drgania - Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Transkrypt

S. Woźniak
DRGANIA
2015r.
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Wydział Fizyki
Zakład Optyki Nieliniowej
Umultowska 85, 61-614 Poznań
[email protected]
c Stanisław Woźniak
2
Spis Treści.
1 Siły zachowawcze i niezachowawcze; zasada zachowania energii
1.1 Twierdzenie o pracy i energii
1.2 Siły zachowawcze
1.2.1 Siła grawitacji (przy powierzchni Ziemi)
1.2.1.1 Energia potencjalna grawitacji
1.2.1.2 Zasada zachowania energii mechanicznej
1.2.2 Siła spr˛eżystości
1.2.2.1 Energia potencjalna spr˛eżystości
1.2.3 Własności sił zachowawczych
1.2.4 Zwiazek
˛
siły zachowawczej z energia˛ potencjalna˛
1.2.5 Rodzaje równowagi
1.3 Siły niezachowawcze
1.3.1 Siły niezachowawcze a energia mechaniczna
1.3.2 Siły oporu ośrodka
1.4 Zasada zachowania energii
1.4.1 Obecność tylko sił zachowawczych
1.4.2 Obecność sił zachowawczych i siły tarcia
1.4.3 Obecność sił zachowawczych, siły tarcia i innych sił niezachowawczych
2. Drgania nietłumione
2.1 Oscylator harmoniczny
2.1.1 Różniczkowe równanie ruchu
2.1.2 Równanie ruchu x(t)
2.1.3 Warunki poczatkowe
˛
2.1.4 Zależność mi˛edzy przemieszczeniem, pr˛edkościa˛ i przyspieszeniem w ruchu harmonicznym
2.1.5 Energia w ruchu harmonicznym
2.1.5.1 Zależność energii od czasu
2.1.5.2 Zależność energii od przemieszczenia
2.2 Zwiazek mi˛edzy ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okr˛egu
2.3 Alternatywne opisy matematyczne drgań harmonicznych
2.3.1 Postać A
2.3.2 Postać B
2.3.3 Postać C
3
2.3.4 Postać D
2.4 Przykłady drgań harmonicznych
2.4.1 Drgania wzdłuż prostej
2.4.1.1 Pionowy ruch harmoniczny
2.4.1.2 Ci˛eżarek pomi˛edzy dwiema spr˛eżynami
2.4.1.3 Dwa ci˛eżarki połaczone
˛
spr˛eżyna˛
2.4.2 Drgania katowe
˛
2.4.2.1 Wahadło matematyczne
2.4.2.2 Wahadło torsyjne
2.4.2.3 Wahadło fizyczne
2.4.3 Drgania akustyczne w rezonatorze Helmholtza
2.4.4 Drgania elektryczne w obwodzie LC
2.5 Liniowość i zasada superpozycji
2.6 Przedstawienie wektorowe drgań harmonicznych
2.7 Składanie drgań harmonicznych odbywajacych
˛
si˛e wzdłuż jednej prostej
2.7.1 Drgania o tej samej cz˛estości kołowej
2.7.2 Drgania o różnych cz˛estościach kołowych. Dudnienia
2.8 Rozkład Fouriera drgań okresowych
3 Drgania tłumione
3.1 Różniczkowe równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego i jego rozwiazanie
˛
3.1.2 Rozwiazanie
˛
różniczkowego równania ruchu
3.2 Tłumienie podkrytyczne
˛
3.2.3 Logarytmiczny dekrement tłumienia
3.2.4 Współczynnik dobroci Q
3.2.5 Zanik energii średniej przy tłumieniu bardzo słabym
3.3 Tłumienie nadkrytyczne
˛
3.3.3 Przykłady ruchu przy różnych warunkach poczatkowych
˛
3.3.4 Tłumienie bardzo silne
3.4 Tłumienie krytyczne
3.5 Straty energii drgań tłumionych
4
3.6 Drgania elektryczne w obwodzie RLC
3.7 Zasada superpozycji
4 Drgania wymuszone
4.1 Różniczkowe równanie ruchu
4.1.1 Siła przyłożona do ciała
4.1.2 Ruch umocowania spr˛eżyny
4.2 Stan ustalony drgań
4.2.1 Równanie ruchu x(t) i wykres wektorowy
4.2.2 Obliczenie fazy Φ , amplitudy przemieszczenia A i amplitudy pr˛edkości Vm
4.2.3 Tłumienie słabe. Rezonans
4.2.3.1 Zależność amplitudy przemieszczenia A od cz˛estości ω
4.2.3.2 Zależność amplitudy pr˛edkości Vm od cz˛estości ω
4.2.3.3 Zależność fazy Φ od cz˛estości ω
4.2.3.4 Podsumowanie
4.2.4 Moc absorbowana podczas drgań ustalonych i szerokość rezonansu
4.2.5 Zwiazek
˛
funkcji A(ω), Vm (ω) i z ich wartościami w rezonansie
4.2.6 Rezonans przy tłumieniu bardzo słabym (γ ≪ ω0 , Q ≫ 1). Funkcja Lorentza.
4.2.7 Amplituda absorpcyjna Aab i amplituda elestyczna Ael
4.2.7.1 Zależność amplitud Aab i Ael od cz˛estości ω
4.2.7.2 Zwiazek
˛
amplitud Aab i Ael z moca˛ absorbowana˛ P , średnia˛ moca˛ absorbowana˛
 i średnia˛ energia˛ < E >
4.2.8 Funkcje odpowiedzi
4.2.8.1 Amplituda zespolona D drgań wymuszonych w stanie ustalonym
4.2.8.2 Podatność mechaniczna K(ω)
e
4.2.8.3 Podatność mechaniczna w przedstawieniu zespolonym K(ω)
4.2.8.4 Impedancja mechaniczna Z(ω)
e
4.2.8.5 Impedancja mechaniczna w przedstawieniu zespolonym Z(ω)
4.2.8.6 Impedancja akustyczna Za (ω)
4.3 Superpozycja drgań wymuszonych
4.3.2 Zasada superpozycji
4.3.3 Amplituda drgań wypadkowych
4.3.4 Koherencja sił wymuszajacych
˛
4.4 Stany przejściowe (transjenty) przy tłumieniu podkrytycznym
4.4.1 Transjent poczatkowy
˛
5
4.4.1.1 Różniczkowe równanie ruch i jego rozwiazanie
˛
x(t)
4.4.1.2 Warunki poczatkowe
˛
4.4.1.3 Przykłady transjentu poczatkowego
˛
4.4.2 Transjent końcowy
4.5 Wymuszone drgania elektryczne w obwodzie RLC
4.5.1 Równanie różniczkowe
4.5.2 Impedancja elektryczna Ze (ω) oraz impedancja elektryczna w przedstawieniu
zespolonym Zee (ω)
5. Drgania układów nieliniowych
5.1 Drgania anharmoniczne podczas działania symetryczne siły zwrotnej
5.1.2 Własności drgań
5.1.3 Równanie ruchu x(t) i jego własności
5.1.4 Wahadło matematyczne jako drgajacy
˛ układ nieliniowy
5.2 Drgania anharmoniczne podczas działania asymetrycznej siły zwrotnej
5.3 Nieliniowość a zasada superpozycji
5.4 Drgania wymuszone układów nieliniowych
5.4.1 Drgania wymuszone siła˛ zmieniajac
˛ a˛ si˛e harmonicznie
5.4.2 Rezonanse dla cz˛estości subharmonicznych
5.4.3 Drgania wymuszone dwiema siłami zmieniajacymi
˛
si˛e harmonicznie. Cz˛estości kombinacyjne
6. Drgania sprz˛eżone
6.1 Sprz˛eżony układ równań różniczkowych
6.2 Drgania normalne (mody)
6.3 Współrz˛edne normalne i niesprz˛eżony układ równań różniczkowych
6.3.1 Współrz˛edne normalne
6.3.2 Niesprz˛eżony układ równań różniczkowych
6.4 Energia drgań we współrz˛ednych normalnych
6.5 Drgania wymuszone w stanie ustalonym
6.5.1 Sprz˛eżony układ równań różniczkowych
6.5.2 Niesprz˛eżony układ różniczkowych równań ruchu
6.5.3 Rozwiazanie
˛
układu różniczkowych równań ruchu
6
6.5.4 Amplitudy drgań wymuszonych
6.5.5 Rezonans w drganiach sprz˛eżonych
1
Siły zachowawcze i niezachowawcze; zasada zachowania energii
1.1 Twierdzenie o pracy i energii
Zgodnie z druga˛ zasada˛ dynamiki F = ma wypadkowa siła F działajaca
˛ na ciało o masie
m powoduje, że w ruchu ciała pojawia si˛e przyspieszenia a, czyli zmiana pr˛edkości, a wi˛ec
również zmiana energii ruchu zwanej energia˛ kinetyczna.˛ Twierdzenie o pracy i energii możemy
sformułować nast˛epujaco:
˛ praca W wykonana przez sił˛e wypadkowa˛ działajac
˛ a˛ na ciało podczas jego ruchu równa si˛e zmianie energii kinetycznej ciała:
W = ∆Ek .
(1.1)
Wyprowadzenie relacji (1.1)
Przeprowadzimy to dla szczególnego przypadku, gdy siła wypadkowa działajaca
˛ na ciało o
masie m jest stała, F = const, i skierowana wzdłuż osi x (rysunek 1.1).
t =0
t
v0
v
0
m
F
m
x0
F
x
x
Rysunek 1.1. Stała siła wypadkowa F działajaca
˛ na ciało
Przyjmijmy, że x0 jest położeniem ciała w chwili t0 = 0, a x – położeniem w chwili t. Praca
wykonana przez stała˛ sił˛e F podczas przemieszczenia ∆x = x − x0 wynosi
W = F ∆x.
(1.2)
Przekształcimy prawa˛ stron˛e równania (1.2) tak, aby pojawiła si˛e tam energia kinetyczna. Zgodnie z II zasada˛ dynamiki skutkiem działania siły F jest pojawienie si˛e przyspieszenia a zgodnie
8
ze zwiazkiem
˛
F = ma. Ponieważ rozważamy jednowymiarowy ruch ciała wzdłuż osi x , wi˛ec
zasad˛e t˛e możemy zapisać w postaci równania skalarnego
F = ma,
(1.3)
gdzie F oraz a sa˛ składowymi wektorów F oraz a wzdłuż osi x. Ponieważ F = const,
przyspieszenie a jest też stałe i wynosi
a=
v − v0
v − v0
.
=
t − t0
t
(1.4)
Jednocześnie przemieszczenie ∆x ciała dla ruchu jednostajnie zmiennego dane jest równaniem
1
1
∆x = x − x0 = v0 t + at2 = (v0 + at)t,
2
2
(1.5)
które po podstawieniu zwiazku
˛
(1.4) przyjmie postać
∆x =
v0 + v
t.
2
(1.6)
Uwzgl˛edniajac
˛ (1.3), (1.4) i (1.6) w równaniu (1.2), otrzymujemy
W = F ∆x = m
1
1
v − v0 v0 + v
t = mv 2 − mv02 .
t
2
2
2
(1.7)
Ponieważ wyrażenie
1
Ek = mv 2
2
(1.8)
jest energia˛ kinetyczna˛ ciała o masie m i pr˛edkości v, a
1
Ek0 = mv02
2
(1.9)
jest energia˛ kinetyczna˛ tego ciała, gdy porusza si˛e ono z pr˛edkościa˛ v0 , równanie (1.7) możemy
zapisać w postaci (1.1):
W = Ek − Ek0 = ∆Ek .
(1.10)
Wprawdzie relacj˛e (1.1) wyprowadziliśmy dla stałej siły wypadkowej działajacej
˛ na ciało, to
jednak twierdzenie o pracy i energii jest słuszne dla dowolnej siły wypadkowej. Przy rozwiazy˛
waniu wielu zagadnień wygodniej jest obliczać prace wykonane przez poszczególne siły składajace
˛ si˛e na sił˛e wypadkowa˛ F:
F = F1 + F2 + F3 + · · · .
(1.11)
Oznaczajac
˛ przez W1 , W2 , W3 , . . . prace wykonane odpowiednio przez siły F1 , F2 , F3 , . . .,
twierdzenie o pracy i energii (1.1) możemy zapisać nast˛epujaco:
˛
W1 + W2 + W3 + · · · = ∆Ek .
(1.12)
9
1.2.1 Siła grawitacji (przy powierzchni Ziemi)
1.2.1.1 Energia potencjalna grawitacji
Na ciało o masie m ze strony Ziemi działa siła grawitacji
Fg = mg
(1.13)
skierowana pionowo w dół, gdzie g jest przyspieszeniem grawitacyjnym, które przyjmujemy
za stałe, gdy ciało porusza si˛e przy jej powierzchni. Podczas ruchu ciała w polu grawitacyjnym
Ziemi, siła grawitacji (1.13) wykonuje prac˛e, która˛ możemy wyrazić poprzez zmian˛e energii
potencjalnej układu ciało-Ziemia. W tym celu obliczymy prac˛e Wgr wykonana˛ przez sił˛e grawitacji (1.13) podczas przemieszczenia ciała o masie m z położenia y1 do y2 .
Wartość siły F na rysunku 1.2 jest taka, aby przemieszczenie ciała zachodziło zawsze od y1 do
y
y
F
m
y
1
y
y
m
2
Fg
Fg
F
F
m
2
0
F
m
y
1
Fg
(a)
Fg
0
(b)
Rysunek 1.2. Praca jest wykonana przez sił˛e grawitacji podczas ruchu pionowego ciała od wysokości poczatkowej
˛
y1 do
wysokości końcowej y2 : (a) przemieszczenie w dół. Energia potencjalna grawitacji (a) maleje, jeżeli ciało porusza si˛e w dół i
(b) rośnie, jeżeli porusza si˛e ono w gór˛e
y2 .
(a) Ciało przemieszcza si˛e w dół (rysunek 1.2a).
Podczas przemieszczania si˛e ciała w dół praca Wgr wynosi
10
Wgr = mg(y1 − y2 ) = mgy1 − mgy2 = −(mgy2 − mgy1 )
(1.14)
i jest dodatnia, Wgr > 0 (przemieszczenie i siła grawitacji maja˛ zgodne kierunki).
(b) Ciało przemieszcza si˛e w gór˛e (rysunek 1.2b).
Podczas przemieszczania si˛e ciała w gór˛e praca Wgr wynosi
Wgr = −mg(y2 − y1 ) = mgy1 − mgy2 = −(mgy2 − mgy1 )
(1.15)
i jest ujemna, Wgr < 0 (przemieszczenie i siła grawitacji maja˛ kierunki przeciwne). Porównujac
˛ wyrażenia (1.14) i (1.15) widzimy, że praca Wgr jest przedstawiona poprzez identyczne
wyrażenia, niezależnie od tego czy ciało porusza si˛e w polu grawitacyjnym w dół, czy w gór˛e.
Wyrażenie
Ep = mgy
(1.16)
nazywa si˛e energia˛ potencjalna˛ grawitacji (przy powierzchni Ziemi). Wówczas
Ep1 = mgy1
(1.17)
jest energia˛ potencjalna˛ grawitacji, gdy ciało jest w położeniu y1 , natomiast
Ep2 = mgy2
(1.18)
jest energia˛ potencjalna˛ grawitacji w położeniu y2 .
Prac˛e Wgr (1.14) i (1.15) możemy wi˛ec wyrazić poprzez zmian˛e energii potencjalnej grawitacji:
Wgr = Ep1 − Ep2 = −(Ep2 − Ep1 ) ,
(1.19)
Wgr = −∆Ep .
(1.20)
czyli zachodzi relacja
Należy zauważyć, że energia potencjalna (1.16) zależy od poziomu odniesienia (punkt 0
na osi y), który może być przyj˛ety dowolnie. Jednak w fizyce ważna jest nie sama energia
potencjalna, która zależy od przyj˛etego poziomu z Ep = 0, ale zmiana tej energii ∆Ep , która
już od przyj˛etego poziomu odniesienia nie zależy.
Przyjmijmy teraz, że na ciało o masie m działa tylko siła grawitacji (1.13) (jest wi˛ec siła˛ wypadkowa),
˛ a to oznacza, że praca przez nia˛ wykonana może być, zgodnie z twierdzeniem o pracy i
energii (1.1), wyrażona poprzez zmian˛e energii kinetycznej:
Wgr = ∆Ek .
11
(1.21)
Jednocześnie praca wykonana przez sił˛e grawitacji może być zawsze wyrażona poprzez zmian˛e energii potencjalnej grawitacji (1.20). Ponieważ lewe strony równań (1.20) i (1.21) sa˛ jednakowe, wi˛ec
∆Ek = −∆Ep ,
(1.22)
∆Ek + ∆Ep = 0.
(1.23)
czyli
Powyższe równanie oznacza, że podczas działania tylko siły grawitacji energia kinetyczna i
energia potencjalna grawitacji moga˛ sie zmieniać, ale suma tych zmian wynosi zero. Jeżeli
teraz równanie (1.23) zapiszemy w postaci
(Ek2 − Ek1 ) + (Ep2 − Ep1 ) = 0 ,
(1.24)
Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 ,
(1.25)
to otrzymamy
co oznacza, że podczas działania tylko siły grawitacji energia kinetyczna i energia potencjalna
grawitacji moga˛ si˛e zmieniać, ale ich suma pozostaje stała:
Ek + Ep = const.
(1.26)
Sum˛e energii kinetycznej i potencjalnej nazywamy energia˛ mechaniczna˛ E:
E = Ek + Ep .
(1.27)
Tak wi˛ec równania (1.23) i (1.26) przyjma˛ postać
∆E = ∆Ek + ∆Ep = 0,
(1.28)
E = Ek + Ep = const.
(1.29)
Równoważne sobie równania (1.28) i (1.29) oznaczaja,˛ że dla izolowanego układu fizycznego,
w którym działa tylko siła grawitacji, energia mechaniczna jest zachowana, czyli pozostaje
stała. Jest to zasada zachowania energii mechanicznej.
Jeżeli wi˛ec ciało o masie m porusza si˛e w polu grawitacyjnym przy powierzchni Ziemi i przy
współrz˛ednej pionowej y1 ma pr˛edkość v1 , a dla y2 – pr˛edkość v2 , to zasada zachowania energii
mechanicznej (1.29) ma postać
1
1
mv12 + mgy1 = mv22 + mgy2 .
2
2
(1.30)
12
1.2.2 Siła spr˛eżystości
Odkształcenie ciał spr˛eżystych przez sił˛e F jest (w pewnych granicach wartości siły), proporcjonalne do jej wartości (prawo Hooke’a). Rozważmy sp˛eżyn˛e, która jest rozciagana
˛
(lub
ściskana) wzdłuż osi x siła˛ F (rysunek 1.3).
k
x
0
(a)
k
F
F
0
x
x
(b)
Rysunek 1.3. (a) Spr˛eżyna nierozciagni˛
˛ eta; (b) Spr˛eżyna rozciagni˛
˛ eta siła˛ F
Jeżeli przez x oznaczymy zmian˛e długości spr˛eżyny spowodowana˛ siła˛ F (rysunek 1.3), to (w
granicach prawa Hooke’a) zachodzi relacja
F = kx ,
(1.31)
gdzie F jest składowa˛ wektora F wzdłuż osi x, natomiast k jest współczynnikiem spr˛eżystości zależnym od rodzaju spr˛eżyny. Wzór(1.31) oznaczy, że koniec nierozciagni˛
˛ etej spr˛eżyny
ma położenie x = 0. Jednocześnie przy rozciaganiu
˛
(lub ściskaniu) spr˛eżyny pojawia si˛e siła
spr˛eżystości Fs = −F (jej działanie odczuwamy rozciagaj
˛ ac
˛ lub ściskajac
˛ spr˛eżyn˛e), a jej
składowa wzdłuż osi x wynosi:
Fs = −kx .
(1.32)
Jeżeli x > 0 (rysunek 3b) , to Fs < 0, czyli siła Fs jest skierowana w stron˛e ujemnych wartości
na osi x, natomiast, gdy x < 0 (spr˛eżyna na rysunku 2a byłaby ściskana) , to Fs > 0, co
oznacza, że siła Fs jest wówczas skierowana w stron˛e dodatnich wartości na osi x.
13
1.2.2.1 Energia potencjalna spr˛eżystości
Obliczmy prac˛e Ws wykonana˛ przez sił˛e spr˛eżystości podczas zmiany jej długości, od położenia
x1 jej końca do położenia x2 , przy czym x1 i x2 moga˛ być dodatnie lub ujemne oraz x1 > x2
(spr˛eżyna ściskana) lub x1 < x2 (spr˛eżyna rozciagana):
Zx2
Zx2
1
1
Ws = (−kx)dx = −k xdx = kx21 − kx22 .
2
2
(1.33)
x1
x1
Wprowadzajac
˛ energi˛e potencjalna˛ spr˛eżystości
1
Ep = kx2 ,
2
(1.34)
otrzymujemy wyrażenia na energi˛e potencjalna˛ spr˛eżystości Ep1 i Ep2 spr˛eżyny, której koniec
znajduje si˛e odpowiednio w położeniu x1 lub x2 :
1
Ep1 = kx21 ,
2
(1.35)
1
Ep2 = kx22 .
2
(1.36)
Tak wi˛ec prac˛e (1.33), wykonana˛ przez sił˛e spr˛eżystości, możemy wyrazić poprzez zmian˛e
energii potencjalnej:
Ws = Ep1 − Ep2 = −(Ep2 − Ep1 ) ,
(1.37)
Ws = −∆Ep ,
(1.38)
∆Ep = Ep2 − Ep1
(1.39)
czyli
gdzie
oznacza zmian˛e energii potencjalnej spr˛eżystości podczas omawianej zmiany długości
spr˛eżyny.
Rozważmy teraz układ fizyczny złożony z ciała o masie m połaczonego
˛
ze spr˛eżyna˛ o
współczynniku spr˛eżystości k i przyjmijmy, że ciało to może poruszać si˛e wzdłuż osi x bez
tarcia (rysunek 1.4). Jeżeli ciało znajduje si˛e w położeniu pokazanym na rysunku 1.4a, kiedy to
spr˛eżyna ma swoja˛ naturalna˛ długość, siła wypadkowa wynosi zero: siła spr˛eżystości Fs = 0, a
siła grawitacji działajaca
˛ na ciało (ci˛eżar ciała) jest równoważona przez sił˛e reakcji podłoża. Jest
14
k
m
x
0
(a)
m
k
Fs
0
x
x
(b)
Rysunek 1.4. Ciało przymocowane do spr˛eżyna na powierzchni poziomej: (a) Spr˛eżyna ma swoja˛ naturalna˛ długość: na ciało
nie działa siła spr˛eżystości; (b) Spr˛eżyna jest rozciagni˛
˛ eta: na ciało działa siła spr˛eżystości
to położenie równowagi. Jeżeli wyprowadzimy ciało z położenia równowagi, np. przesuwajac
˛
je w prawo (rysunek 1.4b), pojawi si˛e siła spr˛eżystości Fs działajaca
˛ na mas˛e m.
Przyjmijmy teraz, że siła ta jest jedyna˛ siła˛ działajac
˛ a˛ w kierunku ruchu, czyli wzdłuż osi x
(nie działa już siła, która wyprowadziła mas˛e m z położenia równowagi). Siła Fs jest wówczas
siła˛ wypadkowa˛ działajac
˛ a˛ na ciało i zgodnie z twierdzeniem o pracy i energii praca wykonana
przez t˛e sił˛e podczas przemieszczania si˛e masy m równa si˛e zmianie energii kinetycznej ciała:
Ws = ∆Ek .
(1.40)
Jednocześnie pokazaliśmy, że praca Ws , wykonywana nad ciałem przez sił˛e spr˛eżystości, może
być zawsze wyrażona poprzez zmian˛e energii potencjalnej spr˛eżystości (równanie (1.38)).
Porównujac
˛ równania (1.38) i (1.40) mamy
∆Ek = −∆Ep ,
(1.41)
∆Ek + ∆Ep = 0.
(1.42)
czyli
Powyższe równanie oznacza, że podczas działania tylko siły spr˛eżystości energia kinetyczna i
energia potencjalna spr˛eżystości moga˛ sie zmieniać, ale suma tych zmian wynosi zero. Jeżeli
teraz równanie (1.42) zapiszemy w postaci
(Ek2 − Ek1 ) + (Ep2 − Ep1 ) = 0 ,
(1.43)
Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 ,
(1.44)
to otrzymamy
15
co oznacza, że podczas działania tylko siły spr˛eżystości energia kinetyczna i energia potencjalna
spr˛eżystości moga˛ si˛e zmieniać, ale ich suma pozostaje stała:
Ek + Ep = const.
(1.45)
Po wprowadzeniu energii mechanicznej (1.27) do równań (1.42) i (1.45), przyjma˛ one postać
∆E = ∆Ek + ∆Ep = 0,
(1.46)
E = Ek + Ep = const,
(1.47)
a to oznacza, że dla izolowanego układu fizycznego , w którym działa tylko siła spr˛eżystości,
energia mechaniczna jest zachowana.
Dla ciała o masie m poruszajacego
˛
si˛e wzdłuż osi x pod wpływem tylko siły spr˛eżystości (1.32),
które przy współrz˛ednej x1 ma pr˛edkość v1 , a przy wspłórz˛ednej x2 — pr˛edkość v2 , zasada
zachowania energii mechanicznej (1.47) ma postać
1
1
1
1
mv12 + kx21 = mv22 + kx22 .
2
2
2
2
(1.48)
1.2.3 Własności sił zachowawczych
Z przeprowadzonego w cz˛eściach 1.2.1 i 1.2.2 omówienia własności siły grawitacji i siły
spr˛eżystości wynika, że posiadaja˛ one pewne cechy wspólne. Siły te należa˛ do rodzaju sił
zwanych siłami zachowawczymi. Siłami zachowawczymi sa˛ również siły oddziaływania elektrostatycznego (siły kulombowskie) i wszystkie siły centralne.
Siłami zachowawczymi nazywamy takie siły, że praca W wykonana przez nie ma nast˛epujace
˛
własności:
(a) zawsze może być przedstawiona jako różnica pomi˛edzy poczatkow
˛
a˛ i końcowa˛ wartościa˛
energii potencjalnej (wzory (1.19) i (1.37)) ;
(b) jest odwracalna: praca wykonana przy przemieszczaniu si˛e ciała pomi˛edzy punktami A
iB
spełnia relacj˛e WAB = −WBA ;
(c) nie zależy od drogi, po jakiej przemieszcza si˛e ciało, a zależy tylko od położenia punktu
poczatkowego
˛
i końcowego: np. prace WAB (1), WAB (2), WAB (3), WAB (4) wykonane przez
sił˛e
zachowawcza˛ pomi˛edzy punktami A i B (rysunek 1.5) na drogach 1, 2, 3 i 4 sa˛ jednakowe;
(d) wykonana na drodze zamkni˛etej (punkt poczatkowy
˛
i końcowy w ruchu si˛e pokrywaja)
˛
wynosi zero:
I
F · dr = 0 ,
(1.49)
16
np. WAB + WBA = 0 dla dowolnych dróg 1, 2, 3, 4 (rysunek 1.5).
4
3
B
2
1
A
Rysunek 1.5. Prace WAB (1), WAB (2), WAB (3) i WAB (4) wykonane pomi˛edzy punktami A i B przez sił˛e zachowawcza˛ na
drogach 1, 2, 3 i 4 sa˛ jednakowe
Jeżeli w układzie fizycznym działa tylko siła zachowawcza, to energia mechaniczna układu
pozostaje stała (równania (1.28) i (1.29) oraz (1.46) i (1.47)).
1.2.4 Zwiazek
˛
siły zachowawczej z energia potencjalna˛
Pomi˛edzy energia˛ potencjalna˛ a siła˛ zachowawcza˛ istnieje zwiazek,
˛
który dla przypadków jednowymiarowych, omawianych powyżej, ma postać (rysunek 1.6):
(a) dla siły grawitacji przy powierzchni Ziemi (g = const, ruch wzdłuż osi y)
Fy = −
dEp
;
dy
(1.50)
dEp
.
dx
(1.51)
(b) dla siły spr˛eżystości (ruch wzdłuż osi x)
Fx = −
W przypadku trójwymiarowym, gdy ruch ciała opisany jest w układzie współrz˛ednych {x, y, z},
a energia potencjalna Ep (x, y, x) jest w ogólności funkcja˛ współrz˛ednych x, y i z, zachodzi
F = −grad Ep = −(
∂Ep b ∂Ep b ∂Ep b
i+
j+
k),
∂x
∂y
∂z
(1.52)
b sa˛ wektorami jednostkowymi (wersorami) skierowanymi odpowiednio wzdłuż
gdzie bi, bj oraz k
osi x, y oraz z spełniajacymi
˛
relacje:
Ep
17
Ep
x
y
Ep = mgy
Ep = 1/2 kx
2
Fx
Fy
y
x
Fy = − mg
Fx = − kx
F = − dE p
y
dy
Fx = − dE p
dx
(a)
(b)
Rysunek 1.6. Wykres energii potencjalnej i siły jako funkcji położenia: (a) siła i energia potencjalna grawitacji (b) siła i energia
potencjalna spr˛eżystości. W każdym przypadku siła jest równa wzi˛etej ze znakiem minus pochodnej energii potencjalnej
b = 1,
|bi| = |bj| = |k|
(1.53)
bj × k
b = bi,
(1.55)
Wprowadzajac
˛ operator nabla ∇
bi × bj = k,
b
(1.54)
b × bi = bj.
k
(1.56)
∂
∂
b ∂ ,
+ bj
+k
∇ = bi
∂x
∂y
∂z
(1.57)
możemy relacj˛e (1.52) zapisać w postaci
F = −∇Ep .
(1.58)
Należy zwrócić uwag˛e na to, że w równaniach (1.52), (1.57) i (1.58) wyst˛epuja˛ pochodne
czastkowe.
˛
Tak wi˛ec w tym przypadku, zamiast równań (1.50) lub (1.51), zachodzacych
˛
dla
ruchu w jednym wymiarze, siła F może mieć trzy składowe Fx , Fy , Fz :
Fx = −
∂Ep
,
∂x
(1.59)
18
Fy = −
∂Ep
,
∂y
(1.60)
Fz = −
∂Ep
.
∂z
(1.61)
1.2.5 Rodzaje równowagi
Przyjrzyjmy si˛e kulce znajdujacej
˛ si˛e w położniu równowagi na trzech różnych powierzchniach
(rysunek 1.7). W każdym z tych położeń siły działajace
˛ na kulk˛e (narysowana˛ linia˛ ciagł
˛ a),
˛ siła
ci˛eżkości i siła reakcji powierzchni, równoważa˛ si˛e. Jednak każde z tych położeń równowagi
ma inne własności.
(a)
(b)
(c)
Rysunek 1.7. Kulka na powierzchni znajdujaca
˛ si˛e w równowadze: (a) trwałej, (b) nietrwałej, (c) oboj˛etnej
Jeżeli kulc˛e spoczywajac
˛ na dnie naczynia (rysunek 1.7a) przesuniemy z położenia równowagi,
jej środek ci˛eżkości si˛e podnosi; kulka wraca w stron˛e położenia równowagi. Jest to przykład
równowagi trwałej.
Przesuni˛ecie kulki z położenia równowagi na rysunku 1.7b obniża jej środek ci˛eżkości; b˛edzie
si˛e ona oddalała od położenia równowagi. Jest to przykład równowagi nietrwałej (chwiejnej).
Natomiast przesuni˛ecie kulki z położenia równowagi na rysunku 1.7c nie zmienia wysokości
środka ci˛eżkości kulki. Kulka wychylona z położenia równowagi nie wraca do poprzedniego
położenia, lecz pozostaje w tym nowym położeniu. Jest to przykład równowagi oboj˛etnej.
Zdefiniujemy teraz te trzy rodzaje równowagi dla dowolnego układu fizycznego.
