Zasady obliczeń - ćwiczenia 0 materiały

Zasady obliczeń - ćwiczenia 0 materiały

Reguły obliczeń chemicznych
Zapisywanie wyników pomiarów i obliczeń
Ilościowe rezultaty eksperymentów lub obliczeń chemicznych przedstawia się w postaci
liczb, zapisywanych za pomocą cyfr, czyli umownych znaków matematycznych (od 0 do 9 w
obecnie używanym dziesiętnym systemie liczbowym). Liczby mogą składać się z jednej lub
wielu cyfr.
Cyfry znaczące to cyfry rozwinięcia dziesiętnego dla mierzonej wielkości (chemicznej,
fizycznej lub innej), począwszy od pierwszej cyfry niezerowej aż do ostatniej cyfry, której
wartość nie zmienia się wewnątrz przyjętego przedziału ufności.
Przykład 1:
Jeśli wyznaczona doświadczalnie (zważona) masa próbki A wynosi mA=1,50312g,
a dokładność przyrządu pomiarowego (w tym wypadku wagi analitycznej) wynosi ±0,0001g,
to przedział ufności dla otrzymanego wyniku wynosi: (1,50302; 1,50322). Ostatnią,
niezmienną, a więc znaczącą cyfrą jest 3, a wynik pomiaru ma 4 cyfry znaczące.
Występująca w liczbie cyfra 0 jest cyfrą znaczącą tylko wtedy, gdy występuje pomiędzy
innymi cyframi, jak w powyższym przykładzie, albo, gdy jest ostatnią cyfrą znaczącą w
liczbie po zaokrągleniu (np. zapis 478,00 oznacza 5 cyfr znaczących). W przypadku, gdy zero
określa ułamek (np. 0,512) nie może być uważane za cyfrę znaczącą. Liczba 0,512 posiada
trzy, a liczba 0,0013 - dwie cyfry znaczące.
Liczba, przy której jest podana nazwa jednostki miary danej wielkości jest liczbą
mianowaną.
Przykład 2:
Zapis 15,3 mola oznacza liczbę moli, czyli jednostek liczności materii, a zapis 328oC - liczbę
o
C, które są miarą temperatury.
Otrzymane w obliczeniach chemicznych oraz w praktyce laboratoryjnej wyniki liczbowe
bardzo rzadko mają postać dokładnych liczb naturalnych. Najczęściej wymagają
1
odpowiedniego zaokrąglenia, które wykonuje się zgodnie z zasadami matematycznymi. Może
to być zaokrąglenie z nadmiarem (tzw. zaokrąglenie „w górę”) lub z niedomiarem (tzw.
zaokrąglenie „w dół”). Wynik otrzymany przez zaokrąglenie wartości liczbowych zgodnie
z matematycznymi zasadami należy traktować, jako wynik bardziej dokładny (w
określonym przedziale ufności) niż wynik niezaokrąglony.
Zasady zaokrąglania wyników liczbowych:
a) Jeśli ostatnia cyfra, która ma pozostać w wyniku, poprzedza cyfrę większą od 5,
należy wynik zaokrąglić w górę, np.: stała Faraday 96484,56 C/mol zaokrąglona do
jednego miejsca po przecinku wynosi 96484,6 C/mol.
b) Jeśli ostatnia pożądana cyfra poprzedza cyfrę mniejszą od 5, zaokrąglenie następuje w
dół, np. stała gazowa R = 8,314472 J/(mol∙K) zaokrąglona do 3 miejsc po przecinku
to 8,314 J/(mol∙K) a nie 8,315 J/(mol∙K).
