nie od poziomu szczegó³owoci niezbêdnej identyfikacji, element mo¿e byæ
systemem, jeli uwzglêdni siê jego strukturê, i odwrotnie, system, gdy okrelony jest
jego stan, mo¿e byæ traktowany jak element.
5.2. Niezawodnoæ systemu
Prawdopodobieñstwa awarii systemów okrelaj¹ zale¿noci:
systemu szeregowego

n

n
p f = P[ A] = P 7 (Z i ( X) ≤ 0 ) = P ∑ (Z i ( X) ≤ 0 ) ,

 i =1

i =1
systemu równoleg³ego

n
p f = P[ A] = P 1 (Z i ( X) ≤ 0 ) ,

i =1
(5.2.1)
(5.2.2)
111
5.2. Niezawodnoæ systemu
systemu równoleg³o-szeregowego





n
p f = P[ A] = P 7 1 Z ij (X ) ≤ 0  = P 7 Z j (X ) ≤ 0  = P ∑ Z j ( X) ≤ 0  , (5.2.3)

 i =1


j
j i
(
)
(
)
(
)
systemu szeregowo-równoleg³ego




p f = P[ A] = P 1 7 Z ij (X ) ≤ 0  = P 1 Z j (X ) ≤ 0  .

j

j i
(
)
(
)
(5.2.4)
Niezawodnoæ systemów okrelaj¹ zale¿noci:
systemu szeregowego
n

p r = 1 − p f = P[ B ] = P  1 Z j ( X) > 0  ,
 j =1

(
)
(5.2.5)
(
)
(
)
n

n
p r = 1 − p f = P[ B ] = 7 Z j ( X) > 0 = P ∑ Z j ( X) > 0  ,

 i =1
j =1
(5.2.6)




p r = 1 − p f = P[ B ] = P 1 7 Z ij (X ) > 0  = P 1 Z j (X ) > 0  ,

j

j i
(
)
(
)
(5.2.7)


pr = 1 − p f = P[ B ] = P 
Z ij ( X ) > 0 
 j i



 n

= P
Z j (X) > 0  = P 
Z j ( X) > 0  .
 j

 i =1

71 (
7(
)
∑(
)
)
(5.2.8)
Gdy elementy systemu, którymi s¹ zapasy bezpieczeñstwa, nie s¹ skorelowane, prawdopodobieñstwa awarii poszczególnych systemów okrelaj¹ nastêpuj¹ce zale¿noci:
szeregowego
p f = P[A] = ∑ P[Z i (X) ≤ 0],
n
i =1
(5.2.9)
112
równoleg³ego
p f = P[ A] = 1 P[Z i ( X) ≤ 0],
n
(5.2.10)
i =1
równoleg³o-szeregowego
 n

p f = P[ A] = P 7 1 Z ij (X ) ≤ 0  = ∑ P[Z i ( X) ≤ 0] ,
 i =1
j i
szeregowo-równoleg³ego
(
)
(5.2.11)


(5.2.12)
p f = P[ A] = P 1 7 Z ij (X ) ≤ 0  = 1 P Z j (X ) ≤ 0 .
 j
j i
Niezawodnoæ systemów o elementach nieskorelowanych mierzona prawdopodobieñstwem niewyst¹pienia awarii wynosi odpowiednio:
(
[
)
]
n

p r = 1 − p f = P[ B] = P  1 P Z j ( X) > 0  ,

 j =1
systemu szeregowego
[
]
[
]
(5.2.13)
p r = 1 − p f = P[ B ] = ∑ P Z j ( X) > 0 ,
j
(5.2.14)


p r = 1 − p f = P[ B ] = P 1 7 Z ij (X ) > 0  = 1 P Z j (X ) > 0 ,
 j
j i
(
[
)
]


p r = 1 − p f = P[ B ] = P 7 1 Z ij (X ) > 0  = ∑ P Z j ( X) > 0 .
 j
j i
(
)
[
]
(5.2.15)
(5.2.16)
5.3. Oszacowanie sumy i iloczynu zdarzeñ zale¿nych
W sytuacji, gdy rozpatrywane zdarzenia F j = ( Z j ( X) ≤ 0) nie s¹ roz³¹czne, prawdopodobieñstwo awarii mo¿na tylko oszacowaæ. Cornell dla systemów szeregowych proponuje nastêpuj¹ce oszacowania prawdopodobieñstwa awarii
max P[ Z j ≤ 0] ≤ p f ≤ ∑ P[ Z j ≤ 0] .
j
j
(5.3.1)
113
5.3. Oszacowanie sumy i iloczynów zdarzeñ zale¿nych
Korzystaj¹c ze zwi¹zków miêdzy prawdopodobieñstwem awarii a wskanikiem niezawodnoci β HasoferaLinda, zwi¹zek (5.3.1) mo¿na przedstawiæ w postaci
max Ö0 (− β j ) ≤ p f ≤ ∑ Ö0 (− β j ) .
j
(5.3.2)
j
Ditlevsen [36] proponuje oszacowanie dok³adniejsze

≤

pf = 

≥

q
∑
i =1
P [ Fi ] −
∑ {
q
i =2
max P  Fi
j <i
1 } ∑ P [F ] ≤ 1,
F j  ≤

P [ F1 ] + max 0, P [ Fi ] −
j <i
i =1
i =2

q
q
∑
∑
gdzie Fi = ( Z i ( X) ≤ 0) .
q
i
i =1
i −1
∑ P  Fi 1
j =1
[
q

F j   ≥ max P [ Fi ] ≥ 0,
i =1

(5.3.3)
]
Prawdopodobieñstwo iloczynu zdarzeñ P Fi 1 F j w zwi¹zku (5.3.3) mo¿e byæ oszacowane na podstawie zale¿noci
P  Fi
1
≥ max{Ö0 ( − β i ) ⋅ Ö0 ( − β ), Ö0 ( − β j ) ⋅ Ö0 ( − β )} ,
ji
i j


F j  ≤ Ö0 (− β i ) ⋅ Ö0 (− β j i ) + Ö0 ( − β j ) ⋅ Ö0 (− β i j ) ,

≤ min{Ö0 ( − β i ) ⋅ Ö0 ( − β j i ), Ö0 ( − β j ) ⋅ Ö0 ( − β i j )} ,
gdy ρij > 0,
gdy ρ ij > 0, (5.3.4)
gdy ρ ij < 0,
gdzie ρ ij wspó³czynnik korelacji pomiêdzy zdarzeniami Fi oraz Fj okrelony zale¿noci¹
ρ ij =
cov( Fi , F j )
σ Fi ⋅ σ F j
,
(5.3.5)
cov(Fi, Fj) kowariancja zdarzeñ Fi i Fj,
σ Fi , σ F j
odchylenia standardowe zdarzeñ Fi i Fj,
Ö0 (...)
dystrybuanta jednowymiarowego standaryzowanego rozk³adu normalnego,
wskaniki niezawodnoci elementów systemu i-tego oraz j-tego
βi , β j
wyznaczone na podstawie warunków granicznych Zi(X) = 0 oraz
Zj(X) = 0,
βi j , β j i
warunkowe wskaniki niezawodnoci okrelone zale¿nociami
βi j =
β j − ρ ij ⋅ β i
1 − ρ ij2
, β ji =
β i − ρ ij ⋅ β j
1 − ρ ij2
.
(5.3.6)
114
W celu oszacowania prawdopodobieñstwa iloczynu zdarzeñ w pracy [67] proponowane jest wykonanie transformacji zmiennych w standaryzowane zmienne normalne
i wyznaczenie punktu projektowego y* realizuj¹cego minimum wskanika β dla iloczynu zdarzeñ
β = min y
m
dla y :
1{Z j (y ) ≤ 0}.
j =1
(5.3.7)
Nastêpnie prawdopodobieñstwo awarii szacowane jest na podstawie wzoru
m 
P  F j  ≈ Ök ( −β; R ) ⋅ CSORM ,
 j =1 
1
(5.3.8)
który jest prawdziwy przy za³o¿eniu, ¿e zachodzi Zi(y*) = 0 dla przynajmniej jednej powierzchni granicznej, przy czym Φk jest dystrybuant¹ k-wymiarowego standaryzowanego rozk³adu normalnego okrelon¹ zale¿noci¹
Ök ( −β; R ) =
−β
∫ φk (u) ⋅ du ,
(5.3.9)
−∞
n
2
1
2
(
)
 1

⋅ exp  − u T ⋅ R −1 ⋅ u  ,
 2

T
R = ai aj macierz wspó³czynników korelacji,
β
wektor o wspó³rzêdnych β j = aTj ⋅ y* ,
wspó³czynnik korekcyjny uwzglêdniaj¹cy krzywizny aktywnych poCSORM
wierzchni granicznych.
*
Gdy Zj(y ) = 0 dla j = 1, 2,..., k oraz Zi(y*) > 0 dla j = k + 1,..., m
−
gdzie: ϕ k (u ) = ( 2π )
−
⋅ det ( R )
CSORM = det ( D )
( )
k

∂ 2Z s y*
;
gdzie: D = δ ij − ∑ γ s
∂y i ∂y j
j =1

δij
γs
−
1
2
,
(5.3.10)

i, j = k + 1,..., n  ,

delta Kroneckera,
wspó³czynniki stanowi¹ce rozwi¹zanie uk³adu równañ liniowych
k
y* = ∑γ i ⋅ ai .
i =1
6. Przykłady ilustrujące zastosowanie
proponowanego algorytmu
6.1. Przykład 1
Dana jest belka dwuprzęsłowa jak na rysunku 6.1.1 wykonana z dwu dźwigarów
dwuteowych połączonych nad podporą środkową, tak by nośność połączenia nie była
mniejsza niż nośności przekrojów dźwigarów składowych.
Symbolami 11, 12, 2, 3, 4, 5 oznaczono przekroje krytyczne. Parametry ξ1 i ξ 2 określają położenie przekrojów krytycznych w przęsłach.
Losowymi zmiennymi bazowymi (traktowanymi jako zmienne niezależne) są:
– górne granice obciążeń zmiennych (rozkład Gumbela),
q1 , q 2
g1 , g 2 – obciążenie stałe (rozkład normalny),
∆T1 = T1d − T1g , ∆T2 = T2 d − T2 g – różnice temperatur we włóknach dolnych i górnych
(rozkład normalny),
– rozpiętości przęseł belki (rozkład normalny),
L1 , L3
– wysokości przekrojów dwuteowych (rozkład normalny),
h1 , h2
– szerokości stopek przekrojów (rozkład normalny),
b1 , b2
t w1 , t w2 – grubości środników przekrojów (rozkład normalny),
t f 1 , t f 2 – grubości stopek przekrojów (rozkład normalny),
E1 , E 2 – moduły sprężystości materiału prętów (rozkład normalny),
σ 01 , σ 02 – granice plastyczności materiału prętów (rozkład normalny).
4
2
3
11 12
5
q1
q2
g1
g2
∆T1 , E1 ,
σ 01 , I 200
∆T2 , E 2 , σ 02 ,
L1 ⋅ ξ1
I 200
L2 ⋅ ξ 2
L1
L2
Rys. 6.1.1. Schemat belki
Fig. 6.1.1. Scheme of the beam
116
6. Przykłady ilustrujące zastosowanie proponowanego algorytmu
b
e
tw
h
tf
e
Rys. 6.1.2. Przekrój uproszczony
Fig. 6.1.2. Simplified cross section
Aby charakterystyki geometryczne przekrojów przedstawić w postaci funkcji ich
wymiarów (h, b, tf , tw) traktowanych jako zmienne bazowe, przyjęto model uproszczony przekroju jak na rysunku 6.1.2.
Przyjęty model powinien być równoważny przekrojowi nominalnemu w zakresie jego
podstawowych charakterystyk geometrycznych. Niestety charakterystyki obliczone dla
modelu różnią się nieco (na ogół są nieco większe) od odpowiednich charakterystyk
podanych w tabelach dwuteowników. Wprowadzono więc odpowiednie współczynniki
korekcyjne
kA =
kWe =
kI =
hn ⋅ t wn
An
,
+ 2 ⋅ (bn − t wn ) ⋅ t fn
(6.1.1)
Wen