(a) Równowaga trwała
Układ fizyczne jest w równowadze trwałej, gdy jego energia potencjalna w tym położeniu posiada lokalne minimum. Przykład jednowymiarowy pokazany jest na rysunku 1.8a. Każde minimalne odchylenie ciała z położenia równowagi trwałej powi˛eksza energi˛e potencjalna˛ układu i
p
powoduje pojawienie si˛e siły Fx = − dE
, która jest dodatnia dla x < 0, a ujemna dla x > 0 (rydx
sunek 1.8a). Siła ta, zwana siła zwrotna,˛ skierowuje zawsze ciało w stron˛e położenia równowagi
trwałej.
Ep
0
Ep
x
Dla x<0 , Dla x>0,
Fx <0
Fx >0
Ep
x
0
Dla x<0,
Dla x>0,
Fx <0
Fx >0
(a)
(b)
19
x
0
Dla x<0,
Fx =0
Dla x>0,
F x=0
(c)
Rysunek 1.8. Przykładowe wykresy energii potencjalnej jednowymiarowych układów fizycznych b˛edacych
˛
w punkcie x = 0
w równowadze: (a) trwałej, (b) nietrwałej, (c) oboj˛etnej
(b) Równowaga nietrwała (chwiejna)
Układ fizyczne jest w równowadze nietrwałej, gdy jego energia potencjalna w tym położeniu
posiada lokalne maksimum. Przykład jednowymiarowy pokazany jest na rysunku 1.8b. Każde
minimalne odchylenie ciała z położenia równowagi nietrwałej pomniejsza energi˛e potencjalna˛
p
układu i powoduje pojawienie si˛e siły Fx = − dE
, przy czym Fx < 0 dla x < 0 oraz Fx > 0
dx
dla x > 0 (rysunek 1.8b). Oznacza to, że na ciało przesuni˛ete z położenia równowagi nietrwałej
działa siła skierowana od położenia równowagi, powodujac,
˛ że układ nie może sam wrócić do
tego położenia równowagi.
(c) Równowaga oboj˛etna
Układ fizyczne jest w równowadze oboj˛etnej, gdy jego energia potencjalne w najbliższym
otoczeniu tego położenia jest taka sama, jak w położeniu równowagi. Przykład jednowymiarowy pokazany jest na rysunku 1.8c. Dowolnie małe przesuni˛ecie ciała z położenia równowagi
oboj˛etnej nie zmienia energii potencjalnej układu.
(d) Stopień pewności równowagi trwałej
Na rysunku 1.9 przedstawiona jest energia potencjalna układu fizycznego, dla którego punkty
x1 , x3 i x5 sa˛ położeniami równowagi trwałej, natomiast x2 i x4 — w równowagi nietrwałej.
Przez stopień pewności równowagi trwałej rozumiemy najmniejsza˛ energi˛e, jaka˛ należy
dostarczyć układowi znajdujacemu
˛
si˛e w równowadze trwałej, aby przeszedł on do najbliższego położenia równowagi nietrwałej. W przykładzie przedstawionym na rysunku 1.9,
dla równowagi trwałej w położeniu x1 wynosi on ∆1 E = E2 − E1 , w położeniu x3 —
20
Ep
E2
E4
E3
E5
E1
x1
x2
x3
x4
x5
x
Rysunek 1.9. Przykładowy wykres energii potencjalnej układu jednowymiarowego
∆3 E = E4 −E3 , natomiast w położeniu x5 — ∆5 E = E4 −E5 . Ponieważ ∆1 E > ∆5 E > ∆3 E,
wi˛ec stopień pewności równowagi trwałej jest najwi˛ekszy w położeniu x1 .
Drgania układu moga˛ zachodzić tylko wokół położenia równowagi trwałej.
1.3.1 Siły niezachowawcze a energia mechaniczna
Przyjmijmy, że na ciało działaja˛ siła zachowawcza Fz i siła niezachowawcza Fnz . Jeżeli podczas
przemieszczania si˛e ciała prac˛e wykonana˛ przez sił˛e Fz oznaczymy jako Wz , a prac˛e wykonana˛
przez sił˛e Fnz jako Wnz , to praca W wykonana przez sił˛e wypadkowa˛
F = Fz + Fnz
(1.62)
W = Wz + Wnz .
(1.63)
wynosi
Z twierdzenia o pracy i energii (równanie (1.1))
W = ∆Ek = Ek2 − Ek1 ,
(1.64)
a z własności siły zachowawczej mamy
Wz = −∆Ep = − (Ep2 − Ep1 ) ,
(1.65)
gdzie energie Ek1 i Ep1 oraz Ek2 i Ep2 sa˛ energiami odpowiednio w punkcie 1 oraz w punkcie
2 przemieszczajacego
˛
si˛e ciała.
Podstawiajac
˛ (1.64) i (1.65) do równania (1.63) otrzymujemy
∆Ek + ∆Ep = Wnz ,
(1.66)
21
a wprowadzajac
˛ energi˛e mechaniczna˛ E = Ek + Ep , mamy
∆E = Wnz .
(1.67)
Powyższe równanie oznacza, że wyst˛epowanie siły niezachowawczej, w przeciwieństwie do sił
zachowawczych, może spowodować zmian˛e energii mechanicznej. Oznaczajac
˛ przez E1 i E2
energi˛e mechaniczna˛ w punktach 1 i 2, równanie (1.67) możemy również zapisać w postaci
E2 = E1 + Wnz .
(1.68)
A wi˛ec to, czy energia mechaniczna rośnie, czy też maleje podczas działania siły niezachowawczej, zależy od tego czy praca wykonana przez sił˛e niezachowawcza˛ jest dodatnia, czy
też ujemna. Pewne siły niezachowawcze, takie jak siły tarcia czy siły oporu ośrodka, powoduja˛
dyssypacj˛e (rozproszenie) energii mechanicznej; nazywane sa˛ one siłami dyssypatywnymi. Istnieja˛ też siły niezachowawcze, których działanie powoduje wzrost energii mechanicznej. Podczas eksplozji fajerwerków ich fragmenty wyrzucane sa˛ z bardzo duża˛ energia kinetyczna,˛
dzi˛eki reakcji chemicznej prochu z tlenem. Siły wyzwolone w tej reakcji sa˛ siłami niezachowawczymi. Również, gdy podnosimy ciało z poziomu niższego na poziom wyższy, siła˛
niezachowawcza˛ jest siła przyłożona przez nas do ciała. Działanie tej siły powoduje, że energia
mechaniczna rośnie.
1.3.2 Siły oporu ośrodka
Szczególnym przykładem sił niezachowawczych sa˛ siły oporu ośrodka. Jeżeli ciało porusza
si˛e w rzeczywistym płynie (gazie lub cieczy) to działaja˛ na nie siły zwiazane
˛
z tarciem
wewn˛etrznym (lepkościa)
˛ oraz z różnica˛ pomi˛edzy ciśnieniem z przody i z tyłu ciała
spowodowana˛ tym, że z tyłu poruszajacego
˛
si˛e ciała warstwy płynu odrywaja˛ si˛e od niego
tworzac
˛ wiry. Dla niezbyt dużych pr˛edkości ciała siła oporu ośrodka jest proporcjonalna do
pr˛edkości:
f op = −bv,
(1.69)
gdzie znak ” -” oznacza, że siła f op jest zawsze przeciwnie skierowana wzgl˛edem wektora pr˛edkości v. Zawsze dodatni współczynnik oporu b zależy od rodzaju ośrodka, w którym ruch si˛e
odbywa (powietrze, woda, olej, ...) oraz od kształtu poruszajacego
˛
si˛e ciała i może być wyznaczony eksperymentalnie dla danego układu ciało-płyn (przez płyn rozumiemy zarówno gazy jak
i ciecze).
Dla ruchu jednowymiarowego odbywajacego
˛
si˛e wzdłuż osi x powyższe równianie ma postać
fop = −bvx ,
(1.70)
22
gdzie fop i vx sa˛ składowymi wektorów f op i v w kierunku osi x, przy czym
vx =
dx
.
dt
(1.71)
Wprowadzajac
˛ oznaczenie (dotyczace
˛ tylko pochodnej wzgl˛edem czasu)
dx
≡ ẋ ,
dt
(1.72)
możemy sił˛e oporu ośrodka (1.70) zapisać w postaci
fop = −bẋ .
(1.73)
Ważna˛ własnościa˛ sił oporu ośrodka jest to, że praca wykonana przez nie jest zawsze ujemna.
Pokażemy to, posługujac
˛ si˛e rysunkiem 1.10.
π
π
v
vx
fop
fop
dr
dx
x
(a)
(b)
Rysunek 1.10. Praca wykonana przez sił˛e oporu ośrodka jest zawsze ujemna
Dla przypadku ruchu w trzech wymiarach (rysunek 1.10a) przemieszczenie dr, które nastapiło
˛
w czasie dt wynosi
dr = vdt ,
(1.74)
a praca elementarna dW wykonana przez sił˛e f op podczas tego przemieszczenia
dW = f op · dr = |f op ||dr|cosπ = −|f op ||dr| < 0 .
(1.75)
Prac˛e elementarna˛ dW dla siły f op = −bv możemy też zapisać, uwzgl˛edniajac
˛ relacj˛e (1.74),
w postaci
dW = f op · dr = −bv · vdt = −bv 2 dt < 0 .
(1.76)
Ponieważ każda praca elementarna dW wykonana przez sił˛e oporu ośrodka podczas elementarnego przemieszczenia vdt jest ujemna, wi˛ec również całkowita praca W wykonana przez
sił˛e f op podczas ruchu ciała po dowolnym torze l jest ujemna:
Z
W = dW < 0 .
l
(1.77)
23
Dla ruchu jednowymiarowego (rysunek 1.10b), który jest szczególnym przypadkiem ruchu w
trzech wymiarach, przemieszczenie dx ciała w czasie dt wynosi
dx = vx dt ,
(1.78)
a praca elementarna wykonana przez sił˛e fop = −bvx podczas tego przemieszczenia jest
ujemna:
dW = fop dx = −bvx vx dt = −b(vx )2 dt < 0 ,
(1.79)
podobnie jak praca całkowita dana równaniem (1.77).
Uwaga: Ponieważ każda siła tarcia f t podczas ruchu ciała jest zawsze przeciwnie skierowana
wzgl˛edem kierunku przemieszczania si˛e ciała, wi˛ec praca Wt wykonana przez t˛e sił˛e jest zawsze ujemna.
1.4.1 Obecność tylko sił zachowawczych
Przyjmijmy, że mamy izolowany układ fizyczny, w którym na ciało działaja˛ tylko siły zachowawcze Fz1 , Fz3 , Fz3 , ..., czyli działa siła wypadkowa
F = Fz1 + Fz2 + Fz3 ... =
X
Fzi .
(1.80)
i
Jeżeli podczas przemieszczania si˛e ciała prac˛e wykonana˛ przez sił˛e wypadkowa˛ F oznaczymy
przez W , a przez Wzi prac˛e wykonana˛ przez sił˛e Fzi , to mamy
W =
X
Wzi .
(1.81)
i
Ponieważ praca wykonana przez sił˛e wypadkowa˛ równa si˛e zmianie energii kinetycznej ciała
(twierdzenie o pracy i energii – równanie (1.1)), a prac˛e wykonana˛ przez każda˛ sił˛e zachowawcza˛ możemy wyrazić poprzez zmian˛e energii potencjalnej zwiazanej
˛
z dana˛ siła˛ zachowawcza˛ (patrz np. równania (1.20) i (1.38) — odpowiednio dla siły grawitacji i siły spr˛eżystości)
Wzi = −
X
∆Ep(i) ,
(1.82)
i
wi˛ec równanie (1.81) przyjmie postać
∆Ek = −
czyli
X
i
∆Ep(i) ,
(1.83)
24
∆Ek +
X
∆Ep(i) = 0 .
(1.84)
i
Wprowadzona w cz˛eściach 1.2.1 i 1.2.2 energia mechaniczna E dla układów, w których działa
tylko jedna siła zachowawcza (odpowiednio – siła grawitacji lub siła spr˛eżystości), dla rozpatrywanego teraz układu fizycznego, w którym jednocześnie działa kilka sił zachowawczych (a
wi˛ec istnieje kilka rodzajów energii potencjalnej), ma postać
E = Ek +
X
Ep(i) .
(1.85)
i
Równanie (1.84) oznacza, że w układzie izolowanym, w którym działaja˛ tylko siły zachowawcze, zmiana energii mechanicznej wynosi zero,
∆E = ∆Ek +
X
∆Ep(i) = 0 ,
(1.86)
Ep(i) = const .
(1.87)
i
czyli energia mechaniczna jest zachowana :
E = Ek +
X
i
1.4.2 Obecność sił zachowawczych i siły tarcia
Załóżmy teraz, że na ciało działaja˛ jednocześnie siła zachowawcza Fz i siła tarcia (np. siła
oporu ośrodka f op dana równaniem (1.69) lub siła tarcia zewn˛etrznego), która jest siła˛ niezachowawcza.˛ Jeżeli podczas przemieszczania si˛e ciała prac˛e wykonana˛ przez sił˛e tarcia oznaczymy jako Wt , to równania (1.66) i (1.67) przyjma˛ postać
∆Ek + ∆Ep = Wt
(1.88)
∆E = Wt .
(1.89)
i
Ponieważ praca Wt wykonana nad ciałem przez sił˛e tarcia jest zawsze ujemna (Wt < 0) (patrz
cz˛eść 1.3.2), wi˛ec
∆E < 0,
(1.90)
a to oznacza, że energia mechaniczna ciała maleje, jeżeli podczas ruchu działa na nie siła tarcia.
Co si˛e dzieje z tracona˛ energia˛ mechaniczna?
˛ Podczas ruchu ciała w obecności tarcia rośnie
temperatura ciała i otoczenia (płynu, w którym porusza si˛e ciało, gdy działa siła oporu ośrodka
lub powierzchni, po którego ślizga si˛e ciało w obecności tarcia zewn˛etrznego), rośnie wi˛ec energia termiczna układu ciało–otoczenie. Doświadczenie pokazuje, że przyrost energii termicznej
∆Eterm jest równy wartości pracy wykonanej przez sił˛e tarcia |Wt |. Ponieważ Wt < 0, wi˛ec
zachodzi
∆Eterm = −Wt .
25
(1.91)
Podstawiajac
˛ (1.91) do równania (1.88), mamy
∆Ek + ∆Ep + ∆Eterm = 0.
(1.92)
W przypadku, gdy na ciało działa jednocześnie kilka sił zachowawczych i siła tarcia, równanie
(1.92) przyjmie postać
∆Ek +
X
∆Ep(i) + ∆Eterm = 0.
(1.93)
i
Równanie to jest równoważne równaniu
Ek +
X
Ep(i) + Eterm = const.
(1.94)
i
Równanie powyższe oznacza, że w układzie izolowanym, w którym działaja˛ siły zachowawcze
i siła tarcia, suma energii mechanicznej i energii termicznej układu pozostaje stała. Kosztem
zmniejszanie si˛e energii mechanicznej powi˛eksza si˛e energia termiczna układu. Tak wi˛ec równanie to przedstawia zasad˛e zachowania energii dla układu odosobnionego (izolowanego), w
którym działaja˛ tylko siły zachowawcze i siły tarcia.
1.4.3 Obecność sił zachowawczych, siły tarcia i innych sił niezachowawczych
W ogólnym przypadku w układzie, oprócz sił zachowawczych i sił tarcia, moga˛ działać inne
siły niezachowawcze, powodujac
˛ pojawianie si˛e zmian innych rodzajów energii (oprócz energii
kinetycznej, potencjalnej i termicznej). Wówczas dla dowolnego układu izolowanego mamy
∆Ek +
X
∆Ep + ∆Eterm +
X
∆Einne = 0,
(1.95)
gdzie Einne to np. energia pradu
˛ elektrycznego, energia fali akustycznej, energia fali elektromagnetycznej, energia pola elektrycznego, ... . Równanie powyższe przedstawia zasad˛e zachowania energii: w układzie izolowanym energia całkowita (suma wszystkich rodzajów energii) pozostaje stała: energia nie powstaje, ani nie znika, może natomiast zachodzić zamiana
jednego rodzaju energii w inny jej rodzaj, lecz suma zmian wszystkich rodzajów energii wynosi
zero . Równanie (1.95) jest równoważne równaniu
X
E = const,
gdzie sumowaniu podlegaja˛ wszystkie rodzaje energii.
(1.96)
2
Drgania nietłumione
W otaczajacym
˛
nas świecie cz˛esto spotykamy si˛e z ruchem, w którym pewna wielkość fizyczna
na przemian rośnie i maleje. Taki ruch nazywamy ruchem drgajacym
˛
lub po prostu drganiami.
Moga˛ to być np. drgania przypadkowe, podczas których wielkość fizyczna Ψ (t) zmienia si˛e
chaotycznie (rysunek 2.1a).
Jeżeli Ψ (t) powtarza si˛e w równych odst˛epach czasu, to takie drgania nazywamy okresowymi
Ψ
t
(a)
Ψ
t
T
T
(b)
Ψ
A
t
T
(c)
Rysunek 2.1. (a) Drgania przypadkowe. (b) Drgania okresowe. (c) Drgania harmoniczne
lub periodycznymi, a czas, w jakim wykonywane jest jedno pełne drganie (cykl), nazywamy
okresem T (rysunek 2.1b). Dla drgań okresowych wielkości fizycznej Ψ (t) zachodzi
28
2 Drgania nietłumione
Ψ (t + T ) = Ψ (t).
(2.1)
Bardzo ważna˛ wielkościa˛ opisujac
˛ a˛ ruch okresowy jest cz˛estotliwość (cz˛estość) f , przedstawiajaca
˛ liczb˛e drgań w jednostce czasu:
f=
1
.
T
(2.2)
Najprostszym rodzajem drgań okresowych sa˛ drgania harmoniczne (rysunek 2.1c), kiedy to
wielkość fizyczna Ψ (t) zmienia si˛e w czasie zgodnie z wzorem
Ψ (t) = A cos(ωt + δ).
(2.3)
W powyższym wzorze A jest amplituda˛ drgań (amplituda˛ przemieszczenia), czyli maksymalna˛
wartościa˛ wielkości Ψ (A = Ψmax ),
ω=
2π
= 2πf
T
(2.4)
jest cz˛estościa˛ kołowa,˛ (ωt + δ) – faza˛ ruchu, a δ – faza˛ poczatkow
˛
a,˛ czyli faza˛ ruchu w chwili
t = 0.
Mechanicznym modelem oscylatora harmonicznego jest układ fizyczny złożny z ciała o masie
m przymocowanego do spr˛eżyny, której drugi koniec jest unieruchomiony, mogacego
˛
poruszać
si˛e wzdłuż osi x bez tarcia (rysunek 2.2).
k
m
0
x
(a)
m
k
Fs
0
(b)
x
x
Fs
x
0
(c)
Rysunek 2.2. Model oscylatora harmonicznego
x
29
Jeżeli spr˛eżyna ma swoja˛ długość naturalna˛ (rysunek2.2a), siła wypadkowa działajaca
˛ na ciało
wynosi zero: nie działa siła spr˛eżystości, a siły działajace
˛ na ciało w kierunku prostopadłym
do osi x, siła ci˛eżkości i siła reakcji podłoża, równoważa˛ si˛e. To położenie równowagi ciała
wyznacza współrzedna x = 0. Jeżeli ciało znajdzie si˛e na prawo od tego położenia, wówczas
x > 0 (rysunek 2.2b) i wypadkowa˛ siła˛ działajac
˛ a˛ na mas˛e m jest siła spr˛eżystości Fs = −kx <
0, co oznacza, że jest ona skierowana w stron˛e ujemnych wartości na osi x. Jeżeli natomiast
masa m znajdzie si˛e po lewej stronie położenia równowagi, czyli gdy x < 0 (rysunek 2.2c),
wypadkowa˛ siła˛ działajac
˛ a˛ na nia˛ jest również siła spr˛eżystości, lecz w tym przypadku jest ona
dodatnia, Fs = −kx > 0, czyli skierowana w stron˛e dodatniech wartości na osi x. Punkt x = 0
jest położeniem równowagi trwałej ciała.
Wypadkowa siła F działajaca
˛ na ciało o masie m powoduje zmian˛e jego pr˛edkości, czyli pojawienie si˛e przyspieszenia a. Zwiazek
˛
pomi˛edzy tymi wielkościami fizycznymi określa druga
zasada dynamiki Newtona poprzez równanie wektorowe
F = ma .
(2.5)
Dla ruchu w jednym wymiarze równanie to może być zapisane w postaci równania skalarnego
F = ma ,
(2.6)
w którym F oraz a sa˛ składowymi wektorów F i a wzdłuż kierunku ruchu.
Jeżeli ruch jednowymiarowy odbywa si˛e wzdłuż osi x, wówczas
a=
d2 x
,
dt2
(2.7)
i równanie (2.6) przyjmuje postać
F =m
d2 x
.
dt2
(2.8)
Wprowadzajac
˛ (podobnie jak to uczyniliśmy w równaniu (1.72)), nast˛epujace
˛ oznaczenie dotyczace
˛ pochodnej wzgl˛edem czasu
d2 x
≡ ẍ ,
dt2
(2.9)
równanie (2.8) możemy zapisać w postaci
F = m ẍ .
(2.10)
Równania (2.8) i (2.10), przedstawiajace
˛ druga˛ zasad˛e dynamiki Newtona dla ruchu wzdłuż osi
x, sa˛ równaniami różniczkowymi (wyst˛epuje w nim pochodna x wzg˛edem czasu).
30
Ponieważ w oscylatorze harmonicznym wypadkowa˛ siła˛ działajac
˛ a˛ na ciało o masie m jest siła
spr˛eżystości
Fs = −kx,
(2.11)
wi˛ec druga zasada dynamiki (2.10) dla tego oscylatora ma postać
Fs = m ẍ ,
(2.12)
a po podstawieniu wyrażenia (2.11) dostajemy
m ẍ + kx = 0 .
(2.13)
Powyższe równanie możemy przedstawić w innej postaci, wygodnej w dalszej dyskusji ruchu
oscylatora harmonicznego. Mianowicie, dzielac
˛ równanie (2.13) przez m i wprowadzajac
˛ oznaczenie
k
= ω02 ,
m
(2.14)
ẍ + ω02 x = 0 ,
(2.15)
otrzymujemy równanie
które nazywa si˛e różniczkowym równaniem ruchu oscylatora harmonicznego. Równanie (2.15)
jest różniczkowym równaniem rz˛edu drugiego, liniowym (funkcja x(t) i jej pochodna sa˛ w
pierwszej pot˛edze) i jednorodnym.
Równaniem ruchu oscylatora harmonicznego nazywamy zależna˛ od czasu funkcj˛e x(t), która
jest rozwiazaniem
˛
różniczkowego równania ruchu (2.15). Pokażemy, że jest nia˛ funkcja
x(t) = A cos(ω0 t + δ)
(2.16)
dla dowolnych stałych A i δ. W tym celu zróżniczkujmy dwukrotnie wzgl˛edem czasu równanie
(2.16):
ẋ(t) = − ω0 A sin(ω0 t + δ) ,
(2.17)
ẍ(t) = − ω02 A cos(ω0 t + δ) .
(2.18)
Podstawiajac
˛ (2.16) i (2.18) do równania (2.15), mamy:
− ω02 A cos(ω0 t + δ) + ω02 A cos(ω0 t + δ) = 0 ,
(2.19)
31
a to oznacza, że funkcja x(t) (2.16) jest rozwiazaniem
˛
ogólnym różniczkowego równania ruchu
(2.15), słusznym dla dowolnych stałych A i δ. Pokażemy w cz˛eści 2.1.3, że te dwie stałe,
amplitud˛e A i faz˛e poczatkow
˛
a˛ δ, wyznacza si˛e z warunków poczatkowych,
˛
czyli ze stanu
ruchu w chwili t = 0.
Zauważmy, że matematyczny współczynnik ω02 z równania (2.15) nabrał w funkcji x(t) (2.16)
sensu fizycznego. Mianowicie, ω0 oznacza cz˛estość kołowa˛ drgań harmonicznych oscylatora:
r
k
ω0 =
.
(2.20)
m
Jednocześnie otrzymujemy wyrażenia na okres T0 i cz˛estotliwość f0 drgań oscylatora harmonicznego:
r
m
,
T0 = 2π
k
1
f0 =
2π
r
k
.
m
(2.21)
(2.22)
Oscylator harmoniczny porusza si˛e wi˛ec ruchem, który nazwaliśmy drganiami harmonicznymi.
Maja˛ one bardzo ważna˛ własność: cz˛estość kołowa ω0 , cz˛estotliwość f0 i okres T0 nie zależa˛
od amplitudy drgań (rysunek 2.3 )
Rysunek 2.3. Drgania oscylatora harmonicznego dla różnych amplitud przemieszczenia A1 < A2 < A3 []
Zobaczmy, jak zmienia˛ si˛e drgania oscylatora harmonicznego, gdy zmieni si˛e jego masa m lub
współczynnik spr˛eżystości k. Z równań (2.20), (2.21) i (2.22) wynika, że zmienia˛ si˛e wówczas
odpowiednie cz˛estości kołowe drgań, okresy drgań i cz˛estotliwości drgań:
(a) jeżeli m1 <m2 <m3 , natomiast k jest jednakowe, to zachodza˛ relacje: ω1 > ω2 > ω3 ,
T1 < T2 < T3 oraz f1 > f2 > f3 (rysunek 2.4);
(b) jeżeli m jest jednakowe, natomiast k1 < k2 < k3 , to spełnione sa˛ relacje: ω1 < ω2 < ω3 ,
T1 > T2 > T3 oraz f1 < f2 < f3 (rysunek 2.5).
32
Rysunek 2.4. Drgania oscylatora harmonicznego dla różnych mas m1 < m2 < m3 przy jednakowym współczynniku
spr˛eżystości k []
Rysunek 2.5. Drgania oscylatora harmonicznego dla różnych współczynników spr˛eżystości k1 < k2 < k3 przy jednakowej
masie m []
˛
Przez warunki poczatkowe
˛
rozumiemy stan ruchu oscylatora w chwili t = 0: położenie x(0)
i pr˛edkość v(0). Znajomość tych dwóch wielkości pozwala wyznaczyć stałe A i δ w równaniu (2.16), b˛edacym
˛
rozwiazeniem
˛
ogólnym równania różniczkowego (2.15). Wprowadzajac
˛
oznaczenia x(0) ≡ x0 oraz v(0) ≡ v0 , równania (2.16) i (2.17) dla t = 0 maja˛ postać:
x0 = A cos δ ,
(2.23)
v0 = − ω0 A sin δ .
(2.24)
Dzielac
˛ powyższe równania stronami otrzymujemy
33
v0
= −ω0 tgδ ,
x0
(2.25)
v0
,
x0 ω0
(2.26)
a stad
˛
tgδ = −
czyli
δ = arctg
− v0
.
x0 ω0
(2.27)
W celu obliczenia amplitudy A podnosimy równania (2.23) i(2.24) do kwadratu:
x20 = A2 cos2 δ ,
(2.28)
v02
= A2 sin2 δ .
ω02
(2.29)
Dzielac
˛ teraz powyższe równania stronami, otrzymujemy
x20 +
v02
= A2 (sin2 δ + cos2 δ) ,
ω02
(2.30)
a stad
˛
s
A = x20 +
v02
.
ω02
(2.31)
Tak wi˛ec znajomość warunków poczatkowych
˛
x(0) ≡ x0 i v(0) ≡ v0 dla ruchu oscylatora
harmonicznego o danej cz˛estości kołowej ω0 pozwala obliczyć amplitud˛e przemieszczenia A
i faz˛e poczatkow
˛
a˛ δ, dwie stałe wyst˛epujace
˛ w rozwiazaniu
˛
ogólnym (2.16) różniczkowego
równania ruchu (2.15).
Przykład (a)
Przyjmijmy, że zaczynamy opisywać ruch oscylatora harmonicznego drgajacego
˛
z cz˛estościa˛
kołowa ω0 w chwili, gdy masa m jest maksymalnie wychylona z położenia równowagi, czyli
gdy zachodziły nast˛epujace
˛ warunki poczatkowe
˛
dla t = 0:
x0 = A ,
(2.32)
v0 = 0 .
(2.33)
Korzystajac
˛ z wzorów (2.27 i (2.31), mamy
δ = arctg
0
= arctg 0 = 0 ,
x0 ω0
A = x0 .
A wi˛ec równanie ruchu oscylatora przy tych warunkach poczatkowych
˛
ma postać
(2.34)
(2.35)
34
Rysunek 2.6. Drgania harmoniczne dla różnych faz poczatkowych
˛
δ
x(t) = A cos ω0 t .
(2.36)
Wykres tego ruchu pokazany jest na rysunku 2.6a.
Przykład (b)
Przyjmijmy teraz nast˛epujace
˛ warunki poczatkowe
˛
dla t = 0:
x0 = 0 ,
(2.37)
v0 = ω0 A ,
(2.38)
które oznaczaja,˛ że zaczynamy opis ruch oscylatora w chwili, gdy masa m przechodzi przez
położenie równowagi x = 0 poruszajac
˛ si˛e w stron˛e dodatnich wartości na osi x.
Podstawiajac
˛ powyższe warunki poczatkowe
˛
do (2.27) otrzymujemy:
π
δ = arctg (−∞) = − .
2
(2.39)
35
Równanie ruchu tego oscylatora przy tych warunkach poczatkowych
˛
ma wi˛ec postać
x(t) = A cos(ω0 t −
π
),
2
(2.40)
czyli
x(t) = A sin ω0 t ,
(2.41)
przy czym amplituda A, obliczona z równania (2.38), wynosi
A=
v0
.
ω0
(2.42)
Wykres ruchu przy tych warunkach poczatkowych
˛
przedstawia rysunek 2.6b.
Tak wi˛ec ruch harmoniczny tego samego oscylatora, przy warunkach poczatkowych
˛
(2.32) i
(2.33), może być opisany równaniem (2.36), przy warunkach (2.37) i (2.38) — równaniem
(2.41), a przy innych warunkach poczatkowych
˛
— jeszcze innym równaniem postaci (2.16)
z faza˛ poczatkow
˛
a˛ δ i amplituda˛ A, określonymi równaniami (2.27) i (2.31). To co jest jednakowe w równaniach ruchu danego oscylatora dla różnych warunków poczatkowych,
˛
to cz˛estość kołowa drgań ω0 .
2.1.4 Zależność pomi˛edzy przemieszczeniem, pr˛edkościa˛ i przyspieszeniem w ruchu harmonicznym
Rozważmy ruch harmoniczny opisany równaniem ruchu (2.16):
x(t) = A cos(ω0 t + δ) .
(2.43)
Zależność pr˛edkości od czasu dana jest wówczas funkcja˛
v(t) = ẋ(t) = − ω0 A sin(ω0 t + δ) ,
(2.44)
która˛ możemy zapisać również w postaci
v(t) = ω0 A cos(ω0 t + δ +
π
).
2
(2.45)
Wprowadzajac
˛ do powyższego równania amplituid˛e pr˛edkości
Vm = ω0 A ,
(2.46)
otrzymujemy
v(t) = Vm cos(ω0 t + δ +
π
).
2
(2.47)
Zależność przyspieszenia od czasu w tym ruchu oscylatora dana jest równaniem (2.18):
a(t) = ẍ(t) = − ω02 A cos(ω0 t + δ) ,
(2.48)
36
Rysunek 2.7. (a) Przemieszczenie x(t) ciała wykonujacego
˛
drgania harmoniczne z faza˛ poczatkow
˛
a˛ δ = 0; (b) pr˛edkość ciała
v(t);(c) przyspieszenie ciała.[]
a po uwzgl˛ednieniu (2.43) — wyrażeniem
a(t) = ẍ(t) = − ω02 x(t).