c) Jeśli po ostatniej cyfrze znajduje się tylko cyfra 5, to wynik zaokrągla się w górę - jeśli
ostatnia cyfra jest nieparzysta lub w dół - jeśli ta cyfra jest parzysta, np.: liczba 3,1125
zaokrąglona do 3 miejsc po przecinku to 3,112, natomiast liczba 3,1155 zaokrąglona
do 3 miejsc po przecinku to 3,116.
Dokładność obliczeń nie może być większa od dokładności najmniej dokładnej liczby
użytej w obliczeniach. Przed rozpoczęciem obliczeń należy wśród danych liczbowych
odnaleźć liczbę o najmniejszej dokładności i do takiej dokładności zaokrąglić pozostałe
liczby. Można również wykonać obliczenia na podanych wartościach liczbowych, ale
końcowy wynik należy zaokrąglić tak, by jego dokładność była zgodna z dokładnością liczby,
która jest liczbą najmniej dokładną wśród podanych wartości. Liczbami o najmniejszej
dokładności są te posiadające najmniejszą ilość cyfr znaczących.
Przykład 3:
Obliczyć liczbę moli substancji zawartą w 0,52 dm3 jej roztworu o stężeniu 0,5002 mol/dm3.
Rozwiązanie:
a/ znalezienie liczby o najmniejszej dokładności:
objętość V = 0,52dm3
b/ zaokrąglenie liczby o wyższej dokładności:
cm= 0,5102mol/dm3 = 0,51mol/dm3
2
c/ wykonanie wymaganych obliczeń:
n = cm∙V = 0,52l∙0,51mol/dm3 = 0,2652mol
d/ podanie wyniku z dokładnością nie większą niż dokładność najmniejszej liczby wziętej
do obliczeń:
n = 0,2652mol = 0,27mol.
Odpowiedź: liczbę moli substancji zawartą w 0,52 dm3 wynosi 0,27mola
Dokładność wyników pomiarów laboratoryjnych i związanych z nimi obliczeń nie może
być wyższa niż dokładność przyrządów lub naczyń użytych do pomiarów.
Przykład 4:
Objętość 100cm3 odmierzoną cylindrem miarowym zapisuje się, jako 100 cm3, a nie 100,00
cm3, ponieważ dokładność tego naczynia miarowego wynosi ±1cm3. Bardziej dokładnie
(±0,1cm3) odmierza się objętość cieczy przy pomocy pipety lub biurety, co uwzględnia się w
zapisie wyniku (np. 3,5 cm3 użyte do miareczkowania).
Przykład 5:
Ważenie na wadze technicznej pozwala na uzyskanie maksymalnej dokładności pomiaru
równej, zależnie od przyrządu, ±0,1g lub ±0,01g, podczas gdy na wadze analitycznej można
ważyć substancje z dokładnością ±0,0001g, a na niektórych wagach nawet ±0,00001g.
Wyniki pomiarów powinny uwzględniać rzeczywistą dokładność ich wykonania.
Zwiększenie tej dokładności można uzyskać jedynie poprzez użycie odpowiednich
bardziej dokładnych przyrządów pomiarowych.
Działania na logarytmach
W obliczeniach chemicznych bardzo często konieczne jest wykonanie działania na
logarytmach.
Logarytm z liczby dodatniej A przy podstawie b to wykładnik potęgi c, do której należy
podnieść podstawę b, aby otrzymać liczbę logarytmowaną A.
Matematyczny zapis tej definicji to:
lg b A  c

