x - Zespół Szkół im. Andrzeja Średniawskiego w Myślenicach

AUTOR ZADAŃ: Jerzy Cachel Zespół Szkół im.A.Średniawskiego w Myślenicach
X POWIATOWE ZAWODY MATEMATYCZNE – KATEGORIA A’
Imię i Nazwisko..................................................................
Szkoła..................................................................................
Zadanie 1 (3pkt)
Wykaż, że dla dowolnego n ∈ N wartość wyrażenia
n 3 + 3n 2 + 2n + 6
jest liczbą
n+3
naturalną.
Zadanie 2 (4pkt)
Rozwiąż równanie:
5 
1
1
1
 1

x −
+
+ ... +

1 +

8 
2
3
2012 
 4
5  1
1
1
1

+ x −
+
+
+ ... +

2
4
8
12
2012


5  1
1
1
1
 1
+ 
x −
+
+
+ ... +

4  2
4
6
2012
 2

 = 0


 +

Zadanie 3 (4pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej k iloczyn (k − 5)(k − 7 )(k − 9) jest podzielny
przez 48.
Zadanie 4 (5pkt)
Wykaż, bez użycia kalkulatora, że liczba
Zadanie 5 (4pkt)
Rozwiąż nierówność x − 4 − x − 6 ≤ 0 .
9 − 4 5 − 9 + 4 5 jest liczbą całkowitą.
X POWIATOWE ZAWODY MATEMATYCZNE – KATEGORIA A’
Imię i Nazwisko..................................................................
Szkoła..................................................................................
Test jednokrotnego wyboru
1. Jeśli f : R → R jest funkcją rosnącą, zaś g : R → R jest funkcją malejącą, to funkcja
h dana wzorem h( x) = f ( g ( x)) jest
B) rosnąca
C) stała
D) nie monotoniczna
A) malejąca
2. Trzy liczby całkowite przy dzieleniu przez 5 dają odpowiednio reszty 1,2,3. Reszta
z dzielenia przez 5 sumy kwadratów tych liczb powiększonej o iloczyn tych
kwadratów wynosi
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
3. Najmniejsza wartość funkcji f ( x) = x − 1 + x − 2 + x − 3 wynosi
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
4. Implikacja ,,jeżeli x − 2 ≤ 0 , to x + 3 > 0 ’’ jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy
A) x ∈ (−∞,−3〉
B) x ∈ (−3, ∞ )
C) x ∈ (−∞,2〉
D) x ∈ (−3,2〉
5. Funkcja f każdej liczbie naturalnej n-cyfrowej przyporządkowuje liczbę n − 5 .
Liczba miejsc zerowych funkcji f jest równa
A) n
B) 10 5
C) 90000
D) 5
6. Wynikiem działania
A) 2012 2012
1
+
1
1+ 2
2+ 3
B) 1 + 2012
+
1
+ ... +
1
jest liczba
3+2
2011 + 2012
C) 2011 + 2012
D)
2012 − 1
7. Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 80zł za sztukę i sprzedaje średnio 60
sztuk miesięcznie po 120zł. Każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1zł
zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Zysk miesięczny sprzedawcy określa wzór
A) (40 − x )(60 + x ) B) (40 + x )(60 − x )
C) (40 − x )(60 − x ) D) (40 + x )(60 + x )
8. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje najmniejszą liczbę
nieujemną y taką, że x + y jest liczbą całkowitą podzielną przez 3.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A) (0,3)
B) (− ∞, ∞ )
C) 〈 0,3〉
D) 〈 0,3)
9. Połowę pewnej drogi samochód przejechał z prędkością 60km/h, drugą połowę
z prędkością średnią 90km/h. Z jaką prędkością przejechał on całą drogę?
A) 80km/h
B) 75km/h
C) 72km/h
D) 70km/h
10. Liczba A jest o 150% większa od liczby B. Jakim procentem liczby B jest liczba A?
A) 100
B) 250
C) 200
D) 150
Test A’
1
A
2
A
3
C
4
B
5
C
6
D
7
A
8
D
9
C
10
B
Zadanie 1
Grupowanie wyrazów licznika n 2 (n + 3) + 2(n + 3)
1 pkt
Rozłożenie licznika na iloczyn (n 2 + 2)(n + 3)
1 pkt
Skrócenie ułamka i sformułowanie uzasadnienia
1 pkt
Zadanie 2
Wyciąganie przed nawias x −
5
2
2 pkt
Przedstawienie lewej strony równania w postaci iloczynowej
1 pkt
Podanie rozwiązania równania
1 pkt
Zadanie 3
Zapisanie liczby nieparzystej w postaci k = 2n − 1
1 pkt
Przekształcenie iloczynu do postaci (2n − 6)(2n − 8)(2n − 10 )
1 pkt
Zauważenie, iż jest to iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych, zatem
jest podzielny przez 2, 4 i 6
Sformułowanie wniosku
1 pkt
1 pkt
Zadanie 4
Wprowadzenie oznaczeń
9−4 5 − 9+4 5 = a
1 pkt
Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
 9 − 4 5 − 9 + 4 5  = 9 − 4 5 − 9 + 4 5 − 2 = 16


2 pkt
Rozwiązanie równania a 2 = 16
1 pkt
Sformułowanie uzasadnienia
1 pkt
2
Zadanie 5
Zapisanie układów nierówności
1 pkt
Rozwiązanie nierówności w każdym z przypadków
2 pkt
Podanie ostatecznego rozwiązania
1 pkt