4 ⋅ t fn 2

⋅ hn − 2 ⋅ t fn +

3 ⋅ hn





 h2
2 ⋅ t fn 2
n

⋅
− hn ⋅ t fn +
 2
3





hn2 ⋅ t wn
+ (bn − t wn ) ⋅ t fn
6
In
hn3 ⋅ t wn
+ (bn − t wn ) ⋅ tf n
12
kWo =
,
(6.1.2)
,
(6.1.3)
Won
hn2 ⋅
,
twn
+ (bn − t wn ) ⋅ t fn ⋅ ( hn − t fn )
4
h

gdzie: Won = An  n − en  ,
2


hn, bn, tfn, twn, en, An, Wen, In – wartości według tabel,
en – współrzędna środka ciężkości połówki dwuteownika (według tabel).
(6.1.4)
117
6.1. Przykład 1
Dla I200 współczynniki te mają wartości:
kA = 0,9969, kI = kWe = 0,98994, kWo = 0,99345.
Po uwzględnieniu współczynników korekcyjnych charakterystyki uproszczonego
przekroju równoważnego wyrażają się, jako funkcje wymiarów przekroju, następująco:
– pole przekroju
A = (ht w + 2(b − t w ) t f ) k A ,
(6.1.5)
– plastyczny wskaźnik zginania
 t