(2.49)
Oznacza to, że przyspieszenie w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne do przemieszczenia,
ale ma znak przeciwny, a współczynnikiem proporcjonalności jest kwadrat cz˛estości kołowej.
Równanie (2.48) możemy również zapisać w postaci
a(t) = ω02 A cos(ω0 t + δ + π) .
(2.50)
Wprowadzajac
˛ do powyższego równania amplituid˛e przespieszenia am :
am = ω02 A ,
(2.51)
a(t) = am cos(ω0 t + δ + π) .
(2.52)
mamy
Funkcje x(t), v(t) i a(t) z faza˛ poczatkowa˛ δ = 0 ( warunki poczatkowe
˛
(2.32) (2.33)) przedstawiono na rysunku 2.7. Wszystkie te trzy wielkości zmieniaja˛ si˛e harmonicznie z jednakowa˛
cz˛estościa˛ kołowa˛ ω0 , lecz funkcja v(t) wyprzedza x(t) o T0 /4, podobnie jak funkcja a(t)
37
wyprzedza v(t). Ponieważ podczas drgań z cz˛estościa˛ kołowa˛ ω0 w czasie T0 /4 nast˛epuje zmiana fazy o ω0 T40 = π/2, wi˛ec to wzajemne przesuni˛ecie funkcji w czasie przekłada si˛e na
różnic˛e faz π/2 pomi˛edzy v(t) i x(t) oraz pomi˛edzy a(t) i v(t), co pokazuja˛ równania (2.43)
(2.47) i(2.52).
2.1.5 Energia w ruchu harmonicznym
Przyjrzyjmy si˛e teraz energii oscylatora harmonicznego podczas jego drgań opisanych równaniem ruchu (2.16).
2.1.5.1 Zależność energii od czasu
Energia potencjalna oscylatora harmonicznego (energia potencjalna spr˛eżystości)
Ep =
1 2
kx ,
2
(2.53)
jest funkcja˛ czasu, gdyż x(t) zależy od czasu (równanie (2.16)):
Ep (t) =
1
kA2 cos2 (ω0 t + δ) .
2
(2.54)
Powyższe równanie możemy zapisać w postaci
Ep (t) = Epmax cos2 (ω0 t + δ) ,
(2.55)
gdzie maksymalna wartość energii potencjalnej wynosi
Epmax =
1
kA2 .
2
(2.56)
Podobnie energia kinetyczna oscylatora harmonicznego
Ek =
1
mv 2 ,
2
(2.57)
ze wzgl˛edu na zależność pr˛edkości v od t, dana˛ równaniem (2.44), jest również funkcja˛ czasu:
Ek =
1
mω02 A2 sin2 (ω0 t + δ) .
2
(2.58)
Wprowadzajac
˛ maksymalna˛ wartość energii kinetycznej Ekmax , równanie to możemy zapisać w
postaci
Ek (t) = Ekmax sin2 (ω0 t + δ) ,
(2.59)
gdzie
Ekmax =
1
mω02 A2 .
2
Ponieważ z równania (2.14) mamy mω02 = k, wi˛ec
(2.60)
38
Ekmax =
1
1
mω02 A2 = kA2 = Epmax .
2
2
(2.61)
Całkowita energia E (energia mechaniczna) oscylatora
E = Ep (t) + Ek (t) = Epmax cos2 (ω0 t + δ) + Ekmax sin2 (ω0 t + δ) ,
(2.62)
przy relacji (2.61), wynosi
E=
1
1
kA2 [cos2 (ω0 t + δ) + sin2 (ω0 t + δ)] = kA2 .
2
2
(2.63)
Powyższe wyrażenie oznacza, że energia mechaniczna oscylatora harmonicznego nie zależy od
czasu:
E = const .
(2.64)
Ten ostatni wynik jest oczywisty w kontekscie rozważań przeprowadzonych w cz˛eści 1.2.2.2,
gdzie przy działajacej
˛ sile spr˛eżystości otrzymaliśmy równanie (1.47). Zależności energii kinetycznej Ek (t) i energii potencjalnej Ep (t) od czasu oraz stałość w czasie energii mechanicznej
E przedstawiono na rysunku 2.8 przy fazie poczatkowej
˛
δ = 0.
Rysunek 2.8. Zależność od czasu energii potencjalnej Ep (t), energii kinetycznej Ek (t) i energii mechanicznej E []
2.1.5.2 Zależność energii od przemieszczenia
Zależność energii potencjalnej Ep (x) oscylatora harmonicznego od przemieszczenia x dana jest
równaniem
Ep (x) =
1 2
kx .
2
39
(2.65)
Korzystajac
˛ z relacji (2.63), równanie
E = Ep + Ek
(2.66)
1
1
kA2 = kx2 + Ek (x) .
2
2
(2.67)
możemy zapisać w postaci
Stad
˛ otrzymujemy zależność energii kinetycznej Ek (x) od x:
Ek (x) =
1
k(A2 − x2 ) .
2
(2.68)
Zależność energii potencjalnej, energii kinetycznej i energii mechanicznej od przemieszczenia
x pokazana jest na rysunku 2.9. Drgajacy
˛ oscylator harmoniczny posiada maksymalna˛ energi˛e
kinetyczna,˛ gdy x = 0 ( masa m przechodzi przez położenie równowagi trwałej), natomiast
energia ta jest minimalna i równa zeru, gdy przemieszczenie jest maksymalne ( x = ±A).
Rysunek 2.9. Zależność energii potencjalnej Ep , kinetycznej Ek i całkowitej E oscylatora harmonicznego od x []
Z równania (2.67) możemy obliczyć zależność pr˛edkości v od x:
1 2 1
mv = k(A2 − x2 ) ,
2
2
(2.69)
a stad
˛
v(x) = ±
r
k
(A2 − x2 ) .
m
W szczególności, w połowie maksymalnego wychylenia, gdy x = ± A/2, wówczas
r r
3
k
v(± A/2) = ±
A.
4 m
(2.70)
(2.71)
40
Równanie (2.70) pokazuje, że wartość pr˛edkości jest maksymalna, gdy x = 0; ta amplituda
pr˛edkości wynosi
r
Vm =
k
A = ω0 A
m
(2.72)
i jest, oczywiście, identyczna z wyrażeniem (2.46).
2.2 Zwiazek
˛
mi˛edzy ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okr˛egu
Rozważmy punkt Q poruszajacy
˛ si˛e ruchem jednostajnym po okr˛egu o promieniu A z pr˛edkościa˛ katow
˛ a˛ ω0 . Punkt P , b˛edacy
˛ jego rzutem na oś x, porusza si˛e wówczas wzdłuż tej osi
(rysunek 2.10).
y
y
Q
Q
A
A
ω0 t + δ
δ
P
x
(a)
P
x
(b)
Rysunek 2.10. Punkt Q porusza si˛e ruchem jednostajnym po okr˛egu z pr˛edkościa˛ katow
˛ a˛ ω0 , a jego rzut P porusza si˛e ruchem
harmonicznym wzdłuż osi x z cz˛estościa˛ kołowa˛ ω0 . (a) Sytuacja w chwili t = 0. (b) Sytuacja w chwili t > 0.
Rysunek 2.10a przedstawia sytuacj˛e w chwili t = 0. Położenie punktu P wynosi wówczas
x(0) = A cos δ .
(2.73)
Rysunek 2.10.b przedstawia obraz ruchu w chwili t > 0. Współrz˛edna x punktu P w czasie
ruchu zależy od czasu, a funkcja x(t), b˛edaca
˛ jego równaniem ruchu, ma postać
x(t) = A cos(ω0 t + δ) .
(2.74)
Równanie (2.74) wskazuje, że punkt P porusza si˛e wzdłuż osi x ruchem harmonicznym. A wi˛ec
zwiazek
˛
pomi˛edzy ruchem jednostajnym po okr˛egu a ruchem harmonicznym jest nast˛epujacy:
˛
jeżeli punkt porusza si˛e ruchem jednostajnym po okr˛egu, to jego rzut na średnic˛e porusza si˛e
ruchem harmonicznym, przy czym cz˛estość kołowa drgań harmonicznych równa si˛e pr˛edkości
katowej
˛
w ruchu po okr˛egu. Gdy rzutowanie odbywa si˛e na oś x (rysunek 2.10.b), to równanie
41
ruchu harmonicznego dane jest równaniem (2.74). Jeżeli natomiast rzutowanie odbywałoby si˛e
na oś y, wówczas równanie ruchu harmonicznego miałoby postać
y(t) = A sin(ω0 t + δ) .
(2.75)
Równania (2.74) i (2.75) różnia˛ si˛e tylko stała˛ faza,˛ która ta wynosi π/2: jeżeli wi˛ec w równaniu
(2.75) zastapimy
˛
δ przez δ + π/2, to (z uwagi na relacj˛e sin(ω0 t + δ + π/2) = cos(ω0 t + δ))
równanie (2.75) przejdzie w równanie (2.74).
Z powyższych rozważań wynika również, że ruch jednostajny po okr˛egu może być przedstawiony jako superpozycja wzajemnie prostopałych drgań harmonicznych o tej samej amplitudzie
i cz˛estości kołowej, lecz różniacych
˛
si˛e faza˛ o π/2.
Rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego dla pewnej wielkości Ψ (np. przemieszczenie x, kat
˛ θ,
ciśnienie p, ...)
Ψ̈ + ω02 Ψ = 0
(2.76)
jest funkcja Ψ (t), która może być przedstawiona w kilku alternatywnych postaciach matematycznych.
2.3.1 Postać A
Ogólne rozwiazanie
˛
równania różniczkowego (2.76), przedstawiajace
˛ drgania harmoniczne o
cz˛estości kołowej ω0 , może być wyrażone funkcja˛
Ψ (t) = A cos(ω0 t + δ),
(2.77)
gdzie A ≡ Ψmax jest amplituda˛ wielkości fizycznej Ψ , δ – faza˛ poczatkow
˛
a˛ drgań.
Stałe A oraz δ wyznacza si˛e z warunków poczatkowych.
˛
W szczególnym przypadku, gdy faza
poczatkowa
˛
drgań δ = 0, to równanie (2.77) ma postać Ψ (t) = A cos ω0 t, natomiast dla
δ = − π2 , mamy Ψ (t) = A sin ω0 t.
Wyrażenie (2.77) b˛edziemy nazywać postacia˛ A opisu matematycznego drgań harmonicznych.
Dla oscylatora harmonicznego, kiedy to Ψ ≡ x, własności tego przedstawienia zostały
omówione w podrozdziale 2.1.
2.3.2 Postać B
Korzystajac
˛ z relacji
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
(2.78)
42
możemy równanie (2.77) zapisać nast˛epujaco:
˛
Ψ (t) = A cos δ cos ω0 t − A sin δ sin ω0 t.
(2.79)
Wprowadzajac
˛ teraz dwie nowe stałe Bc i Bs :
Bc = A cos δ,
(2.80)
Bs = −A sin δ,
(2.81)
Ψ (t) = Bc cos ω0 t + Bs sin ω0 t.
(2.82)
mamy
Wyrażenie (2.82), podobnie jak (2.77), jest ogólnym rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego
(2.76) i b˛edziemy nazywać je postacia˛ B matematycznego opisu drgań harmonicznych. Dwie
stałe Bc i Bs , dla danych drgań harmonicznych, wyznacza si˛e z warunków poczatkowych.
˛
Ich
zwiazek
˛
ze stałymi A i δ, w postaci A opisu matematycznego, przedstawiaja˛ równania (2.80) i
(2.81).
W szczególnym przypadku, gdy faza poczatkowa
˛
drgań w postaci A (równanie (2.77)) δ = 0, to
Bc = A, a Bs = 0, natomiast dla drgań z faza˛ poczatkow
˛
a˛ δ = ∓ π2 , mamy Bc = 0 i Bs = ±A.
2.3.3 Postać C
W tym przypadku do matematycznego opisu drgań harmonicznych wykorzystuje si˛e liczby i
funkcje zespolone. Wówczas rozwiazanie
˛
ogólne równania (2.76) możemy zapisać nast˛epujaco:
˛
Ψ (t) = Ceiω0 t + C ∗ e−iω0 t ,
gdzie C jest stała˛ zespolona,˛ i =
√
(2.83)
−1 jest jednostka˛ urojona,˛ natomiast symbol ∗ oznacza
sprz˛eżenie, czyli C ∗ jest wielkościa˛ sprz˛eżona˛ z C.
Wyrażenie(2.83) b˛edziemy nazywać postacia˛ C matematycznego opisu drgań harmonicznych.
Funkcja Ψ w równaniu (2.83) jest rzeczywista, podobnie jak w równaniu (2.77) (postać A) i w
równaniu (2.82) (postać B), (suma Ceiω0 t + C ∗ e−iω0 t = Ceiω0 t + (Ceiω0 t )∗ jest rzeczywista).
Ponieważ C jest w ogólnym przypadku stała˛ zespolona,˛ możemy ja˛ rozdzielić na cz˛eść rzeczywista˛ Re C i cz˛eść urojona˛ Im C
C = Re C + i Im C = C ′ + i C ′′ ,
(2.84)
gdzie wprowadzone stałe C ′ i C ′′ sa˛ już rzeczywiste, przy czym C ′ ≡ Re C, natomiast C ′′ ≡
Im C.
Ponieważ dla dowolnej liczby zespolonej C mamy
C ∗ = C ′ − i C ′′ ,
43
(2.85)
wi˛ec w równaniu (2.83) wyst˛epuja˛ dwie stałe C ′ i C ′′ , które, dla określonych drgań harmonicznych, wyznacza si˛e z warunków poczatkowych.
˛
Pokażemy teraz, jaki jest zwiazek
˛
stałych C ′ i C ′′ (wyst˛epujacych
˛
w wyrażeniu (2.83)) ze
stałymi Bc i Bs (wyst˛epujacymi
˛
w wyrażeniu (2.82)) i stałymi A i δ (w równaniu (2.77)).
W tym celu skorzystamy ze znanego przedstawienia liczb i funkci zespolonych:
eiω0 t = cos ω0 t + i sin ω0 t,
(2.86)
e−iω0 t = cos ω0 t − i sin ω0 t.
(2.87)
Podstawiajac
˛ ((2.84))-((2.87)) do ((2.83)), otrzymujemy
Ψ (t) = (C ′ + i C ′′ )(cos ω0 t + i sin ω0 t) + (C ′ − i C ′′ )(cos ω0 t − i sin ω0 t),
(2.88)
a po wykonaniu mnożenia i skorzystaniu z wyrażenia i2 = −1, mamy
Ψ (t) = 2C ′ cos ω0 t − 2C ′′ sin ω0 t .
(2.89)
Porównujac
˛ równania ((2.82)) i ((2.89)), otrzymujemy:
2C ′ = Bc ,
(2.90)
−2C ′′ = Bs .
(2.91)
Biorac
˛ teraz pod uwag˛e zwiazki
˛ ((2.80)) i ((2.81)), mamy:
C′ =
1
1
Bc = A cos δ ,
2
2
(2.92)
1
1
C ′′ = − Bs = A sin δ .
2
2
W szczególnym przypadku drgań z faza˛ poczatkow
˛
a˛ δ = 0, mamy C ′ =
(2.93)
1
2
A i C ′′ = 0, co oz-
nacza, że stała C w równaniu ((2.83)) jest rzeczywista (C = C ′ ); jeżeli jednak faza poczatkowa
˛
δ = ± π2 , to C ′ = 0, C ′′ = ± 12 A, a to oznacza, że stała C w równaniu ((2.83)) jest urojona
(C = iC ′′ ).
2.3.4 Postać D
Postać D opisu drgań harmonicznych, w której również wykorzystuje si˛e funkcje zespolone,
otrzymamy z wcześniej już wprowadzonej postaci C. Mianowicie, równanie ((2.83)) możemy
zapisać nast˛epujaco:
˛
44
Ψ (t) = Ceiω0 t + C ∗ e−iω0 t = Ceiω0 t + (Ceiω0 t )∗ = 2Re[Ceiω0 t ] = Re[2Ceiω0 t ] , (2.94)
czyli
Ψ (t) = Re[Deiω0 t ],
(2.95)
D = 2C
(2.96)
D = ReD + i ImD = D′ + i D′′ .
(2.97)
gdzie
nazywamy zespolona˛ amplituda˛ drgań:
Wyrażenie (2.95) b˛edziemy nazywać postacia˛ D opisu matematycznego drgań harmonicznych.
Jest ono ogólnym rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego (2.76), przy czym dwie stałe D′ i D′′
wyznacza si˛e z warunków poczatkowych.
˛
Stałe te powiazane
˛
sa˛ ze stałymi wyst˛epujacymi
˛
w
postaciach A, B i C nast˛epujaco:
˛
D′ = 2C ′ = Bc = A cos δ,
(2.98)
D′′ = 2C ′′ = − Bs = A sin δ.
(2.99)
Łatwo zauważyć, że jeżeli δ = 0, to D′′ = 0 i amplituda D jest rzeczywista, czyli D = D′ .
Jeżeli natomiast δ = ± π2 to D′ = 0 i amplituda D jest urojona, czyli D = iD′′ .
Amplitud˛e zespolona˛ D możemy również wyrazić poprzez amplitud˛e A i faz˛e poczatkow
˛
a˛ δ
nast˛epujaco:
˛
D = D′ + i D′′ = A cos δ + i A sin δ = A(cos δ + i sin δ) = Aeiδ .
(2.100)
A wi˛ec zwiazek
˛
pomi˛edzy amplituda˛ zespolona˛ D i amplituda˛ rzeczywista˛ A ma postać
D = Aeiδ .
(2.101)
Wówczas równanie (2.95) przyjmie postać
Ψ (t) = A Re[ei(ω0 t+δ) ].
(2.102)
Powyższe wyrażenie jest równoważne równaniu (2.77):
Ψ (t) = A Re[ei(ω0 t+δ) ] = A Re[cos(ω0 t + δ) + i sin(ω0 t + δ)] = A cos(ω0 t + δ). (2.103)
Jeżeli jakaś wielkość fizyczna Ψ b˛edzie spełniać równanie różniczkowe
Ψ̈ + ω02 Ψ = 0 ,
45
(2.104)
to wielkość ta b˛edzie zmieniała si˛e harmonicznie
Ψ (t) = A cos(ω0 t + δ) ,
(2.105)
gdzie amplituda A ≡ Ψmax jest maksymalna˛ wartościa˛ wielkości Ψ . Okres tych drgań wynosi
T0 =
2π
,
ω0
(2.106)
f0 =
ω0
.
2π
(2.107)
a ich cz˛estotliwość
Wielkościa˛ fizyczna˛ Ψ może być przemieszczenie liniowe x (np. oscalator harmoniczny – podrozdział 2.1), przemieszczenie katowe
˛
θ (np. wahadło matematyczne, wahadło torsyjne, wahadło fizyczne), fluktuacja ciśnienia p podczas drgań akustycznych, ładunek q na płytkach kondensatora w elektrycznym obwodzie drgajacym,
˛
... .
2.4.1 Drgania wzdłuż prostej
2.4.1.1 Pionowy ruch harmoniczny
Przyjmijmy, że wieszamy spr˛eżyn˛e o długości l i współczynniku spr˛eżystości k, która spełnia
prawo Hooke’a (równania (1.31) i (1.32)) (rysunek 2.11a). Jeżeli przymocujemy do niej ciało
o masie m, to pojawi si˛e położenie równowagi (trwałej) w miejscu, gdzie siła spr˛eżystości
Fs działajaca
˛ na ciało, zwiazana
˛
ze zmiana˛ długości spr˛eżyny ∆l, zrównoważy sił˛e ci˛eżkości
(rysunek 2.11b):
k∆l = mg .
(2.108)
Na ciało wychylone o x z położenia równowagi (rysunek 2.11c) działa siła wypadkowa
Fw = k(∆l − x) − mg = k∆l − kx − mg ,
(2.109)
która przy relacji (2.108) ma postać
Fw = −kx .
(2.110)
Siła Fw w powyższej postaci działa na ciało niezależnie od tego, czy znajduje si˛e ono
powyżej położenia równowagi (jak na rysunku 2.11c), czy też poniżej tego położenia (zawsze
skierowana jest w stron˛e położenia równowagi) i jest identyczna z postacia˛ siły spr˛eżystości
(2.11), działajacej
˛ w oscylatorze harmonicznym omawianym w cz˛eści 2.1.1. Tak wi˛ec równanie
46
l
l
l
∆l _ x
Fs =k(∆l _ x)
∆l
x
Fs =k∆l
x=0
mg
x=0
mg
(a)
(b)
(c)
Rysunek 2.11. (a) Wiszaca
˛ spr˛eżyna o długości l. (b) Ciało zawieszone na spr˛eżynie jest w równowadze, gdy działajaca
˛ w gór˛e
siła spr˛eżystości ma taka˛ sama˛ wartość jak siła ci˛eżkości. (c) Jeżeli ciało jest przemieszczone wzgl˛edem położenia równowagi,
wówczas siła wypadkowa (działajaca
˛ zawsze w stron˛e położenia równowagi) jest proporcjanalna do współrzednej x mierzonej
od położenia równowagi. Siła ta powoduje, że ciało porusza si˛e ruchem harmonicznym.
różniczkowe omawianego tu pionowego ruchu ciała dane jest równaniem (2.15), a to oznacza,
że ciało b˛edzie poruszać si˛e ruchem harmonicznym wokół położenia równowagi z cz˛estościa˛
p
kołowa˛ ω0 = k/m, podobnie jak oscylator harmoniczny przedstawiony na rysunku 2.2.
2.4.1.2 Ci˛eżarek pomi˛edzy dwiema spr˛eżynami
Przyjrzymy si˛e teraz drganiom podłużnym zachodzacym
˛
w układzie złożonym z dwóch jednakowych spr˛eżyn o współczynniku spr˛eżystości k, przymocowanych jednym końcem do
ścianki, a drugim — do ciała o masie m (rysunek 2.12), które może poruszać si˛e wzdłuż osi x
bez tarcia.
Przyjmijmy, że ciało znajduje si˛e pośrodku mi˛edzy sciankami (x = 0), w odległości od
nich wi˛ekszej od naturalnej długości sp˛eżyn L (rysunek 2.12a). Połaczenie
˛
spr˛eżyn z ciałem
spowoduje ich wydłużenie i pojawienie si˛e sił spr˛eżystości. Gdy ciało znajduje si˛e w położeniu x = 0, siły te si˛e równoważa˛ (rysunek 2.12b): F1 = −ka, F2 = ka. Punkt ten jest wi˛ec
położeniem równowagi (trwałej). Każde wychylenie z tego położenia powoduje, że pojawia si˛e
wypadkowa siła spr˛eżystości Fw skierowana w stron˛e położenia równowagi (rysunek 2.12c)
Fw = F1 + F2 ,
gdzie siły F1 i F2 , które sa˛ składowymi wektorów F1 i F2 wzdłuż osi x, wynosza:
˛
(2.111)
k
k
m
1
47
2
(a)
L
0
a
a
F1
L
x
F2
(b)
x
0
F1
F2
(c)
x
0
x
Rysunek 2.12. Układ ci˛eżarek – dwie sp˛eżyny. (a) Sp˛eżyny o długości L i ciało o masie m nie połaczone
˛
ze soba.˛ (b) Ciało
połaczone
˛
ze spr˛eżynami: siły spr˛eżystości F1 i F2 równoważa˛ si˛e i ciało znajduje si˛e w równowadze. (c) Ciało wychylone z
położenia równowagi: siły spr˛eżystości si˛e nie równoważa˛ i ciało porusza si˛e ruchem harmonicznym
F1 = −k(a + x) .
(2.112)
F2 = k(a − x) .
(2.113)
Tak wi˛ec siła wypadkowa (2.111) działajaca
˛ na ciało wynosi
Fw = −2kx .
(2.114)
Druga zasada dynamiki Newtona dla omawianego ruchu translacyjnego, Fw = mẍ, przyjmuje
wówczas postać
mẍ = −2kx ,
(2.115)
ẍ + ω02 x = 0,
(2.116)
czyli
gdzie
ω02 =
2k
.
m
(2.117)
Różniczkowe równanie (2.116) oznacza, że ciało (ci˛eżarek) porusza si˛e ruchem harmonicznym
q
x(t) = A cos(ω0 t + δ) z cz˛estościa˛ kołowa˛ ω0 = 2k
.
m
48
2.4.1.3 Dwa ci˛eżarki połaczone
˛
spr˛eżyna˛
Jako kolejny przykład omówimy drgania zachodzace
˛ w układzie złożonym z dwóch ciał
(ci˛eżarków) o jednakowych masach m, połaczonych
˛
spr˛eżyna˛ o współczynniku spr˛eżystości k
(rysunek 2.13). Przyjmujemy, że ciała moga˛ poruszać si˛e wzdłuż osi x bez tarcia. Dla wygody
przy omawianiu tego ruchu, ciała sa˛ ponumerowane, odpowiednio 1 i 2.
2
1
m
m
L
2
0
(a)
F2
x
L
2
F1
x2
0
x1
x
(b)
Rysunek 2.13. Układ dwa ci˛eżarki – sp˛eżyna. (a) Ciała w położeniu równowagi. (b) Ciała wychylone symetrycznie z położenia
równowagi
W położeniu przedstawionym na rysunku 2.13a spr˛eżyna ma swoja˛ naturalna˛ długość (nie jest
ani ściśni˛eta, ani rozciagni˛
˛ eta), wi˛ec na ciała nie działa siła spr˛eżystości. Punkt 0 na osi x
znaduje si˛e pośrodku układu dwóch mas i wyznacza on położenie środka masy układu. J˛eżeli
ciała zostana˛ wychylone ze swego położenia równowagi, symetrycznie wzgl˛edem punktu 0, jak
pokazano na rysunku 2.13b, to na każde z nich b˛edzie działać siła spr˛eżystości: na ciało 1 —
siła F1 , na ciało 2 — siła F2 , przy czym F1 = −F2 . Ponadto zachodzi
x2 = −x1 .
(2.118)
Aby obliczyć siły F1 i F2 , które sa˛ składowymi wektorów F1 i F2 wzdłuż osi x, musimy określić
zmian˛e długości spr˛eżyny w czasie ruchu ciał w zależności od położenia ciał x1 i x2 . Oznaczajac
˛
t˛e zmian˛e długości spr˛eżyne przez x, mamy
x = x1 − x2 − L .
(2.119)
Możemy teraz napisać różniczkowe równanie ruchu (druga˛ zasad˛e dynamiki Newtona) dla obu
ciał. Dla ciała 1 mamy
m
d2 x1
= −kx ,
dt2
(2.120)
49
a dla ciała 2
m
d2 x2
= kx .
dt2
(2.121)
Odejmujac
˛ stronami równania (2.120) i (2.121), otrzymujemy
m
d2 (x1 − x2 )
= −2kx .
dt2
(2.122)
Ponieważ
d(x1 − x2 − L)
d(x1 − x2 )
dx
=
=
,
dt
dt
dt
(2.123)
wi˛ec równanie (2.122) możemy zapisac w postaci
d2 x
= −2kx ,
dt2
(2.124)
d2 x
+ ω02 x = 0 ,
dt2
(2.125)
m
czyli
gdzie
ω02 =
2k
.
m
(2.126)
Ponieważ równanie (2.125) jest różniczkowym równaniem drgań harmonicznych, wi˛ec jego
rozwiazanie
˛
ma postać
x(t) = A cos(ω0 t + δ) ,
(2.127)
a to oznacza, że zmiana długości spr˛eżyny x(t) w czasie ruchu obu ciał zmienia si˛e harmonicznie. Nas interesuje ruch ciał 1 i 2, czyli funkcje x1 (t) oraz x2 (t). Z relacji (2.118) i (2.119)
otrzymujemy
x(t) = 2x1 (t) − L
(2.128)
x(t) = −2x2 (t) − L
(2.129)
a stad
˛
x1 (t) =
L A
+ cos(ω0 t + δ)
2
2
(2.130)
oraz
x2 (t) = −
L A
− cos(ω0 t + δ) .
2
2
(2.131)
Ostatnie równanie możemy też zapisać w postaci
x2 (t) = −
L A
+ cos(ω0 t + δ + π) .
2
2
(2.132)
Równania (2.130) i (2.132) oznaczaja,˛ że ciała 1 i 2 drgaja˛ harmonicznie z cz˛estościa˛ kołowa˛
(2.126) wokół swoich położeń równowagi, odpowiednio L/2 oraz − L/2, przy czym drgania te
różnia si˛e faza˛ o π (mówimy, że drgaja˛ w fazach przeciwnych).
50
2.4.2 Drgania katowe
˛
Podczas drgań katowych
˛
wielkościa˛ zmieniajac
˛ a˛ si˛e w czasie jest kat
˛ θ, opisujacy
˛ ruch obrotowy ciała wokół nieruchomej osi. Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu post˛epowego
zachodzacego
˛
w jednym wymiarze wzdłuż osi x ma postać ((2.10)), natomiast dla ruchu obrotowego wokół nieruchomej osi jest ona dana jest równaniem:
τ = I α,
(2.133)
gdzie τ jest składowa˛ momentu siły wzdłuż osi obrotu, I — momentem bezładności ciała
wzgl˛edem osi obrotu, charakteryzujacym
˛
rozkład masy ciała wzgl˛edem tej osi, natomiast
α=
d2 θ
≡ θ̈
dt2
(2.134)
jest składowa˛ przyspieszenia katowego
˛
wzdłuż osi obrotu.
Uwzgl˛edniajac
˛ (2.134) w równaniu (2.133), możemy druga˛ zasad˛e dynamiki Newtona dla ruchu
obrotowego wokół nieruchomej osi zapisać w postaci równania różniczkowego
τ = I θ̈ .
(2.135)
2.4.2.1 Wahadło matematyczne
Wahadło matematyczne jest wyidealizowanym modelem składajacym
˛
si˛e z punktu materialnego posiadajacego
˛
mas˛e m, zawieszonego na nierozciagliwej nici o długości L. Wahadło,
przedstawione na rysunku 2.14, może obracać si˛e dookoła osi przechodzacej
˛ przez punkt O
i prostopadłej do płaszczyzny rysunku.
O
θ
L
T
mgsin θ
m
θ
mgcos θ
mg
Rysunek 2.14. Wahadło matematyczne
51
Moment siły ci˛eżkości wzgl˛edem punktu zawieszenia wahadła dany jest iloczynem odległości
punktu przyłożenia siły ci˛eżkości od osi obrotu, czyli długości wahadła L, i sładowej siły
prostopadłej do L, czyli
τ = −Lmgsinθ ,
(2.136)
gdzie znak minus oznacza, że moment siły powoduje zmniejszanie kata
˛ θ. Natomiast moment
bezwładności punktu materialnego o masie m wzgl˛edem osi obrotu odległej od niego o L
wynosi
I = mL2 .
(2.137)
Różniczkowe równanie ruchu obrotowego (2.135) ma wi˛ec dla wahadła matematycznego postać
mL2 θ̈ = −Lmgsinθ ,
(2.138)
czyli
θ̈ +
g
sinθ = 0 .
L
(2.139)
Wprowadzajac
˛ oznaczenie
ω02 =
g
,
L
(2.140)
otrzymujemy różniczkowe równanie ruchu wahadła matematycznego:
θ̈ + ω02 sinθ = 0 .
(2.141)
Powyższe równanie różni si˛e od różniczkowego równania ruchu harmonicznego (2.104), a
to oznacza, że wahadło matematyczne, mówiac
˛ ściśle, nie drga harmonicznie. W rozdziale 5
pokażemy, że jest ono przykładem układu nieliniowego, którego drgania sa˛ anharmoniczne!
Jeżeli jednak ograniczymy si˛e do drgań o bardzo małej amplitudzie, podczas których sin θ może
być przybliżony przez kat
˛ θ wyrażony w radianach (Tabela 2.1), wówczas równanie (2.141)
możemy zapisać w postaci
θ̈ + ω02 θ = 0 .
