Bangkok, Thailand, March 2011

Bangkok, Thailand, March 2011
W-23 (Jaroszewicz) 20 slajdów
Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego
Fizyka kwantowa 2





fale prawdopodobieństwa
funkcja falowa
paczki falowe materii
zasada nieoznaczoności
równanie Schrodingera
3/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Fale prawdopodobieństwa
Rozkład elektronów na ekranie powinien być
sumą rozkładów dla każdej szczeliny oddzielnie
- obserwujemy obraz interferencyjny dla
dwóch szczelin
Do wyjaśnienia tego paradoksu musimy
stworzyć nowy formalizm matematyczny:
fale materii traktować jako fale
prawdopodobieństwa wytwarzającą na ekranie
obraz „prążków prawdopodobieństwa”
Rozkład
obserwowany
B
r2
A
r1
P1
P2
Rozkład
klasyczny
4/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Funkcja falowa



Formalizm matematyczny za pomocą którego usuwa się te
paradoksy, przypisuje każdej cząstce materialnej funkcję
falową Ψ (x,y,z,t) będącą funkcją współrzędnych i czasu
Znajdując rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym
można określić prawdopodobieństwo, że elektron padnie w
określonym miejscu ekranu
Kwadrat amplitudy funkcji falowej jest proporcjonalny do
gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w
danym elemencie obszaru
5/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Właściwości funkcji falowej

Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w objętości
2
dV=dxdydz P = Ψ dxdydz gdzie
Ψ

2
= Ψ ⋅ Ψ∗
warunek unormowania funkcji falowej
2
Ψ
∫ dV = 1
V

zasada superpozycji Ψ = Ψ1 + Ψ2

funkcja falowa powinna być ograniczona |Ψ|<∞

funkcja falowa Ψ nie stanowi bezpośrednio obserwowanej
wielkości. Fale klasyczne i fale odpowiadające cząstkom
podlegają równaniom matematycznym tego samego typu,
lecz w przypadku klasycznym amplituda fali jest
bezpośrednio obserwowana, a dla funkcji falowej Ψ– nie.
6/20-W23
L.R. Jaroszewicz
p=hλ
p=
h 2π
h
=
k
2π λ
2π
p = k
=
h
2π
Funkcja falowa cząstki poruszającej się wzdłuż osi x, której
długość fali jest równa λo
Ψ = A cos(ko x − ωt )
Ψ
2
= A 2 cos 2 (ko x − ωt )
Stąd widać, iż rzeczywista postać funkcji falowej jest niewłaściwa bo
istniałyby punkty, gdzie nie można jej zaobserwować. Lepiej zatem
stosować postać zespoloną
Ψ = Ae
i ( k o x − ωt )
Ψ
2
(
)(
)
= Ψ ∗ Ψ = Ae − i (ko x − ωt ) Ae i (ko x − ωt ) = A 2
Pokazaliśmy, że jeżeli pęd cząstki posiada określoną wartość, to
cząstkę można znaleźć z jednakowym prawdopodobieństwem w
dowolnym punkcie przestrzeni. Inaczej mówiąc,
jeżeli pęd cząstki jest dokładnie znany, to nic nie wiemy o
jej miejscu położenia.
7/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Paczki falowe materii
Dla cząstki znajdującej się w t=0 w
określonym obszarze przestrzeni
kwadrat modułu funkcji falowej
przyjmuje postać funkcji Gaussa
Ψ
2
 x2
= A exp −
2
 2σ x
2
 x2
Ψ (x,0 ) = A exp −
2
 4σ x





 exp(ik o x )


Tak zlokalizowana funkcja
nazywana jest paczką falową
Ψ
2
8/20-W23
Superpozycja fal
monochromatycznych
L.R. Jaroszewicz
Paczka falowa jest superpozycją fal o różnych długościach, odpowiadają one różnym wartościom pędu p = k
 x2
Ψ = exp −
2
 4σ x

 exp(ik o x ) = ∑ Bn exp(ik n x )


 x2
Ψ = exp −
2
 4σ x

 exp(ik o x ) = ∫ B(k ) exp(ikx )dk
współczynniki

Fouriera

2
 (p − p )2 
σ
2
o
x
σx
2
(
)
−
=
B
p
exp
2


2
B(k ) =
exp − σ x (k − ko )
π
2σ p 

π
[


σ
B(p ) = x exp −
π


]