Wo =  h 2 w + (b − tw ) t f ( h − t f )  kWo ,
4


(6.1.6)
– sprężysty wskaźnik zginania
 h2 t
w
+ (b − t w ) t f
We = 
 6

– moment bezwładności
 h3 t
w
+ (b − tw ) t f
I =
 12


4t f 2  
 h − 2t f +
  kWe ,

3h  


(6.1.7)
 h2
2t f 2  
 − ht f +
  kI .
 2
3 


(6.1.8)
W celu otrzymania funkcji granicznych:
– wykonano symboliczne rozwiązania układu od składowych obciążeń,
– zbudowano funkcje określające ekstremalne siły przekrojowe w przekrojach krytycznych,
– zbudowano pierwotne ograniczenia na przystosowanie w ujęciu programowania liniowego i rozwiązano je dla wartości średnich parametrów, dobierając iteracyjnie
wartości parametrów ξ1 i ξ2 tak, by minimalizowały funkcje celu min (max µ ) , co
ξ1 ,ξ 2
pozwoliło określić układy równań odpowiadające poszczególnym formom zniszczenia,
– zbudowano dualne układy równań w postaci symbolicznej, z których rozwiązań otrzymano zmienne dualne jako funkcje zmiennych bazowych i parametrów ξ1 i ξ2,
– wyznaczono zapasy bezpieczeństwa jako funkcje zmiennych bazowych i parametrów
ξ1 i ξ2,
Zadanie rozwiązano w kilku wariantach dla danych zestawionych w tabeli 6.1.1.
Rozwiązanie 1
W przypadku uwzględniania tylko zginania, wyznaczono wskaźniki niezawodności
bM, wykorzystując system STRUREL metodami FORM i SORM oraz symulację Monte
118
Tabela 6.1.1. Dane charakterystyki zmiennych bazowych
Table 6.1.1. Given characteristics of base variables
∆T 2
N
q1
G
q2
G
g1
N
g2
N
Jednostki
E [Xi ]
V Xi
σ Xi
kN/m
7
0,05
0,350
kN/m
7
0,05
0,350
kN/m
7
0,03
0,210
m
7
0,030
0,210
Zmienna
Rozkład
Jednostki
E [Xi ]
V Xi
σ Xi
h1
N
m
0,2
0,01
0,002
h2
N
m
0,2
0,01
0,002
b1
b2
tf 1
tf 2
N
N
N
N
m
m
m
m
0,09
0,09
0,0113
0,0113
0,01
0,01
0,01
0,01
0,0009 0,0009 0,000113 0,000113
N – rozkład normalny, G – rozkład Gumbela
o
C
30
0,050
1,500
o
C
30
0,050
1,500
α1
α2
N
N
o
o
1/ C
1/ C
0,000012
0,000012
0,01
0,01
0,00000012 0,00000012
tw 1
N
m
0,0075
0,01
0,000075
tw 2
N
m
0,0075
0,01
0,000075
L1
N
L2
N
E1
N
m
6
0,005
0,030
m
6
0,005
0,030
GPa
205
0,010
2,050
σ 01
N
MPa
235
0,01
2,350
σ 02
N
MPa
235
0,01
2,350
E2
N
GPa
205
0,010
2,050
∆T 1
N
Zmienna
Rozkład
119
6.1. Przykład 1
Carlo i symulację adaptowaną. W celu uzyskania możliwie dokładnej wartości wskaźnika niezawodności dla porównania z nią wartości uzyskanych z rozwiązań iteracyjnych wykonywano obliczenia symulacyjne do momentu, gdy zwiększanie liczby próbkowań nie powodowało zmiany wyniku. W celu określenia wpływu ścinania obliczono
też wskaźnik bMV metodami FORM i SORM. W rozpatrywanym przypadku wpływ ten
nie przekracza 1%. Uzyskane wyniki zestawiono w tabeli 6.1.2.
Tabela 6.1.2. Wartości wskaźnika niezawodności β obliczone różnymi metodami
z uwzględnieniem losowego charakteru wszystkich zmiennych bazowych
Table 6.1.2. Values of the reliability index β calculated by different methods
taking into account the random nature of all base variables
FORM
β Μ = 3,387
β Μ V = 3,364
β Μ /β Μ V −1 = 0,0068
SORM
β Μ = 3,3535
β Μ V = 3,3313
β Μ /β Μ V −1 = 0,0067
Symulacja Monte Carlo
Liczna próbkowań
βΜ =
500 000
3,342
1 000 000
3,357
1 500 000
3,356
2 000 000
3,357
Symulacja adaptowana
Liczna próbkowań
βΜ =
500 000
3,349
1 000 000
3,355
1 500 000
3,354
2 000 000
3,354
Wszystkie wyniki (z wyjątkiem FORM) są bliskie sobie. Uwzględniając, że najbardziej wiarygodna wydaje się symulacja Monte Carlo, gdyż nie jest obciążona modyfikacjami przyspieszającymi zbieżność, jako wskaźnik najbliższy dokładnego można uznać
β = 3,356.
Rozwiązanie 2
W celu oceny wpływu zmian temperatury na bezpieczeństwo konstrukcji wykonano
rozwiązanie z pominięciem zmian temperatury. Otrzymano: βFORM = 4,268, βSORM =
4,2254. Wpływ zmian temperatury, w rozpatrywanym przypadku, wynosi 4,2254/3,3535
–1 = 0,26 = 26%, co oznacza, że jest on istotny w analizie bezpieczeństwa konstrukcji.
Rozwiązanie 3
W celu przetestowania iteracyjnego sposobu wyznaczania wskaźnika niezawodności:
a) Korzystając z systemu Mathematica dokonano standaryzacji zmiennych Xi w warunkach granicznych na podstawie zależności: dla zmiennych o rozkładzie normalnym X i = Yi ⋅ σ Xi + E[ X i ] i dla zmiennych o rozkładzie Gumbela Xi = a G
− bG ⋅ ln (− ln (Φ(Yi ) )) , gdzie Yi – zmienne losowe standaryzowane, E[Xi], σXi – war-
120
6 ⋅ σ Xi
, αG =
π
= E[ X i ] − bG ⋅ C , C = 0,5772156649015329... – stała Eulera. Otrzymano w ten sposób funkcje graniczne wyrażone poprzez zmienne standaryzowane ZY(Y) = 0.
b) W celu oceny wpływu losowego charakteru poszczególnych zmiennych na wartość
wskaźnika niezawodności rozwiązano, korzystając z systemu Mathematica, ciąg zadań, przyjmując w każdym rozwiązaniu, że losowa jest tylko jedna zmienna. Obliczenie wskaźników niezawodności nie stanowi tu problemu, gdyż β i = min(abs ( yi* )) ,
gdzie yi* jest wartością zmiennej standaryzowanej, najbliższą zeru, spełniającą równanie ( Z Y ( E[Y1 ],..., E[Yn ]) = 0 ). Wyniki zestawiono w tabeli 6.1.3 oraz zilustrowano na wykresie (rys. 6.1.3), na którym dla zwiększenia poglądowości odłożono odwrotności wskaźników (gdyż większe wartości wskaźników odpowiadają mniejszym
wpływom) unormowane do przedziału (0, 1). Trzeba wspomnieć, że procedury numeryczne systemu Strurela nie radzą sobie z takim zadaniem.
c) Do grupy zmiennych dominujących zaliczono tylko jedną zmienną q1 i aby obliczyć
ilościowe wpływy losowego charakteru poszczególnych zmiennych (określone wzorem ∆β ( x i ) = β ( q1 ) − β (q1 , x i ) ) na wskaźnik β rozwiązano ciąg zadań, przyjmując
w każdym rozwiązaniu, że losowe są dwie zmienne q1 i Xi (Xi – w każdym rozwiązaniu inna spośród zmiennych pozostałych). Wyniki zestawiono w tabeli 6.1.4 oraz zilustrowano na wykresie (rys. 6.1.4), na którym linia pozioma odpowiada obliczonej
symulacyjnie wartości wskaźnika β.
tość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej Xi, bG =
Rys. 6.1.3. Wpływ losowego charakteru parametrów na wskaźnik β (rozwiązanie 3b)
Fig. 6.1.3. Influence of the random nature of the parameters on the reliability index β (solution 3b)
Tabela 6.1.3. Wyniki rozwiązania 3b
Table 6.1.3. Results of the solution 3b
W każdym rozwiązaniu losowa jest tylko jedna zmienna
Zmienna
q1
g1
q2
∆T1
∆ T2
α1
α2
L1
L2
h1
h2
β (x i )
β (q 1)/β (x i )
3,635
1,000
8,223
0,442
8,384
0,434
63,275
0,057
63,275
0,057
98,162
0,037
98,162
0,037
15,558
0,234
88,585
0,041
12,374
0,294
41,179
0,088
Zmienna
b1
b2
tf 1
tf 2
tw 1
tw 2
σ 01
σ 02
E1
E2
52,109
0,070
25,118
0,145
66,032
0,055
54,280
0,067
86,321
0,042
17,099
0,213
39,340
0,092
99,240
0,037
99,240
0,037
21,973
β (x i )
β (q 1)/β (x i ) 0,165
6.1. Przykład 1
Tabela 6.1.4. Wyniki rozwiązania 3c
Table 6.1.4. Results of the solution 3c
W pierwszym rozwiązaniu losowy jest parametr q1, w pozostałych q1 i jedna dodatkowa zmienna
Zmienna
q1
g1
q2
∆T 1
∆T 2
α1
α2
L1
L2
h1
h2
β (q 1,x i )
∆β (x i )
β
3,6350
3,6350
3,5581
0,0769
3,5581
3,6241
0,0109
3,5472
3,6336
0,0014
3,5458
3,6336
0,0014
3,5444
3,6350
0,0000
3,5444
3,6350
0,0000
3,5444
3,5907
0,0443
3,5001
3,6346
0,0004
3,4997
3,5742
0,0608
3,4389
3,6308
0,0042
3,4347
Zmienna
b1
b2
tf 1
tf 2
tw 1
tw 2
σ 01
σ 02
E1
E2
Błąd
β (q 1,x i )
∆β (x i )
3,6167
0,0183
3,6333
0,0017
3,6214
0,0136
3,6337
0,0013
3,6334
0,0016
3,6349
0,0001
3,6047
0,0303
3,6294
0,0056
3,6350
0,0000
3,6350
0,0000
β
3,4164
3,4147
3,4011
3,3998
3,3982
3,3981
3,3678
3,3622
3,3622
3,3622
0,0018
121
122
W pierwszym rozwiązaniu losowe są parametry q1 i g1, w pozostałych q1 i g1 i jedna dodatkowa zmienna
Zmienna
q 1, g 1
q2
∆T 1
∆T 2
α1
α2
L1
L2
h1
h2
β (q 1,g 1,x i )
∆β (x i )
β
3,5581
3,5581
3,5471
0,0110
3,5471
3,5566
0,0015
3,5456
3,5566
0,0015
3,5441
3,5581
0,0000
3,5441
3,5581
0,0000
3,5441
3,5129
0,0452
3,4989
3,5577
0,0004
3,4985
3,4962
0,0619
3,4366
3,5538
0,0043
3,4323
b2
tf 1
tf 2
tw 1
tw 2
σ 01
σ 02
E1
E2
Błąd
3,5563
0,0018
3,5443
0,0138
3,5567
0,0014
3,5564
0,0017
3,5579
0,0002
3,5272
0,0309
3,5523
0,0058
3,5581
0,0000
3,5581
0,0000
3,4119
3,3981
3,3967
3,3950
3,3948
3,3639
3,3581
3,3581
3,3581
Zmienna
b1
β (q 1,g 1,x i ) 3,5395
∆β (x i )
0,0186
β
3,4137
0,0006
Tabela 6.1.5. Wyniki rozwiązania 3d
Table. 6.1.5. Results of the solution 3d
123
6.1. Przykład 1
Rys. 6.1.4. Ilustracja iteracyjnego wyznaczania wskaźnika β (rozwiązanie 3c)
Fig. 6.1.4. Illustration of the iterative determination of the system reliability index β (solution 3c)
d) Do grupy zmiennych dominujących zaliczono dwie zmienne q1 i g1 i aby obliczyć
ilościowe wpływy losowości poszczególnych zmiennych (określone teraz wzorem
∆β ( xi ) = β (q1 , g 1 ) − β (q1 , g1 , x i ) ) na wskaźnik β, rozwiązano ciąg zadań przyjmując w każdym rozwiązaniu, że losowe są trzy zmienne q1, g1 i Xi. Wyniki zestawiono w tabeli 6.1.5. Nie przedstawiono oddzielnej ilustracji na wykresie, gdyż wyniki
są prawie takie same jak dla rozwiązania c).
Rozwiązanie 4
W celu oceny bezpieczeństwa układu jako systemu wykonano rozwiązania dla trzech
form osiągnięcia stanu granicznego odpowiadających trzem kolejnym najniższym wartościom wskaźnika niezawodności (trzem pierwszym ogniwom łańcucha systemu szeregowego). Wyniki zestawiono w tabeli 6.1.6.
Tabela 6.1.6. Oszacowanie wskaźnika niezawodności systemu (rozwiązanie 4)
Table 6.1.6. Estimation of the system reliability index (solution 4)
Element
systemu
1
2
3
βj
pfj
pf =Σ pfj
β
3,3535
3,3535
6,8211
0,000399
0,000399
4,5173E-12
0,0003990
0,0007980
0,0007980
3,3535
3,1566
3,1566
3,1566 ≤ β ≤ 3,3535
124
Rozwiązanie 5
W celu porównania wpływu losowego charakteru różnych grup zmiennych wykonano obliczenia (bez obciążeń zmianami temperatury), pomijając wpływ losowego charakteru określonych grup zmiennych. Obliczenia wykonano dla danych zestawionych
w tabeli 6.1.1 i dla podwojonych współczynników zmienności. Wyniki zestawiono
w tabeli 6.1.7.
W otrzymanych wynikach zwraca uwagę stosunkowo mały wpływ na wskaźnik niezawodności losowego charakteru zmiennych określających sztywności i podatności elementów, to jest modułów sprężystości i momentów bezwładności przekrojów i długości
elementów na etapie układów równań służących wyznaczaniu sił przekrojowych.
Tabela 6.1.7. Wpływ pomijania losowego charakteru niektórych parametrów (rozwiązanie 5)
Table 6.1.7.Effect of neglecting random nature of some parameters (solution 5)
Przypadek
Przypadek
Według
6.1.1
wg tabtab.
6.1.1
Podwójone wsp.
zmieności
β SORM
β SORM
Błąd
Błąd
Wszystkie zmienne losowe
4,2254
Pominięto losowy charakter parametrów określających
sztywności przekrojów (E i I )
4,2335
0,0019
2,7644
0,0044
Pominięto losowy charakter rozpiętości przęseł (L )
w układzie równań
4,2290
0,0009
2,7580
0,0021
Pominięto losowy charakter rozpiętości przęseł L
4,2588
0,0079
2,8112
0,0169
Pominięto losowy charakter parametrów określających
nośności przekrojów (σ o i Wo )
4,3409
0,0273
2,9243
0,0625
Uwzględniono losowy charakter tylko obciążeń
4,3841
0,0376
2,9870
0,0853
2,7523
Rozwiązanie 6
W celu zilustrowania wpływu losowego charakteru współrzędnych określających
położenia przekrojów krytycznych w przęsłach wykonano obliczenia dla różnych wartości ξ z otoczenia ξ = 0,436 określonego dla wartości średnich zmiennych bazowych
oraz traktując ξ jako zmienną losową o rozkładzie normalnym o wartości średniej 0,436
dla różnych współczynników zmienności. Wyniki zestawiono w tabelach 6.1.8 i 6.1.9
oraz na wykresach (rys. 6.1.5 i 6.1.6).
Otrzymane wyniki wskazują na małą wrażliwość wskaźnika niezawodności na zmiany
współrzędnej określającej położenie przekroju krytycznego w przęśle w dość dużym
zakresie. Odchyłce ξ o ok. 5% od średniej odpowiada błąd wskaźnika β rzędu 0,5%,
6.1. Przykład 1
125
Tabela 6.1.8. Zależność wskaźnika niezawodności β od współczynnika
zmienności współrzędnej ξ (rozwiązanie 6)
Table 6.1.8. Dependence of the reliability index β on the coefficient
of variation of the coordinate ξ (solution 6)
Vξ
β
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,1
4,225 4,226 4,229 4,233 4,239 4,247 4,255 4,264 4,274 4,284 4,293
0 0,000 0,001 0,002 0,003 0,005 0,007 0,009 0,012 0,014 0,016
Ostatni wiersz zawiera odchyłki β w zależności od wsp. zmienności zmiennej ξ
Rys. 6.1.5. Zależność β od współczynnika zmienności współrzędnej ξ (rozwiązanie 6)
Fig. 6.1.5. Dependence of the reliability index β on the coordinate ξ (solution 6)
a odchyłce ξ o ok. 7% odpowiada błąd wskaźnika β rzędu 1%. Wyniki te wykazują też,
że przyjęcie współrzędnej ξ = 0,48 jako wartości minimalizującej mnożnik obciążenia
w sformułowaniu dualnym dla wartości średnich zmiennych bazowych prowadzić może