Jest to równanie różniczkowe drgań harmonicznych o okresie drgań
s
2π
L
T0 =
,
= 2π
ω0
g
(2.142)
(2.143)
którego rozwiazaniem
˛
jest przemieszczenie katowe
˛
θ(t) zmieniajace
˛ si˛e harmonicznie:
θ(t) = θm cos(ω0 t + δ).
(2.144)
Należy podkreślić, że powyższe rozwiazanie
˛
jest przybliżonym rozwiazaniem
˛
równania
różniczkowego (2.141) i może być stosowane tylko dla małych katów
˛
θm , których sinus może
być zastapiony
˛
katem
˛
wyrażonym w mierze łukowej (w radianach) .
52
Tabela 2.1 Wartości θ w stopniach, radianach i sin θ dla wybranych katów
˛
θ
θ[deg]
1
3
5
7
10
15
20
30
θ[rad] 0, 01745 0, 05236 0, 08727 0, 12217 0, 17453 0, 26180 0, 34907 0, 52360
sin θ
0, 01745 0, 05234 0, 08716 0, 12187 0, 17365 0, 25882 0, 34202 0, 50000
2.4.2.2 Wahadło torsyjne
Przykładowe wahadło torsyjne pokazane jest na rysunku 2.15 i składa si˛e z ciała sztywnego
(kra˛żka) przymocowanego do drutu, którego drugi koniec jest unieruchomiony. Spr˛eżystość
drutu powoduje, że przy sk˛eceniu o kat
˛ θ pojawia si˛e momentem siły
τ = −κθ ,
(2.145)
gdzie κ nosi nazw˛e momentu kierujacego,
˛
który dla wahadła torsyjnego przedstawionego na rysunku 2.15 zależy od długości wahadła, średnicy drutu i materiału, z jakiego jest on wykonany.
nieruchomy
koniec
drut
linia
odniesienia
+ θm
− θm
0
Rysunek 2.15. Wahadło torsyjne
Równanie ruchu obrotowego (2.135) dla wahadła torsyjnego możemy wi˛ec zapisać w postaci
I θ̈ = −κθ,
(2.146)
κ
θ=0
I
(2.147)
czyli
θ̈ +
53
lub
θ̈ + ω02 θ = 0,
(2.148)
gdzie
ω02 =
κ
.
I
(2.149)
Tak wi˛ec, gdy zachodzi relacja (2.145), wahadło torsyjne drga harmonicznie z okresem drgań
r
I
2π
T0 =
.
(2.150)
= 2π
ω0
κ
Podczas tych drgań przemieszczenie katowe
˛
θ(t) ma postać (2.144) z cz˛estościa˛ kołowa˛ ω0 =
pκ
.
I
2.4.2.3 Wahadło fizyczne
Wahadłem fizycznym nazywamy dowolne ciało zawieszone tak, że może si˛e obracać wokół
pewnej osi znajdujacej
˛ si˛e powyżej swojego środka ci˛eżkości. Na rysunku 2.16 oś obrotu przechodzi przez punkt O, a środek ci˛eżkości znajduje si˛e w punkcie C, odległym od osi obrotu o
d.
O
d
θ
C
mgsin θ
θ
mgcos θ
mg
Rysunek 2.16. Wahadło fizyczne
Na wychylone o kat θ wahadło (rysunek 2.16) działa moment siły
τ = −dmg sinθ .
(2.151)
54
Różniczkowe równanie ruchu (2.135) przyjmie wówczas postać
I θ̈ = −dmg sinθ,
(2.152)
θ̈ + ω02 sinθ = 0,
(2.153)
czyli
gdzie
ω02 =
dmg
.
I
(2.154)
Widzimy, że podobnie jak dla wahadła matematycznego, różniczkowe równanie ruchu wahadła
fizycznego (2.153) różni si˛e od różniczkowego równania ruchu harmonicznego (2.104). Jednak dla bardzo małych katów
˛
θ, dla których sinθ może być przybliżony przez kat
˛ θ (Tabela
2.1), równanie (2.153) przyjmie postać równania (2.142) (podobnie, jak to było w przypadku
wahadła matematycznego), a to oznacza, że wahadło fizyczne drga wówczas harmonicznie z
okresem drgań
s
2π
I
.
= 2π
T0 =
ω0
mgd
(2.155)
W ogólnym przypadku, wahadło fizyczne, podobnie jak wahadło matematyczne, nie drga harmonicznie. Obydwa te wahadła sa˛ przykładem układów nieliniowych, których drgania sa˛ anharmoniczne, a opisem których zajmiemy si˛e w rozdziale 5.
2.4.3 Drgania akustyczne w rezonatorze Helmholtza
2.4.3.1 Model rezonatora
Model rezonatora Helmoholtza przedstawia rysunek 2.17. Składa si˛e on ze sferycznego
zbiornika o obj˛etości V oraz szyjki o długości L i polu przekroju poprzecznego S, przy czym
V ≫ LS. Na rysunku 2.17a rezonator umieszczony jest w powietrzu o ciśnieniu p0 . Zaznaczone na rysunku powietrze, znajdujace
˛ si˛e w szyjce rezonatora, nazywamy czastk
˛ a˛ akustyczna˛
o masie
m = ρLS ,
(2.156)
która na rysunku 2.17a jest w położeniu równowagi; ρ jest g˛estościa˛ powietrza. Ponadto zakładamy, że podczas ruchu czastki
˛
akustycznej jej rozmiary nie zmieniaja˛ si˛e.
Wychylenie czastki
˛
akustycznej z położenia równowagi spowoduje, że ciśnienie p wewnatrz
˛
zbiornika b˛edzie różnić si˛e od ciśnienia zewn˛etrznego p0 : podczas przemieszczenia si˛e czastki
˛
akustycznej w prawo od jej położenia równowagi (rysunek 2.17b) zachodzi p < p0 , natomiast przy przemieszczaniu si˛e si˛e jej w lewo od położenia równowagi mamy p > p0 . Jeżeli
55
V >> SL
p0
p0
L
0
V
p0
S
p
x
0
x
x
cząstka
akustyczna
(a)
(b)
Rysunek 2.17. Model rezonatora Helmholtza: (a) Czastka
˛
akustyczna w położeniu równowagi, (b) Chwilowe położenie czastki
˛
akustycznej w czasie jej ruchu
przyjmiemy, że oś x, wzdłuż której porusza si˛e czastka
˛
akustyczna, jest skierowana tak, jak
na rysunku 2.17, to na powierzchni˛e S po jej prawej stronie działa siła, której składowa jest
ujemna i wynosi −p0 S (siła jest skierowana w stron˛e ujemnych wartości osi x), natomiast
na powierzchni˛e S po lewej stronie czastki
˛
akustycznej działa siła o składowej dodatniej pS
(siła jest skierowana w stron˛e dodatnich wartości osi x). Ponieważ siły działajace
˛ na pozostałe
powierzchnie czastki
˛
akustycznej równoważa˛ si˛e, siła wypadkowa F działajace
˛ na rozważana˛
czastk˛
˛ e akustyczna˛ wynosi
F = pS − p0 S = (p − p0 )S = ∆pS ,
(2.157)
przy czym ∆p < 0, gdy czastka
˛
akustyczna przemieściła si˛e na prawo od położenia równowagi,
natomiast ∆p > 0, dgy znajduje si˛e ona na lewo od położenia równowagi.
Zmiana ciśnienia ∆p podczas ruchu czastki
˛
akustycznej zwiazana
˛
jest ze zmiana˛ obj˛etości
∆V powietrza zajmujacego
˛
obj˛etość V w położeniu równowagi czastki.
˛
W chwili, gdy
przemieszczenie czastki
˛
wynosi x, mamy
∆V = Sx ,
(2.158)
przy czym, ocywiście, ∆V > 0, gdy x > 0, natomiast ∆V < 0, gdy x < 0.
Zwiazek
˛
pomi˛edzy ∆p i ∆V dla gazu zależy od jego własności spr˛eżystych charakteryzowanych przez moduł ściśliwości B. Jeżeli zmiana ∆V obj˛etości V gazu powoduje zmian˛e
ciśnienia ∆p, to moduł ściśliwości wynosi
B = −V
∆p
.
∆V
(2.159)
Znak “-” w równaniu (2.159) powoduje, że moduł ściśliwości B jest dodatni (dla ∆V > 0
zachodzi ∆p < 0, dla ∆V < 0 mamy ∆p > 0).
56
Dla rezonatora Helmholtza na rysunku 2.17, uwzgl˛edniajac
˛ relacj˛e (2.158), mamy
B = −V
∆p
,
Sx
(2.160)
a stad
˛ dostajemy zwiazek
˛
pomi˛edzy zmiana˛ ciśnienia ∆p i przemieszczeniem x czastki
˛
akustycznej:
∆p = −
SB
x.
V
(2.161)
Podstawiajac
˛ (2.161) do równania (2.157) otrzymujemy
F =−
S 2B
x.
V
(2.162)
Siła dana powyższym równaniem jest analogiczna do siły sp˛eżystości
Fs = −kx ,
(2.163)
powodujacej
˛ ruch harmoniczny oscylatora omawiany w podrozdziale 2.1.
Różniczkowe równanie ruchu w jednym wymiarze (II zasada dynamiki Newtona)
F = mẍ
(2.164)
dla czastki
˛
akustycznej w omawianym modelu rezonatora Helmholtza ma postać
ρLS ẍ = −
S 2B
x,
V
(2.165)
czyli
ẍ +
SB
x = 0.
LV ρ
(2.166)
SB
LV ρ
(2.167)
Wprowadzajac
˛
ω02 =
mamy
ẍ + ω02 x = 0
a to oznacza, że czastka
˛
akustyczna drga harmonicznie z cz˛estotliwościa˛
s
ω0
SB
1
f0 =
=
.
2π
2π LV ρ
(2.168)
(2.169)
2.4.3.2 Cz˛estotliwość drgań w przemianie adiabatycznej
Podczas drgań akustycznych szybkość zmiany ciśnienia jest tak duża, że nie ma wymiany
ciepła, czyli zachodza˛ one w przemianie adiabatycznej. A to oznaczy, że moduł ściśliwości B
57
w równaniu (2.169) powinien być zastapiony
˛
modułem ściśliwości Bad wyznaczonym właśnie
dla tej przemiany gazowej:
f0 =
1
2π
s
SBad
.
LV ρ
(2.170)
Obliczymy teraz moduł ściśliwości dla przemiany adiabatycznej Bad , a nast˛epnie pokażemy, że
cz˛estotliwość drgań (2.170) zależy od temperatury. Korzystamy z równania adiabaty:
pV κ = const,
(2.171)
gdzie
κ=
Cp
Cv
(2.172)
jest stosunkiem ciepła molowego przy stałym ciśnieniu Cp do ciepła molowego przy stałej obj˛etości Cv . Różniczkujac
˛ równanie (2.171) wzgl˛edem V , mamy
dp κ
V + pκV κ−1 = 0,
dV
(2.173)
a stad
˛
V
dp
= −pκ.
dV
(2.174)
Jeżeli zamiast wyrażenia (2.159), napiszemy moduł ściśliwości dla przemiany adiabatycznej
Bad w postaci różniczkowej
Bad = −V
dp
,
dV
(2.175)
to z równań (2.174) i (2.175) dostajemy wyrażenie na moduł ściśliwości w przemianie adiabatycznej:
Bad = pκ .
(2.176)
Skorzystamy teraz z równania gazu doskonałego
pV = nRT,
(2.177)
gdzie n jest liczba˛ moli gazu.
Pnieważ g˛estośc gazu ρ jest zdefiniowana jako stosunek masy M gazu do jego obj˛etości V ,
wi˛ec wprowadzajac
˛ mas˛e molowa˛ Mm oraz podstawiajac
˛ obj˛etość V wyznaczona˛ z równania
(2.177), otrzymujemy
ρ=
M
nMm
nMm p
Mm p
=
=
=
.
V
V
nRT
RT
(2.178)
Obliczymy teraz wyrażenie Bad /ρ wyst˛epujace
˛ we wzorze (2.170). Korzystajac
˛ z (2.176) i
(2.178), mamy
58
pκRT
κRT
Bad
=
=
.
ρ
Mm p
Mm
Podstawiajac
˛ teraz (2.179) do (2.170), otrzymujemy
r
√
S κRT
1
f0 =
∼ T.
2π LV Mm
(2.179)
(2.180)
Wyrażenie powyższe oznacza, że cz˛estość drgań w rezonatorze Helmholtza zależy od temperatury powietrza, w którym rezonator jest umieszczony.
Przyjmujac,
˛ w celu obliczenia cz˛estotliwości drgań w rezonatorze, nast˛epujace
˛ wartości: V =
1litr = 10−3 m3 , S = 1cm2 = 10−4 m2 , l = 5cm = 5 × 10−2 m2 , κ = 1, 4, R =
8, 3 J mol−1 K −1 , Mm = 0, 029kg mol−1 , T = 300K , otrzymujemy
f0 ≈ 80Hz.
Ponadto
vd =
s
B
≡
ρ
s
Bad
=
ρ
r
κRT
≈ 346 ms−1
Mm
(2.181)
(2.182)
jest pr˛edkościa˛ dźwi˛eku w powietrzu.
2.4.4 Drgania elektryczne w obwodzie LC
Przyjrzymy si˛e teraz drganiom elektrycznym zachodzacym
˛
w obwodzie złożonym z kondensatora o pojemności C i solenoidu o indukcyjności L. Po naładowaniu kondensatora w
obwodzie elektrycznym pokazanym na rysunku 2.18 popłynie prad.
˛ Siła elektromotoryczna
samoindukcji powstajaca
˛ na końcach solenoidu spowoduje, że nast˛epować b˛eda˛ powtarzajace
˛
si˛e rozładowanie i ładowanie kondensatora. Jeżeli w danej chwili w analizowanym obwodzie
+q
C
−q
I
L
Rysunek 2.18. Obwód elektryczny LC
elektrycznym płynie prad
˛ o nat˛eżeniu I w kierunku pokazanym strzałka,˛ to przy przemieszczaniu si˛e po obwodzie, w zaznaczonym wewnatrz
˛ niego kierunku, drugie prawo Kirchhoffa ma
postać
−L
q
dI
− = 0.
dt C
59
(2.183)
Uwzgl˛edniajac,
˛ że szybkość zmiany ładunku w kondensatorze jest równa nat˛eżeniu pradu
˛
płynacego
˛
w obwodzie
I=
dq
,
dt
(2.184)
otrzymujemy
d2 q
1
+ q = 0,
2
dt
C
(2.185)
d2 q
1
+
q = 0.
dt2
LC
(2.186)
1
= ω02 ,
LC
(2.187)
d2 q
+ ω02 q = 0.
dt2
(2.188)
L
a stad
˛
Wprowadzajac
˛ podstawienie
mamy
Stosujac,
˛ podobnie jak to uczyniliśmy w równaniu (2.9)), oznaczenie pochodnej wzgl˛edem
czasu
d2 q
≡ q̈ ,
dt2
(2.189)
równanie (2.188) możemy zapisać w postaci
q̈ + ω02 q = 0.
(2.190)
Porównujac
˛ równania (2.185) i (2.190) z różniczkowymi równaniami ruchu oscylatora harmonicznego (2.13) i (2.15) widzimy, że maja˛ one analogiczna˛ postać matematyczna,˛ przy czym
zamiast wielkości mechanicznych x, m i k w równaniach (2.13) i (2.15), w równanich (2.185)
i (2.190) wyst˛epuja˛ odpowiednio wielkości q, L i 1/C:
x(t) −→ q(t)
m −→ L
1
k −→ .
C
(2.191)
A to oznacza, że rozwiazaniem
˛
równania (2.190) jest funkcja q(t) zmieniajaca
˛ si˛e harmonicznie:
q(t) = Q cos(ω0 t + δ),
(2.192)
60
gdzie Q jest amplituda,˛ czyli maksymalna˛ wartościa˛ ładunku zgromadzonego w kondensatorze,
natomiast cz˛estość kołowa ω0 dana jest wyrażeniem
1
.
(2.193)
LC
Analogia pomi˛edzy drganiami elektrycznymi w obwodzie LC i drganiami oscylatora harmonω0 = √
icznego pozwala, przy pomocy relacji (2.191), zastapić
˛ wyrażenia, znane dla oscylatora harmonicznego, wyrażeniami charakteryzujacymi
˛
drgania elektryczne w obwodzie LC:
A
−→
Q
v(t) = ẋ(t) −→ I(t) = q̇(t)
r
1
k
−→ ω0 = √
ω0 =
m
LC
r
√
m
T0 = 2π
−→ T0 = 2π LC
k
1
1 q2
Ep = kx2 −→ EE =
2
2C
1
1 2
Ek = mv −→ EB = LI 2
2
2
1 2
1 Q2
E = Ep + Ek = kA −→ E = EE + EB =
,
2
2C
(2.194)
gdzie odpowiednikiem energii potencjalnej Ep oscylatora harmonicznego jest energia pola elektrycznego EE wewnatrz
˛ kondensatora, natomiast odpowiednikiem energii kinetycznej Ek oscylatora jest energia pola magnetycznego EB wewnatrz
˛ solenoidu. Ostatnia relacja w (2.194) oznacza, że tak jak dla oscylatora harmonicznego suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała,
tak podczas drgań elektrycznych w obwodzie LC suma energii pola elektrycznego (wewnatrz
˛
kondensatora) i energii pola magnetycznego (wewnatrz
˛ solenoidu) jest stała. Poszczególne energie, EE i EB , zależa˛ od czasu:
Q2
1 q2
=
cos2 (ω0 t + δ),
2C
2C
(2.195)
1
Q2
EB = LI 2 =
sin2 (ω0 t + δ) ,
2
2C
(2.196)
EE =
podobnie jak energie Ep i Ek dla oscylatora harmonicznego (rysunek 2.8).
Równanie różniczkowe drgań harmonicznych wielkości fizycznej Ψ
Ψ̈ + ω02 Ψ = 0 ,
(2.197)
jest równaniem liniowym (funkcja Ψ (t) i jej pochodne sa˛ w pierwszej pot˛edze) i jednorodnym
(nie ma członu bez funkcji Ψ (t) i jej pochodnych).
Niech Ψ1 (t) spełnia to równanie:
61
Ψ̈1 + ω02 Ψ1 = 0 ,
(2.198)
Ψ1 (t) = A1 cos(ω0 t + δ1 ) .
(2.199)
czyli ma postać
Niech również Ψ2 (t) spełnia równanie (2.197):
Ψ̈2 + ω02 Ψ2 = 0 ,
(2.200)
Ψ2 (t) = A2 cos(ω0 t + δ2 ) .
(2.201)
czyli ma postać
Dodajac
˛ stronami równania (2.198) i(2.200) otrzymujemy równanie
Ψ̈1 + Ψ̈2 + ω02 (Ψ1 + Ψ2 ) = 0 ,
(2.202)
które możemy również zapisać w postaci
d2 Ψ1 d2 Ψ2
+
+ ω02 (Ψ1 + Ψ2 ) = 0 ,
dt2
dt2
(2.203)
a stad
˛ mamy
d2 (Ψ1 + Ψ2 )
+ ω02 (Ψ1 + Ψ2 ) = 0 ,
2
dt
Powyższe równanie oznaczy, że
Ψ (t) = Ψ1 (t) + Ψ2 (t)
(2.204)
(2.205)
również spełnia równanie (2.197), a wi˛ec ma postać
Ψ (t) = A cos(ω0 t + δ) .
(2.206)
Możemy wi˛ec sformułowac zasad˛e superpozycji dla drgań harmonicznych nietłumionych:
jeżeli Ψ1 (t) i Ψ2 (t) sa˛ rozwiazaniami
˛
równania różniczkowego (2.197), to również funkcja Ψ (t)
b˛edaca
˛ ich suma,˛ Ψ (t) = Ψ1 (t) + Ψ2 (t), jest rozwiazaniem
˛
tego równania.
Z zasady tej wynika bardzo ważna własność drgań harmonicznych o tej samej cz˛estości
kołowej. Mianowicie, podstawiajac
˛ równania (2.199), (2.201) i (2.206) do równania (2.205),
otrzymujemy
A1 cos(ω0 t + δ1 ) + A2 cos(ω0 t + δ2 ) = A cos(ω0 t + δ) .
(2.207)
Tak wi˛ec z zasady superpozycji drgań harmonicznych nietłumionych wynika, że suma dwóch
drgań harmonicznych o jednakowej cz˛estości kołowej jest też drganiem harmonicznym o tej
samej cz˛estości kołowej. Ponieważ dodanie kolejnego drgania harmonicznego o tej samej cz˛estości kołowej prowadzi znów do drgania harmonicznego o tej cz˛estości, wi˛ec możemy sformułować wniosek, że suma dowolnej liczby drgań harmonicznych o jednakowej cz˛estości
kołowej jest też drganiem harmonicznym o tej cz˛estości kołowej. Amplitud˛e wypadkowa˛ takich drgań można wyznaczyć stosujac
˛ przedstawienie wektorowe drgań harmonicznych.
62
2.6 Przedstawienie wektorowe drgań
Przedstawienie wektorowe jest cz˛esto bardzo wygodnym sposobem zapisu drgań harmonicznych. Jest ono szczególnie przydatne, gdy mamy do czynienia z superpozycja˛ drgań o tej
samej cz˛estości kołowej.
t=0
A
δ
os odniesienia
ψ=Α cos δ
ω0
t>0
A
ω0 t
δ
os odniesienia
ψ=Α cos( ω 0 t + δ )
Rysunek 2.19. Przedstawienie wektorowe drgań harmonicznych
Niech drganie harmoniczne przedstawione jest równaniem
Ψ (t) = A cos(ω0 t + δ) .
(2.208)
Do przedstawienia tego drgania wykorzystujemy wektor o długości A obracajacy
˛ si˛e z pr˛edkościa˛ katow
˛ a˛ ω0 (rysunek 2.19). Wektor ten nazywamy wskazem lub fazorem. W chwili t = 0 jest
on nachylony wzgl˛edem osi odniesienia pod katem
˛
równym fazie poczatkowej
˛
δ, a jego rzut
na oś odniesienia wynosi Ψ (0) = A cos δ i jest równy stanowi drgania w chili poczatkowej.
˛
Jeżeli wektor ten b˛edzie obracać si˛e z pr˛edkościa˛ katowa˛ ω0 , to jego rzut na oś odniesienia,
dla dowolnej chwili t, przedstawia wyrażenie Ψ (t) = A cos(ω0 t + δ) , a wi˛ec rozważany ruch
harmoniczny, opisany równaniem (2.208) (rysunek 2.19).
Ponieważ w przypadku superpozycji kilku drgań harmonicznych o tej samej cz˛estości kołowej
wzajemne położenie wektorów w ich przedstawieniu wektorowym si˛e nie zmienia, zazwyczaj
rysujemy przedstawienie wektorowe dla chwili t = 0. Na rysunku 2.20 pokazano dwa drgania
Ψ1 (t) = A1 cos ω0 t i Ψ2 (t) = A2 cos(ω0 t + δ) w przedstawieniu wektorowym.
˛
δ=0
δ>0
δ<0
δ=π
A2
A1
A2
A1
A1
(a)
63
A1
A2
A2
(b)
(c)
(d)
Rysunek 2.20. Przedstawienie wektorowe dwóch drgań harmonicznych: Ψ1 (t) = A1 cos ω0 t i Ψ2 (t) = A2 cos(ω0 t + δ)
˛
2.7.1 Drgania o tej samej cz˛estotliwości
Rozważmy dwa drgania harmoniczne o tej samej cz˛estości kołowej ω0 , w których wielkościami
zmieniajacymi
˛
si˛e w czasie sa˛ przemieszczenia x1 (t) i x2 (t):
x1 (t) = A1 cos(ω0 t + δ1 )
(2.209)
x2 (t) = A2 cos(ω0 t + δ2 ) .
(2.210)
Z zasady superpozycji drgań harmonicznych, omawianej w podrozdziale 2.5, wynika, że złożenie drgań, x1 (t) + x2 (t), przedstawionych powyższymi równaniami, daje drganie harmoniczne
o tej samej cz˛estości kołowej (równanie (2.207)):
A1 cos(ω0 t + δ1 ) + A2 cos(ω0 t + δ2 ) = A cos(ω0 t + δ)
(2.211)
Do obliczenia amplitudy A i fazy poczatkowej
˛
δ drgań wypadkowych wykorzystamy przedstawienie wektorowe drgań (2.209) i (2.210) pokazane na rysunku 2.21. Posługujac
˛ si˛e tym
rysunkiem, możemy wyznaczyć amplitud A i faz˛e δ z rozważań czysto trygonometrycznych.
Na rysunku oznaczyliśmy dodatkowo kat
˛ α.
Dla trójkata
˛ OBC zachodzi relacja
A2 = A21 + A22 − 2A1 A2 cos α ,
która, dla przypadku α
=
π
,
2
(2.212)
przechodzi w twierdzenie Pitagorasa. Jednocześnie w
równoległoboku OBCD sa˛ dwa katy
˛ α i dwa katy
˛ (δ2 − δ1 ), wi˛ec zachodzi relacja
64
C
D
A
A2
α
δ2
B
A1
δ1
0
δ
x2
x1
E
x
x
Rysunek 2.21. Dodawanie drgań harmonicznych x1 (t) = A1 cos(ω0 t + δ1 ) i x2 (t) = A2 cos(ω0 t + δ2 )
2α + 2(δ2 − δ1 ) = 2π
(2.213)
i możemy wyrazić kat
˛ α poprzez katy
˛ δ1 i δ2 :
α = π + δ1 − δ2 .
(2.214)
Po podstawieniu (2.214) do równania (2.212), otrzymujemy
A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(δ1 − δ2 ) ,
(2.215)
a stad
˛
A=
q
A21 + A22 + 2A1 A2 cos(δ1 − δ2 ) .
(2.216)
Z powyższego równania wynika, że amplituda wypadkowa A, przy danych amplitudach A1 i
A2 drgań składowych, w zależności od różnicy faz (δ1 − δ2 ), może przyjmować nast˛epujace
˛
wartości:
|A1 − A2 | ≤ A ≤ A1 + A2 .
(2.217)
Jeżeli amplituda wypadkowa A jest wi˛eksza od każdej z amplitud A1 i A2 , to superpozycj˛e
drgań nazywamy superpozycja˛ konstruktywna,˛ a w przypadku szczególnym, gdy aplituda A
˛
65
przyjmuje wartość maksymalna˛ A = A1 + A2 – superpozycja˛ w pełni konstruktywna,˛ co
zachodzi, gdy δ1 = δ2 .
Jeżeli natomiast amplituda wypadkowa A jest mniejsza od wi˛ekszej z amplitud A1 i A2 , to superpozycj˛e drgań nazywamy superpozycja˛ destruktywna,˛ a w przypadku szczególnym, gdy
aplituda A przyjmuje wartość minimalna˛ A = |A1 − A2 | – superpozycja˛ w pełni destruktywna,˛ co zachodzi, gdy δ1 − δ2 = ± π .
Obliczenie fazy δ drgań wypadkowych sprowadza si˛e do wyznaczenia kata,
˛ jaki tworzy wektor
o długości A z osia˛ x. Z rysunku 2.21 mamy
CE
,
OE
(2.218)
A1 sinδ1 + A2 sinδ2
.
A1 cos δ1 + A2 cos δ2
(2.219)
tg δ =
czyli
tg δ =
A1
A2
δ1 , δ2
A1
δ2
A2
δ1
δ2
A1
δ1
A2
δ2= δ 1
δ 2 = δ 1+ π
δ 2 = δ 1+ π
A = A 1+ A 2
A = A 1− A 2
A = A 2− A 1
δ = δ 1= δ
2
(a)
δ=δ1
δ=δ2
(b)
(c)
Rysunek 2.22. Drgania harmoniczne prowadzace
˛ do superpozycji w pełni konstruktywnej (a) i w pełni destruktywnej (b) i (c)
Na rysunku 2.22 pokazano przedstawienia wektorowe drgań danych równaniami (2.209) i
(2.210) prowadzace
˛ do superpozycji w pełni konstruktywnej (a) i w pełni destruktywnej (b)
i (c).
2.7.2 Drgania o różnych cz˛estościach kołowych. Dudnienia
Rozważmy dwa drgania harmoniczne o jednakowych amplitudach A i różnych cz˛estościach
kołowych ω1 i ω2 :
66
Ψ (t) = A cos ω1 t,
(2.220)
Ψ (t) = A cos ω2 t .
(2.221)
Korzystajac
˛ z relacji trygonometrycznej
cos α + cos β = 2 cos
α+β
α−β
cos
,
2
2
(2.222)
możemy otrzymać drgania wypadkowe
Ψ (t) = Ψ1 (t) + Ψ2 (t) = 2A cos
ω1 − ω2
ω1 + ω2
t cos
t,
2
2
(2.223)
które nie sa˛ drganiami harmonicznymi.
Ciekawym przypadkiem drgań wypadkowych sa˛ drgania, które powstana,˛ gdy cz˛estości kołowe
drgań składowych niewiele si˛e od siebie różnia,˛ czyli gdy
ω1 ≈ ω2 .
(2.224)
Możemy wprowadzić cz˛estość kołowa˛ średnia˛ ωsr
ωsr =
ω1 + ω2
≈ ω1 ≈ ω2
2
(2.225)
i cz˛estość kołowa˛ modulacji ωmod
ωmod =
|ω1 − ω2 |
,
2
(2.226)
której wartość, ze wzgl˛edu na relacj˛e (2.224), jest mała w porównaniu z ωsr .
Drgania wypadkowe, dane równaniem (2.223), przyjma˛ wówczas postać
Ψ (t) = 2A cos ωmod t cos ωsr t ,
(2.227)
gdzie czynnik cos ωmod t jest funkcja˛ wolnozmieniajac
˛ a˛ si˛e w czasie, powodujac
˛ periodyczna˛
modulacj˛e amplitudy 2A. Wprowadzajac
˛ amplitud˛e modulacji
Amod (t) = 2A cos ωmod t ,
(2.228)
Ψ (t) = Amod (t) cos ωsr t .
(2.229)
równanie (2.227) przyjmie postać
W opisie drgań możemy, zamiast cz˛estościami kołowymi ω1 i ω2 , posługiwać si˛e cz˛estotliwościami f1 i f2 :
ω1 = 2πf1 ,
Wówczas wyrażenie (2.229) przyjmie postać
ω2 = 2πf2 .
(2.230)
˛
67
Ψ (t) = Amod (t) cos 2πfsr t ,
(2.231)
f1 + f2
≈ f1 ≈ f2 ,
2
(2.232)
gdzie
fsr =
natomiast
Amod (t) = 2A cos 2πfmod t ,
(2.233)
przy czym
fmod =
|f1 − f2 |
2
(2.234)
jest cz˛estotliwościa˛ modulacji.
A jak od czasu zależy nat˛eżenie dźwi˛eku (głośność) I, gdy drgania (2.220) i (2.221) sa˛ drganiami akustycznymi wytworzonymi, na przykład, przez przez dwa kamertony o cz˛estościach
drgań f1 ≈ f2 ? Nat˛eżenie dźwi˛eku I jest proporcjonalne do A2mod , wi˛ec jego zależność od czasu
jest nast˛epujaca:
˛
I ∼ A2mod (t) = 4A2 cos2 2πfmod t .
(2.235)
Korzystajac
˛ z zależności trygonometrycznej
1
cos2 α = (1 + cos 2α)
2
(2.236)
A2mod (t) = 2A2 (1 + cos 4πfmod t) = 2A2 (1 + cos 2πfdud t) ,
(2.237)
I ∼ A2mod (t) = 2A2 (1 + cos 2πfdud t) ,
(2.238)
otrzymujemy
czyli
gdzie wprowadziliśmy cz˛estość dudnień fdud
fdud = 2fmod .