bc  A
3
Z podanej definicji wynika, że:
- logarytm z liczby równej podstawie logarytmu jest zawsze równy 1:
lg b b  1 ponieważ b1  b
- logarytm z 1 jest zawsze równy 0:
lg b 1  0
ponieważ b0  1 .
Podstawowe twierdzenia dotyczące logarytmów
Dla każdego logarytmu, o dowolnej podstawie, słusznych jest kilka twierdzeń, których
praktyczne wykorzystanie może znacząco ułatwić obliczenia.
Do podstawowych twierdzeń należą:
a) logarytm iloczynu równy jest sumie logarytmów poszczególnych czynników iloczynu:
lg b ( A  B)  lg b A  lg b B
b) logarytm ilorazu równy jest różnicy logarytmów poszczególnych czynników ilorazu:
lg b
A
 lg b A  lg b B
B
c) logarytm potęgi Aw równy jest iloczynowi logarytmu liczby A podniesionej do
potęgi i wykładnika tej potęgi w
lg b Aw  w  lg b A
d) logarytm pierwiastka n-tego stopnia z liczby A równa się ilorazowi logarytmu liczby
podpierwiastkowej A i stopnia pierwiastka n
lg b n A 
lg b A
n
Logarytm dziesiętny
Logarytm dziesiętny to logarytm, którego podstawą jest liczba 10. Jest on oznaczany, jako
log lub lg.
Z podanej definicji logarytmu wynika, że:
4
log (1) = 0
log(10) = 1
log(0,1) = log(10-1) = -1
log(103)= 3
czyli ogolnie: lg±n = ±n
Każdą liczbę nieujemną można przedstawić, w postaci zapisu wykładniczego, czyli jako
wyrażenie potęgowe, którego podstawą jest liczba 10. Dla liczb z zakresu 0-1 wykładnik
potęgowy jest liczbą ujemną. W zakresie od 1 do 10 wykładnik jest zawsze dodatni, ale
mniejszy od jedności, a dla liczb większych od 10 - wykładnik jest zawsze większy od 1.
Przykład 6:
0,708  100,15  lg( 0,708)  0,15
2,239  100,35  lg( 2,239)  0,35
28,184  101, 45  lg( 28,184)  1,45
Logarytm naturalny
Logarytm naturalny (oznaczany, jako ln), to logarytm przy podstawie e. Liczba e nazywana
jest liczbą Eulera. Jej wartość wynosi 2,718281828 czyli ok. 2,7. Logarytm naturalny jest
bardzo często stosowany w obliczeniach chemicznych i podlega tym samym prawom, co
logarytm dziesiętny.
Jednostki i ich przeliczanie
Układ jednostek SI
Obecnie obowiązuje jednolity system jednostek zwany układem jednostek SI (franc.
Systeme International d’Unites). Podstawę tego układu stanowi grupa ściśle zdefiniowanych
jednostek podstawowych (Tabela 1), z których, poprzez odpowiednie przekształcenia
matematyczne otrzymuje się jednostki pochodne (Tabela 2)
Tabela 1. Jednostki podstawowe układu SI.
Wielkość
Nazwa jednostki
Skrót
długość
metr
m
masa
kilogram
kg
5
czas
sekunda
S
natężenie prądu
amper
A
temperatura
kelwin
K
ilość substancji
mol
mol
światłość źródła światła
kandela
cd
Tabela 2. Jednostki pochodne układu SI.
Wielkość
Nazwa jednostki
Skrót
objętość
metr sześcienny
m3
siła
niuton
N = kg·m·s−2
ciśnienie
paskal
Pa = kg·m−1·s−2
gęstość
kilogram na metr sześcienny
kg·m-3
energia
dżul
1J = kg·m2·s−2
Najczęściej używa się jednostek mniejszych lub większych od jednostek podstawowych,
które tworzy sie poprzez stosowanie odpowiednich przedrostków, umieszczonych w Tabeli 3.
Tabela 3. Podstawowe przedrostki jednostek.
Przedrostek
Mnożnik
Skrót
Przykład
atto
10−18
a
attosekunda(as)
femto
10−15
f
femtosekunda(fs)
piko
10−12
p
pikofarad(pF)
nano
10−9
n
nanometr(nm)
mikro
10−6