do znacznych błędów (w przykładzie otrzymano odchyłki wskaźnika o 2.82% i 3.27%).
Natomiast przyjęcie ξ = 0,436 jako wartości minimalizującej mnożnik obciążenia sformułowania statycznego (pierwotnego) prowadzi do wyników bliskich przyjęciu ξ = 0,432
minimalizujących wskaźnik β (oszacowanie wskaźnika β ze względu na współrzędne
ξ). W przykładzie dla obydwu tych oszacowań otrzymano identyczne wyniki.
126
Tabela 6.1.9. Zależność β od współrzędnej względnej ξ (rozwiązanie 6)
Table 6.1.9. Dependence of the reliability index β on the relative coordinate ξ (solution 6)
ξ
0 ,40 2
0 ,40 4
0 ,40 6
0 ,40 8
0 ,41 0
0 ,41 2
0 ,41 4
0 ,41 6
0 ,41 8
0 ,42 0
0 ,42 2
0 ,42 4
0 ,42 6
0 ,42 8
0 ,43 0
0 ,43 2
0 ,43 4
0 ,43 6
0 ,43 8
0 ,44 0
0 ,44 2
0 ,44 4
0 ,44 6
0 ,44 8
0 ,45 0
0 ,45 2
0 ,45 4
0 ,45 6
0 ,45 8
0 ,46 0
0 ,46 2
0 ,46 4
0 ,46 6
0 ,46 8
0 ,47 0
0 ,47 2
0 ,47 4
0 ,47 6
0 ,47 8
0 ,48 0
Oc hy łka ξ o d
m in . β
średn iej
0 ,08 4 6
0 ,07 4 6
0 ,07 9 2
0 ,06 9 3
0 ,07 3 9
0 ,06 4 0
0 ,06 8 6
0 ,05 8 8
0 ,06 3 4
0 ,05 3 7
0 ,05 8 3
0 ,04 8 5
0 ,05 3 1
0 ,04 3 5
0 ,04 8 1
0 ,03 8 5
0 ,04 3 1
0 ,03 3 5
0 ,03 8 1
0 ,02 8 6
0 ,03 3 2
0 ,02 3 7
0 ,02 8 3
0 ,01 8 9
0 ,02 3 5
0 ,01 4 1
0 ,01 8 7
0 ,00 9 3
0 ,01 4 0
0 ,00 4 7
0 ,00 9 3
0 ,00 0 0
0 ,00 4 6
0 ,00 4 6
0 ,00 9 3
0 ,00 0 0
0 ,00 4 6
0 ,01 3 9
0 ,00 9 2
0 ,01 8 5
0 ,01 3 8
0 ,02 3 1
0 ,01 8 3
0 ,02 7 8
0 ,02 2 9
0 ,03 2 4
0 ,02 7 5
0 ,03 7 0
0 ,03 2 1
0 ,04 1 7
0 ,03 6 7
0 ,04 6 3
0 ,04 1 3
0 ,05 0 9
0 ,04 5 9
0 ,05 5 6
0 ,05 0 5
0 ,06 0 2
0 ,05 5 0
0 ,06 4 8
0 ,05 9 6
0 ,06 9 4
0 ,06 4 2
0 ,07 4 1
0 ,06 8 8
0 ,07 8 7
0 ,07 3 4
0 ,08 3 3
0 ,07 8 0
0 ,08 8 0
0 ,08 2 6
0 ,09 2 6
0 ,08 7 2
0 ,09 7 2
0 ,09 1 7
0 ,10 1 9
0 ,09 6 3
0 ,10 6 5
0 ,10 0 9
0 ,11 1 1
β
Błąd
4 ,27 2
4 ,26 6
4 ,26 1
4 ,25 5
4 ,25 0
4 ,24 5
4 ,24 1
4 ,23 7
4 ,23 5
4 ,23 2
4 ,23 0
4 ,22 9
4 ,22 7
4 ,22 6
4 ,22 5
4 ,22 5
4 ,22 5
4 ,22 5
4 ,22 6
4 ,22 7
4 ,23 0
4 ,23 3
4 ,23 6
4 ,23 8
4 ,24 2
4 ,24 6
4 ,25 0
4 ,25 5
4 ,26 1
4 ,26 6
4 ,27 2
4 ,27 9
4 ,28 6
4 ,29 2
4 ,30 0
4 ,30 8
4 ,31 6
4 ,32 5
4 ,33 5
4 ,34 4
0 ,01 1 1
0 ,00 9 8
0 ,00 8 4
0 ,00 7 0
0 ,00 5 9
0 ,00 4 8
0 ,00 3 9
0 ,00 3 0
0 ,00 2 3
0 ,00 1 6
0 ,00 1 1
0 ,00 0 9
0 ,00 0 5
0 ,00 0 2
0 ,00 0 0
0 ,00 0 0
0 ,00 0 0
0 ,00 0 0
0 ,00 0 2
0 ,00 0 5
0 ,00 1 1
0 ,00 1 8
0 ,00 2 5
0 ,00 3 2
0 ,00 4 1
0 ,00 5 0
0 ,00 5 9
0 ,00 7 0
0 ,00 8 4
0 ,00 9 8
0 ,01 1 1
0 ,01 2 7
0 ,01 4 3
0 ,01 5 9
0 ,01 7 7
0 ,01 9 6
0 ,02 1 6
0 ,02 3 6
0 ,02 5 9
0 ,02 8 2
Błąd
β
dla po dw. wsp. zm .
2 ,78 9
0 ,01 3 1
2 ,78 4
0 ,01 1 3
2 ,78 0
0 ,00 9 8
2 ,77 6
0 ,00 8 4
2 ,77 2
0 ,00 6 9
2 ,76 9
0 ,00 5 8
2 ,76 6
0 ,00 4 7
2 ,76 3
0 ,00 3 6
2 ,76 1
0 ,00 2 9
2 ,75 9
0 ,00 2 2
2 ,75 7
0 ,00 1 5
2 ,75 6
0 ,00 1 1
2 ,75 5
0 ,00 0 7
2 ,75 4
0 ,00 0 4
2 ,75 3
0 ,00 0 0
2 ,75 3
0 ,00 0 0
2 ,75 3
0 ,00 0 0
2 ,75 3
0 ,00 0 0
2 ,75 4
0 ,00 0 4
2 ,75 5
0 ,00 0 7
2 ,75 6
0 ,00 1 1
2 ,75 8
0 ,00 1 8
2 ,76 0
0 ,00 2 5
2 ,76 3
0 ,00 3 6
2 ,76 6
0 ,00 4 7
2 ,76 9
0 ,00 5 8
2 ,77 2
0 ,00 6 9
2 ,77 6
0 ,00 8 4
2 ,78 0
0 ,00 9 8
2 ,78 4
0 ,01 1 3
2 ,78 9
0 ,01 3 1
2 ,79 4
0 ,01 4 9
2 ,79 9
0 ,01 6 7
2 ,80 4
0 ,01 8 5
2 ,81 0
0 ,02 0 7
2 ,81 6
0 ,02 2 9
2 ,82 2
0 ,02 5 1
2 ,82 9
0 ,02 7 6
2 ,83 6
0 ,03 0 1
2 ,84 3
0 ,03 2 7
6.2. Przykład 2
127
Rys. 6.1.6. Zależność β od współrzędnej względnej ξ (rozwiązanie 6)
Fig. 6.1.6. Dependence of the reliability index β on the relative coordinate ξ (solution 6)
6.2. Przykład 2
Dana jest rama jak na rysunku 6.2.1 wykonana z trzech dźwigarów dwuteowych
o nośności węzłów nie mniejszej niż nośności przekrojów dźwigarów składowych.
Cyframi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oznaczono przekroje krytyczne. Parametry ξ1, ξ2 i ξ3 określają położenie przekrojów krytycznych w przęsłach, a ich wartości będą określane iteracyjnie jako odpowiadające minimalnemu zapasowi bezpieczeństwa.
Losowymi zmiennymi bazowymi (traktowanymi jako zmienne niezależne) są:
– obciążenie śniegiem (rozkład Gumbela),
s
w = w P ∪ w L – obciążenie wiatrem (rozkład Gumbela),
g
– obciążenie stałe (rozkład normalny),
– wysokości przekrojów (rozkład normalny),
h1 , h2 , h3
t w1 , t w2 , t w3 – grubości środników (rozkład normalny),
b f 1 , b f 2 , b f 3 – szerokości stopek (rozkład normalny),
t f 1 , t f 2 , t f 3 – grubości stopek (rozkład normalny),
– długości prętów (rozkład normalny),
L1 , L 2 , L3
– moduły sprężystości materiału prętów (rozkład normalny),
E1 , E 2 , E3
σ 01 , σ 02 , σ 03 – granice plastyczności materiału prętów (rozkład Normalny).
W obliczeniach wykorzystano modele uproszczone przekrojów jak na rys. 6.1.2.
128
s
0 .7 wP lub 0
0 . 7 wL lub 0
s
g
ξ 2 ⋅ L2
3
2
5
I 200
4
L2 E 2
σ 02
I 180
6
σ 03 E3 L3
I 180
L1 E1 σ 01
ξ 3 ⋅ L3
ξ 1 ⋅ L1
7
1
0 . 4 wP
0 .7 wL
0.4 wL
0 .7 wP
Rys. 6.2.1. Szkic ramy
Fig. 6.2.1. Scheme of the frame
Tabela 6.2.1. Współczynniki korekcyjne przekrojów
Table 6.2.1. Coefficients adjusting the cross sections
Przekrój
I 180
I 200
h
tw
bf
tf
mm
180
200
mm
6,9
7,5
mm
82
90
mm
10,4
11,3
k I = kWe
kWo
kA
0,99312
0,98994
0,99414
0,99345
0,99498
0,99569
Współczynniki korekcyjne tych modeli zestawiono w tabeli 6.2.1.
Potrzebne charakterystyki przekrojów wyrażone są wzorami (6.1.5)–(6.1.8).
Obliczenia wykonano przyjmując dane zestawione w tabeli 6.2.2. Wykonano podobne
rozwiązania jak w przykładzie 1. Wyniki rozwiązań dominujących otrzymane metodami FORM i SORM z uwzględnieniem i pominięciem wpływu sił osiowych zestawiono
w tabeli 6.2.3. W tej tabeli przedstawiono też wyniki rozwiązań dominujących otrzymane metodami symulacyjnymi. Uwzględniając, że wyniki rozwiązań symulacyjnych
są prawie identyczne i uznając metodę Monte Carlo za bardziej wiarygodną, przyjęto
do porównań β = 3,626.
Wyniki określające wpływ losowego charakteru poszczególnych zmiennych ilustruje wykres (rys. 6.2.2). Wykonano też trzy rozwiązania iteracyjne, za każdym razem zaliczając do grupy zmiennych dominujących jedną tylko zmienną. W pierwszym przypadku za zmienną startową iteracji przyjęto zmienną dominującą, to jest obciążenie śniegiem s (rys. 6.2.3). W drugim przypadku za zmienną startową iteracji przyjęto zmienną,
Tabela 6.2.2. Dane charakterystyki zmiennych bazowych
Table. 6.2.2. Characteristics of base variables
s
G
kN/m
3,2
0,04
0,128
g
N
kN/m
2,1
0,02
0,042
w
G
kN/m
2,75
0,03
0,083
L1
N
m
6
0,005
0,030
L2
N
m
10,198
0,005
0,05099
L3
N
m
8
0,005
0,040
Zmienna
tf 2
tf 3
tw 1
tw 2
tw 3
tf 1
Rozkład
N
N
N
N
N
N
Jednostki
m
m
m
m
m
m
0,0104
0,0113
0,0104
0,0069
0,0075
0,0069
E [X i ]
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
V Xi
σ Xi
0,000104 0,000113 0,000104 0,000069 0,000075 0,000069
h1
h2
h3
b1
b2
b3
N
N
N
N
N
N
m
m
m
m
m
m
0,18
0,2
0,18
0,082
0,09
0,082
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,0018 0,0020 0,0018 0,00082 0,00090 0,00082
σ 01
N
MPa
235
0,01
2,35
σ 02
N
MPa
235
0,01
2,35
σ 03
N
MPa
235
0,01
2,35
E1
N
GPa
205
0,01
2,05
E2
N
GPa
205
0,01
2,05
E3
N
GPa
205
0,01
2,05
6.2. Przykład 2
Zmienna
Rozkład
Jednostki
E [X i ]
V Xi
σ Xi
129
130
Rys. 6.2.2. Wpływ losowego charakteru parametrów na wskaźnik β
Fig. 6.2.2. Influence of the random nature of parameters on the reliability index β
Rys. 6.2.3. Ilustracja iteracyjnego wyznaczania wskaźnika β
(wskaźnik początkowy iteracji βp = βs = 4,128, wskaźnik końcowy iteracji βk = 3,631, wskaźnik „dokładny”
β = 3,626, odchylenie punktu początkowego βp/βk –1 = 0,14, błąd βk/ β –1 = 0,0013)
Fig. 6.2.3. Illustration of the iterative determination of the reliability index β
(initial index of iteration βp = βs = 4,128, (final index of iteration βk = 3,631, “exact” index β = 3,626,
deviation of the initial iteration point βp/βk –1 = 0,14, error βk/β –1 = 0,0013)
131
6.2. Przykład 2
Tabela 6.2.3. Wartości wskaźnika niezawodności β obliczone różnymi metodami
z uwzględnieniem losowego charakteru wszystkich zmiennych bazowych
Table. 6.2.3. Values of the reliability index β calculated by different methods taking
into account the random nature of all base variables
FORM
β ΜΝ = 3,651
β Μ = 3,826
β Μ /β ΜΝ −1 =
0,048
SORM
β ΜΝ = 3,6242
β Μ = 3,7982
β Μ /β ΜΝ −1 =
0,048
Symulacja Monte Carlo
Liczna próbkowań
β ΜΝ
500 000
3,612
1 000 000
3,628
1 500 000
3,626
2 000 000
3,626
Symulacja adaptowana
Liczna próbkowań
β ΜΝ
500 000
3,618
1 000 000
3,626
1 500 000
3,625
2 000 000
3,625
Rys. 6.2.4. Ilustracja iteracyjnego wyznaczania wskaźnikaβ
(βp = βw = 6,493, βk = 3,596, β = 3,626, βp/β – 1 = 0,79, βk/β – 1 = 0,0083)
Fig. 6.2.4. Illustration of the iterative determination of the reliability index β
(βp = βw = 6,493, βk = 3,596, β = 3,626, βp/β – 1 = 0,79, βk/β – 1 = 0,0083)
która nie jest dominująca, to jest obciążenie wiatrem w, i wynik iteracji także okazał się
pomyślny (rys. 6.2.4). W trzecim przypadku za zmienną startową iteracji przyjęto zmienną
L2. Tu wynik iteracji nie okazał się pomyślny (rys. 6.2.5), co nie umniejsza walorów
proponowanego podejścia iteracyjnego jako podejścia umożliwiającego znaczną redukcję
132
Rys. 6.2.5. Ilustracja iteracyjnego wyznaczania wskaźnika β ( β p = β L )
2
Fig. 6.2.5. Illustration of the iterative determination of the reliability index β ( β p = β L )
2
liczby zmiennych, których losowy charakter jest uwzględniany na poszczególnych etapach obliczeń. Oznacza to jednak, że jako startowe należy przyjmować zmienne dominujące.
W celu oceny bezpieczeństwa układu jako systemu wykonano rozwiązania dla pięciu form osiągnięcia stanu granicznego, odpowiadających pięciu kolejnym najniższym
wartościom wskaźnika niezawodności (pięciu pierwszym ogniwom łańcucha systemu
szeregowego). Wyniki zestawiono w tabeli 6.2.4.
Tabela 6.2.4. Oszacowanie wskaźnika niezawodności systemu
Table 6.2.4. Estimation of the system reliability index
Element
systemu
1
2
3
4
5
βj
pfj
pf =Σpfj
β
3,4242
3,8158
4,8211
4,8696
5,8252
0,0003083
0,00006767
7,138E-07
5,591E-07
2,8522E-09
0,0003083
0,0003760
0,0003767
0,0003772
0,0003772
3,4242
3,3699
3,3694
3,3690
3,3690
3,3690 ≤ β ≤ 3,4242
133
7. Podsumowanie
Celem autora pracy było opracowanie algorytmu probabilistycznej oceny bezpieczeństwa płaskich konstrukcji prętowych wykonanych z materiałów sprężysto idealnie plastycznych poddanych działaniu obciążeń stałych i zmiennych.
Do oceny nośności konstrukcji zastosowano teorię przystosowania. Utrudnienie analizy bezpieczeństwa układów prętowych stanowi stosunkowo duża liczba parametrów,
które są zmiennymi losowymi, charakteryzujących te układy. Ułatwienie analizy może
stanowić możliwość redukcji liczby warunków granicznych przez wyrażenie ich poprzez
siły przekrojowe.
Uwzględniając fakt, że istnieją obecnie narzędzia komputerowe, takie jak np. MATHEMATICA, MATLAB, SCILAB, MAPLE, GNU OCTAVE (licencja GPL), które
umożliwiają dokonywanie złożonych przekształceń analitycznych i opracowywanie programów realizujących te przekształcenia, przedstawiono algorytm analitycznego generowania warunków granicznych stanowiących podstawę oceny bezpieczeństwa konstrukcji. Algorytm może być oczywiście wykorzystywany jako procedura obliczeń numerycznych.
Aby zrealizować założony cel, niezbędne było przyjęcie założeń upraszczających.
Podstawowym założeniem było przyjęcie linearyzacji warunków granicznych dla przekrojów z uwzględnieniem podziału naprężeń na zmienną część „sprężystą” pochodzącą
od obciążeń i stałe samozrównoważone naprężenia resztkowe pochodzące od odkształceń plastycznych. Pozwoliło to na wykorzystanie algorytmów programowania liniowego do generowania warunków granicznych (zapasów bezpieczeństwa) dla konstrukcji
zależnych od parametrów określających konstrukcję i obciążenie. Przyjętych uproszczeń
dokonano tak, by prowadziły do bezpiecznych oszacowań wskaźnika niezawodności.
Proponowany algorytm obejmuje dwa zasadnicze etapy analizy: generowanie funkcji granicznych dla konstrukcji i wyznaczanie wskaźnika niezawodności i prawdopodobieństwa awarii. Etap formułowania warunków granicznych obejmuje:
a) rozwiązania analityczne (symboliczne) analizowanego układu od obciążeń jednostkowych, z zastosowaniem dowolnej metody analizy (metody sił, metody przemieszczeń, metody mieszanej lub metody elementów skończonych),
b) symboliczne sformułowanie problemu przystosowania układu w ujęciu programowania liniowego,
134
7. Podsumowanie
c) rozwiązania zadania programowania liniowego (sformułowania statycznego) przy
przyjęciu wartości średnich parametrów w celu wyznaczenia ograniczeń aktywnych
odpowiadających określonym formom awarii,
d) sformułowanie dualnych układów równań odpowiadających aktywnym ograniczeniom statycznym dla poszczególnych postaci awarii,