(2.239)
Wprowadzajac
˛ okres modulacji Tmod
fmod =
1
Tmod
(2.240)
i okres dudnień Tdud
fdud =
1
Tdud
,
(2.241)
68
Rysunek 2.23. Modulacja i dudnienia powstałe przy superpozycji dwóch drgań akustycznych. Ψ1 i Ψ2 przedstawiaja˛ zmiany
ciśnienia powietrza w pobliżu ucha wywołane przez dwa kamertony drgajace
˛ z cz˛estościami f1 /f2 = 10/9
mamy
Tmod = 2Tdud .
(2.242)
Nat˛eżenie dźwi˛eku dane równaniem (2.238) stanowi sum˛e wartości stałej (wartości średniej) oraz cosinusoidalnych oscylacji z cz˛estotliwościa˛ dudnień fdud . Tak zmieniajace
˛ si˛e w
czasie nat˛eżenie dźwi˛eku nazywamy dudnieniami. Na rysunku 2.23 przedstawione sa˛ drgania akustyczne (zmiany ciśnienia powietrza) wywołane przez dwa kamertony o cz˛estościach
f1 /f2 = 10/9, pojawiajaca
˛ si˛e modulacja oraz zależność kwadratu amplitudy modulacji od
czasu, A2mod (t), czyli dudnienia.
Jeżeli cz˛estotliwości f1 i f2 drgań akustycznych Ψ1 (t) = A cos 2πf1 t i Ψ2 (t) = A cos 2πf2 t
różnia˛ si˛e o wi˛ecej niż 6% ich wartości średniej, wówczas zazwyczaj nasze ucho i mózg rejestruja˛ odr˛ebnie obydwie cz˛estotliwości w postaci
Ψ (t) = Ψ1 (t) + Ψ2 (t) = A cos 2πf1 t + A cos 2πf2 t .
(2.243)
Jeżeli jednak |f1 − f2 | < 10 Hz, to "przeci˛etne"ucho i mózg maja˛ kłopot z rozróżnieniem
poszczególnych cz˛estotliwości i odbierane sa˛ wówczas drgania o cz˛estotliwości fsr (równanie
(2.231)) o nat˛eżeniu zmieniajacym
˛
si˛e z cz˛estotliwościa˛ fmod (równanie (2.238)). Ta granica
nierozróżniania cz˛estotliwości f1 i f2 zależy od wyszkolenia muzycznego naszego ucha.
69
Z zasad superpozycji drgań harmonicznych wiemy, że suma dwóch drgań harmonicznych o
jednakowych cz˛estościach kołowych jest też drganiem harmonicznym o tej samej cz˛estości
kołowej. A co otrzymamy dodajac
˛ drgania harmoniczne o różnych cz˛estościach kołowych? Na
rysunku 2.24 przedstawiono drgania harmoniczne o cz˛estościach kołowych ω, 2ω i 3ω oraz ich
sum˛e, natomiast na rysunku 2.25 – drgania harmoniczne o cz˛estościach kołowych ω, 3ω, 5ω
i 7ω oraz ich sum˛e. W obu przypadkach suma drgań harmonicznych o różnych cz˛estościach
kołowych prowadzi do wypadkowego drgania okresowego, ale nie harmonicznego! Możemy
Rysunek 2.24. Drgania harmoniczne o cz˛estościach kołowych ω, 2ω i 3ω oraz ich suma
stwierdzić, że wypadkowe drgania okresowe z rysunków 2.24 i 2.25 moga˛ być przedstawione
przez sum˛e odpowiednich drgań harmonicznych. Może to być rozszerzone na dowolne drgania
okresowe. Mianowicie, jeżeli mamy okresowe drganie nieharmoniczne Ψ (t) o okresie T , to
wprowadzajac
˛ cz˛estość kołowa˛ ω = 2π/T , drganie to może być przedstawione w postaci:
Ψ (t) = A0 + A1 cos(ωt + δ1 ) + A2 cos(2ωt + δ2 ) + A3 cos(3ωt + δ3 ) +
+ A4 cos(4ωt + δ4 ) + · · · ,
(2.244)
a stałe A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , · · · , δ1 , δ2 , δ3 , δ4 , · · · moga˛ być obliczone dla danego drgania okresowego. Powyższe równanie nazywa si˛e rozkładem Fouriera drgań okresowych.
70
Rysunek 2.25. Drgania harmoniczne o cz˛estościach kołowych ω, 3ω 5ω i 7ω oraz ich suma []
Drgania w równaniu (2.244)) sa˛ przedstawione w tzw. postaci A.
Stosuje si˛e również inna˛ postać rozkładu Fouriera, wykorzystujac
˛ a˛ postać B drgań harmonicznych (patrz podrozdział 2.3): każde z drgań harmonicznych w postaci An cos(nωt + δn )
może być zapisane w postaci Bnc cos(nωt) + Bns sin(nωt), gdzie stałe Bnc i Bns sa˛ zwiazane
˛
ze stałymi An i δn nast˛epujaco
˛ ( równania (2.80) i (2.81)):
Bnc = An cos δn ,
(2.245)
Bns = −An sin δn .
(2.246)
Równanie (2.244) przyjmie wówczas postać
Ψ (t) = A0 +B1c cos ωt + B2c cos 2ωt + B3c cos 3ωt + B4c cos 4ωt + · · ·
+ B1s sin ωt + B2s sin 2ωt + B3s sin 3ωt + B4s sin 4ωt + · · · .
(2.247)
Równanie (2.247) można zapisać przy pomocy nowych stałych an i bn w postaci:
Ψ (t) = a0 +a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt + a4 cos 4ωt + · · ·
+ b1 sin ωt + b2 sin 2ωt + b3 sin 3ωt + b4 sin 4ωt + · · · ,
(2.248)
gdzie a0 = A0 , an = Bnc , bn = Bns .
Na rysunku 2.26 przedstawiona jest zmiana ciśnienia wywołana superpozycja˛ dźwi˛eków o cz˛estotliwościach f1 = 128Hz, f3 = 3f1 = 384Hz orazf5 = 5f1 = 640Hz, dana równaniem
71
Rysunek 2.26. Zmiana ciśnienia stanowiaca
˛ wynik superpozycji dźwi˛eków C128, G384 oraz E640 o wzgl˛ednych amplitudach
i fazach określonych równaniem: p(t) = 1, 273 sin 2πf1 t + 0, 424 sin 2πf3 t + 0, 255 sin 2πf5 t []
p(t) = 1, 273 sin 2πf1 t + 0, 424 sin 2πf3 t + 0, 255 sin 2πf2 5t. Takie zmiany ciśnienia słyszymy
jako oddzielne składowe harmoniczne akordu o cz˛estotliwościach f1 , f3 , f5 . A wi˛ec nasze uszy
i mózg dokonuja˛ analizy fourierowskiej całkowitego ciśnienia z rysunku 2.26.
3
Drgania tłumione
W omawianych w poprzednim rozdziale wyidealizowanych układach drgajacych
˛
nie pojawiały si˛e siły tłumiace
˛ ruch. Jednakże w rzeczywistych układach drgajacych
˛
zawsze wyst˛epuja˛
pewne siły dyssypatywne, powodujace
˛ zanikanie drgań. To zmniejszanie si˛e amplitudy drgań, spowodowane siłami dyssypatywnymi, nazywa si˛e tłumieniem, a ruch — drganiami tłumionymi. W rozdziale tym omówimy podstawowe własności ruchu oscylatora harmonicznego
tłumionego siłami oporu ośrodka, omawianymi w cz˛eści 1.2.3. Prostym przykładem takiego
układu mechanicznego jest ci˛eżarek z przymocowana˛ płytka˛ zawieszony na spr˛eżynie (rysunek
3.1). Zanurzona w cieczy płytka działa hamujaco
˛ na ruch ci˛eżarka. Zmieniajac
˛ wielkość płytki,
zmieniamy wartość siły oporu ośrodka i możemy obserwować jej wpływ na ruch oscylatora.
k
m
Rysunek 3.1. Przykład oscylatora tłumionego
74
3 Drgania tłumione
3.1 Różniczkowe równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego i jego
rozwiazanie
˛
Na rysunku 3.2 przedstawiony jest model oscylatora harmonicznego złożonego z ciała o masie
m przymocowanego do spr˛eżyny i mogacego
˛
poruszać si˛e wzdłuż osi x, przy czym w czasie
ruchu, oprócz siły spr˛eżystości
Fs = −kx ,
(3.1)
działa siła oporu ośrodka (patrz cz˛eść 1.3.2)
Ft = − bẋ.
(3.2)
Działanie tych sił zaznaczono na rysunku 3.2 umieszczeniem tam współczynników k i b.
k
b
m
0
k
x
(a)
b
m
Fs
0
k
b
(b)
x
x
m
Fs
x
0
(c)
x
Rysunek 3.2. Oscylator harmoniczny tłumiony: oprócz siły spr˛eżystości Fs = −kx, podczas ruchu ciała o masie m działa siła
oporu ośrodka Ft = −bẋ
A wi˛ec wypadkowa siła Fw , działajaca
˛ na ciało o masie m, wynosi
Fw = Fs + Ft = −kx − bẋ.
Druga zasada dynamiki Newtona
(3.3)
3.1 Różniczkowe równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego i jego rozwiazanie
˛
Fw = mẍ ,
75
(3.4)
napisana dla rozważanego oscylatora, ma postać
mẍ = −kx − bẋ.
(3.5)
Przenoszac
˛ teraz wszystkie wyrazy na lewa˛ stron˛e równania i dzielac
˛ całe równanie przez m,
otrzymujemy
ẍ + γ ẋ + ω02 x = 0 ,
(3.6)
gdzie
γ=
b
,
m
(3.7)
ω02 =
k
.
m
(3.8)
natomiast
Równanie (3.6) jest różniczkowym równaniem ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego.
3.1.2 Rozwiazanie
˛
różniczkowego równanie ruchu
Równanie różniczkowe (3.6) jest równaniem liniowym jednorodnym, a jego rozwiazanie
˛
x(t)
jest równaniem ruchu oscylatora tłumionego. Zależność funkcji x(t) od czasu b˛edziemy szukać
w postaci
x(t) = Cept ,
(3.9)
gdzie wielkości C oraz p nie zależa˛ od czasu.
Najpierw odpowiemy na pytanie, jakie powinno być p, aby funkcja (3.9) była rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego (3.6). Ponieważ
ẋ(t) = Cp ept ,
(3.10)
ẍ(t) = Cp2 ept ,
(3.11)
wi˛ec po podstawieniu (3.9), (3.10) i (3.11) do równania (3.6) otrzumujemy
Cp2 ept + Cp ept + ω02 Cept = 0,
(3.12)
p2 + γp + ω02 = 0 .
(3.13)
a stad
˛
Aby wi˛ec funkcja (3.9) była rozwiazaniem
˛
równania (3.6), parametr p musi spełniać równanie
kwadratowe (3.13), które ma dwa pierwiastki p1 i p2 . Ponieważ dla tego równania
76
3 Drgania tłumione
∆ = γ 2 − 4ω02 ,
(3.14)
wi˛ec
p1 =
−γ −
r
p
γ 2 − 4ω02
γ
1 2
=− −
γ − ω02 ,
2
2
4
(3.15)
p2 =
−γ +
r
p
γ 2 − 4ω02
1 2
γ
=− +
γ − ω02 ,
2
2
4
(3.16)
a rozwiazanie
˛
równania różniczkowego (3.6) ma postać
x(t) = C1 ep1 t + C2 ep2 t .
(3.17)
Wyrażenie (3.17) jest rozwiazaniem
˛
ogólnym równania różniczkowego (3.6), a stałe C1 i C2
wyznacza si˛e z warunków poczatkowych.
˛
W zależności od relacji pomi˛edzy wielkościami γ i ω0 możemy wprowadzić trzy rodzaje tłumienia. Jeżeli:
(a) γ < 2ω0 —- mamy tłumienie podkrytyczne: ∆ < 0 , pierwiastki p1 i p2 sa˛ zespolone;
(b) γ > 2ω0 —- mamy tłumienie nadkrytyczne: ∆ > 0 , pierwiastki p1 i p2 sa˛ rzeczywiste;
(c) γ = 2ω0 —- mamy tłumienie krytyczne: ∆ = 0 , pierwiastki p1 i p2 sa˛ jednakowe i
rzeczywiste.
Dla tłumienia podkrytycznego (γ < 2ω0 ) możemy przekształcić wyrażenia (3.15) i (3.16) na
pierwiastki równania kwadratowego (3.13) nast˛epujaco:
˛
r
r
p
−γ − γ 2 − 4ω02
1
1
γ
γ
p1 =
= − − −(ω02 − γ 2 ) = − − i ω02 − γ 2 ,
2
2
4
2
4
p2 =
−γ +
p
r
γ
1
1
−(ω02 − γ 2 ) = − + i ω02 − γ 2 ,
4
2
4
(3.19)
p1 = −
γ
− i ωs ,
2
(3.20)
p2 = −
γ
+ i ωs ,
2
(3.21)
γ 2 − 4ω02
γ
=− +
2
2
r
(3.18)
i zapisać je w postaci
gdzie
r
γ 2
ωs = ω0 1 −
.
2ω0
(3.22)
77
Równanie ruchu x(t) (3.17), b˛edace
˛ rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego (3.6) przy tłumieniu podkrytycznym, ma wi˛ec postać:
γ
γ
x(t) = C1 e− 2 t−i ωs t + C2 e− 2 t+i ωs t ,
(3.23)
γ
x(t) = e− 2 t C1 e−i ωs t + C2 ei ωs t .
(3.24)
czyli
gdzie C1 i C2 sa˛ stałymi, które moga˛ być wyznaczone z warunków poczatkowych
˛
danego ruchu.
Dokonamy teraz przekształceń matematycznych, które pozwola˛ uzyskać inna˛ postać równania
ruchu (3.23), która b˛edzie wygodna przy omawianiu własności drgań podczas wyst˛epowania
tłumienia podkrytycznego.
−i ωs t
Ponieważ x(t) jest rzeczywiste i zachodzi e
i ωs t
= e
⋆
, wi˛ec C1 = C2⋆ . Wprowadzajac
˛
stała˛ C = C2 , zachodzi C1 = C ⋆ i równanie (3.24) przyjmie postać
γ
x(t) = e− 2 t Cei ωs t + C ⋆ e−i ωs t ,
(3.25)
przy czym stała C w ogólnym przypadku jest zespolona i składa si˛e z cz˛eści rzeczywistej C ′ i
cz˛eści urojonej C ′′ :
C = C ′ + iC ′′
(3.26)
W równaniu (3.25) wyrażenie w nawiasie jest analogiczne do wyrażenia (2.83), w którym wyst˛epuje ω0 zamiast ωs . A wi˛ec podobnie, jak to było w cz˛eści 2.3.3, zachodzi relacja
Cei ωs t + C ⋆ e−i ωs t = A cos(ωs t + δ) ,
(3.27)
przy czym zwiazek
˛
pomi˛edzy stałymi C ′ i C ′′ , a stałymi A i δ, dany jest równaniami (2.92) i
(2.93):
C′ =
1
A cos δ ,
2
(3.28)
C ′′ =
1
A sin δ .
2
(3.29)
Uwzgl˛edniajac
˛ relacj˛e (3.27), równanie ruchu (3.25) przyjmie postać
γ
x(t) = A e− 2 t cos(ωs t + δ) .
(3.30)
γ
W powyższym wyrażeniu A e− 2 t jest zależna˛ od czasu amplituda˛ drgań tłumionych, zachodza˛
cych z cz˛estościa˛ kołowa˛ ωs dana˛ wyrażeniem (3.22), z którego wynika, że
ωs < ω0 .
(3.31)
78
3 Drgania tłumione
Rysunek 3.3. Drgania przy tłumieniu podkrytycznym; okres drgań przy tłumieniu bardzo słabym jest w przybliżeniu równy
okresowi drgań nietłumionych T0 []
Korzystajac
˛ z rozwini˛ecia funkcji
√
1 − z w szereg, który dla małych wartości z można
ograniczyć do postaci
√
1
1 − z ≈ 1 − z + ... ,
2
(3.32)
h
1 γ 2 i
.
ωs ≈ ω0 1 −
2 2ω0
(3.33)
wyrażenie (3.22) przyjmie postać
Jeżeli γ ≪ ω0 , wówczas tłumienie jest bardzo słabe, zachodzi γ/2ω0
2
≪ 1 i mamy ωs ≈ ω0 .
Możemy wprowadzić również okres drgań tłymionych Ts , zwiazany
˛
z cz˛estościa˛ kołowa˛ tych
drgań ωs relacja˛ analogiczna˛ do (2.4):
ωs =
2π
,
Ts
(3.34)
przy czym Ts jest czasem, jaki upływa pomi˛edzy kolejnymi maksymalnymi wychyleniami w t˛e
sama˛ stron˛e.
Stałe A i δ w równaniu (3.30) wyznacza si˛e z warunków poczatkowych
˛
ruchu.
γ
Z równania (3.30) wynika, że po czasie t = 2/γ amplituda Ae− 2 t maleje e razy:
γ 2
Ae− 2 γ = Ae−1 .
79
˛
Równanie (3.30) jest rozwiazaniem
˛
ogólnym równania różniczkowego (3.6) i spełnia je dla
dowolnych stałych A i δ. Dla danych drgań oscylatora harmonicznego tłumionego stałe te wyznacza si˛e je z warunków poczatkowych
˛
przyj˛etych do opisu tego ruchu: położenie x(0) i pr˛edkość v(0) w chwili t = 0. Te dwa warunki pozwalaja˛ wyznaczyć dwie stałe.
Obliczmy najpierw zależność pr˛edkości v(t) od czasu:
hγ
i
γ
v(t) = ẋ(t) = −A e− 2 t cos(ωs t + δ) + ωs sin(ωs t + δ) .
2
(3.35)
Możemy wi˛ec napisać dwa warunki poczatkowe
˛
(dla t = 0):
x(0) = A cos δ ,
v(0) = −A
γ
cos δ + ωs sin δ .
2
(3.36)
(3.37)
Znajac
˛ x(0) i v(0), możemy z równań (3.36) i (3.37) obliczyć A i δ.
3.2.3 Logarytmiczny dekrement tłumienia
Logarytmiczny dekrement tłumienia jest wielkościa˛ charakteryzujac
˛ a˛ drgania tłumione.
Rysunek 3.4. Drgania tłumione z amplituda˛ An w chwili t i amplituda˛ An+1 w chwili t + Ts
Jeżeli An jest amplituda˛ drgań w chwili t, a An+1 — amplituda˛ w chwili t + Ts (rysunek 3.4),
to logarytmiczny dekrement tłumienia Λ definiujemy nast˛epujaco:
˛
Λ = ln
An
.
An+1
(3.38)
Ponieważ z równania (3.30)
γ
An = A e− 2 t ,
(3.39)
80
3 Drgania tłumione
γ
An+1 = A e− 2 (t+Ts ) ,
(3.40)
γTs
.
2
(3.41)
wi˛ec
Λ = ln e
γTs
2
=
Wykorzystujac
˛ zwiazek
˛
(3.34), mamy
πγ
,
ωs
(3.42)
πb
.
mωs
(3.43)
Λ=
a przy relacji (3.7), otrzymujemy
Λ=
3.2.4 Współczynnik dobroci Q
Współczynnik dobroci Q (zwany też dobrocia˛ Q) układu drgajacego
˛
jest szeroko używanym
poj˛eciem charakteryzujacym
˛
dany układ drgajacy.
˛ Definiuje si˛e go jako iloczyn 2π i stosunku
energii zmagazynowanej do średniej energii traconej w jednym okresie drgań:
Q = 2π
energia zmagazynowana
.
< energia stracona w jednym okresie >
(3.44)
Dla słabo tłumionego oscylatora harmonicznego
Q≈
ω0
.
γ
(3.45)
W celu uproszczenia dyskusji zwiazku
˛
współczynnika dobroci z własnościami drgań tłumionych (a w rozdziale 4 również drgań wymuszonych), w dalszej cz˛eści b˛edziemy przyjmować Q w postaci
Q≡
ω0
.
γ
(3.46)
Wówczas równanie (3.30) możemy nast˛epujaco:
˛
ω0
x(t) = A e− 2Q t cos(ωs t + δ) .
(3.47)
Na rysunku 3.5 pokazano, jak zmienia si˛e amplituda drgań tłumionych dla różnych wartości
współczynnika dobroci. Widzimy, że przy bardzo słabym tłumieniu, gdy Q ≫ 1, amplituda
maleje bardzo powoli i amplitudy dla chwil różnacych
˛
si˛e okresem Ts sa˛ w przybliżeniu sobie
równe: An+1 ≈ An . Ponadto przy takim tłumieniu ωs ≈ ω0 i mamy
Q=
ωs
ω0
≈
,
γ
γ
(3.48)
a wykorzystujac
˛ wyrażenie (3.43) otrzymujemy zwiazek
˛
pomi˛edzy parametrem dobroci Q a
logartmicznym dekrementem tłumienia Λ:
81
Rysunek 3.5. Zmiana amplitudy drgań tłumionych dla różnych wartości parametru Q []
Rysunek 3.6. Drgania przy tłumieniu podkrytycznym dla γ = ω0 /10 i warunkach poczatkowych:
˛
x(0) = A1 , v(0) = 0
Q≈
π
.
Λ
(3.49)
Na rysunku 3.6 pokazane sa˛ drgania tłumione, gdy w chwili t = 0 masa była przesuni˛eta na
odległość A1 i puszczona ze stanu spoczynku (warunki poczatkowe:
˛
x(0) = A1 , v(0) = 0).
82
3 Drgania tłumione
Zauważmy, że zamiast osi czasu t (jednostka˛ czasu na tej osi może być okres T0 , jak to jest na
rysunku 3.3), do przedstawienia drgań na rysunku 3.6 zastosowana jest oś ω0 t (jednostkami na
tej osi sa˛ katy
˛ wyrażone w radianach). Na rysunku 3.6 zaznaczona jest również wartość ω0 t dla
czasu t = γ2 , po którym amplituda maleje e razy: ω0 γ2 = 2Q = 2 ωγ0
0
1/2 π
π
3/2π
2π
5/2π
3π
7/2π
4π
ωo t
0
1/4 T0
1/2T0
3/4T0
T0
5/4T0
3/2T0
7/4T0
2T0
t
Rysunek 3.7. Jednostki na osi t i odpowiadajace
˛ im jednostki na osi ω0 t
Na rysunku 3.7 przedstawione sa˛ jednocześnie dwie osie, ω0 i t, z zaznaczonymi na nich jednostkami, odpowiednio, katami
˛
w mierze łukowej i okresem T0 dragań nietłumionych.
3.2.5 Zanik energii średniej przy tłumieniu bardzo słabym
Przy tłumieniu bardzo słabym, czyli gdy γ ≪ ω0 , cz˛estość kołowa drgań tłumionych ωs w
równaniu (3.30) może być zastapiona
˛
cz˛estościa˛ kołowa˛ ω0 i równaie ruchu ma wówczas postać
γ
x(t) = A e− 2 t cos(ω0 t + δ) .
(3.50)
Chcemy obliczyć uśredniona˛ po czasie energi˛e drgań tłumionych
< E >=< Ep > + < Ek > ,
(3.51)
gdzie średnia energie potencjalna
1
< Ep >= k < x2 >
2
(3.52)
1
< Ek >= m < v 2 >
2
(3.53)
i średnia energie kinetyczna
wyrażone sa,˛ odpowiednio, przez uśrednione kwadraty przemieszczenia < x2 > i pr˛edkości
< v 2 >. Średnia˛ energi˛e potencjalna˛ < Ep > możemy obliczyć, wykorzystujac
˛ wyrażenie
(3.50), natomiast przed obliczeniem średniej energii kinetycznej < Ek > musimy znać zależność pr˛edkości od czasu v(t). Z równania (3.50) mamy:
hγ
i
γ
v(t) = ẋ(t) = −A e− 2 t cos(ω0 t + δ) + ω0 sin(ω0 t + δ) .
2
(3.54)
Podstawiajac
˛ (3.50) oraz (3.54) odpowiednio do (3.52) i (3.53), mamy
1
< Ep >= kA2 < e− γt cos2 (ω0 t + δ) >
2
(3.55)
83
i
hγ
i2
1
< Ek >= mA2 < e− γt cos(ω0 t + δ) + ω0 sin(ω0 t + δ) > .
2
2
(3.56)
Ograniczajac
˛ si˛e teraz do bardzo słabego tłumienia (γ ≪ ω0 , czyli Q ≫ 1), możemy przyjać,
˛
że amplituda drgań w ciagu
˛ jednego okresu prawie si˛e nie zmienia (rysunek 3.5) i czynnik eksponencjalny e− γt w wyrażeniach (3.55) i (3.56) może być wyciagni˛
˛ ety przed znak uśrednienia
<>:
1
< Ep >≈ kA2 e− γt < cos2 (ω0 t + δ) > ,
2
Ponieważ
h γ2
1
< cos2 (ω0 t + δ) > +ω02 < sin2 (ω0 t + δ) > +
< Ek > ≈ mA2 e− γt
2
4
i
+ γω0 < sin(ω0 t + δ) cos(ω0 t + δ) > .
< cos2 (ω0 t + δ) > = < sin2 (ω0 t + δ) >=
< sin(ω0 t + δ) cos(ω0 t + δ) > = 0 ,
1
,
2
(3.57)
(3.58)
(3.59)
(3.60)
to znika ostatni człon w kwadratowym nawiasie wzorze (3.58), a ponadto, przy bardzo słabym
tłumieniu (γ ≪ ω0 ) możemy zaniedbać człon pierwszy, w którym wyst˛epuje γ 2 /4 ( γ 2 /4 ≪ ω02 )
i otrzymujemy:
1
< Ep >≈ kA2 e− γt
4
(3.61)
1
1
< Ek >≈ mA2 ω02 e− γt = kA2 e− γt .
4
4
(3.62)
A wi˛ec średnia energia drgań (3.51) przy bardzo słabym tłumieniu maleje w czasie eksponencjalnie:
1
< E >≈ kA2 e− γt .
2
(3.63)
Wyrażenie powyższe oznacza, że po czsie t = 1/γ średnia energia < E > maleje e razy. W
cz˛eści 3.2.1 pokazaliśmy, że amplituda drgań przy tłumieniu podkrytycnym maleje e razy po
czasie dwukrotnie dłuższym t = 2/γ.
Tłumienie nadkrytyczne zachodzi, gdy γ > ω0 . Rozwiazanie
˛
ogólne różniczkowego równania
ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego (3.6) ma postać (3.17), przy czym p1 i p2 , dane
84
3 Drgania tłumione
równaniami (3.15) i (3.16) sa˛ teraz rzeczywiste, ale ujemne. Zamiast nich wygodnie jest teraz
wprowadzić wielkości dodatnie α1 i α2 :
γ
α1 = −p1 = +
2
r
1 2
γ − ω02 ,
4
(3.64)
γ
α2 = −p2 = −
2
r
1 2
γ − ω02 .
4
(3.65)
Wówczas równanie ruchu przy tłumieniu nadkrytycznym możemy zapisać w postaci:
x(t) = C1 e−α1 t + C2 e−α2 t .
(3.66)
Z równań (3.64) i (3.65) wynika, że α1 > α2 , a ponadto zachodza˛ relacje
1
α1 > γ > ω0 ,
2
(3.67)
α1 α2 = ω02 ,
(3.68)
α2 < ω0 < α1 .
(3.69)
czyli zachodzi również relacja
Z równania ruchu (3.66), przy dodatnich α1 i α2 , wynika, że przy tłumieniu nadkrytycznym nie
zachodza˛ drgania: w równaniu tym nie ma czynnika oscylacyjnego, a obydwa czynniki zależne
od czasu maleja˛ monotonicznie do zera wraz z jego upływem. Stałe C1 i C2 wyznacza si˛e z
warunków poczatkowych
˛
dla danych drgań z tłumieniem nadkrytycznym.
˛
Warunkami poczatkowymi,
˛
z których wyznaczamy stałe C1 i C2 w równaniu (3.66), sa˛ położenie x(0) i pr˛edkość v(0) w chwili t = 0. W tym celu obliczmy najpierw zależność pr˛edkości od
czasu:
v(t) = ẋ(t) = −α1 C1 e−α1 t − α2 C2 e−α2 t .
(3.70)
A wi˛ec z równań (3.66) i (3.70) mamy dwa warunki poczatkowe:
˛
x(0) = C1 + C2 ,
(3.71)
v(0) = −α1 C1 − α2 C2 .
(3.72)
Znajac
˛ położenie poczatkowe
˛
x(0) i pr˛edkość poczatkow
˛
a˛ v(0), możemy z powyższych równań
wyznaczyć dwie stałe C1 i C2 .
85
3.3.3 Przykłady ruchu przy różnych warunkach poczatkowych
˛
(a) Przykład 1
W przykładzie tym omówimy ruch przy nast˛epujacych
˛
warunkach poczatkowych
˛
(w chwili
t = 0):
x(0) = A1 ,
(3.73)
v(0) = 0.
(3.74)
Wówczas równania (3.71) i (3.72) przyjma˛ postać:
C1 + C2 = A1 ,
(3.75)
α1 C1 + α2 C2 = 0 .
(3.76)
Rozwiazuj
˛ ac
˛ ten prosty układ równań, otrzymujemy:
C1 = −
C2 =
A1 α2
,
α1 − α2
(3.77)
A1 α1
,
α1 − α2
(3.78)
i równanie ruchu (3.66) przyjmie postać
x(t) =
h
i
A1 α1 e−α2 t − α2 e−α1 t
α1 − α2
.
(3.79)
Wykres tego ruchu jest przedstawiony na rysunku 3.8. W tym przypadku przemieszczenie
x(t) nigdy nie zmienia znaku podczas tego ruchu, czyli oscylator nie przechodzi przez stan
równowagi.
Ponieważ α1 > α2 , wi˛ec człon e−α1 t maleje szybciej niż człon e−α2 t i może być cz˛esto w
przybliżeniu zaniedbany; wówczas mamy
x(t) ≈
A1 α1 −α2 t
e
.
α1 − α2
(3.80)
(b) Przykład 2
Tym razem przyjmijmy nast˛epujace
˛ warunki poczatkowe:
˛
x(0) = 0,
(3.81)
v(0) = v1 .
(3.82)
Wówczas równania (3.71) i (3.72) przyjma˛ postać:
86
3 Drgania tłumione
Rysunek 3.8. Ruch z tłumieniem nadkrytycznym: γ = 4ω0 , α1 = 3, 73ω0 , α2 = 0, 268ω0 . Układ jest wprawiony w ruch w
taki sam sposób jak na rysunku 3.6 przy tłumieniu podkrytycznym: x(0) = A1 , v(0) = 0 []
Rysunek 3.9. Ruch z tłumieniem nadkrytycznym jak na rysunku 3.8, lecz teraz przyj˛eto, że w chwili t = 0 masa przechodzi
przez x = 0 z pr˛edkościa˛ v1 []
C1 + C2 = 0 ,
(3.83)
−α1 C1 − α2 C2 = v1 .
(3.84)
Rozwiazuj
˛ ac
˛ ten układ równań, otrzymujemy:
C1 = −
C2 =
v1
,
α1 − α2
v1
,
α1 − α2
(3.85)
(3.86)
87
i równanie ruchu (3.66) przyjmie postać
x(t) =
−α2 t
−α1 t
v1 e
−e
α1 − α2
.
(3.87)
Wykres tego ruchu przedstawiony jest rysunku 3.9. Podobnie, jak w przykładzie 1, oscylator
nie przechodzi przez stan równowagi.
(c) Inne przykłady
Na rysunkach 3.10 – 3.12 pokazano wykresy ruchu przy tłumieniu nadkrytycznym dla trzech
innych warunków poczatkowych: przy tłumieniu nadkrytycznym masa oscylatora może przechodzić przez położenie równowagi co najwyżej jeden raz (rysunek 3.12).