mikrolitr(μl)
mili
10−3
m
mililitr(cm3)
centy
10−2
cm
centymetr(cm)
decy
10−1
d
decylitr(dl)
deka
101
da
dekagram(dag)
hekto
102
h
hektolitr(hl)
3
k
kilometr(km)
kilo
10
6
mega
106
M
megaherc(MHz)
giga
109
G
gigaherc(GHz)
tera
1012
T
peta
1015
P
exa
1018
E
zetta
1021
Z
jetta
24
Y
10
Jednostki spoza układu SI
Oprócz podstawowych jednostek SI oraz ich pochodnych dopuszcza się stosowanie innych
jednostek, które mogą być używane zamiennie z jednostkami pochodnymi (Tabela 4).
Tabela 4. Najczęściej stosowane jednostki spoza układu SI
Wielkość
Nazwa jednostki
Skrót
masa
tona
1t =103kg
temperatura
stopień Celsjusza
°C
objętość
(litr), (ml)
1dm3 =10−3m3
1 dm3 = 103cm3
ciśnienie
atmosfera fizyczna
1atm = 0,101325MPa
ciśnienie
milimetry słupa rtęci
760mmHG =1atm
energia (ilość kaloria
1cal*=4,1868J
ciepła)
*
potocznie wartości kaloryczne substancji, np. produktów żywnościowych, są
podawane w kilokaloriach (skrót kcal) czyli tysiącach kalorii
Przeliczanie jednostek stosowanych w obliczeniach chemicznych
Prawidłowy wynik obliczeń chemicznych w znacznym stopniu zależy od poprawnego doboru
i wyliczenia jednostek wyznaczanych wielkości. Ważną zasadą jest stosowanie tych samych
jednostek w odniesieniu do konkretnej wielkości. Oznacza to konieczność przeliczenia i
ujednolicenia podanych w zadaniu różnych jednostek dotyczących tej samej wielkości (masy,
objętości, czasu, stężenia itp.). Nieprzestrzeganie tej zasady generuje znaczące błędy
7
obliczeniowe, a otrzymany wynik, mimo pozornej zgodności matematycznej, jest błędny w
sensie chemicznym.
W obliczeniach chemicznych i w praktyce laboratoryjnej najczęściej używa się jednostek
masy (g lub kg), objętości (cm3 lub dm3) i liczności materii (moli) oraz jednostek gęstości
(g/cm3, g/cm3, kg/dm3) i stężenia (mol/dm3 lub %).
Masę najczęściej podaje się w gramach (g). W przypadku masy mniejszej niż 0,01g stosuje
się miligramy (mg), a w przypadku masy większej niż 1000g - kilogramy (kg). Niezmiernie
małą masę wyraża się za pomocą mikrogramów (g) i nanogramów (ng) (patrz Tabela 5).
Przekształcając gramy na miligramy i odwrotnie, należy zachować odpowiednią dokładność.
Przykład 7: odważona na wadze analitycznej (dokładność 0,1mg czyli 0,0001g) próbka o
masie 0,1364g to 136,4mg a nie 136,40mg.
Najczęściej stosowaną jednostką liczności materii jest mol lub milimol (mmol). Przeliczanie
moli przedstawiono w Tabeli 6.
8
Tabela 5.Przeliczanie jednostek masy
t
kg
dag
g
mg
g
ng
10-15t
10-12 kg
10-10dag
10-9g
10-6 mg
0,001= 10-3mg
1ng
10-12t
10-9kg
10-7dag
10-6g
0,001mg=10-3mg
1g
1000ng= 103ng
10-9t
10-6 kg
10-4dag
0,001g=10-3g
1mg
1000g= 103g
106ng
10-6t
0,001kg=10-3 kg
0,1dag=10-1dag
1g
1000mg=103mg
106g
109ng
10-5t
0,01kg=10-2 kg
1dag
10g=101g
104mg
107g
1010ng
0,001t=10-3t
1kg
100dag=102dag
1000g=103g
106mg
109g
1012ng
1t
1000kg=103 kg
104dag
106g
109mg
1012g
1015ng
Tabela 6.Przeliczanie jednostek liczności materii
kmol
mol
mmol
mol
10-12 kmol
10-9mol
10-6 mmol
0,001=10-3mol
10-9kmol
10-6 mol
0,001mmol =10-3mmol
1mol
10-6 kmol
0,001mol =10-3mol
1mmol
1000 mol = 103mol
0,001kmol=10-3 kmol
1mol
1000mmol =103mmol
106 mol
0,01kmol=10-2 kmol
10mol=101mol
104mmol
107 mol
1kmol
1000mol=103mol
106mmol
109 mol
1000kmol=103 kmol
106g
109mmol
1012 mol
9
Objętość wyraża się najczęściej w dm3 lub cm3, w życiu codziennym stosuje się również
jednostki spoza układu SI, takie jak: litr (1 litr = 1 dm3) czy mililitr (1 ml = 1cm3). Jednostki
te przelicza się zgodnie z poniższymi zależnościami:
1m3  1000dm3  1000l  106 cm3  106 ml  109 mm3  109 ml
1l  10 3 ml  10 3 mm 3  10 6 l  10 6 dm 3  10 9 m 3
Przeliczanie innych jednostek, na przykład:
- jednostek stężenia, np. mol/dm3 na mmol/cm3: stężenie roztworu równe 0,167mol/dm3 to:
0,167
mol
103 mmol
103 mmol
mmol