e) rozwiązania symboliczne dualnych układów równań,
f) przedstawienie zapasów bezpieczeństwa jako funkcji zmiennych bazowych.
W zakresie algorytmu generowania warunków granicznych:
• przedstawiono szczegółowe zlinearyzowanie warunków teorii przystosowania płaskich układów prętowych złożonych z elementów o dowolnych przekrojach bisymetrycznych w przypadku uwzględniania zginania i sił podłużnych oraz dla przypadku
uwzględniania naprężeń normalnych i tnących,
• przedstawiono szczegółowe zlinearyzowanie warunków teorii przystosowania płaskich układów prętowych złożonych z elementów o dowolnych przekrojach monosymetrycznych w przypadku uwzględniania zginania oraz zginania z udziałem sił
podłużnych,
• wskazano też na niespójności klasycznych sformułowań kinematycznych ze sformułowaniami statycznymi teorii przystosowania i przedstawiono propozycje sformułowań kinematycznych spójnych ze sformułowaniami statycznymi.
Do określania wskaźnika niezawodności Hasofera–Linda i prawdopodobieństwa
awarii mogą być wykorzystane dowolne procedury numeryczne, na przykład zawarte
w systemie STRUDEL metody symulacyjne lub FORM i SORM.
W pracy zaproponowano procedurę iteracyjną, która umożliwia uwzględnianie
w każdym cyklu iteracji losowego charakteru tylko niektórych zmiennych. Proponowana procedura jest szczególnie efektywna, gdy iteracja jest zbieżna przy uwzględnianiu
w poszczególnych cyklach iteracji losowego charakteru tylko dwóch lub trzech zmiennych bazowych, gdyż punkt projektowy minimalizujący odległość od początku układu
współrzędnych może być wyznaczony w każdym kroku iteracji w drodze systematycznego przeszukiwania funkcji granicznej. W tym przypadku łatwo jest też ominąć ewentualne minima lokalne.
Przedstawione w pracy przykłady miały na celu przetestowanie zaproponowanego
algorytmu. W celu ich rozwiązania zaprogramowano odpowiednie procedury realizujące przekształcenia analityczne (obliczenia symboliczne) w systemie Mathematica. Dla
porównania różnych metod obliczeń wykorzystywano też system STRUREL do wyznaczania wskaźników niezawodności Hasofera–Linda w przypadku uwzględniania losowego charakteru dużej liczby zmiennych losowych w jednym cyklu obliczeniowym
(w szczególności do wyznaczania rozwiązań najbardziej wiarygodnych z wykorzystaniem symulacji).
7. Podsumowanie
135
Uzyskane wyniki, ze względu na ich ograniczony zakres, nie dają podstawy do wyciągania daleko idących wniosków, jednak wskazują, gdzie można szukać uproszczeń
i jakie elementy nie mogą być pomijane. Na ich podstawie można stwierdzić, że zmiany temperatury mogą w sposób istotny wpływać na wskaźnik niezawodności oraz że
uwzględnianie (bądź nieuwzględnianie) losowego charakteru parametrów fizycznych
i geometrycznych, na etapie wyznaczania sił przekrojowych, ma zdecydowanie mniejszy wpływ na wskaźnik niezawodności niż uwzględnianie losowego charakteru tych
zmiennych na pozostałych etapach obliczeń. Wskazuje to, że na etapie wyznaczania sił
przekrojowych możliwe są uproszczenia polegające na pomijaniu losowego charakteru
niektórych zmiennych lub uwzględnianiu tej losowości w sposób przybliżony, co jest
o tyle istotne, że ten etap analizy jest pracochłonny. Współrzędne określające położenie
przekrojów krytycznych w przęsłach prętów są zmiennymi losowymi zależnymi, a wyznaczenie analitycznych zależności tych zmiennych od zmiennych pozostałych jest
w ogólności niemożliwe. Jednak wpływ losowego charakteru tych zmiennych na wskaźnik niezawodności wydaje się stosunkowo mały, i – co ważniejsze – pomijanie losowego charakteru tych zmiennych prowadzi do oszacowań wskaźnika niezawodności bliskich oszacowaniom od dołu uzyskiwanym w drodze jego minimalizacji ze względu na
współrzędne określające położenie przekrojów krytycznych w przęsłach prętów.
Wykonane obliczenia wskazują na możliwości pomijania losowego charakteru niektórych parametrów na określonych etapach obliczeń, co wskazuje, że niezbędnym rozwinięciem pracy powinny być analizy numeryczne dla wybranych klas konstrukcji pozwalające na szczegółowe określenie możliwości tych uproszczeń.
Przedstawiony algorytm może być bezpośrednio wykorzystywany w ocenie bezpieczeństwa rusztów belkowych, których elementy są zginane w jednej płaszczyźnie. Stosunkowo łatwo może być rozszerzone jego wykorzystanie na ruszty (zginanie i skręcanie), dźwigary zginane w dwóch płaszczyznach oraz ocenę bezpieczeństwa z uwzględnieniem możliwości utraty stateczności, co może być istotne w szczególności w analizie kratownic. Możliwość utraty stateczności może być uwzględniana na dwa sposoby.
Pierwszym i zdecydowanie prostszym a przy tym prowadzącym do oszacowań bezpiecznych jest pominięcie pokrytycznej pracy konstrukcji, to jest przyjęcie, że utrata stateczności elementu, części konstrukcji lub konstrukcji oznacza awarię. Podejście to wymaga wprowadzenia dodatkowych ograniczeń dotyczących elementów ściskanych. Drugi
sposób, uwzględniający pokrytyczną pracę konstrukcji może być realizowany przez ograniczenia dotyczące elementów ściskanych uwzględniające nośności elementów w zależności od poziomu obciążenia. W tym przypadku możliwa jest iteracyjna analiza ograniczeń.
Dalszym rozszerzeniem zakresu oceny bezpieczeństwa konstrukcji w aspekcie teorii
przystosowania mogą być układy płytowe, płytowo belkowe i konstrukcje żelbetowe,
a także wybrane konstrukcje przestrzenne.
136
7. Podsumowanie
Cenna byłaby, zdaniem autora, efektywna algorytmizacja oceny bezpieczeństwa,
w aspekcie teorii przystosowania, wybranych konstrukcji poddanych działaniu obciążeń dynamicznych zarówno o określonym usytuowaniu (konstrukcje obciążone maszynami), jak i zmieniających swoje położenie (konstrukcje mostowe, belki podsuwnicowe).
Planowany zakres dalszych prac naukowych autora obejmuje:
• uwzględnienie w ocenie bezpieczeństwa konstrukcji według teorii przystosowania
możliwości utraty stateczności (w szczególności kratownic płaskich i przestrzennych),
• wykonanie analiz wpływu losowego charakteru parametrów konstrukcji na określonych etapach obliczeń w celu określenia możliwych uproszczeń analizy dla wybranych typów konstrukcji,
• wykorzystanie teorii przystosowania w ocenie bezpieczeństwa wybranych konstrukcji żelbetowych,
• wykorzystanie teorii przystosowania w ocenie bezpieczeństwa wybranych konstrukcji przestrzennych,
• wykorzystanie teorii przystosowania w ocenie bezpieczeństwa wybranych konstrukcji poddanych działaniu obciążeń dynamicznych,
• poszukiwanie efektywnych algorytmów numerycznych i numeryczno-analitycznych
oceny bezpieczeństwa w aspekcie teorii przystosowania konstrukcji złożonych
i z wykorzystaniem programowania nieliniowego.
137
Literatura
[1] Abdo T., Rackwitz R., A New Beta-Point Algorithm for Large Time-Invariant and Time-Variant Reliability Problems. 3rd IFIP Working Conf., Berkeley 1990.
[2] Ang A., H-S, Cornell C.A., Reliability Basis of Structural Design and Safety. J. Struct. Eng., ASCE,
100, ST9, 1974.
[3] Augusti G., Baratta A., Limit and shakedown analysis of structures with stochastic strengths, 2nd
Conf. Struct. Mech. in Reaktor Tech., Berlin 1973, 5, M7/8.
[4] Augusti G., Baratta A., Plastic shakedown of structures with stochastic local strengths, IABS Symp.
Lisboa 1973, 287–292.
[5] Augusti G., Baratta A., Casciati F., Probabilistic Methods in Structural Engineering, Chapman and
Hall, London 1984.
[6] Ayyub B.M., Haldar A., Practical structural reliability techniques. J. Struct. Eng., ASCE, 110(8),
1984, 1707–1724.
[7] Ayyub B.M., Lai K-L., Selective sampling in simulation-based reliability assessment. Int. J. Pres.
Ves & Piping, 46, 1991, 229–249.
[8] Baecher G. B., Ingra T.S., Stochastic FEM in settlement predictions, J. Geotech. Eng Div. ASCE,
107(GT4), 1981, 449–463.
[9] Ben Haim, Robust Reliability in the Mechanical Sciences. Springer, Berlin, Heidelberg, New York
1996.
[10] Biegus A., Nośność graniczna stalowych konstrukcji prętowych. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa–Wrocław 1997.
[11] Biegus A., Probabilistyczna analiza konstrukcji stalowych. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa–Wrocław 1999.
[12] Biegus A., Kowal Z., Seidel W., Badania doświadczalne przystosowania konstrukcji, Pol. Wroc.,
Raport I–2/7/77.
[13] Bjerager P., Probability integration by directional simulation. Journ. Eng. Mech. Div., ASCE, 114,
1988, 1285–1302.
[14] Bleich H., Über die Bemessung statisch unbestimmter Stahltragwerke unter der Berücksichtigung
des elastich-plastischen Verhaltens des Baustoffes, Bauingenieur 13, 1932, 261–267.
[15] Bobrowski D., Modele i metody matematyczne teorii niezawodności, WNT, Warszawa 1985.
[16] Bołotin W. M., Metody statystyczne w mechanice budowli. Arkady, Warszawa 1968.
[17] Bołotin W. M., Primienienije metodow tieorii werojatnostiej i tieorii nadieznosti w rascziotach soorużenii. Strojizdat, Moskwa 1971.
[18] Borkowski A., Kleiber M., On a numerical approach to shakedown analysis of structures, Comp.
Meth. Appl. Mech. Eng., 22, 1980, 101–119.
[19] Breitung, K., Asymptotic approximation for multinormal integrals. J. Eng. Mech. ASCE. 110 (3),
1984, 357–366.
138
Literatura
[20] Brzeziński R., König, J.A., Ocena maksymalnych ugięć ram sprężysto-plastycznych, Prace IPPT 60/
1971.
[21] Capurso M., Extended Displacement Bound Theorems for Continua Subjected to Dynamic Loading,
J. Mech. Phys. Solids, 23, 1975, 113–122.
[22] Ceradini G., Sull’ adattamento dei corpi elasto-plastici soggetti ad azioni dinamiche, Giorn. Genio
Civile 106, 4/5, 1969, 239–250.
[23] Ceradini G., Dynamic Shakedown in Elastic-Plastic Bodies, J. Eng. Mech. Div., ASCE, EM3, 1980,
481–499.
[24] Chen X., Lind N.C., Fast probability integration by three-parameter normal tail approximation. Struct.
Saf., l, 1983, 269–276.
[25] Cichoń Cz., Waszczyszyn Z., Obliczanie przystosowania łuków sprężysto-plastycznych do obciążeń
ruchomych. XX Konf. Nauk. KILiW PAN i KN PZITB, Krynica 1974, 53–61.
[26] Cichoń Cz., Waszczyszyn Z., The shakedown of an elastic-plastic arch under moving load.
.J.Struct.Mech., 3(3), 1974/75, 283–300.
[27] Cichoń Cz., The shakedown of circular arches for movable loads. Rozpr. Inż., 23(4), 1975, 641–656.
[28] Cornell C.A., Bounds on the Reliability of Structural Systems. Journal of the Struct. Div., ASCE,
vol.93, ST1, 1967, 117–200.
[29] Cornell C.A., A first-order reliability theory for Structural design. Study 3, Struct. Reliab. and Codified Design. University of Waterloo, Ontario 1969.
[30] Cornell C.A., A probability-based Structural Code. AGI Journal, 66(12), 1969,. 974–985.
[31] Corotis R.B., Nafday A.M., Structural systems reliability using linear programming and simulation,
J. Struct. Eng. ASCE 124, 1989, 966–973
[32] Corradi L., Maier G., Dynamic non-shakedown theorem for elastic perfectly plastic continua, J. Mech.
Phys. Solids, 22, 1974, 401–413.
[33] Corradi L., Zavelani A., A Linear Programming Approach to Shakedown Analysis of Structures, Comp.
Appl. Mech. Eng., 3(37) 1974, 401–413.
[34] Cyras A., Metody linjejnogo programirovaniya pri raschete uprugoplasticheskich sistem, Izd. Lit.
Stroit., Leningrad 1969
[35] Deak I., Three digit accurate multiple normal probabilities. Numer. Maths., vol. 35, 1985, 369–380.
[36] Ditlevsen O., Narrow reliability bounds for structural systems. Journal of Structural Mechanics. 7(4),
1979, 453–472.
[37] Ditlevsen O., Uncertainty modeling. McGraw-Hill, New York 1981.
[38] Ditlevsen O., Clipped Normal FBC Load Combination by Deak simulation. DCAMM Reports, Technical Univ. of Denmark, Lyngby 1985.
[39] Ditlevsen O., Madsen H.O., Structural Reliability Methods. John Wiley & Sons, Chichester 1996.
[40] Dorosz, S., König, J. A., Sawczuk, A., Biegus, A., Kowal, Z., Seidel, W., Deflections of elastic-plastic hyperstatic beams under cyclic loading, Arch. Mech Stos. 33, 1981, 611–624.
[41] Drücker D., A definition of stable inelastic material, J. Appl. Mech. 26, 1959, 101–106.
[42] Dziubdziela W: Kopociński B, Kowal Z., Losowa nośność graniczna konstrukcji o trzech minimalnych krytycznych zbiorach elementów mających elementy wspólne, Arch. Inż. Ląd. 1, 1974, s. 123–134.
[43] Eimer Cz., Podstawy teorii bezpieczeństwa konstrukcji. Rozp. Inż.. t. ll. z. l, 1963.
[44] Elishakoff I., Probabilistic Methods in the Theory of Structures, Wiley, New York 1983.
[45] Engelund S., Rackwitz R., Experiences with Experimental Design Schemes for Failure Surface Estimation and Reliability, Proc. 6th Speciality Conf. Probab. Mech. and Struct. and Geotech. Reliab.,