Rysunek 3.10. Zależność wychylenia od czasu przy tłumienie nadkrytycznym, gdy położenie poczatkowe
˛
x(0) > 0 i pr˛edkość
poczatkowa
˛
v(0) jest dodatnia
˛
poczatkowa
˛
v(0) jest ujemna, lecz wartość pr˛edkości |v(0)| jest mała
88
3 Drgania tłumione
˛
poczatkowa
˛
v(0) jest ujemna, lecz wartość pr˛edkości |v(0)| jest duża
3.3.4 Tłumienie bardzo silne
Tłumieniem bardzo silnym nazywamy tłumienie nadkrytyczne, gdy
γ ≫ ω0 .
(3.88)
Wówczas wielkość α1 , dana wyrażeniem (3.64), dla ω02 ≪ γ 2 /4 , ma postać:
α1 ≈ γ ,
natomiast wielkość α2 , dana˛ równaniem (3.65), możemy zapisać nast˛epujaco:
˛
s
γ
4 ω2
γ
α2 = −
1 − 20 .
2
2
γ
√
Korzystajac
˛ z rozwini˛ecia funkcji 1 − z, dla |z| ≪ 1, mamy
√
i dla z =
4 ω02
,
γ2
1
z + ...
2
(3.90)
(3.91)
otrzymujemy
α2 ≈
a stad
˛
1−z ≈1−
(3.89)
γ
γ
1 4 ω02 + ... ,
−
1−
2
2
2 γ2
(3.92)
ω02
.
γ
(3.93)
α2 ≈
Zachodzi wi˛ec nast˛epujaca
˛ relacja pomi˛edzy parametrami α1 i α2 :
ω 2
ω 2
ω2
0
0
α2 ≈ 0 = γ
= α1
,
γ
γ
γ
(3.94)
i przy warunku (3.88) tłumienia bardzo silnego, mamy
α2 ≪ α1 .
(3.95)
89
(a) Przykład
Omówimy przykład z warunkami poczatkowymi
˛
takimi, jak w przykładzie (a) w cz˛eści 3.3.3,
czyli danymi równaniami (3.73) i (3.74): x0 = A1 , v(0) = 0. Możemy wi˛ec skorzystać
z rozwiazania
˛
(3.79), nakładajac
˛ na nie dodatkowa˛ relacj˛e (3.95), zachodzac
˛ a˛ dla tłumienia
bardzo silnego, która pozwala w liczniku wyrażenia (3.79) zaniedbać człon α2 e−α1 t , jako dużo
mniejszy od α1 e−α2 t , i otrzymać
x(t) ≈
A1 α1 −α2 t
e
.
α1 − α2
(3.96)
Ponadto, w mianowniku możemy zaniedbać α2 , jako dużo mniejsze od α1 , i mamy
x(t) ≈ A1 e−
2
ω0
t
γ
.
(3.97)
Równanie (3.97) oznacza, że masa oscylatora bardzo powoli zbliża si˛e do położenia równowagi
x = 0. Ten eksponencjalny zanik ruchu może być scharakteryzowany poprzez czas relaksacji
τr :
τr =
γ
.
ω02
(3.98)
Wówczas równanie (3.97) przyjmie postać
t
x(t) ≈ A1 e− τr .
(3.99)
Jaki jest sens fizyczny czasu relaksacji τr ? Jest to czas, po którym przemieszczenie x maleje e
razy.
Tłumienie krytyczne zachodzi, gdy γ = 2ω0 . Chcemy zobaczyć jaka˛ postać b˛edzie miało
wyrażenie (3.79), które w cz˛eści 3.3.2.1 opisywało ruch oscylatora przy tłumieniu nadkrytycznym i warunkach poczatkowych
˛
x(0) = A1 i v(0) = 0, gdy tłumienie nadkrytyczne przejdzie
w krytyczne. Wówczas, z równań (3.64) i (3.65), mamy
1
α1 = α2 = γ = ω0
2
(3.100)
i w wyrażeniu (3.79) zarówno licznik, jak i mianownik, sa˛ równe zeru, powodujac,
˛ że staje si˛e
ono nieokreślone. Równanie ruchu przy takim tłumieniu otrzymamy, znajdujac
˛ granic˛e
h
i
A1 α1 e−α2 t − α2 e−α1 t
.
(3.101)
x(t) = lim
γ→2ω0
α1 − α2
Definiujac
˛ teraz (w celu uproszcenia zapisu)
r
ω1 ≡
1 2
γ − ω02 ,
4
(3.102)
90
3 Drgania tłumione
parametry α1 i α2 , dane równaniami (3.64) i (3.65), przyjma˛ postać:
α1 =
γ
+ ω1 ,
2
(3.103)
α2 =
γ
− ω1 ,
2
(3.104)
i wyrażenie (3.101) możemy zapisać nast˛epujaco
˛
γ
γ
γ
γ
−( 2 −ω1 )t
+ ω1 e
− 2 − ω1 e−( 2 +ω1 )t
2
,
x(t) = A1 lim
γ→2ω0
2ω1
(3.105)
czyli w postaci
γ h
io γ
n
1
x(t) = A1 lim eω1 t + e−ω1 t + 2 eω1 t − e−ω1 t e− 2 t ,
γ→2ω0
2
ω1
(3.106)
przy czym granica lim , przy definicji (3.102), jest równoważna granicy lim .
γ→2ω0
ω1 →0
W powyższym wyrażeniu oczywiste sa˛ granice:
h
i
h
i
ω1 t
−ω1 t
ω1 t
−ω1 t
= lim e + e
lim e + e
=2,
ω 1 →0
γ→2ω0
γ
lim e− 2 t = e−ω0 t .
γ→2ω0
Należy jeszcze znaleźć granic˛e
γ h
i
i
1 h ω1 t
e − e−ω1 t .
lim 2 eω1 t − e−ω1 t = ω0 lim
ω1 →0 ω1
γ→2ω0 ω1
(3.107)
(3.108)
(3.109)
Zrobimy to, rozwijajac
˛ funkcje eksponencjalne w szereg:
i
1 h ω1 t
1
1h
1
−ω1 t
ω0 lim
= ω0 lim
e −e
(1 + ω1 t + ω12 t2 + ω13 t3 + . . . ) −
ω1 →0 ω1
ω1 →0 ω1
2
6
i
1 22 1 33
− (1 − ω1 t + ω1 t − ω1 t + . . . ) =
2
6
i
h
1 23
(3.110)
= ω0 lim 2t + ω1 t + . . . = 2ω0 t .
ω1 →0
3
Uwzgl˛edniajac
˛ (3.107), (3.108) i (3.110), równanie ruchu (3.106) oscylatora przy tłumieniu
krytycznym przyjmie postać
x(t) = A1 (1 + ω0 t) e−ω0 t .
(3.111)
Z równania (3.111) wynika, że przy tłumieniu krytycznym nie zachodza˛ drgania ( nie ma w tym
wyrażeniu czynnika oscylacyjnego). Wykres tego ruchu przedstawiony jest rysunku 3.13.
Interesujace
˛ jest porównanie rysunków 3.6, 3.8 i 3.13, które przedstawiaja˛ ruch oscylatora przy
tych samych warunków poczatkowych
˛
(x(0) = A1 , v(0) = 0), ale różnych wielkościach tłumienia. Z rysunków 3.13 i 3.8 widzimy, że układ szybciej da˛ży do położenia równowagi x = 0
(x szybciej zanika) przy tłumieniu krytycznym niż nadkrytycznym. Powodem jest to, że ω0 ,
3.5 Strata energii drgań tłumionych
91
Rysunek 3.13. Ruch przy tłumieniu krytycznym. Układ jest wprawiony w ruch w taki sam sposób jak na rysunku 3.6 przy
tłumieniu podkrytycznym i na rysunku 3.8 przy tłumieniu nadkrytycznym: x(0) = A1 , v(0) = 0 []
stała zaniku amplitudy dla tłumienia krytycznego w równianiu (3.111), jest zawsze wi˛eksza niż
stała α2 dla tłumienia nadkrytycznego w równaniu (3.79). Porównujac
˛ rysunki 3.13 i 3.6 widzimy, że x maleje szybciej przy tłumieniu krytycznym, niż maksima x, gdy wyst˛epuje tłumienie
podkrytyczne. W tym przypadku powodem jest to, że przy tłmieniu podkrytycznym ω0 jest
wi˛eksze niż γ/2, które jest stała˛ określajac
˛ a˛ zmniejszanie si˛e amplitudy drgań przy tłumieniu
podkrytycznym (równanie (3.30)).
3.5 Strata energii drgań tłumionych
Podczas ruchu tłumionego działaja˛ siły dyssypatywne. Działanie ich powoduje, że energia mechaniczna układu nie jest zachowana. Zmienia si˛e ona w czasie ruchu w sposób ciagły,
˛
osiagaj
˛ ac
˛
w końcu wartość zero. W omawianym powyżej ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego,
siła rozpraszajac
˛ a˛ energi˛e mechaniczna˛ była siła oporu ośrodka. Obliczymy, od czego zależy
szybkość zmiany energii mechanicznej oscylatora tłumionego, gdy oprócz siły spr˛eżystości
Fs = −kx działa właśnie siła oporu ośrodka Ft = −bẋ, a różniczkowe równanie ruchu (3.5)
może być zapisane w postaci
mẍ + kx = − bẋ .
(3.112)
Szybkość zmiany energii mechanicznej
E=
wynosi
1
1
mv 2 + kx2
2
2
(3.113)
92
3 Drgania tłumione
dv
dx
dE
= mv + kx
= mva + kxv = (ma + kx) v.
dt
dt
dt
(3.114)
Ponieważ a = ẍ, wi˛ec korzystajac
˛ z równania (3.112), mamy
dE
= − bv 2 ,
dt
(3.115)
a wprowadzajac
˛ sił˛e oporu ośrodka Ft = −bv otrzymujemy:
dE
= Ft v.
dt
(3.116)
Jest to szybkość, z jaka˛ siła oporu ośrodka wykonuje prac˛e podczas ruch oscylatora tłumionego.
Stosujac
˛ przyj˛ety przez nas sposób zapisu pochodnych wzgl˛edem czas, równania (3.115) i
(3.116) przyjma˛ postać:
Z równań (3.115) i (3.117) wynika, że
dE
= − b ẋ2 ,
dt
(3.117)
dE
= Ft ẋ.
dt
(3.118)
dE
dt
≤ 0, przy czym
dE
dt
= 0 tylko w chwilach, w których
v = 0(np. przy tłumieniu podkrytycznym w chwilach osiagania
˛
kolejnych amplitud (rysunek
3.6), czy też przy tłumieniu nadkrytycznym przedstawionym na rysunku 3.9, w chwili, gdy
krzywa na tym rysunku osiaga
˛ swoje maksimum). Otrzymane powyżej wyrażenia na szybkość
zmiany energii
dE
dt
sa˛ słuszne dla dowolnego tłumienia: podkrytycznego, krytycznego i nad-
krytycznego. Oscylator tłumiony najszybciej traci energi˛e w otoczeniu chwil, w których duża
jest jego pr˛edkość; przy tłumieniu podkrytycznym najszybciej wi˛ec traci swoja˛ energi˛e, gdy
przechodzi przez położenie równowagi x = 0 (rysunki 3.3 i 3.6).
Możemy wprowadzić wyrażenie przedstawiajace
˛ wartość bezwzgl˛edna˛ szybkości zmiany energii (szybkość straty energii) oscylatora:
dE
dt
(3.119)
Pt = b ẋ2 .
(3.120)
Pt = −
i nazwać je strata˛ mocy:
Do poj˛ecia straty mocy oscylatora tłumionego powrócimy w rozdziale 4 przy omawianiu drgań
wymuszonych w stanie ustalonym.
Zajmiemy si˛e obwodem elektrycznym złożonym z opornika o oporzu R, solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C, przy czym wszystkie te elementy połaczone
˛
sa˛ szeregowo. Aby zbadać własności takiego obwodu, musimy najpierw naładować kondensator, a
93
nast˛epnie obserwować, jak zmienia si˛e ładunek na tym kondensatorze w zależności od wartości
R, L i C.
Na rysunku 3.14 pokazane sa˛ dwa obwody elektryczne, które zamykane sa˛ przełacznikiem
˛
S. W
jego położeniu na tym rysunku zamkni˛ety jest obwód elektryczny złożony ze źródła o sile elektromotorycznej E i kondensatora o pojemności C i kondensator jest ładowany. Po naładowaniu
do ładunku Q na jego okładkach, w chwili t = 0 przełaczamy
˛
S w położenie a, zamykajac
˛
obwód RLC. W obwodzie tym popłynie prad.
˛
Rysunek 3.14. W pokazanym położeniu przełacznika
˛
S nast˛epuje ładowanie kondensatora C do wartości ładunku Q. Po
przełaczeniu
˛
S do położenia a w obwodzie RLC płynie prad.
˛ Rysunek pokazuje sytuacj˛e w obwodzie RLC w pewnej chwili,
dla której poniżej zapisano II prawo Kirchoffa. Należy zauważyć, że poczatkowy
˛
prad
˛ płynie w kierunku przeciwnym do
pokazanego na rysunku
Na rysunku 3.14 pokazana jest sytuacja w chwili, gdy na okładkach kondensatora znajduje si˛e
ładunek q i w obwodzie płynie dodatni prad
˛ I=
dq
dt
(ładunek na okładkach kondensatora rośnie).
Zaczynajac
˛ od a i idac
˛ wokół oczka w kierunku abcd, możemy napisać II prawo Kirchoffa:
−IR − L
Podstawiajac
˛ I=
dq
dt
dI
q
− = 0.
dt C
(3.121)
≡ q̇ i wprowadzajac
˛ stosowane przez nas oznaczenia pochodnych wzgl˛e-
dem czasu, mamy
L q̈ + R q̇ +
1
q = 0.
C
(3.122)
Dzielac
˛ powyższe równanie przez L oraz wprowadzajac
˛
γ=
R
L
(3.123)
94
3 Drgania tłumione
i
ω02 =
1
,
LC
(3.124)
równanie (3.122) przyjmie postać
q̈ + γ q̇ + ω02 q = 0 .
(3.125)
Powyższe równanie musi spełniać funkcja q(t) opisujaca
˛ zależność od czasu ładunku na okładkach kondensatora. Zauważmy, że dla R = 0 , powyższe równanie redukuje si˛e do równania
(2.190) dla obwodu LC.
Równanie (3.125) ma taka˛ sama postać matematyczna,˛ jak równanie (3.6), przy czym zamiast
położenia x wyst˛epuje ładunek q, a stałe γ i ω02 zamiast przez (3.7) i (3.8), dane sa˛ teraz poprzez
(3.123) i (3.124). Porównujac
˛ równania (3.122) i (3.125) z równaniami (3.5) i (3.6) widzimy, że
zamiast wielkości mechanicznych x, m, b i k w równaniach (3.5) i (3.6), w równanich (3.122)
i (3.124) wyst˛epuja˛ odpowiednio wielkości q, L, R i 1/C:
x(t) −→ q(t)
m −→ L
b −→ R
1
k −→ .
C
(3.126)
Ta analogia pomi˛edzy oscylatorem tłumionym i obwodem RLC pozwala nam wykorzystać
wszystkie wyniki uzaskane dla tego oscylatora, poprzez zastapienie
˛
wielkości mechanicznych
wielkościami charakteryzujacymi
˛
omawiany obwód elektryczny, przedstawione w (3.126). A
wi˛ec w zależności od relacji pomi˛edzy wielkościami γ i ω0 , podobnie, jak to było dla oscylatora
tłumionego, mamy do czynienia z tłumieniem podkrytycznym, krytycznym i nadkrytycznym
3.6.2 Tłumienie podkrytyczne
Tłumienie podkrytyczne zachodzi, gdy γ < 2ω0 , co przy zwiazkach
˛
(3.123) i (3.124) prowadzi
do relacji
R
1
,
< 2√
L
LC
(3.127)
czyli
R< 2
r
L
.
C
(3.128)
Wówczas rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego (3.125) jest funkcja analogiczna do (3.30):
γ
q(t) = Q e− 2 t cos(ωs t + δ) ,
(3.129)
95
gdzie
ωs = ω0
r
r
γ 2
R2 C
1−
, = ω0 1 −
2ω0
4L
(3.130)
czyli
ωs =
r
R2
1
− 2.
LC 4L
Po podstawieniu (3.123) i (3.131) do(3.129) otrzymujemy:
r 1
R
R2
q(t) = Q e− 2L t cos
− 2 t+δ .
LC 4L
(3.131)
(3.132)
Gdy R = 0, równanie to redukuje si˛e do równania (2.192) dla obwodu LC. Jeżeli R nie jest
równe zeru, a spełniony jest warunek (3.128) tłumienia podkrytycznego, to
ωs < ω0 = √
1
.
LC
(3.133)
Drgania elektryczne przy tłumieniu podkrytycznym przedstawwione sa˛ na rysunku 3.15a. Gdy
q
R wzrasta, ωs maleje i dla wartości R = 2 CL wyrażenie podpierwiastkowe w (3.131) staje
si˛e równe zeru i nie ma drgań elektrycznych w obwodzie RLC; mamy wówczas tłumienie
krytyczne.
Rysunek 3.15. Zależność od czasu ładunku na okładkach kondensatora w obwodzie RLC: (a) tłumienie podkrytyczne, (b)
tłumienie krytyczne, (c) tłumienie nadkrytyczne
96
3 Drgania tłumione
3.6.3 Tłumienie krytyczne
Tłumienie krytyczne zachodzi, gdy γ = 2ω0 , czyli, gdy
r
L
R= 2
.
C
(3.134)
Funkcja q(t) ma wówczas własności identyczne, jak funkcja x(t) dla oscylatora tłumionego
przy tłumieniu krytycznym, szczegółowo omawiana w podrozdziale 3.4. Dla warunków
poczatkowych
˛
q(0) = Q, I(0) = 0, zależność q(t) od czasu pokazana jest na rysunku 3.15b
i jest analogiczna do x(t) na rysunku 3.13. Postać g(t) można otrzymać z postaci x(t), zast˛epujac
˛ wielkości mechaniczne wielkościami z obwodu elektrycznego, zgodnie z (3.126).
3.6.4 Tłumienie nadkrytyczne
Z tłumieniem nadkrytycznym mamy do czynienia, gdy
r
L
.
R> 2
C
(3.135)
Wówczas, dla warunkach poczatkowych
˛
takich, jak na rysunku 3.15a i 3.15b, zależność funkcji
q(t) od czasu przedstawiona jest na rysunku 3.15c, i jej przebieg jest analogiczny do przebiegu funkcji x(t) na rysunku 3.8. Porównujac
˛ rysunki 3.15a, 3.15b i 3.15c, przedstawiajace
˛ ładunek q na okładkach kondensatora w szeregowym obwodzie RLC przy jednakowych
warunkach poczatkowych,
˛
ale różnym tłumieniu, widzimy, że układ najszybciej przechodzi do
stanu równowagi (brak łudanku w kondensatorze i zerowe nat˛eżenie pradu),
˛
gdy tłumienie jest
krytyczne. Podobnie, jak dla tłumienia podkrytycznego i krytycznego, postać q(t) można otrzymać z postaci x(t), wykorzystujac
˛ relacje podane w (3.126).
Różniczkowe równanie oscylatora tłumionego (dla wielkości fizycznej Ψ )
Ψ̈ + γ Ψ̇ + ω02 Ψ = 0 ,
(3.136)
jest równaniem liniowym i jednorodnym. Niech Ψ1 (t) spełnia to równanie:
Ψ̈1 + γ Ψ̇1 + ω02 Ψ1 = 0 ,
(3.137)
i niech również Ψ2 (t) spełnia równanie (3.136):
Ψ̈2 + γ Ψ̇2 + ω02 Ψ2 = 0 .
Dodajac
˛ stronami równania (3.137) i(3.138) otrzymujemy równanie
(3.138)
Ψ̈1 + Ψ̈2 + γ (Ψ̇1 + Ψ̇2 ) + ω02 (Ψ1 + Ψ2 ) = 0 ,
97
(3.139)
które możemy również zapisać w postaci
dΨ1 dΨ2
d2 Ψ1 d2 Ψ2
+
+ γ(
+
) + ω02 (Ψ1 + Ψ2 ) = 0 ,
2
2
dt
dt
dt
dt
(3.140)
d2 (Ψ1 + Ψ2 )
d(Ψ1 + Ψ2 )
+γ
+ ω02 (Ψ1 + Ψ2 ) = 0 ,
2
dt
dt
(3.141)
a stad
˛ mamy
Powyższe równanie oznaczy, że funkcja
Ψ (t) = Ψ1 (t) + Ψ2 (t)
(3.142)
również spełnia równanie (3.136) . Możemy wi˛ec sformułowac zasad˛e superpozycji dla oscylatora tłumionego: jeżeli Ψ1 (t) i Ψ2 (t) sa˛ rozwiazaniami
˛
równania różniczkowego (3.136), to
również funkcja Ψ (t) b˛edaca
˛ ich suma,˛ Ψ (t) = Ψ1 (t) + Ψ2 (t), jest rozwiazaniem
˛
tego równania i zachodzi to niezależnie od tego, czy tłumienie jest podkrytyczne, krytyczne, czy też
nadkrytyczne.
4
Drgania wymuszone
4.1 Różniczkowe równanie ruchu
4.1.1 Siła przyłożona do ciała
W poprzednich dwóch rozdziałach omawialiśmy drgania swobodne,zarówno nietłumione jak i
tłumione, kiedy to poza siła˛ sp˛eżystości (podczas drgań nietłumionych) lub siłami spr˛eżystości
i oporu ośrodka (podczas ruchu oscylatora tłumionego) nia działała żadna inna siła zewn˛etrzna.
Teraz b˛edziemy rozpatrywać sytuacj˛e, gdy na układ zdolny do drgań b˛edzie działać dodatkowa,
zależna od czasu, siła wymuszajaca
˛ F (t). Zajmiemy si˛e najpierw niezwykle ważnym przypadkiem ruchu oscylatora, gdy zależność od czasu siły wymuszajacej dana jest równaniem:
F (t) = F0 cos ωt .
(4.1)
Rozważamy oscylator, którego masa m może poruszać si˛e wzdłuż osi x bez tarcia
k
m
(a)
F0 cos ω t
x
( F0 / k ) cos ω t
(b)
k
m
Rysunek 4.1. Drgania wymuszone: (a) siła F = F0 cos ωt jest przyłożona do ciała o masie m, położenie ciała wzgl˛edem
położenia równowagi wyznacza współrz˛edna x; (b) ruch umocowania spr˛eżyny dany wyrażeniem F0 /k cos ωt, położenie ciała
wzgl˛edem położenia równowagi wyznacza współrz˛edna x
zewn˛etrznego, a w czsie tego ruchu działaja:
˛ siła spr˛eżystości
100
4 Drgania wymuszone
Fs = −kx ,
(4.2)
Ft = −b ẋ
(4.3)
Fw = Fs + Ft + F (t)
(4.4)
Fw = −kx + −b ẋ + F0 cos ωt .
(4.5)
siła oporu ośrodka
oraz siła wymuszajaca
˛ (4.1).
Tak wi˛ec wypadkowa siła Fw :
ma postać:
Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu jednowmiarowego wzdłuż osi x:
Fw = m ẍ
(4.6)
dla omawianego oscylatora przyjmie postać:
m ẍ = −kx + −b ẋ + F0 cos ωt ,
(4.7)
m ẍ + b ẋ + kx = F0 cos ωt .
(4.8)
czyli
Dzielac
˛ powyższe równanie przez m (podobnie, jak to robiliśmy z równaniami różniczkowymi
dla oscylatora nietłumionego i oscylatora tłumionego), mamy:
ẍ + γ ẋ + ω02 x =
F0
cos ωt ,
m
(4.9)
gdzie, podobnie jak w warażeniach (3.7) i (3.8),
γ=
b
,
m
(4.10)
ω02 =
k
.
m
(4.11)
Powyższe równanie nazywa si˛e równaniem różniczkowym drgań wymuszonych. Jest to
równanie różniczkowe drugiego rz˛edu (druga pochodna funkcji x(t) wzgledem czasu jest
najwyższa˛ pochodna)
˛ i jest równaniem niejednorodnym (wyst˛epuje w nim człon
F0
m
cos ωt
niezależny od funkcji x(t) i jej pochodnych). Zauważmy, że jeżeli nie byłoby siły wymuszajacej,
˛
równanie (4.9) sprowadziłoby si˛e do równania (3.6) oscylatora tłumionego, a prz
dodatkowej nieobecności siły oporu ośrodka — do równania (2.15) oscylatora harmonicznego.
101
4.1.2 Ruch umocowania spr˛eżyny
Pokażemy, że zastapienie
˛
siły wymuszajacej
˛ F = F 0 cos ωt, przyłożonej do ciała (rysunek
4.1a), ruchem umocowania spr˛eżyny, zgodnie z wyrażeniem (F 0 /k) cos ωt (rysunek 4.1b),
prowadzi do tego samego różniczkowego równania ruchu.
Siły działajace
˛ na ciało o masie m na rysunku 4.1b:
siła spr˛eżystości:
Fs = −k[x − (F 0 /k) cos ωt]
(4.12)
Ft = −bẋ
(4.13)
Fw = Fs + Ft
(4.14)
siła oporu ośrodka:
siła wypadkowa:
Różniczkowe równanie ruchu (II zasada dynamiki Newtona) dla ruchu jednowymiarowego
Fw = mẍ
(4.15)
mẍ = −k(x − (F 0 /k) cos ωt) − bẋ
(4.16)
mẍ + bẋ + kx = F0 cos ωt.
(4.17)
ma wówczas postać:
czyli
Powyższe równanie możemy również zapisać w postaci (4.9). Widzimy, że otrzymane
różniczkowe równanie ruchu (4.17) jest identyczne z różniczkowym równaniem ruchu (4.8),
wyprowadzonym w cz˛eści (a).
A wi˛ec ruch oscylatora jest jednakowy w obu rozważanych przypadkach, czyli gdy:
(a) siła wymuszajaca
˛ F = F0 cos ωt przyłożona jest do ciała o masie m oscylatora,
(b) umocowanie spr˛eżyny porusza si˛e zgodnie z wyrażeniem (F 0 /k) cos ωt.
W wielu przypadkach łatwiej jest pokazać drgania wymuszone wywoływane sposobem
opisanym w punkcie (b), niż wywołane siła˛ przyłożna˛ bezpośrednio do masy m oscylatora.
4.2.1 Równanie ruchu x(t). Wykres wektorowy
Niech oscylator harmoniczny, znajdujacy
˛ si˛e w spoczynku w chwili t = 0, zacznie poruszać
si˛e pod wpływem siły wymuszajacej
˛ (4.1) w obecności siły oporu ośrodka (4.3); różniczkowe
102
4 Drgania wymuszone
równanie ruchu ma postać (4.9). Możemy wówczas zaobserwować, że amplituda drgań wymuszonych poczatkowo
˛
zmienia si˛e, a po czasie t ≫ przyjmuje już wartość stała;
˛ mamy drgania
ustalone. Dochodzenie do stanu ustalonego drgań nazywa si˛e transjentem poczatkowym
˛
i b˛edzie
omawiane w podrozdziale 4.4.
Sposób dochodzenia układu do drgań ustalonych zależy od relacji pomi˛edzy cz˛estościa˛ kołowa˛
ω siły wymuszajacej
˛ i cz˛estościa˛ ωs drgań swobodnych układu w obecności tłumienia. Dwa
przykłady dochodzenia do drgań ustalonych pokazane sa˛ na rysunku 4.2. Drgania ustalone, majace
˛ stała˛ amplitud˛e drgań A, odbywaja˛ si˛e z cz˛estościa˛ kołowa˛ siły wymuszajacej
˛ ω. Sa˛ wi˛ec
drganiami harmonicznymi i moga˛ być zapisane w postaci
x(t) = A cos(ωt + Φ) ,
(4.18)
gdzie Φ) jest przesuni˛eciem fazowym, które określa przesuni˛ecie maksimum przemieszczenia
(4.18) wzgl˛edem maksimum siły (4.1). Równanie (4.18) jest rozwiazaniem
˛
szczególnym równania różniczkowego (4.9), a to oznacza, że wyst˛epujace
˛ w nim dwie stałe, A i Φ), nie wyznacza si˛e z warunków poczatkowych
˛
ruchu. Obliczymy je posługujac
˛ si˛e przedstawieniem
wektorowym drgań harmonicznych i korzystajac
˛ z tego, że funkcja (4.18) spełnia równanie
różniczkowe (4.9). W tym celu obliczymy najpierw pochodne ẋ i ẍ:
x
0
t
(a)
x
0
t
(b)
Rysunek 4.2. Przykłady dochodzenia do drgań ustalonych
ẋ(t) = −Aω sin(ωt + Φ) = Aω cos(ωt + Φ +
π
),
2
ẍ(t) = −Aω 2 cos(ωt + Φ) = Aω 2 cos(ωt + Φ + π) .
103
(4.19)
(4.20)
Podstawiajac
˛ (4.18), (4.19) i (4.20) do (4.9), mamy
Aω 2 cos(ωt + Φ + π) + γAω cos(ωt + Φ +
π
F0
) + ω02 A cos(ωt + Φ) =
cos ωt . (4.21)
2
m
Po lewej stronie powyższego równania mamy trzy drgania harmoniczne, przedstawiajace
˛ pewne
przyspieszenia, o tej samej cz˛estości kołowej ω oraz amplitudach Aω 2 , Aγω i Aω02 , przesuni˛ete
wzgl˛edem siebie w fazie. Ich suma jest w każdej chwili równa drganiu harmonicznemu o tej
samej cz˛estości ω i amplitudzie F0 /m. Równanie (4.21) oznacza, że w przedstawieniu wektorowym drgań, suma trzech wektorów (wskazów), reprezentujacych
˛
dragania harmoniczne po
lewej stronie tego równania, równa si˛e wektorowi reprezentujacemu
˛
drganie harmoniczne po
jego prawej stronie, co pokazane jest na rysunku 4.3. Łatwo zauważyć, że Φ nie może być dodatnie, czyli kat
˛ Φ ≤ 0 (zgodny z ruchem wskazówek zegara, jak na rysunku 4.3), gdyż dla
Φ > 0 wektory (wskazy) nie utworza˛ figury zamkni˛etej.
F0 / m
Φ
ω2A
ω 20 A
γ ωΑ
Rysunek 4.3. Wykres wektorowy drgań do obliczenia amplitudy A i fazy Φ
4.2.2 Obliczenie fazy Φ, amplitudy przemieszczenia A i amplitudy pr˛edkości Vm
4.2.2.1 Obliczenie fazy Φ
Z rysunku 4.3 możemy obliczyć tg Φ. Rozpatrujac
˛ trójkat
˛ prostokatny o bokach: F0 /m , γωA i
(ω02 A − ω 2 A) i pami˛etajac,
˛ że Φ ≤ 0, otrzymujemy
104
4 Drgania wymuszone
tg Φ = −
czyli
γωA
,
ω02 A − ω 2 A
tg Φ = −
ω02
γω
,
− ω2
(4.22)
(4.23)
a przesuni˛ecie fazowe może przyjmować wartości:
−π < Φ ≤ 0 .
(4.24)
4.2.2.2 Obliczenie amplitudy przemieszczenia A
Z wykresu wektorowego na rysunku 4.3 i twierdzenia Pitagorasa mamy
(ω02
F02
−ω ) A +γ ω A = 2 ,
m
2 2
2
2
2
2
(4.25)
a stad
˛
A=
F0
p
.
2
m (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
Mnożac
˛ licznik i mianownik powyższego wyrażenia przez γω, mamy
s
F0
γω
F0
γ 2ω2
p
=
.
A=
mγω (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
mγω (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
Wiedzac,
˛ że mγ = b, otrzymujemy
F0
A=
bω
s
γ 2ω2
,
(ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(4.26)
(4.27)
(4.28)
co możemy zapisać nast˛epujaco
˛
A=
gdzie funkcja R(ω) ma postać:
R(ω) =
F0 p
R(ω) ,
bω
γ 2ω2
(ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(4.29)
(4.30)
4.2.2.3. Obliczenie amplitudy pr˛edkości Vm
Z równania (4.19) widzimy, że podczas drgań ustalonych amplituda pr˛edkości Vm zwiazana
˛
jest
z amplituda˛ przemieszczenia A wyrażeniem
Vm = Aω .
