Dynamika

DYNAMIKA
Oddziaływanie między ciałami można ilościowo opisywać posługując się pojęciem
siły. Działanie siły na jakieś ciało przejawia się albo w zmianie stanu ruchu tego ciała
(zmianie prędkości), albo w zmianie kształtu lub wymiarów tego ciała.
Zadaniem
dynamiki
jest
badanie
związku
między
wzajemnymi
oddziaływaniami ciał i zmianami ich ruchu. Podstawą dynamiki są zasady
Newtona.
Aby badać ruch ciała wywołany siłą na nie działającą trzeba wiedzieć,
jakiego rodzaju jest to siła i skąd się bierze. Dlatego:
-
muszą być przynajmniej dwa ciała
-
pomiędzy tymi ciałami musi istnieć oddziaływanie
Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na:
-
siły elektromagnetyczne,
-
siły grawitacyjne,
lub też na siły:
-
sprężyste
-
tarcia
-
nacisku
-
ciężkości
-
wyporu.
Co to jest siła?
Siła jest wielkością wektorową stanowiącą miarę oddziaływań pomiędzy
ciałami, które powodują zmiany kształtu lub stanu ruchu.
Jednostką siły w układzie SI jest niuton (1N = [1kg·1m/s2]). Jeden niuton jest to
siła, która jednemu kilogramowi nadaje przyspieszenie o wartości 1 m/s2.
io
Przykłady znanych sił:
Rodzaj siły
Wzór
Oznaczenia
Uwag
dotyczy ciał
siła ciężkości


Fg  mg
m - masa
znajdujących się
g - przyspieszenie
w pobliżu powierzchni
grawitacyjne
Ziemi, lub innej
planety
m1, m2 - masy ciał
siła grawitacji

m m  r - odległość między
F  G 1 3 2 r
środkami ciał
r
dla wszystkich ciał
niebieskich
G - stała grawitacji
siła sprężysta
siła tarcia


F  kx


T  N
k - współczynnik
siła jest zawsze
proporcjonalności
przeciwnie skierowana
x – wychylenie
do wychylenia
N – siła nacisku na
 jest
powierzchnię,
współczynnikiem
 - współczynnik
tarcia statycznego lub
tarcia
dynamicznego
g - przyspieszenie
siła wyporu


Fw  gV
ziemskie
V - objętość
ciężar wypartej cieczy
 - gęstość
Siła nacisku
Siła nacisku jest jedną z najczęściej spotykanych w naszym codziennym
świecie sił i zawsze związana jest z jakąś powierzchnią.
Jeśli siła nacisku działa ze strony podłoża na ciało na tym podłożu
spoczywające (lub poruszające się) to nazywamy ją siłą reakcji podłoża.
2
io
Siła nacisku ma jedną ważną własność: jest prostopadła do powierzchni, na
która działa, np. na równi siła reakcji - nacisku działa prostopadle do powierzchni,
na jakiej spoczywa.
Siła tarcia
Jeżeli dwie stykające się powierzchnie przesuwają się względem siebie, to
obserwuje się zjawisko tarcia statycznego. Ruch ten wymaga stałego działania
siły.
W typowych sytuacjach tarcia statycznego stosunek siły tarcia fs do nacisku
Fn trących powierzchni jest stały. Jego wartość nazywana jest współczynnikiem
tarcia statycznego.
s 
3
fs
.
Fn
io
Współczynnik ten jest bezwymiarową wielkością zależną od własności
powierzchni trących.
Tarcia statycznego występuje, gdy zaczynamy przesuwać (ruszamy
z miejsca) stykające się powierzchnie różnych ciał. W odróżnieniu do niego tarcie
kinetyczne zachodzi już podczas ruchu. Ponieważ najczęściej trudniej jest ruszyć
ciało z miejsca, to w większości przypadków tarcie statyczne jest większe od
dynamicznego.
Współczynnik tarcia kinetycznego:
k 
fk
Fn
nie zależy od prędkości poruszającego się ciała i pola powierzchni stykających się.
Co się dzieje z energią kinetyczną obiektów podlegających tarciu?
W większości przypadków energia ta zamieniana jest na energię cieplną.
Dlatego samoloty poruszające się z dużymi prędkościami bardzo się rozgrzewają,
opony (felgi) samochodów, które wróciły z trasy są ciepłe, a tarcie kawałków
drewna o siebie jest starą metodą rozniecania ognia.
Jeżeli więc w jakimś ruchu pojawia się tarcie, to oznacza, że w ruchu tym
energia mechaniczna nie jest zachowana, ponieważ jej część zamienia się na
energię wewnętrzną np. ciepło.
4
io
Co się stanie, gdy na ciało zaczyna działać niezrównoważona siła?
Ciało wówczas zmieni swój stan ruchu - zacznie przyspieszać, zwalniać,
ewentualnie zmieniać kierunek ruchu.
Ciało nie porusza się ruchem postępowym, gdy suma wektorowa wszystkich
sił działających na ciało jest równa zero. Jest to warunek konieczny, ale nie
wystarczający.