Denver, 1992, 252–255.
Literatura
139
[46] Eyre D.G., Galambos T.V., Shakedown tests on steel bars and beams, J. Struct. Div. 96, 1970,
1284–1304.
[47] Faravelli L.A., A response surface approach for reliability analysis. J. Eng. Div., ASCE. 115(12),
1989, 2763–2781.
[48] Fiessler B., Neumann H-J., Rackwitz R., Quadratic Limit States in Structural Reliability. J. Eng.
Mech. Div., ASCE, vol.l05. No EM4, 1979, 661–676.
[49] Fujita M., Rackwitz R., Updating first- and second-order reliability estimates by importance sampling. Struc. Eng. Erthquake Eng., Japan Society of Civil Eng., 5(l), 1988, 53–59.
[50] Fukumoto Y., Yoshida H., Deflections stability of beams under repeated loads, J. Struct. Div. 95,
1969, 1443–1458.
[51] Freudental A.M., Safety and the probability of Structural failure. Proc. American Society of Civil
Eng. (ASCE), vol. 80, 1954, 468/1–46.
[52] Gass S.I., Programowanie liniowe, PWN, Warszawa 1973.
[53] Gavarini C., Plastic analysis of structures and duality in linear programing, Meccanica 1, 1966.
[54] Gokhfeld D.A., Nekotorye zadachi teorii prisposoblyaemosti plastin i obolochek, In: Trudy VI Vsesoyuznoj Konf. Plastin i Obolochek, Baku 1966, Izd. Nauka, Moskwa 1966, 284–291.
[55] Grundy P., Shakedown under moving loads. Civil Eng. Trans. CE 13, 1971, 31–34.
[56] Grüning M., Die Tragfähigkeit statisch unbestimmter Tragwerke aus Stahl bei beliebig haufig wiederholter Belastung, Springer, Berlin 1926.
[57] Hachemi A., Weichert D., Numerical shakedown analysis of damaged structures. Comp. Met. Appl.
Mech. Eng.. 160, 1998, 57–70.
[58] Handa K., Andersson K., Aplication of finite element methods in the statistical analysis of structures, Proc. 3rd ICOSSAR 1981, 409–417.
[59] Hasofer A.M., Lind N.C., An Exact and Invariant First-Order Reliability Format, Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, 100(EM1), 1974, 111–121.
[60] Heitzer M., Staat M., Structural Reliability Analysis of Elasto-Plastic Structures. A.A.Balkema, Rotterdam, Brookfield, 1999, 513–518.
[61] Heitzer M., Staat M., Direct FEM limit and Shakedown analysis wth uncertain data, ECOMAS 2000,
Barcelona, CD-ROM, dok. 483, 13 stron.
[62] Heyman J., Automatic analysis of steel-framed structures under fixed and varying loads, Proc. Inst.
Civ. Eng., 12, 1959, 39–48.
[63] Heyman J., Johnson R.P., Powler P.P., Gillson I.P., Shakedown analysis, the design of 275 kV switchhouse, Struct. Eng. 46, 1968, 97–106.
[64] Hisada, T. Nakagiri, S., Stochastic finite element developed for structural safety and reliability, Proc.
4th ICOSSAR, 1981, 395–408
[65] Hisada T., Nakagiri S., Role of the Stochastic Finite Element Method in Structural Safety and Reliability, Proc. 4th ICOSSAR, Kobe, Japan 1985, s. 385–394.
[66] Hodge P.G., Plastic Analysis of Structures, McGraw-Hill, New York 1959.
[67] Hohenbichler M., Gollwitzer S., Kruse W., Rackwitz R., New light on first and second-order reliability methods. Struct. Saf., 4, 1987, 267–284.
[68] Hohenbichler M., Rackwitz R., Non-normal dependent Vectors in Structural Safety. J. Eng. Mech.
Div., ASCE. Vol. 107, No EM6, 1981, 1227–1237.
[69] Hohenbichler M., Rackwitz R., Improvement of the second-order reliability estimates by importance
sampling. J. Eng. Mech,, ASCE, 114,12, 1988, 2195–2199.
[70] Horne M.R., Effect of variable repeated loads in the plastic theory of structures, In: Engrneering
Siructures, Academic Press, New York 1949, 141–151.
140
Literatura
[71] Huber M.T., Stereomechanika techniczna, PZWS, Warszawa 1951.
[72] Hwa Shan Ho, Shakedown in Elastic-Plastic Systems under Dynamic Loadings, J. Appl. Mech. Div.,
39, 1972, 416–421.
[73] Jendo S., Putresza J., Multicriterion reliability-based optimization of bar structure by stochastic programing, Arch. Civ. Eng. 42, 1996, 3–18.
[74] Kahn M., Marshall W., Methods of reducing sample size in Monte Carlo computations. Oper.Res.,
1,1953, 1953, 263–278.
[75] Kamenjarzh J., Weichert D., On Kinematic upper bounds for the safety factor in shakedown theory,
Int. J. of Plast. 8, 1992, 827–837.
[76] Karamachandani A., Bjerager P., Cornell C., Adaptive importance sampling, Proc., 5th ICOSSAR
1989. s.855- 862. 13.
[77] Karamachandani A., Cornell C., Adaptive hybrid conditional expectation approaches for reliability
estimation, Struct. Saf., ll, 1991, 59–74.
[78] Knabel J., Analiza niezawodności konstrukcji sprężysto-plasycznych przy użyciu powierzchni odpowiedzi, Prace IPPT PAN, 6, 2004.
[79] Koiter W.T., Some remarks on plastic shakedown theorems, Proc. 8th Int. Congr. Theor. and Appl.
Mech., Istanbul 1952, 220–230.
[80] Koiter W.T., A new general theorem on shakedown of elastic-plastic structures, Proc. Koninkl. Ned.
Akad. Wet. B 59, 1956, 24–34.
[81] Koiter W.T., General theorems for elastic-plastic solids, In: Progress in Solid Mechanics, North Holland, Amsterdam 1960, 165–221.
[82] Konieczny L., Teoria przystosowania się belek, Mech. Teoret.i Stos. 8, 1970, 259–276.
[83] Kopociński B., Kowal Z., Losowa nośność graniczna konstrukcji o dwóch minimalnych krytycznych
zbiorach elementów mających elementy wspólne, Arch. Inż. Ląd. 1, 1972, s. 103–115
[84] Kowal Z., Nośność graniczna konstrukcji złożonych z elementów równolegle połączonych z punktu
widzenia teorii niezawodności, Arch. Inż. Ląd. 4, 1971, s. 611–619.
[85] Kowal Z., Zubrzycki S., O bezpieczeństwie ustrojów prętowych, Arch. Inż. Ląd. 1, 1970, s. 213–221
[86] König J.A., Zagadnienia teorii dostosowywania się konstrukcji sprężysto-plastycznych, IPPT PAN,
Warszawa 1965.
[87] König J.A., Theory of shakedown of elastic-plastie structures, Arch. Mech. Stos. 18, 1966, 227–238.
[88] König J.A., A shakedown theorem for temperature dependent elastic moduli. Bull. Acad. Polon. Sci.
Ser. Sci. Tech. 17, 1969, 161–165.
[89] König J.A., Podstawowe twierdzenia z zakresu teorii dostosowywania się konstrukcji sprężysto-plastycznych do obciążeń zmiennych w czasie, Mech. Teoret. i Stos. 8, 1970, 149–158.
[90] König J.A., A method of shakedown analysis of frames and arches, Internat. J. Solids and Struct. 7,
1971, 327–344.
[91] König J.A., Projektowanie konstrukcji sprężysto-plasycznych przy obciążeniach zmiennych, IPPT PAN.
24, 1974.
[92] König J.A., Shakedown of elastic-plastic structures, PWM, Warszawa, Elsevier, Amsterdam–Oxford–New York–Tokyo 1987.
[93] König J.A., Sawczuk A., Paprocka-Grabczyńska W., Obliczanie ram i belek na przystosowanie, Zeszyty Problemowe Mostostal nr 5, Warszawa 1974.
[94] Levi R., Calculs probabilistes de la sćcurite des constructions, Ann. Ponts et Chaussees. 119(4), 1949,
493–539.
[95] Levi R., L’application de la theorie des probabilistes aux calculs de resistance. Annales des Travaux
Publics de Belgique. 54, 1953, 175–206.
Literatura
141
[96] Levi R., Les calculs de securote en matiere de fondations. Annales de 1’Institut Technique du Batiment et des Travaux Publics. 11, 1958, 541–544.
[97] Lind N.C., Formulation of probabilistic design. J. Eng. Mech. Div., ASCE. 103, No. EM2, 1977,
273–284.
[98] Lind N.C., Optimal reliability analysis by fast convolution. J. Eng. Mech. Div., ASCE, Vol. 105, No.
EM3, 1979, 447–452.
[99] Łubiński M., Filipowicz A., Żółtowski W., Konstrukcje metalowe, cz. I, Arkady, Warszawa 2005.
[100] Madsen H.O., Krenk S., Lind N.C., Methods of Structural Safety, Prentice-Hall, Inc., New Jersey
1986.
[101] Maier G., Shakedown theory in perfect elastoplasticity with associated and non-associated flowlaws, Meccanica 6, 1969, 250–260.
[102] Maier G., A matrix structural theory of piecewise-linear plasticity with interacting yieid planes,
Meccanica 7, 1970, 51–66.
[103] Maier G., A shakedown matrix theory allowing for workhardening and second-order geometric effects, Proc. Symp. Foundations of Plasticity, Warszawa 1972, 417–433.
[104] Marquardt D.W., An algorithm for least-squares estimation of non-linear parameters, J. Soc. Indust. Appl. Math, 11(2), 1963.
[105] Martin J.B., Plasticity, Fundamentals and General Results, MIT Press, Cambridge, Massachusetts,
and London 1975.
[106] Massonet C., Essais d’adaptation et de stabilisation plastique sur des poutrelles lamineés. Proc.
IABSE 13, 1953, 239–282.
[107] Melan E., Theorie statisch unbestimmter Systeme, Proc. Second Congr. IABSE, Berlin 1936, 43–64.
[108] Melan E., Die Theorie statisch unbestimmter Systeme aus ideal plastischem Baustoff, Sitber. Akad.
Wiss. Wien IIa 145, 1936, 195–218.
[109] Melan E., Der Spannungszustand eines Mises-Henckyschen Kontinuums bei veräderlicher Belastung,
Sitber. Akad. Wiss. Wien IIa 147, 1938, 73–87.
[110] Melan E., Zur Plastizität des raumlichen Kontinuums, Ing. Archiv 8, 1938, 116–126.
[111] Melchers R.E., Efficient Monte Carlo Probability Integration, Res. Rep. Monash University No. 7,
1984.
[112] Melchers R.E., Simulation in time-invariant and time-variant reliability problems. W: Proc. 4th IFIP
WG 7.5 Conf. On Reliability and Optimization of Structural Systems, Munich, Germany, Sept. 11–13,
1991, 39–82.
[113] Melchers R.E., Structural Reliability Analysis and Prediction, Wiley & Sons, Baffins Lane, Chichester 1999.
[114] Mendera Z., Metoda stanów granicznych i probabilistyczny model obciążeń konstrukcji, Arch. Inż.
Ląd., 25, 1979, 43–65.
[115] Mises R., Mechanik der plastischen Formanderung von Kristallen, ZAMM 8(3), 1928, 161–183.
[116] Mrazik A., Skaloud M, Tochacek M., Rasczet i projektirowanije stalnych konstrukcji s uczetom plasticzeskich deformacji, Stroizdat, Moskwa 1986.
[117] Murzewski J., Bezpieczeństwo konstrukcji budowlanych. Arkady, Warszawa 1970.
[118] Murzewski J., Niezawodność konstrukcji inżynierskich. Arkady, Warszawa 1989.
[119] Myers, R.H., Response Surface Methodology, Boston, Allyn and Bacon, Inc., 2002.
[120] Myers R.H., Montgomery D.C., Response Surface Methodology Process and Product Optimisation
Using Design Experiments. John Wiley and Sons, 1995.
142
Literatura
[121] Neal B.G., Plastic collapse and shakedown theorems for structures of strain-hardening material,
J. Aero. Sci. 17, 1950, 297–306.
[122] Neal B.G., The behaviour of framed structures under repeated loading, Quart. J. Appl. Math. 4,
1951, 78–94.
[123] Neal B.G., The Plastic Methods of Structural Analysis, Chapman and Hall, London 1963.
[124] Neal B.G., Symonds P.S., A method for calculating the failure load for a framed structure subjected to fluctuating loads, J. Inst. Civ. Eng. 35, 1950–51, 186–197.
[125] Neal B.G., Symonds P.S., Cyclic loading of portal frames, theory and tests, Pub. IABSE 18, 1958,
171–199.
[126] Nguyen Dang Hung, König J.A., A finite element formulation for shakedown problems using a yield
criterion of the mean. Com. Meth. Appl. Mech. Eng. 8, 1976, 179–192.
[127] Nowak A.S., Collins K.R., Reliability of Structures, MC Graw Hill 2000.
[128] Orkisz J., Analiza naprężeń resztkowych w szynach kolejowych wywołanych obciążeniem eksploatacyjnym – model obliczeniowy, VII Konf. Met. Komp. w Mech., Gdynia 1985, 1347–1356.
[129] Orkisz J., Koncepcja obliczania aktualnych naprężeń resztkowych przy dyskretyzacji metodą hybrydowych elementów skończonych, VIII Konf. Met. Komp. w Mech., Jadwisin 1987, 137–144.
[130] Orkisz J., Paznowski M., Obliczanie aktualnych naprężeń resztkowych MRS w ciałach pryzmatycznych poddanych obciążeniom cyklicznie zmiennym, VIII Konf. Met. Komp. w Mech., Jadwisin 1987,
145–153.
[131] Orkisz J., Orringer O., Holowiński M., Pazdanowski M., Cecot W., Discrete Analysis of Actual Residual Stresses Resulting from Cyclic Loadings, Comp. and Struct., 35, 1990, 397–412.
[132] Orkisz J., Concept of analysis of residual stresses based on enhanced data obtained from destructive measurement techniques, Proc. XI Polish Conf. on Comp. Meth in Mech., Kielce-Cedzyna 1993,
667–674.
[133] Parkes E.W., Wings under repeated termal stress, Aircraft Eng.26, 1954, 402–411.
[134] Parkes E.W., Incremental collaps due to termal stress, Aircraft Eng.28, 1956, 395–402.
[135] Pham D.C., Shakedown of bars subjected to cycles of loads and temperature, Int. J. Solid. Struct.,
30, 1993, 1173–1179.
[136] Pham D.C., Shakedown Analysis for Trusses and Frames, J. Appl. Mech., 64, 1997, 415–419.
[137] Pham D.C., Stumph H., Kinematical approach to shakedown analysis of some structures, Q. Appl.
Mech., 52, 1994, 707–719.
[138] Polizzotto C., A unified treatment of shakedown theory and related bounding techniques, S. M. Arch.
7, 1982, 19–75.