A wi˛ec, korzystajac
˛ z równania (4.28), mamy
s
F0
γ 2ω2
Vm =
,
b
(ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(4.31)
(4.32)
czyli
Vm =
F0 p
R(ω) .
b
(4.33)
105
4.2.3 Tłumienie podkrytyczne. Rezonans
4.2.3.1 Zależność amplitudy przemieszczenia A od cz˛estości kołowej ω
Przedyskutujemy zależność amplitudy przemieszczenia A(ω) od cz˛estości kołowej ω wykorzystujac
˛ wyrażenie (4.26).
Dla ω = 0 otrzymujemy
A=
F0
.
k
(4.34)
Dla ω ≪ ω0 przy tłumieniu podkrytycznym (γ < 2ω0 ) zachodzi relacja γ 2 ω 2 ≪ ω04 i mamy
A≈
F0
F0
.
=
2
mω0
k
(4.35)
Dla ω ≫ ω0 przy tłumieniu podkrytycznym zachodzi γ 2 ω 2 ≪ ω 4 i otrzymujemy
A≈
F0
.
mω 2
(4.36)
Z powyższego wyrażenia wynika, że dla ω → ∞ amplituda drgań wymuszonych da˛ży do zera:
A(ω → ∞) −→ 0 .
(4.37)
Dla cz˛estości kołowej ω = ω0 , z wyrażenia (4.26), mamy
A(ω0 ) =
F0
F0
F0 ω0
=
Q,
=
2
mγω0
mω0 γ
k
(4.38)
gdzie Q jest parametrem dobroci (3.46).
Powyższe wyrażenie oznacza, że amplituda drgań ustalonych przy cz˛estości kołowej siły
wymuszajacej
˛ ω = ω0 jest Q razy wi˛eksza od amplitudy drgań dla cz˛estości kołowej ω ≪ ω0 .
Czy jest to maksymalna wartość, jaka˛ może osiagn
˛ ać
˛ amplituda A podczas drgań? Aby na to
pytanie odpowiedzieć, należy obliczyć ekstra funkcji A(ω) (4.26). Zamiast badać cała˛ funkcj˛e
A(ω), wystarczy zbadać funkcj˛e
f (ω) = (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2 ,
(4.39)
wyst˛epujac
˛ a˛ w mianowniku wyrażenia (4.26). Przyrównujac
˛ pochodna˛ funkcji f (ω) do zera,
mamy
df (ω)
= −2(ω02 − ω 2 ) + γ 2 = 0 .
dω
(4.40)
Oznaczajac
˛ przez ωm cz˛estość kołowa˛ ω, dla której zachodzi relacja (4.40), otrzymujemy
s
γ2
(4.41)
ωm = ω0 1 − 2 .
2ω0
A wi˛ec maksimum amplitudy A wyst˛epuje dla cz˛estości kołowej ωm < ω0 (rysunek 4.4).
Ponadto zachodzi relacja
106
4 Drgania wymuszone
A
QF0 k
F0 k
0
ω0
2ω 0
3ω 0 ω
Rysunek 4.4. Zależność amplitudy przemieszczenia A od cz˛etości kołowej siły wymyszajacej
˛ ω. Maksimum tej amplitudy
wyst˛epuje dla cz˛estości mniejszej od ω0
ω0 > ωs > ωm ,
(4.42)
gdzie ωs jest cz˛estościa˛ kołowa˛ drgań tłumionych tego oscylatora, dana˛ wyrażeniem (3.22)
Zależność amplitudy A od cz˛estości kołowej przedstawiona jest na rysunku 4.4.
Dla tłumienia bardzo słabego (γ ≪ ω0 ), mamy ωm ≈ ω0 i zachodzi relacja
A(ωm ) ≈ A(ω0 ) = QA(ω = 0) .
(4.43)
4.2.3.2 Zależność amplitudy pr˛edkości Vm od cz˛estości kołowej ω
Przedyskutujmy teraz zależność amplitudy pr˛edkości Vm (ω) (4.32) od cz˛estości kołowej siły
wymuszajacej
˛ (4.1).
Dla ω = 0 otrzymujemy
Dla ω ≫ ω0 mamy
F0
Vm ≈
b
Vm = 0 ,
(4.44)
r
(4.45)
F0
γ 2ω2
=
.
4
ω
mω
Z powyższego wyrażenia wynika,że dla ω → ∞ amplituda pr˛edkości da˛ży do zera:
Vm (ω → ∞) −→ 0 .
(4.46)
Natomiast dla ω = ω0 mamy
Vm (ω0 ) =
F0
.
b
(4.47)
107
ωA
F0 b
0
ω0
2ω 0
3ω 0
ω
Rysunek 4.5. Zależność amplitudy pr˛edkości Vm = ωA od cz˛etości kołowej siły wymuszajacej
˛ ω . Maksimum tej amplitudy
wyst˛epuje dla ω = ω0
Czy jest to wartość maksymalne amplitudy pr˛edkości? Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy
znaleźć ektremum funkcji Vm (ω). W tym celu możemy np. znaleźć maksimum funkcji R(ω)
(4.30) wyst˛epujacej
˛ w wyrażeniu (4.32). W tym celu, dzielac
˛ licznik i mianownik wyrażenia
przez γ 2 ω 2 , otrzymujemy
R(ξ) =
1
,
1 + ξ2
(4.48)
gdzie
ω 2 − ω 2 2
0
ξ=
γω
.
(4.49)
Funkcja (4.48) ma maksimum, gdy ξ = 0. A to zachdzi dla cz˛estości
ω = ω0 .
(4.50)
Oczywiście ten sam wynik uzyskamy z warunku na maksimum funkcji Vm (ω):
dVm
=0.
dω
(4.51)
Cz˛estość kołowa˛ ω = ω0 nazywa si˛e cz˛estościa˛ rezonansowa.˛
Zależność amplitudy pr˛edkości Vm od cz˛estości kołowej ω przedstawiona jest na rysunku 4.5.
Warto zauważyć, że dla cz˛estości rezonansowej funkcja R(ω) ma wartość maksymalna˛
R(ω0 ) = 1 .
4.2.3.3 Zależność fazy Φ od cz˛estości kołowej ω
Korzystajac
˛ z wyrażenia (4.23) mamy
(4.52)
108
4 Drgania wymuszone
Φ = − arctg
ω02
γω
,
− ω2
(4.53)
Dla ω = 0 otrzymujemy Φ = 0, dla ω −→ ∞ faza Φ −→ −π, natomiast w rezonansie (ω = ω0 )
mamy Φ = −
π
2
.
Zależność przesuni˛ecia fazowego Φ od cz˛estośći ω pokazana jest na rysunku 4.6.
Rysunek 4.6. Zależnoś przesuni˛ecia fazowego Φ od cz˛estości kołowej ω. W rezonansie (ω = ω0 ) Φ = −π/2 []
4.2.3.4 Podsumowanie
Powyżej omawialiśmy drgania w stanie ustalonym, wymuszone siła˛ (4.1):
F = F0 cos ωt.
(4.54)
Przemieszczenie x dane jest wówczas równaniem (4.18):
x = A cos(ωt + Φ) ,
(4.55)
natomiast pr˛edkość v – wyrażeniem (4.19):
v = ẋ = Vm cos(ωt + Φ +
π
),
2
(4.56)
gdzie
Vm = A ω ,
(4.57)
−π < Φ ≤ 0 .
(4.58)
(a) Przypadek ω ≪ ω0 .
Biorac
˛ pod uwag˛e wyniki uzyskane w cz˛eściach 4.2.3.1 - 4.2.3.3, mamy wówczas:
Φ≈0,
109
(4.59)
F0
,
k
(4.60)
F0 ω
,
k
(4.61)
x ≈ A cos ωt ,
(4.62)
A≈
Vm ≈
v ≈ Vm cos(ωt +
π
)
2
(4.63)
Z powyższych wyrażeń wynika, że przy bardzo małej cz˛estości kołowej ω drgania wymuszone
nie zależa˛ ani od masy m, ani od współczynnika tłumienia γ, a tylko od spr˛eżystości k. Ponadto,
nie ma wówczas (w przybliżeniu) przesuni˛ecia fazowego pomi˛edzy przemieszczeniem x i siła˛
wymuszajac
˛ a˛ (maksimum przemieszczenia wyst˛epuje w tej samej chwili, co maksimum siły).
(b) Przypadek ω = ω0 (rezonans) .
Działanie siły wymuszajacej
˛ (4.54) z rezonansowa˛ cz˛estościa˛ kołowa˛ ω = ω0 , prowadzi do
drgań ustalonych, w których przesuni˛ecie fazowe wynosi
π
,
2
(4.64)
F0
Q
k
(4.65)
Φ=−
amplituda przemieszczenia
A=
jest Q razy wi˛eksza niż dla cz˛estości kołowej ω ≪ ω0 i dla bardzo słabego tłumienia (γ ≪ ω0 )
jest bardzo bliska swojej wartości maksymalnej, amplituda pr˛edkości ma wartość maksymalna˛
Vm =
F0
,
b
(4.66)
natomiast przemieszczenie x oraz pr˛edkość v maja˛ postać:
x = A cos(ωt −
π
),
2
v = Vm cos ωt .
(4.67)
(4.68)
Ponadto, z wyrażeń (4.54) i (4.68) wynika, że nie ma przesuni˛ecia fazowego mi˛edzy siła˛ i pr˛edkościa˛ (maksimum pr˛edkości przypada w tej samej chwili, co maksimum siły wymuszajacej)!
˛
(c) Przypadek ω ≫ ω0 ,
Podczas działania siły wymuszajacej
˛ (4.54) z cz˛estościa kołowa˛ ω ≫ ω0 mamy:
Φ ≈ −π ,
(4.69)
110
4 Drgania wymuszone
A≈
F0
,
mω 2
(4.70)
F0
,
mω
(4.71)
Vm ≈
x ≈ A cos(ωt − π) = − A cos ωt ,
v ≈ Vm cos(ωt −
(4.72)
π
),
2
(4.73)
a to oznacza, że drgania wymuszone z duża˛ cz˛estościa˛ kołowa˛ ω nie zależa˛ ani od spr˛eżystości
k, ani od współczynnika tłumienia γ, a tylko od masy m. Tak wi˛ec, dla ω ≫ ω0 ruch jest kontrolowany masa˛ m. Pozwala to na stosowanie izolacji wibracyjnej. W tym celu, aby uchronić
obiekt od drgań z cz˛estościa˛ kołowa˛ ω, zachodzacych
˛
na drugim końcu spr˛eżyny podtrzymuj˛ecej obiekt, powinniśmy wybrać spr˛eżyn˛e, której współczynniku spr˛eżystości daje cz˛estość
kołowa˛ ω0 spełniajac
˛ a˛ relacj˛e ω0 ≪ ω.
4.2.4 Moc absorbowana i szerokość rezonansu
Utrzymanie stanu ustalonego drgań wymuszonych wymaga ciagłego
˛
dostarczania energii do
układu drgajacego
˛
(dzi˛eki sile wymuszajacej
˛ wykonujacej
˛ prac˛e), która równoważyłoby straty
energii zwiazane
˛
z działaniem siły opor ośrodka. Ponieważ szybkość straty mocy podczas działania siły oporu Ft = −bẋ dana jest wzorem (3.120):
Pt = b ẋ2 ,
(4.74)
wi˛ec średnia moc , absorbowana przez układ drgajacy,
˛ musi spełniać relacj˛e
 = < Pt > ,
(4.75)
 = b < ẋ2 > .
(4.76)
czyli
Podstawiajac
˛ do powyższego równania pr˛edkość ẋ, dana˛ wyrażeniem (4.20), otrzymujemy
2
 = bA2 ω 2 < sin2 (ωt + Φ) > ,
(4.77)
a wprowadzajac
˛ amplitud˛e pr˛edkości Vm = Aω, mamy
2
 = bVm2 < sin2 (ωt + Φ) > .
(4.78)
2
Podstawiajac
˛ do (4.78) amplitud˛e Vm w postaci (4.33) oraz < sin2 (ωt + Φ) >= 12 , dostajemy
 =
F02
R(ω) .
2b
(4.79)
111
Rysunek 4.7. Średnia moc pochłaniania jako funkcja cz˛estości kołowej ω siły wymuszajacej
˛ F = F0 cos ωt dla
układu z Q = 5. Maksimum wyst˛epuje w rezonansie, a szerokość krzywej w połowie jej maksymalnej wysokości (szerokość
połówkowa) ∆ω = γ []
Wykorzystujac
˛ teraz jawna˛ zależność funkcji R(ω) od cz˛estości kołowej ω, dana˛ wyrażeniem
(4.30), mamy
 =
γ 2ω2
F02
.
2b (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(4.80)
Funkcja osiaga
˛ maksimum w rezonansie (ω = ω0 ):
 =
F02
.
2b
(4.81)
Zależność od cz˛estości ω przedstawiona jest na rysunku 4.7.
Posługujac
˛ si˛e funkcja˛ , wprowadzimy poj˛ecie szerokości rezonansu, za która˛
przyjmuje si˛e szerokość połówkowa˛ krzywej przedstawionej na rysunku 4.7. Szerokościa˛
połówkowa˛ krzywej nazywamy jej szerokość w połowie jej maksymalnej wartości, czyli dla
krzywej z rysunku 4.7, szerokość krzywej dla wartości
 =
F02
.
4b
(4.82)
Relacja powyższa jest spełnione dla dwóch cz˛estości kołowych spełniajacych
˛
równanie
1
γ 2ω2
= ,
2
2
2
2
2
(ω0 − ω ) + γ ω
2
(4.83)
z których jedna (ω1 ) jest mniejsza od ω0 , a druga (ω2 ) jest od niej wi˛eksza. Z równania (4.83)
dostajemy
112
4 Drgania wymuszone
γ 2 ω 2 = (ω02 − ω 2 )2 ,
(4.84)
γω = |ω02 − ω 2 | .
(4.85)
γω1 = ω02 − ω12 ,
(4.86)
γω2 = −(ω02 − ω22 ) .
(4.87)
czyli
Tak wi˛ec dla ω1 < ω0 mamy
natomiast dla ω2 > ω0
Tabela 4.1 Wybrane wartości parametru dobroci Q
10 − 100
Zwyczajne głośniki
250 − 1400
Ziemia dla fali sejsmicznej
Struna fortepianu lub skrzypiec
≈ 103
Kwarcowe oscylatory krystaliczne
≈ 104
Wn˛eki rezonansowe bardzo dobrzedostrojonych obwodów elektrycznych
≈ 105
Atom wzbudzony
≈ 107
Jadro
˛ wzbudzone (57 F e)
3 · 1012
Lasery
≈ 1014
Dodajac
˛ stronami równania (4.86) i (4.87), otrzymujemy
γ(ω1 + ω2 ) = ω22 − ω12 ,
(4.88)
γ = ω2 − ω1 .
(4.89)
czyli
A wi˛ec szerokość połówkowa ∆ω = ω2 − ω1 wynosi:
∆ω = γ .
(4.90)
i nazywa si˛e szerokościa˛ rezonansu. Powyższe wyrażenie oznacza, że im słabsze tłumienie
(mniejszy współczynnik oporu γ, tym mniejsza jest szerokość rezonansu, czyli w˛eższsza jest
szerokość krzywej w połowie jej maksymalnej wartości.
Wykorzystujac
˛ zwiazek
˛
parametru dobroci Q z współczynnikiem γ
Q=
ω0
,
γ
możemy wyrazić szerokość rezonansu ∆ω poprzez parametr dobroci Q:
(4.91)
∆ω =
ω0
.
Q
113
(4.92)
Wyrażenie powyższe oznacza, że im wi˛eksza jest wartość parametru dobroci Q układu drgajacego,
˛
tym mniejsza jest szerokość rezonansu. Wartości parametru Q dla wybranych układów
dragajacych
˛
podane sa˛ w tabeli 4.1.
4.2.5 Zwiazek
˛
A(ω), Vm (ω) i z ich wartościami w rezonansie
Przeprowadzone w cz˛eściach 4.2.2.2, 4.2.2.3 i 4.3.2 obliczenia dla stanu ustalonego drgań
wymuszonych pokazały, że amplituda przemieszczenia A(ω), amplituda pr˛edkości Vm (ω) i
średnia moc absorbowana moga˛ być przedstawione w postaciach (wzory (4.29),
(4.33), (4.79) ):
F0 p
R(ω) ,
bω
F0 p
R(ω) ,
Vm (ω) =
b
A(ω) =
 =
F02
R(ω) ,
2b
(4.93)
(4.94)
(4.95)
z funkcja˛ R(ω) dana˛ równaniem (4.30). Pokażemy, że funkcje A(ω), Vm (ω) i moga˛
być wyrażone poprzez ich wartości w rezonansie A(ω0 ), Vm (ω0 ) i . Dokonajmy
najpierw prostego przekształcenia wyrażenia (4.93):
F0 k p
F0 mω02 p
F0 ω0 ω0 p
F0 p
R(ω) =
R(ω) =
R(ω) =
R(ω),
A(ω) =
bω
bωk
kbω
k γ ω
(4.96)
wspólczynnik dobroci Q = ω0 /γ, wi˛ec otrzymujemy
F0 ω0 p
R(ω) .
A(ω) =
Q
k
ω
(4.97)
gdzie skorzystaliśmy najpierw ze zwiazku
˛
k = mω02 , a nast˛epnie z m/b = 1/γ. Ponieważ
Korzystajac
˛ teraz z wyrażeniem (4.38), przedstawiajacego
˛
wartość amplitudy przemieszczenia
w rezonansie, mamy
A(ω) = A(ω0 )
ω0 p
R(ω) .
ω
(4.98)
Ponieważ Vm (ω0 ) = F0 /b jest wartościa˛ amplitudy pr˛edkości w rezonansie (wzór (4.47)), a
= F02 /2b – wartościa˛ średniej mocy absorbowanej w rezonansie (wzór (4.81)), wi˛ec
wyrażenia (4.94) i (4.95) moga˛ być zapisane w postaci:
p
Vm (ω) = Vm (ω0 ) R(ω) ,
 = R(ω) .
(4.99)
(4.100)
Wzory (4.98), (4.99) i (4.100) przedstawiaja˛ wi˛ec amplitud˛e przemieszczenia, amplitud˛e pr˛edkości i średnia˛ moc absorbowana˛ podczas wymuszonych drgań ustalonych poprzez ich wartości
w rezonansie.
114
4 Drgania wymuszone
4.2.6 Rezonans przy tłumieniu bardzo słabym. Funkcja Lorentza
Przy tłumieniu bardzo słabym asymetrie funkcji Vm (ω) i w pobliżu rezonansu nie
sa˛ tak bardzo widoczne, a staja˛ si˛e jeszcze mniej dostrzegalne, gdy γ ≪ ω0 , czyli Q ≫ 1. W
tym przypadku szerokość rezonansu jest bardzo mała i układ absorbuje energi˛e tylko w pobliżu
rezonansu dla cz˛estości ω ≈ ω0 , czyli dla ω/ω0 ≈ 1. Wówczas możemy przekształcić funkcj˛e
R(ω) (4.30), wyst˛epujac
˛ a˛ w wyrażeniach (4.93), (4.94) i (4.95) do nowej postaci. Najpierw
skorzystamy z przekształcenia wyrażenia ω02 − ω 2 , które dla ω ≈ ω0 przyjmie postać
ω02 − ω 2 = (ω0 + ω)(ω0 − ω)) ≈ 2ω0 (ω0 − ω)).
(4.101)
Podstawiajac
˛ (4.101) do (4.30), mamy
R(ω) ≈
a po podzieleniu przez 4ω02 dostajemy
R(ω) ≈
γ 2ω2
,
4ω02 (ω0 − ω)2 + γ 2 ω 2
1 2 ω2
γ ω2
4
0
2
(ω0 − ω)2 + 41 γ 2 ωω2
0
≈
(ω0 −
1 2
γ
4
ω)2 + 14 γ 2
(4.102)
= L(ω),
(4.103)
gdzie funkcja L(ω) nosi nazw˛e funkcji Lorentza. Funkcja L(ω), jak widać z wyrażenia (4.103),
jest symetryczna wzgl˛edem ω0 . Tak wi˛ec, dla Q ≫ 1 oraz ω ≈ ω0 funkcja R(ω) może być w
przybliżeniu zastapiona
˛
funkcja˛ Lorentza, R(ω) ≈ L(ω), a wyrażenia (4.98), (4.99) i (4.100)
pobliżu rezonansu przyjma˛ postać:
p
A(ω) ≈ A(ω0 ) L(ω) .
(4.104)
p
Vm (ω) ≈ Vm (ω0 ) L(ω) ,
(4.105)
 ≈ L(ω) .
(4.106)
Powyższe krzywe rezonansowe A(ω) , Vm (ω) i sa˛ symetryczne wzgl˛edem cz˛estości rezonansowej ω0 . W szczególności możemy obliczyć cz˛estości kołowe ω1 ) i ω2 ), których
różnica ∆ω = ω2 − ω1 = γ jest szerokościa˛ rezonansu, obliczanego w cz˛eści 4.2.4. Jest to szerokość krzywej w połowie jej maksymalnej wartości, czyli dla cz˛estości kołowych
spełniajacych
˛
warunek
(ω0 −
1 2
γ
4
ω)2 + 41 γ 2
=
1
.
2
(4.107)
Z powyższego otrzymujemy
1 2
γ = (ω0 − ω)2 ,
4
co zachodzi, gdy
(4.108)
115
1
γ = |ω0 − ω|.
2
(4.109)
1
γ1 = ω0 − ω1 ,
2
(4.110)
1
γ,
2
(4.111)
A wi˛ec dla ω1 < ω0 mamy
czyli
ω1 = ω0 −
natomiast dla ω2 > ω0 mamy
1
γ2 = −(ω0 − ω1 ),
2
(4.112)
czyli
ω2 = ω0 +
1
γ,
2
(4.113)
a szerokość rezonansu
∆ω = ω2 − ω1 = γ
(4.114)
jest oczywiście dana wzorem (4.89).
4.2.7 Amplituda absorpcyjna Aab i amplituda elestyczna Ael
Dotychczas do opisu drgań wymuszonych w stanie ustalonym stosowaliśmy postać:
x = A cos(ωt + Φ) .
(4.115)
Sa˛ to drgania harmoniczne, a powyżwsza˛ postać matematyczna˛ nazwaliśmy postacia˛ A. W
podrozdziale 2.2.2 pokazaliśmy, że takie drgania moga˛ być też opisane matematyczna˛ postacia˛
B:
x = Bs sin ωt + Bc cos ωt,
(4.116)
Bs = −A sin Φ,
(4.117)
Bc = A cos Φ
(4.118)
gdzie
(porównaj powyższe równania z równaniami (2.77), (2.80)-(2.82))
Amplitudy Bs i Bc b˛edziemy nazywać odpowiednio amplituda˛ absorpcyjna˛ Aab i amplituda˛
elastyczna˛ Ael :
Aab ≡ Bs = −A sin Φ ,
(4.119)
Ael ≡ Bc = A cos Φ .
(4.120)
116
4 Drgania wymuszone
4.2.7.1 Zależność amplitud Aab i Ael od cz˛estości ω
Aby pokazać zależność amplitudy absorpcyjnej Aab i amplitudy eleastycznej Ael od cz˛estości
kołowej ω, musimy obliczyć zależność sin Φ oraz cos Φ od ω, gdyż zależność amplitudy A od ω
dla stanu ustalonego drgań jest znana i dana wyrażeniem (4.26). Wykorzystujac
˛ do tego wykres
wektorowy drgań przedstawiony na rysunku 4.3, mamy
cos Φ =
m (ω02 − ω 2 ) A
(ω02 − ω 2 ) A
=
F0 /m
F0
sin Φ = −
γωA
mγωA
=−
F0 /m
F0
(4.121)
(4.122)
Podstawiajac
˛ (??) i (??) do (??) i (??), otrzymujemy:
Aab = −A sin Φ =
Ael = A cos Φ =
mγωA2
,
F0
m(ω02 − ω 2 )A2
.
F0
(4.123)
(4.124)
Rysunek 4.8. Zależność amplitudy absorpcyjnej Aab i amplitudy elastycznej Ael od cz˛estości kołowej ω
Ponieważ, korzystajc z wyrażenia (4.26), mamy
A2 =
1
F02
,
2
2
2
m (ω0 − ω )2 + γ 2 ω 2
(4.125)
117
wi˛ec
Aab =
F0
γω
,
2
m (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(4.126)
Ael =
ω02 − ω 2
F0
.
m (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(4.127)
Powyższa zależność amplitud Aab i Ael od cz˛estości ω pokazana jest na rysunku 4.8. Jak widać
na wykresie, amplituda absorpcyjne osiaga
˛ swoja˛ wartość maksymalna˛ w rezonansie (ω = ω0 ,
a maleje do zera dla bardzo małych i bardzo dużych wartościach ω. Natomiast amplituda elastyczna ma wartość zero w rezonansie,a dla małych i dużych wartości ω ma wartości wi˛eksze od
amplitudy absorpcyjnej. A wi˛ec w pobliżu rezonansu własności drgań opisuje głównie amplituda absorpcyjne, natomiast daleko od rezonansu — amplituda elastyczna.
4.2.7.2 Zwiazek
˛
amplitud Aab i Ael z moca˛ absorbowana˛ P , średnia˛ moca˛ absorbowana˛ i średnia˛
energia˛ < E >
4.2.8 Funkcje odpowiedzi
Funkcje odpowiedzi opisuja˛ własności układu fizycznego podczas drgań wymuszonych w stanie
ustalonym.
4.2.8.1 Podatność mechaniczna K(ω)
Podatność mechaniczna˛ K(ω) definiuje si˛e jako stosunek amplitudy drgań ustalonych A do
amplitudy siły wymuszajacej
˛ F0 , czyli
K(ω) =
A
.
F0
(4.128)
Dla oscylatora harmonicznego
A=
1
F0
p
,
2
m (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(4.129)
wi˛ec dla tego układu fizycznego funkcja K(ω) ma postać
K(ω) =
1
p
.
2
m (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(4.130)
Wykorzystujac
˛ znane zależności mω02 = k i γ 2 m2 = b2 , możemy powyższe wyrażenie zapisać
w postaci
K(ω) = p
1
(k − mω 2 )2 + b2 ω 2
.
(4.131)
118
4 Drgania wymuszone
4.2.8.2 Impedancja mechaniczna Z(ω)
Impedancj˛e mechaniczna˛ definiujemy jako stosunek amplitudy siły wymuszajacej F0 do amplitudy pr˛edkości Vm , czyli
Z(ω) =
F0
.
Vm
(4.132)
Ponieważ dla oscylatora harmonicznego
Vm =
wi˛ec otrzymujemy
F0
ω
p
,
2
m (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
Z(ω) =
m
p
(ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
.
ω
Dokonujemy teraz prostych przekształceń
r
r
k − mω 2 2
m2 (ω02 − ω 2 )2 + m2 γ 2 ω 2
2+(
=
) ,
Z(ω) =
b
ω2
ω
(4.133)
(4.134)
(4.135)
gdzie skorzystaliśmy z zależności mγ = b i mω02 = k. Ostatecznie funkcj˛e (ω) możemy
zapisać w postaci
r
Z(ω) = b2 + (mω −
k 2
) .
ω
(4.136)
W rezonansie (ω = ω0 ) funkcja impedancja mechaniczna ma swoje minimum: Z(ω0 ) = b.
Wykazana powyżej własność impedancji ma bardzo ważne zastosowanie praktyczne: znajdowanie cz˛estości, przy której impedancja ma swoje minimum, jest cz˛esto najprostsza˛ droga˛
znajdowanie cz˛estości rezonansowych dla skomplikowanych układów, dla których impedancja
może być obliczona.
4.2.8.3 Impedancja akustyczna Za
Dla płaskiej fali akustycznej impedancj˛e akustyczna˛ definiujemy nast˛epujaco
˛
Za (ω) =
p0
,
Vm
(4.137)
gdzie p0 jest amplituda˛ zmiennego ciśnienia dźwi˛eku, natomiast Vm jest amplituda˛ pr˛edkości
czastki
˛
ośrodka (czastki
˛
akustycznej).
Rozważamy teraz oscylator harmoniczny ( o masie m i współczynniku spr˛eżystości k), na który
jednocześnie działaja˛ dwie siły wymuszajace
˛ zmieniajace
˛ si˛e harmonicznie z jednakowa˛ cz˛estościa˛ kołowa:
˛
119
F1 cos(ωt + α1 )
(4.138)
F2 cos(ωt + α2 ) .
(4.139)
oraz
Różniczkowe równanie ruchu w obecności siły tłumienia Ft = −bẋ ma wówczas postać
ẍ + γ ẋ + ω02 x =
F2
F1
cos(ωt + α1 ) +
cos(ωt + α2 ) ,
m
m
(4.140)
gdzie
γ=
b
,
m
ω02 =
k
.
m
(4.141)
Rozwiazaniem
˛
tego równania dla stanu ustalonego drgań jest funkcja
x(t) = A1 cos(ωt + α1 + Φ) + A2 cos(ωt + α2 + Φ) .
(4.142)
Amplitud˛e wypadkowa˛ A tych drgań wyznaczymy wykorzystujac
˛ przedstawienie wektorowe
drgań harmonicznych.
4.3.2 Zasada superpozycji
4.3.3 Amplituda drgań wypadkowych
β2
A
A2
A2
α2 + φ
β1
β1
α
β2
α1 + φ
A1
Rysunek 4.9. Wykres wektorowy drgań do obliczenia amplitudy wypadkowej A
Dla trójkata
˛ o bokach A, A1 i A2 oraz katach
˛
α, α1 i α2 zachodzi relacja
120
4 Drgania wymuszone
A2 = A21 + A22 − 2A1 A2 cos α .
(4.143)
Ponieważ suma katów
˛
w trójkacie wynosi π, wi˛ec
α = π − (β1 + β2 ) .
(4.144)
β1 + β2 = α2 + Φ − (α1 + Φ) = α2 − α1
(4.145)
cos α = cos[π − (β1 + β2 )] = cos[π − (α2 − α1 ) = − cos(α2 − α1 ).
(4.146)
Z rysunku wynika, że
czyli
A wi˛ec otrzymujemy:
A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(α2 − α1 ) .
(4.147)
Ponieważ cos(α2 − α1 ) może przyjmować wartości od -1 do +1, wi˛ec amplituda A, w zależności od różnicy (α2 − α1 ), przyjmuje wartości od | A2 − A1 | do A1 + A2 .
W szczególnym przypadku, gdy α2 − α1 = ± π , mamy superpozycj˛e w pełni destruktywna˛ o amplitudzie | A2 − A1 |, natomiast, gdy α1 = α2 , mamy superpozycj˛e w pełni
konstruktywna˛ o amplitudzie A1 + A2 .
4.3.4 Koherencja sił wymuszajacych
˛
4.4 Stany przejściowe (transjenty) przy tłumieniu podkrytycznym
4.4.1 Transjent poczatkowy
˛
4.4.1.1 Różniczkowe równanie ruchu i jego rozwiazanie
˛
4.4.1.2 Warunki poczatkowe
˛
4.4.1.3 Przykłady transjentu poczatkowego
4.4.2 Transjent końcowy
4.5 Wymuszone drgania elektryczne w obwodzie RLC
4.5.2 Impedancja elektryczna Ze
5
Drgania układów nieliniowych
5.1 Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna˛ siła zwrotna˛
Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do spr˛eżyny o współczynniku
spr˛eżystości k, gdy siła zwrotna Fs zależy nieliniowo od przemieszczenia x, a zależność ta
dana jest równaniem:
Fs = −kx − cx3 .