2
(p − po ) 
2 
   


 σ x  
B(p )
2


2
σ
= x exp −
π



σ
=
p

2σ x

(p − po )2 
2
   
2

 2σ x  
9/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Zasada nieoznaczoności
czym węższa jest przestrzennie paczka falowa tym szerszy
rozkład po pędzie


σp =
σ pσ x =
2σ x
2
niemożliwe jest jednoczesne dokładne określenie
wartości współrzędnej i pędu cząstki
∆x∆p ≥

2
10/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Zasada nieoznaczoności w pociągu
λ
chcemy zmierzyć prędkość pociągu wiedząc, że każdy wagon ma długość λ
minęło nas n wagonów w ciągu czasu t
pokonana przez pociąg droga wynosi
średnia prędkość
pociągu wynosi
v =
l = nλ
l nλ
=
t
t
∆v =
∆l = λ 2
∆l
λ
v
=
=
t
2t 2n
im większy przedział czasu tym pomiar prędkości dokładniejszy, ale maleje
dokładność położenia pociągu w chwili pomiaru
∆x = l 2 = nλ 2
∆x ⋅ ∆v =
vλ
4
∆x ⋅ ∆p =
pλ
4
w mechanice kwantowej pociąg to paczka falowa o długości fali λ
rozciągająca się na obszar l = nλ
λ=
h
p
∆x ⋅ ∆p =
h
≈
4
11/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Znaczenie zasady
nieoznaczoności Heisenberga
p = k
szerokość
paczki
falowej
∆x ⋅ ∆p = 
∆x=1/∆k
∆t=1/∆ω
E = ω
∆S = 
∆E ⋅ ∆t = 
Działanie S można określić z dokładnością stałej Plancka

Zasada nieoznaczoności określa granice możliwości naszych pomiarów.
Jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki kwantowej:
• wyjaśnia dyfrakcję na szczelinie
• energie cząstek są zawsze większe od zera
• elektron nie spada na jądro atomowe
12/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Prędkość grupowa paczki
klasycznie
vg
dω
=
dk
d ω k
=
dk
m
k = p
ω = E
vg =
p2
E =
2m
d ω k
p
=
=
=v
dk
m m
ω =
(k )2
2m
vg = v
Paczka falowa przemieszcza się z prędkością równą
prędkości cząstki
relatywistycznie
E 2 = Eo2 + p 2c 2
2E dE = 2 pc 2dp
vg
dω dE
2 p
2 mv
=
=
=c
=c
=v
2
dk dp
E
mc
13/20-W23
L.R. Jaroszewicz
”Rozpływania się” paczki falowej można uniknąć umieszczając
cząstkę w studni potencjału
Rozpływanie się paczki falowej
Udowodnimy, że pojedynczej paczce falowej właściwy jest rozrzut
wartości prędkości grupowej ∆vg, który powinien prowadzić do
zwiększenia szerokości ∆x.
dv g
1   
∆x = (∆v g )t


v
∆
≈
∆v g =
∆p
g
m  ∆x o 
dp

∆x ≈
t - szerokość paczki falowej rośnie proporcjonalnie do t
m∆x o
swobodny elektron zlokalizowany w chwili początkowej w obszarze
∆ xo = 10–10 m (typowy rozmiar atomu) po upływie sekundy
będziemy mieć ∆x = 1100 km
14/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Cząstka w studni potencjału
występuje nałożenie się dwóch fal rozchodzących się
w przeciwnych kierunkach – powstaje fala stojąca
E (eV)
E4
400
E3
– bo Ψ(0,t)=0
Ψ (x, t ) = Be
ikx − iωt
− Be
− ikx − iωt
200
E2
(
= Be
ikx
−e
− ikx
Ψ (x, t ) = 2iBe − iωt sin(kx ) = Ae − iωt sin(kx )
Z warunków brzegowych sin(kL ) = 0
pn = k n
2 2
pn2
2 π 
En =
=n
2m
2mL2
kL = nπ
)e
− i ωt
0
E1
e ikx − e − ikx
sin(kx ) =
2i
nπ
kn =
L
λ
L=n
2
dozwolone wartości liczby falowej
i energii cząstki
15/20-W23
Równanie
Schrodingera-jak?
L.R. Jaroszewicz
(a) E
p2
E =
+ U (x )
2m
Ψ = A sin(kx + ϕ)
2m
2m(E − U1 )
d 2Ψ
= −k 2 A sin(kx + ϕ) = −k 2 Ψ
dx 2
d 2Ψ
dx 2
d 2Ψ
dx 2
=−
=−
k =
2m
2
2m
2
K=p2/2m
0
Ψ
(b)
p=