0
,
167


0
,
167

 0,167
3
3
3
3
dm
1000cm
10 cm
cm 3
- jednostek prędkości, np. km/godzinę na m/s: prędkość wynosząca 25km/h to:
25
km
1000m
1000 m
m
m
416,67 m
m
 25 
 25 

 416,67 
 416,67

  6,94
godz
60 min
60 min
min
60s
60
s
s
Zadania przykładowe
Przykład 1. Jednym ze składników ziemniaka jest silnie trujący alkaloid solanina. Jego
średnia zawartość w bulwach wynosi ok. 1,95μg w 1g ziemniaka. Dawka śmiertelna tego
alkaloidu wynosi 2,92mg na kilogram masy ciała. Zakładając, ze statystyczny zjadacz
ziemniaków waży 78kg oblicz ile kg ziemniaków musiałby on zjeść, aby ulec śmiertelnemu
zatruciu zawartą w ziemniakach solaniną . Wynik podaj także w tonach.
Rozwiązanie:
Dane: a. Zawartość solaniny w bulwie ziemniaka: msol=1,95g/g
b. Dawka śmiertelna solaniny – LDsol=2,92mg/kg
c. Średnia masa konsumenta ziemniaków – mzz=78kg
Etapy rozwiązywania zadania:
a/ obliczenie masy solaniny powodującej śmierć konsumenta o wadze 78kg:
2,92mg
-
x mg
-
1kg wagi ciała
78kg
10
b/ przeliczenie śmiertelnej dawki solaniny (mg) na mikrogramy (g):
227,76mg  227,76  1mg  227,76  103 g
c/ obliczenie masy ziemniaków zawierających obliczoną śmiertelną dawkę alkaloidu:
1,95 g
-
1 g ziemniaków
227,76∙103 g
-
y g
d/ przeliczenie masy ziemniaków zawierających śmiertelną dawkę solaniny (g) na kg i tony:
116,80 103 g  116,80 103 103 kg  116,80kg  116,80 103 t  0,117t
Odpowiedź: Spożycie 117kg (tj. 0,117 t) ziemniaków zawierających podaną ilość solaniny
może spowodować śmierć.
Przykład 2. Z nieszczelnego zbiornika, w którym znajduje sie 200hl piwa napój ten wycieka
poprzez nieszczelność z prędkością 2cm3/min. Jaka jest szybkość wypływu piwa w dm3/godz i
po ilu dniach zbiornik opróżni się całkowicie?
Rozwiązanie:
Dane: a. Pojemność zbiornika – Vzbiornik = 200hl
b. Szybkość wycieku – vwyciek=2cm3/min
Etapy rozwiązywania:
a/ przeliczenie jednostek szybkości wypływu piwa z podanych cm3/min na dm3/godz:
2
cm 3
1 10 3 dm3
dm3
dm3
 2
 2  60 1 103
 0,12
1
min
godz
godz
godz
60
Powyższe przeliczenie wynika z faktu, że:
1cm3 = 1/1000dm3 czyli 1∙10-3dm3
oraz
1min = 1/60 godziny
b/ ujednolicenie jednostek objętości:
200hl  200  10 2 l  2  10 2  10 2 l  2  10 4 l  2  10 4 dm3
11
c/ obliczenie czasu (w godzinach) potrzebnego do opróżnienia zbiornika:
0,12dm3
-
1godz
2∙104dm3
-
x godz
Odpowiedź: Szybkość wypływu piwa wynosi 0,12 dm3/godz. Zbiornik opróżni się całkowicie
po 166,67.103 godzinach, tj. po ok. 6917 dniach, czyli ok. 19 latach.
Przykład 3. Mleczarnia produkuje mleko UHT pakowane w kartony o pojemności 0,9dm3.
Dostawcy surowca (mleka) dostarczają średnio 50m3 mleka na miesiąc. Ile średnio dm3
(litrów) mleka jest przyjmowane w mleczarni na dobę, a ile cm3 na godzinę (w ml). Ile
kartonów rocznie jest w stanie wyprodukować ten zakład, jeżeli 85% dostarczanego mleka
jest pakowane do kartonów?
Rozwiązanie
Dane: a. Objętość dostarczanego do mleczarni mleka – Vmleka= 50m3 na miesiąc
b. Objętość pojedynczego kartonu – Vkart.=0,9dm3
c. Efektywność produkcji, liczona jako % mleka dostarczanego, które trafia do
kartonów – E=85%
Etapy rozwiązywania zadania:
a/ obliczenie ilości mleka dostarczanego przez dostawców rocznie:
Vmleka / rok  50m3 12  600m3
b/ obliczenie części objętości rocznej dostawy mleka, które trafia do kartonów:
Vmleka w kartonie  600m3  0,85  510m3  510  103 dm3
c/ obliczenie liczby kartonów, w których pomieści się wyliczona w pkt b ilość mleka:
0,9dm3
-
1karton
510∙103 dm3
-
x karton
12
Odpowiedź: Rocznie zakład jest w stanie wyprodukować 566,67 tysiąca kartonów mleka.
Roczna produkcja mleka danej mleczarni może być zapakowana w 566,67 tysięcy kartonów.
13