[139] Ponter A.R.S., Deformation, displacement and work bounds for structures in a state of creep and
subjected to variable loading. Trans. ASME, ser. E, J. Appl. Mech. 39, 1972, 953–963.
[140] Popov E.P., McCarthy R.E., Deflection stability of frames under repeated loads, J. Eng. Mech. Div.
86, 1960, 61–78.
[141] Prager W., Problem types in the theory of perfectly plastic materials, J. Aero. Sci. 15, 1948, 337–341.
[142] Prager W., Shakedown in elastic-plastic media subjected to cycles of load and temperature, Proc.
Symp. Plasticita nelle Scienza Scienza delle Costruzioni, Bologna 1956, 239–244.
[143] Prandtl L., Ein Gedenkenmodell zur kinetischen Theorie der festen Körper, ZAMM, 8, 1928, 85–106.
[144] Puła W., Zastosowania teorii niezawodności konstrukcji w ocenie bezpieczeństwa fundamentów,
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej 2004.
[145] Pycko S., Mróz Z., Alternative approach to shakedown as a solution of min max problem, Acta
Mechanica 93, 1992, 205–222.
Literatura
143
[146] Rackwitz R., Response surfaces in structural reliability. Berichte zur Zuverlassigkeitstheorie der
Bauwerke, Heft 67, 1982, LKI, Technische Universitat Munchen 1982.
[147] Rackwitz R., Fiessler B., Structural reliability under combined random loads sequences. Computers and Structures, No. 9, 1978, 489–494.
[148] Rosenblatt M., Remarks on a multivariate transformation. Annals of Mathematical Staistics 23, 1952,
470–472.
[149] Rosenbluth E., Esteva L., Reliability Bases of Some Mexican Codes. ACI Publications, SP-31, 1–41.
Detroit, Michigan, American Concrete Institute, 1972.
[150] Rozenblum V.I., O prisposoblyaemosti neravnomierno nagretykh uprugo-plasticheskikh tel, Izw.
Akad. Nauk SSSR. OTN, Mekh. Mash. 7, 1957, 136–138.
[151] Rozenblum V. I., K analizu prisposoblyaemosti neravnomerno nagretykh uprugo-plasticheskikh tel,
Prikl. Mat. Tkh. Fiz. 5, 1965, 98–101.
[152] Rubinstein R., Simulation and the Monte Carlo Method. J. Wiley, New York 1981.
[153] Rżanicyn A.R., Opriedelenie zapasa procznosti soorużenii, Stroit. Prom. 8, 1947.
[154] Rżanicyn A.R., Statsticzeskoje obosnowanije rasczotnych koefficientow. Matieriały k tieorii rasczota
po predielnomu sostojaniju. Strojizdat, Moskwa 1949.
[155] Rżanicyn A.R., K problemie rasczotow soorużenij na biezopasnost. W: Woprosy biezopasnosti i procznosti stroitelnych konstrukcij, Strojizdat, Moskwa 1952.
[156] Sawczuk, A., On incremental collapse of shells under cyclic loading, IUTAM Syrnp Theory of Thin
Shells, Copenhagen 1967, Springer Verlag, Berlin 1969, 328–340.
[157] Sawczuk A., Wprowadzenie do mechaniki konstrukcji plastycznych. PWN, Warszawa 1982.
[158] Siemaszko A., Bielawski B., Knabel J., Shakedown and Limit Reliability-Based design. Struct. Mech.
In Reactor Technol. Washington 2001, CD.
[159] Sieniawska R., Wysocka A., Żukowski S., Niezawodność belek stalowych ze względu na przystosowanie. XXXVI Konf. Nauk. KILiW PAN i KN PZITB Krynica 1990. T. 1, 1990, 71–76.
[160] Sieniawska R., Wysocka A., Żukowski S., Niezawodność belek w zakresie sprężysto-plastycznym.
XLII Konf. Nauk. KILiW PAN i KN PZITB Krynica 1996. T. 2. Kraków 1996, 161–168
[161] Sieniawska R., Wysocka A., Żukowski S., Reliability of Girders due to Loads, which Change their
Location. Z. Angew. Math. Mech. 78(3), 1998, 1077–1078.
[162] Sieniawska R., Wysocka A., Żukowski S., Reliability and Sensitivity Analysis of Trusses. Z. Angew. Math. Mech. 80(2), 2000, 457–458.
[163] Sieniawska R., Wysocka A., Żukowski S., Reliability of Elastic-Elastic Bar Systems Loaded Dynamically. Z. Angew. Math. Mech., 81(3) 2001, 643–644.
[164] Sieniawska R., Wysocka A., Żukowski S., Reliability Analysis of Elastic-Plastic Frames under Wind
Load, Proc. Appl. Math. Mech., 1, 2002, 177–178.
[165] Sieniawska R., Wysocka A., Żukowski S., Reliability of a Rail with Respect to the Shakedown, Proc.
Appl. Math. Mech., 3, 2003, 503–504.
[166] Sieniawska R., Żukowski S., Topics in reliability of the elastic-plastic structures. A case study of
wind loaded chimney. Proc. IFIP Working Conference, Ann Arbor, Michigan, USA, 2000, 217–224.
[167] Sindel R., Gollwitzer S., Rackwitz R., Problems and Solutions Strategies in Reliability Updating.
Proc. 15th OMAE, Florence 16–20. 06.1996. ASME, Vol. 2, 1996, 111–118.
[168] Skrzypek J., Plastyczność i pełzanie. Teoria, zastosowania, zadania, PWN, Warszawa 1986.
[169] Sundarajan S.R. i inni (praca zbiorowa), Probabilistic Structural Mechancs Handbook. Chapman
& Hali, New York 1995.
[170] Śniady P., Podstawy stochastycznej dynamiki konstrukcji. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2000.
144
Literatura
[171] Śniady P., El-Meligy M., Żukowski S., Structural Design Sensityvity in SFEM Formulation, Proc.
IFIP., Takamatsu, Kagawa Japan 1993, North-Holland, Amsterdam 1993, 245- 251.
[172] Śniady P., Sieniawska R., Żukowski S., Reliability of corrugated sheets with respect to the shakedown, Int. Conf. on Light. Struct. Warsaw, 1995, 651–655.
[173] Śniady P., Sieniawska R., Żukowski S., Reliability of bridge beams with hybrid cross-sections, Arch.
Civ. Mech. Eng., 3(1), 2003, 13–23.
[174] Śniady P., Sieniawska R., Żukowski S., Reliability of a concrete bridge with respect to the reinforcement chloride corrosion, Arch. Civ. Eng., 3, 2004, 381–399.
[175] Śniady P., Sieniawska R., Żukowski S., Reliability of elastic-plastic beams taking into account bending and shearing, ICOSSAR 2005, Millpress Rotterdam 2005, 831–835.
[176] Śniady P., Żukowski S., Stateczność konstrukcji prętowych w ujęciu probabilistycznym. VIII Konf.
Metody komputerowe w mechanice konstrukcji, Jadwisin 1987. T. 2, 1987, 379–386.
[177] Śniady P., Żukowski S., Probabilistyczna analiza statyczna kratownic. Arch. Inż. Ląd. 1988, T. 34(2)
1988, 175–189.
[178] Śniady P., Żukowski S., Niezawodność konstrukcji prętowych w aspekcie teorii przystosowania.
IX Konf. Metody komputerowe w mechanice. Kraków-Rytro 1989. T. 3, 1989, 1001–1008.
[179] Śniady P., Żukowski S., Ocena bezpieczeństwa konstrukcji prętowych z uwagi na możliwość utraty
stateczności. Arch. Inż. Ląd. 1991 37(2), 165–177.
[180] Śniady P., Żukowski S., The reliability of bar structures in the light of the shakedown theory. Proc.
4th IFIP Conference. Munich 1991. Springer Verlag Berlin 1992, 351–362.
[181] Śniady P., Żukowski S., The reliability and sensitivity of space truss structures under time-variable
loads. Conference on Space Structures, Guildford, UK, 1993. London, Thomas Telford 1993,
442–451.
[182] Śniady P., Żukowski S., The reliability of elastic-plastic structures under time-dependent load. Proc.
6th ICOSSAR 93 International Conferenc, Innsbruck 1993. Vol. 2. Rotterdam; Brookfield,
A.A.Balkema 1994, 1407–1410.
[183] Śniady P., Żukowski S., Design sensityvity of spatial structures with random parameters, Proc. IASS
Int. Symp., Milano 1995, 1, 111- 118.
[184] Templin R. L., Sturm R.G., Some stress-strain studies of metals. J. Aero. Sci. 7, 1940, 189–198.
[185] Timoschenko S.P., Strength of materials, Van Nostrand Comp., New York 1955–1956.
[186] Toft-Christensen P., Baker M.J., Structural Reliability Theory and Its Applications. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1982.
[187] Toft-Christensen P., Murotsu Y., Application of Structural System Reliability Theory. Springer-Verlag, Berlin 1886.
[188] Weichert D., Gross-Weege J., The numerical assessment of elastic-plastic sheets under variable mechanical and thermal loads using a simplified two-surface yield condition. Int. J. of Mech. Sci. 30,
1988, 757–767.
[189] Wierzbicki W., W sprawie bezpieczeństwa pręta wyciąganego osiowo. Czasopismo Techniczne.
55(16), 1937, 273–277.
[190] Wierzbicki W., Bezpieczeństwo budowli jako zagadnienie prawdopodobieństwa. Przegląd Techniczny,
690, 1956.
[191] Woliński Sz., Wróbel K., Niezawodność konstrukcji budowlanych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2001.
[192] Wong F.S., Slope Reliability and Response Surface Method, J. Geotech. Eng., ASCE, 111(l), 1985,
32–53.
[193] Wysocka A., Żukowski S., The reliability of bar structures in view of shakedown. X Polish Conf.
On Computer Methods in Mechanics. Świnoujście 1991, 2. 1991, 793–800.
Literatura
145
[194] Yamazaki F., Shinozuka M., Dasgupta G., Neumann expansion for stochastic finite element analysis, J. Eng. Mech., ASCE, 114(8), 1988, 1335–1354.
[195] Yan A.M., Nguyen Dang Hung, Shakedown of structures by improved Koiter’s theorem. Proc. Nat.
Cong. on Theor. and Appl. Mech. 1997, 449–452.
[196] Yan A.M., Nguyen Dang Hung, Limit analysis of cracked structures by mathematical programming
and finite element technique, Comp. Mech. 24, 1999, 319–333.
[197] Zarka J., Casier C., Elastic-plastic response of a structure to cyclic loading, Practical rules, Mechanics Today, Pergamon Press 6, 1979, 1663–1669.
[198] Zeitoun D.G., Baker R., Uzan J., Application of random plasticity to soil mechanics. Structural Safety, 1988, 79–93.
[199] Zieliński R., Generatory liczb losowych. WNT, Warszawa 1970.
[200] Zwoliński J., Bielawski G., Optymalny dobór naprężeń resztkowych dla wyznaczenia nośności granicznej i przystosowania się konstrukcji, VIII Konf. Metod. Komp. w Mech. Konstr., Jadwisin 1987,
459–458.
[201] Żukowski S., Przystosowanie a nośność graniczna w przypadku obciążeń zmiennych, II Konf. Nauk.
Bad. Noś. Gran. Konstr. Met., Wrocław–Karpacz 2001, 233–240.
146
Safety estimation of the plane bar structures
based on the shakedown theory point of view
In the dissertation an algorithm for the probabilistic safety estimation of the plane
bar structures made of elastic perfectly plastic materials is presented. The approach concerns two fundamental problems: determining the limit conditions on the basis of the
shakedown theory and estimating the structure safety applying the reliability theory. The
algorithm takes into account the static live and dead loads including temperature changes over the ranges in which it can be assumed that they do not change the material properties. The relationships presented apply also to the case of dynamic loads.
Based on the related literature a historical review of the shakedown theory is made
and the results of experimental investigations which justify the fact of choosing this theory
as a basis for estimation of the safety of structures made of elastic perfectly plastic materials are given. The basic assumptions and theorems of this theory are presented, too.
An inconsistency between classical kinematic and static formulations of shakedown has
been pointed out and an approach to its elimination has been proposed. For formulating
the limit conditions an algorithm which uses the analogy between the primary and dual
tasks of linear programming and between the static and kinematic formulations of the
shakedown theory has been proposed. The algorithm includes setting up the systems of
linear equations which describe the structure shakedown, building systems of linear equations from the primary constraints and dual systems of equations, the solutions of which
allow limit boundaries to be determined as functions of variables describing the structure and its load. The limit conditions obtained may be treated as the kinematic constraints which, together with corresponding statical formulations, generate the closed
solutions. The linear shakedown conditions expressed through the cross-sectional forces for the bisymmetric cross-sections for the case of bending, the bending with axial
force and for the bending with the axial and shear forces are presented in detail. The
inexactness of the existing static theorem for bended elements with mono-symmetric
cross-section is pointed out. The linearized shakedown conditions for the bending and
for the bending with the axial force expressed through the cross-sectional forces are derived. The shakedown conditions appropriate for the safety assessment of elements with
hybrid cross-sections are presented.
Safety estimation of the plane bar structures based on the shakedown theory point of view
147
Like for the shakedown case, a historical review of the development of the reliability theory based on the related literature is presented. Scarce publications about the reliability assessment from the shakedown theory point of view are taken into account. Basic measures and methods of determining them applied to the reliability theory are described. An iterative algorithm for computing to the Hasofer–Lind reliability coefficient