Jeżeli na ciało o masie m działa pojedyncza siła F , to definiujemy ją jako
zmianę w czasie pędu ciała:
 d p
,
F
dt
po rozwinięciu

 d( mv ) d m 
dv
F

vm
dt
dt
dt
Dla ciała o stałej masie


dv

Fm
 ma .
dt
Pierwsza zasada dynamik
Pierwszą zasadę dynamiki można sformułować następująco:
5
io
Każde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu prostoliniowym
jednostajnym względem spoczywającego lub poruszającego się ruchem
jednostajnym prostoliniowym układu odniesienia, dopóki działanie innych
ciał nie zmusi je do zmiany tego stanu
Zasada ta wyraża bardzo ważną właściwość ciał polegającą na tym, że każde
ciało samorzutnie podtrzymuje swój stan spoczynku lub ruchu prostoliniowego
jednostajnego, gdy nie działają na nie inne ciała lub, gdy działanie innych ciał nie
powoduje zmiany pierwotnego stanu tego ciała. Właściwość tę nazywamy
bezwładnością ciała.
Posługując się już wprowadzonym pojęciem siły, można sformułować pierwszą
zasadę dynamiki w sposób następujący:
Gdy na ciało nie działa żadna siła lub, gdy wypadkowa sił działających na nie
jest równa zeru, to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem
prostoliniowym jednostajnym względem spoczywającego lub poruszającego się
ruchem jednostajnym prostoliniowym układu odniesienia.
Zasada bezwładności, jak się często nazywa I zasadę dynamiki została odkryta
i sformułowana dopiero w pierwszych latach XVII wieku.
Pierwsza zasada dynamiki leży u podstaw statyki punktu materialnego. Określa
ona, bowiem warunki, przy spełnieniu, których punkty materialne spoczywają.
Jeżeli punkt materialny ma spoczywać, to według I zasady dynamiki nie mogą
nań działać żadne siły zewnętrzne lub, gdy siły takie działają, to ich wypadkowa musi być
równa zeru:

 Fi  0 .
n
i 1
Druga zasada dynamiki
6
io
Związek pomiędzy wzajemnym oddziaływaniem ciał a zmianą charakteru ich
ruchu postępowego ustala druga zasada dynamiki Newtona. Podaje się zwykle dwa
sformułowania tej zasady.
Według pierwszego:
Ciało, na które działa siła niezrównoważona, porusza się ruchem
przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do wartości tej siły,
skierowanym i zwróconym tak samo, jak działająca na ciało siła:

 F
a .
m
Współczynnikiem proporcjonalności w tym równaniu jest masa ciała. Oznacza to, że
masa jest miarą bezwładności ciała w ruchu postępowym. Masa określa, bowiem
liczbowo wartość siły potrzebnej do tego, by nadać ciału jednostkowe przyspieszenie
(przyspieszenie równe jednostce tej wielkości).
Im większa jest wiec masa ciała, tym większą siłą trzeba działać na to ciało,
by nadać mu to samo przyspieszenie (by w tym samym stopniu zmienić stan ruchu
tego ciała), a to oznacza, że tym większa jest bezwładność ciała.
Drugą zasadę Newtona możemy podać w innej postaci:


dv
,
Fm
dt
lub
 d

F  (m v )
dt
Pędem ciała nazywamy wielkość wektorową równą iloczynowi masy ciała i jego
prędkości.


F dt  d (m v) .
Popędem siły nazywamy iloczyn siły i czasu, w ciągu, którego ta siła działa na ciało.
Jest to również wielkość wektorowa.
Druga zasada dynamiki w swoim drugim sformułowaniu brzmi:
Przyrost pędu ciała jest równy popędowi siły działającej na to ciało.
Jeżeli na ciało działa stała siła F to:
7
 
md v  F dt ,

w przypadku ruchu bezwładnego, czyli gdy F  0 , pęd ciała jest stały:
d

(m v)  0 ,
dt
czyli
io

m v  const .
Gdy na punkt materialny działa kilka sił to słuszna jest zasada niezależności
działania sił: jeżeli na ciało (punkt materialny) działa jednocześnie kilka sił, to każda
z tych sił nadaje mu przyspieszenie określone przez drugą zasadę dynamiki tak, jakby
inne siły nie działały:
 1 n 
a   Fi .
m i 1
Trzecia zasada dynamiki
Rozważmy dwa ciała A i B oddziałujące między sobą. Oddziaływanie to opisują dwie
siły: siła, z jaką ciało A działa na ciało B oraz siła, z jaką ciało B działa na ciało A.
Związek między tymi dwoma siłami podaje trzecia zasada dynamiki.
Gdy dało A działa na ciało B silą FA wtedy ciało B działa jednocześnie na
ciało A siłą
FR
równą co do wartości, równoległą i przeciwnie zwróconą do
siły FA:


FA   FR .
Z drugiej i trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika zasada zachowania
pędu układu zamkniętego. Jest ona jednym z podstawowych praw przyrody.
Zasada zachowania pędu
Układ ciał nazywamy odosobnionym albo zamkniętym, jeżeli dla każdego
ciała tego układu wszystkie siły, działające na nie, pochodzące od ciał
zewnętrznych równoważą się. W układzie odosobnionym należy, więc uwzględnić
8
io
tylko siły wzajemnego oddziaływania między ciałami układu, zwane siłami
wewnętrznymi.
Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach m1, m2,..., mn,
poruszające się z prędkościami odpowiednio v1, v2,...., vn. Siła wewnętrzna, z jaką

ciała k-te działa na ciało i-te wynosi Fik , i zgodnie z trzecią zasadą dynamiki:

dp d n

  m i vi  0
dt dt i1
albo
 n

p   m i vi  const ,
i 1
tzn. suma wektorowa pędów ciał, tworzących układ zamknięty, jest stała. Zasadę
zachowania pędu można sformułować:
wektor pędu zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.
lub
w inercjalnym układzie odniesienia pęd całkowity układu ciał, na który
nie działają siły zewnętrzne lub suma sił zewnętrznych jest równa zero,
jest stałym wektorem, niezależnym od zjawisk, zachodzących wewnątrz
układu.
Inercjalne i nieinercjalne okłady odniesienia
Zasady dynamiki Newtona obowiązują tylko w pewnych ściśle wyróżnionych
układach odniesienia. Istnieją takie układy odniesienia, w których zasady te nie
obowiązują. Gdy, na przykład, układ odniesienia związany jest z pojazdem poruszającym
się ruchem prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym, wtedy ciała znajdujące się w tym
pojeździe będą się względem tego układu odniesienia poruszały ruchem przyspieszonym,
pomimo tego, że nie będą na nie działały żadne niezrównoważone siły. Można, więc
wyróżnić dwa rodzaje układów odniesienia. Układy, w których obowiązują zasady
dynamiki Newtona, będziemy nazywać układami inercjalnymi oraz układy, w których nie
obowiązują zasady dynamiki Newtona, będziemy nazywali układami nieinercjalnymi.
9
io
Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działają siły
zewnętrzne to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem
inercjalnym.
Każdy ruch musi być opisany względem pewnego układu odniesienia.
Układy inercjalne są tak istotne, bo we wszystkich takich układach ruchami ciał
rządzą dokładnie te sama prawa. Większość omawianych zagadnień będzie
rozwiązywana właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje
się, że są to układy, które spoczywają względem gwiazd stałych, ale układ
odniesienia związany z Ziemią w większości zagadnień jest dobrym przybliżeniem
układu inercjalnego.
Ponieważ przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia
(obserwatora), w którym jest mierzone, więc druga zasada dynamiki jest słuszna
tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym.
Siła bezwładności
Siła bezwładności jest efektem wynikającym z samego przyspieszenia
układu odniesienia.
Siła bezwładności nie jest zwykłą siłą, gdyż nie wynika ona z żadnego
oddziaływania między ciałami. Jeszcze inaczej można by powiedzieć, że jest ona
siłą pozorną.
10
io
Siła bezwładności pojawia się tylko w nieinercjalnych układach odniesienia.
W układach inercjalnych obowiązuje normalna postać II zasady dynamiki
Newtona. Można jednak poprawić opis układów nieinercjalnych tak, aby
obowiązywała w nich zmodyfikowana wersja II zasady dynamiki. W tym celu do
rzeczywistych sił (a więc sił wynikających z oddziaływań) trzeba dodać siłę
bezwładności.
Siła bezwładności:


Fbezwadnośei   ma uk .odniesienia
Minus w tym wzorze wynika z faktu, że siła bezwładności działa przeciwnie do
przyspieszenia układu nieinercjalnego.
II zasada dynamiki w układach nieinercjalnych:



Foddz  Fbezw
.
a uk 
m
Przykłady siły bezwładności:
-
Siła bezwładności podczas ruszania pojazdu - gdy samochód rusza do
przodu siła bezwładności wciska pasażerów w fotel,
-
Siła bezwładności podczas hamowania pojazdu - gdy samochód (lub inny
pojazd) nagle hamuje, wtedy siła bezwładności rzuca pasażerem do przodu.
-
Siła odśrodkowa – np. na wirującej karuzeli siła bezwładności wypycha
ciała na zewnątrz okręgu.
-
Siła Coriolisa - siła ta jest podobna do siły odśrodkowej i pojawia się, gdy
podczas opisu ruch ciała w obracającym się układzie odniesienia.
Siła bezwładności pojawia się zawsze, gdy przechodzimy z opisem do
układu nieinercjalnego. Jest ona efektem ruchu samego układu odniesienia. Siła
bezwładności dołączona do równania II zasady dynamiki powoduje zmianę opisu
sytuacji – o ile w układzie inercjalnym ciało widziane było jako pozostające w
ruchu, to w układzie nieinercjalnym będzie ono w spoczynku.
11
io
Posługiwanie się układami nieinercjalnymi ma sens wtedy, gdy ruch ciał
trzeba odnieść do obiektów będących w ruchu przyspieszonym – np. względem
obracającej się Ziemi, względem karuzeli, czy pojazdu poruszającego się z
przyspieszeniem.
Przykłady ruchu oraz występowania sił bezwładności:
12