(5.1)
Powyższe równanie możemy zapisać w postaci:
Fs = − (1 + α x2 ) kx ,
(5.2)
gdzie parametr α powiazany
˛
jest z współczynnikami k i c z równania (5.1) zależnościa˛ α = c/k.
Nowo wprowadzona stała α może być dodatnia (α > 0) lub ujemna (α < 0) (rysunek 5.1).
B˛edziemy rozpatrywać przypadek, gdy nieliniowość układu drgajacego
˛
jest bardzo mała,
czyli, gdy spełniona jest relacja
| αx2 |≪ 1 .
(5.3)
Różniczkowe równanie ruchu masy m (II zasada dynamiki Newtona) ma postać
mẍ = Fs ,
(5.4)
a po podstawieniu siły (5.2) otrzymujemy równanie
mẍ = − (1 + α x2 ) kx,
(5.5)
ẍ + (1 + αx2 ) ω02 x = 0,
(5.6)
które możemy zapisać w postaci
gdzie wprowadziliśmy ω02 = k/m.
122
5 Drgania układów nieliniowych
Rysunek 5.1. Przykłady symetrycznych sił zwrotnych, w których każda z nich ma postać Fs = −(1 + αx2 )kx. Wykres górny
jest dla α > 0 (α = +25m2 ), wykres dolny jest dla α < 0 (α = −25m2 ). Dla porównania liniami przerywanymi pokazano
siły liniowe (α = 0)
5.1.2 Własności drgań swobodnych
Drgania swobodne opisane równaniem (5.6) maja˛ nast˛epujace
˛ własności:
(a). Ponieważ nie wyst˛epuje tłumienie, ruch jest ruchem periodycznym (ale nie harmonicznym) z okresem Ts , czyli zachodzi
x(t) = x(t + Ts ),
(5.7)
(b). Ponieważ moduł siły | Fs | jest symetryczny wzgl˛edem x = 0, to ruch po lewej stronie
x = 0 ( a wi˛ec dla x < 0) jest lustrzanym odbiciem ruchu po prawej stronie x = 0 (a wi˛ec dla
x > 0), czyli zachodzi relacja
x(t +
Ts
) = − x(t).
2
(5.8)
Jak wiadomo każde drganie periodyczne o okresie Ts może być przedstawione jako superpozycja drgań harmonicznych o cz˛estościach nωs (ωs = 2π/Ts ), czyli w postaci szeregu Fouriera:
x(t) = A0 + A1 cos(ωs t + δ1 ) + A2 cos(2ωs t + δ2 ) + A3 cos(3ωs t + δ3 ) + · · · .
Przyjmijemy nast˛epujacy
˛ warunek poczatkowy
˛
omawianego ruchu:
(5.9)
ẋ(0) = 0
123
(5.10)
oznaczajacy,
˛ że pr˛edkość w chwili poczatkowej
˛
t = 0 jest równa zero. Zobaczmy,jak ten
warunek wpływa na postać ogólnego rozwiazania
˛
(5.9). Obliczajac
˛ ẋ(t) z równania (5.9),
mamy:
ẋ(t) = −ωs A1 sin(ωs t + δ1 ) − 2ωs A2 sin(2ωs t + δ2 ) − 3ωs A3 sin(3ωs t + δ3 ) − · · · .(5.11)
Stosujac
˛ do powyższego równania warunek (5.10), otrzymujemy wyrażenie
ẋ(0) = − ωs A1 sin δ1 − 2ωs A2 sin δ2 − 3ωs A3 sin δ3 − · · · = 0,
(5.12)
które jest spełnione tylko wówczas, gdy
δ1 = δ2 = δ3 = · · · = 0.
(5.13)
Szereg Fouriera (5.9) dany jest wi˛ec teraz równaniem
x(t) = A0 + A1 cos ωs t + A2 cos 2ωs t + A3 cos 3ωs t + · · · ,
(5.14)
które musi spełniać również warunek (5.8). Warunek ten spełniaja˛ tylko harmoniki nieparzyste
równania (5.14), nie spełniaja˛ natomiast harmoniki parzyste oraz niezależny od czasu człon
A0 (tzw. harmonika zerowa). Pokażemy to na przykładzie pierwszej i drugiej harmoniki. Dla
pierwszej harmoniki mamy:
cos ωs (t +
Ts
1
) = cos(ωs t + ωs Ts ) = cos(ωs t + π) = − cos ωs t,
2
2
(5.15)
natomiast dla drugiej harmoniki
cos 2ωs (t +
Ts
) = cos(2ωs t + ωs Ts ) = cos(2ωs t + 2π) = cos 2ωs t,
2
(5.16)
gdzie skorzystaliśmy z zależności ωs = 2π/Ts . Równanie (15) świadczy o tym, że człon
A1 cos ωs t w równaniu (5.14) spełnia relacj˛e (5.8); podobie spełniaja˛ ja˛ wszystkie pozostałe
człony z harmonikami nieparzystymi (można dla nich otrzymać zwiazki
˛ analogiczne do (5.15)).
Natomiast równanie (5.16) wskazuje, że relacja (5.8) nie jest spełniona przez człon z druga˛ harmonika˛ w równaniu (5.14); relacj˛e (5.8) również nie spełniaja˛ pozostałe człony z harmonikami
parzystymi w równaniu (5.14) oraz człon z A0 (harmonika zerowa), dla których łatwo można
otrzymać relacje analogiczne do (5.16).
Tak wi˛ec rozwiazanie
˛
równania różniczkowego (5.6) jest dane tylko przez sum˛e nieparzystych
harmonik. Przy bardzo małej nieliniowości określonej równaniem (5.3) możemy ograniczyć si˛e
tylko do dwóch pierwszych członów, zaniedbujac
˛ pozostałe czyli
x(t) = A1 cos ωs t + A3 cos 3ωs t + · · · .
(5.17)
124
Powyższe równanie możemy zapisać w nast˛epujacej
˛ wygodnej postaci:
x = A(cos ωs t + ε cos 3ωs t + · · · ) ,
(5.18)
gdzie A ≡ A1 jest amplituda˛ drgań swobodnych o cz˛estości podstawowej ωs , 3ωs jest cz˛estościa˛
trzeciej harmonicznej, a parametr anharmoniczności ε = A3 /A1 (wskazuje on na udział trzeciej
harmonicznej w drganiach omawianego ukadu nieliniowego). Równanie (5.18) musi spełniać
różniczkowe równanie ruchu (5.6), które teraz zapiszemy w postaci.
ẍ + ω02 x + αω02 x3 = 0.
(5.19)
Korzystajac
˛ z faktu, że (5.18) jest rozwiazaniem
˛
równania (5.19), znajdziemy teraz postać, jaka˛
powinny mieć cz˛estość kołowa ωs i parametr ε, aby tak było. W tym celu obliczmy ẍ i x3 , a
potem wspólnie z x podstawmy do równaia (5.19):
ẋ = −ωs A sin ωs t − 3ωs εA sin 3ωs t,
(5.20)
ẍ = −ωs2 A cos ωs t − 9ωs2 Aε cos 3ωs t = −ωs2 A(cos ωs t + 9ε cos 3ωs t),
(5.21)
x3 = A3 (cos3 ωs t + 3ε cos2 ωs t cos 3ωs t + 3ε2 cos ωs t cos2 3ωs t + ε3 cos3 3ωs t), (5.22)
przy czym dwa ostatnie człony w równaniu (5.22) możemy teraz pominać,
˛ ze wzgl˛edu na to,
że bardzo mały parametr ε wyst˛epuje w nich w drugiej i trzeciej pot˛edze. W dalszej cz˛eści
obliczeń pomijane b˛eda˛ wyrazy bardzo małe, zawierajace:
˛ ε2 , α2 , εα oraz ich wyższe pot˛egi.
Podstawiajac
˛ ẍ, x3 oraz x do równania (5.19) mamy:
−ωs2 A (cos ωs t + 9ε cos 3ωs t) + ω02 A (cos ωs t + ε cos 3ωs t + . . . ) +
1
3
+ αω02 A3 ( cos 3ωs t + cos ωs t + . . . ) = 0,
4
4
(5.23)
przy czym w ostatnim nawiasie powyższego równania wykorzystaliśmy nast˛epujac
˛ a˛ relacj˛e
cos3 ωs t =
3
1
cos 3ωs t + cos ωs t.
4
4
(5.24)
Grupujac
˛ człony z tymi samymi harmonikami, możemy równanie (5.23) zapisać w postaci:
3
1
(−ωs2 A + ω02 A + αω02 A3 ) cos ωs t + (−9εωs2 A + εω02 A + αω02 A3 ) cos 3ωs t = 0. (5.25)
4
4
Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnego t tylko wówczas, gdy współczynniki przy
poszczególnych harmonikach sa˛ równe zero (jest to równanie typu a cos ωs t + b cos 3ωs t = 0,
które jest spełnione dla dowolnej chwili t tylko wówczas, gdy a = b = 0). Przyrównujac
˛ wi˛ec
współczynnik stojacy
˛ w równaniu (5.25) przy cos ωs t, mamy:
3
−ωs2 A + ω02 A + αω02 A3 = 0,
4
(5.26)
125
a stad
˛
3
ωs2 = ω02 (1 + αA2 ),
4
(5.27)
czyli
ωs = ω0
r
3
1 + αA2 .
4
(5.28)
√
Ponieważ rozwini˛ecie funkcji 1 + x w szereg ma dla małych warości x (| x |≪ 1) postać
√
1 + x ≈ 1 + 21 x + . . . , wi˛ec dla bardzo małej nieliniowości (| αA2 |≪ 1) mamy
3
ωs ≈ ω0 (1 + αA2 ).
8
(5.29)
Tak wi˛ec pojawienie si˛e członu nieliniowego w sile zwrotnej (5.2) może zwi˛ekszać lub zmniejszać cz˛estość podstawowa drgań ωs :
ωs > ω0
dla
α > 0,
ωs < ω0
dla
α < 0,
a różnica cz˛estości | ωs − ω0 | zależy od amplitudy A drgań z cz˛estościa˛ podstawowa˛ ωs i jest
proporcjonalna do jej kwadraty:
3
ωs − ω0 ≈ ω0 αA2 .
8
(5.30)
Przyrównujac
˛ teraz do zera czynnik przy cos 3ωs t w równaniu (5.25), mamy
1
−9εωs2 A + εω02 A + αω02 A3 = 0.
4
(5.31)
Podstawiajac
˛ teraz w miejsce ωs2 wyrażenie (5.27), otrzymujemy
−8εω02 A −
27
1
εαA3 ω02 + αω02 A3 = 0,
4
4
(5.32)
a po dokonaniu uproszczeń i prostych przekształceń mamy:
ε(1 +
1
27 2
αA ) = αA2 .
32
32
(5.33)
W powyższym równaniu możemy zaniedbać bardzo mały drugi człon w nawiasie (patrz
warunek bardzo małej nieliniowości (5.3)) i wyznaczyć ε:
ε≈
1
αA2 .
32
(5.34)
Z powyższego równania wynika, że dla bardzo małej nieliniowości | αA2 |≪ 1 również
parametr anharmoniczności ε jest bardzo mały (| ε |≪ 1. Z równań (5.18) i (5.34) wynika,
że anharmoniczność ruchu zwi˛eksza si˛e wraz z amplituda˛ drgań, a parametr ε, charakteryzujacy
˛ anharmoniczność drgań, jest proporcjonalny do kwadratu amplitudy. Otrzymane powyżej
wzory (5.28) i (5.34) na ωs i ε sa˛ tylko wyrażeniami przybliżonymi. Jeżeli chcielibyśmy uzyskać
126
bardziej dokładne wyrażenia, musielibyśmy uwzgl˛ednić człony zaniedbane podczas dotychczasowych obliczeń (proporcjanalne do αε, α2 , itd).
Przyjrzyjmy si˛e jeszcze średniemu położeniu ciała drgajacego
˛
anharmonicznie przy działaniu
symetrycznej siły zwrotnej. W czasie ruchu jego położenie opisane równaniem (5.18) przyjmuje zarówno dodatnie jak i ujemne wartości współrz˛ednej x wyznaczanej wzgl˛edem położenia równowagi trwałej. Oznaczajac
˛ symbolem < x(t) > średnie w czasie położenie drgajacego
˛
ciała, mamy:
< x(t) >= A(< cos ωs t > +ε < cos 3ωs t >) = 0,
(5.35)
ponieważ średnia wartość funkcji cosinus liczona dla okresu lub jego wielokrotności jest równa
zero:
< cos ωs t >=< cos 3ωs t >= 0 .
(5.36)
Wykres równania (5.18) (dla ε = 0, 2) oraz wkład poszczególnych harmonik pokazyny jest na
rysunku 5.2.
Rysunek 5.2. Efekt trzeciej harmonicznej wywołany symetryczna˛ nieliniowa˛ siła˛ zwrotna.˛ Wykreślona krzywa jest dana równaniem x = A(cosωs t + 0, 2cos3ωs t). Harmoniki pierwsza i trzecia wykreślone sa˛ tylko dla pierwszego okresu.[]
5.1.4 Wahadło matematyczne jako układ nieliniowy
Równanie ruchu obrotowego wahadła matematycznego (2.139):
θ̈ +
g
sin θ = 0,
L
(5.37)
127
zapisaliśmy w postaci (2.141):
θ̈ + ω02 sin θ = 0,
(5.38)
gdzie
ω02 =
g
.
L
(5.39)
1 3
θ + ···
3!
(5.40)
Rozwijajac
˛ funkcj˛e sin θ w szereg:
sin θ = θ −
i podstawiajac
˛ (5.40) do (5.38) oraz korzystajac
˛ z wyrażenia 3! = 6 otrzymujemy
1 2 2
θ ) ω0 θ = 0 ,
6
(5.41)
θ̈ + (1 + α θ2 ) ω02 θ = 0 ,
(5.42)
θ̈ + (1 −
co możemy zapisać w postaci
gdzie α = − 16 . Równanie (5.42) jest równaniem drgań anharmonicznych, analogicznym do
poznanego już równania drgań anharmonicznych podczas działania symetrycznej siły zwrotnej:
ẍ + (1 + α x2 ) ω02 x = 0 .
(5.43)
A wi˛ec wahadło matematyczne jest nieliniowym układem fizycznym, którego drgania,
opisane różniczkowym równaniem (5.42), maja˛ własności drgań zachodzacych
˛
przy działaniu
symetrycznej siły zwrotnej.
Korzystajac
˛ wi˛ec z wcześniej uzyskanych wyników mamy:
(a) równanie ruchu θ(t)
θ(t) = A(cos ωs t + ε cos 3ωs t)
(5.44)
gdzie A ≡ θm jest amplituda˛ wychylenia;
(b) cz˛estość kołowa drgań ωs
ωs ≈ ω0 (1 +
1 2
3
αA2 ) = ω0 (1 −
A)
8
16
(5.45)
(c) parametr nieliniowości ε
ε≈
1
1
αA2 = −
A2
32
192
(5.46)
Dla amplitudy drgań A = 10o ≈ 0, 1744 rad mamy αA2 ≈ −0, 005 oraz
1
ωs − ω0
3
∆ω
=
= αA2 = − A2 ≈ −0, 002 ,
ω0
ω0
8
16
ε=−
1 2
A ≈ −10−4 .
192
(5.47)
(5.48)
128
5.2 Drgania anharmoniczne spowodowane asymetryczna˛ siła˛ zwrotna˛
Przykładem asymetrycznej siły zwrotnej jest siła, która zależy od przemieszczenia x zarówno
w pierwszej jak i w drugiej pot˛edze:
Fs = −kx − bx2 .
(5.49)
Fs = − (1 + β x) kx ,
(5.50)
Możemy zapisać ja˛ w postaci
gdzie β = b/k jest stała˛ dla danego układu drgajacego.
˛
Wartość siły zwrotnej | Fs | jest inna
dla tej samej warości | x | przy rozciaganiu
˛
i ściskaniu spr˛eżyny (patrz rysunek dla β > 0).
Omawiać b˛edziemy drgania układu o bardzo małej nieliniowości, a wi˛ec drgania, dla których
| β x |≪ 1 .
(5.51)
mẍ = Fs
(5.52)
ẍ + (1 + β x) ω02 x = 0 ,
(5.53)
Różniczkowe równanie ruchu
ma po podstawieniu siły (5.50) postać
gdzie ω02 = k/m.
Podobnie jak w przypadku działania symetrycznej siły zwrotnej, ruch b˛edzie ruchem periodycznym (ale nie ruchem harmonicznym) o okresie Ts i może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. Ponieważ w przypadku asymetrycznej siły zwrotnej nie zachodzi warunek (5.8),
to rozwiazanie
˛
równania (5.53) b˛edzie zawierać w ogólności wszystkie harmoniki (łacznie
˛
z zerowa)
˛ i b˛edzie miało postać (5.9).
Ograniczajac
˛ si˛e do bardzo małej nieliniowości (5.51) oraz przyjmujac
˛ warunek poczatkowy
˛
dla pr˛edkości ẋ(0) = 0 (stałe δn sa˛ wówczas równe zero - równanie (5.13) ), szereg Fouriera
b˛edacy
˛ rozwiazaniem
˛
równania (5.53) ma postać
x = A0 + A1 cos ωs t + A2 cos 2ωs t + · · · ,
(5.54)
5.2 Drgania anharmoniczne spowodowane asymetryczna˛ siła˛ zwrotna˛
129
Rysunek 5.3. Asymetryczna siła zwrotna. Przedstawiona na wykresie siła ma postać Fs = −(1 + βx)kx. Wykres wykonano
dla β = 2, 5m−1 . Dla porównania liniami przerywanymi pokazano sił˛e liniowa˛ (β = 0)
x = A0 + A(cos ωs t + η cos 2ωs t + · · · )
(5.55)
gdzie ωs = 2π/Ts jest cz˛estościa˛ podstawowa˛ drgań, 2ωs – cz˛estościa˛ drugiej harmonicznej,
A ≡ A1 , natomiast parametr η = A2 /A1 określa wielkość anharmoniczności drgań.
Dla bardzo małej nieliniowości, a wi˛ec, gdy spełniony jest warunek (5.51) możemy post˛epować
podobnie jak w cz˛eści 5.1.3, gdzie zajmowaliśmy si˛e symetryczna˛ siła˛ zwrotna.˛ Korzystajac,
˛
podobnie jak poprzednio z tego, że równanie (5.55) jest rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego
(5.53), które zapiszemy teraz w postaci
ẍ + ω02 x + βω02 x2 = 0,
(5.56)
b˛edziemy mogli wyznaczyć wielkości ωs , η i A0 wyst˛epujace
˛ w równaniu (5.55). W tym celu
obliczymy najpierw ẍ, x2 :
ẋ = −ωs A sin ωs t − 2ωs Aη sin 2ωs t + . . . ,
(5.57)
ẍ = −ωs2 A cos ωs t − 4ωs2 Aη cos 2ωs t + · · · = −ωs2 A(cos ωs t + 4η cos 2ωs t + . . . ), (5.58)
x2 = A20 + 2A0 A(cos ωs t + η cos 2ωs t) + A2 (cos2 ωs t + 2η cos ωs t cos 2ωs t + . . . ).(5.59)
Podstawiajac
˛ teraz wyrażenia (5.55), (5.58) i (5.59) do (5.56) otrzymujemy:
−ωs2 A(cos ωs t + 4η cos 2ωs t) + ω02 [A0 + A(cos ωs t + η cos 2ωs t)] +
1
+ βω02 [A20 + 2A0 A cos ωs t + A2 (1 + cos 2ωs t)] = 0,
2
(5.60)
130
gdzie pomini˛ete zostały człony bardzo małe zawierajace
˛ iloczyny lub pot˛egi parametrów η i β,
a w ostatnim nawiasie wykorzystana została relacja cos2 ωs t = 12 (1 + cos 2ωs t).
Można dokonać pogrupowania wyrazów zawierajacych
˛
odpowiednio druga,˛ pierwsza˛ i zerowa˛
harmonik˛e:
1
(−4ηωs2 A + ηω02 A + βω02 A2 ) cos 2ωs t + (−ωs2 A + ω02 A + 2A0 Aβω02 ) cos ωs t +
2
1
(5.61)
+ (ω02 A0 + βω02 A20 + A2 βω02 ) = 0.
2
Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnego t tylko wówczas, gdy czynniki przy wszystkich harmonikach, łacznie
˛
z zerowa,˛ sa˛ równe zero. Z warunku zerowania si˛e tych czynników,
ograniczonych nawiasami w równaniu (5.61) możemy wyznaczyć interesujace
˛ nas wielkości η,
ωs oraz A0 .
Przyrównujac
˛ do zera czynnik przy harmonice zerowej
1
ω02 A0 + βω02 A20 + A2 βω02 = 0
2
(5.62)
1
A0 (1 + βA0 ) = − β A2 .
2
(5.63)
mamy
A ponieważ przy bardzo małej nieliniowości (5.51) zachodzi
| β A0 |≪ 1 ,
(5.64)
1
A0 ≈ − β A2 .
2
(5.65)
wi˛ec
Przyrównujac
˛ do zera czynnik pierwszej harmonice (cos ωs t)
−ωs2 A + ω02 A + 2A0 Aβω02 = 0
(5.66)
ωs2 = ω02 (1 + 2βA0 ).
(5.67)
ωs2 ≈ ω02 ,
(5.68)
ωs ≈ ω0 .
(5.69)
mamy
Uwzgl˛edniajac
˛ (5.64) otrzymujemy
czyli
Porównujac
˛ natomiast do zera czynnik prz drugiej harmonice (cos 2ωs t)
1
−4ηωs2 A + ηω02 A + βω02 A2 = 0
2
131
(5.70)
i biorac
˛ po uwag˛e (5.69) otrzymujemy
η≈
1
β A,
6
(5.71)
Uwagi:
(a). Średnie przemieszczenie < x > nie jest równe zero i wynosi
1
< x >= A0 ≈ − β A2 .
2
(5.72)
(b). Równanie (5.71) pokazuje, że anharmoniczność drgań rośnie wraz z amplituda˛ drgań.
Parametr η określajacy
˛ amplitud˛e drugiej harmonicznej zależy liniowo od amplitudy
A (amplituda drugiej harmonicznej w równaniu (5.55) wynosi ηA), podczas gdy dla
symetrycznej siły zwrotnej parametr anharmoniczności ε zależy kwadratowo od
amplitudy A (patrz równania (5.18) i (5.34)) (amplituda trzeciej harmonicznej
w równaniu (5.18) wynosi εA).
Rysunek 5.4. Efekt drugiej harmonicznej wywołany asymetryczna˛ nieliniowa˛ siła˛ zwrotna.˛ Wykreślona krzywa jest dana równaniem x = A(cosωs t + 0, 2cos2ωs t). Harmoniki pierwsza i druga wykreślone sa˛ tylko dla pierwszego okresu.[]
W cz˛eści 2.5 pokazaliśmy, że dla liniowego różniczkowego równania ruchu oscylatora zachodzi
zasada superpozycji. Jeżeli wi˛ec w oscylatorze działa siła spr˛eżystości Fs = −kx (liniowo
zależna od przemieszczenia x), dla której różniczkowe równanie ruchu ma postać
mẍ + kx = 0,
(5.73)
132
to zachodzi zasada superpozycji, która mówi, że jeżeli x1 (t) i x2 (t) sa˛ rozwiazaniami
˛
powyższego równanie, to również x(t) = x1 (t) + x2 (t) jest rozwiazaniem
˛
tego równania.
Pokażemy, że w przypadku siły spr˛eżystości nieliniowo zależnej od x, która prowadzi do nieliniowego różniczkowego równania ruchu, zasada superpozycji nie zachodzi.
Przyjmijmy, że siła spr˛eżystości Fs działajaca
˛ w oscylatorze o masie m ma postać
Fs = −kx − bx2 − cx3 .
(5.74)
Wówczas druga zasada dynamiki Newtona mẍ = F , zapisana dla tego oscylatora, ma postać
mẍ = Fs ,
(5.75)
mẍ + kx + bx2 + cx3 = 0 .
(5.76)
czyli
Niech x1 i x2 sa˛ rozwiazaniami
˛
tego równania, czyli zachodza˛ równania:
mẍ1 + kx1 + bx21 + cx31 = 0
(5.77)
mẍ2 + kx2 + bx22 + cx32 = 0 .
(5.78)
Dodajac
˛ stronami równania powyższe równania, otrzymujemy
m(ẍ1 + ẍ2 ) + k(x1 + x2 ) + b(x21 + x22 ) + c(x31 + x32 ) = 0.
(5.79)
Równanie to możemy zapisać w postaci
d2
m 2 (x1 + x2 ) + k(x1 + x2 ) + b(x21 + x22 ) + c(x31 + x32 ) = 0.
dt
(5.80)
Aby zachodziła zasada superpozycji, suma rozwiazań
˛
powinna również spełniać różniczkowe
równanie ruchu, czyli powinno zachodzić równanie
m
d2
(x1 + x2 ) + k(x1 + x2 ) + b(x1 + x2 )2 + c(x1 + x2 )3 = 0.
dt2
(5.81)
Równanie (5.80) różni si˛e jednak od powyższego równania, ponieważ x21 + x22 6= (x1 + x2 )2
oraz x31 + x32 6= (x1 + x2 )3 ( za wyjatkiem
˛
x1 = x2 = 0). Tak wi˛ec suma rozwiazań
˛
x1 + x2 nie
jest rozwiazaniem
˛
różniczkowego równania ruchu (5.76).
5.4.1 Siła wymuszajaca
˛ zmieniajaca
˛ si˛e harmonicznie
Zajmować si˛e b˛edziemy drganiami układu o tłumieniu podkrytycznym (γ < 2ω0 ), gdy cz˛estość
siły wymuszajacej
˛ ω ≪ ω0 . Z wcześniejszej analizy drgań wymuszonych wiemy, że dla takich
133
cz˛estości drgania ustalone zależa˛ głównie od własności spr˛eżystych układu (amplituda drgań
A ≈ F0 /k), a nie zależa˛ od drgajacej
˛ masy; ponadto przesuni˛ecie fazowe Φ = 0. Stwierdziliśmy
wówczas, że dla siły wymuszajacej
˛
F = F0 cos ωt
(5.82)
x ≈ A cos ωt ,
(5.83)
x ≈ aF ,
(5.84)
przemieszczenie x wynosi
gdzie a ≈ 1/k. Powyższy wynik uzyskaliśmy dla układu drgajacego,
˛
w którym nie uwzgl˛edniliśmy jego własności nieliniowych. Natomiast dla słabo nieliniowego układu drgajacego
˛
(np.
układu z spr˛eżyna˛ wykazujac
˛ a˛ słabe własności nieliniowe) przemieszczenie x spowodowane
działaniem siły wymuszajacej
˛ F możemy wyrazić w postaci szeregu
x ≈ aF + bF2 + cF3 + ... ,
(5.85)
gdzie a, b i c sa˛ stałymi.
Pokażemy, że jeżeli siła wymuszajaca
˛ zmienia si˛e harmonicznie, czyli dana jest równaniem
(5.82), to nieliniowość układu prowadzi do drgań anharmonicznych, które moga˛ być przedstawione jako superpozycja drgania o cz˛estości podstawowej ω i drgań o cz˛estościach b˛edacych
˛
wyższymi harmonicznymi tej cz˛estości.
Podstawiajac
˛ (5.82) do równania (5.85) otrzymujemy
x ≈ aF0 cos ωt + bF02 cos2 ωt + cF03 cos3 ωt .
(5.86)
Wprowadzajac
˛ do równania (5.85) znane relacje
1
(1 + cos 2ωt) ,
2
(5.87)
1
3
cos 3ωt + cos ωt ,
4
4
(5.88)
cos2 ωt =
cos3 ωt =
po wykonaniu prostych przekształceń mamy:
bF02
b2 F02
3 3
cF03
x≈
+ aF0 + cF0 cos ωt +
cos 2ωt +
cos 3ωt .
2
4
2
4
(5.89)
Równanie (5.89) pokazuje, że podczas drgań wymuszanych cz˛estościa˛ ω nieliniowość drgań
dana równaniem (5.85) prowadzi do pojawienia si˛e drgań harmonicznych z cz˛estościami n ω
(n = 0, 1, 2, 3, . . . ).
134
5.4.2 Rezonanse dla cz˛estości subharmonicznych
Dla układu liniowego rezonans wyst˛epował tylko dla jednej cz˛estości ω = ω0 , a krzywa
rezonansowa A(ω) miała tylko jedno maksimum. Inna sytuacja b˛edzie w przypadku układu
nieliniowego. Jeżeli dla układu nieliniowego zmniejszalibyśmy cz˛estość ω siły wymuszajacej
˛
poczynajac
˛ od cz˛estości rezonansowej
ω = ω0 , to cz˛estość ω przechodziłaby przez wartości ω = ω0 /2 , ω = ω0 /3 . . . , dla których
odpowiednie harmoniczne cz˛estości ω sa˛ równe cz˛estości rezonansowej (2ω = ω0 , 3ω = ω0 ,
itd). To jest przyczyna˛ pojawienia si˛e dodatkowych maksimów na krzywej rezonansowej A(ω)
właśnie dla takich cz˛estości ω, których harmoniczne sa˛ równe cz˛estości rezonansowej ω0 .
5.4.3 Cz˛estości kombinacyjne
Przyjrzyjmy si˛e teraz sytuacji, gdy na nieliniowy układ drgajacy
˛ działaja˛ dwie harmonicznie
zmieniajace
˛ si˛e siły wymuszajace
˛ F1 cos ω1 t i F2 cos ω2 t o różnych cz˛estościach ω1 i ω2 . Wypadkowa siła działajaca
˛ na układ jest wówczas suma˛ tych sił:
F = F1 cos ω1 t + F2 cos ω2 t .
(5.90)
Zakładajac
˛ tylko liniowa˛ i kwadratowa˛ zależność w równaniu (5.85), mamy
x ≈ aF + bF 2 = a(F1 cos ω1 t + F2 cos ω2 t) + b(F1 cos ω1 t + F2 cos ω2 t)2 ,
(5.91)
a po wykonaniu pot˛egowania
x ≈ aF1 cos ω1 t + aF2 cos ω2 t + bF12 cos2 ω1 t + bF22 cos2 ω2 t +
+ 2bF1 F2 cos ω1 t cos ω2 t .
(5.92)
Pierwszy człon po prawej stronie powyższego równania przedstawia drgania harmoniczne z
cz˛estościa˛ ω1 , drugi – drgania z cz˛estościa˛ ω2 . Człon trzeci
bF12 cos2 ω1 t =
1 2
bF (1 + cos 2ω1 t)
2 1
(5.93)
bF22 cos2 ω2 t =
1 2
bF (1 + cos 2ω2 t)
2 2
(5.94)
i czwarty
daja˛ zarówno wyrazy stałe w czasie, jak i drgania harmoniczne z cz˛estościami odpowiednio 2ω1
oraz 2ω2 .
Przyjrzyjmy si˛e teraz członowi ostatniemu w równaniu (5.92). Ponieważ
2 cos ω1 t cos ω2 t = cos(ω1 + ω2 ) t + cos(ω2 − ω1 ) t ,
(5.95)
135
wi˛ec człon ten możemy zapisać w postaci
2F1 F2 cos ω1 t cos ω2 t = F1 F2 cos(ω1 + ω2 ) t + F1 F2 cos(ω2 − ω1 ) t ,
(5.96)
a to oznacza, że w wypadkowym drgania (5.91) mamy również drgania z cz˛estościa˛ kołowa˛
b˛edac
˛ a˛ suma˛ (ω1 + ω2 ) i różnica˛ (ω2 − ω1 ) cz˛estości sił wymuszajacych
˛
ω1 i ω2 . Cz˛estości te,
ω1 + ω2 i ω2 − ω1 , nazywamy cz˛estościami kombinacyjnymi.

drgania - Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Transkrypt

Podobne dokumenty

WMag nr 5 1