2
[E − U1 ]Ψ
[E − U (x )]Ψ
(E − U1 )
U(x)
x
0
(c)
E
0
x
U1
U2
U3
Jest to stacjonarne, jednowymiarowe równanie Schrödingera
słuszne w układach nierelatywistycznych pod warunkiem, że rozkład
prawdopodobieństwa nie zmienia się w czasie
16/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Równanie Schrodingera
W sytuacjach stacjonarnych, gdy potencjał nie zmienia się w czasie,
zmienne przestrzenne i czas można rozseparować i zapisać funkcję
falową w postaci:
Ψ (x, y , z, t ) = Ψ (x, y , z )e − iωt
Postać przestrzennej funkcji falowej, dla przypadku jednowymiarowego, wyznaczamy z równania Schrödingera:
d 2Ψ
dx 2
=−
2m
2
[E − U (x )]Ψ
stacjonarne, jednowymiarowe
równanie Schrödingera
równania Newtona – fale dźwiękowe i fale w strunach
równania Maxwella – fale świetlne
równanie Schrödingera – fale materii (funkcja falowa)
17/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Równanie Schrodingera dla2
d Ψ
2m
[E − U (x )]Ψ
=
−
cząstki swobodnej
2
2
dx

d 2Ψ
U (x ) = 0
d 2Ψ
dx 2
dx
= −k 2 Ψ
2
=−
2m

2
EΨ
oznaczając
którego rozwiązaniem jest
k =
Ψ (x, t ) = Ψ (x )e − iωt = Ae i (kx −ωt )
k =

2
E =
p
2m p 2
=
 2 2m 
λ=

2
E
E =
Ψ (x ) = Ae ikx + Be − ikx
przyjmując B=0 (cząstka porusza się w kierunku dodatnich x)
2m
2m
tylko
kinetyczna
2
h
2π 2π
=
=
k
p
p
funkcją falową cząstki swobodnej jest fala płaska o długości λ
określonej zależnością de Broglie’a
p
2m
18/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Równanie Schrodingera dla U=∞
nieskończonej jamy potencjału
d 2Ψ
dx
2
d 2Ψ
dx 2
=−
2m

2
[E − U (x )]Ψ
U (x ) = 0
2m
k =

2
Ψ (x ) = Ae ikx + Be − ikx
= −k 2 Ψ
warunki brzegowe
Ψ (0 ) = Ψ (L ) = 0
Ae
A+B = 0
ikL
sin(kL ) = 0
En = n


2
π2 2
2mL2
+ Be
−ikL
=0
kL = nπ
(
)
A e ikL − e −ikL = 0
n=1,2,3...
 nπx 
Ψn (x ) = C sin

 L 
C = 2 Ai
wartości energii En nazywamy wartościami własnymi
odpowiadające im funkcje falowe Ψn – funkcjami
własnymi
E
E3
U=∞
E2
E1
0 U=0
L
19/20-W23
L.R. Jaroszewicz
Wnioski
energia jest skwantowana, występują dyskretne wartości
(poziomy) energii (n – liczba kwantowa)
cząstka nie może posiadać energii zerowej – wynika z
zasady nieoznaczoności
p2
>0
E =
∆ x∆ p ≥ 
∆x = L
∆p ≥  L
2m
stałą C wyznaczamy z warunku unormowania



L
L
2  nπ

x
sin
dx
C
Ψ
⋅
Ψ
=
 dx = 1

∫
∫
 L 
0
0
*
2  nπ
L

∫ sin  L x  dx = 2


0
2
 nπ 
sin
x
L
 L 
dla obiektów klasycznych poszczególne poziomy są tak
bliskie, że nierozróżnialne
C2

L
=1
2
2
L
C =
2L
Ψn (x ) =
Bangkok, Thailand, March 2011