is proposed. The fundamental reliability systems and their usage for the structure modeling are discussed in the context of safety assessment based on the shakedown theory.
The algorithm introduced in this publication may be easily adopted to the assessment of structures with different cross-sections than shown above (e.g., concrete ones)
and to take into account other structure states which are regarded as failure, for example, loss of stability.
The application of the idea of the structure safety assessment proposed is illustrated
by two examples. Some solutions of these examples, showing different elements of the
algorithm considered are presented.
Spis treści
Podstawowe oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Cel i zakres pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Cel pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Zakres pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Podstawy teorii przystosowania układów prętowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Założenia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Istota i kryteria teorii przystosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Twierdzenia statyczne o przystosowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Twierdzenie Melana dla kontinuum materialnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Twierdzenie o przystosowaniu wyrażone poprzez siły przekrojowe . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Twierdzenie Bleicha i Bleicha–Melana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Przystosowanie układów prętowych o przekrojach monosymetrycznych . . . . . . . . . .
2.5. Twierdzenia kinematyczne o nieprzystosowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Twierdzenie kinematyczne dla kontinuum materialnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Twierdzenie kinematyczne o nieprzystosowaniu wyrażone przez siły przekrojowe . .
2.5.3. Twierdzenie kinematyczne Neala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Wyznaczanie warunków granicznych dla konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Wykorzystanie programowania liniowego do określania warunków granicznych
dla konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Warunki przystosowania w ujęciu programowania liniowego w przypadku uwzględniania
zginania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Układy prętowe o przekrojach idealnie dwuteowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Układy prętowe o przekrojach bisymetrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Układy prętowe o przekrojach monosymetrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. Układy prętowe o przekrojach hybrydowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
zginania z udziałem sił podłużnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Układy prętowe o przekrojach bisymetrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Układy prętowe o przekrojach monosymetrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
naprężeń normalnych i tnących . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Przekroje typu prostokątnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.1. Zginanie i ścinanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.2. Zginanie, rozciąganie i ścinanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3. Przekroje typu dwuteowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.1. Zginanie i ścinanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.2. Zginanie, rozciąganie i ścinanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
9
9
10
12
12
16
18
23
23
24
25
26
27
27
28
28
29
29
32
39
39
41
43
48
51
51
56
59
59
61
61
65
69
69
72
150
3.5.4. Quasi-linearyzacja warunku plastyczności na poziomie przekroju . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Algorytm określania zapasu bezpieczeństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Podstawowe miary i metody oceny bezpieczeństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Prawdopodobieństwo awarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Współczynnik bezpieczeństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Wskaźniki niezawodności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Wskaźnik niezawodności Cornella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Wskaźnik niezawodności Rosenblutha–Estevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Wskaźnik niezawodności Hasofera–Linda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Metody FORM i SORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Metody symulacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Metoda Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Metoda symulacji ważonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Metoda warunkowej wartości oczekiwanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4. Metoda adaptowanej warunkowej wartości oczekiwanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.5. Metoda symulacji kierunkowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Metody aproksymacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1. Metoda powierzchni odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2. Aproksymacja gęstości prawdopodobieństwa zapasu bezpieczeństwa
wielomianami ortogonalnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Metody numerycznego obliczania momentów probabilistycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1. Metoda perturbacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2. Wykorzystanie rozwinięcia Neumanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. Metoda iteracyjna wyznaczania wskaźnika niezawodności Hasofera–Linda . . . . . . . . . . . . .
5. Niezawodność konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Modele niezawodnościowe konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Niezawodność systemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Oszacowanie sumy i iloczynu zdarzeń zależnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Przykłady ilustrujące zastosowanie proponowanego algorytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Przykład 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Przykład 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatura
....................................................................
76
78
84
84
86
87
88
88
89
90
91
93
93
94
95
96
97
98
98
99
100
100
102
103
105
105
110
112
115
115
127
133
137
1. Wstęp
151
Contents
List of notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Objective and scope of the dissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Objective of the dissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Scope of the dissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Basics of the shakedown theory of the bar structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Basic assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Essence and criteria of the shakedown theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Static theorems of the shakedown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Melan theorem of the material continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Shakedown theorem in terms of the internal forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Bleich and Bleich–Melan theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Shakedown of the bar structures of mono-symmetrical cross-sections . . . . . . . . . . . .
2.5. Kinematic theorem of the unshakedown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Kinematic theorem of the material continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Kinematic theorem of the unshakedown in terms of the internal forces . . . . . . . . . . .
2.5.3. Neal kinematic theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Formulation of the structure limit conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Application of the linear programming to formulation of the structures limit conditions . . .
3.3. Shakedown conditions in terms of linear programming in the case of bending . . . . . . . . . . .
3.3.1. Bar structures of the ideal I-sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Bar structures of the bisymmetrical cross sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Bar structures of the mono-symmetrical cross sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. Bar structures of the hybrid cross sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Shakedown conditions in terms of linear programming in the case of bending and
longitudinal forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Bar structures of the bisymmetrical cross sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Bar structures of the mono-symmetrical cross sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Shakedown conditions in terms of linear programming in the case of normal and shear
stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Cross sections of the rectangular type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.1. Bending and shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.2. Bending, tension and shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3. Cross sections of the I-section type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.1. Bending and shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.2. Bending, tension and shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
9
9
10
12
12
16
18
23
23
24
25
26
27
27
28
28
29
29
32
39
39
41
43
48
51
51
56
59
59
61
61
65
69
69
72
152
3.5.4. Quasi-linearization of the plastic condition on the cross sections level . . . . . . . . . . .
3.6. Algorithm for determining the safety margin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Basic measures and methods for the safety estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Probability of failure occuring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Safety factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Safety indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Cornell safety index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Rosenbluth–Esteva safety index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Hasofer–Lind safety index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. FORM and SORM methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Simulation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Monte Carlo method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Importance sampling method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Conditional expectation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4. Adaptive conditional expectation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.5. Directional simulation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Approximation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1. Response surface method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2. Approximation of the safety margin probability density by the orthogonal
polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Methods of the numerical calculations of the probabilistic moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1. Perturbation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2. Use of the Neumann expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. Iterative meted for the Hasofer–Lind reliability index determination . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Structure reliability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Structure reliability models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Reliability system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Estimation of the sum and product of the dependent events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Examples which illustrate application of the algorithm proposed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Recapitulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
References
....................................................................
76
78
84
84
86
87
88
88
89
90
91
93
93
94
95
96
97
98
98
99
100
100
102
103
105
105
110
112
115
115
127
133
137

Pokaż treść!

Transkrypt

Podobne dokumenty

Foodlube Extreme

GV 205 Seria

DSL Czujnik podwójnie œcinany

szpieg czai się wszędzie!